Capítulo 6: Transformações Lineares e Matrizes

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Livro: Introdução à Álgebra Linear

Autores: Abramo Hefez

Cecília de Souza Fernandez

Capítulo 6: Transformações Lineares e

Matrizes

Sumário

1 Matriz de uma Transformação Linear . . . 151 2 Operações com Transformações Lineares e

Ma-trizes . . . 158 3 Operadores Lineares em R2 _{e em R}3 _{. . . 163}

1. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 151 Neste capítulo, mostramos como associar matrizes a transformações line-ares, reduzindo as operações com transformações lineares a operações com matrizes, o que permite ganhar computabilidade.

1 Matriz de uma Transformação Linear

Nesta seção, veremos que se V e W são espaços vetoriais de dimensão nita, com bases xadas, então uma transformação linear T : V → W pode ser representada por uma matriz. A vantagem de uma tal representação é que muitos problemas associados às transformações lineares entre espaços de dimensão nita podem ser resolvidos com a teoria das matrizes, como veremos na próxima seção e nos capítulos a seguir.

Seja T : V →W uma transformação linear, em que dim V =n e dim W =m. Sejam α = {v1, v2, . . . , vn} e β = {w1, w2, . . . , wm} bases de V e W ,

respec-tivamente. Como β é uma base de W , podemos determinar de modo único números reais aij, com 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, tais que

T (vi) = a1iw1+ · · · + ajiwj + · · · + amiwm. (1)

Tomemos agora v em V . Temos que v = k1v1 + · · · + knvn, em que ki ∈ R

para 1 ≤ i ≤ n. Pela linearidade de T e por (1), segue que T (v) = k1T (v1) + · · · + knT (vn) = k1(a11w1+ · · · + am1wm) + · · · + kn(a1nw1 + · · · + amnwm) = (a11k1 + · · · + a1nkn)w1+ · · · + (am1k1 + · · · + amnkn)wm. Logo, [T (v)]β =    a11k1+ · · · + a1nkn ... am1k1+ · · · + amnkn    =    a11 · · · a1n ... ... am1 · · · amn       k1 ... kn   = [T ] α β · [v]α, (2)

onde denimos [T ]α_β =    a11 · · · a1n ... ... am1 · · · amn   . A matriz [T ]α

β, que representa T em relação às bases α e β, é chamada a

matriz de T nas bases α e β. Por (2), temos a expressão

[T (v)]β = [T ]αβ · [v]α para todo v em V . (3)

Observemos que [T ]α

β é uma matriz de ordem m × n tal que, para cada

1 ≤ i ≤ n, a i-ésima coluna de [T ]α

β é dada pelas coordenadas de T (vi) na

base β.

Exemplo 1. Sejam α = {(1, 1), (0, 2)} e β = {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 2, 0)}, bases de R2 _{e R}3_{, respectivamente. Calculemos [T ]}α

β, onde T : R2 → R3 é

dada por T (x, y) = (2x, x − y, 2y).

Como T é uma transformação linear de R2 _{em R}3_{, [T ]}α

β é uma matriz 3 × 2, digamos [T ]α_β =    a11 a12 a21 a22 a31 a32   .

Pelo que vimos, a11, a21 e a31 são as coordenadas de T (1, 1) na base β e

a12, a22 e a32 são as coordenadas de T (0, 2) na base β. Ou seja,

T (1, 1) = (2, 0, 2) = a11(1, 0, 1) + a21(0, 1, 0) + a31(1, 2, 0) e T (0, 2) = (0, −2, 4) = a12(1, 0, 1) + a22(0, 1, 0) + a32(1, 2, 0). Equivalentemente,          a11+ a31= 2 a21+ 2a31= 0 a11= 2 e          a12+ a32= 0 a22+ 2a32= −2 a12= 4 .

1. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 153 Resolvendo os sistemas lineares acima, obtemos

a11 = 2, a21= 0, a31 = 0, a12= 4, a22 = 6 e a32= −4. Portanto, [T ]α_β =    2 4 0 6 0 −4   .

No exemplo anterior, determinamos [T ]α

β a partir da transformação linear

T. No próximo exemplo, vamos considerar o problema inverso: dada a matriz [T ]α

β, determinar T a partir desta matriz.

Exemplo 2. Sejam α e β as bases dadas no Exemplo 1. Determine a transformação linear T : R2 _{→ R}3 _{tal que}

[T ]α_β =    1 0 1 2 0 1   .

Para determinar T usaremos a expressão (3). Assim, computemos inici-almente [v]α. Ora, se (x, y) ∈ R2, então (x, y) = x(1, 1) + y − x 2  (0, 2), o que nos dá [(x, y)]α=   x y − x 2  . Portanto, [T (x, y)]β =    1 0 1 2 0 1      x y − x 2  =     x y y − x 2     e, consequentemente,

T (x, y) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 0) + y − x 2  (1, 2, 0) = y + x 2 , 2y − x, x  .

O Exemplo 2 pode ser resolvido por um outro método. De fato, sabemos que, na base β, a primeira coluna de [T ]α

β nos dá as coordenadas de T (1, 1)

e a segunda coluna nos dá as coordenadas de T (0, 2). Assim,

T (1, 1) = 1(1, 0, 1) + 1(0, 1, 0) + 0 · (1, 2, 0) = (1, 1, 1) e

T (0, 2) = 0 · (1, 0, 1) + 2(0, 1, 0) + 1(1, 2, 0) = (1, 4, 0). Para (x, y) ∈ R2 arbitrário, temos

(x, y) = x(1, 1) + y − x 2

 (0, 2). Agora, pela linearidade de T , segue que

T (x, y) = x(1, 1, 1) + y − x 2  (1, 4, 0) = y + x 2 , 2y − x, x  , como encontrado anteriormente.

Quando a transformação linear for de um espaço vetorial V nele mesmo, ela será chamada de operador em V .

Exemplo 3. Consideremos o operador identidade em um espaço vetorial V ; isto é, o operador denido por IV(v) = v para todo v ∈ V .

Tem-se que [IV]αα é a matriz identidade de ordem n. De fato, para cada

1 ≤ j ≤ n, a j-ésima coluna de [IV]αα é dada pelas coordenadas de IV(vj) na

base α. Mas, para cada 1 ≤ j ≤ n,

1. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 155 o que implica que [IV]αα é a matriz identidade de ordem n:

[IV]αα =            1 · · · 0 · · · 0 0 0 0 ... ... ... 0 · · · 1 · · · 0 ... ... ... 0 · · · 0 · · · 1            . ↑ ↑ ↑

coordenadas coordenadas coordenadas de IV(v1) de IV(vj) de IV(vn)

na base α na base α na base α

Seja T : V → W uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão nita. Vimos que, uma vez xadas bases α e β de V e W , res-pectivamente, existe uma única matriz [T ]α

β que representa T nessas bases.

Uma pergunta natural é o que ocorre com a matriz [T ]α

β se diferentes bases

são escolhidas. Consideremos a transformação linear dada no Exemplo 1. Se α e β são as bases canônicas de R2 _{e R}3_{, respectivamente, então}

[T ]α_β =    2 0 1 −1 0 2   .

Assim, podemos ter matrizes diferentes representando uma mesma trans-formação linear. Isto deixa bastante claro que, embora uma transtrans-formação linear T : V → W não dependa de bases particulares escolhidas para V e W , a matriz associada depende dessas bases.

Terminamos esta seção observando que escolhidas bases quaisquer α e β de Rn _{e R}m_{, respectivamente, uma matriz A ∈ M(m, n) dene uma}

trans-formação linear T : Rn

→ Rm _{como segue:}

Mais ainda, tem-se que [T ]α

β = A(veja Problema 1.2).

Em particular, se α e β são as bases canônicas de Rn e Rm,

respectiva-mente, então a transformação linear T é chamada transformação multiplica-ção por A, sendo representada por TA.

Exemplo 4. Seja A = [aij] uma matriz de ordem m × n. Temos que

TA(x1, . . . , xn) =       a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... am1 am2 . . . amn             x1 x2 ... xn       =       a11x1+ a12x2+ · · · + a1nxn a21x1+ a22x2+ · · · + a2nxn ... am1x1+ am2x2+ · · · + amnxn       = x1w1+ x2w2+ · · · + xnwn,

onde w1, . . . , wn são os vetores colunas da matriz A.

Assim, temos que Im TA é o subespaço de Rm gerado pelas colunas da

matriz A, chamado espaço coluna de A e denotado por C(A). Por outro lado, o núcleo Ker TA de TA é o conjunto solução Sh(A) do sistema linear

homogêneo AX = 0. Problemas

1.1 Dadas duas transformações lineares T, T0_{: V → W e bases α e β de V e}

W, respectivamente, mostre que se [T ]α β = [T

0_]α

β, então T = T 0_.

1.2* Sejam dados dois espaços vetoriais V e W de dimensões n e m, respec-tivamente. Seja α uma base de V e β uma base de W . Dada uma matriz A ∈ M(m, n), considere a função T : V → W denida por

1. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 157 Mostre que:

(a) T é uma transformação linear; (b) [T ]α

β = A.

1.3 Sejam A e B matrizes em M(m, n) e β uma base de um espaço vetorial V. Mostre que se A[v]β = B[v]β para todo v ∈ V , então A = B.

1.4* Sejam T : Rn_{→ R}m _{uma transformação linear e α e β bases de R}n _{e de}

Rm, respectivamente. Se r é o posto da matriz [T ]αβ, mostre que

dim Im T = r e dim Ker T = n − r.

1.5 Dadas as bases α = {(1, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1)} de R3 e β = {(1, 2), (0, 1)}

de R2, ache a transformação linear T : R3 _{→ R}2 tal que

[T ]α_β = " 1 0 2 −1 −1 1 # .

1.6 Dado o operador linear T : R3 _{→ R}3, T (x, y, z) = (x−y, y −x, x−z),

en-contre [T ]α

β, onde α é a base canônica de R3 e β = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)}.

1.7 Seja T : R3 _{→ R}3 _{a multiplicação pela matriz}

   1 3 4 3 4 7 −2 2 0   .

(a) Mostre que Ker T é uma reta que passa pela origem e encontre as equações paramétricas desta reta.

(b) Mostre que Im T é um plano que passa pela origem e encontre a equação cartesiana deste plano.

1.8 Dado o operador linear T (x, y, z) = (x − 2y + z, −x + 4y − 2z, x) em R3_,

que [T ]α_β =    1 0 0 0 0 0 0 0 1   .

1.9 Seja T : R[x]2 → R[x]2 a transformação linear T (p(x)) = p(2x + 1)

(veja Exemplo 6, Seção 1, Capítulo 5). Encontre [T ]β

β em relação à base

β = {1, x, x2_}.

1.10 Suponha que V e W tenham dimensão nita. Mostre a matriz, em quaisquer bases de V e de W , da transformação nula 0: V → W é a matriz nula.

1.11 Seja α = {v1, v2, v3, v4} uma base de um espaço vetorial V . Encontre a

matriz [T ]α

α da transformação linear T : V → V denida por

T (v1) = v2, T (v2) = v3, T (v3) = v4 e T (v4) = v1.

1.12 Seja T : R2 _{→ M(2, 2)a transformação linear denida por}

[T ]α_β =      1 −2 −1 0 2 1 1 −1      ,

onde α e β são as bases canônicas de R2 _{e M(2, 2), respectivamente.}

(a) Determine os vetores v ∈ R2 _{tais que T (v) = I} 2;

(b) Determine T (3, −1).

2 Operações com Transformações Lineares e

Ma-trizes

Sejam T e T0_{transformações lineares de V em W . Sejam α = {v}

1, . . . , vn}

e β = {w1, . . . , wm} bases de V em W , respectivamente. Estamos

interessa-dos em vericar se existe alguma relação entre as matrizes [T + T0_]α β, [T ]

α β e

2. OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES159

[T0]α

β. Notemos que se 1 ≤ j ≤ n, então

[(T + T0)(vj)]β = [T (vj) + T0(vj)]β = [T (vj)]β+ [T0(vj)]β,

mostrando que a j-ésima coluna de [T + T0_]α

β é a soma da j-ésima coluna de

[T ]α_β com a j-ésima coluna de [T ]α_β. Demonstramos assim o seguinte resultado: Proposição 6.2.1. Sejam T e T0 _{transformações lineares de V em W , onde}

V e W são espaços vetoriais de dimensão nita. Se α e β são bases de V e W, respectivamente, então

[T + T0]α_β = [T ]α_β + [T0]α_β.

Deixamos como exercício para o leitor (veja Problema 2.3) demonstrar a próxima proposição, que é um resultado análogo ao anterior para a multipli-cação por escalar de transformações lineares.

Proposição 6.2.2. Seja T : V → W uma transformação linear, onde V e W são espaços vetoriais de dimensão nita. Se α e β são bases de V e W , respectivamente, então

[kT ]α_β = k[T ]α_β, onde k é um número real arbitrário.

Decorre, das duas proposições acima, que [T +kT0

]α_β = [T ]α_β+k[T0]α_β, o que mostra, em virtude dos Problemas 1.1 e 1.2, da Seção 1, que dados espaços vetoriais V e W , de dimensões respectivamente, n e m, e xadas bases α de V e β de W , a aplicação

L(V, W ) → M(m, n) T 7→ [T ]α_β

é um isomorsmo de espaços vetoriais. Portanto, temos que dim L(V, W ) = dim M(m, n) = nm.

No próximo resultado veremos que a composta de duas transformações lineares pode ser representada por um produto de matrizes. Esta é uma das principais razões da importância do estudo de matrizes.

Proposição 6.2.3. Sejam T : V → W e S : W → U transformações lineares, em que V, W e U são espaços vetoriais de dimensão nita. Se α, β e γ são bases de V, W e U, respectivamente, então

[S ◦ T ]α_γ = [S]β_γ· [T ]α

β. (1)

Demonstração Consideremos α = {v1, . . . , vn}. Denotemos por Cj(M ) a

j-ésima coluna de uma matriz M arbitrária. Se A e B são matrizes para as quais a matriz AB está denida, segue da denição de produto que

Cj(AB) = A · Cj(B). (2)

Para demonstrar (1) basta provar que, para cada j, com 1 ≤ j ≤ n, tem-se que Cj([S ◦ T ]αγ) = Cj([S]βγ · [T ]αβ). Ora, xe um índice j. De (2), segue que

Cj([S]βγ· [T ] α β) = [S] β γ· Cj([T ]αβ) = [S] β γ· [T (vj)]β.

Por outro lado, de (3), da Seção 1, segue que

Cj([S ◦ T ]αγ) = [(S ◦ T )(vj)]γ = [S(T (vj))]γ = [S]βγ· [T (vj)]β,

o que prova o desejado.  Exemplo 1. Sejam T : R2

→ R3 _{e S : R}3

→ R2 _{transformações lineares}

cujas matrizes são

[T ]α_β =    1 0 2 1 −1 1    e [S] β γ = " 1 0 1 0 0 1 # , sendo α = {(1, 0), (1, 1)}, β = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, 1)} e γ = {(1, 0), (0, 2)}. Vamos encontrar a transformação linear S ◦ T .

Para determinarmos S ◦ T , vamos primeiramente determinar [S ◦ T ]α γ. Pela Proposição 6.2.3, [S ◦ T ]α_γ = " 1 0 1 0 0 1 #    1 0 2 1 −1 1   = " 0 1 −1 1 # .

2. OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES161 Agora por (3), da Seção 1, temos que, para qualquer (x, y) ∈ R2,

[(S ◦ T )(x, y)]γ = " 0 1 −1 1 # [(x, y)]α = " 0 1 −1 1 # " x − y y # = " y 2y − x # e, consequentemente,

(S ◦ T )(x, y) = y(1, 0) + (2y − x)(0, 2) = (y, 4y − 2x).

Vimos que se T é uma transformação linear bijetiva, T−1 _{é também uma}

transformação linear. O resultado a seguir, que é uma consequência da Pro-posição 6.2.3, nos apresenta uma relação entre as matrizes que representam T e T−1, quando xadas bases do domínio e do contradomínio de T .

Teorema 6.2.4. Seja T : V → W um isomorsmo, onde V e W são espaços vetoriais de dimensão nita. Se α é uma base de V e β é uma base de W , então

[T−1]β_α = ([T ]α_β)−1.

Demonstração Como T−1 _{é a inversa de T , temos que T}−1_{◦ T é a função}

identidade em V , ou seja, T−1◦ T = IV . Pela Proposição 6.2.3, [IV]αα = [T −1_{◦ T ]}α α = [T −1 ]β_α· [T ]α β. (3)

Se dim V = n, pelo Exemplo 3, da Seção 1, temos que [IV]αα é a matriz

identidade de ordem n. Assim, de (3), segue-se que [T ]α

β é invertível e sua

inversa é a matriz [T−1_]β

α. 

Corolário 6.2.5. Seja T : V → W uma transformação linear, onde V e W são espaços vetoriais de mesma dimensão nita. Sejam α e β bases de V

e W , respectivamente. Temos que T é invertível se, e somente se, a matriz [T ]α

β é invertível.

Demonstração Uma implicação resulta de (3). A outra, do fato que a transformação linear L(V, W ) → M(n, n), onde n = dim V = dim W , é sobrejetora e transforma composição de transformações lineares em produtos de matrizes.

 Exemplo 2. Seja T : R2 _{→ R}2 _{a transformação linear dada por T (x, y) =}

(4x − 3y, −2x + 2y). Vamos vericar que T é invertível e vamos encontrar T−1.

Para vericarmos que T é invertível, podemos calcular Ker T e usar a Proposição 5.2.4, ou, ainda, podemos calcular [T ]α

α, onde α é uma base

qual-quer de R2_{, e usar o Corolário 6.2.5. Vamos aqui optar pelo segundo método.}

Ora, se α é a base canônica de R2_{, então}

[T ]α_α = " 4 −3 −2 2 # .

Utilizando a técnica exposta logo após a Proposição 2.1.7, podemos vericar que a matriz acima é invertível e a sua inversa é a matriz

" 1 3/2 1 2

# .

Portanto, devido ao Teorema 6.2.4, temos que

[T−1]α_α = ([T ]α_α)−1 = " 1 3/2 1 2 # .

A transformação linear T−1 _{é, então, determinada usando a fórmula (3) da}

Seção 1, como segue:

[T−1(x, y)]α = [T−1]αα [(x, y)]α= " 1 3/2 1 2 # " x y # = " x +3₂y x + 2y # ,

3. OPERADORES LINEARES EM R2 _{E EM R}3 ₁₆₃ o que fornece T−1(x, y) = (x +3 2y, x + 2y). Problemas 2.1 Sejam A =    1 0 1 0 2 −1 0 0 1    e B =    1 1 −1 0 0 1 −1 2 0   . Determine a transformação linear T : R3 _{→ R}3 tal que T

A= TB◦ T. 2.2 Considere as matrizes A =    1 2 0 1 1 −1    e B =    1 1 1 −1 0 0 1 2 1   . Determine:

(a) Ker TA; (b) Im TA; (c) Ker TB;

(d) Im TB; (e) Ker(TB◦ TA); (f) Im(TB◦ TA).

2.3 Prove a Proposição 6.2.2.

3 Operadores Lineares em R

e em R

Dentre os operadores lineares mais importantes em R2 _{e em R}3 _{estão os}

que produzem reexões, projeções e rotações. A seguir, passamos a estudar alguns destes operadores.

Reexões Consideremos o operador linear T : R2 _{→ R}2_{, chamado de}

ree-xão em torno do eixo Ox, que transforma cada vetor v = (x, y) ∈ R2 _{em sua}

imagem simétrica em relação ao eixo Ox._{Figura 10}

Se escrevermos w = T (v) = (w1, w2), obtemos as equações

Assim, se α denota a base canônica de R2_{, segue que} [T (v)]α = " 1 0 0 −1 # [v]α.

Em geral, os operadores lineares de R2 _{ou de R}3 _{que levam cada vetor em}

seu simétrico em relação a alguma reta ou plano são chamados de reexões. Abaixo, apresentamos algumas das reexões mais comuns em R2 _{e R}3_.

3. OPERADORES LINEARES EM R2 _{E EM R}3 ₁₆₅

Operador Equações Matriz [T ]α α Reexão em torno do eixo Oy ( w1 = −x w2 = y " −1 0 0 1 # Reexão em torno da reta y = x ( w1 = y w2 = x " 0 1 1 0 # Reexão em torno do plano xOy      w1 = x w2 = y w3 = −z    1 0 0 0 1 0 0 0 −1    Reexão em torno do plano yOz      w1 = −x w2 = y w3 = z    −1 0 0 0 1 0 0 0 1    Reexão em torno do plano xOz      w1 = x w2 = −y w3 = z    1 0 0 0 −1 0 0 0 1   

Projeções Consideremos o operador linear T : R2 _{→ R}2 que transforma

cada vetor v = (x, y) ∈ R2 em sua projeção ortogonal sobre o eixo Ox

(Figura 11). Se escrevermos w = T (v) = (w1, w2), obteremos as equações

w1 = x = 1x + 0y, w2 = 0 = 0x + 0y.

Assim, se α denota a base canônica de R2_{, temos}

[T (v)]α = " 1 0 0 0 # [v]α. Figura 11

Em geral, uma projeção (ou, mais precisamente, uma projeção ortogonal) de R2 _{ou R}3 _{é um operador linear que transforma cada vetor em sua projeção}

ortogonal sobre alguma reta ou algum plano que passa pela origem. A seguir, apresentamos algumas das projeções mais comuns.

Operador Equações Matriz [T ]α α Projeção sobre o eixo Oy ( w1 = 0 w2 = y " 0 0 0 1 # Projeção sobre o plano xOy      w1 = x w2 = y w3 = 0    1 0 0 0 1 0 0 0 0    Projeção sobre o plano yOz      w1 = 0 w2 = y w3 = z    0 0 0 0 1 0 0 0 1    Projeção sobre o plano xOz      w1 = x w2 = 0 w3 = z    1 0 0 0 0 0 0 0 1   

Rotações Consideremos o operador linear T : R2 _{→ R}2 que gira cada vetor

v = (x, y) ∈ R2 de um ângulo xado θ (Figura 12). T é chamado de rotação

por θ em R2.

3. OPERADORES LINEARES EM R2 _{E EM R}3 ₁₆₇

Se escrevermos w = T (v) = (w1, w2), segue da trigonometria que

x = r cos φ, y = r sen φ (1) e

w1 = r cos(θ + φ), w2 = r sen(θ + φ), (2)

onde r denota o comprimento de v e φ denota o ângulo entre v e o eixo Ox positivo no sentido anti-horário. Aplicando identidades trigonométricas em (2), temos

(

w1 = r cos θ cos φ − r sen θ sen φ

w2 = r sen θ cos φ + r cos θ sen φ.

Substituindo (1) nas expressões acima, obtemos as equações (

w1 = x cos θ − y sen θ

w2 = x sen θ + y cos θ.

(3)

Assim, se α denota a base canônica de R2_{, obtemos}

[T (v)]α = " cos θ − sen θ sen θ cos θ # [v]α.

Em geral, uma rotação de vetores em R3 _{é feita em relação a uma reta}

partindo da origem, chamada eixo de rotação. À medida que um vetor gira em torno do eixo de rotação, ele varre uma porção de um cone (Figura 13).

O ângulo de rotação, que é medido na base do cone, é descrito no sentido horário ou anti-horário em relação a um ponto de vista ao longo do eixo de rotação olhando para a origem. Por exemplo, na Figura 13, o vetor T (v) resulta da rotação no sentido anti-horário do vetor v em torno do eixo Ox por um ângulo θ. Assim como em R2, os ângulos são positivos se gerados

por rotações no sentido anti-horário e negativos se gerados por rotações no sentido horário.

Figura 13

Na tabela a seguir, apresentamos as rotações em R3 _{cujos eixos de rotação}

3. OPERADORES LINEARES EM R2 _{E EM R}3 ₁₆₉

Operador Equações Matriz [T ]α α Rotação anti-horária em torno do eixo Ox por um ângulo θ      w1 = x w2 = y cos θ − z sen θ w3 = y sen θ + z cos θ    1 0 0 0 cos θ − sen θ 0 sen θ cos θ    Rotação anti-horária em torno do eixo Oy por um ângulo θ      w1 = x cos θ + z sen θ w2 = y w3 = −x sen θ + z cos θ    cos θ 0 sen θ 0 1 0 − sen θ 0 cos θ    Rotação anti-horária em torno do eixo Oz por um ângulo θ      w1 = x cos θ − y sen θ w2 = x sen θ + y cos θ w3 = z    cos θ − sen θ 0 sen θ cos θ 0 0 0 1   

Para cada uma das rotações na tabela acima, uma das componentes do vetor permanece inalterada durante a rotação e a relação entre as duas outras componentes pode ser deduzida da mesma forma que deduzimos (3).

Sabemos que a multiplicação por escalar de um vetor em R2 e em R3,

de-pendendo do valor do escalar, produz no vetor uma dilatação, contração ou inversão. Podemos representar estes efeitos geométricos por meio de opera-dores lineares. De fato, o operador linear Ta: R2 → R2, dado por Ta(v) = av,

em que a ∈ R e v ∈ R2, dilata v, se a ≥ 1; contrai v, se 0 ≤ a < 1; inverte

o sentido de v, se a < 0. No caso particular de a = −1, o operador Ta é

chamado reexão em torno da origem. O que acabamos de ver vale também para R3 (Figura 14).

Figura 14

Exemplo 1. Determinemos se T1 ◦ T2 = T2 ◦ T1, onde T1: R2 → R2 é a

projeção ortogonal sobre o eixo Ox e T2: R2 → R2 é a projeção ortogonal

sobre o eixo Oy.

Como vimos na Seção 2, compor transformações lineares é equivalente a multiplicar as matrizes que representam estas transformações. Seja α a base

canônica de R2_{. Como} [T1]αα = " 1 0 0 0 # e [T2]αα = " 0 0 0 1 # , segue que T1◦ T2 é dada pelo produto

" 1 0 0 0 # " 0 0 0 1 # = " 0 0 0 0 # (4)

e que T2◦ T1 é dada pelo produto

" 0 0 0 1 # " 1 0 0 0 # = " 0 0 0 0 # . (5)

De (4) e (5), obtemos que T1 ◦ T2 e T2 ◦ T1 são o operador nulo em R2.

Portanto, T1◦ T2 = T2◦ T1.

Problemas

3.1* Encontre a matriz na base canônica para a composição de uma rotação de 90◦ _{seguida de uma reexão em torno da reta y = x, em R}2_.

3.2* Determine a inversa do operador linear em R3 _{dado por uma reexão}

em torno do plano xOy. 3.3 Sejam T : R2

→ R2 _{a reexão em torno do eixo Oy e S : R}2

→ R2 _a

4. MUDANÇA DE BASE E MATRIZES SEMELHANTES 171 3.4 Sejam T : R2 _{→ R}2 a reexão em torno da reta y = x e S : R2 _{→ R}2 a

projeção ortogonal sobre o eixo Oy. Mostre que S ◦ T 6= T ◦ S.

3.5 Mostre que se T : R3 _{→ R}3 _{é uma projeção ortogonal sobre um dos eixos}

coordenados, então os vetores T (v) e v − T (v) são ortogonais, para cada v em R3_.

3.6 Seja T : R3 _{→ R}3 _{a projeção ortogonal sobre o plano xOy. Mostre que}

uma reta ortogonal ao plano xOy é levada por T a um mesmo ponto deste plano.

3.7 Determine a matriz na base canônica de T : R2 _{→ R}2_{, em que}

(a) T dilata os vetores de R2 _{por 3, em seguida reete estes vetores em torno}

da reta y = x e depois projeta estes vetores ortogonalmente sobre o eixo Oy; (b) T contrai os vetores de R2 por 1

2, em seguida gira estes vetores pelo ângulo π

4 e depois reete estes vetores em torno do eixo Ox.

4 Mudança de Base e Matrizes Semelhantes

Um problema comum no estudo de espaços vetoriais de dimensão nita é conhecer as relações entre as coordenadas de um vetor em diferentes bases. Como a noção de base é a generalização para espaços vetoriais arbitrários da noção de sistemas de coordenadas em R2 e R3, mudar de base é análogo a

mudar de eixos coordenados em R2 ou R3.

Dado um espaço vetorial V arbitrário de dimensão nita e duas bases α e β de V , podemos obter uma relação entre as matrizes [v]α e [v]β de um vetor

v em V , usando, para isto, o operador identidade em V .

Com efeito, pela expressão (3) da Seção 1, para todo v ∈ V , temos que [v]β = [IV]αβ· [v]α. (1)

A matriz [IV]αβ é chamada matriz mudança de base de α para β, pois, pela

igualdade (1), ela nos permite obter as coordenadas de um vetor v em V em relação à base β uma vez conhecidas suas coordenadas na base α.

Exemplo 1. Considerando a base canônica α de R2 e a outra base β = {(1, 1), (1, 2)}, temos que [I_R2]α_β = " a1 b1 a2 b2 # ,

onde a1, a2, b1, b2 são números reais satisfazendo o sistema de equações

     (1, 0) = a1(1, 1) + a2(1, 2) (0, 1) = b1(1, 1) + b2(1, 2).

Resolvendo as equações acima, obtemos a1 = 2, a2 = −1, b1 = −1 e

b2 = 1. Portanto, [I_R2]α_β = " 2 −1 −1 1 # . Seja agora v = (x, y) em R2_{. Se} [v]β = " x0 y0 # , então _" x0 y0 # = " 2 −1 −1 1 # " x y # , o que garante que

x0 = 2x − y e y0 = −x + y são as coordenadas de v na base β. Ou seja,

(x, y) = (2x − y)(1, 1) + (−x + y)(1, 2).

A Figura 15 ilustra como a determinação do par (2,3) em R2 _{depende da}

4. MUDANÇA DE BASE E MATRIZES SEMELHANTES 173

Figura 15

O próximo resultado mostra que uma matriz mudança de base é invertível e que sua inversa também é uma matriz mudança de base.

Teorema 6.4.1. Sejam α e β duas bases de um espaço de dimensão nita V. Temos que a matriz [IV]αβ é invertível e sua inversa é a matriz [IV]βα. Ou

seja,

([IV]αβ) −1

= [IV]βα.

Demonstração Como IV é um isomorsmo e I−1V = IV, o resultado segue

do Teorema 6.2.4. 

Sejam α e β duas bases de um espaço vetorial de dimensão nita V e T um operador linear em V . Com as matrizes mudança de base podemos obter uma relação entre as matrizes [T ]α

α e [T ] β

β. De fato, como T = IV ◦T ◦ IV,

segue, da Proposição 6.2.3, que

[T ]α_α = [IV ◦T ◦ TV]αα = [IV]βα· [T ] β β · [IV] α β, ou seja [T ]α_α = [IV]βα· [T ] β β· [IV]αβ. (2)

No entanto, pelo Teorema 6.4.1, temos que [IV]βα é a inversa de [IV]αβ. Assim,

se denotarmos [IV]αβ por P , a equação (2) pode ser reescrita como

Com isto, demonstramos o seguinte resultado:

Teorema 6.4.2. Sejam α e β duas bases de um espaço vetorial de dimensão nita V . Se T é um operador linear em V , então

[T ]α_α = P−1· [T ]β_β· P, (3) onde P = [IV]αβ.

A relação dada na expressão (3) é de tal importância que existe uma ter-minologia associada a ela. Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Dizemos que B é semelhante a A, quando existir uma matriz invertível P tal que B = P−1_{A P. É fácil vericar que se uma matriz B é semelhante a uma}

matriz A, então A também é semelhante a B. Assim, dizemos simplesmente que A e B são semelhantes. Por (3), temos que [T ]α

α e [T ] β

β são semelhantes.

Exemplo 2. Para vericar se as matrizes

A = " 5 2 −8 −3 # e B = " 1 2 0 1 #

são semelhantes, devemos encontrar uma matriz invertível P tal que P A = BP.

Se tal matriz P existir, ela necessariamente é uma matriz quadrada de ordem 2; digamos P = " x y z t # . Assim, " x y z t # " 5 2 −8 −3 # = " 1 2 0 1 # " x y z t # , o que é equivalente ao sistema linear homogêneo

     4x − 8y − 2z = 0 2x − 4y − 2t = 0 4z − 8t = 0,

4. MUDANÇA DE BASE E MATRIZES SEMELHANTES 175 que admite a solução não trivial (3, 1, 2, 1). Portanto, obtemos a matriz invertível P = " 3 1 2 1 # , que satisfaz A = P−1_BP. Problemas

4.1 Sejam dadas as bases de R2

α = {(1, 1), (0, 2)}, β = {(1, 2), (2, 1)} e γ = {(1, 0), (0, 1)}. (a) Determine  IR2 α β,  IR2 α γ,  IR2 γ β.

(b) Se v = (4, −1), encontre [v]β usando uma matriz mudança de base.

4.2 Se  IR2 α β = " −1 2 4 −11 # e β = {(3, 5), (1, 2)}, encontre a base α. 4.3 Determine  IR3 β α, sabendo que  I_R3 α β =    0 1 0 1 1 0 1 1 1   . 4.4 Encontre três matrizes semelhantes à matriz

" 1 1 −1 2 #

. 4.5 Mostre que não são semelhantes as matrizes

" 3 1 −6 −2 # e " −1 2 1 0 # . 4.6 Sejam A e B matrizes semelhantes. Prove que: (a) At _{e B}t _{são semelhantes;}

4.7 Mostre que a semelhança de matrizes é uma relação de equivalência, ou seja: (i) A é semelhante a A; (ii) se A é semelhante a B, então B é semelhante a A; (iii) se A é semelhante a B e B a C, então A é semelhante a C.

4.8* Seja A = (aij) uma matriz quadrada de ordem n. Dene-se o traço de

A como

tr A = a11+ · · · + ann.

a) Mostre que tr: M(n, n) → R é um funcional linear. b) Se A, B ∈ M(n, n), mostre que

tr AB = tr BA.

c) Seja T : V → V um operador linear, onde V é um espaço n-dimensional, e seja α uma base de V . Dena tr T = tr[T ]α

α. Mostre que esta denição

independe da base de V escolhida; ou seja, se β é uma outra base de V , então tr[T ]α

α = tr[T ] β

β. Conclua que assim temos bem denido um funcional linear

Bibliograa

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