Capítulo 2. Mistura e Convecção

Capítulo 2

Mistura

• Mistura Isobária

Mistura isobárica

M1, T1, q1, w1,P M2, T2, q2, w2,P

Média Ponderada das massas

2 1 2 1 2 2 1 1 q m m m q m m m q     2 1 2 1 2 2 1 1 w m m m w m m m w     2 1 2 1 2 2 1 1 e m m m e m m m e     Umidade específica Razão de mistura Pressão de Vapor

Se durante a mistura não ocorrer perda ou ganho de calor, a quantidade de calor

perdida pela parcela quente é igual à

recebida pela fria. Portanto podemos calcular

a temperatura final da mistura T como:

negligenciando as pequenas contribuições do vapor d’água: 2 2 1 2 1 2 1 1 _T m m m T m m m T    

)

)(

(

2

)

)(

(

1

c

w

₁

c

T

₁

T

m

c

w

₂

c

T

T

₂

m

_p



_pv





_p



_pv



Figura 1. Diagrama higrométrico 2 2 1 2 1 2 1 1 _T m m m T m m m T     2 1 2 1 2 2 1 1 e m m m e m m m e    

Durante este processo de mistura, a UR da

mistura pode atingir valores superiores a 100%. Quando isso ocorrer a mistura estará

super-saturada em relação a água.

Lembrando que a UR pode ser descrita como:

s s s r r x ou w w x ou e e x UR(%) 100 100 100

Possíveis condições após a

mistura

• Fica Super-Saturada e > es(T) • Fica Saturada e = es(T) • Não Satura e < es(T)

Para saber se irá ocorrer saturação

• 1º Calculamos e_{m (mistura)} • 2º Calculamos T_{m (mistura)} • 3º A partir de T_m calculamos e_s(T_m) (C.C.)





























m v v s m s

T

T

R

L

T

e

T

e

(

)

(

)

exp

1

1

0 0

Saturado - Condensando

Enquanto o ar estiver super-saturado, o vapor condensa. Neste momento temos a formação de uma nuvem. A medida que o vapor condensa a pressão de vapor diminui. Durante este processo a parcela libera calor latente e assim ela aquece.

A condensação cessa quando e <= es(T)

Vapor condensado e Temperatura

da Mistura

• Para calcular a quantidade de vapor d´água ou material condensado ou

mesmo a temperatura que a parcela irá atingir após a condensação, temos que

verificar a variação da razão de mistura da parcela a medida que ela esta

condensando.

E medida que o vapor vai condensando a parcela libera calor proporcional à

Vapor condensado e Temperatura

da Mistura

A medida que o vapor condensa, temos uma diminuição do vapor pois ele está sendo convertido em água líquida.

E a medida que o vapor vai condensando, a parcela libera calor latente que é

proporcional à quantidade de material condensado. (L_vdw)

Condensação - I

• Logo podemos expressar o calor liberado durante este processo de condensação como:

Ldw

dq





dp

dT

c

dq



_p





Condensação - II

• Lembrando que temos um processo

isobárico (p=cte), a equação anterior pode se simplificada como:

dT

c

dq



_p

Ldw

dT

c

_p





Condensação - III

• Como a razão de mistura é:

Temos:

p

e

w





const

p

p

e

Ld

dT

c

_p

_



















,

Condensação - IV

• Rearranjando os termos:

de

p

L

dT

c

_p









L

pc

dT

de

_p







• Esta equação descreve a taxa de mudança da temperatura e pressão de vapor (coeficiente angular) da linha de T,e->(Tf,ef) durante um processo de condensação isobárico.



L

pc

dT

de





p



T_m,e_m

10 12 14 16 18 20 22 24 5,00 10,00 15,00 20,00 Press ao de V apor (mb) Temperatura (C) Tf



L

pc

dT

de





p



em ef Tm Ocorre Condensação

• Sendo que T_f e e_f representam a

temperatura e a pressão de vapor final de parcela após o processo de condensação terminar.

• Quando isso ocorrer a parcela estará simplesmente saturada, ou seja,

e_f = e_s(T_f) ou simplesmente 100%











f m f m T T p e e

dT

L

pc

de



• Para duas parcelas de nuvem não

misturadas que não possuem precipitação considerável, o processo termodinâmico pode ser considerado como saturado,

reversível e adiabático.

• Logo a razão de mistura da água total - Q,

como a temperatura potencial equivalente úmida também são conservativas:

2 1

2

1

2

2

1

1

2

2

1

2

1

2

1

1

q q q

m

m

m

m

m

m

Q

m

m

m

Q

m

m

m

Q























Mistura adiabática

• Durante processos de levantamento de uma parcela de ar, as massas de ar podem se

misturar em diferente níveis de pressão e como no caso anterior, nuvens e nevoeiros podem ser formar.

• Tal qual nos processo anterior, a mistura irá ocorrer em um mesmo nível de pressão.

Portanto podemos aplicar o mesmo procedimento de mistura isobárica.

• Sendo que neste caso, elas se deslocam até o nível da mistura através de um processo

• Portanto, elas podem sofrer expansão

adiabática (T) ou compressão adiabática

(T) caso não estejam saturadas ou ainda expansão ou compressão

pseudo-adiabática caso estejam saturadas.

• Dessa maneira, antes de iniciar os cálculos da mistura temos que acompanhar todos

os processos de deslocamento até que a mistura ocorra.



• Durante este processo de mistura

adiabática, tanto a temperatura potencial da mistura como a respectiva umidade

específica podem ser representados pela

média ponderada das massa das parcelas de ar. 2 1 2 1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1







m

m

m

m

m

m

q

m

m

m

q

m

m

m

q

















• Posteriormente, a medida que a coluna de ar estiver totalmente misturada a umidade especifica tenderá a um valor constante dentro da coluna









2 1 2 1

1

z z z z m

dz

M

qdz

M

q





• Usando a aproximação hidrostática

dz

g

dp

g

dz

dp







































1 2 2 1 2 1

1

1

1

P P m P P z z m

g

dp

q

M

q

g

dp

q

M

qdz

M

q

















2 1 z z

g

p

z

dz

M











_







2 1 1 2

1

p p p p m

qdp

p

g

dp

q

p

g

q







2 1

1

p p m

dp

p





o mesmo se aplica para a razão de mistura (w) e a pressão de vapor (e)

• Finalmente quando a coluna estiver totalmente misturada, a variação da temperatura com a altura na coluna

vertical da mistura se aproximará da taxa de variação de temperatura com altura

para um processo adiabático seco, ou seja, d

dz

d







Exemplo

• 2 amostras de ar com mesma massa são misturadas isobaricamente e um nevoeiro se forma. A 1º amostra está com uma

temperatura de 30ºC e 90% de UR enquanto que a 2º amostra tem uma temperatura de 2ºC e UR=80%.

• Assumindo que mistura ocorreu no nível de 1000 mb, determine a temperatura do ar do nevoeiro e o conteúdo de água

líquida em gramos de vapor por quilo de ar.

• Mas como m1 = m2 = m 2 2 1 2 1 2 1 1 T m m m T m m m T     2 2 1 1 2 1 2 1 T T T m m m T m m m T       C Tm 2 15 1 16o 2 1 30 2 1     

Já a pressão de vapor de

Saturação da mistura é

                           _  16 15 , 273 1 15 , 273 1 461 10 5 , 2 exp 11 , 6 1 1 exp ) 16 ( 6 x T To R L e C e v v so o s mb C e_s(16o ) 18,18

2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 e e e m m m e m m m e_m       ) ( 100 e T UR e  _s mb x e e mb x e e s s 648 , 5 06 , 7 8 , 0 ) 2 ( 100 8 , 0 2 205 , 38 45 , 42 9 , 0 ) 30 ( 100 90 1       mb e e e_m 21,93 2 648 , 5 205 , 38 2 2 1      Mas

Nevoeiro: e

_m

> e

_s

(Tm)

• e_s(Tm) = es(16ºC) = 18,18 mb.

• e_m = 21,93 mb

•  e_m > e_s(Tm)

• Dessa maneira, a pressão de vapor do

nevoeiro irá diminuir com a temperatura a medida que a condensação ocorre, e

podemos expressa-la como:



L

pc

dT

• Logo, integramos a equação anterior

desde o estágio inicial da mistura (T_m,e_m) até o estágio que a parcela ficará somente saturada (T*,e*)









* * T Tm p e em

dT

L

pc

de





T Tm



L pc em e*   p * 

Como sabemos que a condensação ira ocorrer até que a parcela fique simplesmente saturada, sabemos que no final e* = es(T*)

• Pela equação de Clausius-Clapeyro es(T*) pode ser expresso como:

























_



*

1

1

exp

)

(

*)

(

T

Tm

R

L

T

e

T

e

v v m s s Lembrando que Lv = 2,5x106 J/kg, Rv = 461 J/kgK e_m = 21,93 mb, es(T_m) = 18,18 mb T_m = 16ºC

• A seguir as 2 equações devem interagir de forma a obter uma solução que

satisfaça e* = es(T*).



T

Tm



L

pc

em

e

*





p

*





























_



Tm

T

R

L

T

e

T

e

v v m s s

1

*

1

exp

)

(

*)

(

Interação

T*(o_{C) e*(mb) e} s(T*) 16,0 21,93 18,18 18,0 20,64 20,85 17,0 21,28 19,55 17,5 20,96 20,19 17,75 20,80 20,52 17,875 20,72 20,68 17,94 20,68 20,77 17,91 20,70 20,73 17,89 20,71 20,70 e_m = 21,93 mb, es(T_m) = 18,18 mb T_m = 16ºC



* 16,0



93 , 21 *   T  L pc e p                 16 15 , 273 1 * 1 exp 18 , 18 *) ( T R L T e v v s

• Agora para calcularmos o conteúdo de

água liquida condensada precisamos saber a qual foi a diminuição da razão de mistura durante este processo de condensação,

logo a quanta de agua líquida condensada é =-(w*-w_m)

• Como , temos que:

•  =7,6x10-4 _{kg/kg = 0,76 g/kg  0,76 ml} 01364 , 0 1000 93 , 21 622 , 0 012875 , 0 1000 70 , 20 622 , 0 *     x w x w m

Lista 2:

Entrega 4/9/2015

Suponha que uma frente fria se desloca

sobre uma região e queremos saber se é possível forma nevoeiro. Para tanto

assuma duas amostras de ar com massas M1 e M2 fossem misturadas

isobaricamente ao nível de 850 hPa. A

parcela 1 tem uma Temperatura de 10ºC e uma razão de mistura de 5,19 g/kg

enquanto que a parcela 2 esta com uma temperatura de 35ºC e umidade relativa de 85,8%.

a) Calcule qual o intervalo de massas (M1 e M2) que possibilita a formação de

nevoeiro.

b) Calcule a temperatura do nevoeiro e

água líquida condensada em litros para a mistura que apresentar a maior

super-saturação.

c) A partir de que valor de umidade relativa a parcela 1 teria que ter para que não

ocorresse saturação durante a mistura. d) A partir de que temperatura a parcela 2

teria que ser aquecida para não termos condensação.

1 1 2 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 1 / 79 , 5 ] / 001 , 0 * [ 93 , 1 30 1 / 03 , 1 _ _ / 93 , 1 , ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )} ( 1 ) ( 1 { ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) )( ( 2 ) )( ( 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 m m T m T m c m c m T c m T c m T cp cpv w cp Kkg J kg kg kJ x c w kgK kJ cp e kgK kJ cpv c w c m c w c m T c w c m T c w c m T T c w c m T c w c m c w c m c w c m T T c w c m T c w c m T c w c m T c w c m T T c w c m T T c w c m p p p p pv pv p pv p pv p pv p pv p pv p pv p pv p pv p pv p pv p pv p pv p pv p                                       Demonstração da expressão de T