Vibr Mec 02 amortecido

2.

V

L

Conforme mostrado no capítulo anterior, muitos sistemas dinâmicos podem ser

representados por uma equação diferencial de segunda ordem, linear, com coeficientes

constantes (parâmetros constantes). Estes modelos são denominados modelos de um grau de

liberdade (1GL), pois os sistemas dinâmicos correspondentes têm seus movimentos definidos

por apenas uma coordenada, de translação ou de rotação.

Neste e nos capítulos seguintes serão analisadas as soluções dessa equação diferencial

em função dos parâmetros de massa, de rigidez, de amortecimento e da força externa

excitadora. Inicialmente serão analisadas as soluções da equação homogênea do sistema. Esta

equação corresponde ao modelo matemático quando as funções excitadoras são nulas. Neste

caso, estudam-se as vibrações livres que ocorrem devido a condições iniciais não nulas.

Pode-se retirar um sistema de sua condição de equilíbrio e abandoná-lo a um movimento livre de

duas formas: através de uma posição inicial diferente da posição de equilíbrio ou através de um

impulso como, por exemplo, através de um martelo de impacto que imprime uma velocidade

2.1-MODELO MATEMÁTICO

Conforme mostrado no capítulo anterior, com a aplicação das leis do movimento e de

hipóteses simplificadoras pode-se mostrar que muitos sistemas mecânicos possuem um modelo

matemático representado por:

f x k x c x m  (2.1) onde m é a massa do modelo;

c é o coeficiente de amortecimento do modelo; k é o coeficiente de rigidez do modelo;

) (t x

x é o deslocamento da massa m na direção do movimento;

dt dx t x

x ( ) é a velocidade da massa m na direção do movimento;

2 2 dt x d t x x ( )

 é a aceleração da massa m na direção do movimento e

) (t f

f é a força externa aplicada na massa m na direção do movimento.

Figura 2.1 – Modelo elementar de 1 grau de liberdade.

O estudo da vibração livre é feito a partir da equação (2.1) tornando nula a força

externa aplicada, isto é, com f(t) = 0. Portanto, tem-se

0 kx x c x m  (2.2) c k m f x

A equação (2.2) é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem. A solução

geral possui uma das seguintes formas

t 2 t 1 2 1 _Ae e A x para _{1 2} (2.3) t 2 t 1 2 1 _Ate e A x para 1 2 (2.4)

onde 1 e 2 são as raízes equação da característica do problema, dada por

m 2 c k 0 (2.5)

As constantes de integração A1 e A2 dependem das condições iniciais de posição x(0) e de

velocidade x(0). Resolvendo a equação algébrica (2.5), obtêm-se

m 2 c c c m 2 mk 4 c c 2 2 2 2 , 1 (2.6)

onde definiu-se o coeficiente de amortecimento crítico c através de

c 2 mk (2.7)

A partir das raízes dadas por (2.6), são observadas três situações:

i - para um coeficiente de amortecimento c tal que c 2 mk , isto é c c , obtêm-se duas raízes complexas e conjugadas dadas por

1 2 2 4 2 , c i m k c m onde i 1 (2.8)

Neste caso, o sistema é identificado como subamortecido.

ii - para um coeficiente de amortecimento c tal que c 2 mk, isto é c c, obtêm-se duas raízes reais e iguais, dadas por

1 2 2 , c m k m (2.9)

Neste caso, o sistema é identificado como criticamente amortecido. Observa-se que

iii - para um coeficiente de amortecimento c tal que c 2 mk , isto é c c, obtêm-se duas raízes reais distintas dadas por

1 2 2 4 2 , c c m k m (2.10)

Neste caso, o sistema é identificado como sobreamortecido.

Para melhor identificar cada um destes três tipos de sistemas, pode-se definir um

parâmetro adimensional denominado fator de amortecimento, dado pela razão

m k 2 c c c (2.11)

Portanto, tem-se < 1 para sistemas subamortecidos, = 1 para sistemas criticamente

amortecidos e > 1 para sistemas sobreamortecidos. Algumas aplicações requerem fatores de

amortecimento menores que um. Em outros casos, particularmente no controle de vibrações,

os sistemas devem ser criticamente amortecidos, ou até mesmo sobreamortecidos.

Deve-se observar também que sistemas compostos de materiais metálicos possuem

fatores de amortecimento muito pequenos, frequentemente menores que 0,1, quando não há

dispositivos especiais (amortecedores) projetados para aumentar este valor. O amortecimento

próprio dos materiais é difícil de ser modelado. Por isso, este parâmetro é obtido usualmente

2.2-SISTEMAS SEM AMORTECIMENTO

Os sistemas não amortecidos são sistemas irreais. Podem ser analisados como um caso

particular dos sistemas subamortecidos para os quais o coeficiente de amortecimento é

admitido nulo, ou seja, c = 0. As raízes da equação característica são complexas conjugadas,

com parte real nula, conforme se vê em (2.8), e são dadas por

m k i

2

1, (2.12)

Sendo as duas raízes distintas, a solução da equação do movimento livre, dada por (2.3), é:

t m k i 2 t m k i 1e Ae A x (2.13) ou t m k C t m k C x ₁sen ₂cos (2.14)

Impondo que a solução do problema de vibrações livres deva ser real, C1 e C2 devem ser reais

na forma de solução (2.14) e A1 e A2 devem ser complexos conjugados em (2.13).

Define-se então, a partir da solução do problema de vibração livre não amortecido, a

frequência natural,

n

k

m (2.15)

obtida em rad/s, quando os parâmetros m e k são dados no SI de unidades. Uma unidade

muito usual para a frequência é o Hz ou c/s. Neste caso, indica-se a frequência natural como

f k m n n 2 1 2 (2.16)

O período deste movimento de vibração é dado então por

n n n f 1 2 T (2.17)

Aplicando as condições iniciais de posição x(0) e de velocidade x(0) na solução dada

por (2.14) e na correspondente derivada no tempo, obtém-se:

n 1

0 x

C ( ) e C₂ x(0) (2.18)

Figura 2.1 - Vibração livre de sistemas não amortecidos.

Aplicando as constantes dadas em (2.18) na solução (2.14), obtém-se

t 0 x t 0 x x _{n n} n cos ) ( sen ) (  (2.19) ou ) ( t sen A x _n (2.20)

com a amplitude A e a fase dadas por

2 2 n 2 2 2 1 x 0 0 x C C A ( ) [ ( )] (2.21) e 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 u (t ) x

) ( ) ( tan tan 0 x 0 x C C 1 _n 1 2 1  (2.22)

A figura (2.1) ilustra o movimento de vibração livre sem amortecimento. Pode-se

observar nesta figura que o movimento corresponde a um movimento harmônico simples. A

massa oscila na frequência natural _n. Os zeros da função (2.20) ocorrem em intervalos de

tempos iguais à metade do período de oscilação. Os máximos ocorrem em intervalos de

2.3-SISTEMAS SUBAMORTECIDOS

Os sistemas subamortecidos são aqueles para os quais o coeficiente de amortecimento é

dado por c 2 mk , o que corresponde a um fator de amortecimento < 1. Então as raízes da equação característica, conforme (2.8), são iguais a

2 2 1 m 2 c m k i m 2 c , (2.23)

Aplicando as definições do fator de amortecimento (2.11) e da frequência natural (2.15) nas

raízes dadas em (2.23), obtém-se

1 2, n i d (2.24)

onde define-se a frequência natural amortecida

d n 1

2

(2.25)

Assim a solução da equação do movimento livre de sistemas subamortecidos é dada por

t i 2 t i 1 d n d n _Ae e A x ( ) ( ) (2.26) ) ( ₁ i t ₂ i t t d d n _{Ae Ae} e x (2.27)

ou com constantes reais C1 e C2, conforme mostrado no item anterior,

) cos sen (C t C t e x nt _{1 d 2 d (2.28)}

Aplicando as condições iniciais de posição x(0) e de velocidade x(0) na solução dada

por (2.28) e na sua velocidade, dada pela correspondente derivada no tempo, obtêm-se:

d n 1 0 x 0 x C ( )+ ( ) e C₂ x(0) (2.29)

Então a solução (2.28) é igual a

)

(

sen

t

A

e

x

2 2 d nx 0 _{x 0} 0 x A ( )+ ( ) [ ( )] (2.31) ) ( + ) ( ) ( tan 0 x 0 x 0 x n d 1  (2.32)

Figura 2.2 - Vibração livre de sistemas subamortecidos.

A Figura 2.2 ilustra o movimento para três valores do fator de amortecimento, com as

mesmas condições iniciais. Pode-se observar, nesta figura, que o movimento corresponde ao

chamado movimento harmônico amortecido. A massa oscila com a frequência natural

amortecida _d, com amplitudes que diminuem exponencialmente a cada ciclo. Os zeros da

função (2.30) ocorrem em intervalos de tempos iguais à metade do “período” de oscilação. Os máximos ocorrem em intervalos de tempos iguais ao período de oscilação T . O mesmo _d ocorre com os mínimos. Observe que os máximos ou mínimos não são centrados em relação

aos zeros. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t -3 -2 -1 0 1 2 3 4 u (t ) FATOR AMORT 0.1 0.2 0.5 x

2.4-SISTEMAS CRITICAMENTE AMORTECIDOS

Os sistemas criticamente amortecidos são aqueles para os quais o coeficiente de

amortecimento é igual ao crítico, ou seja c c 2 mk, o que corresponde a um fator de amortecimento = 1. Então as raízes da equação característica são reais e iguais dadas, a

partir de (2.9), por 1 2 2 , c m (2.33)

Usando a definição de fator de amortecimento

mk 2 c c (2.34) obtém-se n 2 1 m k m 2 mk 2 , (2.35)

Como neste caso = 1 , tem-se

1 2, n (2.36)

Como as raízes são iguais, a solução da equação do movimento livre, conforme (2.4), é

t 2 t 1 n n _Ate e A x (2.37)

Aplicando as condições iniciais de posição x(0) e de velocidade x(0) na solução dada

por (2.37) e na velocidade, dada pela correspondente derivada no tempo, obtêm-se:

) (0 x

A₁ e A₂ x(0)+x(0) _n (2.38) A Figura 2.3 ilustra o movimento livre para este caso de amortecimento, para

determinadas condições iniciais. Pode-se observar a partir desta figura que este movimento

corresponde a um movimento não oscilatório com decaimento exponencial. A massa se

movimenta a partir da posição inicial em direção à posição de equilíbrio sem realizar

Figura 2.3 - Vibração livre de sistemas com amortecimento crítico. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 u (t ) FATOR AMORT 1 x

2.5-SISTEMAS SOBREAMORTECIDOS

Os sistemas sobreamortecidos são aqueles para os quais o coeficiente de

amortecimento é dado por c 2 mk , o que corresponde a um fator de amortecimento > 1. Neste caso as raízes da equação característica são reais e distintas. A partir da equação (2.10),

estas raízes podem ser escritas como

m k m 2 c m 2 c 2 2 1, (2.39)

Usando a definição do coeficiente de amortecimento crítico (2.7) e da frequência natural

(2.15), obtém-se h n 2 1, (2.40) onde 1 2 n h

Neste caso, as duas raízes da equação característica são reais, distintas e negativas. A solução

da equação do movimento livre de sistemas sobre-amortecidos é dada, a partir de (2.3), por

t 2 t 1 h n h n _Ae e A x ( ) ( ) (2.41) ou ) ( ₁ t ₂ t t h h n _{Ae Ae} e x (2.42)

onde A1 e A2 são constantes que dependem das condições iniciais. Aplicando as condições

iniciais de posição x(0) e de velocidade x(0) na solução dada por (2.42) e na velocidade,

dada pela correspondente derivada no tempo, obtém-se:

h n h 2 h n h 1 2 0 x 0 x A 2 0 x 0 x A ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) (   (2.43)

Alguns autores preferem escrever esta mesma solução de outra forma )] cosh( ) ( [Bsenh t B t e x nt _{1 h 2 h (2.44)} onde h n 1 0 x 0 x B ( )+ ( ) e B₂ x(0) (2.45)

Figura 2.4 - Vibração livre de sistemas sobreamortecidos.

A Figura 2.4 ilustra este movimento para dois valores do fator de amortecimento, com

determinadas condições iniciais. Pode-se observar que este movimento corresponde a um

movimento não oscilatório com decaimento exponencial. A massa se movimenta a partir da

posição inicial em direção à posição de equilíbrio sem realizar oscilações. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 u (t ) FATOR AMORT 2 5 x

2.6-DECREMENTO LOGARÍTMICO

Os sistemas subamortecidos, aqueles para os quais o coeficiente de amortecimento é

dado por c 2 mk , o que corresponde a um fator de amortecimento < 1, possuem uma característica muito importante: a queda da amplitude depende exclusivamente do fator de

amortecimento. Neste caso, o deslocamento da vibração livre num determinado instante de

tempo t1, obtido de (2.28), é igual a

) cos ( _{1 d 1 2 d 1} t 1 e Asen t A t x n1 _(2.46)

e, num instante t2 =t1+Td, onde Td é o período do movimento amortecido, é dado por

)] ( cos ) ( [ ) ( d 1 d 2 d 1 d 1 T t 2 e Asen t T A t T x n 1 d _(2.47)

Figura 2.5 – Decremento logarítmico.

Substituindo o período do movimento amortecido, dado por

T_d d 2 (2.48) 0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 FATORAMORT 0.05 u 1 u 2 t1 t₂ x(t) x1 x2

em (2.47), obtém-se )] ( cos ) ( [ ) ( 2 t A 2 t sen A e x₂ n t1 Td _{1 d 1 2 d 1 (2.49)}

Dividindo (2.46) por (2.49), obtém-se

d nT 2 1 _e x x (2.50)

Substituindo (2.25) em (2.50), o resultado é igual a

2 2 d d 1 2 1 T 2 1 e e x x (2.51)

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados de (2.51), tem-se

2 2 1 1 2 x x ln (2.52)

onde o parâmetro é chamado decremento logarítmico. Então, rapidamente obtém-se o fator

de amortecimento em função do decremento logarítmico, através de

2 2

4 (2.53)

Pode-se também tomar o deslocamento xn+1 da vibração livre, num instante tn+1=t1+nTd, e

mostrar de forma análoga que

n x x ln 1 n 1 _(2.54)

Logo, o decremento logarítmico pode ser obtido através de

1 n 1 x x ln n 1 (2.55)