01. b
No retângulo, o perímetro (medida do contorno) é dado pela soma das medidas dos seus lados. Então, nesse caso:
perímetro = 2 ∙ (m + a) + 2 ∙ x perímetro = 2 ∙ (m + a + x) 02. a
A área de um retângulo é determinada multiplicando-se a medida da sua base pela medida da sua altura:
Área = (m + a) ∙ x 03. c E E E = − = + − = 1000 999 1000 999 1000 999 1999 1 2 2 ( ) (. ) . E = 1999 04. d
Multiplicando a medida da base pela medida da altura desse retân-gulo, temos:
A = (x + y + z) ∙ a, ou seja, A = a (x + y + z) 05. d
A área do quadro menor, cujo lado mede x, é x2. Observe que a figura pode ser dividida em 9 quadrados de área x2. Portanto:
x2 O valor, em cm, da medida x é 10 06. e B x x B x x x B x x x = + + = + + + = + + + = + + 2 2 7 12 3 4 12 3 4 3 ( ) ( ) ( ) ( ) B (x 3) (x 4). 07. d (1) x y x y . = . = ⇒ = 0
0 0 0 para qualquer y real.
(2) x y y x . = . = ⇒ = 0
0 0 0 para qualquer x real.
9 ∙ x2 = 90 cm2 x2 = 10 cm2 x = 10 cm (3) x y y x x . = . = ⇒ = ⇒ = 0 10 10 0 0
I. Falsa – de (1) temos que y poderá ser qualquer número real, ou seja, poderá ser diferente de zero.
II. Verdadeira – de (1) temos que y poderá ser qualquer número real.
III. Verdadeira – de (2) temos que x poderá ser qualquer número real. Portanto, poderá ser igual a zero.
IV. Verdadeira – de (3) temos que x = 0, necessariamente. 08. e
Observe, abaixo, uma reprodução do esquema que representa a sala projetada e suas divisões.
2
2 x x
Sabendo que x ≠ 2, podemos concluir que a sala foi dividida em dois quadrados diferentes (regiões sombreadas) e dois retângulos iguais e não quadrados (regiões não sombreadas).
Portanto, é correto afirmar que a sala quadrada foi dividida em dois quadrados diferentes e dois retângulos iguais.
09. b
Sendo (x + 2) a medida do lado da figura quadrada que representa a sala, temos:
Área total da figura = (x + 2)2 Área total da figura = x2 + 2 ∙ 2x + 22 Área total da figura = x2 + 4x + 4
10. a x x x x 2 2 4 29 25 5 0 + = = = ( > ) 2 2 Área (x 2) Área (5 2) Área 49 x 5 = + ⇒ = + ⇒ = =
Matemática 1A
Resoluções
Matemática e suas Tecnologias – ENEM 1
Matemática e suas Tecnologias
O quipus da figura 2 representa o número 3 064, pois 3 Milhares = 3 000 0 Centena = 0 6 Dezenas = 60 4 Unidades = 4 3 000 + 0 + 60 + 4 = 3 064 02. a
A ∩ B ={Monera, Protista, Fungi} ∩ {Plantae, Animalia, Fungi} A ∩ B ={Fungi }
Sendo R = {Monera, Protista, Fungi, Plantae, Animalia} o conjunto constituído por todos os reinos, tem-se:
(A ∩ B)C = R – (A ∩ B)
(A ∩ B)C = {Monera, Protista, Fungi, Plantae, Animalia} – {Fungi} (A ∩ B)C = {Monera, Protista, Plantae, Animalia}
Logo:
(A ∩ B)C – C = {Monera, Protista, Plantae, Animalia} – – {Animalia, Protista, Fungi}
(A ∩ B)C – C = {Monera, Plantae} Observe que:
• as bactérias pertencem ao reino Monera; • as leveduras pertencem ao reino Fungi; • as samambaias pertencem ao reino Plantae; • os cogumelos pertencem ao reino Fungi; • as algas microscópicas pertencem ao reino Protista; • os caracóis pertencem ao reino Animalia; • as esponjas pertencem ao reino Protista; • os musgos pertencem ao reino Plantae.
Portanto, da lista de indivíduos, os únicos que pertencem ao conjunto {Monera, Plantae} são: bactérias, musgo e samambaia.
03. b
Pelo diagrama, 78 alunos responderam sim a ambas as perguntas e 48 responderam não a ambas as perguntas.
04. d
O reino Fungi, na classificação de Whittaker, é subconjunto do reino Metaphyta, na classificação de Copeland.
05. e
Observe que são racionais os seguintes números: 47 61 4761 100 4761 100 69 10 , = = = 1600= 402=40 27 04 2704 100 2704 100 52 10 26 5 , = = = = 576= 242=24
No texto, 10 é o único número irracional. 06. d
Inicialmente, convém destacar que: • X: conjunto dos paralelogramos; • Y: conjunto dos retângulos;
• W: conjunto dos quadriláteros convexos cujos lados têm medidas iguais, mas as diagonais têm medidas diferentes. Isto é, W é o con-junto dos losangos que não são quadrados.
Além disso:
Todo quadrado é um retângulo, ou seja, V ⊂ Y. Todo retângulo é um paralelogramo, ou seja, Y ⊂ X.
Todo quadrilátero convexo cujos lados têm medidas iguais (equilá-tero), mas as diagonais têm medidas diferentes é um paralelogramo, mas não é um quadrado, nem um retângulo, ou seja, W ⊂ X, W ⊄ Y e W ⊄ V.
Vamos analisar as afirmativas: a) Falsa
Todo losango é um paralelogramo: W ⊂ X. Todo quadrado é um retângulo: V ⊂ Y. Logo, Y ∩ V = V ≠ ∅.
b) Falsa
Da afirmação anterior, tem-se Y ∩ V = V. Porém, V ⊄ W, pois qua-drados possuem diagonais congruentes.
c) Falsa
Todo retângulo possui diagonais congruentes: Y ⊄ W. d) Verdadeira
Se um retângulo possuir lados iguais, será denominado quadrado. Como qualquer quadrado possui diagonais congruentes, pode-se corretamente concluir que nenhum retângulo que possua lados iguais terá diagonais com medidas diferentes.
Portanto: Y ∩ W = ∅ = { }. 07. d
a) Falsa
Observe que, por exemplo, 3. 3= 3 3. = 9 3= ∉I . b) Falsa
Observe que, por exemplo, (− 3)+ 3 0 I .= ∉ c) Falsa
Observe que, por exemplo, os números 10 e 11 são irracio-nais, de modo que 3< 10 4< e 3< 11 4< .
d) Verdadeira
Se a e b são números racionais, então c= +a b
2 é racional e a < c < b. e) Falsa
Observe que, por exemplo, (–3) – (–4) = –3 + 4 = 1 08. b
a) Falsa
Considere os números irracionais (2+ 3) e (2− 3). Observe que (2+ 3) (+ −2 3)= ∉ I .4
b) Verdadeira
Se a é um número racional e b é um número irracional, então a diferença (a – b) é irracional.
Note que se ocorresse a – b = c, com c racional, então o número irracional b seria igual à diferença entre os racionais a e c (b = a – c). Mas isso é contraditório, pois a diferença entre dois números ra-cionais é sempre um número racional. Portanto, conclui-se que a diferença entre um número racional e um irracional resulta sempre em um irracional.
c) Falsa
Pode-se considerar como contraexemplo: 4 2= ∉I . d) Falsa
Considere os números irracionais 2 e 8 , e observe que 2. 8= 16 4= ∉ I .
A pessoa deverá comer, diariamente, 3,5 ∙ 100 g = 350 g de arroz e 1 ∙ 100 g = 100 g de feijão.
05. d
A taxa deve ser paga apenas ao final do primeiro mês no imóvel. • No primeiro mês: mensalidade + taxa = 900 taxa = 900 – mensalidade • Em 12 meses: 6950 = 900 + 11 mensalidades 6050 = 11 mensalidades 1 mensalidade = 6050 11 = 550 reais Portanto, taxa = 900 – 550 = 350 reais 06. e
O número natural N tem exatamente (x + 1) ∙ (y + 1) ∙ (z + 1) divisores positivos, e um total de 2 ∙ (x + 1) ∙ (y + 1) ∙ (z + 1) divisores. Considerando apenas os divisores diferentes de N, são (x + 1) ∙ (y + 1) ∙ (z + 1) –1 divisores positivos e, no total, 2 ∙ (x + 1) ∙ (y + 1) ∙ (z + 1) – 1 divisores.
Nesse problema, foram considerados apenas os divisores naturais do natural N, pois em nenhuma das alternativas foi indicado o número total de divisores de N, diferentes de N. Portanto, de acordo com as opções apresentadas, a resposta é
(x + 1) ∙ (y + 1) ∙ (z + 1) – 1 07. b
Considerando que a empresa, em agosto, vendeu x colchões de sol-teiro e y colchões de casal, temos:
320 480 8320 160 160 3200 2 3 52 20 2 160 160 x y x y x y x y + = + = ⇒ + = + = ÷ ÷ xx y x y x y x y x + = + = ⇒ + = − − =− − = − ⇒ × − 3 52 20 2 3 52 3 3 60 8 3 ( ) x = 8
Portanto, essa empresa vendeu, em agosto, 8 colchões de solteiro. e) Falsa
Considere o número irracional 32 e observe que (32)2=34∈I.
09. c
As informações podem ser organizadas por meio da seguinte ilustra-ção:
V
A M
Pode-se observar que:
• As pessoas que não têm automóvel podem ou não ter menos de 20 anos.
• As pessoas que não têm moto podem ou não ter mais de 20 anos. • As pessoas que não têm mais de 20 anos não podem ter automóveis.
• As pessoas que não têm automóveis podem ou não ter motos. • Nenhuma pessoa que tem menos de 20 anos pode ter automóveis. 10 d
Se todo matemático é cientista, necessariamente, M C⊂ .
Se alguns matemáticos são professores, necessariamente, M P∩ ≠ ∅. Além disso, também garante-se a veracidade de C P∩ ≠ ∅ e
(M P∩ ⊂) C.
Entretanto, a partir das duas premissas não se pode garantir que P M⊂ . Observe uma possível ilustração que pode ser esboçada a partir da veracidade das duas premissas:
C P
M
01. a
Considerando E(I) o valor cobrado pela primeira empresa, para a constru-ção de n km de rodovia, e E(II), o valor cobrado pela segunda empresa: • E(I) = 100 000 ∙ n + 350 000 • E(II) = 120 000 ∙ n + 150 000 • E(I) = E(II) 100 000 ∙ n + 350 000 = 120 000 ∙ n + 150 000 100 ∙ n + 350 = 120 ∙ n + 150 02. b
A pessoa, que comprava n unidades do produto ao preço unitário de R$ 10,00, passou a gastar R$ 6,00 a mais para comprar (n – 2) unida-des do mesmo produto ao preço unitário de R$ 12,00 (preço unitário aumentado de 20%), donde segue que:
12(n – 2) = 10n + 6 ⇒ n = 15
Portanto, a pessoa leva sempre 10 ∙ 15 + 6 = 156 reais (R$ 156,00) 03. e
Considerando que Diofanto viveu x anos:
x x x x x x x x x x mmc x 6 12 7 5 2 4 6 12 7 2 9 6 12 7 2 84 14 7 + + + + + = + + + + = = + *( ( ; ; ; ) ) xx x x x x x x x + + + = + = = ⇒ = 12 42 84 9 84 84 84 75 84 9 84 84 9 9 84 . . .
Diofanto viveu 84 anos. 04. c
• x porções de 100 g desse arroz contêm 1,5 ∙ x mg de ferro e 2 ∙ x mg de zinco.
• y porções de 100 g desse feijão contêm 7 ∙ y mg de ferro e 3 ∙ y mg de zinco.
De acordo com as necessidades diárias (12,25 mg de ferro e 10 mg de zinco): 15 7 12 25 2 3 10 6 28 49 6 9 30 , x y , x y x y x y x + = + = ⇓ + = − − = − = × × (4) (-3) 33 5 1 , y=
Matemática 1C
ENEM 1
de largura.
Se será utilizada uma quantidade inteira de ladrilhos, então existem os inteiros positivos k e n tal que
kx = 875 e nx = 420,
donde segue que x deve ser, necessariamente, um divisor comum de 875 e 420 (pois k
x =875 e n
x
=420 são números inteiros).
A quantidade de ladrilhos será mínima quando a medida do seu lado for máxima. Ou seja, quando x for o máximo divisor comum dos nú-meros 875 e 420: x = mdc (875; 420) 875 175 35 7 1 420 210 105 35 7 1 2 2 3 5 5 875 420 5 7 35 5 7 ⇒ mdc ( ; )= . =
Não havendo perdas, serão utilizados, no mínimo,
875 35 420 35 25 12 . = . = 300 ladrilhos. 09. c
Atendendo aos critérios para a distribuição de ingressos, vamos supor que x escolas receberão exatamente n ingressos para uma mesma sessão vespertina e y escolas receberão a mesma quantidade n de ingressos para a sessão noturna. Portanto:
400 320
n =x e n =y
Se x e y são quantidades de ingressos (números inteiros e positivos), então n é um divisor comum de 400 e 320.
O número de escolas escolhidas, x + y, será mínimo se for máxima a quantidade n de ingressos que cada uma receberá, ou seja, se n for o máximo divisor comum de 400 e 320.
100 50 25 5 1 80 40 20 10 5 1 2 2 5 400 320 2 5 2 2 5 4 ⇒ mdc ( ; )= . =880 x y+ =400+ = + = 80 320 80 5 4 9
Portanto, respeitando os critérios de distribuição dos ingressos, o nú-mero mínimo de escolas que podem ser escolhidas é 9.
10. a
Maria iniciou o tratamento tomando os três remédios quando o reló-gio marcava t horas (horário desconhecido). Somando a esse horário – os múltiplos de 4, descobrem-se os horários em que tomou o
re-médio A;
– os múltiplos positivos de 5, descobrem-se os horários em que to-mou o remédio B;
– os múltiplos positivos de 6, descobrem-se os horários em que to-mou o remédio C.
Os três remédios eram, então, tomados juntos sempre que coincidiam os múltiplos de 4, 5 e 6, o que ocorreu pela primeira vez x horas após o início do tratamento. Logo, x é o menor múltiplo comum de 4, 5 e 6 ∙ x = mmc (4, 5, 6). 4 5 6 2 3 1 1 1 2 2 3 5 4 5 6 2 3 5 602 ⇒ mmc ( ; ; )= . . =
Portanto, os remédios eram tomados simultaneamente a cada 60 ho-ras e, em 30 dias de tratamento, isso ocorreu exatamente
30 24 60 24 2 . h h = = 12 vezes. 01. e n km m m m m n campos campos = × = ≅ 150355 120 90 150355 10 120 90 1392 2 6 2 2 . . 11759 ncampos≅ 14000000 02. d Escala desenho real desenho real =1 150⇒ = 1 ⇒ = 150 150 : • real = 28,5 m = 2850 cm desenho=2850cm= cm 150 19 • real = 36 m = 3600 cm desenho=3600cm= cm 150 24
Deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas da folha, essa folha deverá ter dimensões mínimas de (19 + 1 + 1) cm = 21 cm por (24 + 1 + 1) cm = 26 cm, ou seja, 21 cm x 26 cm.
03. e
Sejam CA e CR as capacidades do aquífero Guarani e do reservatório novo da SABESP, respectivamente.
•CA=30000km3=30000 10. 12dm3=3 10. 16dm3
•CR 20 milhões de litros 2 10 litros 2 10 dm= = . 7 = . 7 3
•CA CR dm dm =3 10 = ⇒ 2 10 15 10 16 3 7 3 9 . . , . CA = 1,5 ∙ 109 ∙ CR
Portanto, a capacidade do aquífero Guarani é 1,5 ∙ 109 vezes a
capaci-dade do reservatório novo. 04. c
Como b e d2 são diretamente proporcionais à resistência S, estes
mul-tiplicam a constante de proporcionalidade (k). Ou seja, S = k ∙ b ∙ d2 05. e 2,1cm 21 mm 1 Razão 1: 2 000 42 m 42000 mm 2000 = = = → 06. c Escala maquete real maquete real =1 250⇒ = 1 ⇒ = 250 250 :
Matemática 1D
4
• Comprimento real = 28 m = 2800 cm
maquete=2800250cm=112, cm
• Largura real = 12 m = 1200 cm
desenho=1200cm= cm
250 4 8,
Portanto, na maquete, o comprimento e a largura deverão medir, respectivamente, 11,2 e 4,8 centímetros.
07. a
Como b e d2 são diretamente proporcionais à resistência S, estes
mul-tiplicam a constante de proporcionalidade (k). Já x2 divide essa
cons-tante, pois a resistência S é inversamente proporcional ao quadrado da distância x entre os suportes da viga. Ou seja, S k b d
x
2 2
= . . .
08. b
• Bacia não ecológica:
60
15 4
litos dia
litros descarga descargas dia /
/ = /
• Bacia ecológica:
(4 descargas / dia) x (6 litros / descarga) = 24 litros / dia Portanto, a economia diária será de 60 – 24 = 36 litros. 09. d
Considere que a malha quadriculada é composta por quadrados cujos lados medem x u.c. (x unidades de comprimento).
• Árvore I: desenho real x H I H I x u c = 1 ⇒ = ⇒ = 100 9 1 100 900 ( ) ( ) . . 04. d 2 8 3 9 4 81 2 8 3 9 4 81 25 12 100 150 40 50 2 2500 1200 6000 50 2 . . . . . . .
(
) ( )
= ⋅ =22 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2500 3 1200 6000 2 50 2 2 4 2500 3600 6000 10 . . . . . . .( )
( )
( )
= 4 4 00 2500 3600 4 6000 100 4 6096 6096 6096 60 2 3 2 3 2 3 2 3 6 . . . . = = =( )
= + − + − 996O expoente da potência de base 6 é o número da casa. Ou seja, o número da casa era 6096.
05. e 6410=
( )
26 10=( )
210 6≅( )
103 6=1018 1018 100 0 18 19 = zeros a arismoslgLogo, o número de algarismos que há, ao todo, no resultado de 6410 é 19. 06. c 102420=
( )
210 20≅( )
103 20= 1060 • Árvore II: desenho real x H II H II x u c =1002 ⇒9 =1002 ⇒ =450 ( ) ( ) . . • Árvore III: desenho real x H III H III x u c = 2 ⇒ ≅ ⇒ ≅ 300 6 2 300 900 ( ) ( ) . . • Árvore IV: desenho real x H IV H IV x u c =3001 ⇒4 5, ≅3001 ⇒ ≅1350 ( ) ( ) . . • Árvore V: desenho real x H V H V x u c = 2 ⇒ ≅ ⇒ ≅ 300 4 5 2 300 675 , ( ) ( ) . .Portanto, a árvore IV é a que tem a maior altura real. 10. e • Carne g pessoa pessoas kg kg : 250 , , 1 .30 =0 25 .30 7 5= • Arroz copo
pessoas pessoas copos
: 1 ,
4 .30 =7 5
• Farofa colheres
pessoa pessoas colheres
:4
1 .30 =120
• Vinho garrafa
pessoas pessoas garrafas
: 1
6 .30 =5
• Cerveja garrafa
pessoas pessoas garrafas
: 1
2 .30 =15
• Espumante garrafa
pessoas pessoas garrafas
: 1 3 .30 =10 01. b elétron próton 27 elétron 27 elétron 27 elétron 3 30 elétron 1800 m m 1800 m 1,7 10 kg 1,7 10 kg m 1800 1,7 10 kg m 1,8 10 m 0,9 10 kg − − − − . = . = . . = . = . . ≅ 02. c N= 5 ⇒ =N 2 2. 5 ⇒ =N 45 03. c
• Perímetro (em centímetros):
(
) (
)
(
)
( )
perímetro 2 9 2 2 9 2 2 perímetro 2 18 perímetro 36 36 é racional . = + + − . = = →• Área (em centímetros quadrados):
(
) (
)
( )
2 2 Área 9 2 2 9 2 2 Área 9 2 2 Área 81 8 Área 73 73 é racional . = + − = − = − = →Os dois números são racionais.
Matemática 1E
ENEM 1
x A x x x x x A x x − =
