Faculdades Integradas Campograndenses – FIC
Mini‐Curso: A Matemática na Arte
Rodrigo Neves Figueiredo dos Santos
Março de 2008
1) O Número π
O número pi (representado pela letra grega π) é o irracional mais famoso da história, com o qual se representa a razão constante entre o perímetro de qualquer circunferência e o seu diâmetro.
Na realidade, como número irracional, pi é expresso por uma dízima infinita não periódica, que nos dias de hoje com a ajuda dos computadores já é possível determinar com centenas de milhões de casa decimais.
Aqui aparecem as primeiras cinqüenta:
π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 3751 ...
A existência de uma relação constante entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro era conhecido por muitas das civilizações antigas. Tanto os Babilônios como os Egípcios sabiam que esta ra‐ zão era maior que 3. Nas placas de argila dos Babilônios verifica‐se que estes adotavam uma aproximação grosseira para o valor de π, pois consideravam que a razão do círculo era dada por 3 ou 7 1 3 71 10 3⋅ ≤
π
≤ ⋅ . Nos papiros Egípcios escritos antes de 1700 a.c., a área de um círculo é igual à de um quadrado com 8/9 de diâmetro. Mas por exemplo o papiro de Ahmes, (cerca de 1600 a.c.) dá à relação existente entre a circunferência e o seu diâmetro, o valor 3,16, na nossa notação; o papiro contém uma fórmula para se calcular a área da esfera, em que é atribuído a π o valor de 3,14. Isto evidência que a medição Egípcia da circunferência tinha erro menor do que um por cento. Se tomarmos o diâmetro como 2, a área é p e a regra Egípcia é dada por: 16 , 3 81 256 9 16 9 8 2 2 2 2 ≈ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ =π
. Tanto Hebreus como Babilônios se satisfizeram ao atribuir a π o valor de 3. Na época em que, em Tennesse, se realizava o célebre julgamento da idéia evolucionista, um dos estados da União Americana introduziu na legislação uma lei especial, destinada a restaurar o valor bíblico de π. Lei que acabou por não ser aceita, pois teria ʺcomo conseqüência lógica, a extinção dos tratores e dos automóveis Ford.ʺ No ano 400 d.C. o livro indiano ʺPaulisha Siddhântaʺ usa o valor 3177/1250 para π, anos mais tarde, Tsu Chung‐Chi (430/501 d.C.) descobre que o valor de π se encontra entre 3,1415926 e 3,1415927. Por volta de 499 d.C., aparece, num tratado indiano sobre matemática e astronomia intitulado ʺãryabhataʺ, dados para a obtenção de π: ʺAdicione‐se 4 a 100, multiplique‐se o resultado por 8 e adicione‐se 62.000. O resultado é aproximadamente o comprimento da circunferência de diâmetro 20.000ʺ. De onde sai o valor aproximado 3,1416 para π, que é uma boa aproximação com 3 casas decimais corretas.Mais tarde os investigadores obtiveram melhores aproximações para π usando polígonos com mais lados do que aqueles que foram usados por Arquimedes. Um impressionante cálculo Chinês com um polígono com mais de 3.000 lados deu cinco décimas ao π. Os Chineses também encontraram uma fração simples 355/113 o que difere do π por menos de 0.0000003. No mesmo século, outro alemão, Adriaen van Rooman, usou o método de Arquimedes com 230 lados para obter 15 casas decimais para π.
Viéte em 1593, obteve, pelo Método de Arquimedes, através do limite da sucessão de polígonos inscritos no círculo, o valor 3,1415926535. De sua autoria, temos a seguinte forma a partir da qual π pode ser definido como: ... 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ⎟⎟⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ =
π
Embora seja conhecido que π não é um número racional (isto é π não é a razão de inteiros), há muitas fórmulas surpreendentes que o relaciona com os inteiros.
Em 1656, John Wallis (1616/1703), professor de Geometria da Universidade de Oxford, provou que π /2 é igual ao produto infinito de números racionais. O numerador destas frações contém inteiros pares cada um repetindo‐se duas vezes, e o denominador contém inteiros ímpares, cada um repetindo‐se duas vezes (com exceção do 1). O resultado obtido por Wallis pode escrever‐se da seguinte forma: ... 7 8 7 6 5 6 5 4 3 4 3 2 1 2 2 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
π
Wallis provou que o valor do limite dos produtos tende para π /2. Esta é a primeira fórmula para expressar pi como o limite de seqüência de números racionais. Uma fórmula mais simples, descoberta por James Gregory (1646/1716) em 1671, expressa π /4 como uma série infinita. Ele provou que: ... 13 1 11 1 9 1 7 1 5 1 3 1 1 1 2 ) 1 ( 4 0 + = − + − + − + − − =∑
∞ = n n nπ
.O mesmo resultado foi descoberto independentemente, por Leibniz em 1674, e a série é normal‐ mente chamada de série Gregory‐Leibniz. Ele propõe o cálculo de π pelos limites de séries. Isaac Newton, por volta do ano 1666, através da série: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ + = ... 2 72 1 2 28 1 2 5 1 12 1 24 4 3 3 9 7 5
π
obtém o valor de π com 16 casas decimais. Embora as pessoas se tenham interessado durante séculos pela razão do círculo, o uso da letra grega π como um símbolo que designa esta razão é relativamente recente. O inglês William Jones (1675/1749) é geralmente reconhecido como o primeiro a usar o símbolo π para esta razão. A letra c (para circunfe‐ rência) e p (para perímetro) foram muitas vezes usadas para a razão do círculo, mas a letra grega π tornou‐ se bastante aceite depois de Leonhard Euler usá‐la no seu famoso livro Introductio in Analysin Infinito‐ rum, publicado em 1748. Acredita‐se que a letra π foi escolhida por ser a primeira letra das palavras gregas para perímetro e periferia. Em 1736 Leonhard Euler mostrou que o somatório da série: ... 4 1 3 1 2 1 1 1 1 6 1 2 2 2 2 2 2 + + + + = =∑
∞ = n nπ
Ele também mostrou que esta série pode ser expressa como um produto infinito envolvendo todos os números primos, 2, 3, 5, 7, 11... Especialmente ele mostrou que: ... 1 11 11 1 7 7 1 5 5 1 3 3 1 2 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + − + − + − + − + − =π
As pessoas calculavam mais e mais casas decimais para π, procurando encontrar padrões que se repetissem, mas nenhum foi encontrado. Em 1761 um matemático Alemão, Johann Lambert usou uma fração contínua para a tangente trigonométrica de um ângulo que mostra conclusivamente que π é irracio‐ nal, isto é, π não é razão de dois inteiros. Gauss (1777‐1855) é autor da formula a partir das quais π pode ser definido: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − = ... 3 7 1 3 5 1 3 3 1 3 1 ... 2 7 1 2 5 1 2 3 1 2 1 4 3 5 7 3 5 7
π
2) Número de Ouro, Seqüência de Fibonacci e Espiral Logarítmica
2.1) O Número de Ouro
O número de ouro não é mais do que um valor numérico cujo valor aproximado é 1,618. Este número irracional é considerado por muitos o símbolo da harmonia. A escola grega de Pitágoras estudou e observou muitas relações e modelos numéricos que apareciam na natureza, beleza, estética, harmonia musical e outros, mas provavelmente a mais importante é a razão áurea, razão divina ou proporção divina.
Se quiséssemos dividir um segmento AB em duas partes, teríamos uma infinidade de maneiras de o fazer. Existe uma, no entanto, que parece ser mais agradável à vista, como se traduzisse uma operação harmoniosa para os nossos sentidos. Relativamente a esta divisão, o matemático alemão Zeizing formulou, em 1855, o seguinte princípio:
“Para que um todo dividido em duas partes desiguais pareça belo do ponto de vista da forma, deve apresentar à parte menor e a maior a mesma relação que entre esta e o todo.ʺ A história deste enigmático número perde‐se na antiguidade. No Egito as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a razão áurea: a razão entre a altura de uma face e a metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro. Figura 1: Parthenon Grego.
Os pitagóricos não conseguiram exprimir como quociente entre dois números inteiros, a razão existente entre o lado do pentágono estrelado e o lado do pentágono regular inscritos numa circunferência. Quando chegaram a esta conclusão ficaram muito espantados, pois tudo isto era muito contrário a toda a lógica que conheciam e defendiam que lhe chamaram irracional. Foi o primeiro número irracional de que se teve consciência que o era. Este número era a seção de ouro apesar deste nome só lhe ser atribuído 2000 anos depois.
Posteriormente, os gregos consideraram que o retângulo cujos lados possuíam esta relação apresentava uma especial harmonia estética e lhe chamaram retângulo áureo ou retângulo de ouro, considerando esta harmonia como uma virtude excepcional. Endoxus foi um matemático grego que se tornou conhecido devido à sua teoria das proporções e ao método da exaustão, criou uma série de teoremas gerais de geometria e aplicou o método de análise para estudar a seção que se acredita ser a seção de ouro.
De uma forma mais simplificada podemos chegar ao número de ouro e para isso vamos utilizar o seguinte processo: Considere o segmento de reta, cujas duas extremidades se denominarão de A e C, e colocando um ponto B entre A e C (neste caso o ponto B estará mais perto de A) , de maneira que a razão do segmento de reta mais pequeno (AB) para o maior (BC) seja igual à razão do maior segmento (BC) para o segmento todo (AC):
A razão entre os comprimentos destes segmentos designa‐se habitualmente por seção áurea. Então, tem‐se que: (AB)/(BC) = (BC)/(AC) Pode‐se então definir o número de ouro se fizer: AB = y, BC = x e AC = x + y. O número de ouro vai ser a razão entre x e y (ou seja, será x/y): y/x = x/( x + y ) Resolvendo tal igualdade chegamos à equação do segundo grau: (x/y)² ‐ (x/y) ‐ 1 = 0 Resolvendo esta equação quadrática onde r = x/y, obtêm‐se as soluções: r1 = ( 1 +
5
) / 2 e r2 = ( 1 ‐5
) / 2Não se irá considerar o segundo valor (r2), tendo em conta que o comprimento de um polígono, nunca poderá ser negativo. Chega‐se então, ao que se pretende, isto é, encontrou‐se o tão esperado número de ouro Ф (Phi): Ф = ( 1 +
5
) / 2 = 1.618033988749895... Phi tem este nome em homenagem ao arquiteto grego Phidias, construtor do Parthenon e que utili‐ zou o número de ouro em muitas de suas obras. Outras formas de se representar o número Ф é através das seguintes séries infinitas: ... 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + = Φ e Φ= 1+ 1+ 1+ 1+ 1+...2.2) A Seqüência de Fibonacci
O Matemático Italiano Leonardo de Pisa nasceu na Itália por volta de 1175 e ficou conhecido como Fibonacci (filho de Bonaccio). A partir da publicação do livro Líber Abacci, (livro do Ábaco) em 1202, Fibonacci tornou‐se famoso, principalmente devido aos inúmeros temas desenvolvidos nesse trabalho. Nele aparecem estudos sobre o clássico problema envolvendo populações de coelhos, o qual foi à base para o estabelecimento da célebre seqüência (números) de Fibonacci. Quantos pares de coelhos podem ser gerados de um par de coelhos em um ano? Um homem tem um par de coelhos em um ambiente inteiramente fechado. Desejamos saber quantos pares de coelhos podem ser gerados deste par em um ano, se de um modo natural a cada mês ocorre a produção de um par e um par começa a produzir coelhos quando completa dois meses de vida. Como o par adulto produz um par novo a cada 30 dias, no início do segundo mês existirão dois pares de coelhos, sendo um par de adultos e outro de coelhos jovens, assim no início do mês 1 existirão 2 pares: 1 par adulto + 1 par recém nascido. Esse problema aparece esquematizado na Figura 2. Tal processo continua através dos diversos meses até completar um ano. Observa‐se esta formação no gráfico com círculos, mas também se pode perceber que a seqüência numérica, conhecida como a seqüência de Fibonacci, indica o número de pares ao final de cada mês:Vale à pena notar que os números desta seqüência aparecem na fórmula da diagonal do triângulo de pascal e em determinar coeficientes do binômio de Newton. Figura 2: Esquema do problema dos coelhos. Pode‐se tomar a definição desta seqüência para todo n natural, como: u(1)=1, u(2)=1 e u(n+1) = u(n‐1) + u(n).
Esta seqüência não é limitada superiormente, mas existe um fato interessante: tomando as razões (divisões) de cada termo pelo seu antecessor, obtemos uma outra seqüência numérica cujo termo geral é dado por: F(n) = u(n+1) / u(n). que é uma seqüência limitada. Se considerarmos a seqüência de Fibonacci como um conjunto da forma {1,1,2,3,5,8,13,...} e a divisão de cada número pelo seu antecessor, obteremos outra seqüência: 1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1.5, 5/3 = 1.666..., 8/5 = 1.6, ... É fácil perceber o que ocorre quando colocamos estas razões sucessivas (alturas) em um gráfico em que o eixo horizontal indica os elementos da seqüência de Fibonacci: As razões vão se aproximando de um valor particular, conhecido como Número de Ouro (Número Áureo). Ou seja, quando n tende a infinito, o limite é exatamente o número de ouro.
Ф = Lim u(n+1) = 1.618033988749895... n→∞ u(n)
2.3) Spira Mirabilis: A Espiral Logarítmica
Entre as muitas curvas que já intrigaram os matemáticos, desde que Descartes apresentou a geome‐ tria analítica em 1697, houve uma que obteve um destaque especial: a espiral logarítmica.
Se desenharmos sua equação, obteremos a curva mostrada na figura 3, a espiral logarítmica. A espiral tende a crescer se afastando do centro exponencialmente. Talvez a característica individual mais importante da espiral logarítmica seja que, sua função inversa é a própria espiral refletida. Figura 3: Espirais no sentido esquerdo e direito
Se seguirmos a espiral para dentro, a partir de qualquer ponto fixo P sobre ela, teremos que descrever um número infinito de rotações antes de chegarmos a origem O, mas, surpreendentemente, a distância total coberta será finita. Este fato notável foi descoberto por Evangelista Torricelli em 1645, um discípulo de Gali‐ leu bastante conhecido na época. Ele mostrou que o comprimento do arco de P ao pólo O é igual ao compri‐ mento da linha tangente à espiral em P, isto é, a medi‐ da em linha reta de P ao eixo dos y. Veja a figura 4. Figura 5: Propriedade Eqüiangular. Figura 4: Retificação da espiral logarít‐ mica: a distância PT é igual a PO.
Algumas propriedades mais notáveis da espiral logarítmica dependem do fato que a função
e
x é igual a sua derivada. Por exemplo, cada linha reta cortando a origem O atravessa todas as camadas da espiral com o mesmo ângulo. Veja a figura 5. Além disso, a espiral logarítmica é a única curva que possui esta característica; por isto ela também é conhecida como espiral eqüiangular.O que mais empolgava Jakob Bernoulli em relação à espiral logarítmica era o fato dela parecer imutável, invariável, na maioria das transformações da geometria. Considere os seguintes casos: 1. Inversa da espiral logarítmica: Geralmente a forma de uma curva muda muito em uma inversão. Mas isto não acontece com a espiral logarítmica, pois a mudança de equação é a própria espiral invertida. 2. Evoluta da espiral logarítmica: a evoluta de uma função envolve o conceito de centro de curva‐ tura da curva original. A curvatura de cada ponto é a medida da taxa com que a curva muda de direção naquele ponto, sendo, portanto função de uma variável independente. A evoluta de uma espiral logarítmica é a própria espiral. 3. A curva pedal de uma espiral logarítmica: é o encontro das projeções perpendiculares da origem às linhas tangentes de uma dada curva. No caso da espiral logarítmica ela é novamente a mesma espiral. 4. A cáustica de uma espiral logarítmica: é o invólucro formado pelos raios de luz emanados pelo centro e refletidos pela curva, como se ela fosse espelhada por dentro. Jakob descobriu que ela continua sendo a mesma espiral.
Jakob ficou tão impressionado com suas descobertas que desenvolveu uma reverência mística em relação a sua amada curva. Ele a batizou de Spira Mirabilis (a espiral maravilhosa) e expressou seu desejo de que uma espiral logarítmica fosse esculpida em sua lápide com a inscrição: Eadem mutata resurgo (Embora mudado, devo me erguer o mesmo). O desejo de Jakob foi quase atendido. Fosse por ignorância ou para tornar sua tarefa mais fácil, o pedreiro de fato talhou uma espiral na tumba, mas é uma espiral de Arquimedes e não uma espiral logarítmica (Na espiral de Arquimedes, cada volta sucessiva aumenta sua distância em relação à origem de forma constante ou linear). Os visitantes do claustro, na catedral de Münster, ainda podem ver o resultado (veja a figura 6), que, sem dúvida, teria feito Jakob rolar em sua tumba. Figura 6: A lápide de Jakob Bernoulli em Basiléia.
2.4) Construção da Espiral Logarítmica
figuras conhecidas como triângulos áureos, como pode ser visto na figura 7. Note que ambos os triângulos são isósceles e a razão entre o maior lado e o menor lado é o número de ouro. O primeiro triângulo possui os lados em proporção áurea com a base, e o segundo, a base em proporção áurea com ambos os lados. Figura 7: Triângulos áureos formados das diagonais de um pentágono regular. Se tomarmos um triângulo isósceles cujos lados possuem a relação áurea e bisseccionarmos um dos ângulos de 72o da base veremos que obteremos outro triângulo com as mesmas características do original. Se continuarmos o processo com este novo triângulo, e assim consecutivamente, obtemos uma seqüência de triângulos semelhantes.
Usando como base os vértices desta seqüência de triângulos, podemos construir uma espiral logarítmica que converge para o ponto em que a seqüência de triângulos também converge. Figura 8: Espiral logarítmica construída a partir de triângulos áureos. Perante um número tão fascinante, a seqüência de Fibonacci não poderia deixar de nos surpreender novamente. A seqüência de Fibonacci está ligada ao número de ouro, como vimos no texto complementar do capítulo 4. Porém, com os termos da seqüência de Fibonacci se pode construir uma seqüência de qua‐ drados encaixados, em que os números dentro de cada quadrado correspondem ao comprimento do lado do respectivo quadrado, sendo simultaneamente termos da sucessão de Fibonacci. Veja na figura 9. Também a partir deste retângulo pode‐se construir uma espiral eqüiangular, de centro O (ponto de intersecção das diagonais desenhadas na figura):
Figura 9: Espiral construída através de quadrados de Fibonacci.
Note, entretanto, que esta espiral não é uma espiral logarítmica e sim a espiral de Fibonacci, porém possui um comportamento muito semelhante. Para termos suficientemente grandes, quando a espiral está tendendo ao infinito, tal semelhança tende a se acentuar. Por outro lado, a espiral logarítmica também pode ser construída por este mesmo critério, em que são usados retângulos de ouro ao invés de quadrados de Fibonacci.
2.5) Aplicações na Arte
NA NATUREZA O número de ouro e a espiral logarítmica, aparecem na natureza, no comporta‐mento da refração da luz, dos átomos, do crescimento das plantas, nas espirais das galáxias, dos marfins de elefantes e chifres de bodes montanheses, nas ondas no oceano, furacões, etc. (a) (b) (c) Figura 10: (a) Foto da Via Láctea, (b) Foto superior tirada via satélite do furação Mirch em 1998 e (c) Bode Montanhês. Vegetais9 Semente de Girassol – A proporção em que aumenta o diâmetro das espirais sementes de um
girassol é a razão áurea (Forma espirais logarítmicas). 9 Achillea ptarmica – A razão do crescimento de seus galhos segue a seqüência de Fibonacci, que possui uma ligação tênue com o número de ouro. 9 Folhas das Árvores – A proporção em que se diminuem as folhas de uma árvore à medida que subimos de altura. (a) (b)
Figura 11: (a) Sementes de Girassol, (b) Razão do crescimento da Achillea ptarmica. Animais 9 População de Abelhas – A proporção entre abelhas fêmeas e machos em qualquer colméia.
9 Concha do Caramujo Nautilus – A proporção em que cresce o raio do interior da concha desta
espécie de caramujo. Este molusco bombeia gás para dentro de sua concha repleta de câmaras pra poder regular a profundidade de sua flutuação. 9 Outros – phi estão também nas escamas de peixes, presas de elefantes, listras de tigres, etc... Figura 12: Moluscos náuticos vistos em seção. Corpo Humano
A excelência dos desenhos de Leonardo da Vinci revela os seus conhecimentos matemáticos bem como a utilização da razão áurea como garante de uma perfeição, beleza e harmonia únicas. É lembrado como matemático apesar da sua mente irrequieta não se concentrar na aritmética, álgebra ou geometria o tempo suficiente para fazer uma contribuição significativa. Representa bem o homem tipo da renascença que fazia de tudo um pouco sem se fixar em nada. Leonardo era um gênio de pensamento original que usou exaustivamente os seus conhecimentos de matemática, nomeadamente o número de ouro, nas suas obras de arte.
Um exemplo é a tradicional representação do homem em forma de estrela de cinco pontas de Leonardo, a qual foi inspirada no pentágono regular e estrelado inscrito na circunferência, conforme pode ser observado na Figura 4. Figura 13: Representação do Homem por Figura 14: Proporção áurea Leonardo Da Vinci. em uma mão. Essas proporções anatômicas foram bem representadas pelo ʺHomem Vitruvianoʺ, obra de Leonar‐ do Da Vinci. 9 A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão.
9 A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça. 9 A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax. 9 A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo. 9 O tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta. 9 A medida da dobra central até a ponta dividida e da segunda dobra até a ponta. 9 A medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho até o chão. NA LITERATURA Na literatura o número de ouro encontra sua aplicação mais notável no poema épico grego Ilíada, de Homero, que narra os acontecimentos dos últimos dias da Guerra de Tróia. Quem o ler notará que a proporção entre as estrofes maiores e as menores dá um número próximo ao 1.618, o número de ouro.
Luís de Camões na sua obra Os Lusíadas, colocou a chegada à Índia no ponto que divide a obra na razão de ouro.
NA PINTURA
A proporção áurea foi muito usada na arte, em obras como O Nascimento de Vênus, quadro de Botticelli, em que Afrodite está na proporção áurea. Esta proporção estaria ali aplicada pelo motivo do autor representar a perfeição da beleza. Em O Sacramento da Última Ceia de Salvador Dalí, as dimensões do quadro (aproximadamente 270 cm × 167 cm) estão numa Razão Áurea entre si. Na história da arte renascentista a perfeição da beleza em quadros foi bem explorada com base nesta constante. Vários pintores e escultores lançaram mão das possibilidades que a proporção os dava de retratar a realidade com mais perfeição. (a) (b) Figura 15: Quadros (a) A Monalisa e (b) O Nascimento de Vênus. A Monalisa de Leonardo da Vinci utiliza o número áureo nas relações entre seu tronco e cabeça, e também entre os elementos do rosto. NA ARQUITETURA
Entre 1942 e 1948, Le Corbusier desenvolveu um sistema de medição que ficou conhecido por “Modulor”. O Modulor está baseado na razão de ouro e nos números de Fibonacci e usa também as dimensões médias humanas (dentro das quais 183 cm é a altura standard). O Modulor é uma seqüência de medidas que Le Corbusier usou para encontrar harmonia nas suas composições arquiteturais.
Figura 16: O Modulor de Lê Corbusier. Le Corbusier esforçou‐se por usar a espiral de ouro inscrita no retângulo áureo em alguns dos seus trabalhos arquitetônicos, mas não obteve um resultado muito brilhante, pelo menos quando comparados com os de outros arquitetos. Figura 17: Um exemplo de um edifício Figura 18: Torre de Tatlin espiral, por Le Corbusier. NA MÚSICA
O número de ouro está presente nas famosas sinfonias como a 5ª e 9ª de Beethoven e em outras diversas obras. Outro fato interessante registrado na Revista Batera, em um artigo sobre o grande baterista de Jazz Max Roach é que em seus solos curtos aparece tal número, se considerarmos as relações que aparecem entre tempos de bumbo e caixa.
A proporção harmônica pode ser considerada uma subversão da proporção aritmética, trabalhando o som de uma oitava em uma quarta e uma quinta. Na música, existem artigos que relacionam as composições de Mozart, Bethoveen (Quinta Sinfonia), Schubert e outros com a razão áurea. Pode‐se verificar que até mesmo a construção de instrumentos, como exemplo o violino, está relacionado com a proporção áurea. Os amantes da música podem ficar a saber que mesmo Stradivarius utilizava o número de Ouro na construção dos seus famosos violinos.
Figura 19: Violino Stradivarius de Cremonese
3) A Matemática na Arte
3.1) Arte Litográfica: Escher
Mauritus Cornelis Escher, nasceu em Leeuwarden na Holanda em 1898, faleceu em 1970 e dedicou toda a sua vida às artes gráficas. Na sua juventude não foi um aluno brilhante, nem sequer manifestava grande interesse pelos estudos, mas os seus pais conseguiram convencê‐lo a ingressar na Escola de Belas Artes de Haarlem para estudar arquitetura. Foi lá que conheceu o seu mestre, um professor de Artes Gráficas judeu de origem portuguesa, chamado Jesserum de Mesquita.Com o professor Mesquita, Escher aprendeu muito, conheceu as técnicas de desenho e deixou‐se fascinar pela arte da gravura. Este fascínio foi tão forte que levou Mauritus a abandonar a Arquitetura e a seguir as Artes Gráficas. O contato com a arte árabe está na base do interesse e da paixão de Escher pela divisão regular do plano em figuras geométricas que se transfiguram, se repetem e refletem, pelas pavimentações. Porém, no preenchimento de superfícies, Escher substituía as figuras abstrato‐geométricas, usadas pelos árabes, por figuras concretas, perceptíveis e existentes na natureza, como pássaros, peixes, pessoas, répteis, etc. Figura 20: Litografia sobre formas complementares. Figura 21: Litografia Horse Circles.
Escher, sem conhecimento matemático prévio, mas através do estudo sistemático e da experimen‐ tação, descobre todos os diferentes grupos de combinações isométricas que deixam um determinado ornamento invariante. A reflexão é brilhantemente utilizada na xilografia ʺDay and Nightʺ.
Figura 22: Xilografia Day and Night.
Aos poucos, Escher, vai sendo cada vez mais ousado e para além da “dança” com a geometria, vai também ao encontro do infinito. A divisão regular da superfície aparece misturada a formas tridimen‐ sionais, geralmente num ciclo sem fim, onde uma fase se dilui na outra. A litografia ʺReptilesʺ é um bom exemplo disso. Figura 23: Litografia Reptiles. Figura 24: Litografia O que Há do Outro Lado. Fascinado pelos paradoxos visuais, Escher chegou à criação de mundos impossíveis. Nesses traba‐ lhos, o artista joga com as leis da perspectiva para produzir surpreendentes efeitos de ilusão de óptica. Nos seus desenhos somos levados a novos universos, a sítios verdadeiramente misteriosos!
Escher suscitou a atenção por parte de muitos matemáticos, cientistas e cristalógrafos. O mais curio‐ so é que Escher não tinha uma formação específica nestas áreas, mas elas aparecem nas suas criações! Cada vez mais assediado pelos matemáticos, Escher acabou muitas vezes por se inspirar em suas novas descobertas. Figura 25: Litografias Ascending, Waterfall Large e Relativy, respectivamente. Escher utilizou muitos conceitos matemáticos em suas obras como o infinito, cíclico, perspectivas, geometria, complementaridade, simetria, projeções, elipses, parábolas e etc...
3.2) Arte Pictórica: Leonardo da Vinci
Leonardo nasceu a 15 de Abril de 1452, na pequena cidade de Vinci, perto de Florença, centro intelectual e científico da Itália. O seu talento artístico cedo se revelou, mostrando excepcional habilidade na geometria, na música e na expressão artística. Reconhecendo estas suas capacidades, o seu pai, Ser Piero da Vinci, mostrou os desenhos do filho a Andrea del Verrocchio. O grande mestre da renascença ficou encantado com o talento de Leonardo e tornou‐o seu aprendiz.
Não se sabe muito mais acerca da educação e formação do artista, no entanto, muitos autores afirmam que o seu conhecimento não provém de fontes tradicionais, mas sim da observação pessoal e da aplicação prática das suas idéias. Pintor, escultor, arquiteto e engenheiro, Leonardo da Vinci foi o talento mais versátil da Itália do Renascimento. Os seus desenhos, combinando uma precisão científica com um grande poder imaginativo, refletem a enorme vastidão dos seus interesses, que iam desde a biologia, à fisiologia, à hidráulica, à aeronáutica e à matemática.
Durante o apogeu do renascimento, Da Vinci, enquanto anatomista, preocupou‐se com os sistemas internos do corpo humano, e enquanto artista interessou‐se pelos detalhes externos da forma humana, estudando exaustivamente as suas proporções. As seguintes imagens resultam destes seus interesses.
Figura 26: Auto retrato de Leonardo da Vinci, representação das proporções da face humana e Homem de Vitrúvio, respectivamente.
Os pintores do Renascimento, e em particular Da Vinci, recorreram a conceitos de geometria proje‐ tiva (centro de projeção, linhas paralelas representadas como linhas convergentes, ponto de fuga) para criar os seus quadros com um aspecto tridimensional. A obra prima A Última Ceia é um bom exemplo disso, onde ele domina o primeiro plano. Os seus próprios braços, ao longo das linhas da pirâmide visual, reforçam a perspectiva. Figura 27: A Última Ceia, uma breve análise sobre as proporções áureas. Um dos quadros mais famosos do mundo deve‐se a este homem das ciências e das artes. A Mona Lisa é provavelmente o retrato de Madona Lisa Gherardini, mulher do rico cidadão de Veneza Francesco
del Giocondo que o encomendou ao pintor. Daí o quadro também ser chamado A Gioconda. Desconfia‐se, no entanto, que Leonardo tenha de fato começado a pintura como um retrato da mulher do nobre, mas que depois a tenha tornado na imagem da idéia que o pintor fazia da beleza perfeita. Figura 28: Duas montagens sobre a Monalisa, apontando triângulos e retângulos áureos.
No quadro Mona Lisa pode‐se observar a proporção áurea em várias situações. Por exemplo, se construirmos um retângulo em torno de seu rosto, veremos que este é um retângulo de ouro. Podemos também subdividir este retângulo usando a linha dos olhos para traçar uma reta horizontal e temos nova‐ mente a razão de ouro. Podemos continuar a explorar esta proporção em várias outras partes do corpo. As próprias dimensões do quadro formam igualmente um retângulo áureo. A razão de ouro encontra‐se igualmente presente num trabalho inacabado de Da Vinci, S. Jerônimo, pintado por volta de 1483. A figura de S. Jerônimo inscreve‐se perfeitamente num retângulo de ouro que pode ser sobreposto ao desenho. Admite‐se que tal não tenha acontecido por acaso mas porque Leonardo construiu a figura deliberadamente de acordo com a secção de ouro, devido ao seu grande interesse pela matemática e pela utilização desta em muitos dos seus trabalhos e idéias. Leonardo escreveu em seus apontamentos ʺ... nenhuma investigação humana pode ser considerada ciência se não abrir o seu caminho por meio da exposição e da demonstração matemáticasʺ. Figura 29: Pinturas de São Jerônimo e a Madonna de Rochas. Outros nomes da pintura, conhecidos por usar a matemática em suas obras, são Rafael, Michelan‐ gelo, Piet Mondrian, Albrech Dürer, Salvador Dalí, entre outros.
3.3) Arte Arquitetônica: Oscar Niemeyer
Oscar Niemeyer Soares Filho é um arquiteto brasileiro nascido no Rio de Janeiro. Formou‐se na Universidade do Brasil em 1935. Trabalhou com o muito conceituado arquiteto Suíço, Le Corbusier, no revolucionário desenho do edifício dos Ministérios da Saúde e da Educação brasileiros, que ficou terminado em 1936. Entre muitos edifícios que Niemeyer desenhou estão a Igreja de São Francisco que tem uma estrutura tão radical que a sua consagração foi atrasada até 1959, embora a Igreja tivesse sido terminada em 1943.
Figura 30: Foto da Construção de Brasília.
A originalidade e a imaginação que Niemeyer revelou nos seus trabalhos valeram‐lhe uma reputação de líder da arquitetura moderna. Embora altamente variado, o seu trabalho inclui sempre um enorme espaço vazio integrado em formas muito invulgares. Altos edifícios suportados por pilares de betão ou aço caracterizam a obra do arquiteto. Niemeyer foi o mais importante desenhista dos edifícios do Estado em Brasília, a capital do Brasil.
Figura 31: Foto do Palácio do Planalto. Figura 32: Foto da Biblioteca Nacional de Brasília. Os arquitetos da nova capital, Oscar Niemeyer e Lúcio Costa pretendiam construir uma cidade utópica. O desejo era ʺconstruir um urbanismo com luz, ar e sol, com a transparência do cristal e a lógica de uma equaçãoʺ (Goerdeler,2000). A Catedral Metropolitana, ou Catedral de Brasília, é um dos imensos edifícios públicos desenhados pelo arquiteto Niemeyer nos anos 60 para a capital brasileira. Esta Catedral foi construída entre os anos 1959 e 1980 e, têm na sua arquitetura técnicas e materiais modernistas misturados com as linhas curvas e a liberdade da forma, próprias do período barroco brasileiro. Figura 33: Foto da Catedral Metropolitana de Brasília. A base do edifício é circular e tem cerca de 60 m de diâmetro, e o seu piso principal situa‐se a 3 m do chão. O seu telhado de vidro fosco, que tem início ao nível do chão é suportado por 16 colunas curvas, colunas estas, que vistas de fora do edifício, terminam no topo de forma pontiaguda, lembrando a
imagem de uma coroa de espinhos, mas sem dúvida que a maior relação deve‐se ao fato de, as colunas referidas, serem arcos de hipérbole. Figura 34: Museu de Arte Contemporânea de Niterói. Figura 35: Museu da República. Figura 36: Obra em Pampulha, MG. Bancada por Juscelino Kubistcheck.
4) A Matemática e Arte Fractal
Fractais (do latim fractus, fração, quebrado) são figuras da geometria não‐Euclidiana. A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e comportamento dos fractais. Descreve mui‐ tas situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica, e foram aplicadas em ciên‐ cia, tecnologia e arte gerada por computador. As raízes conceituais dos fractais remontam a tentativas de medir o tamanho de objetos para os quais as definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham.Um fractal (anteriormente conhecido como “curva monstro”) é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objeto original. Diz‐se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente auto‐similares e independem de escala. Em muitos casos, um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou iterativo.
O termo foi cunhado em 1975 por Benoît Mandelbrot, matemático francês nascido na Polônia, que descobriu a geometria fractal na década de 70 do século XX, a partir do adjetivo latino fractus, do verbo frangere, que significa quebrar.
Durante séculos, os objetos e os conceitos da filosofia e da geometria euclidiana foram conside‐ rados como os que melhor descreviam o mundo em que vivemos. A descoberta de geometrias não‐eucli‐ dianas introduziu novos objetos que representam certos fenômenos do Universo, tal como se passou com os fractais. Assim, considera‐se hoje que tais objetos retratam formas e fenômenos da Natureza. Em 1872, Karl Weierstrass encontrou o exemplo de uma função com a propriedade de ser contínua em todo seu domínio, mas em nenhuma parte diferenciável. O gráfico desta função é chamado atualmen‐ te de fractal. Em 1904, Helge von Koch, não satisfeito com a definição muito abstrata e analítica de Weierstrass, deu uma definição mais geométrica de uma função similar, atual‐mente conhecida como Koch snowflake (ou floco de neve de Koch), que é o resultado de infinitas adições de triângulos ao perímetro de um triân‐ gulo inicial. Cada vez que novos triângulos são adicionados, o perímetro cresce, e fatalmente se aproxima do infinito. Dessa maneira, o fractal abrange uma área finita dentro de um perímetro infinito.
Figura 37: Floco de neve de Koch
Também houve muitos outros trabalhos relacionados a estas figuras, mas esta ciência só conseguiu se desenvolver plenamente a partir da década de 60, com o auxílio da computação. Um dos pioneiros a usar esta técnica foi Benoît Mandelbrot, um matemático que já vinha estudando tais figuras. Mandelbrot foi responsável por criar o termo fractal, e responsável pela descoberta de um dos fractais mais conheci‐ dos, o conjunto de Mandelbrot.
Os fractais podem ser agrupados em três categorias principais. Estas categorias são determinadas pelo modo como o fractal é formado ou gerado:
Sistema de funções iteradas — Estas possuem uma regras fixa de substituição geométrica. Com‐ junto de Cantor, tapete de Sierpinski, Sierpinski gasket, curva de Peano, floco de neve de Koch, curva do dragão de Harter‐Heighway, T‐Square, esponja de Menger, são alguns exemplos deste tipo de fractal.
Fractais definidos por uma relação de recorrência em cada ponto do espaço (tal como o plano complexo). Exemplos deste tipo são o conjunto de Mandelbrot e o fractal de Lyapunov. Estes também são chamados de fractais de fuga do tempo.
Fractais aleatórios, gerados por processos estocásticos ao invés de determinísticos, por exemplo, terrenos fractais e o vôo de Lévy.
(a) (b) (c)
Figura 2: (a) fractal tapete de Sierpinski, (b) fractal dragão de Harter‐Heighway e (c) fractal esponja de Menger.
Pelo fato do fractal possuir uma granulometria infinita, nenhum objeto natural pode sê‐lo. Os obje‐ tos naturais podem exibir uma estrutura semelhante ao fractal, porém com uma estrutura de tamanho limitado.
Árvores e samambaias (ou fetos) são fractais naturais que podem ser modelados em computadores que usam algoritmos recursivos. Esta propriedade de repitividade está clara nestes exemplos, pois num ramo de uma árvore ou na folhagem de uma samambaia pode ser observada uma réplica em miniatura do todo. Não idêntico, porém semelhante na estrutura.
Figura 38: Feto fractal. Os Fractais são normalmente gerados através de computadores com softwares específicos. Através de seu estudo podemos descrever muitos objetos extremamente irregulares do mundo real. Como exem‐ plo de softwares temos o Xaos: http://xaos.sourceforge.net/index.php Os meteorologistas utilizam o cálculo fractal para verificar as turbulências da atmosfera incluindo dados como nuvens, montanhas, a própria turbulência, os litorais, e árvores. As técnicas fractais também estão sendo empregadas para a compactação de imagens através da compressão fractal, além das mais diversas disciplinas científicas que utilizam o processo.
