ATIVIDADES COMPLEMENTARES DE MATEMÁTICA
Professores: Lavínia Ferreira
Alexandre Fonseca
Turmas: 1º Anos Semana PET: 1 e 2
Volume PET: 3 Páginas:12-22
Equação do Segundo Grau
A equação do segundo grau recebe esse nome porque é uma equação polinomial cujo termo de maior grau está elevado ao quadrado. Também chamada de equação quadrática, é representada por: ax2 + bx + c = 0
Numa equação do 2º grau, o x é a incógnita e representa um valor desconhecido. Já as letras a, b e c são chamadas de coeficientes da equação.
Os coeficientes são números reais e o coeficiente a tem que ser diferente de zero, pois do contrário passa a ser uma equação do 1º grau.
Resolver uma equação de segundo Grau, significa buscar valores reais de x, que tornam a equação verdadeira. Esses valores são denominados raízes da equação.
Uma equação quadrática possui no máximo duas raízes reais. Equações do 2º Grau Completas e Incompletas
As equações do 2º grau completas são aquelas que apresentam todos os coeficientes, ou seja a, b e c são diferentes de zero (a, b, c ≠ 0).
Por exemplo, a equação 5x2 + 2x + 2 = 0 é completa, pois todos os coeficientes são diferentes de zero (a = 5, b = 2 e c = 2).
Uma equação quadrática é incompleta quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0. Por exemplo, a equação 2x2 = 0 é incompleta, pois a = 2, b = 0 e c = 0
Atividade - Exemplo
1)Determine os valores de x que tornam a equação 4x2 - 16 = 0 Solução:
A equação dada é uma equação incompleta do 2º grau, com b = 0. Para equações deste tipo, podemos resolver, isolando o x. Assim:
Note que a raiz quadrada de 4 pode ser 2 e - 2, pois esses dois números elevados ao quadrado resultam em 4.
Assim, as raízes da equação 4x2 - 16 = 0 são x = - 2 e x = 2 Fórmula de Bhaskara
Quando uma equação do segundo grau é completa, usamos a Fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação.
A fórmula é apresentada abaixo: X= −𝑏±√∆
Fórmula do Delta
Na fórmula de Bhaskara, aparece a letra grega Δ (delta), que é chamada de discriminante da equação, pois de acordo com o seu valor é possível saber qual o número de raízes que a equação terá.
Para calcular o delta usamos a seguinte fórmula:
∆= 𝑏² − 4. 𝑎. 𝑐 Passo a Passo
Para resolver uma equação do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara, devemos seguir os seguintes passos:
1º Passo: Identificar os coeficientes a, b e c.
Nem sempre os termos da equação aparecem na mesma ordem, portanto, é importante saber identificar os coeficientes, independente da sequência em que estão.
O coeficiente a é o número que está junto com o x2, o b é o número que acompanha o x e o c é o termo independente, ou seja, o número que aparece sem o x.
2º Passo: Calcular o delta.
Para calcular as raízes é necessário conhecer o valor do delta. Para isso, substituímos as letras na fórmula pelos valores dos coeficientes.
Podemos, a partir do valor do delta, saber previamente o número de raízes que terá a equação do 2º grau. Ou seja, se o valor de Δ for maior que zero (Δ > 0), a equação terá duas raízes reais e distintas. Se ao contrário, delta for menor que zero (Δ < 0), a equação não apresentará raízes reais e se for igual a zero (Δ = 0), a equação apresentará somente uma raiz.
3º Passo: Calcular as raízes.
Se o valor encontrado para delta for negativo, não precisa fazer mais nenhum cálculo e a resposta será que a equação não possui raízes reais.
Caso o valor do delta seja igual ou maior que zero, devemos substituir todas as letras pelos seus valores na fórmula de Bhaskara e calcular as raízes.
Exercício Resolvido
Determine as raízes da equação 2x2 - 3x - 5 = 0 Solução:
Para resolver, primeiro devemos identificar os coeficientes, assim temos: a = 2
b = - 3 c = - 5
Agora, podemos encontrar o valor do delta. Devemos tomar cuidado com as regras de sinais e lembrar que primeiro devemos resolver a potenciação e a multiplicação e depois a soma e a subtração.
Δ = (- 3)2 - 4 . (- 5) . 2 = 9 +40 = 49
Como o valor encontrado é positivo, encontraremos dois valores distintos para as raízes. Assim, devemos resolver a fórmula de Bhaskara duas vezes. Temos então:
X1=−(−3)+√49 2.2 X1=+3+7 4 = 10 4= 5 2 X2=−(−3)−√49 2.2 = +3−7 4 = −4 4 = −1
Assim, as raízes da equação 2x2 - 3x - 5 = 0 são x = 5/2 e x = - 1. Agora é sua vez!!
1)Resolva a equação de segundo grau completa, utilizando a Fórmula de Bhaskara: 2 x2 + 7x + 5 = 0
2) Resolva as equações incompletas do segundo grau: a) 5x2 – x = 0
b) 2x2 – 2 = 0 c) 5x2 = 0
3) Para que x = 1 seja raiz da equação 2ax2 + (2a2 - a - 4) x - (2 + a2) = 0, os valores de a deverão ser: a) 3 e 2 b) - 1 e 1 c) 2 e - 3 d) 0 e 2 e) - 3 e – 2 4) Coltec - UFMG - 2017
Laura tem de resolver uma equação do 2º grau no “para casa”, mas percebe que, ao copiar do quadro para o caderno, esqueceu-se de copiar o coeficiente de x. Para resolver a equação, registrou-a da seguinte maneira: 4x2 + ax + 9 = 0. Como ela sabia que a equação tinha uma única solução, e esta era positiva, conseguiu determinar o valor de a, que é
a) – 13 b) – 12 c) 12 d) 13
5)Epcar – 2017
Considere, em ℝ, a equação (m+2) x2 - 2mx + (m - 1) = 0 na variável x, em que m é um número real diferente de - 2.
Analise as afirmativas abaixo e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA). ( ) Para todo m > 2 a equação possui conjunto solução vazio.
( ) Existem dois valores reais de m para que a equação admita raízes iguais. ( ) Na equação, se ∆ >0 , então m só poderá assumir valores positivos. Função quadrática ou função do 2º grau
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Vejamos alguns exemplos
de funções quadráticas: • f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 • f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 • f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 • f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0 • f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0
• Gráfico
• O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.
• Por exemplo, vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
• Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
x y -3 6 -2 2 -1 0 0 0 1 2 2 6 Observação:
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
• se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
• se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; Zeros ou raízes da função do 2º grau
Chamam-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.
Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
Observação:A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber:
• quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;
• quando é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);
• quando é negativo, não há raiz real. ATIVIDADE
1)Encontre o valor de f(x) = x² + 3x – 10 para que f(x) = 0 2)Calcule o valor de 5x² + 15x = 0 para que f(x) = 0
3) UfSCar–SP) Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = – 2t² + 8t (t ≥ 0) , onde t é o tempo medido em
segundo e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, apos o chute, o instante em que a bola retornará ao solo.
4) Calcule o valor de k de modo que a função f(x) = 4x² – 4x – k não tenha raízes, isto é, o gráfico da parábola não possui ponto em comum com o eixo x.
5)(UCSal-BA) _Determine os pontos de intersecção da parábola da função f(x) = 2x² – 3x + 1, com o eixo das abscissas.
6)Assinale a alternativa correta a respeito do gráfico de uma função do segundo grau.
a) Quando o discriminante de uma função do segundo grau é positivo e ela possui ponto de máximo, o valor do coeficiente a também é positivo.
b) Quando o discriminante de uma função do segundo grau é negativo e ela possui ponto de máximo, pode-se afirmar, com certeza, que ela possui 2 raízes reais.
c) Quando o discriminante de uma função do segundo grau é negativo e ela possui ponto de mínimo, pode-se afirmar, com certeza, que o coeficiente a é negativo.
d) Quando o discriminante de uma função do segundo grau é igual a zero, pode-se encontrar duas raízes reais e distintas para ela.
e) Quando o discriminante de uma função do segundo grau é positivo e ela possui ponto de mínimo, o valor do coeficiente a é positivo.
