Previsão de energia natural afluente do subsistema sudeste sob a abordagem singular spectrum analysis

(1)

Lorena Tereza Bezerra Gamboni

Previs˜

ao de Energia Natural Afluente do

Subsistema Sudeste sob a Abordagem

Singular Spectrum Analysis

Niter´oi - RJ, Brasil 30 de Junho de 2017

(2)

Universidade Federal Fluminense

Lorena Tereza Bezerra Gamboni

Previs˜

ao de Energia Natural

Afluente do Subsistema Sudeste sob

a Abordagem Singular Spectrum

Analysis

Trabalho de Conclus˜ao de Curso

Monografia apresentada para obten¸c˜ao do grau de Bacharel em Estat´ıstica pela Universidade Federal Fluminense.

Orientador: Prof. Mois´es Lima de Menezes

Niter´oi - RJ, Brasil 30 de Junho de 2017

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Universidade Federal Fluminense

Lorena Tereza Bezerra Gamboni

Previs˜

ao de Energia Natural Afluente do

Subsistema Sudeste sob a Abordagem

Singular Spectrum Analysis

Monografia de Projeto Final de Gradua¸cão sob o t´ıtulo “Pre-visão de Energia Natural Afluente do Subsistema Sudeste sob a Abordagem Singular Spectrum Analysis”, defendida por Lo-rena Tereza Bezerra Gamboni e aprovada em 30 de Junho de 2017, na cidade de Niterói, no Estado do Rio de Janeiro, pela banca examinadora constitu´ıda pelos professores:

Prof. Dr. Mois´es Lima de Menezes Departamento de Estat´ıstica – UFF

Profa. Dra. M´arcia Marques de Carvalho Departamento de Estat´ıstica – UFF

Profa. Dra. Keila Mara Cassiano Departamento de Estat´ıstica – UFF

(4)

M 149 Gamboni,Lorena Tereza Bezerra

Previsão de Energia Natural Afluente do Subsistema Sudeste sob a Abordagem Singular Spectrum

Analysis/Lorena Tereza Bezerra Gamboni. - Niterói: [s. n.], 2017. 57f.

Trabalho de Conclusão de Curso - (Bacharelado em Es- tatística) – Universidade Federal Fluminense, 2017.

1. Singular Spectrum Analysis. 2. Previsão. 3. Energia Natural Afluente.

I. Título.

(5)

Resumo

A energia natural afluente (ENA) é uma das mais utilizadas no Brasil, tendo seu fornecimento sendo feito para cerca de 90% do território nacional. Porém, devido as condi¸cões climáticas e a falta de chuva nos tempos atuais a necessidade do uso de uma ferramenta de previsão torna-se imprescind´ıvel. A melhor ferramenta para fazer a previsão de ENA é a análise de séries temporais, podendo ser utilizado também a filtragem Singular Spectrum Analysis (SSA) que é um método em estat´ıstica que pode, dentre outras coisas, filtrar uma série temporal removendo o seu ru´ıdo para uma modelagem com previsão mais acurada. Este projeto teve como objetivo fazer a modelagem da série temporal de ENA do subsistema Sudeste usando os modelos de Holt-Winters e Box & Jenkins. Além disso, fazer uma filtragem SSA nessa mesma série retirando os ru´ıdos e utilizar os modelos de Holt-Winters e Box & Jenkins para fazer a modelagem dessa série filtrada. Após as modelagens, foram usadas as estat´ısticas de aderência Desvio Médio Absoluto (M AD), Erro Percentual Médio Absoluto (M AP E), Raiz Quadrada do Erro Quadrático Médio (RM SE), Critério de Informa¸cão Bayesiana (BIC) e Coeficiente de Determina¸cão (R2) para verificar a capacidade preditiva de cada modelo. Com as análises realizadas foi verificado que o modelo de Box & Jenkins obteve os melhores resultados quanto as estat´ısticas de aderência tanto na série original quanto na série filtrada e que a filtragem SSA de fato apresenta uma melhora quanto a capacidade preditiva.

Palavras-chaves: Energia Natural Afluente, Singular Spectrum Analysis, S´eries Tempo-rais, Filtragem, Holt-Winters, Box & Jenkins, Modelagem.

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Agradecimentos

Agrade¸co a meus pais Carmem e Claudio, meus irmãos Larissa, Claudio e Adriana e minha avó Eugenia pelo apoio durante essa fase tão importante da minha vida. Agrade¸co também meu namorado Vitor Magalhães e meus amigos por tornarem essa jornada menos dif´ıcil de ser cumprida. E finalmente agrade¸co ao professor Moisés Lima de Menezes por não só me auxiliar e orientar, mas também por me mostrar que sou capaz de fazer um bom trabalho.

(7)

Sum´

ario

Lista de Figuras

Lista de Tabelas

1 Introdu¸c˜ao p. 11

1.1 Contextualiza¸cão . . . p. 11 1.2 Revisão Bibliográfica . . . p. 12 1.3 Proposta da Pesquisa . . . p. 13 1.4 Estrutura . . . p. 14 2 Objetivos p. 15 3 Materiais e Métodos p. 16 3.1 Banco de dados . . . p. 16 3.2 Séries Temporais . . . p. 17 3.2.1 Decomposi¸cão de Séries Temporais . . . p. 18 3.3 Modelos de Holt-Winters . . . p. 19 3.4 Modelos de Box-Jenkins . . . p. 20 3.4.1 Testes de Normalidade e Estacionariedade . . . p. 20 3.4.2 O Modelo ARIM A(p, d, q) . . . p. 22 3.4.3 Fun¸cão de Autocorrela¸cão (FAC) . . . p. 23 3.4.4 Fun¸cão de Autocorrela¸cão Parcial (FACP) . . . p. 23 3.4.5 Análise da FAC e da FACP . . . p. 23

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3.5 Diagnóstico do modelo . . . p. 24 3.5.1 Estat´ısticas de Aderência . . . p. 24 3.5.2 Res´ıduos . . . p. 25 3.6 Filtragem SSA . . . p. 25 3.6.1 Decomposi¸cão . . . p. 26 3.6.2 Reconstru¸cão . . . p. 27 3.6.3 Análise Gráfica dos Autovetores . . . p. 28 3.7 Resumo da Metodologia . . . p. 29

4 An´alise dos Resultados p. 30

4.1 Série Original . . . p. 30 4.1.1 Holt-Winters . . . p. 30 4.1.2 Box & Jenkins . . . p. 33 4.2 Série com filtragem SSA . . . p. 39 4.2.1 Holt-Winters . . . p. 42 4.2.2 Box & Jenkins . . . p. 45 4.2.3 Compara¸cão entre a série filtrada e a série original . . . p. 50

5 Conclus˜ao p. 52

(9)

Lista de Figuras

1 S´erie temporal da energia natural afluente em MWmed do subsistema

sudeste 2000-2016 . . . p. 16 2 Fluxograma da Metodologia . . . p. 29 3 Série original (preto) e série ajustada via Holt-Winters (vermelho) . . . p. 31 4 Detalhe dos dois últimos anos de ajuste e um ano de previsão com o

modelo de Holt-Winters. . . p. 32 5 FAC dos res´ıduos para o modelo de Holt-Winters . . . p. 32 6 S´erie temporal da energia natural afluente em MWmed do subsistema

sudeste com transforma¸cão logar´ıtmica 2000-2016 . . . p. 33 7 FAC da série original . . . p. 34 8 FAC e FACP da série original com uma diferen¸ca sazonal . . . p. 35 9 Sa´ıda do software FPW. . . p. 36 10 Série original (preto) e série ajustada via Box & Jenkins (vermelho) . . p. 37 11 Detalhe dos dois últimos anos de ajuste e um ano de previsão com o

modelo de Box & Jenkins. . . p. 38 12 FAC dos res´ıduos para o modelo de Box & Jenkins . . . p. 38 13 Análise gráfica dos 9 primeiros vetores singulares. . . p. 39 14 Gráfico de dispersão de alguns dos pares seguidos de vetores singulares. p. 40 15 Componentes da filtragem SSA . . . p. 41 16 Série original (preto) e série filtrada (vermelho). . . p. 42 17 Série filtrada (preto) e série ajustada via Holt-Winters (vermelho). . . . p. 43 18 Detalhe dos dois últimos anos de ajuste e um ano de previsão com o

(10)

19 FAC dos res´ıduos para o modelo de Holt-Winters para a s´erie filtrada. . p. 44 20 S´erie temporal filtrada da energia natural afluente em MWmed do

sub-sistema sudeste com transforma¸cão logar´ıtmica 2000-2016 . . . p. 45 21 FAC da série filtrada . . . p. 46 22 FAC e FACP da série filtrada com uma diferen¸ca sazonal . . . p. 47 23 Sa´ıda do software FPW. . . p. 48 24 Série filtrada (preto) e série ajustada via Box & Jenkins (vermelho) . . p. 49 25 Detalhe dos dois últimos anos de ajuste e um ano de previsão com o

modelo de Box & Jenkins para a s´erie filtrada. . . p. 49 26 FAC dos res´ıduos para o modelo de Box & Jenkins para a s´erie filtrada p. 50

(11)

Lista de Tabelas

1 Estat´ısticas descritivas da s´erie temporal de ENA em MWmed - Sudeste.

2000 - 2016. . . p. 17 2 Estat´ısticas de aderência dos modelos de Holt-Winters . . . p. 30 3 Parâmetros estimados na modelagem de Holt-Winters . . . p. 31 4 Estat´ısticas de aderência dos modelos de Box & Jenkins . . . p. 36 5 Estat´ısticas de aderência dos modelos de Box & Jenkins e Holt-Wintes p. 39 6 Divisão dos vetores singulares dentre as componentes . . . p. 40 7 Correla¸cão entre as componentes . . . p. 41 8 Estat´ısticas de aderência dos modelos de Holt-Winters para a série filtrada p. 42 9 Parametros estimados na modelagem de Holt-Winters para a série filtrada p. 43 10 Estat´ısticas de aderência dos modelos de Box & Jenkins para a série

filtrada. . . p. 48 11 Estat´ısticas de aderˆencia dos modelos de Box & Jenkins e Holt-Wintes

para a s´erie filtrada . . . p. 50 12 Estat´ısticas de aderˆencia dos modelos de Box & Jenkins e Holt-Wintes

(12)

11

1 Introdu¸

c˜

ao

1.1 Contextualiza¸

c˜

ao

A energia elétrica pode ser gerada através de fontes naturais ou de fontes produzidas pelo homem. Algumas fontes naturais podem ser consideradas renováveis, uma vez que, com o passar dos tempos, elas podem ser reutilizadas. As energias eólica, solar, h´ıdrica e biomassa são alguns exemplos de energia gerada por fontes naturais (PENA, 2016).

A energia de origem h´ıdrica, produzida pelas usinas hidrelétricas, é a principal fonte de energia natural no Brasil. Essa energia é produzida através do potencial hidráulico da corrente de um rio, porém para que isso ocorra é preciso que esse rio tenha grande volume de água e desn´ıveis em seu fluxo. Também é preciso que a corrente gerada pelo rio tenha uma grande for¸ca e velocidade ao passar pelas turbinas da usina para que a energia obtida vá até o gerador, se transforme em energia elétrica e depois seja conduzida pelos fios até os centros residenciais e comerciais (CERQUEIRA, 2016).

A vazão afluente de um rio é dita como uma vazão que chega até certa localiza¸cão, tendo como principal objetivo a produ¸cão de energia elétrica. Essa energia elétrica obtida pode ser chamada de energia natural afluente (ENA) e está proporcionalmente ligada a vazão do rio, ou seja, a quantidade de água que passa pelas turbinas da hidrelétrica (”O que é energia natural afluente?”, 2016).

Cerca de 18% da energia consumida pela popula¸cão no mundo todo é gerada pe-las usinas hidrelétricas (PENA, 2016). Já no Brasil, temos o fornecimento da energia hidráulica aproximada em 90% de todo território (CERQUEIRA, 2016). Devido a este alto percentual, faz-se necessário ter um planejamento adequado do uso deste bem para a gera¸cão de energia. Para isso, boas previsões de energia natural afluente podem ajudar de forma mais eficaz este planejamento e a ferramenta mais adequada para a realiza¸cão destas previsões é a análise de séries temporais. Este tipo de análise permite, a partir de uma sólida base estat´ıstica, descrever o comportamento de uma série temporal e prever

(13)

1.2 Revis˜ao Bibliogr´afica 12

valores futuros fazendo uso dos dados observados no passado.

Singular Spectrum Analysis (SSA) é uma ferramenta em estat´ıstica que pode, dentre outras coisas, decompor uma série temporal em componentes de tendência, harmônicas e ru´ıdo e, ao remover esta componente ruidosa, obter uma série aproximada filtrada. Além disso também pode ser usada para encontrar tendências de diferentes resolu¸cões, suavizar séries temporais, extrair componentes sazonais, extrair ciclos com pequenos e grandes per´ıodos, extrair periodicidades com amplitudes variáveis, extrair tendências complexas e periodicidades, encontrar estrutura em séries temporais curtas, detectar pontos de mu-dan¸ca na série e fazer previsão de séries temporais (MENEZES et al., 2014).

1.2 Revis˜

ao Bibliogr´

afica

Silva (2017) fez uma pesquisa com o objetivo de obter uma previsão de vazão de afluentes utilizando a filtragem Singular Spectrum Analysis (SSA) para verificar se a uti-liza¸cão da filtragem melhora ou não o ganho preditivo dessa série temporal. Foi utilizada a série temporal de vazão média mensal de afluentes do Rio Paraná para o horizonte de 1931 até 2014. Tanto para a série original quanto para a filtrada foram utilizados os modelos de Holt-Winters e Box & Jenkins para ser feita a previsão. Foi visto que o uso da filtragem SSA de fato melhora a precisão dos resultados.

Gon¸calves e Calili (2015) fizeram uma pesquisa com o objetivo de analisar as séries sintéticas de energia natural afluente bruta da região nordeste do Brasil. Foram utilizadas 2000 séries sintéticas de energia natural afluente bruta gerada artificialmente pela mode-lagem Newave contendo dados de janeiro de 2013 até abril de 2014. A análise foi realizada através do Box-Plot e do gráfico de barras dos dados apresentados. Foi verificada que o uso da modelagem Newave tem prejudicado o uso dos reservatórios e que a série sintética de ENA tem valores significantemente maiores que os valores reais.

Rodrigues (2009) fez uma pesquisa com o objetivo de elaborar um software que realize uma previsão de pre¸co spot de energia elétrica utilizando redes neurais. Para a realiza¸cão desse estudo foram utilizados dados de carga, gera¸cão, pre¸cos anteriores, n´ıvel de arma-zenamento e energia natural afluente. A elabora¸cão foi realizada através de métodos de heur´ıstica computacional.

Lopes (2007) fez uma pesquisa com o objetivo de desenvolver um modelo de planeja-mento da opera¸cão de sistemas hidrotérmicos de produ¸cão de energia elétrica. Para o de-senvolvimento desse modelo foram utilizados dados de gera¸cão hidráulica, gera¸cão térmica,

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1.3 Proposta da Pesquisa 13

gera¸cão nuclear, energia natural afluente, energia armazenada, carga e intercâmbios de dezembro de 1995 até dezembro de 2006. Através de testes realizados foi observado que o modelo proposto é uma op¸cão valida para a tomada de decisão operacional do sistema hidrotérmico.

Menezes et al. (2014) fizeram uma pesquisa com o objetivo de verificar se a remo¸cão dos res´ıduos das séries de energia natural afluente através do Multi-channel Singular Spectrum Analysis, interfere ou não na precisão dos resultados obtidos com a modelagem progressiva periódica da fam´ılia Box-Jenkins. Para a realiza¸cão dessa análise foram uti-lizados dados de ENA dos quatro subsistemas de janeiro de 1931 até dezembro de 2012. O resultado obtido dessa analise foi que o uso da filtragem dos dados antes de ser feita a modelagem melhora a precisão dos resultados.

Guarnier et al. (2012) fizeram uma pesquisa com objetivo de obter um aprimoramento na proje¸cão de pre¸cos no mercado de curto prazo realizando uma analise de clusteriza¸cão de ENA e incorpora¸cão de fenômenos climatológicos. Para a realiza¸cão do estudo foram usados dados de séries temporais mensais de energia natural afluente de 1931 até 2008, tanto as originais quanto as sintéticas geradas pelo programa Newave. Foi utilizado o método de analise de cluster nos dados para fazer uma busca das séries que melhor se acercavam do resultado pretendido. O método de clusteriza¸cão apresentou um resultado positivo quanto a proje¸cão de pre¸cos dentro de um ano.

Ferreira et al. (2015) fizeram uma pesquisa com o objetivo de apresentar o método de Box & Jenkins com fun¸cão de transferência, usando o software R, mostrando que o uso desse método pode acurar a modelagem e previsão de séries temporais. Para a realiza¸cão do estudo foram utilizadas séries temporais mensais de ENA do subsistema Sul do Brasil, tendo como inicio janeiro de 1932 e final dezembro de 2008, totalizando 924 observa¸cões. O uso da fun¸cão de transferência em Box & Jenkins apresentou melhorias para o modelo, porém ainda foram verificados erros de previsões bastante altos nos resultados obtidos.

1.3 Proposta da Pesquisa

Esta pesquisa propõe a utiliza¸cão de uma técnica de filtragem de séries temporais ba-seada em Singular Spectrum Analysis (SSA) aplicada à série temporal de Energia Natural Afluente (ENA) média mensal do subsistema Sudeste no periodo de janeiro de 2000 a de-zembro de 2016 antes de sua modelagem. Esses dados são disponibilizados pelo Operador Nacional do Sistema Elétrico (ONS) na página http://www.ons.org.br/historico/energia na

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1.4 Estrutura 14

tural afluente.aspx.

O subsistema Sudeste é abastecido por energia hidrelétrica vinda de quatro bacias hidrográficas: Bacia do Paraná, que se subdivide nos rios Grande, Igua¸cu, Parana´ıba, Paranapanema, Paraná e Tietê; Bacia do São Francisco, que nasce na serra da canas-tra em Minas Gerais, segue até Pernambuco e deságua no Oceano Atlântico; Bacia do Atlântico Leste, onde entre seus principais rios estão Paragua¸cu, Contas, Salinas, Pardo, Jequitinhonha e Mucuri e Bacia do Atlântico Sudeste, que tem como principais rios o Para´ıba do Sul e Doce (“Rios e bacias do Brasil formam uma das maiores redes fluviais do mundo”, 2017).

Propõe testar os modelos de Box & Jenkins e de Holt-Winters à série de ENA original e à série filtrada via SSA. A ideia é verificar qual o modelo mais adequado para este tipo de série. Para isso, estat´ısticas de aderência serão utilizadas para testar o poder preditivo nos quatro casos. São elas: Desvio Médio Absoluto (M AD - Mean Absolute Deviation); Erro Médio Percentual Absoluto (M AP E - Mean Absolute Percentage Error ); Raiz Qua-drada do Erro Quadrático Médio (RM SE - Root Mean Square Error ); Coeficiente de Determina¸cão (R2) e o Critério de Informa¸cão Bayesiana (BIC - Bayesian Information Criterion).

Para a filtragem SSA será utilizado o programa CaterpillarSSA. Para as modelagens e análises dos res´ıduos, os programa Forecast Pro for Windows (FPW) e o Gretl. Para a diagrama¸cão gráfica, o Microsoft Excel e o Eviews para testar a independecia dos dados via teste BDS. Para calcular as estatisticas de aderência será usado o FPW.

1.4 Estrutura

Além dessa se¸cão, na se¸cão 2 são apresentados os principais objetivo de ser feito esse estudo. Na se¸cão 3 são apresentados os materiais e métodos dando enfoque ao método de filtragem SSA, aos modelos de amortecimento exponencial de Holt-Winters e os modelos de Box & Jenkins bem como as estat´ısticas de aderência a serem utilizadas. As análises e discussões estão na se¸cão 4, e na se¸cão 5 estão as conclusões.

(16)

15

2 Objetivos

O objetivo desta pesquisa é o de avaliar o ganho preditivo da filtragem SSA nas modelagens Holt-Winters e Box & Jenkins de séries de energia natural afluente utilizando os dados da série temporal de média mensal da região sudeste de janeiro de 2000 até dezembro de 2016. Esta pesquisa também objetiva verificar dentre os modelos testados qual o mais adequado para gerar previsões de ENA a partir das estat´ısticas de aderência.

(17)

16

3 Materiais e M´

etodos

3.1 Banco de dados

Para a realiza¸cão do estudo do comportamento da varia¸cão de energia natural afluente do subsistema Sudeste será utilizado um banco de dados contendo a série temporal mensal de ENA medida em MWmed. Os dados observados variam de janeiro de 2000 até dezem-bro de 2016, totalizando 204 observa¸cões e são disponibilizados pelo Operador Nacional do Sistema Elétrico (ONS) na página http://www.ons.org.br/historico/energia natural afluen-te.aspx. A Figura 1 mostra o comportamento da série. Pode-se perceber que a quantidade de energia natural afluentes oscila entre os meses de cada ano.

Figura 1: S´erie temporal da energia natural afluente em MWmed do subsistema sudeste 2000-2016

(18)

3.2 S´eries Temporais 17

Tabela 1: Estat´ısticas descritivas da s´erie temporal de ENA em MWmed - Sudeste. 2000 - 2016.

M´edia Desvio Padr˜ao M´ınimo 1o _Quartil _Mediana ₃o _Quartil _M´_aximo

Jan 52954,82 19449,89 21466,00 42286,77 48649,77 68114,00 91574,52 Fev 52693,51 14218,57 22519,00 48286,68 54105,00 58039,00 87075,96 Mar 48611,35 13582,89 28612,69 42273,42 48811,29 52573,00 85018,03 Abr 38315,30 8882,78 22218,00 32427,00 36796,00 44197,00 54555,00 Mai 27719,44 5210,81 17858,00 23932,81 28561,00 30293,00 34970,84 Jun 25544,82 7201,06 15987,00 21476,33 24698,27 27945,93 38526,00 Jul 21579,54 5039,75 13692,00 18769,00 20342,00 25728,06 31001,00 Ago 17432,71 3568,92 11405,00 15562,77 16777,00 19340,90 23994,42 Set 17337,88 4814,98 12440,00 14342,00 15701,53 18273,43 30724,00 Out 20002,85 5968,28 12900,06 14803,00 19826,00 22905,16 36397,94 Nov 25211,51 4533,32 18609,00 22480,13 24489,00 27338,00 35882,37 Dez 39416,77 9424,06 26868,39 33608,00 36885,00 43703,00 62197,90 Total 32235,04 16075,93 11405,00 20045,64 27998,43 42349,70 91574,52 Fonte: ONS.

A Tabela 1 apresenta a média, o desvio padrão, o máximo, m´ınimo e os quartis da série total e mensalmente . Pode-se perceber uma diferen¸ca bem drástica entre o menor e o maior valor de ENA apresentada nessa série, além de uma grande diferen¸ca entre os meses.

3.2 S´

eries Temporais

Uma série temporal é um conjunto de observa¸cões ordenadas no tempo. As séries temporais podem ser divididas em dois grupos: cont´ınuas e discretas. As séries do segundo grupo podem ser obtidas através de amostras retiradas em per´ıodos de tempo semelhantes. Os objetivos das análises de séries temporais são de levantar modelos paramétricos, onde o número de parâmetros é finito, ou não-paramétricos, onde o número de parâmetros é infinito, fazendo proje¸cões de valores futuros ou apenas relatando o comportamento da série, construindo modelos probabil´ısticos ou estocásticos, ou seja, controlados por leis probabil´ısticas (MORETTIN E TOLOI, 2006). Uma série temporal de comprimento T será representada por 3.1

(19)

3.2 S´eries Temporais 18

3.2.1 Decomposi¸

c˜

ao de S´

eries Temporais

Segundo o modelo clássico, todas as séries temporais são compostas de quatro padrões:

• Tendência (Tt), que é o comportamento de longo prazo da série, que pode ser

cau-sada pelo crescimento demográfico, ou mudan¸ca gradual de hábitos de consumo, ou qualquer outro aspecto que afete a variável de interesse no longo prazo;

• Varia¸cões c´ıclicas ou ciclos (Ct), que resultam em flutua¸cões nos valores da variável

com dura¸cão superior a um ano, e que se repetem com certa periodicidade, que podem ser resultado de varia¸cões da economia como per´ıodos de crescimento ou recessão, ou fenômenos climáticos como o El Niño (que se repete com periodicidade superior a um ano);

• Varia¸c˜oes sazonais ou sazonalidade (St), que resultam em flutua¸c˜oes nos valores da

variável com dura¸cão inferior a um ano, e que se repetem todos os anos, geralmente em fun¸cão das esta¸cões do ano ou em fun¸cão de feriados ou festas populares, ou por exigências legais, como o per´ıodo para entrega da declara¸cão de Imposto de Renda. Se os dados forem registrados anualmente não haverá influência da sazonalidade na série;

• Varia¸cões irregulares (It), que são as flutua¸cões inexplicáveis, resultado de fatos

fortuitos e inesperados como cat´astrofes naturais, atentados terroristas como o de 11 de setembro de 2001, decis˜oes intempestivas de governos, etc.

A decomposi¸cão da série permitirá identificar quais componentes estão atuando na-quele conjunto em particular, além de possibilitar obter ´ındices e/ou equa¸cões para realizar previsões para per´ıodos futuros da série. Dessa forma, é poss´ıvel decompor a série em 3.1 como se segue em 3.2:

Zt= Tt+ St+ Rt, (3.2)

onde Tt e St representam a tendˆencia e a sazonalidade, respectivamente, e Rt ´e uma

componente ruidosa (aleat´oria que pode incluir os elementos irregulares e alguns elementos identificados nas varia¸c˜oes c´ıclicas).

Para se estimar a tendência, deve ser usada algum tipo de suaviza¸cão. As mais utilizados são as médias moveis e as medianas moveis. Também existem procedimentos

(20)

3.3 Modelos de Holt-Winters 19

para se estimar a sazonalidade, onde os mais utilizados são método de regressão e método de médias móveis, onde o método de regressão é melhor para sazonalidade determin´ıstica, enquanto o de médias móveis é melhor para sazonalidade estocástica. Podemos verificar a existência de tendência e sazonalidade através de gráficos e testes de hipótese que podem ser feitos antes ou depois da estima¸cão (MORETTIN E TOLOI, 2006).

3.3 Modelos de Holt-Winters

O método de Holt-Winters foi sugerido por Holt (1957) e Winters (1960), que traba-lharam na School of Industrial Administration em Carnegie Institute of Technology. O método usa médias móveis ponderadas exponencialmente para atualizar as estimativas da média ajustada sazonalmente (chamada de n´ıvel), inclina¸cão e sazonalidade. Este modelo possui duas equa¸cões de previsão: aditiva e multiplicativa. Lúcio et al. (2010) sugerem que o melhor critério de escolha entre os fatores multiplicativos ou aditivos está em cal-cular medidas de precisão, assim a op¸cão recai naquela que apresentar o(s) menor(es) erro(s). Outra poss´ıvel forma de indicar o modelo aditivo, reside na possibilidade de as séries apresentarem oscila¸cões aproximadamente constantes. Entretanto, se as oscila¸cões sazonais forem proporcionais ao n´ıvel da série, o modelo multiplicativo é mais indicado (VASCONCELOS E COSTA, 2008).

Existem dois tipos de suaviza¸c˜ao exponencial de Holt-Winters: com sazonalidade multiplicativa e a com sazonalidade aditiva. A equa¸c˜ao 3.3 apresenta o modelo de Holt-Winters com sazonalidade multiplicativa.

Zt= (a1+ a2t) × ρt+ εt, (3.3)

onde a1 e a2 são os parâmetros, n´ıvel e tendência do modelo a serem estimados a cada

instante de tempo, ρt s˜ao os fatores sazonais (onde s˜ao estimados uma quantidade que

depende do ciclo sazonal e da periodicidade dos dados) e εt ´e uma componente de erro

(uma variável aleatória iid com média zero e variância constante). A equa¸cão de previsão deste modelo é dada por 3.4.

ˆ

Zt(h) = (ˆa1(t) + ˆa2(t)h) × ˆρm(t+h)(h), (3.4)

(21)

3.4 Modelos de Box-Jenkins 20

As estimativas acima são obtidas a partir das equa¸cões de atualiza¸cões dos parâmetros: ˆ a1(t) = α h Zt ˆ ρm(t)(t−1) i + (1 − α)[â1(t − 1) + â2(t − 1)]; ˆ a2(t) = β h _ˆ_a 1(t) ˆ a1(t−1) i + (1 − β)[â2(t − 1)]; ˆ ρm(t)(t) = γ h _ˆ Zt ˆ a1(t) i + (1 − γ)[ ˆρm(t)(t − 1)].

Onde α, β e γ s˜ao constantes de amortecimento do n´ıvel, da tendˆencia e dos fatores sazonais, respectivamente.

J´a o modelo aditivo ´e representado por 3.5.

Zt= a1+ a2t + ρt+ εt. (3.5)

Com equa¸c˜ao de previs˜ao 3.6.

ˆ

Zt(h) = ˆa1(t) + ˆa2(t)h + × ˆρm(t+h)(h), (3.6)

E com atualiza¸cão dos parâmetros dada pelas equa¸cões: ˆ a1(t) = α[Zt− ˆρm(t)(t − 1)] + (1 − α)[â1(t − 1) + â2(t − 1)]; ˆ a2(t) = β[â1(t) − â1(t − 1)] + (1 − β)[â2(t − 1)]; ˆ ρm(t)(t) = γ[ ˆZt− â1(t)] + (1 − γ)[ ˆρm(t)(t − 1)].

3.4 Modelos de Box-Jenkins

A classe de modelos desenvolvida por Box & Jenkins (1960) associa a ideia de que o modelo pode ser visto como um filtro linear onde um ru´ıdo branco εt(vari´avel aleat´oria iid

com m´edia zero e variˆancia constante) entra no filtro para a sa´ıda de um modelo Zt. Os

modelos de Box & Jenkins são conhecidos como modelos ARIM A por serem compostos de uma parte autorregressiva (AR), uma parte integrada (I) e uma parte de médias móveis (M A).

3.4.1 Testes de Normalidade e Estacionariedade

De acordo com os autores, para se modelar ARIM A é necessário que as séries atendam alguns condi¸cões como normalidade, ou seja, se a série pode ser bem modelada por uma

(22)

distribui¸cão normal, e estacionariedade, se a média, a variância e a autocorrela¸cão da série não se modificam ao longo do tempo. Para se detectar tais condi¸cões, alguns testes podem ser feitos, como por exemplo, para normalidade:

• Teste de Kolmogorov-Smirnov; • Teste de Shapiro-Wilk;

• Teste de Doornik-Hansen; • Teste de Jarque-Bera.

Nos exemplos citados acima, a hipótese nula é de normalidade e nos casos particulares dos testes de Doornik-Hansen e Jarque-Bera, os testes são feitos à partir das medidas de assimetria e curtose enquanto os outros dois são baseados na fun¸cão de densidade. Em todos os casos, os programas retornam o valor-p, que para não rejeitar a hipótese nula, precisa ser maior que o n´ıvel de significância do teste. Caso não haja normalidade uma transforma¸cão logar´ıtmica deve ser aplicada na série.

Para testar a estacionariedade dos dados, o teste mais comum a ser utilizado são os testes de Dickey-Fuller e de Phillips Perron, cujas hipóteses nulas são de existência de raiz unitária, ou seja, 1 é raiz da equa¸cão caracter´ıstica do processo, que leva a não estacionariedade. Neste caso, deseja-se rejeitar a hipótese nula para que se verifique a estacionaridade. Assim como nos testes de normalidade, os programas retornam o valor-p, que agora tem que ser menor que o n´ıvel de significância do teste para se confirmar a estacionariedade.

Tanto para a normalidade, quanto para a estacionariedade, se os testes não confirmam as hipóteses necessárias para a modelagem ARIM A, então alguns procedimentos podem ser seguidos, como por exemplo, para normalidade pode-se proceder com transforma¸cões logar´ıtmicas e para estacionariedade, realizar sucessivas diferen¸cas. O processo de se fazer diferen¸cas sucessivas é uma das transforma¸cões mais utilizadas para se atingir uma série estacionária. Em geral, são suficientes duas diferen¸cas. O operador de diferen¸cas ∆ é definido em 3.7.

(23)

3.4.2 O Modelo ARIM A(p, d, q)

A equa¸c˜ao geral dos modelos ARIM A(p, d, q) ´e dada em 3.8:

φ(B)(1 − B)dZt= θ(B)εt, (3.8)

onde φ(B) e θ(B) polinômios autorregressivos e de médias móveis respectivamente, p e q são os graus destes polinômios e as ra´ızes de φ(B) e θ(B) definem os coeficientes do modelo, B é um operador de defasagem de modo que Bk_Z

t = Zt−k, (1–B) = ∆, d ´e a

quantidade de diferen¸cas necessárias para que o modelo se torne estacionário e εté o ru´ıdo

dessa série. Para que a previsão seja considerada boa é necessário que as variáveis desse ru´ıdo não possuam autocorrela¸cão, tenham média zero e variância constante. O ru´ıdo com essas caracteristicas é chamado de ru´ıdo branco.

Dentro do modelo ARIM A temos casos particulares. Quando φ(B) = 1 e d = 0, o modelo é chamado modelo de média móvel (M A). Quando θ(B) = 1 e d = 0, o modelo é chamado modelo autorregressivo (AR) e quando apenas d = 0, ou seja, a série possui estacionariedade e não é preciso fazer diferen¸ca na série original, o modelo é chamado modelo autorregressivo de média móvel (ARM A). A equa¸cão de previsão do modelo ARIM A é descrita por 3.9.

ˆ

Zt(h) = E(Zt+h|Zt) = ˆZt+h. (3.9)

Quando a série possui sazonalidade, deve-se utilizar a versão do modelo ARIM A com sazonalidade: o modelo SARIM A (ou ARIM A sazonal, ou ainda ARIM A multiplica-tivo). A equa¸cão do modelo SARIM A(p, d, q) × (P, D, Q)s é dado por 3.10.

φ(B)Φ(Bs)(1 − B)d(1 − Bs)DZt= θ(B)Θ(Bs)εt, (3.10)

onde as ordens P e Q são as ordens sazonais autorregressivas e de médias móveis e P s e Qs são os graus dos polinômios Φ(Bs) e Θ(Bs) respectivamente, s é o número dos fatores sazonais e D é o número de diferen¸cas sazonais necessárias para que a série se torne sazonalmente estacionária.

(24)

3.4.3 Fun¸

c˜

ao de Autocorrela¸

c˜

ao (FAC)

A fun¸cão de autocorrela¸cão (FAC) de uma série temporal mede a autocorrela¸cão dos dados dessa série, permitindo que seja feita a análise do grau de irregularidade de um sinal. A equa¸cão dessa autocorrela¸cão é dada por 3.11

F AC = (ρk) =

γk

γ0

, (3.11)

onde γ0 e γk são a variância e a autocovariância da série, respectivamente (SILVA,

2017).

3.4.4 Fun¸

c˜

ao de Autocorrela¸

c˜

ao Parcial (FACP)

A fun¸cão de autocorrela¸cão parcial (FACP) é a correla¸cão entre as componentes Zt

e Zt−k, sendo removido os efeitos das demais componentes entre elas. A equa¸c˜ao dessa

correla¸c˜ao ´e dada por 3.12 (SILVA,2017)

F ACP = φkk = Corr(Zt, Zt−k/Zt−1, Zt−2. . . Zt−k+1). (3.12)

3.4.5 An´

alise da FAC e da FACP

A FAC e a FACP de uma série temporal são utilizadas para a identifica¸cão das ordens p e q de um modelo ARIM A, onde o número de significancias p na FACP representa a ordem que a parte autorregressiva terá e o número de significâncias q na FAC representa a ordem que a parte de médias moveis terá. Caso haja um decrescimento exponencial na FAC, isso quer dizer que a ordem q = 0 e se houver um decrescimento exponencial na FACP, isso quer dizer que a ordem p = 0.

Além disso, para verificar as ordens sazonais P e Q do modelo SARIMA, o mesmo acima deve ser feito, porém de acordo com a sazonalidade da série.

(25)

3.5 Diagn´ostico do modelo 24

3.5 Diagn´

ostico do modelo

3.5.1 Estat´ısticas de Aderˆ

encia

As estat´ısticas de aderˆencia medem a capacidade de predi¸c˜ao de um modelo, sendo o melhor modelo aquele que as minimizam.

Esta se¸cão apresenta as estat´ısticas de aderência mais utilizadas na literatura. Todas elas são feitas com base no erro de previsão, por isso são dados créditos aos modelos que apresentam valores baixos. Dentre as estat´ısticas de aderência, destacam-se:

• Desvio M´edio Absoluto (M AD – Mean Absolute Deviation), dado por 3.13.

M AD = n X i=1 |Zi− ˆZi| n , (3.13)

onde Zi ´e o valor observado no instantei e ˆZi ´e o valor ajustado no mesmo instante.

• Raiz Quadrada do Erro Quadr´atico M´edio (RM SE – Root Mean Squared Error ), dada por 3.14. RM SE = s Pn i=1(Zi− ˆZi)2 n , (3.14)

onde Zi ´e o valor observado no instante i e ˆZi ´e o valorajustado no mesmo instante.

• Erro Percentual M´edio Absoluto (M AP E – Mean Absolute Percentage Error ), dado por 3.15. M AP E = n X i=1 Zi − ˆZi Zi × 100 n , (3.15)

onde Zi´e o valor observado no instante i e ˆZi ´e o valor ajustado no mesmo instante.

Além das medidas de erro, o Critério de Informa¸cão Bayesiana (BIC – Bayesian Information Criterion) dado por 3.16.

BIC = T ln(ˆσ_ε2 t) − (T − m)ln 1 −m T + mln(T ) + mln    _σ2 Zt ˆ σ_at − 1 m   , (3.16)

(26)

3.6 Filtragem SSA 25

leva em considera¸cão o número de parâmetros da modelagem. O BIC penaliza modelos que tenha um número elevado de parâmetros. Dessa forma, o modelo será considerado adequado se minimizar o BIC.

Outra medida de adequa¸cão do modelo é o coeficiente de determina¸cão de Pearson, R2_{, definida em 3.17. Esta medida verifica o quanto o modelo explica os dados de}

modo que quanto maior for o seu valor, melhor.

R2 = 1 − Pn i=m+1(Zi− ˆZi) 2 Pn i=m+1(Zi− ¯Z)2 . (3.17)

3.5.2 Res´ıduos

Os res´ıduos de uma previsão de série temporal são os erros um passo a frente dessa previsão. Para que um modelo de previsão seja considerado bom é preciso que esses res´ıduos sejam uma sequência de ru´ıdo branco, ou seja, que não possuam autocorrela¸cão, média zero e variância constante.

Para a verifica¸cão dos erros de um modelo de previsão é feita uma análise do corre-lograma dos residuos para saber se existe autocorrela¸cão ou não. Quando não há auto-correla¸cão entre os res´ıduos é considerado, então, que o modelo de previsão é um bom modelo.

3.6 Filtragem SSA

Singular Spectrum Analysis (SSA) é uma técnica não paramétrica que permite de-compor uma série temporal em sinal e ru´ıdo. E uma t´´ ecnica útil para filtrar dados de séries temporais. Menezes et al. (2014) utilizaram três metodologias na abordagem SSA: Análise de componentes principais (ACP), ACP associado com Análise de Cluster e Análise Gráfica dos Vetores Singulares. Em seu artigo é mostrado que o melhor método em SSA é a Análise Gráfica dos vetores singulares, que será usado nesta pesquisa. SSA é um método recente e poderoso em séries temporais que incorpora elementos de análise clássica de séries temporais, estat´ıstica multivariada, geometria multivariada, sistemas dinâmicos e processamentos de sinais (ELSNER, 1996). SSA tem sido aplicada com su-cesso em diversas áreas: na matemática e f´ısica a economia e matemática financeira, na meteorologia e oceanografia a ciências sociais (GOLYANDINA et al., 2001).

(27)

na remo¸cão de ru´ıdo e de séries temporais (GOLYANDINA et al., 2001; HASSANIi et al., 2012). A versão básica do método SSA pode ser dividida em duas etapas: decomposi¸cão e reconstru¸cão.

3.6.1 Decomposi¸

c˜

ao

Segundo Menezes et al. (2014), a etapa de decomposi¸cão pode ser subdividida em duas partes: Incorpora¸cão e decomposi¸cão em valores singulares (SVD – Singular Value Decomposition).

Seja Yt = [y1, . . . yT]1×T uma s´erie temporal e considere L tal que 2 ≤ L ≤ T de

modo que L é um parâmetro a ser estimado e é chamado de comprimento da janela (GOLYANDINA et al., 2001). Entende-se por Incorpora¸cão o procedimento no qual uma série temporal YT é levada a uma matriz X chamada “Matriz Trajetória” dada por (3.18).

X =        y1 y2 y3 . . . yk y2 y3 y4 . . . yk+1 .. . ... ... . .. ... yL yL+1 yL+2 . . . yT        (3.18)

A matriz X ´e uma matriz Hankel, ou seja, os elementos de xi,j tal que i+j = constante

s˜ao iguais.

Considere S = XX0. Os autovalores de S dispostos em ordem de significância λ1 ≥ · · · ≥ λL ≥ 0 são obtidos e os respectivos autovalores U1, . . . , UL são encontrados.

Considere V0 = (X0UL)/

√

λ, como S é positivo semi-definido, então a matriz trajetória X pode ser expressa pela decomposi¸cão em valores singulares (SVD) apresentada em (3.19):

X = E1+ E2+ · · · + EL, (3.19)

onde El =

√

λUlVl0, para todo l = 1, . . . , L. A cole¸c˜ao (

√

λl, Ul, Vl) ´e conhecida como

auto-tripla da expansão SVD de X. Os elementos da autotripla são definidos respectivamente por: valor singular, vetor singular à esquerda e vetor singular à direita de X (MENEZES et al., 2014). A contribui¸cão de cada componente em (3.19) pode ser mensurada pela razão de autovalores λl/

PL

(28)

3.6.2 Reconstru¸

c˜

ao

Segundo Menezes et al. (2014), a etapa de reconstru¸cão está subdividida em duas partes: agrupamento e média diagonal. A etapa de agrupamento consiste no procedimento de agrupar algumas sequências de matrizes elementares resultantes da decomposi¸cão SVD em grupos disjuntos e, após isso, somá-las, gerando novas matrizes elementares.

Considere a sequencia PL

l=1El de matrizes elementares da expans˜ao de SVD. Agrupe

as mesmas em m grupos disjuntos utilizando algum método, por exemplo, por meio de análise de componentes principais, análise gráfica de vetores singulares ou agrupamento hierárquico e assumir que o conjunto de ´ındices gerado é dado por {I1, . . . , Im}, de modo

que a expans˜ao (3.19) pode ser reescrita como em (3.20), sendo XIiarbitr´aria tal queXIi =

Ppi j=1XIij (MENEZES et al., 2014). X = L X l=1 El = m X i=1 XIi (3.20)

O objetivo do agrupamento é diminuir o número de componentes na expansão da matriz trajetória X. A contribui¸cão de cada componente é mensurada pela razão (3.21) (MENEZES et al., 2014). Ppi j=1λI_ij PL l=1λl . (3.21)

Considere a matriz trajet´oria X e assuma que L∗ = min(L, K) e K∗ = max(L, K). Considere x(i)_l,k um elemento na linha l e coluna k na matriz XIi. O elemento y

(i) t da

componente hy_t(i)i

1×T da série temporal [yt]1×T é calculado por meio da média diagonal

da matriz elementar XIi definida em (3.22), a partir da matriz elementar XIi.

y_t(i)=                  t P l=1 x(i)_l,t−l+1 t , se 1 ≤ t < L ∗ L∗ P l=1 x(i)_l,t−l+1 L∗ , se L∗ ≤ t < K∗ T −K∗+1 P l=t−K∗+1 x(i)_l,t−l+1 T −K∗₊₁ , se K∗ ≤ t ≤ T (3.22)

Cada componente hy_t(i)i

1×T concentra parte da energia da s´erie temporal original

[yt]1×T que pode ser mensurada pela raz˜ao de autovalores pi P j=1 λIij/ d P l=1 λl. De acordo com

(29)

Hassani et al. (2012), podemos classificar as componentes SSA hy_t(i)i

1×T

de uma série temporal arbitrária [yt]_1×T em três categorais: tendência, componentes harmônicas (ciclo

e sazonalidade) e ru´ıdo (GOLYANDINA et al., 2001).

Um dos principais conceitos estudados em SSA é a propriedade de separabilidade (HASSANI et al., 2012). Tal propriedade caracteriza quão bem separados estão as dife-rentes, componentes, umas das outras. Uma boa medida de separabilidade é a Correla¸cão Ponderada. Por correla¸cão ponderada weighted correlation ou w-correla¸cão, podemos en-tender como uma fun¸cão que quantifica a dependência linear entre duas componentes SSA Y_T(1) e Y_T(2) definida em (3.23) (MENEZES et al., 2014).

ρ(w)_ij =

Y_T(i), Y_T(j)

w

||Y_T(i)||w||Y (j) T ||w

. (3.23)

onde ||Y_T(i)||w =

r Y_T(i), Y_T(i) w ; ||Y_T(j)||w = r Y_T(j), Y_T(j) w ;Y_T(i), Y_T(j) w = T P k=1 wky (i) k y (j) k e wk= min{k, L, T − k}.

Através da separabilidade, pode-se verificar estatisticamente se duas componentes SSA estão bem separadas, em termos de dependência linear. Segundo Hassani et al. (2012), o valor absoluto da w-correla¸cão é pequeno, então as componentes SSA corres-pondentes são classificadas como w-ortogonais (ou quase w-ortogonais); caso contrário, são ditas mal separadas. Salienta-se que comumente utiliza-se a correla¸cão ponderada na fase de agrupamento SSA (GOLYANDINA et al., 2001).

3.6.3 An´

alise Gr´

afica dos Autovetores

A análise das coordenadas da série temporal na base definida pelos vetores singulares resultantes da SVD permite identificar as componentes de tendência e da sazonalidade da série. O problema geral aqui consiste em identificar e separar as componentes oscilatórias das componentes que fazem parte da tendência. De acordo com Golyandina et al. (2001) a análise gráfica de tais coordenadas aos pares permite identificar por meio visual as componentes harmônicas da série.

As coordenadas da série temporal em duas componentes ortogonais podem ser dispos-tas em um diagrama de dispersão. Considere um harmônico puro com frequência igual a ω, fase igual a δ, amplitude igual a ξ e per´ıodo ρ = _ω1 definido como um divisor do tama-nho da janela L e K. Se o parâmetro ρ assume um valor inteiro, então ρ é classificado

(30)

3.7 Resumo da Metodologia 29

como per´ıodo do harmônico. Por exemplo, as fun¸cões seno e o cosseno com frequências, amplitudes e fases iguais resultam em um diagrama de dispersão que exibe um padrão circular. Por sua vez, se ρ = _ω1 é um inteiro, então o diagrama de dispersão exibe um pol´ıgono regular comρ vértices. Para uma frequência ω = m_n < 0, 5 com m e n inteiros e primos, os pontos são vértices de um pol´ıgono regular de n vértices (GOLYANDINA et al., 2001). Dessa forma, a identifica¸cão dos componentes que são gerados por um harmônico é reduzida à análise pictórica do padrão determinado nos diferentes pares de componentes.

3.7 Resumo da Metodologia

A partir da série original de energia natural afluente foi feita uma filtragem SSA através do programa caterpillarSSA. Os modelos de Holt-Winters e Box & Jenkins fo-ram aplicados tanto na serie filtrada quanto na original através do programa FPW, e as condi¸cões para a utiliza¸cão do modelo Box & Jenkins foram verificadas através do pro-grama Gretl. Após as modelagens, as estat´ısticas de aderência foram feitas com o uso do programa FPW e verificado o modelo mais adequado com base nestas estat´ısticas. A Figura 2 apresenta o fluxograma resumido da proposta.

(31)

30

4 An´

alise dos Resultados

4.1 S´

erie Original

4.1.1 Holt-Winters

Com o objetivo de obter o modelo adequado da classe de amortecimento exponen-cial de Hol-Winters, foram testados quatro modelos: sem tendência linear e sazonalidade multiplicativa, sem tendência linear e sazonalidade aditiva, com tendência linear e sazona-lidade multiplicativa e com tendência linear e sazonalidade aditiva. A Tabela 2 apresenta as estat´ısticas de aderência dos modelos para uma compara¸cão e verifica¸cão do melhor modelo a ser utilizado.

Tabela 2: Estat´ısticas de aderˆencia dos modelos de Holt-Winters

Holt-Winters M AD M AP E RM SE BIC R2

Multiplicativa - sem tendência linear 6122 0, 1846 8931 9167 0, 6883 Aditiva - sem tendência linear 6399 0, 205 9057 9296 0, 6795 Multiplicativa - com tendência linear 6096 0, 1839 8933 9289 0, 6866 Aditiva - com tendência linear 6403 0, 2053 9057 9419 0, 6778

Analisando a Tabela 2 pode-se observar que os modelos de Holt-Winters com sazo-nalidade multiplicativa obtiveram as melhores estat´ısticas de aderência. O modelo sem tendência apresentou minimiza¸cão da RM SE e BIC, enquanto o com tendência apre-sentou minimiza¸cão da M AD e M AP E. Porém, o modelo que obteve o maior R2 foi o modelo sem tendência linear que, apesar de obter maior MAPE e MAD que o modelo com tendência linear, os valores são muito próximos. Logo, pode-se afirmar que o melhor modelo de Holt-Winters para essa série temporal é o com sazonalidade multiplicativa e sem tendência. Os parametros do modelo escolhido estão na Tabela 3.

(32)

4.1 S´erie Original 31

Tabela 3: Parˆametros estimados na modelagem de Holt-Winters

N´ıvel Sazonalidade Fatores sazonais

0, 3069 0, 15713 Jan Fev Mar Abr Mai Jun

1, 66592 1, 65915 1, 68047 1, 33925 0, 98116 0, 92169

Jul Ago Set Out Nov Dez

0, 75110 0, 58963 0, 57383 0, 65107 0, 84234 1, 27546

A série modelada e os dados previstos foram obtidos a partir do modelo de amorte-cimento exponencial de Holt-Winters com os parametros da Tabela 3. É poss´ıvel ver a compara¸cão gráfica da série original com a série modelada na Figura 3.

Figura 3: S´erie original (preto) e s´erie ajustada via Holt-Winters (vermelho) Observando a Figura 3 podemos perceber que os valores ajustados se aproximam bastante dos valores originais, mostrando que esse modelo parece adequado.

A Figura 4 mostra uma aproxima¸cão dos dois ultimos anos, juntamente com um ano de previsão para que se tenha uma melhor visualiza¸cão dessa região com rela¸cão aos dados modelados.

(33)

Figura 4: Detalhe dos dois ´ultimos anos de ajuste e um ano de previs˜ao com o modelo de Holt-Winters.

Para que o modelo seja considerado um modelo significativo também é necessário que os residuos sejam não correlacionados, então foi feita a análise dos residuos através da fun¸cão de autocorrela¸cão (FAC). A Figura 5 mostra o gráfico dessa fun¸cão para o modelo de Holt-Winters.

Figura 5: FAC dos res´ıduos para o modelo de Holt-Winters

Podemos observar na Figura 5 que os valores da fun¸cão de autocorrela¸cão dos res´ıduos estão em sua maioria dentro do limite esperado que é de ±1,96√

192 = ±0, 14, confirmando que,

(34)

4.1.2 Box & Jenkins

Antes da modelagem de Box & Jenkins é necessário fazer as verifica¸cões de normali-dade e estacionarienormali-dade da série. Utilizando o teste de Shapiro Wilk na série original foi visto que o p-valor é menor que 0, 05 mostrando que a série não possui normalidade. Para obter essa normalidade uma transforma¸cão logar´ıtmica foi aplicada aos dados originais que pode ser visto na Figura 6.

Figura 6: S´erie temporal da energia natural afluente em MWmed do subsistema sudeste com transforma¸c˜ao logar´ıtmica 2000-2016

Para testar a estacionarieade foi usado o teste de Phillips-Perron já na série transfor-mada. Foi visto que o p-valor é igual a 0, 01 sendo menor que o n´ıvel de significância de 0, 05, mostrando, então que não existe raiz unitária na série, logo a série é estacionária e não há a necessidade de se fazer diferen¸cas.

(35)

Figura 7: FAC da s´erie original

A Figura 7 apresenta a fun¸cão de autocorrela¸cão da série original. Pode-se perceber que de 12 em 12 meses existe um decrescimento lento, mostrando que não há estacionari-edade sazonal, tem-se, assim, a necessidade de se fazer uma diferen¸ca sazonal. A Figura 8 apresenta a FAC e FACP da série após a diferen¸ca sazonal.

(36)

Figura 8: FAC e FACP da s´erie original com uma diferen¸ca sazonal

Analisando a fun¸cão de autocorrela¸cão (FAC) e a fun¸cão de autocorrela¸cão parcial (FACP) com a diferen¸ca sazonal na Figura 8 verifica-se uma melhora na estacionariedade sazonal da série, não sendo preciso fazer mais diferen¸cas. Além disso pode-se perceber uma significancia na FAC e uma na FACP e, analisando de 12 em 12 meses, para ver a sazonalidade, observa-se decaimento exponencial na FACP e uma significancia no lag 12 na FAC o que é um comportamento t´ıpico de SARIM A(1, 0, 1) × (0, 1, 1)12. A equa¸cão

desse modelo ´e dada por 4.2

(37)

A Figura 9 mostra a sa´ıda no software FPW para o modelo SARIM A(1, 0, 1) × (0, 1, 1)12.

Figura 9: Sa´ıda do software FPW.

Depois de todas as verifica¸cões e transforma¸cões necessárias foram testados quatro mo-delos ARIM A na série transformada: SARIM A(1, 0, 1) × (0, 1, 1)12, SARIM A(1, 0, 0) ×

(0, 1, 1)12, SARIM A(0, 0, 1) × (0, 1, 1)12, SARIM A(1, 0, 1) × (0, 1, 0)12. A Tabela 4

apre-senta as estat´ısticas de aderência dos modelos para uma compara¸cão e verifica¸cão do melhor modelo a ser utilizado.

Tabela 4: Estat´ısticas de aderˆencia dos modelos de Box & Jenkins

Modelo de Box & Jenkins M AD M AP E RM SE BIC R2

SARIM A(1, 0, 1) × (0, 1, 1)12 5164 0, 1511 7956 5905 0, 8218

SARIM A(1, 0, 0) × (0, 1, 1)12 5180 0, 1526 8078 5941 0, 8157

SARIM A(0, 0, 1) × (0, 1, 1)12 5503 0, 1636 8621 6476 0, 7811

SARIM A(1, 0, 1) × (0, 1, 0)12 6829 0, 2036 10990 8071 0, 6599

Analisando a Tabela 4 pode-se observar que o modelo SARIM A(1, 0, 1) × (0, 1, 1)12

possui todas as estat´ısticas de aderência sendo minimizadas, além de ter o maior R2. Logo, pode-se afirmar que esse modelo é o mais adequado para a estima¸cão dessa série temporal. A compara¸cão da série original com a série ajustada via modelos de Box & Jenkins pode ser vista na Figura 10.

(38)

Figura 10: Série original (preto) e série ajustada via Box & Jenkins (vermelho) Observando a Figura 10 é poss´ıvel perceber que, como na modelagem via Holt-Winters, os valores ajustados se aproximam bastante dos valores originais, mostrando que esse modelo parece ser adequado.

(39)

Figura 11: Detalhe dos dois ´ultimos anos de ajuste e um ano de previs˜ao com o modelo de Box & Jenkins.

Da mesma maneira como no modelo Holt-Winters, foi verificada a FAC dos res´ıduos pelo correlograma mostrado na Figura 12.

Figura 12: FAC dos res´ıduos para o modelo de Box & Jenkins

Pode-se observar na Figura 12 que os valores da fun¸cão de autocorrela¸cão dos res´ıduos estão em sua maioria dentro do limite esperado que é de ±1,96√

192 = ±0, 14. O modelo de

Box & Jenkins parece mais adequado que o modelo de Holt-Winters pelo n´umero bem menor de valores significativos.

A Tabela 5 apresenta uma compara¸cão do melhor modelo de Holt-Winters e de Box & Jenkins para determinar qual dos dois é o mais adequado para essa série temporal.

(40)

4.2 S´erie com filtragem SSA 39

Tabela 5: Estat´ısticas de aderˆencia dos modelos de Box & Jenkins e Holt-Wintes

Modelo M AD M AP E RM SE BIC R2

Holt-Winters 6122 0, 1846 8931 9167 0, 6883

Box & Jenkins 5164 0, 1511 7956 5905 0, 8218

Pela Tabela 5 temos a confirma¸cão do que foi visto com a análise da autocorrela¸cão dos residuos de que o modelo de Box & Jenkins é mais adequado para essa série.

4.2 S´

erie com filtragem SSA

Como a série temporal original utilizada contém 204 observa¸cões, o comprimento da janela (L) utilizado para a realiza¸cão da filtragem SSA foi de 102 . A Figura 13 apresenta a análise gráfica dos 9 primeiros vetores singulares.

Figura 13: An´alise gr´afica dos 9 primeiros vetores singulares.

Analisando a Figura 13 pode-se perceber que os vetores 1 e 9 pertencem a componente de tendência e que os vetores 2 e 3 pertencem a componente harmônica. Já para a divisão dos demais vetores foi necessário fazer a análise dos dos diagramas de dispersão dos pares seguidos para ter uma maior certeza de para qual componente o vetor melhor se adequa. A Figura 14 apresenta alguns desses pares seguidos utilizados para fazer essa análise.

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Figura 14: Gráfico de dispersão de alguns dos pares seguidos de vetores singulares. Ao observar a Figura 14 verifica-se que o par de vetores (2 - 3) tem comportamento t´ıpico de componente harmônica, pois apresenta a Figura de um pol´ıgono regular, o par de vetores (9 - 10) pertence a componente de tendência por conter linhas mais suaves e o par (33 - 34) pentence a componente de ru´ıdo, uma vez que apresenta um comportamento caótico. Já os pares (1 - 2), (3 - 4) e (5 - 6) possuem um dos vetores sendo harmônico e o outro sendo de tendência, por isso não possuem uma forma muito espec´ıfica.

Com a análise dos gráficos dos vetores singulares feita pode-se, então, dividi-los entre as componentes de tendência, harmônica e ruidosa. A Tabela 6 mostra como os vetores singulares foram divididos.

Tabela 6: Divis˜ao dos vetores singulares dentre as componentes

Tendˆencia Harmˆonica Ru´ıdo

1, 4, 6, 9 - 12, 14, 2, 3, 5, 7, 8, 13, 15, 16, 20, 21, 28, 22 - 26, 30, 33, 34, 38 - 40, 17 - 19, 27, 32, 41 29, 31, 35 - 37, 47, 48, 58, 59, 75 42 - 46, 49 - 57, 60 - 74, 76 - 102

Tendo a separa¸cão já definida de acordo com a análise de gráficos, a verifica¸cão da correla¸cão das componentes, que pode ser vista na Tabela 7, é feita para certificar que a divisão foi bem executada.

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Tabela 7: Correla¸cão entre as componentes Componentes Tendência Harmônica Ru´ıdo

Tendˆencia 1 0, 018 0, 01

Harmˆonica 0, 018 1 0, 055

Ru´ıdo 0, 01 0, 055 1

A Tabela 7 mostra que a correla¸cão entre as componentes é bem pequena, concluindo-se, então que os vetores singulares estão bem separados dentre as componentes.

A Figura 15 apresenta os gr´aficos das trˆes componentes separadamente.

Figura 15: Componentes da filtragem SSA

A série filtrada é, então, obtida através das componentes de tendência e harmônica, e a compoente de ru´ıdos é descartada. A Figura 16 apresenta a série filtrada (vermelho) juntamente com a série original (preto).

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Figura 16: S´erie original (preto) e s´erie filtrada (vermelho).

A partir da Figura 16 podemos perceber que a série filtrada possui um comportamento mais suave que a série original, tendo em conta que a componente de ru´ıdos foi retirada. Com a filtragem SSA realizada, podem ser aplicados, então, os modelos de previsão na série filtrada para verificar se haverá uma melhora de previsão com a filtragem ou não.

4.2.1 Holt-Winters

Assim como foi feito com a série original, com a série filtrada também foram testados quatro modelos de Holt-Winters: sem tendência linear e sazonalidade multiplicativa, sem tendência linear e sazonalidade aditiva, com tendência linear e sazonalidade multiplica-tiva e com tendência linear e sazonalidade aditiva. A Tabela 8 apresenta as estat´ısticas de aderência dos modelos para uma compara¸cão e verifica¸cão do melhor modelo a ser utilizado.

Tabela 8: Estat´ısticas de aderˆencia dos modelos de Holt-Winters para a s´erie filtrada

Holt-Winters M AD M AP E RM SE BIC R2

Multiplicativa - sem tendência linear 4368 0, 1302 6737 6915 0, 8073 Aditiva - sem tendência linear 4859 0, 1633 6688 6865 0, 8101 Multiplicativa - com tendência linear 4418 0, 1329 6752 7021 0, 8055 Aditiva - com tendência linear 4840 0, 1635 6698 6965 0, 8086

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linear obtiveram as melhores estat´ısticas de aderência. O modelo multiplicativo apresen-tou minimiza¸cão da M AD e M AP E, enquanto o aditivo apresentou minimiza¸cão da RM SE e BIC e maximiza¸cão do R2_{. Por´}_{em, apesar do modelo multiplicativo ter obtido}

maior RM SE e BIC e menos R2 _{que o modelo aditivo, os valores s˜}_{ao muito pr´}_oximos.

Logo, pode-se afirmar que o melhor modelo de Holt-Winters para essa série temporal é o com sazonalidade multiplicativa e sem tendência. Os parametros do modelo estão na Tabela 9.

Tabela 9: Parametros estimados na modelagem de Holt-Winters para a s´erie filtrada

N´ıvel Sazonalidade Fatores sazonais

0, 66381 0, 79456 Jan Fev Mar Abr Mai Jun

1, 52275 1, 64512 1, 58814 1, 37013 1, 10863 0, 93199

Jul Ago Set Out Nov Dez

0, 80040 0, 65451 0, 54382 0, 58674 0, 86554 1, 22716

A série modelada e os dados previstos foram obtidos a partir do modelo de amor-tecimento exponencial de Holt-Winters com os parametros da Tabela 9. A compara¸cão gráfica da série filtradal com a série modelada pode ser vista na Figura 17.

Figura 17: S´erie filtrada (preto) e s´erie ajustada via Holt-Winters (vermelho). Observando a Figura 17 percebe-se que os valores ajustados se aproximam bastante dos valores filtrados, mostrando que esse modelo parece adequado.

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Figura 18: Detalhe dos dois últimos anos de ajuste e um ano de previsão com o modelo de Holt-Winters para a série filtrada.

Para que o modelo seja considerado um modelo significativo também é necessário que os residuos sejam não correlacionados, então foi feita a análise dos residuos através da fun¸cão de autocorrela¸cão (FAC). A Figura 19 mostra o gráfico dessa fun¸cão para o modelo de Holt-Winters.

Figura 19: FAC dos res´ıduos para o modelo de Holt-Winters para a s´erie filtrada.

Podemos observar na Figura 19 que os valores da fun¸cão de autocorrela¸cão dos res´ıduos estão em sua maioria dentro do limite esperado que é de ±1,96√

192 = ±0, 14, por´em h´a diversos

(46)

4.2.2 Box & Jenkins

Assim como na série original, antes de fazer a modelagem de Box & Jenkins, foram feitas as verifica¸cões de normalidade e estacionariedade da série filtrada. Utilizando o teste de Shapiro Wilk na série filtrada foi visto que o p-valor é menor que 0, 05 mostrando que a série não possui normalidade. Para obter essa normalidade uma transforma¸cão logar´ıtmica foi aplicada aos dados filtrados que pode ser visto na Figura 20.

Figura 20: S´erie temporal filtrada da energia natural afluente em MWmed do subsistema sudeste com transforma¸c˜ao logar´ıtmica 2000-2016

Para testar a estacionarieade foi usado o teste de Phillips-Perron já na série trans-formada. Foi visto que o p-valor também é menor que o n´ıvel de significância de 0, 05, mostrando, então que não existe raiz unitária na série, logo a série é estacionária e não há a necessidade de se fazer diferen¸cas. O passo seguinte foi a análise do correlograma. A Figura 21 apresenta a fun¸cão de autocorrela¸cão da série filtrada.

(47)

Figura 21: FAC da s´erie filtrada

Pode-se perceber na Figura 21 que de 12 em 12 meses existe um decrescimento lento, mostrando que n˜ao h´a estacionariedade sazonal, tem-se, assim, a necessidade de se fazer uma diferen¸ca sazonal.

(48)

Figura 22: FAC e FACP da s´erie filtrada com uma diferen¸ca sazonal

Analisando a fun¸cão de autocorrela¸cão e a fun¸cão de autocorrela¸cão parcial com a di-feren¸ca sazonal na Figura 22 verifica-se uma melhora na estacionariedade sazonal da série, não sendo preciso fazer mais diferen¸cas. Além disso pode-se perceber uma significancia na FAC e duas na FACP e, análisando de 12 em 12 meses, para ver a sazonalidade, observa-se decaimento exponencial na FACP e uma significancia na FAC o que é um comportamento t´ıpico de SARIM A(2, 0, 1) × (0, 1, 1)12. A equa¸cão desse modelo é dada por 4.2

Zt = 0, 9315Zt−1− 0, 2212Zt−2+ εt− 0, 7331εt−1+ 0, 9247εt−12. (4.2)

(49)

Figura 23: Sa´ıda do software FPW.

Depois de todas as verifica¸cões e transforma¸cões necessárias foram testados quatro mo-delos ARIM A na série transformada: SARIM A(2, 0, 1) × (0, 1, 1)12, SARIM A(1, 0, 1) ×

(0, 1, 1)12, SARIM A(2, 0, 0) × (0, 1, 1)12, SARIM A(2, 0, 1) × (0, 1, 0)12. A Tabela 10

apresenta as estat´ısticas de aderência dos modelos para uma compara¸cão e verifica¸cão do melhor modelo a ser utilizado.

Tabela 10: Estat´ısticas de aderˆencia dos modelos de Box & Jenkins para a s´erie filtrada.

Modelo de Box & Jenkins M AD M AP E RM SE BIC R2

SARIM A(2, 0, 1) × (0, 1, 1)12 2120 0, 06829 3037 2677 0, 964

SARIM A(1, 0, 1) × (0, 1, 1)12 2223 0, 06958 3215 2695 0, 9627

SARIM A(2, 0, 0) × (0, 1, 1)12 2506 0, 07954 3614 3106 0, 9504

SARIM A(2, 0, 1) × (0, 1, 0)12 3165 0, 1007 4485 3882 0, 9226

Analisando a Tabela 10 pode-se observar que o modelo SARIM A(2, 0, 1) × (0, 1, 1)12

possui todas as estat´ısticas de aderˆencia sendo minimizadas, al´em de ter o maior R2_.

Logo, pode-se afirmar que esse modelo é o mais adequado para a estima¸cão dessa série temporal. A compara¸cão da série filtrada com a série ajustada via modelos de Box & Jenkins pode ser vista na Figura 24.

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Figura 24: S´erie filtrada (preto) e s´erie ajustada via Box & Jenkins (vermelho)

Observando a Figura 24 ´e poss´ıvel perceber que, como na modelagem via Holt-Winters, os valores ajustados se aproximam bastante dos valores filtrados, mostrando que esse modelo parece ser adequado.

Figura 25: Detalhe dos dois últimos anos de ajuste e um ano de previsão com o modelo de Box & Jenkins para a série filtrada.

Da mesma maneira como no modelo Holt-Winters, foi verificada a FAC dos res´ıduos pelo correlograma mostrado na Figura 26.

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Figura 26: FAC dos res´ıduos para o modelo de Box & Jenkins para a série filtrada Pode-se observar na Figura 26 que os valores da fun¸cão de autocorrela¸cão dos res´ıduos estão em sua maioria dentro do limite esperado que é de ±1,96√

192 = ±0, 14. O modelo de

Box & Jenkins parece mais adequado que o modelo de Holt-Winters pelo n´umero bem menor de valore significativos.

A Tabela 11 apresenta uma compara¸cão dos melhores modelos de Holt-Winters e Box & Jenkins para determinar qual dos dois é o mais adequado para essa série temporal.

Tabela 11: Estat´ısticas de aderˆencia dos modelos de Box & Jenkins e Holt-Wintes para a s´erie filtrada

Modelo M AD M AP E RM SE BIC R2

Holt-Winters 4368 0, 13020 6737 6915 0, 8073 Box & Jenkins 2120 0, 06829 3037 2677 0, 9640

Pela Tabela 11 temos a confirma¸cão do que foi visto com a análise da autocorrela¸cão dos residuos de que o modelo de Box & Jenkins é mais adequado para essa série.

4.2.3 Compara¸

c˜

ao entre a s´

erie filtrada e a s´

erie original

A Tabela 12 mostra os melhores modelos de Holt-Winters e de Box & Jenkins da série filtrada e da série original para ser feita uma compara¸cão das duas séries e verificar se a filtragem SSA é um método eficaz para a melhora da previsão de série temporal.

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Tabela 12: Estat´ısticas de aderˆencia dos modelos de Box & Jenkins e Holt-Wintes para as s´eries original e filtrada

S´erie Modelo M AD M AP E RM SE BIC R2

Original Holt-Winters 6122 0, 1846 8931 9167 0, 6883

Box & Jenkins 5164 0, 1511 7956 5905 0, 8218

Filtrada Holt-Winters 4368 0, 1302 6737 6915 0, 8073

Box & Jenkins 2120 0, 06829 3037 2677 0, 964

Pela Tabela 12, de fato, os modelos aplicados a s´erie com filtragem SSA apresentam melhores resultados quanto a previs˜ao, sendo o melhor modelo o de Box & Jenkins.

(53)

52

5 Conclus˜

ao

Como foi visto na introdu¸cão, a energia natural afluente é a fonte de energia mais utilizada no Brasil. Porém, devido a sua dependencia com as condi¸cões climáticas, ela passa por altos e baixos de acordo com cada esta¸cão do ano. Por isso, é necessário ser feito um planejamento do uso dessa energia e uma boa ferramenta para esse planejamento é o uso da análise de séries temporais utilizando os dados já existentes do comportamento da produ¸cão de energia natural afluente para fazer previsões de como esse comportamento poderá ser no futuro.

Com o objetivo de verificar se o uso da filtragem SSA é eficaz na melhora da capacidade preditiva das séries temporais, foi feita a compara¸cão dos modelos de Holt-Winters e Box & Jenkins aplicados na série mensal do subsistema sudeste de janeiro de 2000 até dezembro de 2016 e na série filtrada dos dados referentes a série mensal da energia natural afluente do subsistema sudeste.

Primeiramente foram aplicados alguns modelos de Holt-Winters e Box & Jenkins na série mensal da energia natural afluente do subsistema sudeste e dentre eles foram escolhidos os com melhor capacidade preditiva para a série com a análise das estat´ısticas de aderência e das fun¸cões de autocorrela¸cão dos res´ıduos de cada modelo. Logo após isso foi feita a filtragem da série para retirar os ru´ıdos utilizando a ferramenta Singular Spectrum Analysis (SSA), e com essa série filtrada também foram testados modelos de Holt-Winters e Box & Jenkins, sendo escolhidos os com melhor capacidade preditiva ao analisar as estat´ısticas de aderência de cada modelo e as fun¸cões de autocorrela¸cão dos res´ıduos.

Ao fazer as modelagens de Holt -Winters e Box & Jenkins nas séries original e filtrada foi visto que tanto nas previsões com a série original quanto com a filtrada o modelo de Box & Jenkins apresentou um melhpor resultado que o modelo de Holt-Winters, além disso, também foi visto que a previsão com a série filtrada foi mais eficaz que com a série original, já que as estat´ısticas de aderência dos modelos aplicados na série com filtragem

(54)

5 Conclus˜ao 53

apresentaram melhor resultado. Com isso, pode-se afirmar que, de fato, o uso da filtragem SSA melhorou a capacidade preditiva de s´eries temporais de Energia Natural Afluente do subsistema Sudeste do Sistema Interconectado Nacional do Operador Nacional do Sistema El´etrico.

Foi verificado também que em todas as previsões dos modelos apresentados nessa pesquisa, os meses de agosto a outubro apresentaram baixa produ¸cão média de energia natural afluente. O que indica que nesses meses o uso dessa energia no subsistema sudeste deve ser melhor planejada para que não haja a falta da mesma.