ÁLGEBRA. Aula 4 _ Classificação das Funções Professor Luciano Nóbrega. Maria Auxiliadora

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Aula 4 _ Classificação das Funções

Professor Luciano Nóbrega

Maria Auxiliadora

FUNÇÃO INJETORA

É quando quaisquer dois elementos diferentes

do conjunto A têm imagens diferentes no

conjunto B.

A

B

FUNÇÃO SOBREJETORA

É quando o conjunto Imagem da função for

igual ao conjunto contradomínio. ( Im = CD )

-1 1 3

1 9

Se M é o conjunto das mulheres e H é o conjunto dos homens, então não se pode ter homem

solteiro !!!

M

_H

FUNÇÃO BIJETORA

É uma função simultaneamente injetora e

sobrejetora.

M

H

Sobrejetora: NÃO

SOBRAM elementos no contra domínio.

Testando seus conhecimentos

1º) Classifique as funções como bijetora,

sobrejetora, injetora ou ainda nenhuma delas:

é injetora é sobrejetora

a)

_b)

é bijetora

não é sobrejetora, nem injetora

c)

_d)

1º) Classifique as funções como bijetora,

2º) (UFRN) Seja B o conjunto formado por todos os brasileiros e R o conjunto dos números reais. Se f: B → R é a função que

associa a cada brasileiro sua altura, medida em centímetros, então f :

a) é injetora e não é sobrejetora. b) é injetora e é sobrejetora.

c) não é injetora e é sobrejetora.

d) não é injetora e não é sobrejetora.

Eu Thiago Mailson Francisli Claúdia Dennys 1,73 -2 1,75 10 1,70 -2,3 1,61 0 √2

_π

B

R

Existem brasileiros com a mesma altura, portanto , “ f ” não é injetora!

Sobram elementos no

conjunto contra domínio, portanto, “ f ” não é

sobrejetora!

Resp.

(d)

3º) (UFRN) Sejam E o conjunto formado por todas as escolas de ensino médio de Natal e P o conjunto formado pelos números que representam a quantidade de professores de cada escola do conjunto E. Se f: E → P é a função que a cada escola de E associa seu número de professores, então:

a) f é uma função sobrejetora.

b) f não pode ser uma função bijetora. c) f não pode ser uma função injetora.

d) f é necessariamente uma função injetora.

IFRN “Empregad”éstica Maris”bela” Flo”foca” Over”dopping” Conte”râneo” 23 10 13 12 14

E

_P

(a)

x y

D R

f(x)

f -1_(x)

FUNÇÃO INVERSA:

A idéia agora é entender que y = f(x) e seguir o seguinte procedimento:

1º) Isola “x”;

2º) Troca “x” por “y” e vice versa.

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O símbolo para a função inversa de f é f -1 e lê-se “função

inversa de f”.

O símbolo “–1” em f -1 _{não é um expoente;}

TESTE DA RETA HORIZONTAL

Uma função f tem inversa se e somente se o gráfico da mesma for cortado apenas uma vez por qualquer reta horizontal.

EXEMPLO: a função f(x) = x2 _{tem inversa ?}

reta horizontal x y ou f(x) y=x2 _ou f(x)=x2 2 -2 4 0

FUNÇÃO INVERSA:

Conclusão: a função f(x)=x2 _{não tem inversa.}

4º) (UFSE) Considere a função bijetora y = ( 3x – 1) : (x + 3), a expressão que define sua inversa é:

A) (x + 3) : ( 3x – 1) B) ( 3x + 1) : ( 3 – x) C) ( 2x – 1) : (x + 1) D) ( 3x – 1) : (x + 3) Vejamos: y = ( 3x – 1) : (x + 3) y = _3x – 1_ x + 3 1º) Isolando “x” ; _3x – 1_ = y x + 3 3x – 1 = y . (x + 3) 3x – 1 = y . x + 3.y 3x – y . x = 3.y + 1 Colocando x em evidência:

x .(3 – y) = 3.y + 1 x = _3.y + 1_ 3 – y 2º) Troca x por y. y = _3.x + 1_ = ( 3.x + 1) : ( 3 – x) 3 – x 11

FUNÇÃO PAR:

f(x) = f(-x)

FUNÇÃO ÍMPAR:

f(a) = - f(-a)

simétrica em relação ao eixo y.

Função ÍMPAR é simétrica em relação a origem.

y

x

y

x

5º) a) Verifique se f(x) = 2x³ +5x é par ou ímpar:

Primeiro vejamos que f(1) = 2.1³ + 5.1 = 7

Em seguida, vejamos f(-1) = 2.(-1)³ + 5.(-1) = -7 Logo f(x) = 2x³ +5x é ÍMPAR, pois f(x) = - f(-x)

ou seja, f(1) = - f(-1), pois 7 = - (-7)

b) Mostre que f(x) = 3x² é par:

Primeiro vejamos que f(1) = 3(1)² = 3 Em seguida, vejamos f(-1) = 3(-1)² = 3

Logo f(x) = x² é PAR, pois f(x) = f(-x) ou seja, f(1) = f(-1), pois 3 = 3

6º) Sendo o gráfico ao lado de f(x), o gráfico de f(– x) será : Resp.:E f(x) = f(-x) Lembre-se: Se Então a função “f” é par e ela é simétrica ao eixo “y”.

A função f é

crescente A função g édecrescente A função f écrescente A função g é_decrescente

a b g g(a) g(b) a _b f f(a) f(b) O a b f f(a) f(b) O a b g g(a) g(b)

Diz-se que f é crescente_f se para a < b, então f(a) < f(b).

FUNÇÃO CRESCENTE ou DECRESCENTE:

Diz-se que g é decrescente, se a < b então g(a) > g(b).

7º) A partir da análise do gráfico, determine os intervalos onde a função é:

y x -2 0 2 4 6 a) Decrescente

]0, 4[

_{]-∞ ; 0[ e ]4 ; +∞[}

Função Composta

Considere as funções f: A → B e g: B → C, então a

função h: A → C é a função composta g(f(x)), com x Є A.

A B C

x _{f(x) g(f(x))}

Ex: f(x) = x+2 e g(y) = y2_{, então h(x) = g(f(x)) = (x+2)}2 Se x = 3

Mais exemplos:

Sejam as funções f(x) = x2 _{– 1 e g(x) = 3x , calcule:}

a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x))

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS

1 – Qual dos gráficos representa uma função injetora?

2 – Ao analisar a função real f definida por f(x)=x²+4x-12,

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS

3 – Em cada gráfico, analise o intervalo de crescimento e de

decrescimento.

4 – Dadas as proposições:

p: Existem funções que não são pares nem ímpares.

q: O gráfico de uma função par é uma curva simétrica em relação ao eixo dos y.

r: Toda função de A em B é uma relação de A em B. t: O gráfico cartesiano da função y = x / x é uma reta. Podemos afirmar que são falsas:

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS

5 – (PUC-RS) Seja a função definida por f(x) = (2x - 3) / 5x. O

elemento do domínio de f que tem -2_/

5 como imagem é: a) 0 b) 2/5 c) -3 d) 3/4 e) 4/3

6 – A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1,

então podemos afirmar que f(1) é igual a: a) 2

b) -2 c) 0 d) 3 e) -3

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS

7 – (UFRJ) Considere a relação  de M em N, representada no diagrama abaixo. Para que  seja uma função de M em N, basta:

A) apagar a seta (1) e retirar o elemento s;

B) apagar a setas (1) e (4) e retirar o elemento k; C) apagar a seta (4) e retirar o elemento k;

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS

8 – (UNESP – SP) A unidade usual de medida para a energia contida nos

alimentos é kcal (quilocaloria). Uma fórmula aproximada para o consumo de energia (em kcal) para meninos entre 15 e 18 anos é dada pela função (h) = 17h, onde h indica a altura em cm e, para meninas nessa mesma faixa de idade, pela função g(h) = (15,3)h.

Paulo, usando a fórmula para meninos, calculou seu consumo diário de energia e obteve 2975 kcal. Sabendo-se que Paulo é 5 cm mais alto que sua namorada Carla (e que ambos têm idade entre 15 e 18 anos), o consumo diário de energia para Carla, de acordo com a fórmula, em kcal, é:

A) 2970. B) 2875. C) 2770. D) 2601.

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS

9 – (UFRN) Na figura abaixo, tem-se o gráfico de uma reta que representa a

quantidade, medida em m, de um medicamento que uma pessoa deve tomar em função de seu peso, dado em kgf, para tratamento de determinada infecção. O medicamento deverá ser aplicado em seis doses. Assim, uma pessoa que pesa 85kgf receberá em cada dose:

A) 7 m B) 9 m C) 8 m D) 10 m

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS

10 – (UFRN) Na tabela abaixo, X representa dias, contados a partir de uma

data fixa, e Y representa medições feitas em laboratório, nesses dias, para estudo de um fenômeno.

De acordo com a tabela, pode-se afirmar que as grandezas são:

A) diretamente proporcionais e relacionadas por uma função quadrática. B) inversamente proporcionais e relacionadas por uma função linear. C) diretamente proporcionais e relacionadas por uma função linear.

D) inversamente proporcionais e relacionadas por uma função quadrática.

X 1 5 20 100

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS

12 – (UFRN) Determine o valor da expressão

para a = – 1.      _          a 2 a 3 1 9 . a 2 a 3 1 2 5 3

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS

13 – Vimos que se uma função “ƒ” é bijetora então ela admite uma função inversa “ƒ -1_{”. Diante de duas funções, “ƒ” e “g”, podemos}

obter uma composição entre elas, ou seja, uma função h = ƒ(g(x)) ou j = g(ƒ(x)).

Dadas as funções ƒ(x) = 5x + 1 e g(x) = 6x – 4, resolva a equação ƒ -1_{(g(x)) = 0, seguindo o procedimento em cada item:}

a) Determine ƒ -1_(x);

b) Na função ƒ -1_{(x) obtida no item (a), substitua “x” por “g(x)”,}

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS

RELEMBRANDO:

Resolva os exercícios do livro: P.89 _ 4 P.95 _ 9 P.99 _ 10 P.100 _ 11 P.101 _ 14 e 15 P.107 _ 17 e 19 P.112 _ 23 e 25

OBS: Foram selecionados 10 exercícios de um total de 36 exercícios do referente capítulo do livro.

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