AVALIAÇÃO DO ERRO DA IMPLEMENTAÇÃO ELETRÔNICA DE MAPAS DISCRETOS

(1)

AVALIAC

¸ ˜

AO DO ERRO DA IMPLEMENTAC

¸ ˜

AO

ELETR ˆ

ONICA DE MAPAS DISCRETOS

Bruna Caroline Ferreira Bruno de Paula Ossalin Paiva

GCOM - Grupo de Controle e Modelagem UFSJ - Universidade Federal de S ˜ao Jo ˜ao del-Rei

SBAI

(2)

Introduc¸ ˜ao

O objetivo deste projeto é a implementaç ão de um circuito eletr ônico que reproduza o comportamento do mapa log´ıstico. Circuitos como esse, permitem a investigaç ão anal ógica de mapas discretos, s ão tamb ém úteis em v árias aplicaç ões, tais como, geraç ão de n úmeros aleat órios e criptografia.

(3)

Mapa log´ıstico

O mapa log´ıstico definido por May (1976):

xn+1= rxn(1 − xn) (1)

em que 0 ≤ xn≤ 1 e 0 ≤ r ≤ 4. É uma funç ão discreta n ão linear

ou funç ão recursiva que tem mapas unidimensionais e que possui um diagrama de bifurcaç ão baseado no estudo da estabilidade dos seus pontos fixos.

(4)

Mapa Log´ıstico

Para evitar erros em pequenas tens ˜oes de sinais:

X= 10.x (2)

Λ = 2,5.λ (3)

onde x é a vari ável de estado e λ o par âmetro de controle . Logo,

X_k+1=Λ.Xk(10 − Xk)

25 (4)

(5)

Sunnel (2006)

Diagrama de blocos de uma poss´ıvel implementaç ão anal ógica do mapa log´ıstico:

Figura 1:Diagrama de blocos do circuito. Fonte: Sunnel (2006)

(6)

Diagrama de blocos

(7)

Circuito Eletr ˆonico do Mapa log´ıstico

Figura 3:Circuito subtrator baseado no Amplificador Operacional 741.

(8)

Diagrama de blocos

(9)

Circuito Eletr ˆonico do Mapa log´ıstico

Figura 5:Primeiro circuito multiplicador AD633AR.

(10)

Diagrama de blocos

(11)

Circuito Eletr ˆonico do Mapa log´ıstico

Figura 7:Circuito amplificador de ganho 4 baseado no Amplificador Operacional 741.

(12)

Diagrama de blocos

(13)

Circuito Eletr ˆonico do Mapa log´ıstico

Figura 9:Segundo circuito multiplicador AD633AR.

(14)

Resultados

Regi ˜oes 1 2 3 4 5 6 Λ (Circuito) 3,750 5,000 6,250 7,5 7,750 8,000 X₀(circuito) 6,667 5,370 4,000 3,3329 3,200 3,100 λ (real) 1,5 2 2,5 3 3,1 3,2 x0 (real) 0,6666 0,5 0,4 0,3333 0,3225 0,3125 X₁(circuito) 3,36 5,006 6,038 6,71 6,791 6,891 x1 (real) 0,3333 0,5000 0,6000 0,6666 0,6791 0,6875 Erro (%) 0,8 0,12 0,63 0,65 0,25 0,23

Tabela 1:Resultados das simulac¸ ˜oes feitas no circuito e comparativo com os resultados anal´ıticos. x0=_λ1

(15)

Resultados

Regi ˜oes 1 2 3 4 5 6 Λ (Circuito) 3,750 5,000 6,250 7,5 7,750 8,000 X1(circuito) 3,36 5,006 6,0380 6,71 6,791 6,891 λ (real) 1,5 2 2,5 3 3,1 3,2 x₁ (real) 0,3333 0,5000 0,6000 0,6666 0,6774 0,6875 X2(circuito) NC NC NC NC 6,802 6,903 x2 (real) 0,3333 0,5000 0,6000 0,6666 0,6774 0,6875 Erro (%) - - - - 0,41 0,41

Tabela 2:Resultados das simulac¸ ˜oes feitas no circuito e comparativo com os resultados anal´ıticos. x0= x1

(16)

Agradecimentos

Aos presentes,

CAPES, CNPq/INERGE, FAPEMIG e à Universidade Federal de S ão Jo ão del-Rei pelo apoio.

Contato:

[email protected]

(17)

Construc¸ ˜ao de modelos afins por partes por meio

de t écnicas de classificaç ão e m´ınimos quadrados

ponderados

Orientador Prof. Gleison Fransoares Vasconcelos Amaral Aluna Carolina Ferreira Dutra de Resende

Evento 7 de marc¸o de 2017

(18)

Introduc¸ ˜ao

Sistemas f´ısicos s ˜ao intrinsecamente n ˜ao-lineares .

Todo sistema possui uma limitaç ão f´ısica e matem ática que o conduz à n ão-linearidade.

Modelos lineares de sistemas f´ısicos podem ser obtidos por meio de linearizaç ões em torno de pontos de operaç ão.

Modelos n ˜ao-lineares: modelos globais e modelos com estrutura por partes.

Modelos com estrutura por partes.

Estimaç ão de par âmetros e n úmeros de submodelos locais. T écnicas de classificaç ão e m´ınimos quadrados ponderados.

(19)

Objetivos

Pesquisar, estudar e selecionar pacotes computacionais Escolher e definir informaç ões din âmicas relevantes Construç ão de modelos afins por partes

Comparaç ão dos resultados (transiç ão suave e transiç ão brusca)

(20)

Metodologia

Sistemas-teste Sistema de Chua

Sistema de R össler Modelos afins por partes Linearizaç ão e classificaç ão M´ınimos quadrados ponderados Validaç ão dos modelos obtidos

(21)

Plano de trabalho

1oetapa:Revis ˜ao bibliogr ´afica

Caracterizaç ão de sistemas ca óticos Obtenç ão de mapas de primeiro retorno Obtenç ão do maior expoente de Lyapunov

Caracterizaç ão dos sistemas de Chua e de R össler

2oetapa:Modelos afins por partes para os sistemas de Chua e

R ¨ossler

M étodo de classificaç ão mais adequado

T écnicas de classificaç ão combinada com m´ınimos quadrados ponderados

(22)

Disponibilidade de recursos existentes

Recurso computacional: Matlab

(23)

Agradecimentos

Aos presentes,

Ao orientador Gleison Fransoares Vasconcelos Amaral

Contato:

[email protected]

(24)

An ´alise Intervalar no Modelo Baseado em

Indiv´ıduos via Simulac¸ ˜ao Monte Carlo

Denise Fonseca Resende

Semin ´ario 07 de marc¸o de 2017

(25)

Introduc¸ ˜ao

Sistema Complexo ´e um conjunto de partes conectadas.

Epidemia ´e um sistema complexo1.

Sistema epidemiol ´ogico e sua import ˆancia.

Figura 1:Combate ao Aedes aegypti.

1_{Epidemia é a alteraç ão de uma ou mais caracter´ısticas em um n úmero} significativo de indiv´ıduos de uma populaç ão.

(26)

Sistemas Epidemiol ´ogicos

Epidemiologia Matem ´atica2.

Pass´ıveis de se entender, modelar e controlar. Classificac¸ ˜ao dos indiv´ıduos em estados.

Modelos SIR (Suscet´ıvel, Infectado e Recuperado) e MBI (Modelo Baseado em Indiv´ıduos).

2_{E o estudo das causas, din ˆamica e controle dos efeitos nocivos provocados por}´ parasitas (por exemplo, v´ırus, bact ´erias, v´ırus de computador) a uma comunidade (por exemplo, de seres humanos, de animais, ou um conjunto de computadores).

(27)

An ´alise Intervalar

Limitac¸ ˜oes f´ısicas no computador.

Erros de arredondamentos devido a func¸ ˜oes recursivas levam a resultados duvidosos.

Norma IEEE 7543 _{é uma aproximaç ão dos n úmeros reais.}

Norma IEEE de aritm ética intervalar, representaç ão de n úmeros em intervalos4_.

3_{Institute of Electrical and Electronic Engineering - IEEE (2008). IEEE Std} 754-2008, Standard for Floating-Point Arithmetic, IEEE.

4_{Institute of Electrical and Electronic Engineering - IEEE (2015). IEEE Standard for} Interval Arithmetic, IEEE.

(28)

Modelo Baseado em Indiv´ıduos

MBI com caracter´ısticas do modelo SIR:

Suscept´ıveis (S): indiv´ıduos que podem contrair a doença. Infectados (I): indiv´ıduos que podem transmitir a doença. Recuperados (R): indiv´ıduos que se recuperaram da doença e n ão est ão sujeitos a nova contaminaç ão.

(29)

Premissas Epidemiol ´ogicas MBI:

1 _{Populac¸ ˜ao constante – d = µ;}

2 _{Caracter´ısticas do indiv´ıduo – n caracter´ısticas;}

3 _{Categoria do indiv´ıduo – 0,1 e 2;}

4 _{Distribuic¸ ˜ao estat´ıstica – Exponencial;}

5 _{Processo de infecc¸ ˜ao – Contato;}

6 _{Mudanc¸a de categoria:}

0,1,2 → 0 (Morte); 0 → 1; 1 → 2; 0 → 2.

(30)

Representaç ão Matem ática do MBI

Um indiv´ıduo ´e representado por:

Im,t= [C1, C2, C3,...,Cn] (1)

Cncaracter´ıstica do indiv´ıduo.

A populaç ão é representada por:

Pt= [I1,t I2,t I3,t ... Im,t]T (2)

Im,t ´e um indiv´ıduo no instante t.

P ´e uma matriz m x n.

O MBI foi Simulado 400 vezes (Monte Carlo).

(31)

Figura 2:Modelo Baseado em Indiv´ıduos com o β Intervalar.

(32)

Pr ´oximos Passos

Todos os par ˆametros intervalares; β , γ e µ ;

β sazonal;

Variac¸ ˜oes do SIR;

(33)

Agradecimentos

Aos presentes,

Contato:

[email protected]

(34)

Determinac¸ ˜ao de Estruturas de Redes Neurais

Greiciely Aparecida dos Santos

(35)

Introduc¸ ˜ao

Sistemas din âmicos n ão-lineares. Identificaç ão de sistemas.

Redes Neurais (Perceptron de Multicamadas).

Figura 1:Rede PMC com din ˆamica externa.

(36)

Objetivo

Determinar estruturas de redes neurais a partir de dados, dentro do contexto de identificaç ão de sistemas din âmicos n ão-lineares.

(37)

Metodologia

Narendra, K. S. e Parthasarathy, K. (1990) Estrutura 1:

y(k + 1) = Σn−1_i=0αiy(k − i) + g[u(k), u(k − 1), · · · , u(k − m + 1)] (1)

Estrutura 2:

y(k + 1) = f [y(k), y(k − 1), · · · , y(k − n + 1)] + Σm−1_i=0 βiu(k − i) (2)

(38)

Metodologia

Estrutura 3:

y(k + 1) = f [y(k), y(k − 1), · · · , y(k − n + 1)]+

g[u(k), u(k − 1), · · · , u(k − m + 1)] (3)

Estrutura 4:

y(k + 1) = f [y(k), y(k − 1), · · · , y(k − n + 1);

u(k), u(k − 1), · · · , u(k − m + 1)] (4)

Toolbox ”Neural network based system identification” (Norgaard, 1997)

(39)

Metodologia

Sistemas Testes

Sistema 1:

y(k + 1) = 0,3y(k) + 0,6y(k − 1) + 0,6sin(πu) + 0,3sin(πu)+

0,1sin(5πu) (5)

Sistema 2:

y(k + 1) = y(k)y(k + 1)[y(k) + 2,5]

1 + y(k)2_{+ y(k − 1)}2 + u(k) (6)

(40)

Metodologia

Sistema 3: y(k + 1) = y(k) 1 + y(k)2+ u 3_(k) ₍₇₎ Sistema 4:

y(k + 1) = y(k)y(k − 1)y(k − 2)u(k − 1)[y(k − 2) − 1] + u(k) 1 + y(k − 2)2_{+ y(k − 1)}2

(8)

(41)

Metodologia

Sistema 5: Oscilador de Duffing-Ueda

Figura 2:Circuito do oscilador de Duffing-Ueda.

¨y + 0,1˙y + y3= u (9)

(42)

An ´alise

Projeto de sinais de entrada. Ru´ıdo.

(43)

Agradecimentos

Aos presentes,

GCOM e à Universidade Federal de S ão Jo ão del-Rei pelo apoio.

Contato:

[email protected]

(44)

,

C ´alculo do expoente de Lyapunov a partir de um

experimento magnetoel ´astico

H ´elder Gasparino Mattos Filho

Semin ´ario GCOM 7 de marc¸o de 2017

(45)

Introuc¸ ˜ao

Expoentes de Lyapunov s ão uma ferramenta para detectar o caos e mensurar o qu ão um sistema diverge, caso seja ca ótico.

Sistemas ca óticos evoluem no tempo com comportamento aperi ódico, tem alta depend ência do seu estado atual e mudanças abruptas de comportamento.

O experimento magnetoel ´astico foi proposto por Moon e Holmes, autores do artigo ’A Strange Magnetoelastic Attractor”

(46)

Objetivos

Calcular e encontrar o expoente positivo de Lyapunov, constatando o sistema como ca ´otico.

Construir o experimento magnetoelastico feito por Moon e Holmes.

Analisar e comparar os resultados encontrados a partir das simulaç ões e c álculos do expoente, com o sistema din âmico presente no experimento constru´ıdo.

(47)

Expoente de Lyapunov

Feito a partir de simulaç ões computacionais, que esbarra na limitaç ão de representaç ão num érica nos computadores.

Simulaç ões de sistemas din âmicos feitas sem o devido cuidado, podem mostrar resultados que nao condizem com o real

comportamento do mesmo.

Torna-se ent ão necess ário a atenç ão com os erros de simulaç ão, como os de arredondamento.

(48)

Expoente de Lyapunov

A partir dos problemas de simulaç ão, Nepomuceno e Martins propuseram o conceito do limite inferior do erro. Seguindo o mesmo, as simulaç ões podem atingir um nivel de precis ão elevado.

Com o conceito do limite inferior do erro, foi possivel aperfeic¸oar o c ´alculo do maior expoente de Lyapunov.

M ´etodo utilizado no projeto ser ´a o encontrado no artigo de Mendes e Nepomuceno ’A very simple method to calculate the (positive) Largest Lyapunov Exponent using interval extensions’.

(49)

Expoente de Lyapunov

Para o c álculo dos expoentes a partir do modelo proposto por Nepomuceno, s ão necess árias as equaç ões din âmicas do sistema. Essas ser ão retiradas diretamente do artigo de Moon e Holmes, para garantir a modelagem correta do sistema din âmico. As equaç ões que regem o sistema din âmico do experimento foram encontradas a partir de t écnicas e teoremas avançados, explic á-las e utiliz á-las para encontrar as equaç ões dinamicas foge do escopo do projeto.

(50)

Experimento Magnetoesl ´astico

O experimento consiste em uma haste de ferro fixada entre dois im ãs permanentes por meio de um braço que mantem a mesma centrada e equidistante em relaç ão aos im ãs. O efeito dos campos magn éticos na haste de ferro provocam o movimento no mesmo eixo que est ão os im ãs.

Para a construç ão do experimento, pretende-se seguir o modelo feito por Moon e Holmes em, ’A Megnetoelastic strange attractor’, para garantir que as equaç ões que ser ão utilizadas no c álculo do maior expoente de Lyapunov descrevem o sistema.

(51)

Experimento Magnetoel ´astico

Figura 1 - Representc¸ ˜ao do experimento magnetoelastico de Moon e Holmes

(52)

Conclus ˜ao

Com a construç ão do experimento, ser á poss´ıvel ’visualizar’ o caos.

O expoente positivo de Lyapunov que pretende sser encontrado, confirmar á o sistema din âmico que modela o experimento como ca ótico.

Pode se assim trac¸ar o paralelo entre o que foi constru´ıdo e o que foi calculado/simulado.

(53)

Validac¸ ˜ao de Modelos NARX polinomiais aplicada a

Sistemas com Histerese

Igor Carlini Silva Samir Angelo Milani Martins

Semin ´ario do GCOM 07 de marc¸o de 2017

(54)

Introduc¸ ˜ao

Histerese apresenta um comportamento quase est ático; Mec ânica dos s ólidos, motores el étricos, sistemas biom édicos, atuadores, sensores, biologia, ecologia e psicologia;

Persist ência de uma laço entrada-sa´ıda; Sinal de excitaç ão peri ódico;

Problemas em modelagem matem ´atica e controle de sistemas.

(55)

Introduc¸ ˜ao

Modelagem caixa-cinza: conhecimento f´ısico do processo e dados obtidos.

Estrutura limitante de pontos de equil´ıbrio1.

¯y(φ ) =

Σφ+Σ0

1−Σy−Σyφ, para φ = 1 carga

−Σφ+Σ0

1−Σy+Σyφ, para φ = −1 descarga

!

(1)

y₍k) = 0,9yk−1+ 0,5φk−1 (2)

1_{Martins, S.A.M., Modelos Auto regressivos para Representac¸ ˜ao de Sistemas com} Histerese,UFMG,2016

(56)

Estrutura Limitante de pontos de Equil´ıbrio

(a) Histerese w = 1. (b) Histerese w = 0,1.

Figura 1:Variaç ão da frequ ência na simulaç ão da histerese.

(57)

IEEE 754

Arredondamento para baixo: round(x−) = x−

Arredondamento para cima: round(x+) = x+

Arredondamento para o mais pr ´oximo: round(x) serve tanto para x− ou x+

(58)

Modelo de Bouc-Wen

y₍k) = 0,8536yk−1+ 0,0388u3k−1+ 0,6143u2k−1u1k−1 (3)

−0,4407u3k−1u2k−1yk−1

y = força u1 = tens ão u2 = velocidade u3 = multi funç ão

(59)

IEEE 754

Tabela 1:Pontos flutuantes do modelo Bouc-Wen.

It ∞ 0,5 −∞ 1 2,518940000000001 2,518940000000000 2,518940000000000 2 1,812093497582756 1,812093497582757 1,812093497582756 3 2,146677092338126 2,146677092338125 2,146677092338124 4 1,995039778986962 1,995039778986961 1,995039778986961 5 2,068822614947903 2,068822614947903 2,068822614947902 6 2,038575000894518 2,038575000894518 2,038575000894517

(60)

IEEE 754

Figura 2:Modelo de Bouc-Wen.

(61)

Proposta

Propor um m étodo de validaç ão para modelos quase est áticos fazendo uso do conceito de estrutura limitante de pontos de equil´ıbrio. Al ém de utilizar aspectos previstos na norma IEEE 754.

(62)

Agradecimentos

Aos presentes,

Contato:

[email protected]

(63)

Topologias para construc¸ ˜ao do Circuito de Chua:

Uma an álise da construç ão do indutor e diodo de

Chua

Lucas Giovani Nardo Erivelton Geraldo Nepomuceno

(64)

Introduc¸ ˜ao

O circuito desenvolvido por Leon O. Chua, exibe comportamento n ão linear, e foi desenvolvido com o prop ósito de simular os mais diversos comportamentos ca óticos.

O Circuito de Chua é constitu´ıdo por componentes lineares, à exceç ão do diodo de Chua.

Figura 1:Esquema do Circuito de Chua.

(65)

Introduc¸ ˜ao

As equac¸ ˜oes (1) descrevem o Circuito de Chua.

C1 dvC1 dt = vC2− vC1 R − id(v1) C2 dvC2 dt = vC1− vC2 R + iL (1) LdiL dt = −vC2,

(66)

Conceitos Preliminares

A corrente do diodo de Chua id ´e regido pelas seguintes

equac¸ ˜oes, id(v1) =    m₀v₁+ Bp(m0− m1) v1< −Bp m1v1 |v1| ≤ BP m0v1+ Bp(m1− m0) v1> Bp

em que Bp, m0e m1s ão o ponto de quebra e as inclinaç ões,

respectivamente, da func¸ ˜ao linear por partes.

Figura 2:Esquema do Circuito de Chua.

(67)

Conceitos Preliminares

H ´a diversas formas de simular o Circuito de Chua.

Podendo gerar diferentes topologias.

(68)

Diodo de Chua

O diodo de Chua pode ser implementado de maneira proposta por Matsumoto.

Figura 3:Topologia proposta por Matsumoto para o diodo de Chua

(69)

Diodo de Chua

Outra forma de simular o diodo de Chua ´e o proposto por Kennedy.

Figura 4:Topologia proposta por Kennedy para o diodo de Chua

(70)

Indutor

Al ´em de estudar o circuito com o indutor montado de maneira tradicional, ´e poss´ıvel simular um indutor a partir da ponte de Antoniot.

Figura 5:Indutor simulado a partir de amplificadores operacionais.

(71)

Alguns Resultados

Atrator Duplo.

Figura 6:Comportamento obtido para R = 1600Ω

(72)

Alguns Resultados

Tens ˜ao no diodo de Chua X tempo mostrando a natureza aperi ´odica do sistema.

Figura 7:Comportamento ca ´otico obtido para R = 1600Ω e diodo de Matsumoto.

(73)

Alguns Resultados

Tens ˜ao no diodo de Chua X tempo mostrando a natureza aperi ´odica do sistema para o diodo proposto por Kennedy.

Figura 8:Comportamento ca ´otico obtido para R = 1600Ω e diodo de Kennedy.

(74)

Objetivos para a IC

Medir o expoente de Lyapunov a partir do m ´etodo de Wolf et al.1

para cada topologia.

A partir do m ´etodo de Mendes e Nepomuceno2, com duas

medidas da tens ão no diodo de Chua para a mesma condiç ão inicial, espera-se que fatores externos influenciem na resposta final, obtendo o expoente de Lyapunov do sistema.

1_{Wolf, Alan, et al. ”Determining Lyapunov exponents from a time series.”Physica D:} Nonlinear Phenomena 16.3 (1985): 285-317.

2_{Mendes, Eduardo MAM, and Erivelton G. Nepomuceno. ”A Very Simple Method to} Calculate the (Positive) Largest Lyapunov Exponent Using Interval

Extensions.”International Journal of Bifurcation and Chaos 26.13 (2016): 1650226.

(75)

Agradecimentos

As ag ˆencias financiadoras CAPES, FAPEMIG, CNPq.

A Universidade Federal de S ˜ao Jo ˜ao del-Rei.

Aos presentes.

(76)

Contato

Lucas Giovani Nardo - [email protected]

Erivelton Geraldo Nepomuceno - [email protected]

(77)

Uma avaliaç ão rigorosa da intermit ência no mapa

log´ıstico por meio do limite inferior do erro

Erivelton Geraldo Nepomuceno Marcella N. Resende de Oliveira

DINCON 07 de marc¸o de 2017

(78)

Introduc¸ ˜ao

Intermit ˆencia

Prop ósito: Determinar exist ência ou inexist ência de intermit ência com a precis ão computacional utilizada e at é quantas iteraç ões isso ocorre.

(79)

Conceitos preliminares

Mapa log´ıstico

xn+1= rxn(1 − xn) (1)

Ponto fixo Teorema

Se f (x∗) = x∗, ent ˜ao x∗ ´e um ponto fixo de f (x).

Lower Bound Error Teorema

Sejam duas pseudo- ´orbitas ˆxa,n e ˆxb,nderivadas de duas extens ˜oes

intervalares.

δα ,n=

|ˆxa,n− ˆxb,n|

2 (2)

´e o limite inferior do erro do mapa f (x) quando δa,n≥ δα ,nou δb,n≥ δα ,n.

(80)

Metodologia

1 _{Determinaç ão das extens ões intervalares;}

x(k + 1) = r · x(k) − r · (x(k))2 (3)

y(k + 1) = r · y(k) · (1 − y(k)) (4)

2 _{Determinaç ão do conjunto de par âmetros r e condiç ões iniciais a}

serem avaliados. Neste caso ser á utilizado o par âmetro r= 3,8283 e quatro condiç ões iniciais diferentes x01= 0,3,

x02= 1/r, x03= 300/341 e x04= 1904/6365;

3 _{C ´alculo do lower bound error:}

δα ,n=

|ˆxa,n− ˆxb,n|

2 ;

4 _{An álise qualitativa das duas pseudo- órbitas;} 5 _{C álculo do tempo m áximo de simulaç ão.}

(81)

Resultados

Figura 1:Simulac¸ ˜ao de (1), com r = 3,8283 e x0= 0,3.

Figura 2:Evoluç ão do erro da simulaç ão de (1), com r = 3,8283 e x0= 0,3.

(82)

Resultados

Figura 3:Simulac¸ ˜ao de (1), com r = 3,8283 e x0= 1/r.

Figura 4:Evoluç ão do erro da simulaç ão de (1), com r = 3,8283 e x0= 1/r.

(83)

Resultados

Figura 5:Simulac¸ ˜ao de (1), com r = 3,8283 e x0= 300/341.

Figura 6:Evoluç ão do erro da simulaç ão de (1), com r = 3,8283 e x0= 300/341.

(84)

Resultados

Figura 7:Simulac¸ ˜ao de (1), com r = 3,8283 e x0= 1904/6365.

Figura 8:Evoluç ão do erro da simulaç ão de (1), com r = 3,8283 e x0= 1904/6365.

(85)

Tempo m áximo de simulaç ão

Tabela 1:Tempo m áximo de simulaç ão em que o fen ômeno da intermit ência pode ser observado.

x0 n

0,3 240

1/r entre 80 e 200

300/341 60

1904/6365 70

(86)

Conclus ˜ao

O comportamento intermitente ´e dependente de x0;

Ele se apresenta de diferentes formas quando a condiç ão inicial é modificada;

Apresenta-se na forma de erro num érico ou inconsist ência matem ática quando a interseç ão entre os intervalos de iteraç ões consecutivas é diferente de conjunto vazio, ou seja, n ão é

poss´ıvel afirmar que s ˜ao resultados diferentes;

Uma vez que a simulaç ão de equaç ões matem áticas equivalentes gera resultados alternadamente laminares e ca óticos, a

confiabilidade da simulaç ão é afetada.

(87)

Agradecimentos

Agradecemos ao CNPq/INERGE, à Universidade Federal de S ão Jo ão del-Rei e aos membros do Grupo de Controle e Modelagem (GCOM) pelo apoio.

Contato:

[email protected]

(88)

Representaç ões da Aritm ética Intervalar

M ´arcia Luciana da Costa Peixoto Erivelton Geraldo Nepomuceno

(89)

Introduc¸ ˜ao

Simulaç ões Num éricas; Imprecis ões Num éricas; Aritm ética Intervalar;

Reduc¸ ˜ao da largura do intervalo.

(90)

Aritm ´etica Intervalar

Um intervalo pode ser definido como: X= [X, X].

As operaç ões intervalares s ão definidas como:

X+ Y = [X + Y, X + Y], (1)

X− Y = [X − Y, X − Y], (2)

X· Y = [min (S), max (S)], (3)

onde S é o conjunto {XY,XY, XY, XY}. Se Y n ão cont ém o n úmero zero, ent ão o quociente X/Y é dado por

X/Y = X · (1/Y), (4)

onde 1/Y = [1/Y,1/Y].

(91)

Aritm ´etica Intervalar

Exemplo

Seja as seguintes extens ˜oes intervalares:

G(X) = rX(1 − X) (5)

L(X) = rX− rX2_. ₍₆₎

Se r = 3.5 e X = [0.1,0.25], ent ˜ao tem-se:

G([0.1,0.25]) = 3.5[0.1,0.25](1 − [0.1,0.25])

= [0.2625,0.7875],

L([0.1,0.25]) = 3.5[0.1,0.25] − 3.5([0.1,0.25]2)

= [0.1312,0.8400].

(92)

Aritm ´etica Intervalar

Um intervalo pode ser obtido equivalentemente pelo seu raio e ponto m ´edio:

mid(X) =X+ X

2 ,

r(X) =X− X

2 .

As operaç ões intervalares de adiç ão, subtraç ão s ão definidas como:

X+ Y = [Xm+ Ym, Xr+ Yr], (7)

X− Y = [Xm− Ym, Xr− Yr]. (8)

(93)

Forma do Valor M ´edio

Seja uma funç ão f (z) sobre um intervalo X, detonado como f (X), a forma do valor m édio1 é dada por:

fm(X) = f (y) + f0(X)(X − y), (9)

onde y ∈ X, sendo seu ponto m ´edio.

1_{Moore, R. E. and Moore, R. E. (1979). Methods and appli-cations of interval} analysis, volume 2. SIAM.

(94)

Forma do Valor M ´edio: Mapa Log´ıstico

O mapa Log´ıstico descrito por May2, ´e dado por:

xn+1= r · xn· (1 − xn) n≥ 0. (10)

Aplicando a forma do valor m ´edio3em 10, tem-se:

Xn+l= r · (yn(1 − yn) + (1 − 2Xn) · (Xn− yn)), (11)

onde Xn ´e o intervalo e xn,

e yn ´e o ponto m ´edio de Xn.

2_{May, R. M. (1976). Simple mathematical models with verycomplicated dynamics.} Nature, 261(5560):459–67.

3_{Lohner, R. J. (1993). Interval arithmetic in staggered cor-rection format. Scientific} Computing with Automatic Result Verification,volume 189 of Mathematics in Science and Engineering,pages 301 – 321. Elsevier.

(95)

Forma do Valor M ´edio: Mapa Log´ıstico

0 5 10 15 20 25 30 35 −1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 n X n+1 (a) 0 5 10 15 20 25 30 35 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 n X n+1 (b)

Figura 1: Simulac¸ ˜ao do Mapa Log´ıstico por meio do Intlab 5_{, com x} 0= 0.6

e r = 3.6. (a) Simulaç ão de acordo com a Equaç ão (10). (b) Simulaç ão de acordo com a forma do valor m édio, apresentada em (11).

4_{Rump, S. (1999). INTLAB - INTerval LABoratory. InCsendes, T., editor,} Develop-ments in Reliable Computing,pages 77–104. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.

5_{Rump, S. (1999). INTLAB - INTerval LABoratory. InCsendes, T., editor,} Develop-ments in Reliable Computing,pages 77–104. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.

(96)

Objetivo

Compreender como a forma de escrever as Equac¸ ˜oes interferem no armazenamento;

E, como é poss´ıvel obter um intervalo menor e mais confi ável por meio de como s ão armazenados os intervalos.

(97)

Agradecimentos

Aos presentes,

Contato:

[email protected]

(98)

Note on improvement precision of recursive function

simulation in floating point standard

Silva, M.R. Nepomuceno, E.G.

Martins, S.A.M.

Semin ´ario GCOM 07 de marc¸o de 2017

(99)

Introduc¸ ˜ao

Implementaç ão de funç ões matem áticas em hardware; Limitaç ão de algoritmos;

Sistemas din âmicos de comportamento ca ótico; Erros e ru´ıdo em simulaç ões.

(100)

Introduc¸ ˜ao

Ideia do artigo:

Considerando que os erros de arredondamento s ão uniformemente distribu´ıdos, apresentamos a base necess ária a compreens ão das diretrizes do algoritmo, de um m étodo, que melhora a precis ão da simulaç ão computacional de funç ões recursivas. Para provar a efici ência da estrat égia proposta, trazemos exemplos do caso do mapa log´ıstico.

(101)

Fundamentac¸ ˜ao

Definiç ão 1: Uma orbita é uma sequ ência de valores de um mapa,

representada por

xn= [x0,x1,...,xn].

Definiç ão 2: Seja i ∈ N representa uma pseudo- órbita, isto pode ser

definido por uma condiç ão inicial e uma combinaç ão de software e hardware. Uma pseudo- órbita é uma aproximaç ão de uma órbita e pode ser representada por

{ˆxi,n} = [ˆxi,0,ˆxi,1, . . . ,ˆxi,n] (1)

tal que,

| xn− ˆxi,n|≤ ξi,n (2)

onde ξi,n∈ R ´e o erro e ξi,n≥ 0.

(102)

M étodo de Reduç ão de erros

Lema 3:

Seja ˆx−_i,n and ˆx+_i,n seja o valor calculado para o arredondamento infinito negativo e arredondamento para o infinito positivo, respectivamente. A m ´edia aritm ´etica dada por

ˆxj,n=

ˆx+_i,n+ ˆx−_i,n

2 (3)

tal que ˆxj,n= f (ˆxj,n−1) + δj,n, apresenta um pequeno erro de

arredondamento menor que para o arredondamento para o mais pr ´oximo, assim n → ∞, therefore δj,n< ξi,n.

(103)

M étodo de Reduç ão de erros

Prova Assumindo Eq. (3), considerando que ˆx−_i,n= f (ˆxj,n−1) + δ_i,n− e

ˆx+_i,n= f (ˆxj,n−1) + δi,n+, ent ˜ao:

ˆxj,n= f(ˆxj,n−1) + δ_i,n−+ f (ˆxj,n−1) + δ_i,n+ 2 ⇒ ˆxj,n= 2f (ˆxj,n−1) + δ_i,n−+ δ_i,n+ 2 (4) and ˆxj,n= f (ˆxj,n−1) + δ_i,n−+ δ_i,n+ 2 (5)

(104)

Figura 1:Algoritmo da metodologia base.

(105)

Exemplos Num ´ericos

Seja o mapa log´ıstico dado por:

xn+1= rxn(1 − xn), (6)

onde a condiç ão inicial e o valor de bifurcaç ão r s ão represenados em cada exemplo.

(106)

Exemplo 1

(107)

Exemplo 2

0 5 10 15 20 25 n -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 Error

Figura 2:Erro de propagaç ão para o caso do mapa log´ıstico considereando r= 3.9 e x0= 0.01. Em azul o m étodo tradicional e em vermelho a

metogologia proposta.

(108)

Exemplo 3

(109)

Agradecimentos

Aos presentes,

Contato:

me rodrigues [email protected]

(110)

Three steps to chaos - Part I: Evolution

Gleison Fransoares Vasconcelos Amaral Paula de Souza Pinto

DINCON 07 de marc¸o de 2017

(111)

Introduc¸ ˜ao

”Linearizar: ent ˜ao analisar” ”Atrator estranho”

Muitos sistemas complexos apresentam comportamento que pode ser descrito por modelos de baixa ordem

Teorema de bifurcaç ões de Hopf 2-D, usado para prever o in´ıcio da oscilaç ão em sistemas de ordem superior

Quando as previs ões do modelo dimensional inferior falham em observaç ões experimentais é que mais elementos parasitas s ão adicionados ao modelo.

(112)

Introduc¸ ˜ao

Circuito de Chua ´

Unico para o qual a presenc¸a do caos foi estabelecida experimentalmente e comprovada matematicamente

Assim como o circuito RLC paralelo é o sistema de menor ordem que pode modelar o inicio da oscilaç ão em um sistema din âmico, o circuito de Chua é o sistema de menor ordem capaz de capturar a rica din âmica n ão peri ódica de sistemas de ordem superior.

(113)

Objetivo

Introduzir a teoria de circuitos como uma extens ão l ógica e trivial da teoria linear de circuitos que permite estudar conceitos n ão lineares simples. Assim, mostramos como o circuito ressonante linear RLC evolui atrav és de dois circuitos lineares de segunda ordem no circuito de Chua.

(114)

Metodologia

O artigo analisou tr ˆes tipos de circuitos antes de chegar no circuito Chua:

1 _{RLC linear paralelo}

2 _{RLC paralelo adicionando um resistor n ˜ao linear em paralelo}

3 _{RLC n ão linear em s érie com resistor n ão linear}

(115)

1 - RLC linear paralelo

O circuito RLC linear é um mau modelo de oscilaç ão sustentada na natureza, esse argumento é utilizado para motivar a

introduc¸ ˜ao da teoria de circuito linear por partes

(116)

1 - RLC linear paralelo

O circuito RLC paralelo é caracterizado por um par de equaç ões diferenciais ordin árias e um estado inicial.

A oscilaç ão senoidal no estado estacion ário no circuito linear RLC n ão é um fen ômeno estruturalmente est ável.

(117)

2 - RLC paralelo adicionando um resistor n ˜ao linear

em paralelo

Foi adicionado uma n ão linearidade a parte resistiva do circuito, a fim de produzir oscilaç ão peri ódica sustentada. A extens ão mais natural da teoria linear para o mundo de circuitos n ão lineares é atrav és da modelagem linear por partes. Assim, modificamos o circuito RLC paralelo, adicionando um resistor n ão linear NR.

(118)

2 - RLC paralelo adicionando um resistor n ˜ao linear

em paralelo

A an álise fragmentada é o meio pelo qual o espaço de estados de um sistema din âmico n ão linear é dividido em um conjunto de regi ões afins separadas que podem ser estudadas isoladamente e depois “coladas ao longo de suas fronteiras”.

(119)

3 - RLC n ão linear em s érie com resistor n ão linear

Desta vez, em vez de colocar a resist ência n ão linear NR em paralelo com R, n ós a ligamos em s érie. Esse pequeno rearranjo dos quatro componentes leva a uma mudança fundamental na din âmica do circuito.

N ão é possivel escrever as equaç ões globais de estado desse circuito.

(120)

Circuito Chua

Adicionando uma capacit ância C1 em paralelo com NR, podemos manter o controle de V1. O circuito, ent ão, se torna bem definido, e podemos escrever as equaç ões globais.

Feito isso, o circuito n ão é mais descrito por um sistema de segunda ordem e uma equaç ão alg ébrica, mas agora é completamente descrito por um sistema de tr ês equaç ões diferenciais ordin árias chamada equaç ões do circuito Chua.

(121)

Circuito Chua

(122)

Conclus ˜ao

O sistema din âmico de tempo cont´ınuo 3-D foi evolu´ıdo em tr ês etapas, a partir do circuito paralelo RLC linear at é o circuito de Chua.

Se a origem do nosso circuito aut ˆonomo de terceira ordem ´e um ponto de equil´ıbrio com um par de autovalores complexos

est áveis e um autovalor real inst ável, e o vetor de campo tem uma órbita homoc´ıclica atrav és da origem, ent ão o circuito pode exibir caos.

Chua percebeu que tal órbita poderia ser produzida usando din âmica inst ável na regi ão externa de seu circuito para fechar uma trajet ória homoc´ıclica sobre si mesma.

(123)

Conclus ˜ao

Para exibir o caos, ent ão, um circuito aut ônomo constitu´ıdo por resist ências, capacitores e indutores deve conter:

1 _{Pelo menos um elemento n ˜ao linear}

2 _{Pelo menos uma resist ˆencia localmente ativa}

3 _{Pelo menos tr ˆes elementos de armazenamento de energia}

(124)

Agradecimentos

Aos presentes,

Contato:

[email protected]

(125)

Estabilidade de sistemas incertos usando func¸ ˜oes

de Lyapunov com termos de ordem superior

Paulo S ´ergio Pereira Pessim Orientador: M ´arcio Jr Lacerda

(126)

Introduc¸ ˜ao

Modelos matem ´aticos mais precisos. Imprecis ˜oes ou incertezas.

LMIs (Desigualdades Matriciais Lineares). Func¸ ˜ao de Lyapunov.

(127)

Estabilidade

Ser ˜ao considerados sistemas lineares invariantes no tempo da seguinte forma

˙x = A(α)x (1)

em que x ∈ Rn _{´e o vetor de estados e a matriz A(α) pertence a um}

dom´ınio polit ´opico em termos de α dada por A(α) = Z

∑

z=1 αzAz, α ∈ ΛN (2) ΛN= ( σ ∈ RN: N

∑

i=1 σi= 1; σi≥ 0, i = 1, . . . ,N ) .

(128)

Estabilidade

Estabilidade para sistemas cont´ınuos no tempo. Estabilidade para sistemas discretos no tempo. Func¸ ˜ao de Lyapunov V(x)

(129)

Condic¸ ˜oes para a Estabilidade

Para assegura a estabilidade de um determinado sistema V(0) = 0

V(x) > 0 ∀x 6= 0 ˙

V(x) < 0 ∀x 6= 0 (caso cont´ınuo) ou V(xk+1) − V(xk) < 0 ∀x 6= 0 (caso discreto)

(130)

Formulaç ão cl ássica

As formulaç ões cl ássicas na literatura fazem uso de uma funçao de Lyapunov quadr ática na forma V(x) = xTPx. Usando a funç ão quadratica para o caso cont´ınuo escreve-se

V(0) = 0

V(x) > 0 ⇒ xT_Px_{> 0, logo P > 0, Matriz definida positiva}

˙

V(x) < 0 ⇒ ˙xTPx+ xTP˙x < 0, utilizando (1) tem-se :

A(α)TP+ PA(α) < 0

(131)

An ´alise da robustez

Tamb ém faz parte do projeto a an álise da robustez dos sistemas incertos. Para esse fim vamos considerar um sistema com a seguinte representaç ão

˙x = A(α)x + B(α)w (3)

y= C(α)x + D(α)w (4)

Em que w ∈ Rnw_{, a sa´ıda y ∈ R}ny_{. As matrizes B(α),C(α) e D(α)} pertencem a um dom´ınio polit ´opico assim como A(α) em (2). O

sistema acima ser ´a utilizado para computar o custo garantidoH_∞.

(132)

Objetivos

1 _{Propor um m ´etodo que seja capaz de certificar se a matriz}

din âmica A(α) em (1) é Hurwitz est ável (caso cont´ınuo) ou Schur est ável (caso discreto) usando funç ões de Lyapunov com termos de ordem superior.

2 Estender a formulac¸ ˜ao da normaH

∞para considerar func¸ ˜oes de

Lyapunov com termos de ordem superior. Em seguida, analisar a robustez dos sistemas incertos usando o crit ´erio de desempenho H∞.

(133)

M ´etodo Proposto

O m étodo proposto at é o momento consiste na utilizaç ão da seguinte funç ão de Lyapunov

V(x) =xT _˙xT P11(α) P12(α) P12(α)T P22(α) x ˙x (5) Considerando

Tp = P11(α) + A(α)TP21(α) + P12(α)A(α) + A(α)TP22(α)A(α) (6)

determina-se ˙V(x)da sequinte forma:

˙

V(x) = xT(A(α)TTp+ TpA(α))x (7)

(134)

M ´etodo Proposto

As condiç ões para a estabilidadde para o m étodo proposto s ão dadas por:

V(0) = 0

V(x) > 0 ⇒ Tp > 0 ˙

V(x) < 0 ⇒ A(α)T_Tp_{+ TpA(α) < 0}

(135)

Agradecimentos

Aos presentes pelo apoio e atenc¸ ˜ao

Contato:

paulopessim777@hotmail

(136)

M ´etodo para Calcular o Expoente de Lyapunov

Usando o Condicionamento do Problema

Pedro Henrique Oliveira Silva Vinicius da Silva Borges Priscila Fernanda da Silva Guedes

Igor Carlini Silva

Erivelton Geraldo Nepomuceno

Grupo de Controle e Modelagem (GCOM) PPGEL - UFSJ/ CEFET-MG Departamento de Engenharia El ´etrica

Universidade Federal de S ão Jo ão del-Rei, S ão Jo ão del-Rei, Brasil

(137)

Introduc¸ ˜ao

Comportamento Ca ótico em sistemas; Indicador para detecç ão de caos;

C ´alculo do expoente de Lyapunov (Wolf et al., 1985)1;

Estimaç ão do espectro de expoentes pelo crescimento dos vetores na evoluç ão do sistema;

1_{Wolf, A., Swift, J. B., Swinney, H. L. and Vastano, J. A. (1985). Determining} lyapunov exponents from a time series, Physica D: Nonlinear Phenomena 16(3): 285–317.

(138)

Conceitos Preliminares

N ´umero Condicional

Mede aproximadamente quanto o erro de arredondamento relativo ´e amplificado pelo c ´alculo de f em x (Overton, 2001)2;

Kf =

|x| ∗ |f0_(x)|

|f (x)| , (1)

O condicionamento mede a confiabilidade do c ´alculo utilizando uma dada precis ˜ao de ponto flutuante;

Perda de signific ância dos d´ıgitos na simulaç ão;

Diverg ência existente nas iteraç ões do mapa escolhido;

2_{Overton, Michael L. Numerical computing with IEEE floating point arithmetic.} Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001.

(139)

Metodologia

O m ´etodo proposto pode ser resumido nas seguintes etapas:

(a) Defina as condiç ões iniciais e par âmetros da funç ão escolhida;

(b) Faça N iteraç ões do mapa;

(c) Calcule o n ´umero condicional para cada valor obtido em (b), pela

Equac¸ ˜ao 1;

(d) Faça a m édia do logaritmo dos n úmeros condicionais obtidos em

(c);

(e) O coeficiente de Lyapunov ´e o logaritmo da m ´edia obtida em (d);

A escala logar´ıtmica é necess ária para capturar a diverg ência dos condicionais, quantificando em um n úmero definido como

expoente de Lyapunov;

(140)

Resultados

Comparac¸ ˜ao com a literatura (Rosenstein et al., 1993)3;

Tabela 1:Mapa log´ıstico.

Sistemas Equaç ões Par âmetros ∆t(s) Condiç ões Iniciais Log´ıstico xn+1= µxn(1 − xn) µ = 4 1 x0= 2/3

Literatura λ Iteraç ões Erro (%) Calculado λ Iteraç ões Erro (%)

0.659 100 −4.9 0.6871 30 −0.85

0.705 200 1.7 0.6961 50 0.44

0.695 300 0.3 0.6849 200 −0.27

0.692 400 −0.1 0.6909 300 −0.3

3_{Rosenstein, M. T., Collins, J. J. and De Luca, C. J. (1993). A practical method for} calculating largest lyapunov exponents from small data sets,Physica D: Nonlinear Phenomena 65(1-2): 117–134.

(141)

Resultados

Espectro de Lyapunov obtido pelo m ´etodo proposto;

Figura 1:C ´alculo do expoente de Lyapunov do mapa log´ıstico.

(142)

Resultados

Os resultados encontrados foram boas aproximac¸ ˜oes dos obtidos na literatura;

Foram utilizados os mesmos par âmetros para comparaç ão; O n úmero de iteraç ões decresceu em comparaç ão com a literatura;

O m étodo é simples pois pela perda de signific ância dos d´ıgitos decimais na simulaç ão utilizando o valor de x no c álculo da funç ão de f ;

Demonstra a diverg ência existente nas iteraç ões do mapa escolhido;

(143)

Conclus ˜ao

Foi necess ário uma simples implementaç ão computacional para a execuç ão do m étodo proposto;

´

E necess ário estabelecer m étodos que demandam menor esforço computacional;

Processos computacionais mais complexos podem acarentar em pertubaç ões na simulaç ão devido as caracter´ısticas dos

computadores;

Menores iteraç ões podem garantir maior confiabilidade, devido que a precis ão m´ınima pode n ão ser satisfeita;

(144)

Agradecimentos

Obrigado, pela sua atenc¸ ˜ao!

Pedro Henrique O. Silva UFSJ

[email protected]

(145)

Generalizac¸ ˜ao do limite inferior do erro

Priscila Fernanda da Silva Guedes M ´arcia Luciana da Costa Peixoto

Al´ıpio Monteiro Barbosa Samir Angelo Milani Martins Erivelton Geraldo Nepomuceno

Regis Riveret

(146)

Introduc¸ ˜ao

Representaç ão de fen ômenos da natureza; Identificaç ão de sistemas;

NARMAX polinomial; Propagac¸ ˜ao do erro.

(147)

Conceitos Preliminares

NARMAX polinomial; Func¸ ˜oes recursivas;

xn+1= f (xn). (1)

Extens ˜ao intervalar; ´

Orbitas e pseudo- ´orbitas; Lower Bound Error;

Variable Precision Arithmetic (VPA).

(148)

Metodologia

Generalizac¸ ˜ao do limite inferior do erro Theorem

Considere n pseudo-orbitas vindas de n extens ˜oes intervalares. Ent ˜ao, ζn=max|( ˆ

xi− ˆxj)|

2 ser ´a o limite inferior do erro, sujeito a i 6= j e i,j ∈ N.

(149)

Resultados

Mapa seno

yn+1= 2.6868yn− 0.2462y3n. (2)

Extens ˜oes intervalares

F(Xn) = 2.6868Xn− 0.2462Xn3, (3)

G(Xn) = 2.6868Xn− (0.2462Xn)Xn2, (4)

H(Xn) = 2.6868Xn− 0.2462XnXnXn, (5)

L(Xn) = Xn(2.6868 − 0.2462XnXn). (6)

(150)

Resultados

0 10 20 30 40 50 60 n -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 F(X n ) ,G(X n ), H(X n ), L(X n )

(a) Simulac¸ ˜ao livre.

0 20 40 60 80 100 −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 n log 10 ( δα,n )

(b) Evoluc¸ ˜ao do erro.

Figura 1:Mapa seno.

(151)

Resultados

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 VPA Max(LBE) EI Figura 2:VPA.

(152)

Resultados

Oscilador de Duffing-Ueda

yn+1 = 2.1579yn− 1.3203yn−1+ 0.16239yn−2

+0.0003416un+ 0.001963un−1

−0.0048196y3_n+ 0.003523y2_nyn−1 (7)

−0.0012162ynyn−1yn−2+ 0.0002248y3n−2

(153)

Resultados

5500 5600 5700 5800 5900 6000 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 n F(X n ), G(X n ), H(X n ), L(X n )

(a) Simulac¸ ˜ao livre.

0 2000 4000 6000 8000 10000 −18 −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 n log 10 ( δα ,n )

(b) Evoluc¸ ˜ao do erro.

Figura 3:Duffing-Ueda.

(154)

Agradecimentos

Aos presentes,

Contato:

pri12 [email protected]

(155)

Horner’s method applied a lower bound error for

free-run simulation of unidimensional polynomial

NARMAX

Samuel J ´ulio dos Santos Silva

GCOM - The Control and Modelling Research Group UFSJ - Federal University of S ˜ao Jo ˜ao del-Rei

(156)

Introduction

Figure 1:Representing a number in the computer domain. Fonte: Overton1

1

1_{Overton, M. L. Numerical Computing with IEEE floating point arithmetic SIAM,} 2001

(157)

Horner’s Method

p(x) = a0+ x(a1+ x(a2+ · · · x(an−1+ anx))) (1)

p(x0) = a0+ x0(a1+ x0(a2+ · · · x0(bn−1))) (2)

It results in n additions and n(n+1)₂ multiplications.

(158)

Logistic Map

Xt+1= rXt(1 − Xt) (3)

(159)

Sine Map

A unidimensional sine map is defined as

xt+1= α sin(xn) (4)

where α = 1.2π.

xt+1= 2.6868xn− 0.2462xn3 (5)

(160)

Interval Extensions - Logistic Map

Et+1= rXt− rXt2 (6)

Gt+1= rXt(1 − Xt) (7)

Ft+1= rXt− r · Xt· Xt (8)

Ht+1= r(Xt(1 − Xt)) (9)

(161)

Interval Extensions - Sine Map

A_n+1= 2.6868xn− 0.2462x3n (10)

Bn+1= xn(2.6868 − 0.2462x2n) (11)

Cn+1= 2.6868xn− (0.2462xn)(xn)2 (12)

It may be changed to:

Dn+1= xn(2.6868 − (0.2462xn)xn) (13)

(162)

Results - Logistic Map

Figure 2:LBE - Error Evolution

(163)

Results - Sine Map

Figure 3:LBE - Error Evolution

(164)

Acknowledgment

To the present people

CAPES, CNPq/INERGE, FAPEMIG and Federal University of S ˜ao Jo ˜ao del-Rei.

contact:

[email protected]

(165)

AN ´

ALISE DA CONDIC

¸ ˜

AO INICIAL NO DIAGRAMA

DE BIFURCAC

¸ ˜

AO PARA O MAPA DE H ´

ENON

Thalita Emanuelle de Nazar ´e Erivelton Geraldo Nepomuceno

(166)

Introduc¸ ˜ao

Interesse de experimentos num ´ericos para compreender o comportamento de sistemas din ˆamicos.

Import ância da computaç ão num érica na an álise de sistemas din âmicos n ão-lineares.

Mapas discretos como forma de estudo de sistemas din âmicos. Diagrama de Bifurcaç ão.

(167)

Objetivos

O objetivo principal deste trabalho foi investigar a influ ência da condiç ão inicial na construç ão do Diagrama de Bifurcaç ão para os mapas quadr ático e de H énon.

Estender os resultados encontrados por (Paiva e outros,2015)1.,

avaliando ent ˜ao a precis ˜ao finita dos computadores.

1_{Paiva, B. P. O., Nepomuceno, E. G., Amaral, G. F. V. Consideraç ões sobre a} condiç ão inicial na construç ão do diagrama de bifurcaç ão para o mapa

log´ıstico.,Anais do DINCON 2015 - Confer ência Brasileira Din âmica, Controle e Aplicaç ões.,pages 1-8,2015.

(168)

Conceitos Preliminares

Func¸ ˜ao Recursiva

Conhecida tamb ém como Mapa Discreto, a funç ão recursiva assume a seguinte forma:

f(xn) = xn+1.

Ponto Fixo

O ponto fixo x∗ de um mapa ´e o ponto tal que,

xn+1= xn= x∗.

(169)

Conceitos Preliminares

Mapa Quadr ´atico

Proporciona o estudo de noç ões fundamentais de din âmica n ão-linear.

Aplicaç ão em criptografia de imagens, devido à sua alta segurança.

xn+1= a − x2n.

Mapa de H ´enon

Proposto por Michel H énon em 1976, para descrever a seç ão de Poincar é.

Seu sistema ´e um dos mais simples a permitir a coexist ˆencia de atratores.

xn+1= 1 − ax2n+ yn.

yn+1= bxn

(170)

Conceitos Preliminares

Diagrama de Bifurcac¸ ˜ao

Ferramenta de estudo de um sistema em funç ão do seu par âmetro de controle.

(a) Mapa quadr ´atico. (b) Mapa deH ´enon .

Figura 1:Diagrama de Bifurcac¸ ˜ao.

(171)

Metodologia

Encontrar uma equac¸ ˜ao que determine o ponto fixo x∗, adotando-se xn+1= xn= x

Determinar um conjunto de pontos que quando usados como condiç ão inicial possam convergir para o ponto fixo x∗. Para isso aplica-se a funç ão inversa da equaç ão que descreve o mapa.

f−1(xn) = (xn−1).

Ap ós esses procedimentos, obt ém-se ent ão um novo diagrama de bifurcaç ão.

(172)

Resultados - Mapa Quadr ´atico

Ponto Fixo

Sendo xn+1= a − x2na equac¸ ˜ao que descreve o mapa, aplica-se

xn+1= xn= xpara encontrar um ponto fixo.

x2+ x − a = 0 x₁= √ 4a + 1 − 1 2 ; x₂= − 1 + √ 4a + 1 2

Verificou-se que apenas x1assume o comportamento de um ponto

fixo.

(173)

Resultados - Mapa Quadr ´atico

Condic¸ ˜ao Inicial

Para verificar a exist ˆencia de uma regi ˜ao de pontos que convergem para o ponto fixo x∗, aplicou-se

f−1(x∗) = ±√a− x∗_. ₍₁₎

A partir da Eq.(1) obteve-se o seguinte resultado:

x= ± s a− √ 4a + 1 − 1 2 . (2)

O uso da Eq.(2) como condic¸ ˜ao inicial x0foi poss´ıvel mostrar uma

regi ˜ao de pontos que convergem para o ponto fixo x∗

(174)

Resultados - Mapa Quadr ´atico

(a) Com a entre 0 e 2 . (b) Com a entre 1 e 2 .

Figura 2:Diagrama de Bifurcaç ão para o mapa quadr ático com condiç ão inicial x0= r a− √ 4a+1−1 2 .

(175)

Resultados - Mapa de H ´enon

Ponto Fixo

Analisando agora o mapa de H ´enon, tem-se que (

x_n+1= 1 − ax2n+ yn

yn+1= bxn

(3) A partir da Eq.(3) ´e poss´ıvel obter o ponto fixo fazendo:

( x= 1 − ax2+ y y= bx. (4) Logo, ( x∗=−1+b± √ b2_−2b+4a+1 2a y∗=−b+b2±b √ b2_−2b+4a+1 2a . (5)

(176)

Resultados - Mapa de H ´enon

Condic¸ ˜ao Inicial

Aplicando-se a funç ão inversa com o intuito de se encontrar uma regi ão de pontos que convergem para o ponto fixo mostrado pela Eq.(5), obteve-se a Eq.(6) como condiç ão inicial x₀e y₀para o mapa de H énon      x0= −b+b2±b √ b2−2b+4a+1 2a b y₀=−1+b± √ b2_−2b+4a+1 2a − 1 + a·−b+b2±b √ b2−2b+4a+1 2a b2 (6)

(177)

An ´alise de Resultados

Influ ência da restriç ão à condiç ão inicial. Mapa de H énon

(a) Sem restriç ão da condiç ão inicial. Neste caso foi usado x0= 0,2.

(b) Adotando a Eq.(6) como como condic¸ ˜ao inicial.

Figura 3:Resultado de xnpara a fixo em 1,2 e n= 200 iterac¸ ˜oes.

(178)

An ´alise de Resultados

Mapa quadr ´atico

(a) Sem restriç ão à condiç ão inicial. (b) Condiç ão inicial x0 = r a− √ 4a+1−1 2 .

Figura 4:Diagrama de bifurcac¸ ˜ao.

(179)

An ´alise de Resultados

Mapa quadr ´atico

(a) Obtido computacionalmente (b) Obtido analiticamente.

Figura 5:Diagrama de bifurcac¸ ˜ao.

(180)

Conclus ˜ao

Influ ência da condiç ão inicial na construç ão do diagrama de bifurcaç ão.

Em ambos os mapas h á a converg ência logo na primeira iteraç ão para o ponto fixo, entretanto ap ós um per´ıodo de iteraç ões o resultado começa a divergir.

Mesmo ap ós a restriç ão à condiç ão inicial, ao se obter o diagrama de bifurcaç ão, os resultados n ão foram satisfat órios. Acredita-se que esse erro ocorre devido a precis ão finita do computador.

´

E necess ário que na construç ão do diagrama de bifurcaç ão seja feito um procedimento mais rigoroso.

(181)

Agradecimentos

Aos presentes,

Contato:

[email protected]

(182)

Influ ˆencia dos agrupamentos de termos e seus

respectivos coeficientes na Estrutura limitante

H

Wilson Rocha Lacerda Junior Samir Martins Angelo Milani Martins

Evento 07 de Marc¸o de 2017

(183)

Objetivo

Verificar como os agrupamentos de termos e seus respectivos

coeficientes influenciam na estrutura limitanteH em modelos

autorregressivos polinomiais.

(184)

Modelo NARMAX polinomial

Definition

Um modelo NARMAX (nonlinear autoregressive moving average model with exogenous variables) pode ser definido por:

y(k) = F`[y(k − 1),...,y(k − ny)

u(k − d),...,u(k − nu), e(k − 1),

...,e(k − ne)] + e(k), (1)

(185)

Modelo NARX polinomial

Considerando um modelo NARX pode ser reescrito como:

y(k) = `

∑

m=0 `−m

∑

p=0 ny,nu

∑

τ1,τm cp,m(τ1, ...,τp+m) ! ypum. (2)

(186)

Agrupamentos de Termos e Coeficiente de

Agrupamento

Definic¸ ˜ao

(Agrupamento de Termos). Um conjunto de termos da forma yp(k − d)xm(k − j)for m + p ≤ l, em que d e j s ˜ao atrasos no tempo, ´e chamado de agrupamentod e pode ser escrito como Ωyp_xm.

Definic¸ ˜ao

(Aguirre, L. A and Billings, Coeficiente de Agrupamento). As constantes dentro do par ˆentese na Eq.(2) s ˜ao os coeficientes dos

agrupamentos de termos Ωyp_xm, que cont ´em termos na forma

y(k − i)px(k − j)mpara m = 0,...,l e p = 0,...,m, onde i e j s ˜ao atrasos de tempo. Esses coeficientes podem ser escritos como ∑yp_xm.

(187)

Histerese em modelos autorregressivos

Definic¸ ˜ao

(Martins, S. A. M. and Aguirre, L. A. (2016)- Histerese em modelos autorregressivos). y(k) = p

∑

i=1 ci_yy(k − 1) + q

∑

j=1 cj_ΦΦ(∆x(k − 1) (3)

(188)

Localizac¸ ˜ao do ponto de equil´ıbrio

Dado o modelo representado pela Eq.(3), tem-se que a localizaç ão dos pontos fixos s ão:

¯y(φ ) =    ∑φ 1−∑y para ¯φ = 1 (carga) − ∑φ 1−∑y para ¯φ = −1 (descarga) (4)

(189)

Estabilidade dos Pontos de

A estabilidade dos pontos de equil´ıbrio dependem dos valores obtidos por meio da matriz Jacobiana D

D=         0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 0 . . . 1 ∂ Fl ∂ y(k−p) ∂ Fl ∂ y(k−p+1) ∂ Fl ∂ y(k−p+2) . . . ∂ Fl ∂ y(k−1)         (5)

(190)

Metodologia

Apenas modelos com ponto de equil´ıbrio assint ´oticamente est ´avel foram considerados;

Os termos Ωyp, ∀p > 1, n ˜ao foram considerados para an ´alise;

Como pot ˆencias de Φk= sign(x(k) − x(k − 1)) podem

descaracterizar sua natureza multi-funç ão, tais termos tamb ém n ão foram considerados na an álise;

(191)

Resultados Preliminares

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 y

Figura 1:Os pontos em azul (..) est ˜ao emHk(ω) dado o modelo

y(k) = 0.5φ (k − 1) + 1x(k − 1)2_{e y(k) = 0.5φ (k − 1) − 0.5x(k − 1)}2_{, sendo}

φ (k) = sign(∆x(k)) e x(k) = sin(ω k)

(192)

Resultados Preliminares

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x -6 -4 -2 0 2 4 6 y

Figura 2:Os pontos em azul (..) est ˜ao emHk(ω) dado o modelo

y(k) = 0.9y(k − 1) + 0.5φ (k − 1) e y(k) = 0.7y(k − 1) + 0.5φ (k − 1) , sendo φ (k) = sign(∆x(k)) e x(k) = sin(ω k)