É legal saber realizar operações com frações e como números decimais, além de ser capaz de converter uma fração em um número decimal e vice-versa.

Porcentagem e Juros

De onde partir

✓ É legal saber realizar operações com frações e como números decimais, além de ser capaz de converter uma fração em um número decimal e vice-versa.

Onde você vai chegar

✓ Compreender a porcentagem como uma fração de denominador 100

✓ Saber calcular os aumentos e decréscimos percentuais

✓ Entender o significado de juro e como ele impacta o valor de um capital inicial, seja no regime de juros simples, seja no regime de juros compostos

Teoria

Definição de porcentagem

Porcentagem é uma fração de denominador 100.

Exemplos.: ₁₀₀³ = 0,03 = 3%

37

100= 037 = 37%

Mas e se a fração não tiver denominador 100? É possível transformarmos essa fração em uma que tenha denominador 100 a partir de manipulação.

Exemplo.: ²₅= ⁴⁰

100= 40%. Abaixo, 40 quadradinhos, dentre 100 estão sombreados (40%).

Obs.: Se quisermos calcular 𝑥% de algum valor 𝑦, basta multiplicarmos. Ou seja:

𝑥% 𝑑𝑒 𝑦 = 𝑥 100 ∙ 𝑦

Exemplo: Um desconto de 10% em cima de 𝑅$800,00 equivale a um desconto de:

Alguns conceitos iniciais relacionados à Matemática Financeira

• Capital inicial (𝑪): é a quantia que foi aplicada inicialmente em uma dada operação financeira.

• Montante (𝑴): é o valor obtido ao final da operação financeira.

• Taxa de juros (𝒊): indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado por um dado período.

Vem expresso geralmente de forma percentual, seguido do período de tempo (𝒕) a que se refere.

Exemplos: 14% 𝑎. 𝑎. (ao ano), 10,5% 𝑎. 𝑚. (ao mês), ...

Fatores multiplicativos

Para facilitar o cálculo de um valor resultante de um aumento ou desconto percentual, utilizam-se os fatores multiplicativos.

Fator de aumento

Imagine uma quantidade 𝐶 que será aumentada a partir de uma taxa 𝑖. O resultado desse aumento pode ser calculado por:

𝑀 = 𝐶⏟

𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

+ 𝐶 ∙ 𝑖⏟

𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑖 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟

= 𝐶(1 + 𝑖)

Exemplo: Calculando um aumento de 14% à quantia de 𝑅$50,00.

50⏟

𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

+ 50 ∙ 14%⏟

𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑖 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟

= 50 + 50 ∙ 0,14 = 50(1 + 0,14) = 𝟓𝟎 ∙ 𝟏, 𝟏𝟒 = 𝑅$57,00

O que queremos te mostrar é que um caminho rápido para calcular a quantia final após o acréscimo de 14%

é multiplicando os 50 reais por 1 + 0,14 = 1,14. De forma geral, esse atalho é utilizando a relação 𝐶(1 + 𝑖).

Exemplo: Um produto de 𝑅$40,00 passa por um aumento de 10% em janeiro e um outro aumento de 10%

em fevereiro. Qual o valor do produto no final desses dois meses?

Ao final do primeiro mês: 40 ∙ 1,1 Ao final do segundo mês: (40 ∙ 1,1⏟

𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

) ∙ 1,1⏟

𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

= 40 ∙ 1,1²= 40 ∙ 1,21 = 𝑅$48,40.

Este é um problema em que dizemos que ocorreram aumentos sucessivos. Como cada aumento equivale a multiplicar o capital inicial por 1,1 (aumento de 10%) e queremos dois aumentos em sequência, podemos chegar ao resultado final fazendo o capital inicial vezes 1,1 ∙ 1,1 = 1,1².

Fator de redução

Analogamente, imagine uma quantidade 𝐶 que será reduzida a partir de uma taxa 𝑖. O resultado dessa redução pode ser calculado por:

𝑀 = 𝐶 − 𝐶 ∙ 𝑖 = 𝐶(1 − 𝑖)

Exemplo: Calculando uma redução de 14% à quantia de 𝑅$50,00.

50⏟

𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

− 50 ∙ 14%⏟

𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑖 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑧𝑖𝑟

= 50 − 50 ∙ 0,14 = 50(1 − 0,14) = 𝟓𝟎 ∙ 𝟎, 𝟖𝟔 = 𝑅$43,00

O que queremos te mostrar é que um caminho rápido para calcular a quantia final após a redução de 14% é multiplicando os 50 reais por 1 − 0,14 = 0,86. De forma geral, esse atalho é utilizando a relação 𝐶(1 − 𝑖).

Juros (𝑱)

É a remuneração de um dado capital sobre uma atividade na qual ele foi utilizado. Temos dois tipos de regime de juros:

• Juros (capitalização) simples: são aqueles que incidem sobre o capital inicial durante todo o período de aplicação: o valor dessa remuneração é sempre o mesmo.

Exemplo: Aplicou-se um capital de 𝑅$50,00 a uma taxa de 2% de juros simples ao mês. Veja o que ocorre com o capital aplicado a seguir:

Capital inicial: 𝑅$50,00 Taxa de juros: 2%

Juros por mês: 50 × 2% = 50 × 0,02 = 𝑅$1,00 (como no regime de juros simples a taxa de juros incide somente no capital inicial, temos que a cada mês seu dinheiro aumentará sempre 𝑅$1,00).

Montante ao longo dos meses:

1º mês: 50 + 1 = 51 reais (aumentou em 1 real porque passou um único mês).

2º mês: 50 + 1 + 1 = 50 + 2 ∙ 1 = 52 reais (aumentou em 2 reais, 1 real para cada um dos dois meses que passaram).

3º mês: 50 + 1 + 1 + 1 = 50 + 3 ∙ 1 = 53 reais (aumentou em 3 reais, 1 real para cada um dos três Tempo é dinheiro! Mas mais que isso: acréscimos e

decréscimos no capital são processos multiplicados ao longo do tempo!

4º mês: 50 + 1 + 1 + 1 + 1 = 50 + 4 ∙ 1 = 54 reais (aumentou em 4 reais, 1 real para cada um dos quatro meses que passaram).

E assim sucessivamente. Em 𝑡 meses, teríamos 50 + 50 ∙ 0,02 ⋅ 𝑡 = 50 + 1 ∙ 𝑡 reais.

Assim, perceba que, nesse exemplo, para calcular quanto o dinheiro rende por mês, o juro, fazemos o produto entre o capital inicial e a taxa de juros que incide sobre ele (𝐶 ∙ 𝑖). Se esse juro de 𝐶 ∙ 𝑖 render por 𝑡 meses, o dinheiro renderá, no total, o equivalente ao produto 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑡. Por isso, dizemos que, de forma geral:

𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑡

Juntando o juro (o quanto rendeu), com o capital inicial (o quanto havia no início da aplicação), temos o montante (o total do capital após a operação financeira). Isto é:

𝑀 = 𝐶 + 𝐽

Obs.: Relação com função afim.

Se o montante é obtido ao somarmos os juros com o capital inicial (𝑀 = 𝐽 + 𝐶) e 𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑡, temos que o montante pode ser escrito como:

𝑀 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑡 ⏟

𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠

+ 𝐶 ⏟

𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

Essa relação representa uma função afim! O montante depende do tempo que o capital ficará aplicado.

Assim, o montante é função do tempo, de modo que a taxa de variação do capital (o quanto ele varia com o tempo) é igual ao juro adicionado a cada unidade de tempo (que calculamos como sendo resultado do produto 𝐶 ∙ 𝑖). Ou seja, temos uma função do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏.

Observe: o coeficiente 𝑎, que indica a que taxa a função afim varia, equivale ao produto 𝐶 ∙ 𝑖. O coeficiente 𝑏, que indica quanto temos no momento 𝑥 = 0 (no momento em que aplicamos o dinheiro), corresponde ao capital inicial 𝐶.

𝑀(𝑡) = (𝐶 ∙ 𝑖) ⏟

𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜

∙ 𝑡 + 𝐶 ⏟

𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟

Voltando ao nosso exemplo anterior:

• Juros (capitalização) compostos: Os juros compostos são chamados também de capitalização acumulada, pois possuem um novo valor a cada período de tempo determinado. Isso quer dizer que os juros aumentam conforme o tempo passa. Isso porque eles sempre atuam no capital mais recente.

Exemplo: Aplicou-se um capital de 𝑅$50,00 a uma taxa de 2% de juros compostos ao mês. Veja o que ocorre com o capital aplicado a seguir:

Capital inicial: 𝑅$50,00 Taxa de juros: 2%

Juros por mês: variável, depende de quantos meses o dinheiro ficará aplicado.

Montante ao longo dos meses: utilizando o fator de aumento igual a 1,02 (1 + 0,02), podemos calcular aumentos sucessivos de 2%.

1º mês: 50 ∙ 1,02 = 51 reais (a taxa de juros incidiu uma única vez no capital inicial).

2º mês: 50 ∙ 1,02 ∙ 1,02 = 50 ∙ 1,02² = 52,02 reais (a taxa de juros incidiu duas vezes no capital inicial).

3º mês: 50 ∙ 1,02 ∙ 1,02 ∙ 1,02 = 50 ∙ 1,02³ ≅ 53,06 reais (a taxa de juros incidiu três vezes no capital inicial).

4º mês: 50 ∙ 1,02 ∙ 1,02 ∙ 1,02 ∙ 1,02 = 50 ∙ 1,02⁴≅ 54,12 reais (a taxa de juros incidiu quatro vezes no capital inicial).

E assim sucessivamente.

Em 𝑡 meses, teríamos 50 ∙ 1,02 ∙ 1,02 ∙ 1,02 ∙ 1,02 ∙ … ∙ 1,02⏟ = 50 ∙ (1,02)^𝑡 reais.

Assim, perceba que, nesse exemplo, para calcular o montante após cada mês, fazemos o produto entre o capital inicial e a taxa de aumento 𝑡 vezes seguidas. Por isso, dizemos que, de forma geral:

𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)^𝑡 Atenção!

• Ao trabalharmos matematicamente com dinheiro, lembre-se sempre de inserir em sua resposta os centavos, mesmo que eles sejam iguais a 0. Exemplo: 𝑅$120,00.

• A taxa de juros (𝑖) deve ser expressa na mesma unidade de tempo de (𝑡).

Obs.: Relação com função exponencial.

Como o montante depende do tempo que o capital ficará aplicado, o seu valor é função do tempo. Se o capital aumenta (1 + 𝑖) por 𝑡 vezes consecutivas, então temos que, a partir de um valor inicial 𝐶, o capital vai sendo multiplicado por uma potência cujo expoente pode variar.

𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)⏟

𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑡

Se você se recordar seus conhecimentos de função exponencial, quando a base apresentada é um número maior que 1, temos uma função exponencial crescente. Não à toa, quando temos uma taxa de aumento, multiplicamos por um valor maior que 1. Ao contrário, quando a base era um valor entre 0 e 1, a função exponencial decrescia. Mais uma vez, isso se relaciona com o fato de que, quando aplicamos uma taxa de redução, o capital é multiplicado por um valor entre 0 e 1, obtido quando fazemos 1 − 𝑖.

Se liga!

Especula-se que a constante de Euler (𝑒), associada a base natural de logaritmos e cujo valor aproximado é 2,71, tenha sido descoberta a partir de estudos de cálculos de juros. Para saber mais, clique aqui.

Na Cultura

E se o mundo tivesse 100 pessoas? Como seria sua população? Clique aqui para saber! Como reduzir a população a 100 pessoas nos auxilia a interpretar os dados populacionais?

Exercícios

1.

(Enem-adaptado) Segundo dados apurados no Censo 2010, para uma população de 101,8 milhões de brasileiros com 10 anos ou mais de idade e que teve algum tipo de rendimento em 2010, a renda média mensal apurada foi de 𝑅$1202,00. A soma dos rendimentos mensais dos 10% mais pobres correspondeu a apenas 1,1% do total de rendimentos dessa população considerada, enquanto que a soma dos rendimentos mensais dos 10% mais ricos correspondeu a 44,5% desse total.

Disponível em: www.estadao.com.br. Acesso em: 16 nov. 2011(adaptado).

Assinale a alternativa correta: qual foi a diferença, em reais, entre a renda média mensal de um brasileiro que estava na faixa dos 10% mais ricos e de um brasileiro que estava na faixa dos 10% mais pobres?

a) 240,40 b) 548,11 c) 1 723,67 d) 4 026,70 e) 5 216,68

Pense e responda: O que você achou da diferença encontrada na questão anterior: achava que seria maior ou menor? Ou que isso nos permite concluir sobre a distribuição salarial dentro dos 10% mais ricos? Dentro desse grupo há muita ou pouca discrepância salarial?

2.

(Fuvest) Maria quer comprar uma TV que está sendo vendida por 𝑅$1.500,00 à vista ou em 3 parcelas mensais sem juros de 𝑅$500,00. O dinheiro que Maria reservou para essa compra não é suficiente para pagar à vista, mas descobriu que o banco oferece uma aplicação financeira que rende 1% ao mês. Após fazer os cálculos, Maria concluiu que, se pagar a primeira parcela e, no mesmo dia, aplicar a quantia restante, conseguirá pagar as duas parcelas que faltam sem ter que colocar nem tirar um centavo sequer. Quanto Maria reservou para essa compra, em reais? (Caso seja necessário, utilize uma calculadora em seus cálculos).

a) 1.450,20 b) 1.480,20 c) 1.485,20 d) 1.495,20 e) 1.490,20

Gabaritos

1. E

Vamos usar a estratégia abordada no tópico “Se liga!” deste material. Consideremos que, ao invés de 101,8 milhões de brasileiros, temos 100 brasileiros (de fato, o total da população é indiferente para o problema).

Imaginando esse grupo de 100 pessoas como a população brasileira, onde cada uma delas ganha 𝑅$1.202,00, você reúne uma massa salarial de 𝑅$120.200,00.

No final, o problema disse que os 10% mais pobres ganham 1,1% da renda total. Ou seja, que 10% de 100 = 10 pessoas ganham 1,1% de 𝑅$120.200,00, o que equivale a 𝑅$1.322,20. Nesse mesmo grupo de 100 pessoas, temos os 10% mais ricos, que também representam 10 pessoas. Esse grupo ganha 44,5% do total do valor do grupo, ou seja, 44,5% de 𝑅$120.200,00, resultando em 𝑅$53.489,00. Finalmente subtraímos os valores:

𝑅$ 53.489,00 − 𝑅$1322,20 = 𝑅$5.216,68.

Essa diferença não é extremamente elevada. Isso ocorre porque há uma extrema desigualdade socioeconômica no Brasil. Dentro desse grupo de 10% mais ricos, temos uma concentração de renda ainda muito grande. A diferença entre os 1% mais ricos do Brasil e os 10% mais ricos é também elevada.

2. C

Considerando que Maria pagou a primeira parcela de 𝑅$500,00 e que seu dinheiro inicial era 𝑥, ela possui 𝑥 − 500 para aplicar no banco. Aplicando esse dinheiro por um mês, ela terá (𝑥 − 500) ∙ 1,01 reais. Nesse momento, ela pagará a segunda parcela, restando a ela (𝑥 − 500) ∙ 1,01 − 500 reais. Se esse capital permanecer mais um mês investido, ele se tornará igual a ((𝑥 − 500) ∙ 1,01 − 500) ∙ 1,01 reais. Ela pode, enfim, quitar sua dívida pagando os últimos e exatos 𝑅$500,00. Ou seja,

((𝑥 − 500) ∙ 1,01 − 500) ∙ 1,01 = 500 (𝑥 − 500) ∙ 1,01 − 500 = 500

1,01 (𝑥 − 500) =(500

1,01+ 500) 1,01 𝑥 =

(500

1,01+ 500)

1,01 + 500 ≅ 1.485,20