U
U
NIVERSIDADE
NIVERSIDADE
SALGADO
SALGADO
DE
DE
OLIVEIRA
OLIVEIRA
C
C
AMPUS
AMPUS
R
R
ECIFE
ECIFE
D
D
ISCIPLINA
ISCIPLINA
E
E
NGENHARIA
NGENHARIA
E
E
CONÔMICA
CONÔMICA
M
M
ATEMÁTICA
ATEMÁTICA
F
F
INANCEIRA
INANCEIRA
P
C
C
APÍTULOAPÍTULOI – C
I – C
ONCEITOSONCEITOSG
G
ERAISERAIS EEJ
J
UROSUROSS
S
IMPLESIMPLESA matemática financeira trata, em essência, do estudo do valor do dinheiro ao
longo do tempo. O seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações do
vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa verificados em diferentes
momentos.
1.1 – Juros
Refere-se á remuneração de um valor (capital), que incide sobre o mesmo.
1.2 – Taxas de Juros
As taxas de juros devem remunerar:
a) o risco envolvido na operação;
b) a perda do poder de compra (aquisitivo) motivada pela inflação;
c) o capital emprestado/aplicado.
As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo: mês,
semestre, ano etc. Podem ser representadas por taxa percentual e taxa unitária.
a) Taxa Percentual – refere-se aos “contos” do capital, ou seja, o valor dos
juros para cada centésima parte do capital.
Ex.: um capital de R$ 1.000,00, aplicado a uma taxa de 20% ao mês, renderá
quando de juros, ao final deste período?
juros = R$ 1.000,00 x 20
100
juros = R$ 10,00 x 20 = R$ 200,00
O capital de R$ 1.000,00 tem dez centos. Como cada um deles rende 20, a
remuneração total da aplicação no período é, portanto, de R$ 200,00.
b) Taxa Unitária – centra-se na unidade de capital. Reflete o rendimento de
cada unidade de capital em certo período de tempo.
Ex.: no exemplo anterior, a taxa percentual de 20% ao ano indica um
rendimento de 0,20 (20/100) por unidade de capital aplicada, ou seja:
Juros = R$ 1.000,00 x 20
100
Taxa Percentual
Taxa Unitária
1,50%
0,015
8,00%
0,08
17,00%
0,17
86,00%
0,86
120,00%
1,20
1500,00%
15,00
Na matemática financeira, todos os cálculos são efetuados utilizando-se a
taxa unitária de juros. Todavia, os resultados sempre são representados pela taxa
percentual.
1.3 – Diagrama do Fluxo de Caixa
Permite que se visualize no tempo, o que ocorre com o capital.
Ex.:
+ +
+ +
tempo
saída de 0 1 2 3 4 5 6 7 8
caixa
(-)
A linha horizontal registra a escala do tempo, ou seja, o horizonte financeiro
da operação. O ponto zero indica o momento inicial, e os demais pontos
representam os períodos de tempo (datas). As setas acima da linha do tempo
refletem as entradas (recebimentos) de dinheiro, e as setas para baixo da linha
indicam saídas (ou aplicações) de dinheiro.
1.4 – Regras Básicas
Nas fórmulas de matemática financeira, tanto a taxa de juros como o período
de capitalização devem estar na mesma unidade de tempo.
Ex.: juros de 2% ao mês e rendimentos creditados mensalmente.
Se a aplicação foi efetuada pelo prazo de 1 mês, mas os juros definidos em
taxa anual, não há coincidência nos prazos. Nesse caso é preciso que haja uma
transformação de uma variável para a unidade da outra.
1.5 – Regime de Capitalização de Juros
•
Regime Simples = linear;
Regime Simples – comporta-se como se fosse uma progressão aritmética
(PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo.
Ex.: empréstimo de R$ 1.000,00, pelo prazo de 5 anos, pagando-se juros
simples, à razão de 10% ao ano.
(R$)
Ano InicialSaldo Juros Saldo Devedor Crescimento Anual do Saldo Devedor
Início 1° - - 1.000,00 -Fim 1° 1.000,00 0,10 x R$ 1.000,00 = R$ 100,00 1.100,00 100,00 Fim 2° 1.100,00 0,10 x R$ 1.000,00 = R$ 100,00 1.200,00 100,00 Fim 3° 1.200,00 0,10 x R$ 1.000,00 = R$ 100,00 1.300,00 100,00 Fim 4° 1.300,00 0,10 x R$ 1.000,00 = R$ 100,00 1.400,00 100,00 Fim 5° 1.400,00 0,10 x R$ 1.000,00 = R$ 100,00 1.500,00 100,00
Regime Composto – equivale a uma progressão geométrica (PG), no qual os
juros incidem sempre sobre o saldo apurado no início do período correspondente (e
não unicamente sobre o capital inicial).
Ex.: admitindo-se no exemplo anterior a dívida de R$ 1.000,00, pelo prazo de
5 anos, pagando-se juros compostos, à taxa de 10% ao ano, temos:
(R$)
Ano Saldo Inicial Juros Saldo Devedor ao Final de Cada Ano
Início 1° - - 1.000,00 Fim 1° 1.000,00 0,10 x R$ 1.000,00 = R$ 100,00 1.100,00 Fim 2° 1.100,00 0,10 x R$ 1.100,00 = R$ 110,00 1.210,00 Fim 3° 1.210,00 0,10 x R$ 1.210,00 = R$ 121,00 1.331,00 Fim 4° 1.331,00 0,10 x R$ 1.331,00 = R$ 133,10 1.464,10 Fim 5° 1.464,00 0,10 x R$ 1.464,10 = R$ 146,41 1.610,51
Diante dos resultados obtidos, pode-se elaborar um quadro comparativo dos
regimes de capitalização apresentados:
(R$)
Ano
Capitalização Simples Capitalização Composta Diferença: composta-simples Juros
anuais devedorSaldo anuaisJuros devedorSaldo anuaisJuros Saldo devedor
Início 1° - 1.000,00 - 1.000,00 - -Fim 1° 100,00 1.100,00 100,00 1.100,00 - -Fim 2° 100,00 1.200,00 110,00 1.210,00 10,00 10,00 Fim 3° 100,00 1.300,00 121,00 1.331,00 21,00 31,00 Fim 4° 100,00 1.400,00 133,10 1.464,10 33,10 64,10 Fim 5° 100,00 1.500,00 146,41 1.610,51 46,41 110,51
Representação Gráfica:
R$ capitalização composta (exponencial) 150 capitalização simples (linear) 140 130 120 110 100 0 1 2 3 4 5 Tempo (ano)1.6 – Aplicações Práticas dos Juros Simples e Compostos
Os juros simples têm aplicações práticas bastante limitadas. São raras as operações financeiras e comerciais segundo o regime de capitalização linear. O juros simples restringem-se principalmente às operações praticadas no âmbito do curto prazo.
Tecnicamente mais correto por envolver a capitalização exponencial dos juros, o regime composto é reconhecidamente adotado por todo o mercado financeiro e de capitais. 1.7 – Capitalização Contínua e Descontínua
Capitalização Contínua – se processa em intervalos de tempo bastante reduzidos. Pode ser estendida em todo fluxo monetário distribuído ao longo do tempo e não somente num único instante. Esse regime é pouco utilizado.
Ex.: faturamento de um supermercado; depreciação de um equipamento etc.
Capitalização Descontínua – os juros são formados somente ao final de cada período de capitalização. Esse regime é bastante generalizado.
Ex.: caderneta de poupança. 1.8 – Fórmula de Juros Simples
J = c . i . n j = juros expressos em unidades monetárias (R$); c = capital, expresso em unidades monetárias (R$); i = taxa de juros, expressa em forma percentual; n = prazo.
Exemplo 1.
Um capital de R$ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês, durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período.
Solução: c = R$ 80.000,00 i = 2,5% ao mês = 0,025 n = 3 meses j = ? J = c . i . n J = 80.000 . 0,025 . 3 J = R$ 6.000,00 Exemplo 2.
Um negociante tomou um empréstimo, pagando uma taxa de juros de 6% ao mês, durante 9 meses. Ao final deste período, calculou em R$ 270.000,00 o total dos juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo.
Solução: i = 6% ao mês = 0,06 n = 9 meses j = R$ 270.000,00 c = ? J = c . i . n 270.000 = c . 0,06 . 9 0,54 c = 270.000 c = 270.000 / 0,54 c = R$ 500.000,00 Exemplo 3.
Um capital de R$ 40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 11 meses, produzindo um rendimento financeiro de R$ 9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros oferecida por esta operação.
Solução: c = R$ 40.000,00 n = 11 meses j = R$ 9.680,00 i = ? J = c . i . n 9.680 = 40.000 . i . 11 9.680 = 440.000 i i = 9.680 / 440.000 i = 0,022 = 2,2% ao mês.
Exemplo 4.
Uma aplicação de R$ 250.000,00, rendendo uma taxa de juros de 1,8% ao mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de R$ 27.000,00. Calcular o prazo de aplicação. Solução: c = R$ 250.000,00 i = 1,8% ao mês = 0,018 j = R$ 27.000,00 n = ? J = c . i . n 27.000 = 250.000 . 0,018 . n 27.000 = 4.500 n n = 27.000 / 4.500 n = 6 meses. 1.9 – Montante e Capital
Um determinado capital, quando aplicado à taxa periódica de juros por determinado tempo, produz um valor acumulado denominado de montante, e identificado em juros simples por M. Em outras palavras, o montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros , isto é:
M = C + J (1)
No entanto, sabe-se que:
J = c . i . n (2)
Substituindo (2) em (1), temos:
M = c + c . i . n
M = c (1 + i . n) Exemplo 5.
Uma pessoa aplica R$ 18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês, durante 8 meses. Determinar o valor acumulado ao final do período.
Solução:
c = R$ 18.000,00
i = 1,5% ao mês = 0,015 n = 8 meses
M = c (1 + i . n) M = 18.000 (1 + 0,015 . 8) M = 18.000 (1 + 0,12) M = 18.000 . 1,12 M = R$ 20.160,00. Exemplo 6.
Uma dívida de R$ 900.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está oferecendo um desconto de 7% ao mês, caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida.
Solução: M = R$ 900.000,00 n = 4 meses i = 7% ao mês = 0,07 c = ? M = c (1 + i . n) 900.000 = c (1 + 0,07 . 4) 900.000 = c (1 + 0,28) 900.000 = c . 1,28 c = 900.000 / 1,28 c = R$ 703.125,00.
1.10 – Taxa Equivalente e Taxa Proporcional
Toda operação envolve dois prazos: o que se refere a taxa de juros e o de capitalização (ocorrência) dos juros.
Por exemplo: i = 24% ao ano. Se os encargos incidirem sobre o principal somente no final de cada ano, as taxas serão consideradas equivalentes. Portanto, as taxas de juros simples se dizem equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume de juros.
Mas, em inúmeras outras operações estes prazos não são equivalentes. Os juros podem ser capitalizados em prazo inferior ao da taxa, devendo-se, nesta situação, ser rateado com o período de capitalização. Nesse caso, chama-se de taxa proporcional.
Por exemplo: se uma operação tiver uma taxa de juros de 18% ao ano, com a capitalização feita mensalmente, o percentual de juros que incidirá sobre o capital acada mês será:
Taxa Proporcional = 18% / 12 = 1,5% ao mês.
Por exemplo, em juros simples, um capital de R$ 500.000,00, se aplicado a 2,5% ao mês ou 15% ao semestre pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante de juro. Isto é:
J (2,5% a.m.) = R$ 500.000,00 x 0,025 x 12 = R$ 150.000,00 J (15% a.s.) = R$ 500.000,00 x 0,15 x 2 = R$ 150.000,00
Os juros produzidos pelas duas taxas de juros são iguais, logo definidos como equivalentes.
Exemplo 7.
Calcular a taxa anual proporcional a: a) 6% ao mês; b) 10% ao bimestre. Solução: a) i = 6% x 12 = 72% ao ano. b) i = 10% x 6 = 60% ao ano. Exemplo 8.
Calcular a taxa de juros semestral proporcional a: a) 60% ao ano; b) 9% ao trimestre. Solução: a) i = 60% / 12 x 6 = 30% a.s. b) i = 9% / 3 x 6 = 18% a.s. Exemplo 9.
Demonstre se 36% ao ano é proporcional a 12% ao trimestre: Solução:
12/3 = 36/12
4 ‡ 3 (portanto, falso). Exemplo 10.
Calcular o montante de um capital de R$ 600.000,00 aplicado à taxa de 2,3% ao mês pelo prazo de um ano e 5 meses.
Solução: M = ?
c = R$ 600.000,00
n = 1 ano e 5 meses (17 meses) i = 2,3 ao mês (0,023)
M = c (1 + i . n)
M = 600.000 (1 + 0,0391) M = 600.000 . 1,0391 M = R$ 834.600,00 Exemplo 11.
Uma dívida de R$ 30.000,00 a vencer dentro de um ano é saldada 3 meses antes. Para sua quitação antecipada, o credor concede um desconto de 15% ao ano. Apurar o valor da dívida a ser pago antecipadamente.
Solução: M = R$ 30.000,00 n = 3 meses i = 15% ao ano (15% / 12 = 1,25% ao mês = 0,0125) c = ? M = c (1 + i . n) 30.000 = c (1 + 0,0125 x 3) 30.000 = c (1 + 0,0375) 30.000 = 1,0375 c c = 30.000 / 1,0375 = R$ 28.915,66 1.11 – juros Exato e juros Comercial
O juros exato refere-se ao calendário civil, ou seja, 365 dias. O juros comercial admite o mês com 30 dias e, portanto, o ano com 360 dias.
Por exemplo, 12% ao ano equivale, pelos critérios enunciados, à taxa diária de: a) juros exato = 12% / 365 dias = 0,032877% ao dia;
b) juros comercial = 12% / 360 dias = 0,033333% ao dia.
Portanto, o juros comercial diário é ligeiramente superior ao juros exato, devido ao menor número de dias considerado no intervalo de tempo.
1.12 – Equivalência Financeira
O problema da equivalência financeira constitui-se no raciocínio básico da matemática financeira, Conceitualmente, dois ou mais capitais representativos de uma certa data dizem-se equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzem resultados iguais numa data comum.
Por exemplo, R$ 120,00 vencíveis daqui a um ano e R$ 100,00, hoje, são equivalentes a uma taxa de juros simples de 20% ao ano, uma vez que os R$ 100,00, capitalizados, produziriam R$ 120,00 dentro de um anos, ou os R$ 120,00, no final do primeiro ano, resultariam em R$ 100,00 se atualizados para hoje.
Exemplo 12.
Determinar se R$ 438.080,00 vencíveis daqui a 8 meses é equivalente a se receber hoje R$ 296.000,00, admitindo uma taxa de juros simples de 6% ao mês.
Solução:
Data focal 8 meses Data focal 0 (hoje) M = c (1 + i . n) M = 296.000 (1 + 0,06 x 8) M = 296.000 (1 + 0,48) M = 296.000 x 1,48 M = R$ 438.080,00. M = c (1 + i . n) 438.080 = c (1 + 0,06 x 8) 438.080 = c (1 + 0,48) 438.000 = 1,48 c c = 438.080 / 1,48 = R$ 296.000,00. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Exercício 1.
Uma pessoa aplicou em uma instituição financeira R$ 18.000,00 resgatando R$ 21.456,00, quatro meses depois. Calcular a taxa mensal de juros simples auferida nesta aplicação. Solução: c = R$ 18.000,00 M = R$ 21.456,00 n = 4 meses i = ? M = c (1 + i . n) 21.456 = 18.000 (1 + i . 4) 21.456 = 18.000 + 72.000 i 21.456 – 18.000 = 72.000 i i = 3.456 / 72.000 i = 0,048 = 4,8% a.m. Exercício 2.
Se uma pessoa necessitar de R$ 100.000,00 daqui a 10 meses, quanto deverá ela depositar num fundo de poupança que remunera à taxa linear de 12% ao ano?
Solução: M = R$ 100.000,00 n = 10 meses i = 12% ao ano = 1% ao mês = 0,01 c = ? M = c (1 + i . n) 100.000 = c (1 + 0,01. 10) 100.000 = c (1 + 0,1)
100.000 = 1,1 c c = 100.000 / 1,1 c = R$ 90.909,09 Exercício 3.
Determinar a taxa bimestral de juros simples que faz com que um capital triplique de valor após 2 anos.
Solução: M = R$ 3,00 n = 12 bimestres i = ? c = R$ 1,00 M = c (1 + i . n) 3 = 1 (1 + i. 12) 3 = 1 + 12 i 3 - 1 + 12 i 2 = 12 i i = 2 / 12 i = 16,7% a. b. Exercício 4.
Um título com valor nominal de R$ 7.200,00 vence em 120 dias. Para uma taxa de juros simples de 31,2% ao ano, pede-se calcular o valor deste título.
a) hoje;
b) dois meses antes do seu vencimento; c) um mês após o vencimento. Solução: M = R$ 7.200,00 n = 4 meses i = 31,2% ao ano = 0,312/12 = 0,026 c = ? a) M = c (1 + i . n) 7.200 = c (1 + 0,026 x 4) 7.200 = c (1 + 0,104) 7.200 = 1,104 c c = 7.200 / 1,104 c = R$ 6.521,74. b) M = c (1 + i . n) 7.200 = c (1 + 0,026 x 2) 7.200 = c (1 + 0,052) 7.200 = 1,052 c c = 7.200 / 1,052
c = R$ 6.844,11. c) M = c (1 + i . n) M = 7.200 (1 + 0,026 x 1) M = 7.200 (1 + 0,026) M = 7.200 + 187,20 M = R$ 7.387,20. Exercício 5.
Uma pessoa deve dois títulos no valor de R$ 25.000,00 e R$ 56.000,00 cada. O primeiro título vence de hoje a 2 meses, e o segundo um mês após. O devedor deseja propor a substituição destas duas obrigações por um único pagamento ao final do 5° mês. Considerando 3% ao mês a taxa corrente de juros simples, determinar o valor deste pagamento único. Solução: 25.000 56.000 0 1 2 3 4 5 meses c1 = R$ 25.000,00 e c2 = R$ 56.000,00 n1 = 2 meses e n2 = 3 meses i = 3% ao mês = 0,03 M5 = ? M = c (1 + i . n) M5 = 25.000 (1 + 0,03 x 3) + 56.000 (1 + 0,03 x 2) M5 = 25.000 (1 + 0,09) + 56.000 (1 + 0,06) M5 = 25.000 x 1,09 + 56.000 x 1,06 M5 = 27.250 + 59.360 M5 = R$ 86.610,00. Exercício 6.
Uma pessoa tem os seguintes compromissos financeiros:
•
R$ 35.000,00 vencíveis no fim de 3 meses;•
R$ 65.000,00 vencíveis no fim de 5 meses.Para o resgate dessas dívidas, o devedor pretende utilizar suas reservas financeiras aplicando-as em uma conta de poupança, que rende 66% ao ano de juros simples. Pede-se determinar o valor do capital que deve ser aplicado nesta poupança de forma que posam ser sacados os valores devidos em suas respectivas datas de vencimentos.
Solução:
35.000 65.000 0 1 2 3 4 5 meses
M1 = R$ 35.000,00 e M2 = R$ 65.000,00 n1 = 3 meses e n2 = 5 meses i = 66% ao ano = 5,5 ao mês = 0,055 c5 = ? M = c (1 + i . n) ou c = M / (1 + i . n) c5 = 35.000 / (1 + 0,055 x 3) + 65.000 / (1 + 0,055 x 5) c5 = 35.000 / (1 + 0,165) + 65.000 / (1 + 0,275) c5 = 35.000 / 1,165 + 65.000 / 1,275 c5 = 30.042,92 + 50.980,39 c5 = R$ 81.023,31 Exercício 7.
Uma dívida no valor de R$ 48.000,00 vence daqui a 6 meses. O devedor pretende resgatar a dívida pagando R$ 4.800,00 hoje, R$ 14.000,00 de hoje a dois meses, e o restante um mês após a data de vencimento. Sendo o momento deste último pagamento definido como a data focal da operação e sabendo-se ainda que é de 34,8% ao ano a taxa linear de juros adotada nesta operação, determinar ao montante do pagamento.
Solução: 48.000 0 1 2 3 4 5 6 7 meses 4.800 14.000 data focal c1 = R$ 48.000,00, c2 = R$ 4.800,00 e c3 = R$ 14.000,00 n1 = 1 mês, n2 = 7 meses e n3 = 5 meses i = 34,8% ao ano = 34,8 / 12 = 2,9% ao mês = 0,029. MDF = ? Daqui a 6 meses: M = c (1 + i . n) M6 = 48.000 (1 + 0,029 x 1) M6 = 48.000 x 1,029 M6 = R$ 49.392,00 Hoje (R$ 4.800,00) M = c (1 + i . n) MHoje = 4.800 (1 + 0,029 x 7) MHoje = 4.800 (1 + 0,203) MHoje = 4.800 x 1,203 MHoje = R$ 5.774,40 2 meses (R$ 14.000,00) M = c (1 + i . n) M2 = 14.000 (1 + 0,029 x 5) M2 = 14.000 (1 + 0,145)
M2 = 14.000 x 1,145
M6 = R$ 16.030,00
Dívida na Data Focal MDF = M6 - MHoje - M2
MDF = 49.392,00 – 5.774,40 – 16.030,00
MDF = R$ 27.587,60
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de: a) 14,4% ao ano;
b) 6,8% ao quadrimestre; c) 11,4% ao semestre; d) 110,4% ao ano; e) 54,72% ao biênio.
2. Calcular a taxa trimestral proporcional a juros de: a) 120% ao ano;
b) 3,2% ao quadrimestre; c) 1,5% ao mês.
3. Determinar a taxa de juros simples anual proporcional ás seguintes taxas: a) 2,5% ao mês;
b) 56% ao quadrimestre; c) 12,5% para 5 meses. 4. Calcular o montante de R$ 85.000,00 aplicado por:
a) 7 meses à taxa linear de 2,5% ao mês; b) 9 meses à taxa linear de 11.6% ao semestre; c) 1 ano e 5 meses à taxa linear de 21% ao ano.
5. Determinar os juros e o montante de uma aplicação de R$ 300.000,00, por 19 meses, à taxa linear de 42% ao ano.
6. Calcular o valor do juros referente a uma aplicação financeira de R$ 7.500,00, que perde 15% de taxa nominal ao ano, pelo período de 2 anos e 3 meses.
7. Qual o capital que produz R$ 18.00,00 de juros simples, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de:
a) 60 dias; b) 80 dias;
c) 3 meses e 20 dias;
8. Uma pessoas aplicou R$ 12.000,00 numa Instituição Financeira resgatando, após 7 meses, o montante de R$ 13.008,00. Qual a taxa de juros equivalente linear mensal que o aplicador recebeu?
9. Uma nota promissória de valos nominal de R$ 140.000,00 é resgatada dois meses antes de seu vencimento. Qual o valor pago no resgate, sabendo-se que a taxa de juros simples é de 1,9% ao mês?
10. O montante de um capital de R$ 6.600,00 ao final de 7 meses é determinado adicionando-se R$ 1.090,32 de juros. Calcular a taxa linear mensal e anual utilizada. 11. Um empréstimo de R$ 3.480,00 foi resgatado 5 meses depois pelo valor de R$ 3.949,80.
Calcular a taxa de juros simples em base mensais e anuais desta operação.
12. Se o valor atual de um título é igual a 4/5 de seu valor nominal e o prazo de aplicação for de 15 meses, qual a taxa de juros simples considerada?
13. Uma mercadoria é oferecida num magazine por R$ 130,00 a vista, ou nas seguintes condições: 20% de entrada e um pagamento de R$ 106,90 em 30 dias. Calcular a taxa linear mensal de juros que está sendo cobrada.
14. Em quanto tempo um capital de R$ 4.000,00 aplicado a 29,3% ao ano pelo regime linear renderá R$ 1.940,00?
15. Em quanto tempo duplica um capital aplicado à taxa simples de 8% ao ano? 16. Em quanto tempo triplica um capital que cresce à taxa de 21% ao semestre?
17. O valor de resgate de um título é 140% maior que o valor da aplicação. Sendo 30% ao ano a taxa de juros simples, pede-se calcular o prazo da aplicação.
18. Uma aplicação de R$ 15.000,00 é efetuada pelo prazo de 3 meses à taxa de juros simples de 26% ao ano. Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses à taxa linear de 18% ao ano para se obter o mesmo rendimento financeiro?
19. Um TV em cores é vendida nas seguintes condições: a) Preço a vista = R$ 1.800,00;
b) Condições a prazo = 30% de entrada e R$ 1.306,00 em 30 dias. Determinar a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo.
20. Um eletrodoméstico é vendido em três pagamentos mensais e iguais. O primeiro pagamento é efetuado no ato da compra, e os demais são devidos em 30 e 60 dias. Sendo de 4,4% ao mês à taxa linear de juros, pede-se calcular até que valor interessa adquirir o bem a vista.
21. Uma divida é composta de três pagamentos no valor de R$ 2.800,00, R$ 4.200,00 e R$ 7.000,00, vencíveis em 60, 90 e 150 dias, respectivamente. Sabe-se ainda que a taxa de juros simples de mercado é de 4,5% ao mês. Determinar os pagamentos:
b) daqui a 7 meses;
22. Um negociante tem as seguintes obrigações de pagamento com um banco:
• R$ 18.000,00 vencíveis em 37 dias;
• R$ 42.000,00 vencíveis em 83 dias;
• R$ 100.0000,00 vencíveis em 114 dias.
Com problemas de caixa nestas datas deseja substituir o fluxo de pagamentos pelo seguinte esquema:
a) R$ 20.000,00 em 60 dias; b) R$ 50.000,00 em 100 dias; c) Restante em 150 dias.
Sendo de 3,2% ao mês a taxa de juros simples adotada pelo banco nestas operações, pede-se calcular o valor do pagamento remanescente adotado como data focal o momento atual.
23. Uma maquina calculadora esta sendo vendida a prazo nas seguintes condições:
• R$ 128,00 de entrada;
• R$ 192,00 em 30 dias;
• R$ 192,00 em 60 dias.
Sendo de 1,1% ao mês a taxa linear de juros, pede-se calcular até que preço é interessante comprar a máquina à vista.
24. Uma pessoa tem uma divida composta dos seguintes pagamentos: a) R$ 22.000,00 de hoje a 2 meses;
b) R$ 57.000,00 de hoje a 5 meses; c) R$ 90.000,00 de hoje a 7 meses.
Deseja trocar estas obrigações equivalentes por dois pagamentos iguais, vencíveis o primeiro ao final do 6° mês e o segundo no 8° mês. Sendo de 3,7% ao mês de juros simples, calcular o valor destes pagamentos admitindo-se o pagamento hoje.
RESPOSTAS: 1. a) 1,2% a.m.; b) 1,7% a.m.; c) 1,9% a.m.; d) 9,2% a.m.; e) 2,28% a.m. 2. a) 30% a.t.; b) 2,4% a.t.; c) 4,5% a.t. 3. a) 30% a.a.; b) 168% a.a.; c) 30% a.a. 4. a) M = R$ 99.875,00
b) M = R$ 99.790,00 c) M = R$ 110.287,50 5. M = R$ 499.500,00 J = R$ 199.500,00 6. J = R$ 2.531,25 7. a) c = R$ 300.000,00 b) c = R$ 225.000,00 c) c = R$ 163.636,36 d) c = R$ 21.077,28 8. i = 1,2% a.m. 9. c = R$ 134.874,76. 10. i = 28,32% a.a. 11. i = 32,4% a.a. 12. i = 1,7% a.m. 13. i = 2,79% a.m. 14. n = Ξ 20 meses. 15. n = 12,5% anos 16. n = 57,1428 meses 17. n = 56 meses 18. c = R$ 32.500,00 19. i = 3,65% a.m. 20. % desconto = 95,9%, ou 4,1% 21. a) R$ 11.983,54 b) R$ 16.016,00 22. M = R$ 94.170,19 23. Ctotal = R$ 505,78 24. Pagamentos = R$ 88.174,78
C
C
APÍTULOAPÍTULOII – J
II – J
UROSUROSC
C
OMPOSTOSOMPOSTOSO regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital formando montante (capital mais juros) do período. Esse montante, por sua vez, passará a render juros no período seguinte formando um novo montante (constituído do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre juros formados em períodos anteriores), e assim por diante.
Em síntese: os juros são compostos quando, a cada período, eles são incorporados ao capital e o novo capital passa também a render juros.
2.1 Fórmulas de Juros Compostos
Considere o capital inicial (c) R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos (i) de 10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (capital + juros), mês a mês:
. Após o 1º mês, teremos: M1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1 + 0,1) . Após o 2º mês, teremos: M2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1 + 0,1)2 . Após o 3º mês, teremos: M3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)3 Após o nº (enésimo) mês, sendo M o montante, teremos evidentemente:
Mn = 1000 (1 + 0,1)n
De uma forma genérica, teremos para um capital (c), aplicado a uma taxa de juros compostos (i) durante o período n:
M = C (1 + i)n
onde: M = montante, c = capital, i = taxa de juros e n = número de períodos que o capital C (capital inicial) foi aplicado.
Exemplos:
1 – Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de poupança, que rende 1,7% de juros compostos ao mês? Solução: M = R$ 27.500,00 n = 1 ano = 12 meses i = 1,7% a.m. = 0,017 c = ? M = c (1 + i)n 27.500 = c (1 + 0,017)12 27.500 = c (1,017)12 27.500 = c (1,017)12 27.500 = 1,2242 c
c = 27.500 / 1,2242 = R$ 22.463,65
2 – Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses, à taxa de juros composta de 3,5% a.m.?
Solução: M = ? c = R$ 12.000,00 n = 8 meses i = 3,5% a.m. = 0,035 M = c (1 + i)n M = 12.000 (1 + 0,035)8 M = 12.000 (1,035)8 M = R$ 15.801,60
3 – Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de R$ 40.000,00 que produz um montante de R$ 43.894,63 ao final de um quadrimestre.
Solução: i = ?% a.m. c = R$ 40.000,00 M = R$ 43.894,63 n = 4 meses M = c (1 + i)n 43.894,63 = 40.000 (1 + i) 4 43.894,63 / 40.000 = (1 + i) 4 1,0974 = (1 + i) 4 1,09741/4 = 1 + i 1,0235 = 1 + i 1,0235 – 1 = i 0,0235 = i i = 2,35% a.m.
4 – Uma aplicação de R$ 22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de R$ 26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação. Solução: c = R$ 22.000,00 M = R$ 26.596,40 i = 2,4% a.m. = 0,024 n = ? meses M = c (1 + i)n 26.596,40 = 22.000 (1 + 0,024)n
26.596,40 / 22.000 = (1,024)n 1,2089 = (1,024)n
n = log 1,2089 / log 1,024 n = 0,0824 / 0,0103 n = 8 meses
5 – Determinar os juros pagos de um empréstimo de R$ 88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês.
Solução: J = ? c = R$ 88.000,00 M = R$ ? i = 4,5% a.m. = 0,045 n = 5 meses M = c (1 + i)n M = 88.000 (1 + 0,045i)5 M = 88.000 (1,045)5 M = 88.000 x 1,2462 M = R$ 109.665,60 J = M – C J = 109.665,60 – 88.000 J = R$ 21.665,60 Outros Exercícios:
1 – Um capital de R$ 200.000,00 é aplicado a juros compostos de 10% ao ano. Calcule o montante após 4 anos.
Solução: M = ? c = R$ 200.000,00 n = 4 anos i = 10% a.a. = 0,1 M = c (1 + i)n M = 200.000 (1 + 0,1)4 M = 200.000 (1,1)4 M = 200.000 x 1,4641 M = R$ 292.820,00
2 – Joana aplicou R$ 400,00 num investimento que rende 2% a.m. A juros compostos. Qual o montante após 1 ano?
Solução: M = ? c = R$ 400,00 n = 1 ano = 12 meses i = 2% a.m. = 0,02 M = c (1 + i)n M = 400 (1 + 0,02)12 M = 400 (1,02)12 M = 400 x 1,26 M = R$ 507,29
3 – Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, do capital R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês. M = ? c = R$ 600,00 n = 1 ano = 12 meses i = 4% a.m. = 0,04 M = c (1 + i)n M = 600 (1 + 0,04)12 M = 600 (1,04)12 M = 600 x 1,6010 M = R$ 960,60
4 – O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos?
Solução: c = R$ 500,00 i = 5% = 0,05 n = 8 meses M = c (1 + i)n M = 500 (1 + 0,05)8 M = 500 (1,05)8 M = 500 x 1,4775 M = R$ 738,75 J = M – C J = 738,75 – 500,00 = R$ 238,75
5 – Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62?
Solução:
i = 3% = 0,03 n = 6 trimestres M = c (1 + i)n 477,62 = c (1+ 0,03)6 477,62 = c (1,03)6 477,62 = 1,1941 c c = 477,62 / 1,1941 = R$ 400,00 2.2 – Taxas Equivalentes
Já sabemos que duas taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, produzem o mesmo rendimento.
Na capitalização simples, duas taxas proporcionais são também equivalentes. Na capitalização composta, não.
No regime de juros compostos, uma aplicação que paga 10% a.m. representa o rendimento, em um trimestre, de:
Atribuindo um capital R$ 100, temos:
M = 100(1,1)3 equivale a M = 10 x 1,331 equivale a M = R$ 133,10.
Portanto, o rendimento no trimestre foi de 33,1%.
Logo, 10% ao mês é equivalente a 33,1% ao trimestre. Ambas podem ser utilizadas nos problemas; são efetivas.
Podemos generalizar o cálculo da equivalência entre taxas assim: Equivalência entre ANO e MÊS: (1 + ia) = (1 + im)12
Equivalência entre ANO e TRIMESTRE: (1 + ia) = (1 + it)4
Equivalência entre SEMESTRE e MÊS: (1 + im)6 = (1 + is)
Exemplos
1 – Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral equivalentes a 25% ao ano?
Solução:
Observamos que 25% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é mensal. a) mensal ANO e MÊS: (1 + ia) = (1 + im)12 (1 + 0,25) = (1 + im)12 12√1,25 = 1 + i m 1,01877 – 1 = im
im = 0,01877 = 1,877% a.m. b) trimestral ANO e MÊS: (1 + ia) = (1 + it)4 (1 + 0,25) = (1 + it)4 4√1,25 = 1 + i t 1,05737 – 1 = it it = 0,05737 = 5,737% a.t.
2 – Explicar a melhor opção: aplicar um capital de R$ 60.000,00 à taxa de juros compostos de 9,9% ao semestre ou à taxa de 20,78% ao ano.
Solução: a) 9,9% ao semestre M = c (1 + i)n M = 60.000 (1 + 0,099)2 M = 60.000 (1,099)2 M = 60.000 x 1,2078 M = R$ 72.468,00 b) 20,78% ao ano M = c (1 + i)n M = 60.000 (1 + 0,2078)1 M = 60.000 (1,2078)1 M = 60.000 x 1,2078 M = R$ 72.468,00
Portanto, as taxas são equivalentes, pois produzem resultados iguais para um mesmo período.
3 – Demonstrar se a taxa de juros compostos de 11,8387% ao trimestre é equivalente à taxa de 20,4999% para cinco meses. Calcular também a equivalência mensal composta dessas taxas.
Solução: TRIMESTRE e MÊS 5 MESES e MÊS (1 + it) = (1 + im)3 (1 + im)5 = (1 + 0,204999) (1 + 0,118387) = (1 + im)3 (1 + im)5 = 1,204999 3√1,118387 = 1 + i m (1 + im) = 5√1,204999 1,0380 – 1 = im (1 + im) = 1,0380 0,0380 = im Im = 1,0380 – 1 im = 3,8% Im = 0,0380 im = 3,8%
Portanto, as taxas são equivalentes.
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