Introdução à Geometria Aviso: Versão provisória - pode ter incorreções e erros tipográficos!

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Aviso: Versão provisória - pode ter incorre¸cões e erros tipográficos! 1. Distâncias e reflexões

Consideremos em Rn a estrutura de espa¸co afim usual, isto ´e a dada pela aplica¸c˜ao

Φ : Rn× Rn → Rn tal que

Φ((u1, ..., un), (v1, ..., vn)) = (v1− u1, ..., vn− un)

e suponhamos tamb´_{em que o espa¸co vectorial R}n est´a munido do pro-duto interno usual.

Dados dois pontos distintos P , Q de Rn_{, a distˆ}_{ancia entre P e Q,}

d(P, Q) define-se como

d(P, Q) = ||Q − P ||.

A fun¸c˜_{ao d assim definida no produto cartesiano do espa¸co afim R}n por ele pr´oprio goza das seguintes propriedades, sendo P ,Q, S pontos quaisquer do espa¸co afim Rn_{e u um vector qualquer do espa¸co vectorial}

Rn: 1) d(P, Q) = d(Q, P ). 2) d(P, Q) ≥ 0 e a igualdade d´a-se se e s´o se P = Q. 3) d(P, Q) = d(P + u, Q + u). 4) d(P, S) + d(S, Q) ≥ d(P, Q).

Estas quatro propriedades são consequência imediata das defini¸cões e propriedades de espa¸co afim e de norma de um vector.

Recordando que, dados dois pontos distintos P ,Q de Rn_{, o segmento}

[P Q] de extremidades P e Q ´e o conjunto

[P Q] = {X ∈ Rn: X = P + λ(Q − P ), λ ∈ [0, 1]} temos:

(D.1) Proposi¸c˜_{ao. Sejam P ,Q dois pontos distintos de R}n. Um ponto S de Rn pertence a [P Q] se e s´o se

d(P, S) + d(S, Q) = d(P, Q).

Demonstra¸cão. 1) Seja S ∈ [P Q]. Então, por defini¸cão, existe λ ∈ [0, 1] tal que S = P + λ(Q − P ) e por defini¸cão de distância de dois pontos temos

d(S, P ) = ||S − P || = ||λ(Q − P )|| = λ||Q − P || = λ d(P, Q).

(2)

Al´em disso de S = P + λ(Q − P ) temos

S = Q + (P − Q) + λ(Q − P ) = Q + (1 − λ)(P − Q), donde

d(S, Q) = ||(1 − λ)(P − Q)|| = (1 − λ)||P − Q|| = (1 − λ)d(P, Q). Logo, se S ∈ [P Q], d(P, S) + d(S, Q) = d(P, Q).

2) Sejam P , Q dois pontos distintos e S um ponto tal que d(P, S) + d(S, Q) = d(P, Q).

Ent˜ao temos ||(S − P )|| + ||(Q − S)|| = ||(Q − P )||. Como Q − P = (Q − S) + (S − P ),

pela desigualdade do triˆ_{angulo, temos que existe µ ∈ R, µ ≥ 0 tal que,} digamos,

S − P = µ(Q − S).

Como Q − S = (Q − P ) − (S − P ) temos (1 + µ)(S − P ) = µ(Q − P ) donde S − P = λ(Q − P ), com λ = _1+µµ . Uma vez que µ ≥ 0, temos λ ∈ [0, 1] e logo S ∈ [P Q].♦

(D.2) Proposi¸c˜ao. _{Sejam P e Q dois pontos distintos de R}n_. _O

conjunto

H := {X ∈ Rn : d(X, P ) = d(X, Q)} ´

e um hiperplano de Rn _{(ou seja um subespa¸co afim de dimens˜}_{ao n − 1)}

que passa pelo ponto médio de [P Q] e é perpendicular à recta r definida por P e Q.

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que P = (p1, ..., pn) e Q = (q1, ..., qn).

Ent˜ao H := {X ∈ Rn_{: d(X, P ) = d(X, Q)} =} = {X ∈ Rn_{: ||X − P || = ||X − Q||} =} = {(x1, ..., xn) ∈ Rn :p(x1− p1)2+ ... + (xn− pn)2 =p(x1− q1)2+ ... + (xn− qn)2} = = {(x1, ..., xn) ∈ Rn : (x1− p1)2 + ... + (xn− pn)2 = (x1 − q1)2+ ... + (xn− qn)2}. Ora (x1 − p1)2 + ... + (xn− pn)2 = (x1 − q1)2 + ... + (xn− qn)2 ´e equivalente a 2(q1− p1)x1+ ... + 2(qn− pn)xn+ p21− q21+ ... + p2n− q2n= 0.

Como P 6= Q, (q1− p1, ..., qn− pn) 6= 0 e portanto temos que um ponto

X = (x1, ..., xn) pertence a H se e s´o se (x1, ..., xn) for solu¸c˜ao da

equa¸c˜ao linear 2(q1−p1)x1+...+2(qn−pn)xn+p21−q21+...+p2n−q2n= 0.

Logo H ´e um subespa¸co afim de dimens˜ao n − 1.

Como o subespa¸co vectorial V associado a H ´e definido pela equa¸c˜ao 2(q1− p1)x1+ ... + 2(qn− pn)xn= 0 e a recta definida por P e Q tem

(3)

(q1− p1, ..., qn− pn) temos W⊥ = V , ou seja r e H s˜ao perpendiculares.

♦

(D.3) Defini¸c˜_{ao. Sejam P e Q dois pontos distintos de R}n_{. Ao}

hiper-plano H := {X ∈ Rn_{: d(X, P ) = d(X, Q)} d´}_{a-se o nome de hiperplano}

mediador (ou bissector) do segmento [P Q] (ou de P e Q). No caso de dimensão 2 diz-se que H é a recta mediatriz de [P Q] (ou de P e Q). (D.4) Corolário. Sejam P0, ..., Pn n + 1 pontos independentes de Rn.

Se P, Q s˜ao pontos tais que d(P, Pi) = d(Q, Pi), para i = 0, ..., n ent˜ao

P = Q.

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que P 6= Q. Ent˜ao por (D.2), P0, ..., Pn∈

H onde H ´e o hiperplano mediador do segmento [P Q], donde P0, ..., Pn

n˜_{ao geram R}n _{como subespa¸co afim. ♦}

Observa¸cão Este corol´_{ario diz-nos em particular que em R}2 um ponto fica únicamente determinado pelas suas distâncias a três pontos não colineares e que em R3 um ponto fica únicamente determinado pelas suas distâncias a quatro pontos não complanares.

(D.5) Proposi¸c˜_{ao. Seja H um hiperplano de R}ne P um ponto exterior a H. Então existe um e um só ponto P0 _{tal que H = {X ∈ R}n : d(X, P ) = d(X, P0)}. ( Ao ponto P0dá-se o nome de ponto simétrico de P em rela¸cão a H.)

Demonstra¸cão. Verifiquemos primeiro que se P0 existir é único. Com efeito suponhamos que existiam P1, P2 tais que

H = {X ∈ Rn: d(X, P ) = d(X, P1)} = {X ∈ Rn: d(X, P ) = d(X, P2)}.

Então, pela proposi¸cão (D.3) P1, P2 ∈ r onde r é a única recta

per-pendicular a H que passa por P . Por defini¸cão de H, H passa pelos pontos médios M1, M2 dos segmentos [P P1] e [P P2]. Como r ∩ H é um

´

unico ponto, temos M1 = M2 e logo P1 = P2.

Suponhamos que H passa pelo ponto Q e est´a associado ao subespa¸co vectorial W ou seja que H = Q + W . Como Rn_{= W ⊕ W}⊥_{, qualquer}

vector u de Rn _decomp˜_{oe-se de forma ´}_{unica como u = w + v onde}

w ∈ W e v ∈ W⊥_{. Logo um ponto P de R}n _{escreve-se de forma ´}_unica

como P = Q + w + v, com w ∈ W e v ∈ W⊥, tendo-se que P /∈ H se e s´o v 6= 0.

Suponhamos ent˜ao que P /∈ H, P = Q+w +v, e seja P0 _{= Q+w −v.}

Como v 6= 0, P0 6= P . Dado T ∈ H, existe w1 ∈ W tal que T = Q + w1

e temos d(T, P )2 _{= ||T − P ||}2 _{= ||w}

1 − (w + v)||2 = ||w1 − w||2 −

2(w1 − w) · v + ||v||2 e an´alogamente d(T, P0)2 = ||w1 − (w − v)|| =

||w1 − w||2 + 2(w1 − w) · v + ||v||2. Como (w1 − w) · v = 0, temos

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que estão à mesma distância de P e P0. Pela proposi¸cão anterior A é um hiperplano e logo H = A. ♦

(D.6) Observa¸cão Deve-se notar que se P0 é o ponto simétrico do ponto P em rela¸cão ao hiperplano H então P é o ponto simétrico do ponto P0 em rela¸cão ao hiperplano H.

(D.7) Defini¸c˜_{ao. Seja H um hiperplano de R}n_{. Chama-se reflex˜}_{ao no}

hiperplano H `a aplicac˜ao RH : Rn → Rn tal que RH(S) = ( S, S ∈ H S0, S /∈ H

onde para S /∈ H, S0 _´_{e o ponto sim´}_{etrico de S em rela¸c˜}_{ao a H.}

(D.8) Proposi¸c˜_{ao. Seja H um hiperplano de R}n_{, a passar pelo ponto}

Q e associado ao subespa¸co vectorial W . A reflex˜ao em H, RH, goza

das seguintes propriedades:

i) Se P = Q + w + v, com w ∈ W , v ∈ W⊥, RH(P ) = Q + w − v.

ii) RH ◦ RH = IdRn e em particular RH ´e bijectiva.

iii) Se P, S ∈ Rn, d(P, S) = d(RH(P ), RH(S)).

Demonstra¸cão i) Dado um ponto P , P /∈ H, i) decorre da demonstra¸cão da proposi¸cão anterior. Se P ∈ H, então i) decorre trivialmente de P = Q + w, w ∈ W . ii) é imediato usando i). Usando i) e as propriedades da norma, iii) também é imediato.♦

(D.9) Corol´_{ario. Seja H um hiperplano de R}n_{que passe por (0, ..., 0).}

Considerando a estrutura de espa¸co vectorial de Rn, a aplica¸c˜ao RH ´e

uma transforma¸c˜ao linear.

Demonstra¸cão Por i) da proposi¸cão anterior é imediato que se Q é o ponto (0, ..., 0) então a aplica¸cão RH é uma transforma¸cão linear.♦

(D.10) Corol´ario. Sejam H1, ..., Hm hiperplanos de Rn e RH1, ..., RHm

as reflexões em H1, ...Hm respectivamente. Então a fun¸cão

f = RH1 ◦ ... ◦ RHm

verifica:

i) d(P, Q) = d(f (P ), f (Q)), ∀P, Q ∈ Rn_.

ii) f ´e bijectiva.

(5)

Demonstra¸cão A afirma¸cão i) resulta imediatamente de (D.8), iii) e da defini¸cão de composi¸cão de fun¸cões. As afirma¸cões ii) e iii) resultam de uma reflexão ser bijectiva, de a composi¸cão de fun¸cões bijectivas ser ainda bijectiva e de uma reflexão ser a aplica¸cão inversa de si própria.

♦

(D.11) Defini¸c˜ao. Seja H um hiperplano associado ao espa¸co vectorial W . Um vector u 6= 0 diz-se um vector normal a H se u ∈ W⊥. Se u ∈ W⊥ e ||u|| = 1, u diz-se um vector unit´ario normal a H.

(D.12) Lema. Seja H um hiperplano de Rn _{que passa pelo ponto Q e}

u um vector normal a H. Ent˜_{ao, para todo o X ∈ R}n_,

RH(X) = X − 2

(X − Q) · u u · u u.

Demonstra¸c˜_{ao Seja X um ponto, X = Q + w + λu, com λ ∈ R, w ∈ W .} De RH(X) = Q + w − λu, temos RH(X) = X − 2λu. Como w · u = 0

(w + λu) · u = λ(u · u), obtemos λ = (w+λu)·u_u·u e o resultado. Observa¸c˜ao. Podemos enunciar (D.12) da seguinte forma:

Dado um hiperplano Q + W , a imagem de qualquer ponto X por meio de RH é o ponto X − 2z, onde z é a projeçcão ortogonal de X − Q

num vector normal a H.

O lema (D.12) dá-nos uma forma prática de calcular a expressão anal´ıtica da reflexão num hiperplano.

Exemplo 1. Consideremos em R4 _{o hiperplano H definido (em rela¸c˜}_ao

ao referencial can´onico) pela equa¸c˜ao x − 2z + w = 3.

O subespa¸co W associado a H é definido pela equa¸cão x − 2z + w = 0, donde, porque a base canónica é ortonormada em rela¸cão ao produto interno usual,

W = {(x, y, z, w) ∈ R4 : (x, y, z, w)·(1, 0, −2, 1) = 0} =< (1, 0, −2, 1) >⊥. Dado que

(W⊥)⊥= W, u := (1, 0, −2, 1) ´e um vector normal a H.

Temos também que o ponto Q := (3, 0, 0, 0) ∈ H, dado que as suas coordenadas são solu¸cão de x − 2z + w = 3.

Temos ent˜_{ao, para qualquer X = (x, y, z, w) ∈ R}4, X − Q = (x − 3, y, z, w). Como u · u = 6, usando (D.11), temos

RH(X) = (x, y, z, w) − 2

(x − 3, y, z, w) · (1, 0, −2, 1)

(6)

= (x, y, z, w) − 1 3(x − 3 − 2z + w)(1, 0, −2, 1) = = (x, y, z, w)−(x − 2z + w − 3 3 , 0, −2x + 4z − 2w + 6 3 , x − 2z + w − 3 3 ) = = (2x + 2z − w + 3 3 , y, 2x − z + 2w − 6 3 , −x + 2z + 2w + 3 3 ).

Logo RH ´e a aplica¸c˜ao definida por

RH(x, y, z, w) = ( 2x + 2z − w + 3 3 , y, 2x − z + 2w − 6 3 , −x + 2z + 2w + 3 3 ).

Exemplo 2. Consideremos, em R3_{, o plano}

H := (1, 2, 0)+ < (1, 2, 0), (0, 1, 1) > . Temos

< (1, 2, 0), (0, 1, 1) >⊥_{= {(x, y, z) ∈ R}3 : x+2y = 0 e y+z = 0} =< (−2, 1, −1) > . Logo u := (−2, 1, −1) ´e um vector normal ao plano H, tal que ||u||2 _{= 6.}

Escolhendo agora um ponto Q pertencente a H podemos calcular a expressão anal´ıtica da reflexão em H. Seja Q := (1, 2, 0). Então, para qualquer X = (x, y, z) ∈ R3_{, X − Q = (x − 1, y − 2, z), donde} RH(x, y, z) = (x, y, z) − 2 (x − 1, y − 2, z) · (−2, 1, −1) 6 (−2, 1, −1) = = (−x + 2y − 2z 3 , 2x + 2y + z 3 , −2x + y + 2z 3 ).

Portanto a reflexão no plano H é a aplica¸cão definida por RH(x, y, z) = ( −x + 2y − 2z 3 , 2x + 2y + z 3 , −2x + y + 2z 3 ).

Observa¸cão. Da expressão de RH neste último exemplo verificamos

que RH é uma aplica¸cão linear, o que é justificado pelo facto de o ponto

(0, 0, 0) = (1, 2, 0) − (1, 2, 0) estar em H.

Exemplo 3 Consideremos em R2 _{os pontos P = (1, 1) e Q = (−1, 3).}

Vamos determinar a expressão anal´ıtica da reflexão na recta m medi-atriz de P e Q. O subespa¸co vectorial associado à recta definida por P e Q é o subespa¸co =< (−1, 1) >, donde o vector (−1, 1) ´

e um vector normal a m. Por outro lado o ponto (0, 2) é o ponto médio do segmento [P Q]. Aplicando (D.12) obtemos então, para todo o (x, y) ∈ R2

Rm(x, y) = (x, y) −

2

2((x, y − 2) · (−1, 1))(−1, 1) = (y − 2, x + 2). Observa¸cão. Neste último exemplo deve-se notar que não precisámos de determinar a recta m. Em geral para determinar a expressão anal´ıtica da reflexão no hiperplano H mediador de dois pontos P e Q, basta de-terminar o ponto médio de [P Q] e a dire¸cão da recta l definida por P e Q. Com efeito para aplicar (D.12) basta-nos conhecer um ponto de

(7)

H e um vector normal a H, que neste caso s˜ao dados respectivamente pelo ponto m´edio de [P Q] e por um vector director da recta P Q.

Uma propriedade importante ´e o seguinte:

(D.14) Teorema Sejam P0, ..., Pk k + 1 pontos distintos de Rn, com

k ≥ 1, e Q0, Q1, ...Qk k + 1 pontos de Rn que satisfazem

d(Pi, Pj) = d(Qi, Qj), ∀i, j ∈ {0, 1, ..., k}.

Ent˜ao existe uma aplica¸c˜_{ao f : R}n_{→ R}n tal que:

(i) f é uma reflexão num hiperplano ou uma composi¸cão de k + 1 ou menos reflexões em hiperplanos;

(ii) f (Pi) = Qi, ∀i ∈ {0, 1, ..., k}.

Demonstra¸c˜ao. Notemos primeiro que, se Pi = Qi, ∀i ∈ {0, 1, ..., k}, a

afirma¸c˜ao ´e trivial. Com efeito neste caso toma-se f = Id, observando-se que para qualquer hiperplano H RH ◦ RH = Id.

Vamos fazer a demonstra¸cão por indu¸cão no número r = k + 1 de pontos Pi .

Se r = 2 e P0 = Q0, P1 = Q1, j´a vimos que f = Id satisfaz o

teorema. Suponhamos que P0 6= Q0 ou P1 6= Q1. Sem perda de

generalidade podemos supor que P0 6= Q0. Consideremos a reflex˜ao

RH, onde H ´e o hiperplano mediador de P0 e Q0. Temos RH(P0) = Q0.

Se RH(P1) = Q1, ent˜ao temos uma aplica¸c˜ao como quer´ıamos. Se

RH(P1) 6= Q1, seja G o hiperplano mediador de RH(P1) e Q1. Ent˜ao

Q0 ∈ G. Com efeito, por (D.10), iii) temos

d(P0, P1) = d(RH(P0), RH(P1)).

Assim temos, porque por hip´otese d(P0, P1) = d(Q0, Q1) e porque

RH(P0) = Q0,

d(Q0, Q1) = d(Q0, RH(P1)).

Logo RG◦RH(P0) = Q0e RG◦RH(P1) = Q1, donde a aplica¸c˜ao RG◦RH

´

e uma aplica¸c˜ao como pretend´ıamos.

Suponhamos agora o teorema demonstrado para r pontos e vamos demonstr´a-lo para r + 1 pontos. Sejam ent˜ao P0, ..., Pr r + 1 pontos

distintos de Rn e Q0, ...Qr r + 1 pontos de Rn que satisfazem

d(Pi, Pj) = d(Qi, Qj), ∀i, j ∈ {0, 1, ...r}.

Pela hip´otese de indu¸c˜ao, considerando os r pontos P0, ..., Pr−1 e os r

pontos Q0, ...Qr−1 existe uma aplica¸c˜ao g : Rn→ Rn satisfazendo:

(i) g é uma reflexão ou uma composi¸cão de r ou menos reflexões; (ii) g(Pi) = Qi, ∀i ∈ {0, 1, ..., r − 1}.

Se g(Pr) = Qr, g ´e a aplica¸c˜ao pretendida. Se g(Pr) 6= Qr,

consid-eremos o hiperplano H mediador de g(Pr) e Qr. Ent˜ao Q1, ..., Qr−1 ∈

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{0, 1, ..., r − 1}. Dado que g é uma composi¸cão de reflexões, por (D.10) temos

d(Pi, Pr) = d(g(Pi), g(Pr)), ∀i ∈ {0, 1, ..., r − 1}.

Então, uma vez que pela hipótese de indu¸cão g(Pi) = Qi para i ∈

{0, 1, ..., r − 1}, obtemos

d(Qi, Qr) = d(Qi, g(Pr)), ∀i ∈ {0, 1, ..., r − 1}

e portanto Q1, ..., Qr−1 ∈ H.

Agora ´e imediato verificar que a aplica¸c˜ao f := RH ◦ g verifica i)

e ii) do enunciado do teorema relativamente aos pontos P0, ..., Pr e

Q0, ..., Qr. ♦

Exemplo 4. Consideremos em R2 _{os pontos A = (0, 0), B = (1, 1) e}

os pontos C = (0, 2), D = (−1, 3). Dado que d(A, B) = √2 = d(C, D), pelo teorema (D.14) existe uma reflexão ou composi¸cão de reflexões f tal que f (A) = C, f (B) = D.

Para construir uma tal aplica¸c˜ao f , podemos aplicar o processo usado para a demonstra¸c˜ao deste teorema.

Constroi-se em primeiro lugar a reflex˜ao Rmna recta m mediatriz de

A e C. Se Rm(B) = D, teremos f = Rm. Se Rm(B) 6= D constroi-se

a reflexão na recta l mediatriz de Rm(B) e D e f será a composi¸cão

Rl◦ Rm.

Calculando (utilizando por exemplo (D.12), cf. o exemplo 3) obt´ em-se que

Rm(x, y) = (x, −y + 2),

donde Rm(B) = (1, 1) 6= D. Determinamos ent˜ao a reflex˜ao na recta l

mediatriz de Rm(B) e D. De novo, calculando obtemos

Rl(x, y) = (y − 2, x + 2), ∀(x, y) ∈ R2.

Ent˜ao teremos

Rl◦ Rm(x, y) = Rl(x, −y + 2) = (−y, x + 2), ∀(x, y) ∈ R2.

A aplica¸c˜ao f = Rl◦ Rm satisfaz assim i) de (D.14) e ´e tal que f (A) =

C, f (B) = D.

2. Isometrias

(I.1) Defini¸c˜ao. Uma aplica¸c˜_{ao f : R}n_{→ R}n diz-se uma isometria (ou mo¸c˜_{ao r´ıgida) se para quaisquer pontos P , Q de R}n se tem

d(P, Q) = d(f (P ), f (Q)).

Observa¸c˜ao. Muitos autores definem isometria como sendo uma aplica¸c˜ao bijectiva tal que para quaisquer pontos P , Q de Rn se tem d(P, Q) = d(f (P ), f (Q)). No entanto, como veremos adiante, o facto de uma

(9)

isometria ser bijectiva pode ser demonstrado usando apenas o facto de uma isometria manter a distˆancia entre pontos.

(I.2) Exemplos de isometrias:

Reflexão num hiperplano. A reflexão num hiperplano H é uma isome-tria (ver a proposi¸cão (D.8)).

Pelo corolário (D.10) qualquer composi¸cão de um número finito de reflexões em hiperplanos também é uma isometria.

Transla¸c˜_{oes. Seja v um vector de R}n_{. A aplica¸c˜}_{ao T}

v : Rn → Rn

definida por Tv(P ) = P +v, para todo o ponto P de Rn´e uma isometria

a que se d´a o nome de transla¸c˜ao por meio de v.

Se v = (v1, ..., vn), ent˜ao, para qualquer ponto X = (x1, ..., xn) ∈ Rn,

temos Tv(X) = X + v = (x1+ v1, ..., xn+ vn).

Invers˜_{ao. Seja P um ponto de R}n_{. Qualquer ponto X de R}n pode ser escrito de forma única como X = P + v, onde v é um vector de Rn. A aplica¸cão ρP : Rn → Rn definida por ρP(P + v) = P − v,

para todo o ponto X = P + v de Rn _´_{e uma isometria a que se d´}_a

o nome de inversão de centro em P . Alguns autores chamam à inversão de centro P reflexão em P (não confundir com a reflexão num hiperplano!).

Uma invers˜_{ao (de centro em P ) em R}2 _{chama-se uma meia-volta}

(de centro em P ).

Exemplos. 1) Em R3 a transla¸c˜ao por meio do vector v = (3, −1,1₂) ´

e a aplica¸c˜ao Tv tal que

Tv((x, y, z)) = (x + 3, y − 1, z +

1

2), ∀(x, y, z) ∈ R

3_.

2) Em R3 a inversão de centro em P = (1, 2, 0) faz corresponder a cada ponto X = P + (X − P ) o ponto P − (X − P ) e logo a inversão de centro em P é a aplica¸cão ρP tal que

ρP((x, y, z)) = ρP(1 + (x − 1), 2 + (y − 2), 0 + z)) =

= (1−(x−1), 2−(y −2), −z)) = (−x+2, −y +4, −z), _{∀(x, y, z) ∈ R}3. (I.3) Proposi¸cão. Se f e g s˜_{ao isometrias de R}n então a composi¸cão f ◦ g também é uma isometria.

Demonstra¸cão. Sejam f e g duas isometrias. Dados dois pontos P , Q de Rn temos, porque g é isometria, d(P, Q) = d(g(P ), g(Q)) e, porque f é isometria,

(10)

donde

d(f ◦ g(P ), f ◦ g(Q)) = d(P, Q). Logo f ◦ g ´e uma isometria.♦

Com esta proposi¸c˜ao podemos obter: (I.4) Mais exemplos de isometrias

Reflex˜_{ao com deslize. Se H for um hiperplano de R}n associado ao subespa¸co vectorial W e v 6= 0 for um vector de W `a isometria Tv◦ RH

dá-se o nome de reflexão com deslize ou reflexão deslizante em H por meio de v.

Exemplo. Em R2 é fácil verificar que a reflexão Rr na recta r :=

(0, 0)+ < (0, 1) > ´e a aplica¸c˜ao definida por

Rr((x, y)) = (−x, y), ∀(x, y) ∈ R2.

Então a reflexão com deslize em r por meio do vector v = (0,√2) é a aplica¸cão definida por

Rr((x, y)) = (−x, y +

√

2), _{∀(x, y) ∈ R}2.

(I.5) Proposi¸cão Se H = P + W ´_{e um hiperplano de R}n associado ao subespa¸co vectorial W e v é um vector de W então Tv◦ RH = RH◦ Tv.

Demonstra¸c˜_{ao. Seja X ∈ R}n _{um ponto. Podemos escrever X = P +}

w + u onde w ∈ W, u ∈ W⊥. Por (D.8, i) temos

Tv ◦ RH(X) = Tv(P + w − u) = P + v + w − u.

Por outro lado Tv(X) = P + v + w + u. Dado que v ∈ W , temos que

Tv(X) = P + (v + w) + u, onde v + w ∈ W, u ∈ W⊥, donde, mais uma

vez por (D.8, i),

RH ◦ Tv(X) = P + v + w − u.

Ent˜_{ao, para todo o ponto X ∈ R}n_,

Tv ◦ RH(X) = RH ◦ Tv(X)

e logo

Tv◦ RH = RH ◦ Tv. ♦

(I.6) Defini¸cão. Dada uma aplica¸cão f : A → A de um conjunto A nele próprio, um elemento a diz-se um ponto fixo de f se f (a) = a. Se a é um ponto fixo de f diz-se que f fixa a.

(I.7) Proposi¸c˜ao. Se uma isometria f fixa n + 1 pontos P0,..., Pn que

(11)

Demonstra¸c˜_{ao. Seja X ∈ R}n_{. Como f ´}_{e isometria e f (P}

i) = Pi, ∀i ∈

{0, .., n}, temos

d(X, Pi) = d(f (X), Pi), ∀i ∈ {0, .., n}.

Dado que os pontos P0, ..., Pn geram Rn como espa¸co afim, pela

proposi¸cão (D.4) temos necessáriamente f (X) = X. Logo f = Id. ♦ (I.8) Teorema. Qualquer isometria f de Rn pode ser escrita como composi¸cão de n + 1 ou menos reflexões.

Mais precisamente se f fixar p + 1 pontos que geram um subespa¸co de F de dimensão p < n, f pode ser escrito como composi¸cão de n − p reflexões em hiperplanos H1,...,Hn−p tais que F ⊂ H1∩ ... ∩ Hn−p.

Demonstra¸c˜_{ao. Vamos ver que qualquer isometria de R}n se decompõe como composi¸cão de n + 1 ou menos reflexões. Seja f uma isome-tria e sejam P0, ..., Pn n + 1 pontos que geram Rn como espa¸co afim.

Sendo, para cada i ∈ {0, ..., n}, Qi := f (Pi), temos, porque f ´e

isome-tria, d(Pi, Pj) = d(Qi, Qj), ∀i, j ∈ {0, ..., n}. Assim usando o teorema

(D.14), sabemos que existe uma isometria g, que é uma composi¸cão de n+1 ou menos reflexões tal que g(Pi) = Qi, ∀i ∈ {0, ..., n}. Por (D.10),

g−1 ´e tamb´em uma isometria. Ora g−1◦ f (Pi) = Pi, ∀i ∈ {0, ..., n},

donde por (I.7) g−1◦ f = Id. Daqui temos g ◦ g−1_{◦ f = g ◦ Id ou seja}

f = g. Logo de facto f pode ser escrito como composi¸c˜ao de n + 1 ou menos reflex˜oes.

A segunda parte do teorema pode ser obtida analisando a demon-stra¸c˜ao de (D.14). ♦

Com este teorema podemos reduzir o estudo das propriedades das isometrias ao estudo das propriedades da composi¸c˜ao de reflex˜oes. Temos imediatamente:

(I.9) Corolário. Toda a isometria é bijectiva e a aplica¸cão inversa de uma isometria é uma isometria.

Demonstra¸c˜_{ao Seja f uma isometria de R}n_{. Pelo teorema (I.8) existem}

p hiperplanos H1, ..., Hp, com p ≤ n + 1 tais que

f = RH1 ◦ ... ◦ Hp.

Pela proposi¸cão (D.10) temos que uma composi¸cão de reflexões é uma isometria bijectiva cuja aplica¸cão inversa é também uma composi¸cão de reflexões e logo temos imediatamente o resultado.♦

(I.10) Observa¸c˜ao. Uma vez que Id_Rn ´e uma isometria temos como

consequˆ_{encia de (I.3) e (I.9) que o conjunto de todas as isometrias de R}n algebrizado com a composi¸cão de aplica¸cões é um grupo. Costuma-se indicar este grupo por Iso(Rn).

(12)

De (I.8) tem-se que Iso(Rn_{) ´}_{e gerado pelas reflex˜}_{oes em hiperplanos}

de Rn_.

Este grupo n˜ao ´e comutativo.

(I.11) Proposi¸c˜_{ao. O subconjunto T de Iso(R}n_{) formado por todas}

as transla¸c˜oes ´_{e um subgrupo de Iso(R}n_).

Demonstra¸cão. Dado um grupo G e um subconjunto A ⊂ G, para ver se A é um subgrupo temos de verificar que A 6= ∅, que A é fechado para a opera¸cão do grupo e que A contém todos os inversos de elementos em A.

Neste caso temos T 6= ∅ pois por exemplo a aplica¸cão Id, que é a transla¸cão por meio do vector nulo, pertence a T . Dadas duas transla¸cões Tv, Tw, temos, para qualquer X ∈ Rn,

Tv◦ Tw(X) = Tv(X + w) = X + w + v = Tv+w(X),

pelo que

Tv◦ Tw = Tv+w

e logo T é fechado para a composi¸cão de aplica¸cões.

Analogamente se verifica que T_v−1 = T−v, mostrando que a aplica¸c˜ao

inversa de uma transla¸cão é ainda uma transla¸cão. Logo T ´_{e um subgrupo de Iso(R}n).♦

(I.12) Lema. A imagem de um hiperplano por meio de uma isometria ´

e um hiperplano.

Demonstra¸c˜_{ao. Seja H um hiperplano de R}n. Pela proposi¸c˜ao (D.5), H pode ser descrito como o hiperplano mediador de dois pontos P , P0 ou seja

H = {X ∈ Rn : d(X, P ) = d(X, P0)}. Se f ´e uma isometria temos ent˜ao

f (H) ⊂ H0 _{= {Y ∈ R}n: d(Y, f (P )) = d(Y, f (P0))}.

Logo f (H) está contido no hiperplano H0. Como f−1 é uma isome-tria, temos também f−1(H0) ⊂ H e logo H0 = f ◦f−1(H0) ⊂ f (H) ⊂ H0 donde f (H) = H0 e H = f−1(H0). ♦

(I.13) Proposi¸c˜_{ao. A imagem de um subespa¸co afim F de R}n de dimensão p por meio de uma isometria f é um subespa¸co afim de dimensão p.

Demonstra¸cão. Seja F um subespa¸co afim de dimensão p. Então F é interseçcão de n − p hiperplanos H1∩ ... ∩ Hn−p .

Dada uma isometria f temos ent˜ao f (F ) = f (H1∩ ... ∩ Hn−p). Como

f ´e injectiva f (H1∩ ... ∩ Hn−p) = f (H1) ∩ ... ∩ f (Hn−p). Dado que, pelo

(13)

temos que f (F ) é a interseçcão (não vazia) de n − p hiperplanos e logo f (F ) é um subespa¸co afim de dimensão d maior ou igual a p.

Como f−1 é também uma isometria também F = f−1(f (F )) é um subespa¸co afim de dimensão d0maior ou igual a d. Visto que a dimensão de F é p temos então d = p. ♦

(I.14) Proposi¸c˜_{ao. Toda a isometria de R}n _{fica ´}_unicamente

determi-nada pelas imagens de n + 1 pontos n˜ao contidos num mesmo hiper-plano.

Demonstra¸c˜ao. Temos de mostrar que se f , g s˜_{ao isometrias de R}n_tais

que f (Pi) = g(Pi), i = 0, ..., n, sendo P0,...,Pn n + 1 pontos que geram

Rn como espa¸co afim, ent˜ao f = g. Dado que, por (I.9), g ´e bijectiva, para ver que f = g basta mostrar que g−1◦ f = IdRn.

Uma vez que f (Pi) = g(Pi), temos g−1◦ f (Pi) = Pi, ∀i ∈ {0, ..., n}.

Como g−1 é uma isometria, g−1 ◦ f também o é , donde, por (I.7), g−1◦ f = IdRn .♦

Como casos particulares desta proposi¸c˜ao temos:

(I.15) Proposi¸c˜_{ao. Toda a isometria de R}2 fica únicamente determi-nada pelas imagens de três pontos não colineares.

(I.16) Proposi¸c˜_{ao. Toda a isometria de R}3 _{fica ´}_unicamente

determi-nada pelas imagens de quatro pontos n˜ao complanares.

(I.17) Proposi¸c˜ao. Sejam P0,..., Pn n + 1 pontos que geram Rn como

espa¸co afim e Q0, ..., Qn outro conjunto de n + 1 pontos tais que

d(Pi, Pj) = d(Qi, Qj), ∀i, j ∈ {0, ..., n}. Ent˜ao existe uma ´unica

isome-tria f : Rn_{→ R}n _{tal que f (P}

i) = Qi, ∀i ∈ {0, ..., n}.

Demonstra¸cão. A existência da isometria é o teorema (D.14), enquanto que a unicidade decorre da proposi¸cão (I.14).♦

(I.18) Proposi¸c˜_{ao. Seja f uma isometria de R}n, F um subespa¸co afim de Rne sejam P0, ...Pd d+1 pontos que geram F como subespa¸co afim.

Ent˜ao f (F ) ´e o subespa¸co afim gerado por f (P0), ..., f (Pd).

Demonstra¸c˜ao. Sejam P0, ...Pd d + 1 pontos que geram F como

sube-spa¸co afim e seja F0 ⊂ f (F ) o subespa¸co afim gerado por f (P0), ..., f (Pd).

Suponhamos que F0 6= f (F ). Ent˜ao tamb´em f−1(F0) 6= f−1◦ f (F ) = F . Como f−1 _{◦ f (P}

i) = Pi, ∀i ∈ {0, ..., d}, conclu´ımos que os pontos

P0, ...Pdn˜ao geram F como subespa¸co afim, o que contradiz a hip´otese.

(14)

(I.19) Proposi¸c˜_{ao. Seja f uma isometria de R}n _{que fixa os pontos}

P0, ..., Pd ∈ Rn. Ent˜ao f fixa todos os pontos do subespa¸co afim F

gerado por P0, ..., Pd( ou seja f|F = IdF).

Demonstra¸cão. Pela proposi¸cão (I.18) f (F ) é o subespa¸co afim gerado por f (P0) = P0, ..., f (Pd) = Pd, ou seja F e logo para qualquer ponto

P ∈ F , f (P ) ´e um ponto de F tal que d(P, Pi) = d(f (P ), Pi), para

i ∈ {0, ..., d}. Se f (P ) 6= P , ter´ıamos que F ⊂ H onde H ´e o hiperplano mediador de P e f (P ), o que ´e absurdo, dado que P /∈ H. Logo f (P ) = P e portanto f|F = IdF. ♦

(I.20) Corol´_{ario. Se uma isometria f de R}n _{fixar n pontos P}

0, ...Pn−1

que geram um hiperplano H, então f ou é a identidade ou é a reflexão no hiperplano H.

Demonstra¸c˜ao Suponhamos que f fixa n pontos P0, ...Pn−1 que geram

um hiperplano H e que f 6= Id. Por (I.19) todos os pontos do hiper-plano H definido por P0, ...Pn−1s˜ao pontos fixos de f . Seja S um ponto

tal que S /∈ H. Se S n˜ao pertence a H, como P0, ...Pn−1, S geram Rn

e f não é a aplica¸cão identidade, temos de ter f (S) 6= S. Como f é isometria, e f (P0) = P0,..., f (Pn−1) = Pn−1, temos

d(f (S), P0) = d(S, P0), ..., d(f (S), Pn−1) = d(S, Pn−1)

donde o hiperplano H definido por P0, ...Pn−1 ´e o hiperplano mediador

do segmento [Sf (S)] e portanto f (S) é o ponto simétrico de S em rela¸cão a H.

Logo necessáriamente f é a reflexão no hiperplano H definido por P0, ...Pn−1. ♦

(I.21) Proposi¸c˜ao. _{(i) Seja g : R}n _{→ R}n _{uma isometria tal que}

g(0_Rn) = 0

Rn. Então g é uma aplica¸cão linear ortogonal.

(ii) Rec´ıprocamente qualquer aplica¸c˜ao linear ortogonal g ´e uma isometria.

Demonstra¸c˜_{ao. i) Seja g : R}n _{→ R}n _{uma isometria tal que g(0} Rn) =

0_Rn. Dado que g(0) = 0, e dado que cada ponto X se escreve de uma

´

unica forma como X = 0 + v, podemos considerar g como a aplica¸c˜ao de espa¸cos vectoriais (g : Rn _{→ R}n_{) que a um vector v = X − 0}

faz corresponder o vector g(v) := g(X) − 0. Para ver que g ´e linear ortogonal basta-nos ver que g(u) · g(v) = u · v, para todos os vectores u, v de Rn (ver as notas sobre aplica¸c˜oes ortogonais).

Observemos que, sendo X = 0 + u, Y = 0 + v, se tem ||u|| = d(X, 0), ||v|| = d(Y, 0), ||v − u|| = d(X, Y ). Dado que g ´e isometria e g(0) = 0, temos ent˜ao

||u|| = d(X, 0) = d(g(X), 0) = ||g(u)||, ||v|| = d(Y, 0) = d(g(Y ), 0) = ||g(v)||,

(15)

||v − u|| = d(X, Y ) = d(g(X), g(Y )) = ||g(v) − g(u)||. Ent˜ao temos

(∗) ||v − u||2− ||v||2− ||u||2 = ||g(v) − g(u)||2− ||g(v)||2− ||g(u)||2. Dado que para quaisquer vectores w1, w2 ∈ Rn se tem

−2w1· w2 = ||w1− w2||2− ||w1||2− ||w2||2,

da igualdade (*) obtemos u · v = g(u) · g(v), donde g de facto ´e uma aplica¸c˜ao ortogonal.

ii) Se g : Rn _{→ R}n_´_{e uma aplica¸c˜}_{ao qualquer, ent˜}_{ao podemos considerar}

g como a aplica¸cão que a cada ponto X = 0 + v faz corresponder g(X) = 0 + g(v). Neste caso, como g é ortogonal, g é linear e preserva as normas dos vectores

Dados dois pontos P = 0 + u, Q = 0 + w, temos ent˜ao

d(P, Q) = ||w − v|| = ||g(w − v)|| = ||g(w) − g(v)|| = d(g(P ), g(Q)), pelo que g ´e uma isometria.♦

Observa¸c˜ao. Outra forma de demonstrar que uma isometria g tal que g(0_Rn) = 0

Rn ´e uma aplica¸c˜ao linear ortogonal seria mostrar que g se

escreve como composic˜ao de reflex˜oes em hiperplanos contendo 0_Rn e

usar o facto de uma reflexão num hiperplano que passe por 0 ser uma aplica¸cão ortogonal (ver (D.9)) e o facto de a composi¸cão de aplica¸cões ortogonais ser uma aplica¸cão ortogonal.

(I.22) Corol´ario-Defini¸c˜_{ao. Toda a isometria f : R}n _{→ R}n _{pode ser}

escrita, de forma única, como f = Tv ◦ φ, onde Tv é uma transla¸cão

e φ uma aplica¸cão linear ortogonal. A φ dá-se o nome de aplica¸cão ortogonal associada a f.

Demonstra¸cão. Vejamos primeiro existe no máximo uma decomposi¸cão de f nas condi¸cões pretendidas.

Suponhamos que se pode escrever f = Tv ◦ φ = Tu ◦ ψ, com φ, ψ

aplica¸c˜oes ortogonais. Ent˜ao temos f (0) = Tv(φ(0)) = Tu(ψ(0)). Dado

que φ, ψ são aplica¸cões lineares, φ(0) = ψ(0) = 0 e logo conclu´ımos que u = v. Mas então de Tv◦ φ = Tu◦ ψ temos também φ = ψ.

Portanto existe no máximo uma decomposi¸cão de f como no enun-ciado. Para mostrar a existência, consideremos o ponto f (0) e o vector w = 0−f (0). Então a isometria Tw◦f é tal que Tw◦f (0) = Tw(P ) = 0,

donde por (I.21) a isometria φ := Tw ◦ f ´e uma aplica¸c˜ao ortogonal.

Dado que T−w◦ φ = f , obtemos uma decomposi¸c˜ao como pretendido.

(I.23) Defini¸c˜_{ao. Seja f uma isometria de R}ne φ a aplica¸cão ortogonal associada a f . Diz-se que f é uma isometria directa se det φ = 1 e que f é uma isometria inversa se det φ = −1.

(16)

Observa¸cão. Nalguns contextos, especialmente em F´ısica, dá-se o nome de mo¸cões r´ıgidas ou isometrias apenas às isometrias directas. (I.24) Exemplo 1. Seja v um vector de Rn _{e f := T}

v a transla¸c˜ao por

meio de v. Então a decomposi¸cão de f como em (I.22) é f = Tv◦ Id.

Assim a aplica¸cão ortogonal associada a uma transla¸cão é a aplica¸cão identidade e uma transla¸cão é uma isometria directa.

Exemplo 2. Consideremos a a aplica¸c˜_{ao f : R}2 _{→ R}2_{tal que f (x, y) =}

(6 + y, 3 + x), que é uma isometria. A decomposi¸cão de f como em (I.22) é f = T(6,3) ◦ g, onde g : R2 → R2 é a aplica¸cão tal que

g((x, y)) = (y, x).

Dado que a matriz A de g em rela¸cão à base canónica é A = 0 1 1 0

, temos |A| = −1 e logo f ´e uma isometria inversa.

(I.25) Proposi¸c˜_{ao. Sejam f, g duas isometrias de R}n_{e φ, ψ as aplica¸c˜}_oes

ortogonais associadas a f e g respectivamente. Então: i) dado um vector v = Q − 0, tem-se φ(v) = f (Q) − f (0); ii) dado um vector v = Q − P , tem-se φ(v) = f (Q) − f (P ); iii) a aplica¸cão ortogonal associada a f ◦ g é φ ◦ ψ;

iv) a aplica¸c˜ao ortogonal associada a f−1 ´e φ−1.

Demonstra¸c˜ao. Pela demostra¸c˜ao de (I.22) temos φ = T0−f (0) ◦ f ,

donde, vendo φ como aplica¸c˜ao de espa¸co afim, tem-se para um ponto Q,

φ(Q) = T0−f (0)◦ f (Q) = f (Q) + ((0 − f (0)) = 0 + (f (Q) − f (0))

e logo vendo φ como aplica¸c˜ao de espa¸co vectorial, tem-se para v = Q − 0, φ(v) = (f (Q) − f (0)). Assim temos i) demonstrado.

Quanto a ii) notemos que dado um vector v = Q−P , podemos escrever v = (Q − 0) − (P − 0), donde porque φ ´e linear se tem

φ(v) = φ((Q − 0) − (P − 0)) = φ(Q − 0) − φ(P − 0).

Por i) temos φ(Q − 0) = f (Q) − f (0) e φ(P − 0) = f (P ) − f (0) donde se obt´em φ(v) = (f (Q) − f (0)) − (f (P ) − f (0)) = f (Q) − f (P ). iii) Consideremos a aplica¸c˜ao ortogonal τ associada a f ◦ g. Por i), dado um vector v = Q − 0 temos

τ (v) = f ◦g(Q)−f ◦g(0) = f (g(Q))−f (g(0)) = φ(g(Q)−g(0)) = φ(ψ(v)) = φ◦ψ(v) e logo, como v ´e um vector arbitr´ario, tem-se τ = φ ◦ ψ.

(17)

iv) Consideremos a aplica¸cão ortogonal τ associada a f−1. Como f−1◦ f = Id e a aplica¸cão ortogonal associada à identidade é a própria identidade, de iii) obtemos τ ◦ φ = Id, e logo τ = φ−1.♦

Dado que por (I.25, iii) a aplica¸cão ortogonal associada a uma com-posi¸cão de isometrias é a composicão das aplica¸cões ortogonais asso-ciadas a cada uma das isometrias temos imediatamente o seguinte: (I.26) Corolário. A composi¸cão de isometrias directas é uma isometria directa.

A composi¸cão de um número par de isometrias inversas é uma isometria directa.

A composi¸cão de um número ´ımpar de isometrias inversas é uma isome-tria inversa.

A isometria inversa de uma isometria directa é uma isometria directa. A isometria inversa de uma isometria inversa é uma isometria inversa. (I.27) Corolário. O conjunto de todas as isometrias directas é um subgrupo de Iso(Rn_).

(I.28) Forma normal de uma reflex˜ao. Seja H = P + W um hiperplano de Rn_{. J´}_{a vimos que dado um ponto X = P +w+u, com w ∈}

W, u ∈ W⊥, se tem RH(X) = P + w − u. Por ii) de (I.25) temos ent˜ao

que a aplica¸cão ortogonal φ associada a RH é a aplica¸cão que a cada

vector v = w + u = X − P associa o vector RH(X) − RH(P ) = w − u.

Se B = (e1, ..., en) for uma base de Rn tal que < e1, ..., en−1 >= W e

< en >= W⊥, ent˜ao M (φ; B) =          1 0 ... ... ... 0 0 1 ... ... ... 0 0 0 1 ... ... 0 0 ... ... ... ... 0 ... ... ... ... ... ... 0 ... ... ... 1 0 0 ... ... ... ... −1         

Conclu´ımos assim que detφ = −1 e logo uma reflex˜ao num hiper-plano ´e uma isometria inversa.

Visto que uma transla¸cão é uma isometria directa, conclu´ımos que também qualquer reflexão com deslize é uma isometria inversa.

(I.29) Forma normal de uma aplica¸c˜ao ortogonal. ´

E poss´ıvel demonstrar que se φ : Rn _{→ R}n_´_{e uma aplica¸c˜}_{ao ortogonal,}

então existe uma base B = (e1, ...., en) em rela¸cão à qual a matriz de

(18)

M (φ; B) =            Idp −Ids B1 B2 . . . Bt            onde Idk ´e a matriz identidade k × k, e Bi =

cos θi sin θi − sin θi cos θi onde θi ∈ [0, 2π[, θ 6= π.

Os números p e s podem ser 0 e p é exactamente a multiplicidade geométrica de 1 como valor próprio de φ, s é exactamente a multipli-cidade geométrica de −1 como valor próprio de φ.

(I.30) ˆAngulos geom´etricos e isometrias.

Em Rn uma semi-recta com origem num ponto P a passar por um ponto Q ´e o conjunto

{P + λ−→_{P Q : λ ∈ R, λ ≥ 0}.}

Dados três pontos não colineares P, Q, R o ângulo geométrico de v´_{ertice P definido por Q e R, ∠(QP R), é a união da semi-recta com} origem em P a passar por Q com a semi-recta com origem em P a passar por R. A medida de ∠(QP R), m(∠(QP R)) é definida com sendo o ˆ_{angulo dos vectores ∠(}−→P Q,−→P R).

Tem-se (verificar!):

Proposi¸c˜_{ao. Uma isometria de R}n _{conserva as medidas dos ˆ}_angulos

geom´etricos.

3. Estudo das isometrias de R2

Considerando em R2 a estrutura de espa¸co afim usual com a distˆancia entre pontos definida pela norma dada pelo produto interno usual, va-mos estudar as isometrias de R2. Em primeiro lugar vamos ”traduzir” algumas das proposi¸c˜oes j´_{a estudadas para o caso particular de R}2. Temos:

(J.1) Proposi¸c˜_{ao.(ver (D.4)) Em R}2 um ponto fica únicamente deter-minado pelas suas distâncias a três pontos não colineares.

(19)

(J.2) Proposi¸c˜_{ao.(ver (D.5)) Em R}2_{, para todo o ponto P exterior a}

uma recta r, existe um e um s´o ponto P0 tal que r ´e a mediatriz do segmento [P P0].

(J.3) Proposi¸c˜_{ao. (ver (I.14)) Toda a isometria de R}2 _{fica ´}_unicamente

determinada pelas imagens de trˆes pontos n˜ao colineares.

(J.4) Proposi¸cão. (ver (I.17)) Sejam P0, P1, P2 três pontos não

co-lineares de R2 _{e Q}

0, Q1, Q2 outro conjunto de trˆes pontos tais que

d(Pi, Pj) = d(Qi, Qj), ∀i, j ∈ {0, 1, 2}. Ent˜ao existe uma e uma s´o

isometria g : R2 _{→ R}2 _{tal que g(P}

i) = Qi, ∀i ∈ {0, 1, 2}.

(J.5) Proposi¸c˜_{ao. (ver (I.7) e (I.20) ) Se uma isometria f de R}2 _tem

três pontos fixos não colineares é a identidade. Se tiver dois pontos fixos P ,Q ou é a identidade ou é a reflexão na recta r definida por P , Q.

(J.6) Teorema. (ver (I.8)) Toda a isometria f de R2 _{pode ser escrita}

como composi¸cão de três ou menos reflexões.

(J.7) Corol´_{ario. O grupo das isometrias de R}2 _´_{e gerado pelo conjunto}

das reflex˜oes.

(J.8) Exemplos de isometrias de R2

Transla¸c˜_{oes. (Ver (I.2)) Seja v um vector de R}2. A transla¸cão por meio de v é a aplica¸cão Tv : R2 → R2 definida por Tv(P ) = P + v, para

todo o ponto P de R2 _{e ´}_{e uma isometria directa.}

Se v = (a, b), tem-se Tv((x, y)) = (x + a, y + b), ∀(x, y) ∈ R2. Em

particular se v 6= (0, 0), Tv n˜ao tem pontos fixos.

Reflexão numa recta. A reflexão numa recta l definida em (D.7) é uma isometria inversa.

Por defini¸cão de reflexão, os pontos fixos de Rl são exactamente os

pontos da recta l.

Reflexão com deslize. (ver (I.4)) Se l := P + U e v ∈ U, v 6= 0 então a reflexão com deslize ao longo da recta r por meio de v é a isometria Tv◦ Rl (que é igual a Rr◦ Tv por (I.5)).

A aplica¸cão ortogonal associada a Tv ◦ Rl é a aplica¸cão ortogonal

associada a Rl e portanto uma reflex˜ao com deslize ´e uma isometria

inversa.

Uma reflexão com deslize não tem pontos fixos. O último exemplo é:

(20)

Rota¸cão de centro C e ângulo θ. Consideremos a aplica¸cão or-togonal φ : R2 _{→ R}2_{, cuja matriz em rela¸c˜}_{ao `}_{a base can´}_{onica ´}_e

A = cos θ − sin θ sin θ cos θ

, com θ ∈ [0, 2π[, ou seja a rota¸c˜ao de centro em (0, 0) e ˆangulo θ.

Dado um ponto C definimos agora uma aplica¸c˜_{ao ρ(C, θ) : R}2 _{→ R}2

por

ρ(C, θ)(P ) = C + φ(v), ∀P = C + v, _{com v um vector de R}2_.

Verifica-se fácilmente que ρ(C, θ) é uma isometria (verificar!), a que se dá o nome de rota¸cão de centro em C e ângulo θ.

A rota¸c˜ao ρ(C, π) tem um nome especial: meia-volta de centro em C. Para todo o vector v ∈ R2_{, temos ρ(C, π)(C + v) = (C − v).}

Note-se que uma rota¸cão ρ(C, θ) 6= Id tem um único ponto fixo: o ponto C. Com efeito se P = C + v, v 6= 0, fosse um ponto fixo de ρ(C, θ), ter´ıamos P = C + v = C + φ(v) = ρ(C, θ)(P ) pelo que φ(v) = v. Portanto v seria um vector próprio de φ associado ao valor próprio 1 contra a defini¸cão de φ. Óbviamente a aplica¸cão ortogonal associada a ρ(C, θ) é φ e ρ(C, θ) é uma isometria directa.

Se ρ(C, α) e ρ(C, β) forem duas rota¸cões de centro em C então ρ(C, α) ◦ ρ(C, β) é a rota¸cão de centro em C e ângulo γ onde γ ∈ [0, 2π[ ´

e congruente com α + β , (mod 2π). Com efeito temos por defini¸cão ρ(C, α)◦ρ(C, β)(C+v) = ρ(C, α)(C+φ(v)) = C+ψ(φ(v)) = C+ψ◦φ(v), onde ψ, φ são as aplica¸cões ortogonais tais que

M (ψ; b.c.) = cos α − sin α sin α cos α e M (φ; b.c.) = cos β − sin β sin β cos β Como M (ψ ◦ φ; b.c.) = M (ψ; b.c.) M (φ; b.c.) temos

M (ψ◦φ; b.c.) = cos α cos β − sin α sin β − cos α sin β − sin α cos βα cos α sin β + sin α cos β cos α cos β − sin α sin β

Das igualdades trigonom´etricas obtemos ent˜ao M (ψ ◦ φ; b.c.) = cos(α + β) − sin(α + β) sin(α + β) cos(α + β)

donde temos ρ(C, α)◦ρ(C, β) = ρ(C, γ), onde (

γ = α + β se α + β < 2π γ = α + β − 2π se α + β ≥ 2π Em particular, dado que Id é a rota¸cão de ângulo 0 e centro em C, a

isometria inversa da rota¸cão de centro em C e ângulo θ é a rota¸cão de centro em C e ângulo 2π − θ.

(J.9) Proposi¸c˜_{ao. Se uma isometria f de R}2 tiver um único ponto fixo C, então f é uma rota¸cão de centro C.

(21)

Demonstra¸cão. Suponhamos que f tem um único ponto fixo C e seja φ a aplica¸cão ortogonal associada a f (ver (I.22)). Por defini¸cão de φ e porque f (C) = C temos para todo o Q = C + w, f (Q) = C + φ(w). Necessáriamente φ 6= Id donde, pela defini¸cão de rota¸cão e pela classifica¸cão das aplica¸c˜_{oes ortogonais de R}2, basta-nos mostrar que 1 não é valor próprio de φ. Ora se w fosse um vector próprio associado ao valor próprio 1, ter´ıamos f (C + w) = C + w, donde o ponto C + w seria um ponto fixo de f distinto de C, contradizendo a hipótese de f ter um único ponto fixo.

Logo se f tem um único ponto fixo C, f é uma rota¸cão de centro em C.♦

(J.10) Corol´ario. Se l e m s˜_{ao duas rectas distintas de R}2_concorrentes

num ponto P , então Rl◦ Rm é uma rota¸cão de centro em P .

Demonstra¸cão. Suponhamos que C é ponto fixo de Rl◦ Rm. Então

temos Rl◦ Rm(C) = C e logo porque Rl◦ Rl = Id temos Rm(C) =

Rl(C). Se Rl(C) 6= C temos ent˜ao tamb´em Rm(C) 6= C, pelo que

por defini¸c˜ao de reflex˜ao, ter´ıamos que as rectas distintas m, l seriam ambas as mediatrizes do segmento de extremos C e Rl(C) = Rm(C), o

que ´e absurdo.

Se Rl(C) = C temos ent˜ao tamb´em Rm(C) = C pelo que por

defini¸cão de reflexão C ∈ l e C ∈ m, ou seja C = P . Como P é ponto fixo de Rl◦ Rm temos então que Rl◦ Rm tem o único ponto fixo

P e portanto pela proposi¸cão anterior é uma rota¸cão de centro em P .♦ (J.11) Proposi¸cão. Seja f 6= Id uma rota¸c˜_{ao de R}2 de centro em P e seja m uma recta a passar por P . Então:

i) existe uma recta l a passar por P e tal que f = Rl◦ Rm;

ii) existe uma recta l0 a passar por P e tal que f = Rm◦ Rl0.

Demonstra¸cão i) Seja S um ponto de m, S 6= P . Como f tem P como único ponto fixo, temos f (S) 6= S. Seja l a mediatriz do seg-mento [Sf (S)]. Como f é isometria e f (P ) = P temos que d(P, S) = d(P, f (S)), donde P ∈ l, por defini¸cão de l. Se Rl for a reflexão em

l, por defini¸c˜ao de reflex˜ao temos que Rl(S) = f (S), Rl(f (S)) = S e

Rl(P ) = P .

Consideremos a isometria h := Rl◦ f . Ent˜ao h(P ) = Rl(f (P )) = P

e h(S) = Rl(f (S)) = S, donde h fixa os pontos distintos P e S e

portanto por (J.5) ou h = Id ou h ´e a reflex˜ao na recta definida por P e S, ou seja a recta m.

Como Rl◦ Rl = Id temos de h = Rl◦ f ,

(22)

Se h fosse a aplica¸c˜ao identidade ter´ıamos f = Rl, contradizendo o

facto de f ter um ´unico ponto fixo. Logo h = Rm e f = Rl◦ Rm. Assim

prov´amos a parte i) da proposi¸c˜ao.

Para provar ii) consideremos a isometria f−1. Como f−1 é também uma rota¸cão de centro em P podemos aplicar a parte i) da proposi¸cão a f−1 e à recta m. Assim obtemos que existe uma recta l0 a passar por P e tal que f−1 = Rl0 ◦ R_m. Então temos

f = (f−1)−1 = (Rl0 ◦ R_m)−1 = R−1_m ◦ R−1

l0 .

Dado que a isometria inversa de uma reflexão é a própria reflexão temos então f = Rm◦ Rl0. ♦

(J.12) Proposi¸cão. i) A composi¸cão Rm ◦ Rl de duas reflexões em

rectas paralelas l e m é uma transla¸cão por meio de um vector 2v ortogonal à direçcão das rectas e tal que se P ∈ l, p + v ∈ m.

ii) Dada uma transla¸cão Tv e uma recta l = P + cuja direçcão

´

e ortogonal a v existem rectas m e m0 tais que tal que Tv = Rm ◦

Rl = Rl ◦ Rm0 (onde se l = P + , m = P + 1

2v+ e

m0 = P − 1₂v+ ).

Demonstra¸c˜ao. i) Sejam l, m duas rectas paralelas. Se l = m, Rm◦Rl =

Id e logo Rm ◦ Rl é a transla¸cão pelo vector nulo (que é ortogonal a

qualquer vector de R2_.)

Suponhamos que l 6= m e seja r uma recta perpendicular a l e m. Sejam P e Q respectivamente os pontos de interseçcão de r com l e m. Então consideremos o vector v = Q − P (que é ortogonal ao subespa¸co

(23)

vectorial associado a l e m). Temos

Rm◦ Rl(P ) = Rm(P ) = Rm(Q − v) = Q + v = P + 2v = T2v(P ),

Rm◦Rl(Q) = Rm◦Rl(P +v) = Rm(P −v) = Rm(Q−2v) = Q+2v = T2v(Q).

Consideremos um ponto S, S ∈ l, S 6= P , digamos S = P + u. Ent˜ao

Rm◦Rl(S) = Rm(S) = Rm(P +u) = Rm(Q+u−v) = Q+u+v = S+2v = T2v(S).

Como as imagens dos três pontos não colineares P, Q, S por meio de T2v e por meio de Rm ◦ Rl são as mesmas e uma isometria de R2 fica

unicamente determinada pelas imagens de trˆes pontos n˜ao colineares, (por (J.3)), conclu´ımos que

T2v = Rm◦ Rl.

ii) Para demonstrar ii) basta efectuar os c´alculos. Com efeito, seja l = P + , m = P + 1₂v+ com u · v = 0. Para qualquer ponto X escrito como X = P + λu + w, com w ∈⊥, temos (ver (D.8)) Rl(X) = Rl(P + λu + w) = P + λu − w = P + 1 2v − 1 2v + λu − w. Temos ent˜ao Rm◦ Rl(X) = Rm(Rl(X)) = Rm(P + 1 2v + λu − 1 2v − w) Dado que v ∈⊥ e P +1₂v ∈ m Rm(P + 1 2v+λu− 1 2v−w) = P + 1 2v+λu+ 1 2v+w = P +λu+w+v = X+v Logo de facto Rm◦ Rl = Tv.

An´alogamente se verifica que Rl◦ Rm0 = T_v ♦

Exemplo Seja v = (4, 2) e P = (0, 1). Para decompormos a transla¸c˜ao Tv como Tv = Rl◦ Rm onde m ´e uma recta a passar por P podemos

usar a proposi¸c˜ao anterior.

Dado que < v >⊥=< (−1, 2) >, basta-nos escolher m = P + < (−1, 2) >, l = P +1

2v+ < (−1, 2) >= (2, 2)+ < (−1, 2) > . Se quisessemos decompor Tv como Tv = Rm◦ R0l escolher´ıamos

l0 = P − 1

2v+ < (−1, 2) >= (−2, 0)+ < (−1, 2) > .

(J.13) Proposi¸c˜_{ao. Seja v um vector de R}2, v 6= 0 e l := P + U uma recta de R2. Então Tv◦ Rlé uma reflexão com deslize ao longo da recta

(24)

m paralela a l que passa por P + 1₂v, se v /∈ U⊥_{, e ´}_{e uma reflex˜}_{ao em}

m se v ∈ U⊥.

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que v ∈ U⊥. Ent˜ao por (J.12) podemos escrever Tv = Rm◦ Rl onde m = P + 1₂v + U e logo temos

Tv◦ Rl= Rm◦ Rl◦ Rl= Rm.

Suponhamos que v /∈ U⊥_{. Ent˜}_{ao uma decomposi¸c˜}_{ao de v = u + w}

com u ∈ U , w ∈ U⊥ ´e tal que u 6= 0. Podemos escrever Tv = Tu◦ Tw e

logo

Tv◦ Rl= Tu◦ (Tw ◦ Rl).

Dado que w ∈ U⊥, pela primeira parte da demonstra¸c˜ao Tw◦ Rl ´e a

reflex˜ao na recta

m = P + 1

2w + U = P + 1

2(u + w) + U.

Dado que u 6= 0, u ∈ U , por defini¸c˜ao de reflex˜ao com deslize temos que

Tu◦ (Tw◦ Rl) = Tu ◦ Rm

´

e uma reflex˜ao com deslize. ♦

A proposi¸c˜ao ( J.13) pode ser tamb´em demonstrada da seguinte forma:

Demonstra¸cão alternativa de ( J.13). Se v pertence ao subespa¸co vec-torial U , então, por defini¸cão, Tv ◦ Rl é uma reflexão com deslize (ao

longo da recta l por meio de v).

Suponhamos então que v /∈ U e consideremos a decomposi¸cão v = u + w, com u ∈ U , w ∈ U⊥. Notemos que w 6= 0, pois v /∈ U e que u = 0 se e só v ∈ U⊥. Se m for a recta m := P + 1₂v + U , podemos considerar a isometria g := Tu ◦ Rm. Se u = 0, g é a reflexão Rm

e se u 6= 0 g é a reflexão com deslize ao longo de m por meio de u. Para demonstrar a proposi¸cão basta-nos então mostrar que Tv◦ Rl = g

e para isso, por (J.3), basta-nos ver que as imagens de três pontos não colineares por meio de g e por meio de Tv ◦ Rl são as mesmas.

Consideremos P , outro ponto S ∈ l, digamos S = P + u1 e o ponto

Q := P + 1₂v. Notemos que, como v /∈ U , P, Q, S não são colineares. Além disso, observemos que Q ∈ m, que P = Q − 1₂(u + w) e que S = Q − 1₂(u + w) + u1 = Q + (u1− 1₂(u + w)).

Uma vez que P, S ∈ l, temos Tv◦ Rl(P ) = P + v, Tv◦ Rl(S) = S + v.

Como Q = P + 1₂(u + w), e u · w = 0, Rl(Q) = P +1₂(u − w), donde Tv ◦ Rl(Q) = P + 1 2(u − w) + v = P + u + 1 2v = Q + u. Por outro lado

Tu◦Rm(P ) = Tu◦Rm(Q− 1 2(u+w)) = Tu(Q− 1 2(u−w)) = Q+ 1 2(u+w) = P +v,

(25)

Tu◦ Rm(Q) = Tu(Q) = Q + u, Tu◦Rm(S) = Tu◦Rm(Q+u1− 1 2(u+w)) = Tu(Q+u1− 1 2u+ 1 2w) = Q+u1+ 1 2u+ 1 2w = S+v. Logo Tv◦ Rl= Tu◦ Rm. ♦

(J.14) Teorema de classifica¸c˜_{ao das isometrias de R}2_{. Toda a}

isometria de R2 _´_{e ou a identidade, ou uma reflex˜}_{ao ou uma rota¸c˜}_{ao ou}

uma reflex˜ao com deslize ou uma transla¸c˜ao.

Demonstra¸c˜_{ao. Seja f uma isometria de R}2. Se a isometria f tem mais do que um ponto fixo por (J.5) f ´e ou a identidade, ou uma reflex˜ao.

Se f tiver um único ponto fixo C por (J.9) f é uma rota¸cão.

Suponhamos agora que f n˜ao tem pontos fixos e seja S um ponto, l a mediatriz de [Sf (S)]. Ent˜ao Rl◦ f (S) = S. Observemos que, como

f n˜ao tem pontos fixos, f 6= Rl e portanto Rl◦ f 6= Id. Como Rl◦ f

tem pelo menos o ponto fixo S ou Rl◦ f ´e uma reflex˜ao numa recta m

que passa por S, ou Rl◦ f ´e uma rota¸c˜ao de centro S, ρ(S, θ).

Se Rl ◦ f = Rm, então necessáriamente m e l são rectas paralelas.

Com efeito em R2 _{duas rectas n˜}_{ao paralelas intersectam-se num ponto}

T e logo se m e l n˜ao fossem paralelas de (J.10) ter´ıamos que f = Rl◦Rm

era uma rota¸cão de centro em T , donde T era um ponto fixo de f . Logo m e l são paralelas e portanto por (J.12), f é uma transla¸cão.

Se Rl◦ f = ρ(S, θ), por (J.11), se n ´e a recta paralela a l a passar por

S, existe uma recta t a passar por S tal que ρ(S, θ) = Rn◦ Rt. Ent˜ao

temos f = Rl◦ Rn◦ Rt. Como l e n s˜ao paralelas e l 6= n, por (J.12)

Rl◦ Rn é uma transla¸cão Tv por meio de um vector v 6= 0 ortogonal á

direçcão de n (e l). Observemos que n e t não são paralelas, pois têm um ponto em comum e são distintas. Logo v não é ortogonal à direçcão de t, e portanto, por (J.13), temos que f = (Rl◦ Rn) ◦ Rt = Tv ◦ Rt é

uma reflex˜ao com deslize.♦

Observa¸c˜ao. Existem muitas outras formas de demonstrar este teo-rema.

(J.15) Observa¸c˜ao. Como consequˆencia deste teorema e dos factos estudados anteriormente obtemos as seguinte chaves para classificar as isometrias f 6= Id de R2_:

Isometria é directa sem pontos fixos ⇒ Transla¸cão Isometria é directa com pontos fixos ⇒ Rota¸cão Isometria é inversa com pontos fixos ⇒ Reflexão

(26)

(J.16) Exemplos. 1) Consideremos a isometria f : R2 _{→ R}2 _{tal que} f (x, y) = (3 5x + 4 5y + 2, 4 5x − 3 5y + 1).

A isometria f escreve-se como f = Tv ◦ φ onde v = (2, 1) e φ ´e a

aplica¸c˜ao ortogonal tal que φ(x, y) = (3 5x + 4 5y, 4 5x − 3 5y), ∀(x, y) ∈ R 2 . Vamos determinar os pontos fixos de φ. Temos que

φ(x, y) = (x, y) ⇔ ( 3 5x + 4 5y = x 4 5x − 3 5y = y ⇔ ( 2 5x − 4 5y = 0 4 5x − 8 5y = 0 .

Este sistema é poss´ıvel e indeterminado, donde φ é a reflexão na recta s definida pela equa¸cão 2₅x −4₅y = 0, ou seja a recta (0, 0)+ < (1,1₂) >. Dado que f = T(2,1) ◦ φ e (2, 1) ∈ < (1,1₂) >, f é a reflexão com

deslize ao longo de s por meio do vector (2, 1).

2) Consideremos a isometria f : R2 _{→ R}2 _{tal que}

f ((x, y)) = (−y + 3, −x + 1). Temos que f ((x, y)) = (x, y) ⇔ ( −y + 3 = x −x + 1 = y ⇔ ( x + y = 3 x + y = 1

Como este sistema é imposs´ıvel, f não tem pontos fixos. Dado que a expressão anal´ıtica de f não é da forma f (x, y) = (x + c, y + d) com c, d constantes f não é uma transla¸cão e portanto f é uma reflexão com deslize, donde é poss´ıvel escrever f = Tw◦ Rl, com w um vector

director de l.

Para determinarmos w podemos notar que, uma vez que por (I.5) Tw◦ Rl = Rl◦ Tw, temos que f ◦ f = T2w. Ora

f ◦ f ((x, y)) = f ((−y + 3, −x + 1)) =

= (−(−x + 1) + 3, −(−y + 3) + 1) = (x + 2, y − 2) = T(2,−2)((x, y)).

Conclu´ımos ent˜ao que w = 1₂(2, −2) = (1, −1). De f = Tw◦ Rl ⇔ T−w◦ f = Rl temos ent˜ao que

Rl((x, y)) = (−y + 2, −x + 2). Ent˜ao Rl((x, y)) = (x, y) ⇔ ( −y + 2 = x −x + 2 = y ⇔ ( x + y = 2 x + y = 2

(27)

pelo que a recta l ´e a recta definida pela equa¸c˜ao x + y = 2, ou seja a recta

(2, 0)+ < (−1, 1) > .

Logo f ´e a reflex˜ao com deslize ao longo da recta (2, 0)+ < (−1, 1) > por meio do vector (1, −1).

Observa¸cão. Poder´ıamos ter determinado w e l da seguinte forma. A isometria f escreve-se como f = Tv◦ φ onde v = (3, 1) e φ é a aplica¸cão

ortogonal tal que φ(x, y) = (−y, −x). Temos que

φ(x, y) = (x, y) ⇔ ( −y = x −x = y ⇔ ( x + y = 0 x + y = 0

Então φ fixa todos os pontos da recta r definida pela equa¸cão x+y = 0 ou seja da recta (0, 0)+ < (1, −1) >, pelo que φ é a reflexão em r.

Dado que f = T(3,1) ◦ φ e (3, 1) /∈ < (1, −1) >⊥, por (J.13), f ´e

uma reflex˜ao com deslize ao longo da recta l := (0, 0) + 1 2(3, 1)+ < (1, −1) >= ( 3 2, 1 2)+ < (1, −1) > . Para determinar w, basta observar que se Q in l, Rl(Q) = Q, donde

f (Q) = Tw◦ Rl(Q) = Tw(Q).

Dado que f ((3₂,1₂)) = (5₂,−1₂ ), obtemos w = f (Q) − Q = (1, −1). Logo f ´e a reflex˜ao com deslize ao longo da recta

(3 2,

1

2)+ < (−1, 1) > (= (2, 0)+ < (−1, 1) >) por meio do vector (1, −1).

3) Seja f a rota¸cão de centro em P = (0, 2) e ângulo 3₂π. Dado que a rota¸cão φ de centro em (0, 0) e ângulo φ é definida pela matriz

M (φ; b.c.) = cos 3 2π − sin 3 2π sin3₂π cos3₂π = 0 1 −1 0

temos φ((a, b)) = (b, −a), _{∀(a, b) ∈ R}2, donde para qualquer ponto X = (x, y) ∈ R2 se tem

ρ(P,3

2π)(X) = (0, 2)+φ((x, y−2)) = (0, 2)+(y−2, −x) = (y−2, −x+2). Consideremos a recta m = (3, 2)+ < (1, 0) >. Dado que m passa por P , pela proposi¸c˜ao (J.11) existe uma recta l a passar por P e tal que Rl◦ Rm = ρ(P,3₂π). Para determinarmos a recta l, podemos utilizar

(28)

que l ´e a mediatriz do segmento de extremidades S e ρ(P,3₂π)(S), onde S ∈ l.

Tomando S = (3, 2), temos ρ(P,3₂π)(S) = (0, −1). Então l passa pelo ponto P e dado que é perpendicular à recta definida por S e ρ(P,3₂π)(S) está associada ao subespa¸co vectorial

< (3, 2) − (0, −1) >⊥=< (3, 3) >⊥=< (1, −1) >, ou seja

l = (0, 2)+ < (1, −1) > . Observa¸c˜ao. Neste ´ultimo exemplo temos

∠((1, 0), (1, −1)) = arc cos_{||(1, 0)|| ||(1, −1)||}(1, 0) · (1, −1) = arc cos √ 2 2 = π 4. Como det 1 1 0 −1

= −1 ent˜ao o ˆangulo orientado das duas rectas ´ e ∠or(l, m) = π − π 4 = 3π 4 e 2∠or(l, m) = 3π 2 ´

e o ˆangulo da rota¸c˜ao.

Podemos estudar mais algumas propriedades da composi¸c˜ao de isome-trias:

(J.17) Proposi¸cão. A composi¸cão de duas rota¸cões ρ(C, α) e ρ(D, β) ´

e uma transla¸cão se α + β ≡ 0, (mod 2π) e é uma rota¸cão se α + β 6≡ 0, (mod 2π).

Demonstra¸cão. Em primeiro lugar notemos que ρ(C, α)◦ρ(D, β) é uma isometria directa (ver (I.26)). Logo f := ρ(C, α) ◦ ρ(D, β) é ou uma transla¸cão ou uma rota¸cão. Dado que as aplica¸cões ortogonais associ-adas a ρ(C, α) e ρ(D, β) são as rota¸cões de centro em (0, 0) e ângulos α e β respectivamente, a aplica¸cão ortogonal associada a ρ(C, α)◦ρ(D, β) ´

e a rota¸cão de ângulo γ onde γ ∈ [0, 2π[ é tal que γ ≡ α + β, (mod 2π). Se α + β 6≡ 0, (mod 2π), temos γ 6= 0 e logo f , sendo uma isometria directa, é uma rota¸cão de ângulo γ. Se α + β ≡ 0, (mod 2π), então a

(29)

aplica¸cão ortogonal associada a f é a aplica¸cão identidade e portanto necessáriamente f é uma transla¸cão.♦

(J.18) Corolário A composi¸cão de duas rota¸cões ρ(C, α) e ρ(D, β) com centros em pontos distintos é uma transla¸cão não trivial se α + β ≡ 0, (mod 2π).

Demonstra¸cão. Pela proposi¸cão anterior ρ(C, α)◦ρ(D, β) é uma transla¸cão. Dado que ρ(C, α) ◦ ρ(D, β)(D) = ρ(C, α)(D) 6= D (porque C 6= D e o ´

unico ponto fixo de ρ(C, α) é C), necessáriamente a transla¸cão é não trivial. ♦

(J.19) Corol´_{ario Um subgrupo G de Isom (R}2_{) que contenha duas}

rota¸cões ρ(C, α) e ρ(D, β) com centros em pontos distintos contém necessáriamente uma transla¸cão não trivial.

Demonstra¸cão. Dado que G é subgrupo, G contém em particular ρ(C, α) ◦ ρ(D, β), ρ(C, α)−1◦ ρ(D, β)−1 _{e ρ(C, α) ◦ ρ(D, β) ◦ ρ(C, α)}−1_◦

ρ(D, β)−1.

Se α + β ≡ 0, (mod 2π), o corolário anterior diz-nos que ρ(C, α) ◦ ρ(D, β) é uma transla¸cão não trivial.

Se α+β 6≡ 0 ent˜ao ρ(C, α)◦ρ(D, β) e ρ(C, α)−1◦ρ(D, β)−1_s˜_{ao ambas}

rota¸cões de ângulos respectivamente γ e 2π − γ, onde γ ∈ [0, 2π[ é tal que γ ≡ α +β, (mod 2π), donde ρ(C, α)◦ρ(D, β)◦ρ(C, α)−1◦ρ(D, β)−1

´

e uma transla¸cão (por (J.17)) e além disso é não trivial. Com efeito se esta transla¸cão fosse trivial ter´ıamos

ρ(C, α) ◦ ρ(D, β) ◦ ρ(C, α)−1◦ ρ(D, β)−1 = Id e portanto ρ(C, α) ◦ ρ(D, β) = ρ(D, β) ◦ ρ(C, α). Em particular ter´ıamos ρ(C, α) ◦ ρ(D, β)(D) = ρ(D, β) ◦ ρ(C, α)(D) ⇐⇒ ⇐⇒ ρ(C, α)(D) = ρ(D, β)(ρ(C, α)(D)),

pelo que (ρ(C, α)(D)) seria um ponto fixo de ρ(D, β). Como C 6= D, (ρ(C, α)(D)) 6= D e portanto (ρ(C, α)(D)) n˜ao pode ser um ponto fixo de ρ(D, β). ♦

(J.20) Para conclu´ır vamos apenas enumerar v´arias propriedades das isometrias de R2 _{que decorrem f´}_{acilmente dos factos anteriormente}

es-tudados:

1) Se f é uma isometria tal que a aplica¸cão ortogonal associada é a identidade, f é uma transla¸cão.

(30)

2) Se f é uma isometria cuja aplica¸cão ortogonal associada é uma rota¸cão de ângulo θ e centro em (0, 0) então f é uma rota¸cão de centro nalgum ponto D e ângulo θ.

3) O centro C de uma rota¸c˜ao f pertence `a mediatriz de [Xf (X)], para qualquer ponto X ∈ R2_{, X 6= C.}

4)Qualquer transla¸c˜ao Tv pode ser escrita como Tv = ρC ◦ ρD onde

ρC, ρD s˜ao meias-voltas de centros em pontos C, D tais que C − D = 1

2v. Al´em disso um dos dois pontos C ou D pode ser escolhido

ar-bitr´ariamente.

4. Alguns subgrupos do grupo das isometrias de R2

Subgrupo gerado por uma transla¸cão não trivial. Consideremos uma transla¸cão Tv por meio de um vector v 6= 0. Temos que Tv−1 = T−v

e o conjunto

Tv = {Tvm : m ∈ Z}

(em que Tm

v , para m < 0 ´e T −m

−v ) é um subgrupo que contém Tv e é o

menor subgrupo que cont´em Tv, ou seja ´e o subgrupo gerado por Tv.

Notemos que Tv ´e um conjunto infinito numer´avel.

Subgrupo gerado por uma reflex˜ao. Dada uma reflex˜ao Rl, como

R−1_l = Rl, temos que o conjunto {Id, Rl} ´e um subgrupo.

Subgrupo gerado por uma rota¸cão. Consideremos uma rota¸cão ρ de centro em C e ângulo θ. Temos que ρn _{= ρ(C, nθ) e ρ}−1 ₌

ρ(C, 2π − θ). Se o subgrupo c´ıclico gerado por ρ ´e finito, ent˜ao existem m1, m2 ∈ Z tais que ρm1 = ρm2 e logo existe n ∈ Z tal que ρn = Id.

Como ρn_{= ρ(C, nθ), temos nθ = 2kπ, para algum k ∈ Z e logo θ ´e um}

múltiplo racional de 2π. Reciprocamente, se θ é um múltiplo racional de 2π, o subgrupo c´ıclico gerado por ρ é finito.

Subgrupo gerado por uma reflex˜ao com deslize. Seja G = Tv◦

Rm = Rm ◦ Tv uma reflex˜ao com deslize ao longo de uma recta m

por meio do vector v. Temos G−1 = T−v ◦ Rm = Rm ◦ T−v e G2 =

(Tv◦ Rm) ◦ (Rm◦ Tv) = T2v e logo o subgrupo gerado por G ´e infinito

porque cont´em o subgrupo gerado por T2v.

Subgrupos finitos. Suponhamos que G ´e um subgrupo finito do grupo das isometrias de R2_{. G n˜}_{ao pode conter nenhuma transla¸c˜}_{ao, nem}

nenhuma reflexão com deslize porque qualquer destas isometrias gera um subgrupo infinito. Pela mesma razão G só pode conter rota¸cões de ˆ

angulo θ em que θ seja um m´ultiplo racional de 2π.

Suponhamos que G contém rota¸cões. Se G 6= {Id}, então G contém uma rota¸cão não trivial, ρC,α. Suponhamos que ρD,β é outra rota¸cão

(31)

em G tal que D 6= C. Então G sendo um subgrupo contém ρ−1_C,α◦ ρ−1_D,β◦ ρC,α◦ ρD,β, que é uma transla¸cão não trivial. Como G é finito, isto é

imposs´ıvel e portanto toda a rota¸cão de G tem centro C. Seja então φ, com 0 < φ o menor ângulo tal que ρC,φ ∈ G e seja ρC,ψ outra rota¸cão de

G, com ψ > φ. Vê-se fácilmente que ψ tem de ser um múltiplo inteiro de φ e logo todas as rota¸cões de G pertencem ao subgrupo c´ıclico gerado por ρC,φ.

Em particular um subgrupo finito que só contenha rota¸cões é um grupo c´ıclico de ordem n gerado por uma rota¸cão.

Suponhamos agora que o subgrupo finito G cont´em pelo menos uma reflex˜ao R e sejam ρ, ..., ρn _{as rota¸c˜}_{oes distintas de G.}

Como ρ ◦ R, ρ2◦ R, ..., ρn_{◦ R s˜}_{ao isometrias inversas, e G n˜}_{ao cont´}_em

reflex˜oes com deslizes por ser finito, conclu´ımos que as n isometrias ρ ◦ R, ρ2◦ R, ..., ρn_{◦ R s˜}_{ao reflex˜}_{oes. Portanto G cont´}_{em pelo menos n}

reflex˜oes.

Sejam R1, ...Rm as reflex˜oes de G, em que m ≥ n. Dado que

R1◦ R1, R2◦ R1, ..., Rm◦ R1 s˜ao isometrias directas em G, temos que

necess´ariamente

{R1◦ R1, R2◦ R1, ..., Rm◦ R1} = {ρ, ..., ρn}

pelo que m = n.

Logo G = {ρ, ..., ρn, ρ ◦ R, ρ2◦ R, ..., ρn_{◦ R}} _e _{G ´e exactamente o}

grupo gerado por uma rota¸c˜ao e uma reflex˜ao, que se chama um grupo diedral.

Acab´amos de dar uma demonstra¸c˜ao informal do:

Teorema de Leonardo Todo o subgrupo finito do grupo das isome-trias de R2 ´e um grupo c´ıclico ou um grupo diedral.

Observa¸c˜ao O nome Leonardo vem de Leonardo da Vinci, que estudou simetrias em rela¸c˜ao com problemas de arquitectura.