Física 1 - Aula 4
Prof. Afonso Henriques Silva Leite
23 de março de 2016
1 Grandezas Físicas Escalares e Vetoriais
Algumas Grandezas Físicas são determinadas (ou conhecidas) por completo por apenas um número. Como exemplo, pode-se citar o tempo: basta dizer que um evento durou 5 segundos, ou um minuto para que o intervalo de tempo esteja completamente caracterizado. Outra é a temperatura: ao se a rmar que a medida do termômetro é de 37◦C, sabe-se perfeitamente a temperatura da
pessoa (e que ela tem febre)! Essa classe de Grandezas é chamada de Grandeza Física Escalar.
Outras, entretanto, não se conhece com precisão se apenas um número for informado. Força, velocidade, e aceleração (entre várias outras) são exemplos de Grandezas dessa natureza: não basta a rmar que uma velocidade é de 30 m/s para conhecê-la. Tais Grandezas são ditas Grandezas Vetoriais. É preciso saber algo mais para serem corretamente informadas.
Para entender melhor essa questão, considere a Figura 1.1. Perceba que não basta a rmar que se está empurrando algo para frente para caracterizar a força empregada. Veja que, apesar das duas forças aplicadas aparentarem ser exatamente iguais, uma delas está sendo aplicada da esquerda para a direita de quem lê; e a outra não.
As informações que faltam para a perfeita caracterização desse tipo de gran-deza; as grandezas vetoriais, são a direção e o sentido.
Então, vejamos mais sobre o assunto.
2 Vetores.
O que são vetores?
São quantidades matemáticas que tem módulo (ou magnitude), direção, e sentido. A magnitude, ou módulo, é o tamanho do vetor; diz respeito ao seu comprimento. A direção é a reta na qual o vetor está contido, e o sentido é a orientação para onde o vetor aponta; da sua origem à sua extremidade. Veja na Figura 2.1 um exemplo ilustrativo de um vetor. A notação usada para se representar um vetor é o de uma echa acima dos pontos que o compõe, orientada do ponto de origem para o ponto extremo; no caso da Figura 2.1; −−→
Figura 1.1: Representação de dois casos em que uma força está sendo aplicada para frente. A pessoa pode estar aplicando o mesmo esforço, à mesma caixa, na mesma superfície; e apesar disso tudo sugerir que as duas forças são iguais; elas são na verdade diferentes. Se apenas for informado que a força está sendo aplicada para frente, não se pode sabê-la com precisão. Faltam informações cruciais para isso.
Figura 2.1: As três quantidades que caracterizam um vetor com origem em A e extremidade em B; o vetor−AB−→. A sua magnitude é o comprimento do segmento AB; sua direção é a da reta←→AB(ou seja, a reta que passa pelos pontos A e B); e o seu sentido é de A para B. Reunindo esses dados, o vetor ca completamente caracterizado.
Figura 2.2: Exercício de Fixação 2.1.2. O movimento, nesse caso, está restrito a apenas uma direção, e o sentido do movimento pode ser indicado por apenas um sinal: se for positivo, o veículo estará se movendo da esquerda para a direita (de quem lê) e se for negativo, o veículo estará se movendo da direita para a esquerda.
genericamente por uma echa em cima de uma letra minúscula de nosso alfabeto: ~a, ~b, e assim sucessivamente.
Assim, no exemplo ilustrado na Figura 2.1, o que faltava para se conhecer as forças eram a magnitude e a direção. O sentido estava determinado pela informação de que a pessoa empurrava o objeto para frente.
As Grandezas Físicas são representadas por vetores, e para se considerá-las, será preciso saber operar com eles.
Veremos então as operações de soma e multiplicação por escalar, e subtração na forma geométrica; e depois, como decompor um vetor em duas direções perpendiculares. Após isso, as operações de soma e subtração serão revistas na forma algébrica.
2.1 Exercícios de Fixação.
1. Identi que as grandezas escalares e vetoriais presentes na seguinte a r-mação: São quatro horas da tarde, o tempo é bom e a tem- peratura agradável: 20◦C; o veleiro, de meia tonelada, desliza a 12 km/h graças ao
vento que sopra de leste para oeste com velocidade de 20 km/h.[1] 2. Se o movimento for restrito a uma única direção, como ilustrado na Figura
2.2, o sentido da velocidade pode ser indicado por apenas um sinal: se positivo, o veículo estará se movendo da esquerda para a direita, e em caso contrário, da direita para a esquerda. Você diria que se fosse assim, a velocidade poderia ser considerada uma Grandeza Escalar?
2.2 Soma Geométrica.
Para se realizar a soma geométrica de dois vetores, o procedimento é bem sim-ples. Digamos que se queira somar dois vetores, ~a e ~b. Veja a Figura 2.3. O vetor soma ~a +~b é o vetor cuja origem é a origem de ~a e cuja extremidade é a extremidade de ~b. (veja a Figura 2.4).
Figura 2.4: Vetor ~a +~b soma dos vetores ~a e ~b. Sua origem é a origem do vetor ~ae sua extremidade é a extremidade do vetor ~b. Para obtê-lo, desenhe a partir da extremidade de ~a o vetor ~b. Daí, o vetor ~a +~b é o vetor formado pela origem de ~a com a extremidade de ~b.
Figura 2.5: Representação grá ca de um triângulo retângulo. Os lados a e b que formam o ângulo retângulo são ditos catetos, e o lado restante é denominado de hipotenusa h.
Claro que para se obter mais informações acerca da magnitude e direção desses vetores, é preciso saber os ângulos que são formados entre os vetores, e as magnitudes de cada um deles. Além dessas informações, há algumas leis matemáticas bastante úteis nesses casos: o Teorema de Pitágoras, a lei dos senos e a lei dos cossenos.
Vejamos cada uma delas. 2.2.1 Teorema de Pitágoras.
O Teorema de Pitágoras pode ser enunciado da seguinte forma: em um triângulo retângulo, soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Veja a Figura 2.5 A formulação matemática do Teorema é da forma:
a2+ b2= h2.
Esse Teorema será bastante útil para lidarmos com vetores que são perpendi-culares.
Figura 2.6: Representação grá ca de um triângulo de lados a, b e c, e um ângulo θoposto a c.
2.2.2 Lei dos Cossenos.
Por vezes, os vetores envolvidos nas operações de soma e subtração não serão perpendiculares, e nesse caso, pode ser necessário recorrer a uma generalização do Teorema de Pitágoras, a Lei dos Cossenos.
Considere para isso a Figura 2.6. A expressão matemática da lei dos cossenos é
c2= a2+ b2− 2ab cos θ, sendo θ o ângulo oposto ao lado c do triângulo.
Em alguns casos, pode ser necessária a aplicação de mais uma relação, a Lei dos Senos.
2.3 Lei dos Senos.
A Lei dos senos estabele relações dentre os senos dos ângulos e os lados de um triângulo. A representação geométrica está na Figura 2.7.
A expressão matemática é a senα = b senβ = c senγ.
Então, num exercício sobre soma ou subtração de vetores, pode ser necessário invocar uma ou duas dessas três leis para resolvê-lo.
Vejamos então alguns exemplos.
3 Exemplos.
3.1 Exemplo 1. Vetores perpendiculares.
Figura 2.7: Representação geométrica da Lei dos senos.
e da correnteza seja 4,0 m/s. Qual será a velocidade resultante do barco nesse rio?[1]
Bom, nesse caso, as velocidades tem que serem somadas. E para isso, basta usar o método geométrico. Veja a Figura 3.2. A direção e o sentido do vetor soma ~vs= ~vb+~vcjá estão determinados, e só falta resolver a questão do módulo.
Mas, como o triângulo formado pela soma desses vetores é retângulo, para determinar o módulo do vetor soma, basta aplicar o Teorema de Pitágoras:
v2b+ v2c = v2s. Logo, vs2 = vb2+ vc2 ⇒pv2 s = q v2 b + vc2 ⇒ vs = q (3, 0m/s)2+ (4, 0m/s)2 = r 9, 0m 2 s2 + 16, 0 m2 s2 = r 25, 0m 2 s2 = 5, 0m s.
3.2 Exemplo 2.
Figura 3.2: Soma geométrica dos vetores velocidade do barco, ~vb e do rio, ~vr.
Perceba que nesse caso, esses dois vetores são perpendiculares, e o triângulo formado pela sua soma é retângulo.
Figura 3.4: Representação geométrica das Forças ~F1 e ~F2 e da sua soma ~F =
~ F1+ ~F2.
pelo método geométrico, que irá apontar direção e sentido. Veja na Figura 3.4. Para determinar o módulo, a lei dos cossenos deve ser aplicada, com uma leve modi cação, que será entendida mais adiante, no decorrer do curso de Matemática: F2= F12+ F22+ 2F1F2cos 60◦ ⇒√F2=qF2 1 + F22+ 2F1F2cos 60◦ ⇒F = s (3, 0N)2+ (5, 0N)2+ 2 (3, 0N) (5, 0N) 1 2 =p9, 0N2+ 25, 0N2+ 15, 0N2 =p49, 0N2 = 7, 0N.
