Soluções não homogêneas das equações de Ginzburg-Landau em antiferromagnetos dopados

Universidade Estadual de Campinas

Soluc~oes n~ao homog^eneas das equac~oes de

Ginzburg-Landau em antiferromagnetos dopados

por

Bruno Uchoa

Orientador: Prof. Dr. Guillermo Cabrera

Dissertac~ao submetida ao Instituto de Fsica \Gleb Wataghin"

para a obtenc~ao do ttulo de Mestre em Fsica.

Campinas, S~ao Paulo, Brasil

14

=

04

=

2000

Agradecimentos

Eu me sinto grato a todas as pessoas que de algum modo contriburam para o meu trabalho. Alguns de maneira bastante direta, sem os quais eu n~ao saberia muito bem o que fazer sempre que, por exemplo, o meu computador apresentava alguma pane. Outros tiveram grande paci^encia em discutir longamente comigo assuntos que poderiam trazer ideias novas para o meu problema. Devo lembrar especialmente a todos aqueles que conviveram cotidianamente comigo e que tornaram a minha vida mais confusa e menos monotona.

Agradeco tambem a Fundac~ao de Amparo a Pesquisa do Estado de S~ao Paulo (FAPESP) pelo suporte nanceiro concedido atraves do processo numero 98/01289-2, no perodo de abril de 1998 ate agora.

Resumo

Propomos um modelamento fenomenologico baseado na teoria de Landau que des-creve o comportamento termodin^amico das ondas de densidade de carga e spin nos planos antiferromagneticos dos oxidos de alta Tc dopados. Uma das ideias

correntes, reforcada por medidas recentes de espalhamento de neutrons, e que o excesso de cargas introduzido pela dopagem se acumula sobre esses planos, levando ao aparecimento de uma superestrutura de carga n~ao homog^enea e incomensuravel organizada em faixas. Partindo de argumentos de simetria, encontramos uma tran-sic~ao de comensurabilidade que separa a fase incompressvel de baixa temperatura, onde as faixas s~ao bem denidas, da fase de alta incomensurabilidade. O mode-lamento do problema com um par^ametro de ordem sobre magnetizac~ao alternada leva a uma distribuic~ao estatica de cargas na forma de multi-solitons fracamente interagentes, no limiar de baixa temperatura e dopagem. Nessa regi~ao do diagra-ma de fase, as cargas se segregam fortemente na parede de Neel entre os domnios antiferromagneticos, formando picos de concentrac~ao de carga cuja densidade e praticamente independente da dopagem. Em seguida, introduzimos um segundo par^ametro de ordem diretamente relacionado a concentrac~ao de cargas, na fase de alta temperatura. O aumento da temperatura delocaliza a distribuic~ao de impure-zas. A soluc~ao, neste caso, adquire o aspecto de uma modulac~ao suave e altamente incomensuravel, em acordo com as observac~oes experimentais.

Abstract

We propose a phenomenological model based on the Ginzburg-Landau theory of phase transitions, that describes the thermodynamic behavior of charge and spin density waves present in high-Tc doped antiferromagnets. One of the current ideas,

supported by recent neutron scattering measurements, is that doping introduces charge excess that accumulates on the antiferromagnetic Cu;O planes, leading

to a nonhomogeneous incommensurable phase of charged stripes. The Landau functional is constructed based on symmetry arguments, and we nd a stripe com-mensurability transition that separates the low temperature incompressible phase from the high incommensurable one. Modeling the problem with a single order parameter for the staggered magnetization, leads to a soliton-like static charge distribution in the regime of low doping and temperature. In this region of the phase diagram, the charge strongly segregates into the Neel walls that appear bet-ween antiferromagnetic domains, producing charge density peaks whose amplitude is almost independent on doping concentration. Next, we introduce a second order parameter directly related to the charge distribution in the high temperature phase. By raising the temperature one delocalize this distribution. The solution obtained in this case, describes a highly incommensurable soft modulation, in agreement with experimental observations.

Conteudo

Agradecimentos

3

Resumo

4

Abstract

5

1 Introduc~ao

11

2 A teoria de Landau

14

2.1 Introduc~ao . . . 14 2.1.1 O par^ametro de ordem . . . 16 2.2 O funcional de Landau . . . 17

2.2.1 Aproximac~ao de campo medio . . . 19

2.3 A func~ao de correlac~ao . . . 22

2.4 Os expoentes crticos . . . 24

2.4.1 Leis de escala . . . 25

2.5 O problema da inomogeneidade . . . 27

2.6 Discuss~ao sobre a validade da teoria de Ginzburg-Landau . . . 28

2.6.1 O criterio de Ginzburg . . . 30

3 Indicac~oes experimentais sobre a exist^encia das faixas

31

3.1 Introduc~ao . . . 31

3.2 Observac~oes experimentais . . . 33

3.2.1 Espalhamento de neutrons . . . 34

3.2.2 Evid^encias diretas das faixas de carga . . . 37

3.2.3 Propriedades de transporte e supercondutividade . . . 42 6

4 Aspectos formais da teoria

45

4.1 Grupos de simetria . . . 45 4.1.1 Espacos polinomiais . . . 47 4.1.2 A condic~ao de Landau . . . 48 4.1.3 Polin^omios invariantes de grau n num espaco de dimens~ao 2 48 4.2 O invariante de Lifshitz . . . 50

5 Fenomenologia das faixas segundo a teoria de Landau

52

5.1 Teoria de campo contnuo . . . 52 5.1.1 Aproximac~ao assintotica com um par^ametro de

ordem . . . 54 5.2 Formulac~ao com um segundo par^ametro de ordem . . . 66 5.2.1 Criticalidade das faixas . . . 67

Conclus~oes

71

Ap^endice

76

Lista de Figuras

3.1 A esquerda, picos de espalhamento de neutrons no espaco recproco de

uma amostra deLa 1:48 Nd 0:4 Sr 0:12 CuO

4. Os crculos solidos maiores

cor-respondem a picos de Bragg. Os crculos e diamantes corcor-respondem res-pectivamente aos picos observados na ordem magnetica e de carga. Os picos nas direc~oes transversas (quadrados e tri^angulos) n~ao s~ao observa-dos num mesmo plano [31]. A direita, a representac~ao pictorica das faixas de carga correspondente ao diagrama de espalhamento. . . 38 3.2 Diagrama de espalhamento de neutrons numa amostra deLa

2 NiO

4:125.

A posic~ao dos picos e representada com respeito a base (p

2a; p

2a;c)

do espaco real rodada em 45o _{no plano XY. O aparecimento do pico de}

carga na posic~ao (2;0;0) indica que as faixas se orientam diagonalmente

no cristal. [32] . . . 39 3.3 Depend^encia da intensidade e do esplitamento dos picos magneticos com

a temperatura no La 2

NiO

4:125. Os crculos vazios representam a

inten-sidade dos picos e os crculos cheios a inteninten-sidade integrada. Observa-se o aparecimento de alguns maximos locais de intensidade em posic~oes co-mensuraveis com a rede. [33] . . . 40 3.4 Representac~ao pictorica dos domnios antiferromagneticos sob uma

or-dem colinear de spins. As regi~oes mais escuras apresentam uma de-ci^encia de spin que indica a localizac~ao das faixas. [10] . . . 41 3.5 Padr~ao de espalhamento dos picos da ordem magnetica (esquerda) e de

carga (direita) noLa 1:48 Nd 0:4 Sr 0:12 CuO

4 sob diferentes regimes de

tem-peratura. A temperatura crtica da ordem de carga e claramente maior que a da ordem magnetica, indicando que as faixas resistem a aus^encia de magnetismo na amostra. Medidas subtradas do espalhamento de fundo. [34] . . . 41

3.6 Temperatura crtica de transic~ao supercondutora num composto dopado de La

2;x;y

NdySrxCuO 4;

y = 0:0 (crculos vazios) e y = 0:4 (crculos

cheios).[35] . . . 43 5.1 Soliton da densidade de carga (1;)(x) (curva solida) vs. u = x

calculada para U 2 = 1

:5 e U 2 = 0

:5, de cima para baixo. A curva

tracejada representa a distribuic~ao complementar (x). O alargamento

dos picos e provocado pela diverg^encia da escala  com o aumento da

temperatura. . . 64 5.2 Depend^encia ded (eixo vertical) com o par^ametroU

2. . . 65

Lista de Tabelas

2.1 Comparac~ao entre os expoentes crticos da teoria de Landau em campo medio e do modelo de Ising. Os valores do modelo 2D s~ao calculados

exatamente; no modelo 3D eles s~ao medidos em experi^encia. [16] . . . . 29

4.1 Caractersticas da enesima pot^encia simetrizada de uma representac~ao, comn= 2, 3, e 4. [23] . . . 48

Captulo 1

Introduc~ao

Durante algum tempo, houve grande controversia envolvendo o aparecimento de uma superestrutura totalmente nova nos planos de Cu;O dos cupretos

\high-Tc", detectadas a partir de intensa atividade experimental. A depend^encia

in-trnseca dessa estrutura com a dopagem e o tipo de quebra de simetria transla-cional que ela induz nos diagramas de espalhamento trouxe a hipotese de que se tratam de faixas de carga, imersas num antiferromagneto bidimensional formado pelos stios de Cu2+ (3d9). Por esse ponto de vista, as cargas representam clusters

quase-unidimensionais de buracos que quebram ligac~oes antiferromagneticas entre os spins. A minimizac~ao do numero total de quebras de singletos privilegia a for-mac~ao de fases macroscopicas de buracos e spins segregadas. A estabilizac~ao das faixas e atribuda a repuls~ao de longo alcance entre os buracos.

A grande motivac~ao de experimentais e teoricos em compreender a natureza das faixas se deve a expectativa de que elas possam introduzir algum fato novo que leve a coer^encia de fase supercondutora, observada nesses materiais a temperaturas surpreendentemente altas. Em outras palavras, acredita-se que as faixas sejam a chave do mecanismo supercondutor de alta temperatura.

Entretanto, varios aspectos a respeito das faixas continuam ainda obscuros. N~ao se tem notcia de um modelamento teorico que descreva o comportamento das modulac~oes de spin e de carga em termos das variaveis termodin^amicas. Um dos motivos, talvez o principal deles, e que nenhuma das teorias microscopicas conhecidas parece ser capaz de abranger a todos os elementos importantes da fsica desse problema, que envolve ao mesmo tempo fen^omenos de troca tipicamente

qu^anticos, numa escala microscopica, com interac~oes de longo alcance, trataveis no limite termodin^amico. O intervalo de estabilidade das faixas com a temperatura e tambem algo surpreendente. Sabe-se que em alguns materiais elas suportam temperaturas da ordem de 1000K sob uma dopagem de 10%, indicando um regime de criticalidade totalmente atpico.

O proposito deste trabalho e buscar uma descric~ao alternativa baseada numa teoria fenomenologica de fen^omenos crticos. Para isso, lancamos m~ao da teoria de Landau em uma aproximac~ao classica de campo molecular. Apesar das limi-tac~oes obvias de uma teoria de campo macroscopico sobre um sistema de natureza microscopica, ela apresenta algumas vantagens bastante signicativas. A primeira delas e a robustez e generalidade dessa teoria, que permite descrever uma varieda-de surpreenvarieda-dentemente granvarieda-de varieda-de sistemas perto da regi~ao crtica. A segunda e o forte apelo intuitivo que ela exerce e que permite uma boa descric~ao qualitativa da transic~ao de fase.

Esta dissertac~ao foi organizada da seguinte forma: o captulo 2 e uma intro-duc~ao a teoria de Landau, onde se discutem os seus pressupostos e limitac~oes como teoria de fen^omenos crticos. No captulo 3, ha uma exposic~ao sobre as ob-servac~oes experimentais que fundamentam a hipotese da exist^encia de stripes nos oxidos \high;Tc". Os experimentos mais conclusivos s~ao recentes, e se baseiam

na interpretac~ao de diagramas de espalhamento de neutrons lentos sobre amostras dopadas.

No captulo seguinte retomamos o assunto da teoria de Landau, enfocando a import^ancia das simetrias das fases sobre a forma da energia livre do sistema. No captulo 5, desenvolvemos os calculos da teoria aplicada ao problema das faixas.

No modelo com um par^ametro de ordem sobre a magnetizac~ao alternada, ob-tivemos uma express~ao analtica em aproximac~ao assintotica que descreve a mo-dulac~ao de spin e carga no regime estatico. A soluc~ao de campo encontrada se aplica muito bem ao regime de baixa incomensurabilidade em materiais do tipo

La2;x;yNdySrxCuO2, cuja dopagem com Nd inibe fortemente o aparecimento de

utuac~oes na fase de Neel. A depend^encia da dist^ancia de separac~ao entre os picos com a dopagem (do tipo d

1

) concorda perfeitamente com as observac~oes nessa

regi~ao, onde a temperatura e a dopagem s~ao moderadas ( < 0:12).

Na segunda parte do captulo, incorporamos um segundo par^ametro de ordem na teoria visando descrever a criticalidade das faixas (altas temperaturas). O

pecto da soluc~ao e uma modulac~ao de carga altamente incomensuravel, de onde conclumos que o sistema sofre uma transic~ao de comensurabilidade em um regime intermediario de temperatura.

Desenvolvemos as conclus~oes gerais no ultimo captulo da dissertac~ao, discutin-do os resultadiscutin-dos da teoria e as limitac~oes discutin-do tratamento de campo molecular no problema das faixas. A teoria de Landau e particularmente muito bem sucedida em materiais que exibem ferromagnetismo macroscopico. A estrutura helicoidal da parede de Bloch, que separa domnios ferromagneticos vizinhos, e totalmente analoga a parede de Neel do caso antiferromagnetico tratado a partir de um campo macroscopico classico. Por esse motivo, inclumos no ap^endice um artigo sobre o comportamento crtico da estrutura de domnios ferromagneticos em sistemas nitos, ilustrando a aplicac~ao da teoria de Landau num modelo de quarta ordem.

Captulo 2

A teoria de Landau

2.1 Introduc~ao

Embora seja grande a variedade de sistemas fsicos em que se observam comporta-mentos crticos, todos eles apresentam semelhancas notaveis perto da transic~ao de fase. O longo alcance das utuac~oes e a diverg^encia da medida de escala (hipotese de scaling), tpicos da criticalidade, fazem com que a fsica do problema independa de caractersticas microscopicas, mas de propriedades muito fundamentais e talvez por isso universais como a dimens~ao do sistema e as simetrias das fases.

A descric~ao macroscopica representa uma simplicac~ao surpreendentemente ro-busta para todas as classes de sistemas ate agora observados. Nesse sentido, o conceito de par^ametro de ordem e absolutamente central na formalizac~ao da teo-ria, uma vez que ele permite distinguir as fases entre si e, portanto, denir de algum modo a transic~ao propriamente dita. A grande maioria dos modelos se serve do ferramental da mec^anica estatstica para esse m. O par^ametro de ordem, como o criterio da transic~ao, e geralmente denido como uma variavel extensvel depen-dente das func~oes termodin^amicas usuais, como a entropia e a energia livre, mas tambem implicitamente das variaveis inextensveis como press~ao e temperatura.

Neste trabalho, vamos considerar exclusivamente o efeito da temperatura sobre o diagrama de fase dos sistemas que nos interessam. A transic~ao de fase deve se dar, nesse caso, numa temperatura crtica Tc, na qual o sistema sofre mudancas

essenciais e que se re etem muitas vezes na simetria. Ao cruzarmos Tc no sentido

crescente da temperatura, o sistema abandona uma simetria qualquer e em geral se 14

estabiliza termodinamicamente numa fase de simetria mais alta, porem de maior entropia, necessariamente. No caso do ferromagnetismo anisotropico, por exemplo, a temperatura de Curie delimita a fase ordenada, na qual os spins se alinham em uma direc~ao preferencial, da fase paramagnetica desordenada. Na aus^encia de um campo magnetico externo, os spins da fase ordenada t^em simetria de invers~ao I, que pode ser interpretada como uma dupla degeneresc^encia do estado fundamental ferromagnetico. Na fase paramagnetica, a simetria da Hamiltoniana e o proprio

O(3) (C1;v), o que signica que o estado fundamental agora tem degeneresc^encia

innita. Esta tend^encia, entretanto, n~ao e completamente geral. A mudanca de estado lquido-gas e um exemplo classico de transic~ao que preserva a simetria das fases.

A ocorr^encia de degeneresc^encias em mec^anica qu^antica de poucos corpos leva a formac~ao de um estado dado por uma combinac~ao linear de estados degenerados, escritos numa base de auto-estados da Hamiltoniana. No limite termodin^amico, esse pressuposto deixa de fazer sentido, uma vez que o sistema precisaria de um tempo innito para abandonar espontaneamente um estado de baixa energia e se estabilizar em um outro estado degenerado. Estas degeneresc^encias representam, portanto, uma quebra espont^anea de simetria, uma vez que o sistema escolhe arbi-trariamente um estado degenerado para se estabilizar, adotando uma simetria mais baixa que a da sua Hamiltoniana. Pensando em termos da mec^anica estatstica, esse comportamento parece contraditorio com o princpio da media de ensemble, que deveria ser capaz de predizer no limite classico o estado de mais baixa energia. Existem duas considerac~oes que se podem fazer a respeito. Na verdade, nenhum desses sistemas em que se observa a quebra espont^anea de simetria satisfaz a con-dic~ao de hergodicidade, segundo a qual o intervalo da medida deve ser comparavel ao tempo necessario para o sistema percorrer todo o espaco de fase. A evoluc~ao no espaco de congurac~ao e muito mais consistente com a descric~ao de um siste-ma caotico que propriamente de um ensemble puramente estocastico com pesos estatsticos. O sistema parece restringir o espaco de fase a uma regi~ao com um unico polo atrator correspondente ao estado degenerado \escolhido", tornando a estabilizac~ao em uma outra regi~ao altamente improvavel, no limite termodin^amico. Deste modo, o estado fundamental n~ao carrega consigo o grupo de simetria total da Hamiltoniana, o que na aus^encia de utuac~oes gera um estado assimetrico [1].

A import^ancia das simetrias no estudo das transic~oes de fase foi observada ori-15

ginalmente por Landau. As transic~oes se dividem basicamente entre dois tipos. Elas s~ao contnuas ou de segunda ordem se as fases correspondentes forem indis-tinguveis uma da outra no ponto crtico. Do contrario, a transic~ao e descontnua ou simplesmente de primeira ordem. Uma transic~ao de segunda ordem exige que as variaveis termodin^amicas extensveis do sistema como entropia, energia e volu-me se comportem continuavolu-mente no ponto crtico. A aus^encia de calor latente e caracterstica desse tipo de transic~ao, que e frequentemente observada em sistemas high-Tc. Por outro lado, Landau aponta para a necessidade de que a transic~ao,

nes-te caso, ocorra entre fases de simetrias distintas. Do contrario, n~ao seria possvel caracterizar um par^ametro de ordem e portanto a propria transic~ao em si, uma vez que as fases seriam completamente indistinguveis.

Ha duas consequ^encias importantes da quebra de simetria. A primeira delas e a assinatura da transic~ao dada pelo grupo de simetria do par^ametro de ordem da fase ordenada. Esta caracterstica formaliza o conceito fundamental de que as transic~oes de fase t^em uma natureza discreta, no sentido de que n~ao e possvel mudar de fase imperceptivelmente, mesmo em transic~oes de segunda ordem. O argumento e um teorema basico da fsica do estado solido, que probe variac~oes contnuas da simetria [1]. A segunda consequ^encia e o aparecimento de modos de excitac~ao coletivos e utuac~oes, que quebram a degeneresc^encia da Hamiltoniana.

2.1.1 O par^ametro de ordem

A ideia mais central e generica da teoria de fen^omenos crticos e o conceito de par^ametro de ordem. Essencialmente, ele distingue as fases uma da outra incor-porando a simetria do Hamiltoniano, que e caracterizada pela degeneresc^encia do estado fundamental em cada regi~ao do diagrama de fase.

Vamos denir uma func~ao extensvel







(T;h) dependente da temperatura

e de uma variavel termodin^amica externa h (no sentido de n~ao constituir uma propriedade do sistema), que sera chamada de conjugado termodin^amico de . Esta variavel e denida formalmente atraves da energia livre de Gibbs, como  =

;@G

@h. O par^ametro de ordem



de um sistema proximo da criticalidade deve

satisfazer a duas condic~oes essenciais: a primeira delas e que (T;0) = 0 paraT > Tc; a segunda, que



(T;h) possa ser escrito em termos de uma func~ao densidade

'(

r

;T;h),



=

Z

Dr'(

r

) 

(2.1) cuja media de ensemble descreva a congurac~ao associada ao estado termodin^amico globalmente mais estavel para algum funcional 'o(

r

)  h'(

r

)i. Dado que o

en-semble e um invariante translacional, podemos escrever simplesmente que



=

R

Drh'(

r

)i. A primeira condic~ao exige que o par^ametro de ordem se anule

espon-taneamente na fase de alta temperatura, enquanto a outra imp~oe que  seja o unico grau de liberdade relevante para a descric~ao do sistema perto da transic~ao de fase. Consequentemente, (T;0) tende a zero continuamente a medida que T ! Tc,

numa transic~ao de segunda ordem.

Para h6= 0, o par^ametro de ordem e n~ao nulo na fase T > Tc. A raz~ao disso e

quehmodica drasticamente o estado fundamental do sistema. No caso magnetico, o conjugado termodin^amico da magnetizac~ao e o campo magnetico aplicado. Na presenca deste campo, a fase paramagnetica e ordenada e o par^ametro de ordem tem modulo diferente de zero. O estado fundamental da fase ferromagnetica sofre uma quebra de degeneresc^encia que se estende para a fase de alta simetria.

2.2 O funcional de Landau

Vamos admitir um sistema em que h  0, de modo que o modulo do par^ametro

de ordem possa ser considerado sucientemente pequeno em uma regi~ao perto da temperatura crtica. A ideia e construir uma densidade de energia expandida numa serie de pot^encias em termos da densidade do par^ametro de ordem. 'no caso e um campo macroscopico que descreve toda a fsica do problema perto da transic~ao, a menos de utuac~oes de alcance menor que um certo comprimento . Esta medida dene o vetor de onda de corte  

1

 para as componentes de Fourier de '(

r

).

Assumindo que as dist^ancias em que a densidade do par^ametro de ordem varia sejam maiores que , que por sua vez e muito maior que a escala microscopica denida pelo par^ametro de rede, vamos escrever a func~ao de partic~ao do sistema na forma

Q(T;h) =e;G(T;h)=kT =C Z

D'e;E(';h) , (2.2)

com G(T;h) a energia livre de Gibbs e E a Hamiltoniana efetiva do problema normalizada por kT. A integral em D' varre todo o espaco de congurac~oes do par^ametro de ordem. Escrevendo a energia em termos de uma func~ao densidade

E(';h) = Z

Dr f(';

h

) , (2.3)

denimos o funcional de Landau f.

Em um campo contnuo, a estabilidade termodin^amica das soluc~oes n~ao ho-mog^eneas depende da competic~ao entre um termo \cinetico", em geral na forma de um gradiente quadratico, e a interac~ao de um potencial n~ao local. A forma da \energia livre de Landau" f('(

r

);

h

) para um campo de n componentes num

espaco de dimens~ao generica e

Z DrXn j ; (')(r'j) 2
+U(';

h

) . (2.4)

A ideia e assumir que U(') possa ser expandido numa serie polinomial das n

componentes de 'i, conservando a simetria do par^ametro de ordem.

Uma vez que h e pequeno, podemos restringir a interac~ao do campo conjugado com o sistema a um termo de ordem 1 na expans~ao de U (resposta linear). Dado isto e a relac~ao geral i =;

@G

@hi, pode-se deduzir de (2.2) e (2.3) que:

U(';

h

) =U(');

1

kT'

h

. (2.5)

No caso especco de um campo escalar, o funcional pode ser desenvolvido na forma f('(

r

);h(

r

)) = aojr'(

r

)j 2 ; 1 kT '(

r

)h(

r

) + 1 X i=2 aj'j(

r

) . (2.6)

O termo de primeira ordem da expans~ao e em geral atribudo a interac~ao do campo com h. Os coecientes an s~ao par^ametros fenomenologicos que dependem

exclu-sivamente da temperatura. Vamos em breve fundamentar esses coecientes um pouco melhor.

Do ponto de vista da simetria, podemos desde ja fazer algumas considerac~oes importantes. Pensando num modelo de Ising (campo escalar), a aus^encia de campos externos provoca uma dupla degeneresc^encia no estado de energia mais baixa. Isto

quer dizer que a densidade de energia do problema e uma func~ao par. Nesse caso, todos os coecientes de ordem mpar da expans~ao do funcional (2.6) s~ao iguais a zero. Em sistemas com simetrias mais complexas e que utilizam dois ou mais par^ametros de ordem com varias componentes cada um, a eliminac~ao dos termos com simetria incompatvel n~ao e t~ao evidente. Este assunto sera tratado com mais detalhe no captulo 4.

2.2.1 Aproximac~ao de campo medio

A grande diculdade dos modelos estatsticos exatamente soluveis e calcular a func~ao de partic~ao do sistema. No caso da teoria de Landau, a diculdade n~ao e diferente, uma vez que o problema consiste em encontrar a energia livre de Gibbs a partir da integral no espaco de congurac~oes da densidade do par^ametro de ordem. Segundo a mec^anica estatstica, a condic~ao de estabilidade termodin^amica de um sistema generico depende de que a sua energia livre seja mnima. Perto da regi~ao crtica, a energia livre de Gibbs e uma func~ao estritamente de'e

h

. Rigorosamente

falando, a congurac~ao do sistema mais provavel e aquela que minimiza G(';

h

).

Isto quer dizer que a soluc~ao de campo que descreve o estado fundamental depende do calculo variacional R

D'e;E(';h)=kT = 0 com respeito a

'(

r

), o que envolve

um problema de complexidade consideravel, n~ao exatamente soluvel na grande maioria dos casos. Este cenario pode ser drasticamente simplicado se utilizarmos uma aproximac~ao de ponto de sela para o calculo. Ela consiste em tomar o valor maximo do integrando e consequentemente o mnimo de E(';

h

). A soluc~ao do

problema agora passa a ser encontrar uma congurac~ao '(

r

) tal que

 Z

Drf('(

r

);

h

) = 0 . (2.7)

Nesta aproximac~ao, o funcional de Landau devera satisfazer a equac~ao generalizada de Euler-Lagrange, levando-se em conta todos os vnculos do sistema.

Para ns praticos, a aproximac~ao de campo medio signica tomar a express~ao da energia livre pela da Hamiltoniana. Vamos considerar um campo escalar com simetria de invers~ao, livre de vnculos ou condic~oes de contorno. Esse e exata-mente o caso de um sistema de spins innito com par^ametro de ordem M (Ising). Claramente, a congurac~ao mais favoravel em energia e uma soluc~ao de campo homog^enea com 'h'(

r

)i constante. Na aus^encia de campo magnetico externo,

a energia livre e simetrica com respeito a invers~ao simult^anea de todos os spins. Isto quer dizer que f('(

r

);T;0) e par e pode ser escrita sucientemente perto de

Tc como: f(';T;0) = 1 X j=0 a2j(T)' 2j (2.8)

Os coecientesa2j s~ao func~oes da temperatura. Eles podem ser expandidos em

serie de Taylor em torno de T =Tc,

a2j = 1 X k=0 a2j;k(T ;Tc) k _{. (2.9)}

A energia livre de Helmholtz A(m;0)  E(m;0) em aproximac~ao de campo

medio. No caso homog^eneo, esta relac~ao pode ser estendida para as func~oes densi-dade correspondentes. Partindo de uma das relac~oes de Maxwell,

h= 1_V  @A @'  T = 1 X j=0 2j a2j(T)' 2j;1 = 2a 2(T)'+ 4a4(T)' 3+:::= 0 . (2.10) Notando que  @h @'  T = 1 V  @2A @'2 

T, o inverso da susceptibilidade isotermica pode ser

obtido de 1 T = 1V2  @2A @'2  T = 1 X j=1 2j(2j;1)a 2j(T)' 2j;2 = 2a2(T) + 12a4(T)' 2 +::: . (2.11) Espera-se que a susceptibilidadeT divirja na temperatura crtica para campo

zero (h = 0). Uma vez que o par^ametro de ordem  ;! 0 quando T ;! Tc

(transic~ao de segunda ordem), ent~ao a2;0 = 0. Este resultado quer dizer que o

coeciente do termo de ordem 2 na expans~ao da energia livre (2.8) pode ser escrito em primeira ordem como:

a2(T) = a(T

;Tc) , (2.12)

com a =a2;1 constante.

Por denic~ao, a densidade do par^ametro de ordem estabiliza a fase desordenada em ' = 0 (h = 0). Ela pode ser redenida em termos dos par^ametros fenome-nologicos da energia livre como um conjunto de graus de liberdade 'i que requer

a positividade para T > Tc de todos os coecientes aj(T) n~ao nulos, condic~ao

ne-cessaria para que ' = 0 corresponda de fato ao mnimo de f(') na temperatura crtica. Alem disso, e necessario que pelo menos um coeciente mude de sinal em

Tc, para que a fase ordenada tenha ' diferente de zero. Usualmente, considera-se

a exist^encia de um unico coeciente mpar em T na expans~ao, de modo a evitar o aparecimento de transic~oes singulares, em que pequenas utuac~oes de press~ao ge-ram mudancas na simetria das fases. Uma discuss~ao desse aspecto da teoria pode ser encontrada em Toledano [37].

Considerando portanto que o termo de segunda ordem seja o unico a se anular em Tc, chegamos a conclus~ao que a constantea da equac~ao (2.12) e positiva e que

todos os outros coecientes aj de ordem superior s~ao, em primeira aproximac~ao,

constantes tambem positivas.

Vamos restringir a expans~ao (2.8) ate o termo de quarta ordem (modelo '4).

Voltando a equac~ao (2.9) e substituindo em (2.10), obtemos o valor do modulo de  que estabiliza as fases (ou seja,

@2f

@'2 

' >0) em primeira ordem com a temperatura,

 = ( Vq a 2a 4;0 (Tc ;T) 1 2 T < T c 0 T > Tc . (2.13)

Substituindo o resultado acima em (2.11), temos a express~ao da susceptibilidade isotermica, ;1 T = ( 4a(Tc;T) T < Tc 2a(T ;Tc) T > Tc . (2.14) Abaixo deTc, o termo de segunda ordem compete com o termo de ordem quatro,

estabilizando . Em T =Tc, a2 muda de sinal e o estado fundamental do sistema

recai sobre a soluc~ao trivial '0 na fase adjacente.

A presenca de campos externos e equivalente ao efeito de uma forca generalizada que modica as condic~oes de estabilidade e a simetria das fases, quebrando as degeneresc^encias do par^ametro de ordem. Esse efeito e bastante claro, pensando nas consequ^encias de um termo linear na expans~ao da energia livre sobre os par^ametros fenomenologicos. Sob o aspecto da simetria, ele viabiliza o aparecimento dos termos

de ordem mpar, reduzindo o grupo de simetria da fase ordenada. Nesse caso, a soluc~ao '0 obviamente n~ao satisfaz ao mnimo de f para T > Tc.

O modelo'4e o mais simples a predizer um comportamento estavel para a fase

ordenada. Nos modelos '6 e '8, o sistema se desmembra em estados metaestaveis

na parafase (T > Tc), mas que n~ao oferecem nenhuma informac~ao adicional ao

estado fundamental [38].

2.3 A func~ao de correlac~ao

Vamos considerar o efeito das utuac~oes sobre o par^ametro de ordem na teoria de Landau. A medida dessas utuac~oes e dada por
(

r

)  '(

r

); h'(

r

)i. A

temperatura zero, um sistema hipotetico qualquer deve repousar no seu estado fundamental qu^antico. O aumento da temperatura provoca excitac~oes cujo efeito e aumentar a desordem e reduzir o modulo da densidade do par^ametro de ordem, uma vez que ele e dado pelo somatorio das contribuic~oes microscopicas calculado numa bola de raio da ordem de  (comprimento de correlac~ao). A func~ao de correlac~ao e denida a partir das utuac~oes como

;(

r

;

r

0

) =h
(

r

)
(

r

0

)i . (2.15)

Ela mede o grau de interdepend^encia da densidade do par^ametro de ordem nas posic~oes

r

e

r

0, o que num certo sentido e a medida do grau de in u^encia de

uma perturbac~ao localizada num ponto sobre um outro ponto do sistema. Esta interpretac~ao ca bastante clara se reescrevermos (2.15) na forma:

;(

r

;

r

0) = h'(

r

)'(

r

0) i;h'(

r

)ih'(

r

0) i , (2.16)

que e analoga ao criterio estatstico que avalia a independ^encia entre duas variaveis aleatorias.

O par^ametro de ordem e sempre uma grandeza observavel e por isso ele e real. A sua func~ao densidade, no entanto, nem sempre, como no caso supercondutor. Vamos assumir uma teoria classica, onde '(

r

) e real. O calculo da func~ao de cor-relac~ao pode ser feito, percebendo que uma perturbac~ao sobre o campo conjugado

h(

r

);!h(

r

)+h(

r

) num sistema com HamiltonianaE =Eo(';T); R

Dr'(

r

)h(

r

) 22

induz uma utuac~ao sobre '(

r

);!'(

r

)+'(

r

), cuja medida e dada em primeira ordem por h'(

r

)i= Tr  '(

r

)e;E=kT  Tr[e;E=kT] = 1 kT Z D

r

0 ;(

r

;

r

0 )h(

r

0 ) . (2.17) Este resultado e bem conhecido pela fsica estatstica [16]. Introduzindo o funcional de Landau f da teoria '4 e tomando o variacional, temos

 2a2+ 12a4 h'(

r

)i 2 ;2aor 2  h'(

r

)i=h(

r

) +h(

r

)h'(

r

)i . (2.18)

Para uma transic~ao de segunda ordem, e preciso tomar o limite de h(

r

) ;! 0.

Substituindo (2.17) em (2.18), Z Dr0  2a2+ 12a4 h'(

r

)i 2 ;2aor 2  ;(

r

;

r

0) ;kT(

r

;

r

0) h(

r

0) = 0 , (2.19)

para qualquer incremento h(

r

0). Isto quer dizer que o integrando entre par^enteses

vale zero, e portanto

 2a2 + 12a4 h'(

r

)i 2 ;2aor 2  ;(

r

;

r

0 ) =kT(

r

;

r

0 ) . (2.20) Basta substituir o valor de h'(

r

)i e calcular a func~ao de correlac~ao. No caso de

sistemas homog^eneos ou de sistemas inomog^eneos mas que preservam o modulo de'

constante (por exemplo, num ferromagneto organizado em domnios), h'(

r

)i= 

V

e extrado diretamente da equac~ao (2.13). A func~ao de correlac~ao prevista pela teoria de Landau para esses sistemas (dimens~ao d) e

;(

r

;

r

0) = kT 8 a0 e;jr;r 0 j 1  j

r

;

r

0 jd ;2 , (2.21) com (T) = ( p a0 2a(Tc ;T) ; 1 2 T < T c p a0 a (Tc;T) ; 1 2 T > T c .

denindo o comprimento de correlac~ao em termos dos par^ametros fenomenologicos. Do ponto de vista fsico, esta express~ao faz sentido quando as dist^ancias j

r

;

r

0 j

s~ao maiores que . O campo macroscopico que dene a densidade do par^ametro de ordem e construdo localmente atraves de uma media de ensemble numa regi~ao onde

o comportamento microscopico do sistema e essencialmente regido pelas utuac~oes termicas. O raio dessa regi~ao e da ordem do comprimento de correlac~ao. Do ponto de vista de '(

r

), portanto,  dene a escala do sistema, a medida em que ele corresponde a menor dist^ancia que o campo macroscopico e capaz de \enxergar". Alem disso,  diverge na temperatura crtica. A conclus~ao mais importante que se extrai deste comportamento e que o alcance das utuac~oes aumenta com a temperatura e no limite T ;! Tc ele se estende sobre todo o sistema com a

mesma rapidez com que o modulo do par^ametro de ordem tende a zero. Uma outra interpretac~ao possvel, e que o sistema sofre de invari^ancia de escala no ponto crtico (hipotese de scaling).

2.4 Os expoentes crticos

O aumento do comprimento de correlac~ao e equivalente a uma renormalizac~ao na escala do sistema, uma vez que o par^ametro de ordem e por hipotese o unico grau de liberdade relevante na transic~ao de fase e  e a menor dist^ancia em que ' e capaz de detectar uma interac~ao. Kadano et al [16] sugere o reescalonamento de modelos de Ising atraves da ideia de transformac~ao de blocos de spin, em que cada bloco interage com os outros blocos como se fosse um spin cujo modulo e o spin medio do bloco.

Esse procedimento faz bastante sentido perto da regi~ao crtica, onde a correlac~ao e regida essencialmente pelas utuac~oes de comprimento de onda longo ( > ), e n~ao pelas caractersticas microscopicas do sistema. Este argumento justica em grande parte o carater universal das transic~ao de fase, que permite agrupar siste-mas aparentemente bastante diversos em classes de universalidade. O criterio que permite classicar as similaridades entre esses sistemas e baseado num conjunto de ndices conhecidos como expoentes crticos, genericamente denidos atraves do limite = lim_t !0 lng(t) lnjtj , (2.22)

envolvendo uma variavel termodin^amicag qualquer e o par^ametro crticot T ;T

c

Tc .

A ideia e que dois sistemas fsicos com o mesmo conjunto de expoentes crticos pertencam a mesma classe de universalidade, mesmo que as grandezas envolvidadas

nos dois sistemas diram em varias ordens de grandeza, um em relac~ao ao outro. Dentro de uma certa aproximac~ao, o conceito pode ser estendido para uma bola centrada em Tc (jtj<<1), assumindo que 

lng(t)

lnjtj , ou seja, g(t)

jtj.

Os dados experimentais disponveis nas transic~oes de fase s~ao medidas da de-pend^encia da capacidade termica, do par^ametro de ordem, da susceptibilidade e de outras variaveis extensveis comt. Dada a magnitude e o alcance das utuac~oes sobre a amostra, a unica informac~ao signicativa sobre a transic~ao de fase e a lei de decaimento dessas grandezas com o par^ametro crtico t.

As func~oes termodin^amicas mensuraveis podem ser parametrizadas dentro da aproximac~ao crtica atraves desses expoentes. Dentro desse esprito, a capacidade termica C=T@2G

@T2 tem uma parte singular proporcional a jtj ;, a susceptibilidade  = 1 V @h'i @h  jtj ; , e o par^ametro de ordem  jtj com h = 0 e  jtj ; 1  para

t = 0. Por sua vez, a func~ao de correlac~ao pode ser escrita como: ;(

r

;

r

0) t;!0 ;! j

r

;

r

0 j ;pe ;jr;r 0 j 1  , (2.23)

onde p e denido pela literatura como d;2 + e   jtj

;. Este conjunto de

ndices gregos dene cada uma das possveis classes de universalidade entre os sistemas crticos. Ele depende de um modo essencial da dimens~ao do sistema e do grupo de simetria espacial do par^ametro de ordem.

2.4.1 Leis de escala

Partindo da hipotese de scaling, enunciada na sec~ao 2.3, a manifestac~ao do efeito da temperatura sobre um sistema pode ser simplicada a um problema de escala, xada pelo comprimento de correlac~ao. Uma simples analise dimensional das va-riaveis termodin^amicas permite relacionar os expoentes crticos entre si e com isso reduzir o numero de graus de liberdade de cada conjunto de escalares que dene uma classe.

A formalizac~ao desta hipotese exige que todas as func~oes termodin^amicas e equac~oes de estado sejam func~oes homeg^eneas, ou seja, que

g(bDtt;bD

hh) =bD

gg(t;h) .

Ao inves de partir por este caminho, vamos tomar um atalho. A densidade de energia livre normalizada por kT, g = G

V kT, tem dimens~ao de [comprimento];d.

Assim, [g] =L;d. A func~ao de correlac~ao normalizada conforme a equac~ao (2.23)

t^em dimens~ao deLd;2+, que por denic~ao e a mesma de [ h'i 2 ]. Consequentemente, se Ljtj ;, ent~ao ;(d;2 +) = 2 . (2.24)

Prosseguindo nessa linha, a susceptibilidade pode ser obtida em termos da func~ao de correlac~ao, impondo h constante. Dividindo o incremento h'(

r

)i de

(2.17) por he tomando o limite,

(

r

) = 1_kT

Z

D

r

0;(

r

;

r

0) . (2.25)

Este resultado e chamado de teorema da utuac~ao dissipac~ao. A dimens~ao da susceptiblidade normalizada e [kT] =L;2

jtj

; , de onde sai a lei de escala

=(2;) . (2.26)

Tomando a derivada segunda da energia de Gibbs normalizada, C /

@2g @T2  jtjd ;2  jtj ;. Alem disso,  h kT  = h g h'i i = L;d+  jtj ; . As duas ultimas relac~oes s~ao: d= 2; , (2.27)

conhecida como a lei de Fisher, e

2 =(2 +d;) . (2.28)

Observando que ha no total seis expoentes crticos,,, ,,e, relacionados atraves de quatro equac~oes L.I., basta calcularmos 2 deles quaisquer para encontrar os demais. Olhando para a express~ao do modulo do par^ametro de ordem e da susceptibilidade calculadas numa amostra innita (equac~oes (2.13) e ( 2.14)), vemos que = 1

2 e = 1, de onde obtemos que= 0, = 3, = 0 e = 1

2. Estes valores

s~ao conhecidos como expoentes crticos classicos, talvez por serem os mais antigos.

2.5 O problema da inomogeneidade

Na grande maioria dos sistema reais, a densidade do par^ametro de ordem e um funcional que varia localmente com a posic~ao. Esses sistemas s~ao em geral ni-tos e apresentam algum tipo de anisotropia. Sob o ponto de vista da teoria, o aparecimento das inomogeneidades nas soluc~oes de campo e uma consequ^encia das condic~oes de contorno e da geometria da variedade, possivelmente aliadas a alguma assimetria espacial que se re ete sobre o grupo de simetria do par^ametro de ordem. Alguns sistemas acabam formando domnios, que s~ao regi~oes nitas onde'(

r

)

e praticamente uniforme. A inomogeneidade desse tipo de soluc~ao aparece con-centrada na regi~ao de parede entre dois domnios vizinhos (parede de Bloch). No caso ferromagnetico (tratado originalmente por Landau e Lifshitz [19]), existe uma competic~ao entre a anisotropia uniaxial que privilegia a orientac~ao dos spins em uma direc~ao, representada no funcional de Landau pelo termo de segunda ordem

; m2 x+m2 y
+; m2 z
,

e a condic~ao de contorno na interface do sistema (nito) em aproximac~ao de campo fraco, que exige que as linhas de

m

quem connadas dentro do corpo. Dada a condic~ao global de uxo fechado, traduzida localmente por r

m

= 0, os spins

tendem a se estabilizar termodinamicamente numa congurac~ao que atende a con-dic~ao de contorno (formac~ao de domnios vizinhos em antifase) mas que minimiza a extens~ao das regi~oes de parede, uma vez que a interac~ao de troca entre os spins

(rmx) 2 + (rmy) 2 + (rmz) 2 ,

aumenta o custo energetico das variac~oes da magnetizac~ao em todo o sistema. A competic~ao gera uma ordem espiral na parede de Bloch, indicando que a variac~ao do campo

m

(

r

) entre dois domnios vizinhos e suave. A estabilizac~ao do modulo da magnetizac~ao espont^anea, dentro do contexto da teoria de Landau, requer ainda a presenca de um termo de quarta ordem que contenha o grupo de simetria do termo de ordem mais baixa. A analise do comportamento crtico desse sistema foi includa no ap^endice, na forma de um artigo.

Ao que tudo indica, o comportamento dos domnios com a temperatura e um caso a parte ao que se sabe da fsica de interfaces rgidas em lmes nos, conside-rando desde ja que a contribuic~ao predominante em energia esta concentrada na

regi~ao de parede e n~ao no interior dos domnios. Um bom indcio da import^ancia das regi~oes de parede e a diverg^encia, no ponto crtico, do calor especco calculado pela teoria de Landau na aproximac~ao de campo medio.

O aspecto mais intrigante, no entanto, s~ao os valores dos expoentes crticos que denem a classe de universalidade dos sistemas ferromagneticos nitos (baixa anisotropia). Os valores calculados no ap^endice s~ao:  = 1

4,  = 1 2, = 3 4,  = 7 12,  = 5 2 e  = 5

7. A diferenca em relac~ao ao comportamento tpico do calor

especco em interfaces ( = 1

2) pode ser explicada pela depend^encia da largura

dos domnios com a temperatura. A fsica do problema, entretanto, e regida pelo comportamento crtico da largura das paredes. Ela representa a escala do sistema para esse tipo de inomogeneidade, fazendo um papel analogo ao do comprimento de correlac~ao. E por esse motivo que a criticalidade dos sistemas organizados em domnios e dominada pelas contribuic~oes em energia dos termos de superfcie e interface, quando  ;!1 a medida em que t vai a zero.

2.6 Discuss~ao sobre a validade da teoria de

Ginzburg-Landau

A teoria introduzida neste captulo e uma ferramenta poderosa para a compreens~ao do comportamento crtico. Uma das vantagens obvias sobre as demais teorias e que ela permite descrever as principais propriedades fsicas do sistema perto da transic~ao de fase sem mencionar nenhum modelo microscopico. Alem de geral, ela e tambem bastante robusta, uma vez que e fundamentada por argumentos gerais de simetria e pelo conceito de par^ametro de ordem, que permite em ultima analise uma descric~ao qualitativa bastante satisfatoria.

Por outro lado, a aplicabilidade da teoria fora da aproximac~ao de campo medio e bastante limitada, ja que o calculo da func~ao de partic~ao do sistema em uma aproximac~ao n~ao gaussiana e uma tarefa de complexidade consideravel.

A propria aproximac~ao de campo medio apresenta problemas. Em particular, ela invalida a expans~ao (2.6) em sistemas cujo calor especco C = T@2A

@T2 diverge

emTc, como e o caso do modelo de Ising bidimensional [28]. Um outro problema e

o grau de concord^ancia dos expoentes crticos previstos pela teoria com os valores experimentais.

Os resultados teoricos da teoria classica representam uma aproximac~ao grosseira da realidade. A raz~ao disso pode ser encontrada facilmente. Ao postularmos que a fsica do problema pode ser escrita atraves de um campo macroscopico calculado por uma media local numa regi~ao onde as dist^ancias s~ao menores que o comprimento de correlac~ao, ignoramos todas as utuac~oes microscopicas, que na criticalidade adquirem uma import^ancia fundamental.

Esta limitac~ao restringe o uso da teoria de Landau a uma regi~ao do diagrama de fase. Ha portanto uma temperatura limite, acima da qual as utuac~oes se tornam excessivamente importantes para serem ignoradas, invalidando as soluc~oes de campo para a densidade do par^ametro de ordem.

Existem indicac~oes experimentais de que a teoria molecular (campo medio) e correta em sistemas ferromagneticos ate valores pequenos de t, da ordem de 10;2.

No antiferromagnetismo, o alcance da interac~ao de troca e sensivelmente menor, o que deve implicar num intervalo de validade mais restrito, comt maior que algo da ordem de 10;1. Em materiais cujas interac~oes s~ao ao contrario de longo alcance,

como por exemplo em ferroeletricos, esse intervalo pode se estender ate jtj10 ;3

[16].

Landau Ising- 2D Ising- 3D

 0 0 0.0 - 0.25  1 2 1 4 0.313  0.004 1 7 4 1.250  0.001  0 1 4 0.056  0.008  3 15 5.2 0.15  1 2 1 0.643  0.0025

Tabela 2.1: Comparac~ao entre os expoentes crticos da teoria de Landau em campo medio e do modelo de Ising. Os valores do modelo 2D s~ao calculados exatamente; no

modelo 3D eles s~ao medidos em experi^encia. [16]

2.6.1 O criterio de Ginzburg

Uma maneira de avaliar quantitativamente a import^ancia das utuac~oes sobre a densidade do par^ametro de ordem consiste em comparar a magnitude delas ao longo de uma dist^anciacom o valor do modulo deh'(

r

)ineste intervalo. Podemos aferir jh'(

r

)ij pela media a partir da relac~ao (2.13), com T < Tc. A validade da teoria

exige que a medida das utuac~oes seja pequena em comparac~ao com a magnitude do par^ametro de ordem, isto e

;() '2  2;d ;a 2=a4 << 1 . (2.29) Dado que  = ; 2a 2 a0  ;1=2

e a2 = at, temos o criterio de Ginzburg em campo

medio, a4 a0  a a0 jtj d;4 2 <<1 . (2.30) E extremamente interessante notar que para d  4 essa condic~ao pode ser

satisfeita para qualquer t, incluindo o limite t;!0. De acordo com o diagnostico

que demos na sec~ao anterior para a causa das discrep^ancias entre as previs~oes da teoria de campo medio e as experi^encias, deveramos esperar que os expoentes crticos concordassem entre eles num sistema hipotetico de dimens~ao 4. Este parece ser o caso. A determinac~ao desses expoentes atraves do calculo da func~ao de partic~ao, em aproximac~ao Gaussiana, mostra que eles coincidem exatamente com os expoentes crticos classicos para d = 4. Os detalhes desse calculo podem ser encontrados em Huang [14].

O aumento do numero de coordenac~ao diminui a import^ancia efetiva das u-tuac~oes sobre '(

r

). A falha da aproximac~ao de campo medio nos sistemas reais, que consiste em negligenciar utuac~oes de pequeno comprimento de onda, pode ser contornada com o aumento da dimensionalidade do sistema. Pode-se observar um bom indcio desta tend^encia, notando que a concord^ancia do modelo de Ising-3D

com a teoria de Landau e substancialmente maior que no modelo de Ising de di-mens~ao 2. Apesar de \tosca", a aproximac~ao n~ao deve ser subestimada, pois ela ainda assim oferece uma valiosa descric~ao qualitativa do comportamento crtico do sistema.

Captulo 3

Indicac~oes experimentais sobre a

exist^encia das faixas

3.1 Introduc~ao

A supercondutividade de altas temperaturas e um fen^omeno bastante intrigante e ainda n~ao explicado conclusivamente por nenhuma teoria microscopica. A forte depend^encia do carater supercondutor desses materiais com o nvel de dopagem, incluindo a temperatura de transic~ao supercondutora Tc, acima da qual o material

exibe comportamento isolante, indica um mecanismo de supercondutividade dife-rente da teoria BCS usual. Uma hipotese para o mecanismo alternativo consiste na formac~ao de estruturas de carga topologicas provocadas pela dopagem (doping topologico) nos planos de Cu-O, levando ao aparecimento de linhas de carga orien-tadas numa direc~ao de maior anisotropia. No regime n~ao dopado, os stios de Cu2+

t^em spin 1=2 (3d9) e se correlacionam antiferromagneticamente ao longo dos planos

numa ordem de longo alcance, na presenca de uma direc~ao anisotropica [24]. A introduc~ao de ons dopantes do tipo Sr2+ e Ce4+ no sistema cria um reservatorio

de cargas nos planos de CuO2. Os eletrons excedentes tendem a se localizar nos

stios de cobre, o que gera uma competic~ao entre a correlac~ao antiferromagnetica atrativa dos spins e a repuls~ao coulombiana dos stios com um buraco (Cu+). Se,

por um lado, o comportamento n~ao homog^eneo da distribuic~ao de cargas no pla-no pode ser heuristicamente justicado deste modo, a natureza topologica dessas estruturas e bastante questionavel, uma vez que as linhas de carga s~ao objetos

unidimensionais e n~ao apresentam correlac~ao de longo alcance que possa justicar a supercondutividade nesses materiais [6]. A alternativa mais aceita atualmente e que n~ao se tratam de linhas de carga, mas de faixas [31]. A formac~ao de faixas nos planos dos oxidos high-Tcfoi prevista teoricamente por Zaanem e Gusnnarsson [42]

a partir da hamiltoniana de Hubbard de uma banda em aproximac~ao de campo medio numa rede nita de 10  10 stios, usando como par^ametros a interac~ao

coulombiana local no stio dos eletros da banda d, a energia de hibridizac~ao entre orbitais pe d e o custo energetico de uma utuac~ao d9

;!d 10+p

;buraco.

Indcios de segregac~ao s~ao tambem encontrados em outras famlias de oxidos. Nos compostos de Ni, o comportamento dos buracos introduzidos via doping e bastante similar aos deCu. Estudos de espalhamento de neutrons t^em demonstrado que as correlac~oes de spins e carga assumem padr~oes de depend^encia com a dopagem bastante parecidos [30]. No entanto, as propriedades de transporte parecem ser bastante distintas. Todos esses compostos s~ao isolantes no estado normal n~ao dopado (o gap isolante se mantem mesmo acima da temperatura de Neel, indicando que n~ao se tratam de isolantes de Slater, regidos pelas spin density waves). Se por um lado os cupretos adquirem comportamento metalico, que se transforma em supercondutor a altas temperaturas e sob uma dopagem relativamente baixa de 0:05 ons por stio de Cu (La2;xSrxCuO4), os niqueletos permanecem isolantes

quando submetidos a uma dopagem dez vezes maior (La2;xSrxNiO4).

Acredita-se que a supercondutividade esteja ligada as utuac~oes das faixas de carga, que possibilitariam teoricamente a formac~ao da coer^encia de fase de longo alcance e a estabilizac~ao termodin^amica das stripes na aus^encia de ordem magnetica.

Em particular, os oxidos deCr t^em um comportamento a parte dos compostos de Cue Ni. O padr~ao de espalhamento das faixas nesses mateirais e inteiramente analogo ao padr~ao do La2NiO4 dopado, na fase magneticamente ordenada.

Ex-perimentos de espalhamento totalmente inelastico, no entanto, vericam que as ordens de spin e carga desaparecem juntas na temperatura de Neel, indicando pos-sivelmente a aus^encia de din^amica. O estudo desses materiais pode ser uma boa indicac~ao do comportamento das faixas nos cupretos e niqueletos no regime de baixa temperatura e dopagem.

3.2 Observac~oes experimentais

Os oxidos high-Tc de cobre e nquel t^em sido alvo de intensa investigac~ao

experi-mental. A intenc~ao e observar como esses sistemas se comportam em diferentes tipos e nveis de dopagem, vericando algumas hipoteses sobre a distribuic~ao das cargas nos planos. O diagrama de fase com a dopagem ainda n~ao e bem conhecido. No caso especco do composto La2CuO4, n~ao dopado, observa-se uma

tran-sic~ao de segunda ordem da fase tetragonal altamente simetrica para a ortorr^ombica em TO=T = 530 K. Os ons de Cu2+ exibem propriedades magneticas nesse

mate-rial, cuja temperatura crtica de transic~ao antiferro-paramagnetica e TN = 300 K.

Introduzindo uma dopagem de cargas nos oxig^enios dos planos deCuO2, o

compos-to dopado La2CuO4+ exibe um comportamento bastante diverso. Para 

0:03,

o material tem uma separac~ao macroscopica de fase abaixo de TS  260;320 K

entre uma fase fortemente dopada (0

0:08), supercondutora abaixo de Tc = 35

K e uma fase isolante n~ao dopada (00

0:00,TN 250 K ).

Alternativamente, dopando o compostoLa2;xSrxCuO4 comonsSr

2+ no lugar

do La3+, n~ao se observa nenhum tipo de segregac~ao macroscopica das cargas. No

entanto, a depend^encia das transic~oes de fase com a dopagem se torna bastante dramatica. Para x  0:02 e 0:2 respectivamente, a amostra n~ao exibe

antiferro-magnetismo e se conserva na fase tetragonal sob qualquer regime de temperatura [8]. Isso signica que as temperaturas de transic~ao podem ser escritas como func~oes da dopagem e que para esses valores crticos de x TN e TO=T s~ao respectivamente

zero. Cho, Chu e Johnston [8] propuseram uma lei de decaimento da temperatura de Neel com x, 1; TN(x) TN =  x xc n (3.1) e encontraram experimentalmente o valor de n  2, independente da dopagem 

sobre os oxig^enios.

O mecanismo de segregac~ao das cargas tem uma depend^encia intrnseca com o tipo de dopagem no composto. A dopagem dos oxig^enios no La2;xSrxCuO4+

induz o aparecimento de fases macroscopicas de spin e carga saparadas. A raz~ao disso esta ligada ao encurtamento do alcance do potencial efetivo de interac~ao entre as cargas, o que se re ete na pouca mobilidade dos eletrons introduzidos pelos oxig^enios. Em func~ao disso, o termo de potencial e insuciente para frustrar

a tend^encia a condensac~ao dos spins, responsavel pela formac~ao das fases.

Os estudos mais importantes que descrevem propriamente as estruturas de car-ga nos oxidos high-Tc s~ao baseados em experimentos de difrac~ao de neutrons. A

vantagem do uso de neutrons lentos reside na boa sensibilidade do metodo a geo-metria de estruturas magneticas em cristais. Mais especicamente, ela permite determinar a intensidade e orientac~ao do momento magnetico do cobre e medir o aparecimento de modulac~oes de spin e carga ao longo de uma direc~ao.

3.2.1 Espalhamento de neutrons

Apesar dos neutrons n~ao apresentarem o termo de monopolo eletrico, possuem outros termos de multipolo [2] que conferem a eles um raio giromagnetico e, por-tanto, um spin. A sec~ao de choque dos neutrons e formada pela contribuic~ao de espalhamento nuclear, onde os neutrons interagem com um potencial local do tipo

VN(

R

) =b(

r

n;

R

) (3.2)

e por uma parte de espalhamento magnetico causada pela interac~ao do neutron com o momento angular orbital e com o spin dos eletrons desemparelhados. O potencial espalhador dessa interac~ao pode ser escrito como [15]:

b Vm(

r

) = X l 1 c  b

A

n(

r

l);b

j

(

r

l)  (3.3) onde b

A

n(

r

l) = 2un  b

S

n;

r

n;

r

l  j

r

n;

r

lj 3 ;

e o potencial vetor do n-esimo neutron calculado em relac~ao a posic~ao do l-esimo eletron eb

j

(

r

) o operador de corrente dos eletrons desemparelhados escrito na

re-presentac~ao de posic~ao. O elemento de matriz deb

j

na base de auto-estados h

r

jai do centro espalhador e 1 c  ab

j

a =io( arl  a;  arl a) + 2orl   a

S

b l a  . (3.4) O primeiro termo corresponde a contruibuic~ao orbital e a segunda ao termo de spin.

A sec~ao de choque diferencial em teoria de espalhamento e derivada diretamente a partir da regra de ouro de Fermi, como uma contribuic~ao do modulo quadrado dos elementos de matriz do potencial espalhador, que no caso e dado pela soma

b

V

N +

V

b

m. O calculo e feito numa base de estados do sistema que inclui os

auto-estados da Hamiltoniana do centro espalhadorjai. Alem deles, ela deve incluir uma

base de ondas planas de momento

k

e uma base completa de spin ji associadas

diretamente a func~ao de onda do neutron espalhado. A sec~ao de choque diferencial e d2 d!dE = 2~ k0 k haj  b

V

 N kk0 + b

V

 mkk0  b

V

N kk0+ b

V

mkk0  jai (3.5)

O traco sobre a express~ao indica media de ensemble sobre os estados jai.

Admitindo que os neutrons n~ao s~ao polarizados, os termos de interfer^encia da parte nuclear e magnetica se anulam. Como consequ^encia, a sec~ao de choque diferencial da amostra sujeita ao bombardeio de um feixe de neutrons com spins orientados ao acaso e simplesmente a soma dos termos de espalhamento nuclear e magnetico:

d2 d!dE = d 2 N d!dE + d 2 m d!dE (3.6)

Este resultado e particularmente importante, uma vez que ele permite distinguir as duas contribuic~oes. Alguns termos adicionais devidos ao espalhamento incoeren-te provocado pela presenca de isotopos no cristal, ou causados pelo espalhamento magnetico do spin do nucleo ser~ao ignorados.

A menos de alguns fatores de extinc~ao, o tipo do padr~ao de difrac~ao produzido por espalhamento magnetico e bastante semelhante ao do espalhamento nuclear, que pode ser entendido atraves dos planos de Bragg. Os picos de difrac~ao de neutrons s~ao construdos no espaco recproco a rede, gerado por vetores normais aos planos de Bragg e que s~ao denidos pela variac~ao do momento do neutron antes e depois de ser espalhado,

Q

=

k

0

;

k

. Na fase magnetica plenamente ordenada,

o padr~ao de difrac~ao e coerente. Efeitos de utuac~ao termica sobre a orientac~ao relativa entre os spins, no entanto, provocam um espalhamento de fundo altamente incoerente, cuja distribuic~ao de intensidade espalhada com o ^angulo de sada da amostra e um patamar homog^eneo que atenua a amplitude dos picos da parte coerente. Este efeito indesejavel pode ser facilmente eliminado, bastando para isso medir o espalhamento de fundo na fase desordenada e subtrair do padr~ao obtido

na fase ordenada.

Observando os picos de espalhamento nuclear da amostra no espaco

Q

= (h;k;l) em unidades de ; 2 a;2 b ;2 c

, vamos xar uma base de modo que (0;0;0), (1;0;0) e (0;1;0) correspondam a pontos da rede recproca coma,becos par^ametros de rede do cristal nas direc~oes x, y e z respectivamente. A presenca de anti-ferromagnetismo em uma direc~ao tem como efeito duplicar o volume da celula unitaria no espaco real, o que consequentemente dobra a periodicidade dos picos de espalhamento magnetico na mesma direc~ao, no espaco recproco. Assim, supondo que os spins quem alinhados anti-paralelamente nas direc~oes x e y de um plano, deve-se es-perar o surgimento de picos de difrac~ao magneticos nas posic~oes (1

2; 1 2;0), ( 1 2;0;0), (0;1

2;0) e simetricas na zona de Brillouin. Na verdade, n~ao e necessario que todos

eles aparecam no diagrama de espalhamento. No caso em que as duas subredes magneticas apresentam fatores de forma iguais e spins de mesma magnitude, porem alinhados em sentidos opostos, o fator de estrutura e maximo na posic~ao central (1

2; 1

2;0) e zero nas demais. Isto signica que a ordem magnetica e detectada no

diagrama de espalhamento atraves do pico

Q

m = (1 2;

1 2;0)

No caso do aparecimento de estruturas na rede que multipliquem n vezes o comprimento da celula unitaria original, o padr~ao de difrac~ao deve registrar novos picos com esparcamento de 2

nd, ondede a dist^ancia de separac~ao entre os planos de

Bragg, naquela direc~ao. A presenca de domnios na ordem antiferromagnetica de um cristal, por exemplo, constitui uma reduc~ao da simetria translacional magnetica na direc~ao

t

transversa a interface entre os domnios. O volume da celula unitaria agora tem o volume n

2 vezes maior que o da congurac~ao magnetica original, com os

spins alinhados antiferromagneticamente. Admitindo por hipotese que

t

= (1;0;0) e que o antiferromagnetismo se d^e no plano XY, e de se esperar que aparecam picos nas posic~oes

Q

m(

p

n;0;0), com pnatural < n=2.

O calculo dos fatores de estrutura, no entanto, imp~oe algumas restric~oes sobre a exist^encia e detectabilidade desses picos. As \leis de extinc~ao " decorrentes desses fatores proibem a exist^encia de picos de ordem p par. Alem disso, a intensidade dos fatores decai muito rapidamente com a ordem dos picos [15]. Na pratica, os experimentos geralmente detectam apenas os picos \satelite", que correspondem aos de primeira ordem. Desse modo, o efeito de uma superestrutura cristalina de periodicidade n ao longo de uma direc~ao

t

no diagrama de espalhamento consiste no aparecimento de um par de picos simetricos em relac~ao aos pontos da rede

recproca, situados nos pontos

Q

c 1

n

t

da zona de Brillouin, conquanto que exista

o pico de Bragg na posic~ao

Q

c correspondente. No caso de uma superestrutura

magnetica, o que ocorre e o esplitamento do pico

Q

m nos picos

Q

m 1

n

t

.

3.2.2 Evid^encias diretas das faixas de carga

A analise do padr~ao de difrac~ao de neutrons de uma amostra deLa1:48Nd0:4Sr0:12CuO4

(Tranquada et al. [34]) foi um dos primeiros estudos que permitiram entender a geometria das faixas de carga de maneira mais conclusiva. Nesse composto, a dopa-gem com Nd introduz um momento magnetico da ordem de dez vezes o momento doCu2+, estabelecendo uma fraca correlac~ao entre os planos deCuO

2. A raz~ao da

dopagem com o Ndadvem de uma diculdade experimental que consiste em medir os picos de difrac~ao em sistemas com fortes correlac~oes din^amicas. O momento do

Nd se acopla a ordem magnetica dos planos e provoca uma distorc~ao anisotropica na estrutura do cristal, mantendo as faixas praticamente estaticas [10].

Alem dos picos de Bragg, o diagrama da zona (h;k;0) no espaco recproco mostra o esplitamento do vetor

Q

m =;

1 2;

1 2;0

que caracteriza a ordem antiferro-magnetica dos planos de CuO2 em (

;0;0), o que indica a possvel ocorr^encia de

domnios antiferromagneticos. A interpretac~ao desse esplitamento foi o objeto de controversias durante algum tempo. Alguns autores atriburam essa evid^encia ao efeito de \nesting" na superfcie de Fermi [31]. Essa ultima hipotese tem sido rejei-tada apos a observac~ao de picos atribudos a uma superestrutura de carga comen-suravel com os picos magneticos na posic~ao (2;0;0) da zona, na vizinhanca dos

picos de Bragg. Apesar das cargas n~ao interagirem diretamente com os neutrons, a condensac~ao dos eletrons em faixas cria uma distorc~ao periodica na estrutura do cristal que e detectavel atraves do esplitamento dos picos de Bragg. Pode-se entender desse fato que os spins sofrem uma modulac~ao ao longo da direc~ao xcom perodo duas vezes maior que o da modulac~ao de carga, indicando uma ordem de domnios antiferromagneticos em anti-fase. Os picos de spin e carga (1

2; 1 2

;0) e

(0;0;0), respectivamente, n~ao s~ao observados no mesmo plano dos outros picos.

Isso quer dizer que as modulac~oes de carga acopladas aos domnios s~ao faixas (ou linhas) e n~ao uma rede em duas direc~oes delimitando \lagos de spin". A disposic~ao dessas faixas e transversa entre planos vizinhos, em func~ao da correlac~ao causada pelos momentos magneticos do Nd. Nos compostos deNi, em particular, as faixas

correm diagonalmente na rede. Rodando a base do plano em 45 graus, observa-se o aparecimento de picos de spin e carga alinhados nas posic~oes (1

2+;0;0) e (2;0;0),

respectivamente (gura 3.2).

Figura 3.1: A esquerda, picos de espalhamento de neutrons no espaco recproco de uma

amostra de La 1:48 Nd 0:4 Sr 0:12 CuO

4. Os crculos solidos maiores correspondem a picos de

Bragg. Os crculos e diamantes correspondem respectivamente aos picos observados na ordem magnetica e de carga. Os picos nas direc~oes transversas (quadrados e tri^angulos) n~ao s~ao observados num mesmo plano [31]. A direita, a representac~ao pictorica das faixas de carga correspondente ao diagrama de espalhamento.

A natureza dessas faixas precisa ser ainda investigada. Questionamentos sobre o carater topologico dessas estruturas foram respondidos atraves de alguns experi-mentos que buscavam saber qual e a comensurabilidade delas com a rede. Medin-do o grau de depend^encia de  com a temperatura num cristal de La2;xSrxCuO4

dopado com x = 0:225, Tranquada, Buttrey e Sachan [32] obtiveram uma curva experimental claramente ascendente na regi~ao acima de 50 K. Esse comportamento com a temperatura havia sido observado anteriormente em cristais de La2NiO4:125

[33]. A semelhanca entre niqueletos e os cupretos e notavel e implica num alto grau de generalidade desses resultados para as duas famlias de compostos. Me-didas recentes da depend^encia de  com a dopagem no La1:6;xNd0:4SrxCuO4 [35]

mostram que x   para x < 0:12  1

8. A incomensurabilidade das faixas com

a rede demonstra ser uma caracterstica t~ao geral quanto a propria exist^encia das faixas de carga nesses materiais. A fsica de condensac~ao local das cargas e bastan-te robusta em isolanbastan-tes correlacionados submetidos a dopagem, de modo que ela deve ser observada em outros sistemas similares [10].

Figura 3.2: Diagrama de espalhamento de neutrons numa amostra de La 2

NiO 4:125.

A posic~ao dos picos e representada com respeito a base (p

2a; p

2a;c) do espaco real

rodada em 45o _{no plano XY. O aparecimento do pico de carga na posic~ao (2};0;0) indica

que as faixas se orientam diagonalmente no cristal. [32]

Ainda sobre o carater das faixas de carga, n~ao se sabe exatamente qual e o tipo de modulac~ao que elas apresentam. E de comum acordo que deve existir uma modulac~ao da concentrac~ao de cargas e consequentemente da intensidade da magnetizac~ao na direc~ao transversa as faixas. O problema e identicar a ordem dos spins na interface entre os domnios e saber se eles formam uma parede de Neel de 180 (ordem espiral) ou uma linha de Neel (ordem colinear). No primeiro caso,

a magnetizac~ao sofre uma dupla modulac~ao em intensidade e orientac~ao, enquanto que no segundo os spins se mantem alinhados, o que exige uma descontinuidade do campo para manter a anti-fase entre os domnios. Os dois casos s~ao compatveis com os dados experimentais disponveis atualmente [35].

O comportamento crtico desse sistema e outro aspecto ainda n~ao muito bem en-tendido. Medidas de resistividade doLa1:48Nd0:4Sr0:12CuO4 indicam uma abrupta

mudanca de comportamento em torno de 70 K, atribuda a uma mudanca estrutu-ral entre a fase ortorr^ombica e a tetragonal, de simetria mais alta (TO=T = 70K).

Ainda na fase ortorr^ombica, a transic~ao de fase magnetica e detectada experimen-39

Figura 3.3: Depend^encia da intensidade e do esplitamento dos picos magneticos com a temperatura no La

2 NiO

4:125. Os crculos vazios representam a intensidade dos picos e

os crculos cheios a intensidade integrada. Observa-se o aparecimento de alguns maximos locais de intensidade em posic~oes comensuraveis com a rede. [33]

talmente pelo evanescimento da intensidade dos picos correspondentes. A tem-peratura de Neel depende explicitamente da dopagem. No caso dos cupretos de l^antano, T

N

 50K em baixa dopagem e decai a zero muito rapidamente, com x  0:2. Os niqueletos de l^antano exibem antiferromagnetismo ate  100K. O

que ha de mais surpreendente e geral em todos os compostos analizados ate agora e a vericac~ao de que os picos da ordem de carga resistem a temperaturas mais altas que os picos da ordem magnetica. No La

1:775 Sr

0:225 NiO

4:00, a transic~ao de

fase das cargas ocorre em T t  150K enquanto que no La 1:6;x Nd 0:4 Sr x CuO 4 ela

acontece em torno de 60K, acima da temperatura de Neel. Isso quer dizer que as

faixas surpreendentemente sobrevivem a aus^encia de magnetismo num intervalo de temperatura consideravel. Alguns autores interpretaram este comportamento atri-buindo a criticalidade das faixas as cargas e n~ao aos spins, como se acreditava. Isto e correto num sentido muito restrito. Ao que tudo indica, a estabilidade das faixas

Figura 3.4: Representac~ao pictorica dos domnios antiferromagneticos sob uma ordem colinear de spins. As regi~oes mais escuras apresentam uma deci^encia de spin que indica a localizac~ao das faixas. [10]

na aus^encia de ordem magnetica e mantida pelas utuac~oes termicas, atraves de um efeito din^amico via mecanismo de hopping.

Figura 3.5: Padr~ao de espalhamento dos picos da ordem magnetica (esquerda) e de carga (direita) noLa 1:48 Nd 0:4 Sr 0:12 CuO

4 sob diferentes regimes de temperatura. A

tem-peratura crtica da ordem de carga e claramente maior que a da ordem magnetica, indi-cando que as faixas resistem a aus^encia de magnetismo na amostra. Medidas subtradas do espalhamento de fundo. [34]