Aulão revisional.ppsx

REVISIONAL PRE- ENEM

Análise combinatória; 2.91% Grandezas pro-porcionais; 26.21% Geometria espacial; 13.59% Estatistica; 12.62% Funções; 11.65% Raciocínio lógico; 3.88% Probabilidade; 6.80% Aritmética; 10.68% Frações; 11.65% Raio X enem

Produtos Notáveis

  Mesmo sinal!   Sinais Contrários!

(

 

�+�

)

∙

(

�− �

)=

�

2

−

�

2 1º 2º   Só para os fortes!   _{Todos positivos!} Sinal alterna!

Cuidado: não dá pra fatorar!

Razão e Proporção

Proporção Igualdade entre duas razões

� �=

� �

  Multiplicação

Cruzada

�∙ �=�∙�

  a e d: Extremosb e c: Meios

Algumas propriedades:   Para   Para   Relações de dependência

PROPORÇÃO NOTAÇÃO A B CONSTANTE GRÁFICO

DIRETA QUOCIENTE

INVERSA PRODUTO

PROPORÇÃO NOTAÇÃO A B CONSTANTE GRÁFICO

DIRETA

Exercício 1

(ENEM 2014) Boliche é um jogo em que se arremessa uma bola sobre uma pista para atingir dez

pinos, dispostos em uma formação de base triangular, buscando derrubar o maior número de pinos. A razão entre o total de vezes em que o jogador derruba todos os pinos e o número de jogadas

determina seu desempenho. Em uma disputa entre cinco jogadores, foram obtidos os seguintes resultados:

Jogador I – Derrubou todos os pinos 50 vezes em 85 jogadas. Jogador II – Derrubou todos os pinos 40 vezes em 65 jogadas. Jogador III – Derrubou todos os pinos 20 vezes em 65 jogadas. Jogador IV – Derrubou todos os pinos 30 vezes em 40 jogadas. Jogador V – Derrubou todos os pinos 48 vezes em 90 jogadas. Qual desses jogadores apresentou maior desempenho?

a) I b) II c) III d) IV e) V

Resolução

Jogador I:   Jogador II:   Frações Equivalentes Jogador III:   Jogador IV:   Jogador V:  

× 3

× 3

=

9

12

 

Exercício 2

(ENEM 2013) A Secretaria de Saúde de um município avalia um programa que disponibiliza, para cada aluno de uma escola municipal, uma bicicleta, que deve ser usada no trajeto de ida e volta, entre sua casa e a escola. Na fase de implantação do programa, o aluno que

morava mais distante da escola realizou sempre o mesmo trajeto, representado na figura, na escala 1 : 25 000, por um período de cinco dias.

Quantos quilômetros esse aluno percorreu na fase de implantação do programa? a) 4 b) 8 c) 16 d) 20 e) 40

Resolução

������= �����h� �� �����h�

�����h�����

 

1: 25000

 

Trajeto:

 

Ida e Volta:

 

5 dias:

 

1

��=25000 ��

 

Distância real:

 

�=4.000.000��

   

�=40 ��

Exercício 3

(ENEM 2013) A figura apresenta dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro é visto em diferentes escalas.

a) menor que 10

b) maior que 10 e menor que 20 c) maior que 20 e menor que 30 d) maior que 30 e menor que 40 e) maior que 40

Há interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a área correspondente a esse estado no mapa do Brasil. Esse número é:

Resolução

Mapa do Brasil:

 

Mapa do Rio de Janeiro:

 

Quantas vezes a área foi aumentada no mapa do rio?

(

4000000

1

)

2

(

25000000

1

)

2  

¿

(

1

4000000

1

25000000

)

2  

=

 

¿

(

25

4

)

2  

¿

(

6,25

)

2    

≅39,0625

Exercício 4

(ENEM 2014) O condomínio de um edifício permite que cada proprietário de

apartamento construa um armário em sua vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala 1 : 100, foi disponibilizado aos interessados já com as especificações das dimensões do armário, que deveria ter o formato de um paralelepípedo retângulo reto, com dimensões, no projeto, iguais a 3 cm, 1 cm e 2 cm.

O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será a) 6

b) 600 c) 6 000 d) 60 000 e) 6 000 000

Resolução

Projeto de garagem:

 

Armários: Paralelepípedos retângulos retos

Dimensões:

 

� =� ��

 

Volume da representação:

 

Escala volumétrica:

   

Volume real:

   

�=6000000 � �

3  

Porcentagem

Razão com denominador igual a 100 � %= � 100   Exemplo:   Taxa Percentual Taxa Unitária

Cuidado: uma porcentagem

Só faz sentido quando associada A algum valor!

“50% do salário...”

“15% do investimento...”

Regra importante: Você sempre vai sair perdendo!

Acréscimos são maiores do que parecem Descontos são menores do que parecem R$100 +20% R$120 +20% R$144 Parecia 40% Acréscimo real: 44% R$100 -20% R$80 -20% R$64 Parecia 40% Desconto real: 36%

Preço de custo (PC) e Preço de venda (PV)

Variação de preço

∆

�=�� −��

     _{Trocou cebola}Lucro

Prejuízo

 

Cuidado!

Na hora de calcular percentual de lucro, preste muita atenção no Valor de Referência

Lucro sobre o PC

PC

+L

_PV

100% (100+L)% SOMAR o lucro ao preço de custo Lucro sobre o PV

PC

-L

_PV

(100-L)% 100% SUBTRAIR o lucro do preço de venda

Exercício 5

ENEM 2014) O Brasil é um país com uma vantagem econômica clara no terreno dos recursos naturais, dispondo de uma das maiores áreas com vocação agrícola do mundo. Especialistas

calculam que, dos 853 milhões de hectares do país, as cidades, as reservas indígenas e as áreas de preservação, incluindo florestas e mananciais, cubram por volta de 470 milhões de hectares.

Aproximadamente 280 milhões se destinam à agropecuária, 200 milhões para pastagens e 80

milhões para a agricultura, somadas as lavouras anuais e as perenes, como o café e a fruticultura.

FORTES, G. Recuperação de pastagens é alternativa para ampliar cultivos. Folha de S. Paulo, 30 out. 2011.

De acordo com os dados apresentados, o percentual correspondente à área utilizada para agricultura em relação à área do território brasileiro é mais próximo de

a) 32,8% b) 28,6% c) 10,7% d) 9,4% e) 8,0%

Resolução:

Área total do país: 853 milhões de hectares

Área utilizada para agricultura: 80 milhões de hectares

853 milhões = 100%

80 milhões = x

�

≅9,38%

Exercício 6

(ENEM 2014) A taxa de fecundidade é um indicador que expressa a condição reprodutiva média das mulheres de uma região, e é importante para uma análise da dinâmica

demográfica dessa região. A tabela apresenta os dados obtidos pelos Censos de 2000 e 2010, feitos pelo IBGE, com relação à taxa de fecundidade no Brasil

Ano Taxa de fecundidade no

Brasil

2000 2,38

2010 1,90

Suponha que a variação percentual relativa na taxa de fecundidade no período de 2000 a 2010 se repita no período de 2010 a 2020. Nesse caso, em 2020 a taxa de fecundidade no Brasil estará mais próxima de

Resolução

2,38=100 %

 

x

 

�=

190

2,38

 

�

≅0,8

 

Em 2020...

80% 

��1,9

   

_¿

0,8 ×1,9

 

_¿

1,52

Exercício 7

(ENEM 2014) Uma organização não governamental divulgou um levantamento de dados realizado em algumas cidades brasileiras sobre saneamento básico. Os

resultados indicam que somente 36% do esgoto gerado nessas cidades é tratado, o que mostra que 8 bilhões de litros de esgoto sem nenhum tratamento são lançados todos os dias nas águas. Uma campanha para melhorar o saneamento básico nessas cidades tem como meta a redução da quantidade de esgoto lançado nas águas

diariamente, sem tratamento, para 4 bilhões de litros nos próximos meses. Se o volume de esgoto gerado permanecer o mesmo e a meta dessa campanha se concretizar, o percentual de esgoto tratado passará a ser

a) 72% b) 68% c) 64% d) 54% e) 18%

Resolução

36% do esgoto é tratado

8 bilhões de litros não são tratados

64%

Qual o total de esgoto?

100%

8

��� õ ��=64 %

h

 

�

��� õ ��=100 %

h

 

�=12,5 h

��� õ��

 

Do total 4 bilhões não serão tratados

8,5 bilhões tratados

12,5

��� õ ��=100 %

h

 

8,5

��� õ ��=�

h

 

�=68%

Exercício 8

(ENEM 2014) De acordo com a ONU, da água utilizada diariamente, • 25% são para tomar banho, lavar as mãos e escovar os dentes. • 33% são utilizados em descarga de banheiro.

• 27% são para cozinhar e beber. • 15% são para demais atividades.

No Brasil, o consumo de água por pessoa chega, em média, a 200 litros por dia. O quadro mostra sugestões de consumo moderado de água por pessoa, por dia, em algumas atividades.

Atividade Consumo total de água

na atividade ( em litros) Tomar banho 24,0 Dar descarga 18,0 Lavar as mãos 3,2 Escovar os dentes 2,4 Beber e cozinhar 22,0

Se cada brasileiro adotar o consumo de água indicado no quadro, mantendo o mesmo consumo nas demais atividades,

então economizará diariamente, em média, em litros de água, a) 30,0 b) 9,6 c) 100,4 d) 130,4 e) 170,0

Resolução

24 +18+3,2+2,4+22

  Tabela

+

15% 

�� 200

  Demais atividades

69,6+30

   

_¿

99,6

������

��������

   

200 −99,6

100,4

 

������

Exercício 9

(ENEM 2014) Os vidros para veículos produzidos por certo fabricante têm

transparências entre 70% e 90%, dependendo do lote fabricado. Isso significa que, quando um feixe luminoso incide no vidro, uma parte entre 70% e 90% da luz

consegue atravessá-lo. Os veículos equipados com vidros desse fabricante terão instaladas, nos vidros das portas, películas protetoras cuja transparência,

dependendo do lote fabricado, estará entre 50% e 70%. Considere que uma

porcentagem P da intensidade da luz, proveniente de uma fonte externa, atravessa o vidro e a película. De acordo com as informações, o intervalo das porcentagens que representam a variação total possível de P é

a) [35 ; 63] b) [40 ; 63] c) [50 ; 70] d) [50 ; 90] e) [70 ; 90]

Resolução

Vidro

 

Película

 

Para a menor quantidade

70

100

∙

50

100

 

¿

35

100

 

¿

35 %

 

Para a maior quantidade

90

100

∙

70

100

 

¿

63

100

 

¿

63 %

 

O famoso trio

da estatística!

Parta SEMPRE de uma lista ORDENADA

Por exemplo,

4 – 2 - 5 – 2 - 2 -1 – 2 – 3 – 6 - 5

O ordenador

1 – 2 - 2 – 2 - 2 - 3 – 4 – 5 – 5 - 6

M

oda: O valor mais frequente em uma lista

Tô na Moda!

M

édia: A razão entre a soma dos valores

e o número de observações  1+ 2+2+2+ 2+3+ 4 +5+5+ 6₁₀ =32₁₀ =3,2

M

ediana: Depende do número de observações

Número Impar?

É quem tá bem no meio

Número

Médias indispensáveis entre 2 números

Nome Como calcular Resultado

Aritmética Formam uma PA

Geométrica Formam uma PG

Harmônica Formam uma PA

Nome Como calcular Resultado

Aritmética Geométrica Harmônica Dica Quente Para e positivos e  

�

₁

>

��> �� > �� > �

₂  

Exercício 10

(ENEM 2013) As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca avaliadora era composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da banca atribuiu duas notas ao professor, uma relativa aos

conhecimentos específicos da área de atuação e outra, aos conhecimentos pedagógicos, e que a média final do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca avaliadora. _{Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora}

resolveu descartar a maior e a menor notas

atribuídas ao professor. A nova média, em relação à média anterior, é a) 0,25 ponto maior b) 1,00 ponto maior c) 1,00 ponto menor d) 1,25 ponto maior e) 2,00 pontos menor

Resolução

´

�

₁

=

18+16+ 17+13 +14+ 1+ 19+14+ 16+12

10

 

´

�

₁

=

140

10

 

¿

14

 

_{Nova média}

�

´

2

=

120

8

 

5

 

1 ponto a mais

Exercício 11

(ENEM 2014) Os candidatos K, L, M, N e P estão disputando uma única vaga de emprego em uma empresa e fizeram provas de português, matemática, direito e informática. A tabela apresenta as notas obtidas pelos cinco candidatos.

Candidatos Português Matemática Direito Informática

K 33 33 33 34

L 32 39 33 34

M 35 35 36 34

N 24 37 40 35

P 36 16 26 41

Segundo o edital de seleção, o candidato aprovado será aquele para o qual a mediana das notas obtidas por ele nas quatro disciplinas for a maior. O

candidato aprovado será

Resolução

Primeiro passo é colocar em ordem crescente

Candidato K

 

33,33,33,34

_��=

33+ 33

2

 

¿

33

 

Candidato L

 

32,33,34,39

��=

33+ 34

2

 

¿

33,5

 

Candidato M

 

34,35,35,36

��=

35+ 35

2

 

¿

35

 

Candidato N

 

24,35,37,40

��=

35+ 37

2

 

¿

36

 

Candidato P

16,26,36,41

   

��=

26 +36

₂

 

¿

31

Exercício 12

(ENEM 2014) Uma loja que vende sapatos recebeu diversas reclamações de seus clientes relacionadas à venda de sapatos de cor branca ou preta. Os donos da loja anotaram as numerações dos sapatos com defeito e fizeram um estudo estatístico com o intuito de reclamar com o fabricante. A tabela contém a média, a mediana e a moda desses dados anotados pelos donos.

Estatística sobre as numerações dos sapatos com defeito

Média Mediana Moda

Numeração dos sapatos

com defeito 36 37 38

decidiram que a numeração dos sapatos com maior número de reclamações e a cor com maior número de reclamações não serão mais vendidas. A loja encaminhou um ofício ao fornecedor dos sapatos, explicando que não serão mais encomendados os sapatos de cor

Para quantificar os sapatos pela cor, os donos representaram a cor branca pelo número 0 e a cor preta pelo

número 1. Sabe-se que a média da distribuição desses zeros e uns é igual a 0,45. Os donos da loja

a) branca e os de número 38 b) branca e os de número 37

c) branca e os de número 36 d) preta e os de número 38

Resolução

Branco=0 Preto=1

Média=0,45

Moda=38

Seja o número de sapatos brancos e o número de sapatos pretos

 

• Se

 

´

�=

0 ∙

� +1 ∙ �

� +�

  � � +�   _¿ � 2 �  

_¿

 

_0,5

• Se

  � � + �  

• Se

   _{� + �}�

¿

 

0,5

¿

 

0,5

Exercício 13

(ENEM 2015) Um concurso é composto por cinco etapas. Cada etapa vale 100 pontos. A pontuação final de cada candidato é a média de suas notas nas cinco etapas. A classificação obedece à

ordem decrescente das pontuações finais. O critério de desempate baseia-se na maior pontuação na quinta etapa.

Candidato Média nas quatro

primeiras etapas Pontuação na quinta etapa

A 90 60

B 85 85

C 80 95

D 60 90

E 60 100

A ordem de classificação final desse concurso é a) A, B, C, E, D.

b) B, A, C, E, D. c) C, B, E, A, D. d) C, B, E, D, A. e) E, C, D, B, A.

Resolução

Candidato A

_�=´ 4 ∙ 90+60 5   _¿ 420 5  

_¿

 

84

Candidato B

_�=´ 4 ∙ 85+85 5   _¿ 420 5  

_¿

 

85

Candidato C

_�=´ 4 ∙ 8 0+ 95 5   _¿ 415 5  

_¿

 

83

Candidato D

_�=´ 4 ∙60 +90 5   _¿ 330 5  

_¿

 

66

Candidato E

_�=´ 4 ∙60 +100 5   _¿ 340 5  

_¿

 

68

�− �−�− � −�

 

Probabilidade Probabilidade ESPAÇO AMOSTRAL: conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório EVENTO: qualquer subconjunto do espaço amostral EVENTO COMPLEMENTAR: dois ou mais eventos são complementares quando juntos formam o espaço

amostral completo EVENTOS

EQUIPROVÁVEIS: Aqueles que tem a mesma

probabilidade de ocorrer

�

(

�

)

=

�

(

�

)

�

(

Ω

)

�º���������������

�º�����������Í����

UNIÃO DE DOIS EVENTOS

�∩�=

∅

�

(

�∪�

)

=

�

(

�

)

+

�(�)

�∩�≠

∅

�

(

�∪�

)

=

�

(

�

)

+

�

(

�

)

−

�(�∩�)

PROBABILIDADE CONDICIONAL: Probabilidade de ocorrer um evento A sabendo-se que B já ocorreu

�

(

�

|

�

)

=

�

(

�∩�

)

�

(

�

)

Probabilidade Probabilidade ESPAÇO AMOSTRAL: conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório EVENTO: qualquer subconjunto do espaço amostral EVENTO COMPLEMENTAR: dois ou mais eventos são complementares quando juntos formam o espaço

amostral completo EVENTOS

EQUIPROVÁVEIS: Aqueles que tem a mesma

probabilidade de ocorrer

�

(

�

)

=

�

(

�

)

�

(

Ω

)

�º���������������

�º�����������Í����

UNIÃO DE DOIS EVENTOS

�∩�=

∅

�

(

�∪�

)

=

�

(

�

)

+

�(�)

�∩�≠

∅

�

(

�∪�

)

=

�

(

�

)

+

�

(

�

)

−

�(�∩�)

PROBABILIDADE CONDICIONAL: Probabilidade de ocorrer um evento A sabendo-se que B já ocorreu

�

(

�

|

�

)

=

�

(

�∩�

)

�

(

�

)

Exercício 14

(ENEM 2014) Para analisar o desempenho de um método diagnóstico, realizam-se estudos em populações contendo pacientes sadios e doentes. Quatro situações distintas podem acontecer nesse contexto de teste: 1) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO.

2) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO. 3) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO. 4) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO.

Um índice de desempenho para avaliação de um teste diagnóstico é a sensibilidade, definida como a

probabilidade de o resultado do teste ser POSITIVO se o paciente estiver com a doença. O quadro refere-se a um teste diagnóstico para a doença A, aplicado em uma amostra composta por duzentos indivíduos.

Resultado do teste Doença A

Presente Ausente

Positivo 95 15

Negativo 5 85

Conforme o quadro do teste proposto, a sensibilidade dele é de a) 47,5% b) 85,0% c) 86,3% d) 94,4% e) 95,0%

Resolução

Sensibilidade é a probabilidade do teste dar positivo se o paciente tiver a doença

Total de pacientes:

Tem a doença: 100

Não tem a doença: 100

Positivo e ter a doença:

95

100

=95 %

Exercício 15

(ENEM 2012) José, Paulo e Antônio estão jogando dados não viciados, nos quais, em cada uma das seis faces, há um número de 1 a 6. Cada um deles jogará dois dados simultaneamente. José acredita que, após jogar seus dados, os números das faces voltadas para cima lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo acredita que sua soma será igual a 4 e Antônio acredita que sua soma será igual a 8

Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de acertar sua respectiva soma é a) Antônio, já que sua soma é a maior de todas as escolhidas

b) José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 4 possibilidades para a escolha de Paulo

c) José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 2 possibilidades para a escolha de Paulo

d) José, já que há 6 possibilidades para formar sua soma, 5 possibilidades para formar a soma de Antônio e apenas 3 possibilidades para formar a soma de Paulo

Resolução

Jogador Soma

José 7

Paulo 4

Antônio 8

O espaço amostral é o mesmo para todo mundo

�

(

Ω

)

=

36

 

Casos favoráveis:

José:

 

�

(

���é

)=

6

36

=

1

6

 

Paulo:

(

 

1, 3

)

;

(

2, 2

)

;

(

3,1

)

�

 

(

�����

)

=

₃₆

3

=

₁₂

1

Antônio:

 

_�

₍

_{�����}

₎

₌

5

36

 

Exercício 16

(ENEM 2013) Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B, durante os meses de janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve este gráfico:

A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde entre os compradores do produto B. Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012?

a) 1/20 b) 3/242 c) 5/22 d) 6/25 e) 7/15

Resolução

Espaço amostral do produto A:  

10+30 +60=100

Espaço amostral do produto B:

Comprou o produto A em fevereiro:  

30

�

(

�

)

=

30

100

 

20+20+80=120

 

Comprou o produto A em fevereiro:

2 0

 

�

(

�

)

=

20

120

 

�

(

�

)

� � ( �)

  E: multEplica OU: sOUma  

�( �)�( �)

¿

30

100

∙

20

120

 

¿

3

10

∙

1

6

 

¿

1

20

 

Tudo sobre o cubo

(Ou hexaedro regular) Faces: 6 Vértices: 8 arestas: 12 diagonais da face: 12 Diagonais do cubo: 4 2 por face Diagonais

�

2

=

�

2

+

�

2

→

 

�=�

 

_√

2

�

2

=

�

2

+

�

2

→

 

�=�

 

√

3

Áreas Base: Lateral: Total:   Volume

� =�

  3

Paralelepípedo retângulo

O primo menos famoso do cubo! Á R E A S  

A única que nunca muda!

Diagonal:

Diagonal:

�

  2

₊

�

2

₊

�

2

₌

�

2 Cada um no seu quadrado...

Teorema maluco:

  Cuidado!

Trocando as posições de a, b e c, as áreas laterais e da base MUDAM!

Principais Sólidos

Nome Prisma quadrangular regular Prisma triangular regular Prisma hexagonal regular Cilindro circular reto Nome Prisma quadrangular regular Prisma triangular regular Prisma hexagonal regular Cilindro circular reto a a h a a h a a a h

Área lateral é SEMPRE O produto do perímetro Da base pela altura

�

_�

∙ h=

�

_�   Área Total

2 ∙

 

�

_�

+

�

_�

=

�

_� Duas bases! Volume

�

_�

∙ h=�

 

Corpos Redondos

Cilindros

 

Cones

 

Esferas

 

Pirâmides quadrangulares regulares

Dando nome aos bois! p – apótema da pirâmide M – ponto médio h – altura da pirâmide - aresta lateral b – aresta da base  

Relações pitagóricas importantes

�  �=

(

��

)

2+h2

Apótema da base

(

 ��

)

2=�2+h2

a

Raio da circunferência circunscrita na base.

� =

�

�

∙ h

3

Planificações

Paralelepípedo Cubo

Pirâmide Triângular

Exercício 17

(ENEM 2014) Uma empresa farmacêutica produz medicamentos em pílulas, cada uma na forma de um cilindro com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em cada uma de suas

extremidades. Essas pílulas são moldadas por uma máquina programada para que os cilindros

tenham sempre 10 mm de comprimento, adequando o raio de acordo com o volume desejado. Um medicamento é produzido em pílulas com 5 mm de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se

produzir esse medicamento diminuindo o raio para 4 mm, e, por consequência, seu volume. Isso exige a reprogramação da máquina que produz essas pílulas. Use 3 como valor aproximado para . A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a a) 168 b) 304 c) 306 d) 378 e) 514  

Resolução

�=5��

 

� =4 ��

 

����−������=����������

  Antes

�����������=��������������������+����������������

 

�

  _�

=2∙

�

_��

+

�

_�

�

_�

=

4

3

� �

3

+

� �

2

h

 

�

_�

=

4

3

∙3 ∙ 5

3

+

10 ∙3 ∙ 5

2  

�

  _�

=4 ∙125+750

�

  _�

=1250

��

3 Depois

�

_�

=

4

3

∙3 ∙ 4

3

+

10 ∙3 ∙ 4

2  

�

  _�

=4 ∙64 +480

�

  _�

=736

� �

3

∆

 

�

_�

=(1250 −736 )

��

3

∆

 

�

_�

=514

��

3

Exercício 18

(ENEM 2014) Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, em centímetros, mostradas na figura.

Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e

volume, de tal modo que as dimensões de sua base sejam 25% maiores que as da lata atual. Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em

a) 14,4% b) 20,0% c) 32,0% d) 36,0% e) 64,0%

Resolução

Dimensões da base 25% maiores, com o mesmo volume, quantos % reduz a altura

�

₁

=24 ∙ 24 ∙ 40

 

Base aumenta 25% Fator de multiplicação 1,25   _{Nova altura}

�

₂

=1,25 ∙ 24 ∙ 1,25 ∙24 ∙

� ∙ 40

 

�

  ₁

=

�

₂  

24 ∙ 24 ∙ 40=1,25 ∙ 24 ∙ 1,25 ∙ 24 ∙

� ∙40

(

1,25

)

2

∙

�=1

   

₍

_1,25

₎

2

_∙

_�=1

 

�=0,64

������� �������� 36%

 

Pare e pense!

Exercício 19

(ENEM 2014) Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite formado por duas partes cúbicas que se comunicam, como indicado na figura. A aresta da parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da aresta da parte cúbica de cima. A

torneira utilizada para encher o depósito tem vazão constante e levou 8 minutos para encher metade da parte de baixo.

Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante do depósito?

a) 8 b) 10 c) 16 d) 18 e) 24

Resolução

Aresta do cubo maior:

   

_{Aresta do cubo menor:}

Leva 8 min para encher metade do cubo maior

Quanto tempo falta para encher o restante?

Cubo maior

�

_�

=

�

3  

Cubo menor

�

_�

=

(

�

2

)

3

=

�

3

8

 

Demora 16

minutos para

encher

Demora 2

minutos para

encher

Cubo maior + cubo menor

16+2

�������

 

18

 

�������

������10�������

Exercício 20

Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem da produção de grãos, no formato de um cilindro reto, sobreposto por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica cheio e o transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja

capacidade é de 20 m³. Uma região possui um silo cheio e apenas um caminhão para transportar os grãos para a usina de beneficiamento.

Utilize 3 como aproximação para π.

O número mínimo de viagens que o caminhão

precisará fazer para transportar todo o volume de grãos armazenados no silo é

a) 6 b) 16 c) 17 d) 18 e) 21

Resolução

Volume do Silo

�

  _����

=

�

_{��������}

+

�

_����

�

_����

=

� �

2

h+

� �

2

_h

3

 

�

_����

=

3 ∙3

2

∙ 12+

3 ∙ 3

2

_{∙ 3}

3

 

�

  _����

=

324+27

�

  _����

₌

351

�

3 Viagens Volume

1= 20

�

3  

x=351

�

3  

�=17,55�������

 

18

�������

 

Pare e pense!

O onipresente triângulo retângulo!

Sentido horário Perímetro:   O básico:

�

2

=

�

2

+

�

2   Á rea= �∙� 2 = �∙ h 2 →  

_{�∙ �=�∙h}

 

O avançado (Os triângulos , e são semelhantes)

�

2

=

�∙ �

 

_�

2

=

� ∙�

 

h

  2

=

� ∙�

Triângulos retângulos indispensáveis

30º 60º Chame de COISA o cateto oposto Ao ângulo de 30º 30º e 60º 2 COIS AS COISA √3 Chame de LADO Qualquer cateto LADO LA DO √2 45º e 45º Esse é metade de um triângulo

equilátero Esse é metade _{de um quadrado}

Vértice

Ponto médio

Polígonos Regulares

Vértice Lado

Diagonais

LADOS conectam vértices adjacentes DIAGONAIS conectam vértices opostos

Número de diagonais �= � (� −3 ) 2 =�� 2 −�   Soma dos ângulos Internos: Externos   Para n lados Para calcular Um só â_�=180 ° (�− 2) �   â_�=360 ° �  

Por análise combinatória

Cada vértice

O trio Imbatível da geometria plana

Quadrado Se liga: Perímetro é 2p, Semiperimetro é p Perímetro: Área: Diagonal:   Triângulo Equilátero Ponto médio Perímetro: Área: Altura:   Hexágono regular Perímetro: Área:  

Importantes leis matemáticas

Lei dos COSSENOS

�

2

=

�

2

+

�

2

−2 ∙

�∙� ∙ ��� �

 

Lei dos Senos

�

����

=

�

��� �

=

�

����

=2

�

 

Lei de Murphy! Se uma coisa pode dar errado, dará...

Paradoxo

Expressões para a

área de um triângulo

Por base e altura

�= �∙ h

2

 

Fácil!

Por dois lados e um ângulo

�= �∙�∙ ��� � 2   Pelo semiperímetro

�=

_√

�(� −�)(�−�)(�−�)

 

Pelo raio r do círculo inscrito

�=� ∙�

  �= �∙�∙ � 4 �   �= �+�+� 2  

MEGA tabela de arcos notáveis

O básico

RAZÃO sobre DOIS!

Conte até 4

√

01234

2

 

Seno na ida e Cosseno na volta

TANGENTE é SENO sobre COSSENO

0º 30º 45º 60º 90º SEN COS TG COTG SEC COSEC 0º 30º 45º 60º 90º SEN COS TG COTG SEC COSEC Flecha VERMELHAS Conectam funções Em que uma é o INVERSO da outra

Exercício 21

(ENEM 2016) Uma família resolveu comprar um imóvel num bairro cujas ruas estão

representadas na figura. As ruas com nomes de letras são paralelas entre si e perpendiculares às ruas identificadas com números. Todos os quarteirões são quadrados, com as mesmas

medidas, e todas as ruas têm a mesma largura, permitindo caminhar somente nas direções vertical e horizontal. Desconsidere a largura das ruas.

A família pretende que esse imóvel tenha a mesma distância de percurso até o local de trabalho da mãe, localizado na rua 6 com a rua E, o consultório do pai, na rua 2 com a rua E, e a escola das crianças, na rua 4 com a rua A.

Com base nesses dados, o imóvel que atende as pretensões da família deverá ser localizado no encontro das ruas

a) 3 e C b) 4 e C c) 4 e D d) 4 e E e) 5 e C

Resolução

M P E a b c d e Analisar os termos mais centrais

X

X

X

a- longe da mãe d – longe da escola e – longe do pai

X

Exercício 22

Um arquiteto deseja construir um jardim circular de 20 m de diâmetro. Nesse jardim, uma parte do terreno será reservada para pedras ornamentais. Essa parte terá a forma de um

quadrado inscrito na circunferência, como mostrado na figura. Na parte compreendida entre o contorno da circunferência e a parte externa ao quadrado, será colocada terra vegetal. Nessa parte do jardim, serão usados 15 kg de terra para cada m2.A terra vegetal é comercializada em sacos com exatos 15 kg cada. Use 3 como valor aproximado para π.

o número mínimo de sacos de terra vegetal

necessários para cobrir a parte descrita do jardim é a) 100 b) 140 c) 200 d) 800 e) 1000

Resolução

Área do círculo:

 

Área do quadrado:

 

�

_�

=3 ∙ 10

2  

_�

�

=300

�

2  

D

l

 

�=�

√

2

 

20=

�

√

2

 

�=10

√

2

�

_�

=

(

10

√

2

)

2  

�

�

=200

�

2  

�

_{���� ã�}

=

�

_�

−

�

_�  

�

���� ã �

=100

�

2  

1

����=1 �

2  

x

�����=100 �

2  

100 sacos

Exercício 23

Um casal e seus dois filhos saíram, com um corretor de imóveis, com a intenção de comprar um lote onde futuramente construiriam sua residência. No projeto da casa, que esta família tem em mente, irão necessitar de uma área de pelo menos 400 m 2 Após algumas avaliações, ficaram de decidir entre os lotes 1 e 2 da figura, em forma de paralelogramos, cujos preços são R$ 100 000,00 e R$ 150 000,00, respectivamente.

Use como aproximações, respectivamente, para sen(60°), cos(60°) e √3 Para colaborarem na decisão, os envolvidos fizeram as seguintes argumentações:

• Pai: Devemos comprar o Lote 1, pois como uma de suas diagonais é maior do que as diagonais do Lote 2, o Lote 1 também terá maior área;

• Mãe: Se desconsiderarmos os preços, poderemos comprar qualquer lote para executar nosso projeto, pois tendo ambos o mesmo perímetro, terão também a mesma área; • Filho 1: Devemos comprar o Lote 2, pois é o único que tem área suficiente para a

execução do projeto;

• Filho 2: Devemos comprar o Lote 1, pois como os dois lotes possuem lados de mesma medida, terão também a mesma área, porém o Lote 1 é mais barato;

• Corretor: Vocês devem comprar o Lote 2, pois é o que tem menor custo por metro quadrado.

A pessoa que argumentou corretamente para a compra do terreno foi o(a)

  a) pai. b) mãe. c) filho 1. d) filho 2. e) corretor.

Resolução

Lote 1: R$ 100000,00 Lote 2 R$ 150000,00 �₂=30 ∙ 15=450�2   �₁=15 ∙ 30 ∙���60 °=382,5 �2   No mínimo: 400 m²

�������� �

2

=

100000

382,5 ≅

�$ 261,4

  �������� �2=150000 450 ≅ � $ 333,33  

Análise combinatória

O número de objetos é igual ao número de

posições?

Não _importa?A ordem

Não Combinação

�

_��

=

�!

�!

(

�−�

)

!

Sim Arranjo

�

_��

=

�!

(

�−�

)

!

Sim repetição de Existe elementos?

Não Permutação _Simples

�

�

=

�!

Sim _{com repetição}Permutação

�

_�

�,�,�…

=

�!

�!∙�!∙�!

⋯

O número de objetos é igual ao número de

posições?

Não _importa?A ordem

Não Combinação

�

_��

=

�!

�!

(

�−�

)

!

Sim Arranjo

�

_��

=

�!

(

�−�

)

!

Sim repetição de Existe elementos?

Não Permutação _Simples

�

�

=

�!

Sim _{com repetição}Permutação

�

_�

�,�,�…

=

�!

Exercício 24

(ENEM 2016/2) Uma caixa contém uma cédula de R$ 5,00, uma de R$ 20,00 e duas de R$ 50,00 de modelos diferentes. Retira-se aleatoriamente uma cédula dessa caixa, anota-se o seu valor e devolve-se a cédula à caixa. Em seguida, repete-se o procedimento

anterior. A probabilidade de que a soma dos valores anotados seja pelo menos igual a R$ 55,00 é a) 1/2 b) 1/4 c) 3/4 d) 2/9 e) 5/9

Resolução

1º Retirada: 4 notas possíveis

2º Retirada: 4 notas possíveis

Total de possibilidades: 16

Valor maior ou igual a R$ 55,00

OU menos 12 possibilidades

�

(

55

)

=

12

16

=

3

4

 

Exercício 25

O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, entre outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro. Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do clube deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém, não poderão ser ambos canhotos. Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição?

a) 10!/(2!x8!) – 4!/(2!x2!) b) 10!/8! – 4!/2!

c) 10!/2!x8! – 2 d) 6!/4! + 4×4 e) 6!/4! + 6×4

Resolução

O número de possibilidades de escolher dois tenistas com a

condição de que ambos não possam ser canhotos é dado pelo

total de maneiras de se escolher dois jogadores dentre os dez

possíveis menos o total de maneiras de se escolher dois

jogadores dentre os quatro canhotos:

�

₁₀

2

₋

_�

4

2

 

_¿

10 !

2!

(

10 − 2

)

!

−

4 !

2 !

(

4 −2

)

!

 

¿

10 !

2! 8 !

−

4 !

2 !2 !

 

Exercício 26

Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os

algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha.

Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012.

O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por

Resolução

Sendo A = algarismo e L = letra, temos : A A L L

Eles poderão permutar pois as letras e os algarismos podem estar em qualquer posição: Temos algumas informações importantes para resolver esse problema:

• A senha terá 4 caracteres sendo dois algarismos e duas letras • As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição.

• O alfabeto tem vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula • São 10 algarismos

• 26 letras maiúsculas + 26 letras minúsculas = 52 letras

10 ∙10 ∙ 52 ∙52 ∙

4 !

2 ! 2 !

 

Função de 1º grau

�=��+�

    Coeficiente Angular! Coeficiente Linear!

Sinal

POSITIVO NEGATIVO ZERO

a Crescente! Decrescente! Horizontal(função

Constante) *

b Passa acima_{da origem} Passa abaixo_{da origem} Contém a_origem

Exercício 26

Um dos grandes desafios do Brasil é o gerenciamento dos seus recursos naturais, sobretudo os recursos hídricos. Existe uma demanda crescente por água e o risco de racionamento não pode ser descartado. O nível de água de um reservatório foi monitorado por um

período, sendo o resultado mostrado no gráfico. Suponha que essa tendência linear observada no monitoramento se prolongue pelos próximos meses.

Nas condições dadas, qual o tempo mínimo, após o sexto mês, para que o reservatório atinja o nível zero de sua capacidade? a) 2 meses e meio. b) 3 meses e meio. c) 1 mês e meio. d) 4 meses. e) 1 mês.

Resolução

Variação de 20% Variação de 5 meses

5

�����=20 %

 

� �����=10 %

 

�=2,5�����

 

Progressões Aritméticas

Cada termo é igual à média

Aritmética entre os seus vizinhos!

P.A

5=2+ 8 2

 

2

5

8

11

14

17

20

23

26

Isso também vale para os vizinhos dos vizinhos, e assim por diante

17=14 +20 2 =

11 +23

2 =…

 

A soma dos extremos é igual à soma dos vizinhos dos extremos – e assim sucessivamente!

Se houver temos central, seu valor Será igual à media aritmética dos extremos

2+26=5 +23=8+20=…

 

2+ 26

2 =14

maneiras de somar os termos de um P.G

Sabendo o 1º termo,

razão e número de termos. ��=

�₁∙

(

��− 1

)

� − 1

 

Sabendo 1º termo, razão

e o último termo. ��= �_�∙� − �₁ � −1   Sabendo só o 1º termo e a razão �∞= �₁ 1 −�  

Número

FINITO

De termos

Número

INFINITO

De termos

Também conhecido como o limite da soma

Só vale quando |q|< 1 (PG convergente)

Exercício 27

Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro.

Qual é o número de andares desse edifício? a) 40

b) 60 c) 100 d) 115 e) 120

Resolução

João

PA de razão 2

(1, 3,5, 7, 9,11,13 ,…)

 

Pedro

PA de razão 3

(1, 4, 7,10, 13, 14,17 ,…)

 

Os encontros ocorrem de 6 em 6 andares

(1, 7,13, 19 , …)

 

Como no edifício ocorrem 20 encontros, temos:

�

₂₀

=1+(20 −1) ∙6

 

�

20

=115

Logaritmos

log_�� =� ⇔ ��

=�  

Dando nome aos bois: a: Base x: Logaritmo N: Logaritmando Restrições:   Consequências:   Propriedades:  

Produto vira soma !

Divisão vira diferença Di_Di Expoente pula!

Índice cai!

Mudança de base log_��=log��

log_��

 

Exercício 28

Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de

magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada por

�=2

3 log

(

� �₀

)

 

sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e E0 uma constante real positiva. Considere que E1 e E2representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China,

respectivamente. Qual a relação entre E1 e E2?

Resolução

9=2 3 log

(

�₁ �0

)

 

log

�

₁

− log

�

₀

=

27

2

  _{Equação I} 7=2 3 log

(

�₂ �0

)

 

_log

_�

2

− log

�

0

=

21

2

  Equação II

Multiplicando a equação II por (-1) e somando com I, temos:

log

�

₁

− log

�

₂

=

6

2

 

log

 

�

₁

− log

�

₂

=

3

log

(

�1

�2

)

=3

   

�

₁

=

10

3

∙

�

₂

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Boa prova!