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DEPARTAMENTO DE COMPUTAÇÃO
D E C O M
U F O P
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
Modelagem e Simulação de Sistemas Terrestres:
Modelagem do Crescimento Populacional Logístico
Área: Ciência da Computação
Local de realização: Departamento de Computação
Universidade Federal de Ouro Preto
Coordenador:
Prof. Dr. Tiago Garcia de Senna Carneiro
Equipe:
2 Índice
1. Introdução---3
2. Crescimento Exponencial---3
2.1 Modelo Crescimento Exponencial em Vensim---3
3. Tendência Meta---6
4. Crescimento Logístico---6
4.1 Modelo Crescimento Logístico em Vensim---7
4.2 Modelo Crescimento Logístico em TerraME---8
4.2.1 Implementação do Modelo Logística em TerraME---8
4.2.2 Análise de Casos Reais e Aplicações do Modelo Logístico---10
4.3 Modelo Espacial---12
4.3.1 Implementação do Modelo Logístico Espacial em TerraME---13
4.3.2 Visualização do Modelo Espacial Migratório no TerraView---17
4.3.3 Algumas Possíveis Aplicações Reais do Modelo Espacial Migratório---17
4.4 Comparação entre o Modelo Logístico Comum e o Espacial---18
5. Conclusões---20
6. Trabalhos Futuros---20
7. Referência Bibliográfica---21
3 Em biologia (principalmente na ecologia) e também em demografia, dinâmica populacional é uma disciplina que estuda as variações na abundância das populações de seres vivos. O estudo da dinâmica das populações é importante para que se possa compreender o que ocorre nos ecossistemas de equilíbrio. São vários os fatores que podem influenciar no número populacional em especial fatores do ambiente no qual a população vive como alimentos, número de predadores (ecossistemas), natalidade e muitos outros.
O crescimento de uma população pode variar bastante de acordo com influências e eventos que ocorrem no ambiente na qual tal população vive, tendo cada tipo de população características diferentes é muito difícil de se encontrara um modelo genérico que represente todas as populações. Tem- se como exemplo a população de coelhos que deverá variar com o número de predadores no ambiente e o número de alimentos disponíveis, porém para uma população de seres humanos o número de predadores no ambiente não é um fator relevante.
Nesse trabalho a principal pergunta a ser respondida é: Quanto uma dada população genérica cresce em um determinado período de tempo de acordo com taxas de nascimento e de morte dado um número inicial de indivíduos dessa população? Assim, será mostrado como dinâmicas populacionais podem ser modeladas de forma genérica. Os modelos serão feitos com as ferramentas Vensin e em especial TerraME.
2. Crescimento Exponencial
Um primeiro modelo capaz de representar populações genéricas pode ser encontrado em [Sloot, 2007] é um modelo simples denominado modelo exponencial. Uma dinâmica de crescimento exponencial resulta de processos cumulativos (feedback positivo ou de reforço). Esses processos ocorrem quando a variação líquida do sistema é proporcional ao seu estado atual, reforçando a tendência existente. Neste modelo uma população cresce de acordo com a taxa de natalidade e uma taxa de mortalidade.
2.1 Modelo Crescimento Exponencial em Vensim
Population
Birth Rate Death Rate
Initial Population
Fractional Birth
Rate b Fractional DeathRate d
Modelo em Vensim crescimento exponencial Esse modelo é caracterizado pelas equações:
4 Fractional Birth Rate = 0.25
Fractional Death Rate d = 0.15 Initial Population = 100
Birth Rate = Population × Fractional Birth Rate b Death Rate = Fractional Death Rate d × Population Population = ∫(Birth Rate-Death Rate, Initial Population))
Tem- se então, o gráfico obtido em Vensim para o modelo com INITIAL TIME = 0, FINAL TIME = 10, TIME STEP=1:
5 Para o modelo com INITIAL TIME = 0, FINAL TIME = 100, TIME STEP=1,
Gráfico crescimento exponencial 2
Este modelo é muito genérico, apresenta várias falhas e não representa com muita clareza a realidade. O modelo apenas lave em consideração taxas de nascimento e taxas de mortalidade. Porém as características e limitações do ambiente não são levadas em consideração, a população não pode crescer mais do que o ambiente permite, um fator ambiental limitante por exemplo seria a quantidade de alimento disponível. Nota-se também que o sistema dadas as condições acima nunca entrará em equilíbrio pois a população cresce indefinidamente, se a taxa de mortalidade for igual a taxa de natalidade o sistema pode até ficar em um equilíbrio mas o número de indivíduos na população será constante para qualquer período do tempo, como mostra a figura a seguir:
6 3. Tendência Meta
Tendência à meta é resultado de processos auto-ajustáveis (feedback de balanço ou negativo). Esses processos ocorrem quando o sistema é composto por um estado desejado, explícito ou implicitamente determinado, e por mecanismos corretivos que reduzem a cada período de tempo a discrepância entre o estado atual e o desejado, eliminando o desequilíbrio existente [Newton, 2005].
Estado do Sistema Ação Corretiva Discrepância Estado Desejado do Sistema -+ + + B
Fiugura 4: Diagrama de Influências para Processo Auto-Ajustável
Dinâmica de sistema auto-ajustável 4. Crescimento Logístico
Dados as falhas do modelo anterior, [Sloot, 2007] e [Newton, 2005] descrevem um modelo capaz de representar a dinâmica populacional com bastante realismo, esse modelo é chamado de crescimento logístico. O matemático belga Pierre F. Verhurst propôs em 1837 um modelo que supõe que uma população poderá crescer até um limite máximo, a partir do qual tende a se estabilizar. O modelo proposto por Verhurst atende a uma condição em que a taxa de crescimento efetiva de uma população varia ao longo do tempo. Esse modelo é uma alternativa ao modelo de crescimento exponencial em que a taxa de crescimento é constante e não há limitação para o crescimento do tamanho da população.
Crescimento em padrão logístico ou em forma de S é resultado da combinação dos dois processos fundamentais: processos cumulativos (feedback de reforço) e processos auto-ajustáveis (feedback de balanço). Primeiramente, quando a população é pequena em relação a sua base de sustentação, as restrições ao crescimento não são significativas e o processo de reforço domina. Porém, a medida que a população aumenta as restrições ao crescimento tornam-se cada vez mais significativas, tornando possível a dominação do processo de
7 auto-ajuste. Essas restrições podem ser entendidas como a queda de recursos per capita em determinada região à medida que a população cresce.
A equação básica deste modelo é dada por:
Nesta equação Pmax é um valor (constante) limite no qual a população tende a se estabilizar, P(t) é a população do estado no qual o sistema se encontra, quanto maior o valor de P(t) menor será a fração da taxa de crescimento (k[1 – P(t)/Pmax]), enquanto a população cresce a taxa de crescimento populacional líquida (P`(t)) também crescerá até atingir um limite no qual tende a decair quando o valor da população atingir o mesmo valor de Pmax que pela equação se tem uma fração de taxa de crescimento líquido igual a zero, então a população para de crescer e o sistema entra em equilíbrio. K é uma constante que é uma taxa máxima de crescimento responsável por regular o crescimento a par do limite.
4.1 Modelo Crescimento Logístico em Vensim
A seguir se tem o modelo de Crescimento Logístico desenvolvido em vensim.
8 Fractional Net Growth Rate = Maximum Fractional Net Growth Rate × (1 – Population ÷ Pmax)
Initial Population Fraction = 0.001
Maximum Fractional Net Growth Rate = 1
Net Growth Rate = Fractional Net Growth Rate × Population Pmax = 1
Population= ∫(Net Growth Rate, Initial Population Fraction × Pmax)
Figura 7: Crescimento Logístico gráfico população/tempo
Figura 8: Crescimento Logístico gráficos
Nota-se que o gráfico do crescimento populacional é exatamente o gráfico da fração da taxa de crescimento líquido invertido.
4.2 Modelo Crescimento Logístico em TerraME
Também foram desenvolvidos modelos do crescimento logístico em TerraME. Foram implementados um primeiro modelo simples semelhante ao modelo em Vemsin que obviamente demonstrou o mesmo comportamento do sistema em Vemsin. Depois foi desenvolvido um modelo espacial que será apresentado posteriormente.
.
4.2.1 Implementação do Modelo Logístico TerraME ---
-- Ângelo Magno de Jesus
9 --Modelagem Dinâmica Populacional
--Modelo do Crescimento Logístico ---
--- --Sistema do modelo logístico ---
function sistema(netGrowthRate, initialPopulationFraction,
fractionalNetGrowthRate, maximumFractionalNetGrowthRate, population, pmax)
fractionalNetGrowthRate = maximumFractionalNetGrowthRate * (1 - population/pmax);
netGrowthRate = fractionalNetGrowthRate * population;
population = population + (netGrowthRate + initialPopulationFraction * pmax);
return fractionalNetGrowthRate, netGrowthRate, population; end
---
--- --Diretorio de localizacao do relatório
PATH = "c:\\Documents and Settings\\redes2\\Desktop\\Trabalho"; --- --- --tempo initial_time = 1; final_time = 100; steps = 1; --- --- -- Parametros do Modelo (codiçoes de contorno) initialPopulationFraction = 0.001; maximumFractionalNetGrowthRate = 1; pmax = 1; --- --- --Inicialização fractionalNetGrowthRate = 0; netGrowthRate = 0; population = 0;
10 ---
-- Abre arquivo de log (cria)
logFile = io.open(PATH.."\\log.csv", "w+"); logFile:write("tempo, populacao\n");
--- --- -- loop do tempo
for t = initial_time, final_time, steps do -- Modelo do sistema;
fractionalNetGrowthRate, netGrowthRate, population = sistema(netGrowthRate, initialPopulationFraction, fractionalNetGrowthRate, maximumFractionalNetGrowthRate, population, pmax); --Saída print(t..", "..population); -- Relatorio logFile:write(t..", "..population.."\n" ); end --- ---
-- fecha aquivo de log logFile:close();
---
4.2.2 Análise de Casos Reais e Aplicações do Modelo Logístico
Para comprovar se o modelo logístico pode representar com segurança a realidade da dinâmica populacional, foi realizada uma análise com um caso de crescimento real. O caso analisado é apresentado em [Castro, 98] o qual mostra o gráfico da dinâmica populacional de Rondônia:
11 Nota-se que o gráfico possui um comportamento muito semelhante aos gráficos do crescimento logístico (gráficos em S), a população cresce até atingir um limite no qual se mantêm como equilíbrio.
O modelo de Crescimento logístico é amplamente utilizado na ecologia para se estudar a dinâmica populacional de espécies em seus habitats naturais.
Em [Mahaffy, 2000] por exemplo é apresentado o gráfico do crescimento populacional da bactéria Staphylococcus que apresenta o comportamento um modelo logístico.
Gráfico de crescimento populacional de um tipo de bactéria
Outro exemplo de aplicação desse modelo é apresentado em [Abrantes, 2000] no qual sua aplicação é voltada para o crescimento de uma população de árvores:
12 Figura 9 gráfico do crescimento de uma população de árvores obtido por [Abrantes, 2000]
4.3 Modelo Crescimento Logístico Espacial
Este modelo foi chamado de modelo migratório e considera que cada célula tem sua própria quantidade de indivíduos, seus próprios recursos, ou seja, cada célula pode sustentar um número diferente de indivíduos, também os indivíduos de cada célula crescem em proporções iguais. Quando os recursos de uma célula não permitem que sua população cresça parte dessa população irá migrar para as células vizinhas que ainda suportam crescimento populacional.
A proporção de indivíduos que migram vai depender da quantidade de células vizinhas que suportam crescimento.
13 4.3.1 Implementação do Modelo Logístico Espacial em TerraME
--- -- Ângelo Magno de Jesus
--- --Modelagem Dinâmica Populacional
--Modelo do Crescimento Logístico Espacial (celular)
--- ---
--Espaço celular para gravação no banco de dados ---
csQ = CellularSpace{ dbType = "ADO", host = "localhost",
14 database = "C:\\Documents and Settings\\Angelo\\Meus
documentos\\6Periodo\\Modelagem de Sistemas Terrestres\\Trabalho\\cabecaDeBoi.mdb", user = "", password = "", layer = "cellsLobo90x90", theme = "cells", select = { "netGrowthRate", "fractionalNetGrowthRate", "population", "initialPopulationFraction", "maximumFractionalNetGrowthRate", "pmax" } } --- --- --poercentagem de migração migrationFraction = 0.1; --- --- --tempo initial_time = 1; final_time = 30; steps = 1; --- --- -- RULES --- csQ:load(); CreateMooreNeighborhood(csQ);
ForEachCell( csQ, function( cell ) cell.capInf = 1; return true; end ); csQ:synchronize();
---
-- PROCESSO: iniciar poplulação ForEachCell( csQ,
function( cell )
--cada célua pode variar seus valores, as células não precisam ser necessariamente iguais
cell.initialPopulationFraction = math.random(); cell.maximumFractionalNetGrowthRate = math.random(); cell.pmax = cell.maximumFractionalNetGrowthRate;
15 cell.population = 0; return true; end ); csQ:synchronize(); ---
for time = initial_time, final_time, steps do
--- -- relatorio
print("t: "..time );
csQ:save( time, "population", {"population"} );
--- -- PROCESSO: crescimento ForEachCell( csQ, function( cell ) cell.fractionalNetGrowthRate = cell.maximumFractionalNetGrowthRate * (1 - cell.past.population/cell.pmax); cell.netGrowthRate = cell.fractionalNetGrowthRate * cell.past.population;
cell.population = cell.past.population + (cell.netGrowthRate + cell.initialPopulationFraction * cell.pmax); return true; end ); --- -- PROCESSO: migração
for i, cell in pairs( csQ.cells ) do
if(cell.population == cell.past.population)then --outra psiibilidade seria: (cell.population >= cell.pmax)
-- conta vizinhos capazes de receber migrantes numNeigh = 0;
ForEachNeighbor( cell,
16 function(cell, neigh)
--if(neigh.pmax => neigh.population) then numNeigh = numNeigh + 1 end
if(neigh.past.population < neigh.population) then numNeigh = numNeigh + 1 end
return true; end );
-- indivíduos migram para seus vizinhos if( numNeigh > 0) then
-- calcula população que migrou
migrationPop = cell.population*migrationFraction; --atualiza população
cell.population = cell.population*( 1 - migrationFraction);
if(cell.population < 0)then cell.population = 0; end --garente a não ocorrencia de valores negativos na população da célula
-- migra para célula vizinha ForEachNeighbor(
cell, 0,
function(cell, neigh)
if(neigh.past.population < neigh.population) then neigh.population = neigh.past.population + migrationPop; end return true; end ); end end end csQ:synchronize(); end ---
17 Com base no modelo de crescimento logístico espacial foram realizados vários testes com diferentes tipos de configuração espacial. As bases de dados obtidas neste modelo foram aplicada ao TerraView [TerraView, 2008] .
Observação: Nos mapas obtidos em TerraView a legenda é dada por:
Na representação a seguir as características de cada célula foram geradas randomicamente:
Modelo logístico espacial TerraView- Passos 2, 15 e 30 respectivamente
Nota-se, na figura, que do passo 2 para o 15 houve um grande nível de escurecimento do mapa, porém do passo 15 ao 30 houve uma mudança nas células mas o espaço parece permanecer com o grau de escurecimento muito próximo do quadro 15.
Outra representação foi baseada em um modelo no qual se tem uma determinada região onde a população se encontra concentrada e quase não há recursos, e nos limites dessa região se inicia uma outra região com concentração populacional baixa e que possui recursos para receber mais habitantes:
Modelo logístico espacial TerraView- Passos 2, 9, 17 e 30 respectivamente Nota-se que há um espalhamento da população para as áreas menos habitadas.
18 O modelo logístico espacial migratório segundo os testes realizados poderia ser aplicado a diversas situações nas quais há um “espalhamento” (migração) demográfico no espaço.
Neste tópico serão feitas analogias de duas situações reais nas quais poderia ser aplicado o modelo espacial.
Uma primeira situação é apresentado em [SightLine, 2008], que mostra o crescimento populacional de Seattle e Vancouver entre 1990 e 2001 nos Estados Unidos:
Crescimento Populacional: Seattle e Vancouver entre 1990 e 2001
Este é um modelo de expansão demográfica e é análogo ao segundo modelo apresentado anteriormente no TerraView. A população inicialmente está aglomerada e com o passar do tempo tende a crescer e se espalhar pelo espaço menos ocupado.
A segunda situação é um modelo de proliferação do câncer em células apresentado por [Rodríguez, 2008], as células cancerígenas a partir de um ponto inicial vão espalhando a câncer para as outras células:
Proliferação do Câncer
Esse modelo também pode ser representado com o segundo modelo apresentado, porém a população inicia em um ponto concentrado geralmente ao centro do espaço celular que pode ser uma única célula, o restante das células ao redor podem estar vazias e ter recursos suficientes para suportar o crescimento e proliferação da população.
4.4 Comparação entre o Modelo Logístico Comum e o Espacial
É bastante claro notar que o modelo logístico comum pode ser aplicado a situações em que o espaço não é um fator relevante, situações em que se deseja apenas obter o crescimento populacional sem maiores detalhes já o modelo espacial pode ser aplicado em situações nas quais queira se saber qual é o crescimento da população e de que forma essa
19 população se distribuí no espaço de acordo com esse tempo como em situações de expansão demográfica.
Para se realizar essa comparação foi obtido o gráfico de crescimento de uma única célula do modelo espacial:
Gráfico logístico espacial de uma célula
Nota-se que o modelo logístico comum sempre terá o mesmo formato de gráfico um gráfico em formato de S que se estabiliza em um valor. Já o modelo espacial migratório pode assumir gráficos (para cada célula) diferentes de acordo com a configuração do espaço celular ou em especial com a vizinhança da célula, Esse gráfico pode ficar como o modelo logístico comum ou ficar com algum grau de semelhança com o gráfico apresentado em [Farabee, 2008] que é um gráfico de um modelo de transição de crescimento e estabilidade.
Neste modelo de transição de crescimento e estabilidade uma população cresce exponencialmente, mas, não deve ultrapassar uma capacidade limite do meio ambiente. Este modelo leva em consideração o modelo de crescimento logístico por apresentar a capacidade limite do ambiente citada. Essa semelhança com o modelo espacial (levando em consideração a população de uma célula) ocorre porque o gráfico de uma célula do modelo espacial apesar de crescer de acordo como o modelo logístico pode receber imigrantes no meio de seu crescimento inclinando sua curvatura, além disso quando o gráfico tende a se estabilizar o valor da população decai se houver algum vizinho pronto para receber migrantes.
20 Gráfico do modelo de Crescimento e Estabilidade
5. Conclusões
O modelo de dinâmica populacional Crescimento Logístico, que neste trabalho foi desenvolvido em TerraME e em Vensim, tem-se apresentado eficiente para simular o crescimento das populações de uma forma genérica, pois demonstrou compatibilidade com modelos reais tanto aplicado para seres humanos quanto para modelos ambientais (população de árvores), como citado anteriormente. Este modelo é muito utilizado por biólogos não só para pesquisa sobre crescimento populacional quanto para muitos outros fins como crescimento de estaturas de elefantes marinhos [Burney et al, 1994] por exemplo. Futuramente mais simulações e modelagens serão realizadas para obtenção de mais resultados a respeito da dinâmica populacional de uma forma genérica. Porém, o modelo de crescimento logístico é muito simples e não leva em consideração fatores como migração e o espaço em que a população vive, e a relação dessas populações com as populações vizinhas, da mesma espécie. Então foi proposto o modelo logístico espacial migratório capaz de representar um crescimento populacional levando-se em consideração essas características, este modelo demonstra ter uma boa compatibilidade com a realidade pois nos testes realizados se constatou que seu comportamento pode ser análogo à sistemas reais.
6. Trabalhos Futuros
Muitos testes com diferentes configurações ainda precisam ser feitos para o modelo migratório espacial. Uma proposta interessante é a de se aplicar o modelo migratório espacial a um caso real e comparar os dados obtidos com os dados reais e após isso, aplicar o modelo para se estimar como será o sistema no futuro. Outra proposta interessante é a de se aplicar o modelo levando em consideração características geológicas do meio ambiente.
21 7. Referência Bibliográfica
[Abrantes, 2000] Abrantes, A. Crescimento de uma população de árvores. Dispoível em <http://www.prof2000.pt/users/aabrantes/logistic.html> Acesso em: dez. de 2007.
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