UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA – UFPB
Centro de Ciências Sociais Aplicadas – CCSA
Curso de Administração – CADM
SELEÇÃO DE CARTEIRAS ÓTIMAS PELO MÉTODO DE
MARKOWITZ: Análise do Índice de Sharpe, Índice de Treynor e Alfa de
Jensen no Microsoft Excel
LYNDA LEE BATISTA DOS SANTOS LIMA
João Pessoa Abril 2019
1 LYNDA LEE BATISTA DOS SANTOS LIMA
SELEÇÃO DE CARTEIRAS ÓTIMAS PELO MÉTODO DE
MARKOWITZ: Análise do Índice de Sharpe, Índice de Treynor e Alfa de
Jensen no Microsoft Excel
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção do título de Bacharel em Administração de Empresas, pelo Centro de Ciências Sociais Aplicadas, da Universidade Federal da Paraíba.
Orientadora: Profa. Mestre Suelle Cariele de Souza e Silva.
João Pessoa Abril 2019
L732s Lima, Lynda Lee Batista Dos Santos.
Seleção de Carteiras Ótimas pelo Método de Markowitz: Análise do Índice de Sharpe, Índice de Treynor e Alfa de Jensen no Microsoft Excel / Lynda Lee Batista Dos Santos Lima. - João Pessoa, 2019.
57f. : il.
Orientação: Suelle Cariele de Souza e Silva. Monografia (Graduação) - UFPB/CCSA.
1. Markowitz. 2. Risco-retorno. 3. Diversificação. 4. Seleção de Carteira. 5. Indicadores de Desempenho. I. Silva, Suelle Cariele de Souza e. II. Título.
UFPB/CCSA
Catalogação na publicação Seção de Catalogação e Classificação
3 FOLHA DE APROVAÇÃO
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção da graduação em Administração de Empresas pela Universidade Federal da Paraíba.
Discente: Lynda Lee Batista dos Santos Lima
Título do trabalho:Seleção de Carteiras Ótimas Pelo Método de Markowitz: Análise do índice de Sharpe, Índice de Treynor e Alfa de Jensen no Microsoft Excel
Área de Conhecimento da Pesquisa: Administração Financeira
Dissertação aprovada em: ____/____/____
BANCA EXAMINADORA
____________________________________________________________ Profa. Mestre Suelle Cariele de Souza e Silva (Orientadora)
Universidade Federal da Paraíba
____________________________________________________________ Prof. Doutor Cláudio Pilar da Silva Junior (Examinador Interno)
4 Dedico este trabalho a minha mãe, por sempre está ao meu lado em todos os momentos da minha vida e por me mostrar que tudo é possível, basta acreditar. Seu apoio foi essencial para concretização desse sonho.
5 AGRADECIMENTOS
A Deus, por sempre me guiar nos caminhos difíceis e por ter me ajudado a superar cada obstáculo dessa caminhada.
A minha mãe, por me apoiar, incondicionalmente, em todos os momentos.
Ao meu irmão, meus avós, meu tio e meu padrasto, por todas as palavras de incentivo e apoio.
A minha professora orientadora Suelle Cariele, por todos os ensinamentos e conhecimentos passados que contribuíram para o meu amadurecimento e por acreditar em mim. Agradeço também por me aturar (risos) como monitora durante três períodos.
A professora Célia Zago, pelo incentivo e apoio durante o processo de construção do projeto deste trabalho.
Ao professor Cláudio Pilar, por aceitar fazer parte desta banca.
Aos meus seis cachorros, Pelé, Mel, Marley, Spyke, Pingo e Lilica, por todos os momentos de descontração, animação e desestresse sempre que eu precisava.
As minhas amigas Débora Beatriz e Luana Aguiar, por sempre torcerem por mim.
As minhas eternas duplas de trabalho, Heudja Varela e Karoline Diniz, por todo conhecimento e aprendizado compartilhado, apoio e companheirismo.
Aos meus amigos da universidade, em especial, Flávia Simões, Isaac Azevedo, Thaynara Soares e Wiviani Caroline Cartaxo, por todas as manhãs divertidas.
As minhas amigas da EJA Consultoria: Jainny Ferreira, Thâmila Moliterno e Thamiris Rodrigues, por ajudarem no meu desenvolvimento profissional.
6 “Tudo posso naquele que me fortalece.”
7 RESUMO
O Modelo de Seleção de Carteiras surgiu em 1952, criado pelo economista Harry Max Markowitz, sendo o pioneiro na análise do risco nos investimentos. Este risco representa a possibilidade do investidor ter algum prejuízo com o investimento realizado. Incialmente, nas análises realizadas a respeito da avaliação de desempenho não se usavam medidas de risco, apenas se comparavam as rentabilidades das carteiras com um índice padrão, como o Índice Ibovespa. A partir do modelo de seleção de carteiras proposto por Markowitz e o Capital Asset
Princing Model, o risco surge como medida de avaliação de desempenho de investimentos.
Dessa forma, alguns pesquisadores desenvolveram índices de mensuração de performance da carteira ótima, são eles: Índice de Treynor, Índice de Sharpe e Alfa de Jensen. Baseado na Teoria da Seleção de Carteiras, desenvolvida por Harry Markowitz (1952), a presente pesquisa teve por objetivo selecionar carteiras de ações capazes de apresentar um retorno máximo para um dado nível de risco assumido, ou um risco mínimo para um dado retorno esperado. As carteiras foram formadas a partir dos ativos que compõem o Índice Ibovespa durante o período de dezembro de 2013 a dezembro de 2018, identificando a participação de investimento de cada ação na composição da carteira; e, em seguida, avaliando a performance das carteiras com o mercado e entre elas mesmas. Como ferramenta para o cálculo da otimização da carteira foi utilizado o Solver, recurso do Microsoft Excel. A coleta de dados foi realizada no banco de dados Economatica. Primeiramente, foram calculados os riscos e retornos médios de cada ação, onde foi identificado que a ação com maior retorno é a MGLU3 com 5,41%, e a que possui o maior risco é a USIM5 com 22,43% de desvio-padrão e 2,85 de beta (β). Em seguida, foi criada uma Carteira Simples, composta por 59 ativos com o mesmo peso. Esta obteve um retorno e um risco maior que o da carteira de mercado. Posteriormente, foi criada a Carteira de Variância Mínima, composta por 14 ativos, cujo o objetivo era a diminuição do risco de forma que o retorno não fosse menor que o da carteira de mercado, tendo como resultado um retorno igual ao do mercado e um risco menor que o da carteira de mercado. E a última carteira, denominada como Carteira de Máximo Retorno, cuja composição com 4 ativos, tinha o objetivo de maximizar o retorno para um risco menor ou igual ao da carteira IBOV. Os resultados foram um retorno superior ao do Índice Ibovespa e um risco igual ao da carteira de mercado. Partindo para as análises dos indicadores de desempenho das carteiras, Índice de Treynor, Índice de Sharpe e Alfa de Jensen, a carteira que obteve o melhor desempenho nas três análises foi a Carteira de Máximo Retorno. Conclui-se que as carteiras otimizadas provam que o investidor não precisa investir em todos os ativos do Índice Ibovespa para possuírem um retorno satisfatório, assim como atesta que o Modelo de Seleção de Carteiras de Markowitz é viável para formação de uma carteira eficiente e que a escolha dentre uma carteira de mínimo risco e máximo retorno vai depender das características comportamentais do investidor, se o mesmo é avesso ao risco ou não.
Palavras-chave: Markowitz. Risco-retorno. Diversificação. Seleção de carteira. Indicadores de Desempenho.
8 ABSTRACT
The Portfolio Selection Model emerged in 1952, created by the economist Harry Max Markowitz, as the pioneer in the investment risk analysis. This risk representes the investidor’s possibility of having any losses on the investment made. Initially, the analysis made about the performance evaluation did not use any risk mensures, only comparing themselves to the portfolio´s profitability as a pattern, as the Ibovespa Index. Up to the point of the portfolio selection model, proposed by Markowitz and the Capital Asset Princing Model, the risk appears as a investment performance evaluation’s mensure. This way, some researches have developed mensure’s indexes of great portfolio’s performance, as: Treynor Ratio, Sharpe Ratio and Jensen’s Alfa. Based on the Portfolio Selection Theory, developed by Harry Markowitz (1952), the presente research had as goal select de stock portfolio capable of present the maximum return for a given level of risk taken, or a minimum risk for a given expected return. The carteiras were created from the assets that compose the Ibovespa Index during the period from december 2013 to december 2018, identifying the investment share of each share in the portfolio composition; and, then, evaluating the performance of the portfolios with the market and among themselves. As a tool for the portfolio’s optimization calculus the Solver was used, a Microsoft Excel’s resource. The data collect was made in the data bank called Economatica. First, the average risks and returns of each share were calculated, where it was identified that the action with the highest return is MGLU3 with 5.41%, and the one with the highest risk is USIM5 with 22.43% of standard deviation and 2.85 of beta (β). Followed by that, a Simple Portfolio was created, composed of 59 assets with the same weight. This one yielded a return and a higher risk than that of the market portfolio. After that, the Minimum Variance Portfolio, composed by 14 assets, whose objective was to reduce risk in a way that the return was not lower than that of the market portfolio, resulting in a equal return to that of the market and a lower risk than that of the market portfolio. And the last portfolio, called Maximum Return Portfolio, whose the 4 assets composition had the objective of maximizing the return to a risk less than or equal to that of the IBOV portfolio. The results were a superior return than the Ibovespa Index and a risk equal to that of the market portfolio. Starting with the portfolio performance indicators, Treynor Ratio, Sharpe Ratio and Jensen's Alpha, the portfolio that had the best performance in all three analyzes was the Maximum Return Portfolio. It is concluded that the optimized portfolio prove that the investor does not need to invest in all Ibovespa Index’s assets in order to have a satisfactory return, as well as confirms that the Markowitz Portfolio Selection Model is feasible for the formation of an efficient portfolio and the choice between a minimum risk portfolio and maximum return will depend on the behavioral characteristics of the investor, whether it is risk averse or not.
Keywords: Markowitz. Risk-return. Diversification. Portfolio selection. Performance indicators.
9 LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Curvas de Risco-Retorno Possíveis...22
Figura 2 – Região Factível...22
Figura 3 – Fronteira Eficiente dos Ativos de Risco...23
Figura 4 – Oportunidades de Investimento...24
Figura 5 – Passo 1: Análise de Dados...54
Figura 6 – Passo 2: Selecionar Intervalo...54
Figura 7 – Passo 3: Matriz de Covariância Gerada...55
Figura 8 – Passo 4: Preencher Matriz de Covariância...55
Figura 9 – Passo 5: Preencher Matriz de Covariância...56
Figura 10 – Passo 6: Matriz de Covariância Completa...56
Figura 11 – Parâmetros do Solver para Minimização do Risco...34
10 LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Composição Setorial da Carteira Bovespa...50
Quadro 2 – Amostra de Ações...51
Quadro 3 – Ranking do Retorno Médio, Variância e Desvio-padrão...52
Quadro 4 – Ranking do Beta dos Ativos...53
11 LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Ranking do Retorno e do Risco da Amostra...36
Tabela 2 – Resultados da Carteira Simples...37
Tabela 3 – Composição da Carteira de Variância Mínima...39
Tabela 4 – Resultados da Carteira de Variância Mínima...40
Tabela 5 – Composição da Carteira de Máximo Retorno...41
Tabela 6 – Resultados da Carteira de Máximo Retorno...41
Tabela 7 – Resultados do Índice de Treynor...42
Tabela 8 – Resultados do Índice de Sharpe...43
12 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
B3 Brasil, Bolsa, Balcão CML Capital Market Line
CVM Carteira de Variância Mínima CAPM Capital Asset Princing Model IBOV Índice Bovespa
ISh Índice de Sharpe
ISG Índice de Sharpe Generalizado IT Índice de Treynor
SML Security Market Line
13 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ... 14 1.1 Objetivo Geral ... 15 1.2 Objetivos Específicos ... 16 1.3 Justificativa ... 16 2 REFERENCIAL TEÓRICO... 18
2.1 Retorno e Risco do Ativo e da Carteira... 18
2.2 Modelo de Markowitz: Teoria da Seleção de Carteiras ... 18
2.3 Fronteira Eficiente de Ativos de Risco ... 21
2.4 Capital Asset Pricing Model – CAPM ... 23
2.5 Medidas de Desempenho Financeiro da Carteira de Ativos... 26
2.5.1 Índice de Treynor ... 26
2.5.2 Índice de Sharpe ... 27
2.5.3 Alfa de Jensen ... 29
3 METODOLOGIA ... 31
3.1 Definição da Amostra e Coleta de Dados ... 31
3.2 Seleção dos Ativos ... 31
3.3 Processamento de Dados ... 32
4 ANÁLISE DOS RESULTADOS ... 36
4.1 Risco e Retorno das Ações da Carteira Ibovespa ... 36
4.2 Otimização da Carteira ... 37
4.2.1 Carteira Simples ... 37
4.2.2 Carteira de Variância Mínima ... 38
4.2.3 Carteira de Máximo Retorno ... 40
4.2.4 Comparação entre as Carteiras... 41
4.3 Desempenho das Carteiras ... 42
4.3.1 Análise do Índice de Treynor das Carteiras ... 42
4.3.2 Análise do Índice de Sharpe das Carteiras ... 43
4.3.3 Análise do Alfa de Jensen das Carteiras ... 43
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 45
REFERÊNCIAS ... 47
14 1 INTRODUÇÃO
Durante o século XIX, os investidores começaram a buscar formas mais objetivas para mensurar o risco dos investimentos, isso ocorreu devido ao desenvolvimento do mercado acionário durante essa época. As medidas subjetivas eram utilizadas devido à dificuldade de se obter informações mais confiáveis para mensuração do risco dos ativos de uma carteira de investimento (PEROTTI JUNIOR; PAYÉS, 2015).
Devido aos mecanismos legais elaborados na primeira metade do século XIX, as informações sobre o mercado financeiro se tornaram mais confiáveis, já que os investidores e estudiosos do campo das finanças tinham acesso aos relatórios financeiros elaborados pelas organizações. Com isso, o interesse em analisar a relação risco-retorno dos investimentos se tornou frequente no momento da tomada de decisão dos investidores (PEROTTI JUNIOR; PAYÉS, 2015).
Em 1952, Harry Max Markowitz escreveu o artigo Portfolio Selection, em que apresentou o Modelo de Seleção de Carteira, revolucionando o mercado financeiro, que antes de seus estudos não consideravam o risco nos investimentos em ativos. Este risco representa a possibilidade do investidor ter algum prejuízo com o investimento realizado.
Dessa forma, Markowitz (1952) dividiu o processo de seleção de portfólio em dois estágios, o primeiro começa com a observação e experiência do investidor e termina com as crenças ou opiniões do mesmo a respeito do futuro desempenho dos títulos disponíveis, já o segundo começa com as opiniões relevantes sobre as performances futuras e termina com a escolha da carteira mais interessante.
Incialmente, nas investigações realizadas a respeito da avaliação de desempenho não se usavam medidas de risco, apenas se comparavam as rentabilidades das carteiras com um índice padrão (CORREIA; NEVES, 2013). A partir do modelo de seleção de carteiras proposto por Markowitz e o Capital Asset Princing Model (CAPM), o risco surge como parâmetro importante na avaliação do desempenho (CORREIA; NEVES, 2013). Dessa forma, alguns pesquisadores desenvolveram índices de mensuração de performance da carteira ótima, são eles:
Jack L. Treynor: em 1965, desenvolveu o Índice de Treynor, que utiliza apenas o risco sistemático para avaliar a performance da carteira;
William F. Sharpe: desenvolveu, em 1966, o Índice de Sharpe, que ao contrário do anterior, considera o risco total da carteira;
15 Michael Jensen: criou em 1968, o Alfa de Jensen que tem como finalidade medir o excesso de retorno obtido em relação ao previsto pelo Modelo de Precificação de Capitais.
Esses indicadores de desempenho, baseados na Moderna Teoria das Carteiras, têm como finalidade avaliar a relação entre os retornos esperados do ativo e os riscos do mesmo (SILVEIRA; SANTOS; RODRIGUES, 2017), verificando se o retorno obtido realmente compensou o risco que o investidor correu ao investir no ativo. Ou seja, mostra se um determinado investidor alcançou um nível de desempenho superior a um outro ou em relação a um determinado padrão, sempre considerando o risco (CORREIA; NEVES, 2013).
Sendo assim, a análise de desempenho contribui para o direcionamento dos recursos dos investidores que buscam aplicações alinhadas as suas expectativas de risco e retorno, contribuindo para uma melhor seleção de ativos que participará da composição da carteira (GASPAR; SANTOS; RODRIGUES, 2014).
Essa análise gera informações confiáveis que embasam a escolha do investidor por determinado portfólio, levando em consideração sua aversão a perda, considerada um dos pilares das finanças comportamentais (SILVA ET AL., 2008). Esse conhecimento propicia ao investidor uma maior segurança na seleção da carteira e, consequentemente, gera uma motivação para futuros investimentos. Porém, de acordo com Silva et al. (2008), deve-se ter cuidado para que os bons rendimentos com os investimentos não gerem uma autoconfiança excessiva, fazendo com que o investidor pressuponha que suas informações são melhores e mais confiáveis que as de outros investidores que atuam no mercado.
Para tanto, este trabalho tem o intuito de responder a seguinte problemática: qualo desempenho financeiro de uma carteira selecionada pela metodologia de Markowitz?
O trabalho abordará o Retorno e Risco do Ativo e da Carteira, o Modelo de Seleção de Carteira de Markowitz, a Fronteira Eficiente de Ativos de Risco e o Modelo de Precificação de Ativos de Capitais, assim como os Índices de Sharpe, Índice de Treynor e Alfa de Jensen. Logo após, será explicada a metodologia que foi utilizada para se alcançar os objetivos desejados, os resultados obtidos através da mesma e a conclusão do trabalho.
1.1 Objetivo Geral
Analisar o desempenho financeiro de uma carteira selecionada pela metodologia de Markowitz.
16 1.2 Objetivos Específicos
Calcular o retorno, desvio-padrão (σ) e beta (β) dos ativos;
Otimizar a carteira pelo Modelo de Seleção de Carteiras de Markowitz;
Calcular o Índice de Sharpe, Índice de Treynor e Alfa de Jensen (α) dos ativos.
1.3 Justificativa
Com um ambiente de incerteza política, elevada inflação e crise econômica, os brasileiros começam a entender a importância de poupar seus recursos financeiros para se prevenir do atual estado socioeconômico do país. A redução do consumo proveniente das elevadas taxas de desemprego fez com que muitos trabalhadores ampliassem sua poupança (COTIAS, 2017).
Dessa forma, o mercado acionário brasileiro vem crescendo, o número de investidores na bolsa de valores brasileira (Brasil, Bolsa, Balcão – B3) chegou a 736,781 mil em julho de 2018, representando um crescimento de 19,5% no ano (CAMPOS, 2018).
Apesar disso, ainda cerca de 56% da população ativa (composta pelas classes A, B e C) não demonstra interesse em investir seus recursos financeiros (COTIAS, 2018), tanto na bolsa quanto na poupança, a qual é a aplicação mais comum para quem procura investimentos de baixíssimo risco.
A causa para essa falta de interesse advém dos investidores não possuírem um conhecimento básico sobre o mercado financeiro (MENDES; FERREIRA, 2012), deixando que o receio de obter algum prejuízo com um investimento se torne uma barreira cada vez maior. Como afirma Markowitz (1952) os investidores são avessos ao risco, por isso ao escolher carteiras de mesmo retorno optariam pela que possui o menor risco.
Um investimento é considerado viável quando seu retorno consegue satisfazer a expectativa do investidor (GASPAR; SANTOS; RODRIGUES, 2014), dessa forma o estudo sobre o desempenho da carteira ótima é relevante para servir de direcionamento para investidores que buscam empregar seus recursos financeiros de forma viável, com aplicações adequadas as suas expectativas de retorno e risco.
Em um processo de investimento é possível identificar algumas fases, como a definição do método de investimento e análise dos ativos, a constituição da carteira e a, última fase, revisão e avaliação do desempenho da mesma. Sendo a última etapa responsável por
17 identificar certas fraquezas no procedimento realizado, permitindo que seja possível agir em conformidade e iniciar novamente o processo (CORREIA; NEVES, 2013).
A avaliação de desempenho envolve particular importância para os investidores, para os gestores, para as entidades reguladoras e de supervisão do mercado financeiro e para os acadêmicos (CORREIA; NEVES, 2013). Os investidores atuais e potenciais, pois a análise de desempenho é um ciclo, que auxilia na tomada de decisão e permite identificar possíveis fraquezas nos investimentos, fazendo com que os investidores possam agir em conformidade e iniciar o processo de seleção novamente. Para os gestores, principalmente quando os retornos estão relacionados à performance alcançada pelo investimento. Para as entidades reguladoras e de supervisão do mercado financeiro, especialmente as interessadas nas atividades dos fundos de investimento na aplicação de poupanças. Para os acadêmicos, que estudam a hipótese da eficiência dos mercados, já que se os ativos sistematicamente forem superiores que o mercado, então é possível que o mercado não seja eficiente.
18 2 REFERENCIAL TEÓRICO
2.1 Retorno e Risco do Ativo e da Carteira
Retorno significa o valor que se espera que um ativo possa proporcionar no próximo período ao investidor (SILVA, 2008). Espera-se que esse retorno seja positivo, representando um ganho financeiro com o investimento realizado.
Este retorno pode ser obtido de duas maneiras: a partir de mudanças no valor de investimento no intervalo de tempo proposto ou por meio do fluxo de caixa adicional proveniente de lucros, dividendos, juros, entre outros (SOUZA ET AL., 2017).
O retorno de um investimento pode se referir a um ativo individual ou a uma carteira de ativos. O primeiro ocorre quando o investidor opta por aplicar seu dinheiro em um único ativo, já o segundo acontece quando o mesmo aplica seu capital em diversos ativos, normalmente de segmentos diferentes de mercado, gerando a composição de uma carteira de ativos.
Risco de um investimento pode ser definido como algo além de perdas financeiras (MARKOWITZ, 1952). Ou seja, o risco é visto como incerteza de se obter o retorno estimado e em suas variações no resultado esperado. Classifica-se o risco como diversificável (ou não sistemático) e não diversificável (ou sistemático).
O primeiro, não depende exclusivamente das variações do mercado, mas sim das características intrínsecas de cada ativo que compõe a carteira, que pode afetar o desempenho da carteira. Por meio da diversificação, este risco pode ser eliminado da carteira, uma vez que as perdas de alguns ativos serão compensadas pelos ganhos de outros ativos, reduzindo portando o risco total da carteira de investimento. Já o segundo tipo de risco está relacionado com as flutuações que ocorrem no mercado de forma conjuntural, sendo assim não pode ser eliminado com um processo de diversificação, já que pode afetar as empresas em geral (SILVA, 2008).
2.2 Modelo de Markowitz: Teoria da Seleção de Carteiras
O Modelo de Seleção de Carteiras surgiu em 1952, criado pelo economista Harry Max Markowitz, sendo o pioneiro na análise do risco nos investimentos. Para o desenvolvimento desse novo modelo de seleção de ativos, primeiramente, Markowitz,
19 estabeleceu algumas premissas para determinar as características fundamentais de uma carteira, o retorno esperado e seu risco (também chamado de variância ou desvio-padrão), todas envolvendo o comportamento do investidor, são elas (ALMEIDA; SILVA; RIBEIRO, 2010):
Os investidores deveriam avaliar as carteiras com base no seu retorno médio e o seu desvio-padrão, dentro do tempo estabelecido para o investimento;
Os investidores são avessos ao risco, assim ao escolherem entre carteiras com o mesmo retorno, mas com risco diferentes, os mesmos escolhem a que possui o menor risco;
Os investidores estão sempre insatisfeitos com o retorno de seus investimentos, por isso tendo que escolher entre carteiras com o mesmo risco, mas com retorno distintos, os mesmos escolhem a que possui o maior retorno;
O investidor pode dividir continuamente os ativos, ou seja, seria permitido comprar as mesmas frações de ações;
Seria permitido comprar a mesma fração de ações e todos os impostos e custos de transação seriam irrelevantes.
O modelo de Markowitz (1952) se apoia nos parâmetros estatísticos da média, variância (ou desvio-padrão) e covariância (ou correlação), registrando a soma das variâncias individuais dos ativos e covariâncias dos pares dos ativos, levando em consideração o peso (ou proporção) que foi investido em cada ativo da carteira.
A variância da carteira depende da covariância entre os pares de ativos, e a covariância tem dependência com a correlação entre os ativos, sendo assim, o modelo sugere que se deve encontrar ativos com baixa correlação entre si, para que um possa minimizar as perdas do outro. Dessa forma, para o investidor, é interessante obter uma carteira com ativos negativamente correlacionados, já que a baixa correlação minimiza o risco, proporcionando uma combinação de ativos em que o risco é menor, sem diminuir o retorno de forma proporcional (SILVA, 2008).
Como afirmado por Markowitz (1952), a diversificação não é a única forma de diminuir o risco do investimento, também deve ser levado em consideração a covariância desses ativos na tomada de decisão dos investidores. Markowitz (1952, p. 89) argumenta que:
[...] ao tentar tornar a variação pequena, não basta investir em muitos títulos. É necessário evitar investir em títulos com altas covariâncias entre si. Devemos diversificar em todos os setores porque empresas em diferentes indústrias, especialmente indústrias com características econômicas diferentes, têm covariâncias menores do que as empresas dentro de uma mesma indústria.
20 Segundo Markowitz (1952), o investidor é avesso ao risco, dessa forma ao escolher entre dois ativos de mesmo retorno optará pelo que possui o menor risco. Dessa forma, a relação risco-retorno sempre será analisada na escolha de uma carteira de ativos.
O retorno esperado de uma carteira é definido por Markowitz (1952) como a soma ponderada dos retornos esperados dos ativos individuais que a compõem. Dessa forma, quanto maior o rendimento do ativo e de sua proporção na composição da carteira, maior será o retorno da mesma (Equação 1):
R = (R W ) (1)
Onde:
Rc = retorno da carteira;
Ri = retorno esperado de cada ativo;
Wi = percentual (peso ou proporção) investido em cada ativo.
Enquanto isso, o risco pode ser obtido tanto por meio da variância como por meio do desvio-padrão do retorno do ativo. A variância terá um comportamento diferente do retorno da carteira, quando adicionado mais ativos na composição, as proporções se tornarão mais diluídas, por consequência diminui o resultado de suas multiplicações com as covariâncias, causando uma redução da variância da carteira (SILVA, 2008). Sendo assim, esse efeito corrobora o princípio da diversificação, que quanto mais um portfólio for diversificado, menor será seu risco (PEREIRA; HENRIQUE, 2016), como demonstrado na Equação 2:
θ (c) = W θ + W θ + 2W W COV , (2)
Onde:
Ɵ2 (c) = variância da carteira;
WA; WB = percentual (peso ou proporção) investido em cada ativo; θ ; θ = variância de cada ativo;
COVA,B = covariância entre dois ativos.
21 A covariância entre dois ativos pode ser obtida por meio da Equação 3 (SILVA, 2008):
COV , =∑ (X − X) (Y − Y)
n − 1 (3)
Onde:
COVX,Y = covariância entre dois ativos; Xi;Yi = retorno dos ativos da carteira;
; = retorno médio de cada ativo; n = número de ativos.
A covariância também pode ser obtida conforme Equação 4 (GASPAR; SANTOS; RODRIGUES, 2014):
COV , =ρ , θ θ (4)
Onde:
, = correlação entre os retornos dos ativos; = desvio-padrão do retorno do ativo x; = desvio-padrão do retorno do ativo y.
Dessa forma, a partir dessas Equações, é possível mensurar o retorno e o risco de uma carteira de ativos, possibilitando sua otimização, ou seja, obter uma carteira que proporcione a maximização do retorno, dado um risco ou a minimização do risco, dado um retorno.
2.3
Fronteira Eficiente de Ativos de Risco
Quando estimado os valores dos retornos, variâncias, covariâncias e proporções dos ativos que compõem as carteiras ótimas possíveis, essas formam um conjunto de hipérboles, como apresentado na Figura 1 (HIEDA; ODA, 1998):
22 Figura 1 – Curvas de Risco-Retorno Possíveis
Fonte: HIEDA; ODA (1998).
Esse conjunto de hipérboles, seguindo as restrições de que todo o capital deve ser investido e que não haverá a alavancagem, formam um conjunto compacto (HIEDA; ODA, 1998), também conhecido como Fronteira Eficiente dos Ativos de Risco.
Segundo Perotti Junior e Payés (2015), Markowitz encontrou as carteiras ótimas para cada nível e risco, denominado de Fronteira Eficiente a apresentação gráfica de todas as combinações, em que as abscissas correspondem ao risco e as ordenadas ao retorno. Nesta fronteira é possível selecionar o maior retorno tendo o menor risco possível, assim como identificar a Carteira de Variância Mínima (CVM), representada na Figura 2 pela letra E, a que possui o menor risco dentre as demais carteiras apresentadas, enquanto a letra S, representa a maior relação risco-retorno, como demonstrado na Figura 2:
Figura 2 – Região Factível
Fonte: HIEDA; ODA (1998).
Sabendo das premissas dos investidores em relação ao risco e retorno, os pontos de interesse da curva são representados pelas letras E (menor risco) e S (maior retorno) (HIEDA; ODA, 1998). Sendo assim é obtida Fronteira Eficiente dos Ativos de Risco, em que qualquer ponto acima da CVM escolhido nessa curva é viável para o investidor, já que os retornos
23 localizados na linha da fronteira são os mais eficientes para cada nível de risco, conforme ilustrado na Figura 3 (PEROTTI JUNIOR; PAYÉS, 2015).
Figura 3 – Fronteira Eficiente dos Ativos de Risco
Fonte: HIEDA; ODA (1998).
2.4 Capital Asset Pricing Model – CAPM
Com o princípio de que o investidor é avesso a riscos e procura um investimento que proporcione um maior retorno com o menor risco, ou seja, que maximize sua utilidade (SHARPE, 1964), o modelo econômico Capital Asset Pricing Model (Modelo de Precificação de Ativos de Capitais) surgiu a partir dos estudos desenvolvidos, independentemente, por três pesquisadores: Sharpe (1964), Lintner (1965) e Mossin (1966), conforme Silva, Nogueira e Ribeiro (2015).
Partindo do pressuposto de que existe uma carteira de ativos perfeitamente diversificada, ou seja, o risco dos ativos individuais não é recompensado, sendo recompensado apenas o risco de mercado (sistemático), o modelo CAPM apresenta a taxa de retorno teórica de um investimento em relação à carteira de mercado, a qual é perfeitamente diversificada. Essa taxa teórica é decorrente do equilíbrio dos ativos de risco, em função de suas covariâncias com a carteira de mercado. Sendo assim, a taxa de retorno teórica de um investimento aumenta em relação ao aumento do risco do mercado, ou seja, existe uma relação direta entre risco e retorno (GASPAR; SANTOS; RODRIGUES, 2014). Sharpe (1964) afirma que o investidor pode obter uma taxa de retorno mais alta, levando em consideração, apenas, o risco adicional incorrido. Dessa forma, o mercado apresenta dois preços: o preço do tempo (ou taxa de juros pura) e o preço do risco, representado pelo retorno adicional esperado por unidade de risco suportado pelo investimento.
24 Outras premissas do CAPM estão relacionadas com a Fronteira Eficiente abordada por Markowitz, sendo assim todos os investidores possuem o mesmo conjunto de oportunidades, tendo acesso a mesma carteira de ativos (Figura 4, representada pelo ponto T) à uma determinada taxa livre de risco (FAMA; FRENCH, 2007). Já que todos os investidores detêm expectativas homogêneas, a carteira de ativos de risco possuída por um investidor será igual às demais carteiras portadas pelos outros investidores, a qual estando em equilíbrio ela será denominada como carteira de mercado, deixando para o investidor, apenas, duas possíveis aplicações de investimento, em uma carteira de mercado ou um ativo livre de risco (CASACCIA ET AL., 2011). Dessa forma, a carteira de mercado deve estar sobre a fronteira de variância mínima para que ocorra o equilíbrio do mercado de ativos (FAMA; FRENCH, 2007).
Figura 4 – Oportunidades de Investimento
Fonte: FAMA; FRENCH (2017).
O CAPM admite que o retorno esperado do ativo é obtido por meio da função linear de três variáveis: o beta (β), a taxa de retorno do ativo livre de risco e o retorno da carteira de mercado, como demonstrado na Equação 5 (CASACCIA ET AL., 2011):
R(i) = R + β (R − R ) (5)
Onde:
R( ) = retorno do ativo;
R = taxa de retorno do ativo livre de risco;
25 R = retorno da carteira de mercado;
(R − R ) = prêmio pelo risco.
O coeficiente beta (β), Equação 6, pode ser obtido levando em consideração os retornos históricos do ativo em relação aos retornos do mercado, que são baseados no retorno médio de uma amostra significativa em um banco de dados. Assim, o beta de uma carteira é composto pela soma dos produtos entre as proporções aplicadas em cada ação e o beta de cada ação. De acordo com as hipóteses, todos os investidores aplicarão suas riquezas na carteira de mercado situada na linha de mercado ou fronteira eficiente (CASACCIA ET AL., 2011).
β = , (6)
Onde:
β = coeficiente de volatilidade entre o ativo e o mercado; , = covariância entre o ativo e o mercado;
= variância do mercado.
De acordo com Forster (2009), interpreta-se que o beta (β) da carteira de mercado é sempre igual a 1, sendo assim ele pode ser analisado das seguintes formas:
β > 1: o ativo apresenta um risco maior do que o risco do mercado; β = 1: o ativo apresenta um risco igual ao do mercado;
β < 1: o ativo apresenta um risco menor que o do mercado.
Os retornos esperados e o risco dos ativos individuais, assim como as carteiras situadas na Linha de Mercado de Títulos (Security Market Line – SML), são considerados eficientes, ou seja, não possuem risco diversificável, sendo um dos pilares da Teoria Moderna de Finanças. Esse conceito é abordado pela Hipótese da Eficiência de Mercado (HEM), em que “um mercado eficiente pode ser definido como um mercado onde os preços dos ativos se ajustam instantaneamente à entrada de novas informações, e o preço corrente das ações reflete integralmente todas as informações disponíveis em relação ao ativo” (REILLY, 2008 apud CASACCIA ET AL., 2011, p. 16). Utilizada em pesquisas empíricas, a HEM identifica e mede o impacto das informações contábeis na formação do preço dos ativos de mercado, auxiliando
26 na explicação dos efeitos das informações mais relevantes sobre os preços dos ativos (FORSTER, 2009).
2.5 Medidas de Desempenho Financeiro da Carteira de Ativos
Sendo o pioneiro na análise de riscos de investimento, Markowitz (1952) serviu de inspiração para o desenvolvimento de algumas medidas de desempenho financeiro para analisar o comportamento de uma carteira de ativos. “A partir de então, percebeu-se a importância da avaliação do risco associado aos investimentos, de modo que a maximização dos retornos deixou de ser priorizada e passou-se a avaliar o retorno ajustado ao risco assumido para obtê-lo” (MELO; MACEDO, 2011, p. 3).
O primeiro a avaliar o desempenho foi Treynor (1965), analisando o retorno em excesso por unidade de risco sistemático, enquanto Sharpe (1966) surgiu logo depois com uma medida parecida, porém analisando o risco global da carteira, sistemático e não-sistemático. Diferente dos anteriores, Jensen (1968) desenvolveu uma fórmula de desempenho absoluto baseado no Modelo de Precificação de Ativos de Capital (CAPM).
A avaliação de desempenho de portfólios é um fator importante no processo de investimento, determinando quando, quanto e como a seleção dos ativos dentro de uma carteira podem contribuir para aumentar o valor aplicado (CORREIA; NEVES, 2013). Comparam-se os resultados de uma carteira com aqueles obtidos por outras, que podem ser de um índice de mercado, um concorrente ou através do benchmark (MELO; MACEDO, 2011).
Analisando a performance de um investimento, os índices de desempenho acabam avaliando o perfil dos investidores, ajudando a diferenciar os investidores que, realmente, apresentaram estratégias habilidosas, daqueles que contaram com a sorte e daqueles que obtiveram maiores retornos por investirem em ativos mais arriscados (MELO; MACEDO, 2011).
2.5.1 Índice de Treynor
Jack Treynor, em 1965, desenvolveu o Índice de Treynor, também conhecido como Recompensa pela Volatilidade, uma medida de avaliação que utiliza premissas do CAPM, dividindo o risco em duas partes: risco associado à variação do mercado (sistemático) e risco originados de aspectos únicos de cada ativo individual (não-sistemático) (GUIMARÃES
27 JÚNIOR; CARMONA; GUIMARÃES, 2015). Dessa forma, se utiliza o coeficiente beta (β) como medida de risco sistemático, avaliando o risco do mercado para seleção de portfólio. A Equação 7 demonstra o desempenho da carteira como o prêmio pelo risco por unidade de risco assumido pelo investidor (GASPAR; SANTOS; RODRIGUES, 2014):
IT = R − R
β (7)
Onde:
R = retorno esperado do ativo; R = retorno do ativo livre de risco;
β = coeficiente beta ou risco sistemático do ativo.
O Índice de Treynor evidencia o retorno gerado por uma carteira por unidade de risco não diversificável, sendo calculado pelo quociente entre a rentabilidade média em excesso da carteira e o beta da carteira. Este índice de desempenho tem como base a SML, em que quanto maior o seu valor, melhor é o desempenho da carteira analisada. Normalmente, os valores do índice são comparados entre carteiras semelhantes ou em relação a uma carteira padrão. Lembrando que para que a medida seja correta é necessário que a carteira tenha passado por um processo de diversificação (CORREIA; NEVES, 2013).
2.5.2 Índice de Sharpe
O Modelo de Índice Único ou Modelo Diagonal de William Sharpe (1966) é uma forma mais simplificada de seleção de portfólio, pois considera que os ativos não estão correlacionados entre si, trata-se de analisar uma carteira em relação a um índice representado pela média do mercado (PEROTTI JUNIOR; PAYÉS, 2015). O Índice de Sharpe, como é conhecido popularmente, tem como base de cálculo o desvio-padrão da carteira, ou seja, trabalha tanto com o risco sistemático como o não-sistemático de um portfólio, já que acredita que o desempenho de uma carteira pode sofrer alguma penalização caso haja uma diversificação ineficiente (GASPAR; SANTOS; RODRIGUES, 2014).
O Índice de Sharpe (ISh) mede o retorno extra (ou prêmio pelo risco) para cada unidade de risco global assumido pelo investidor, Equação 8 (GASPAR; SANTOS; RODRIGUES, 2014).:
28 ISh = R − R
θ (8)
Onde:
R = retorno esperado da carteira; R = retorno do ativo livre de risco;
θ = desvio-padrão (ou volatilidade) da carteira.
O ISh é calculado pelo quociente entre a rentabilidade média em excesso da carteira e o desvio-padrão dos retornos da mesma (CORREIA; NEVES, 2013). Permite que o investidor obtenha informações que o auxilie na escolha de fundos ou carteiras que proporcionem maior nível de desempenho, ou melhor dizendo, que gere maior retorno por unidade de risco global (GASPAR; SANTOS; RODRIGUES, 2014). Sendo assim, é possível saber se uma carteira tem desempenho superior a outra quanto maior o valor do índice se apresentar, pois informa se a rentabilidade do portfólio é compatível com o risco do mesmo (OTTO; SÉLLOS; ARAÚJO, 2017).
O Índice de Sharpe se baseia na Linha de Mercado de Capitais (Capital Market Line
– CML), sendo válido na avaliação de carteiras pouco diversificadas, em que quanto maior o
seu valor, melhor é o desempenho da mesma. Costumeiramente, comparam os valores do índice entre investimentos com características semelhantes ou com uma carteira padrão, exemplo, carteira BOVESPA (CORREIA; NEVES, 2013).
O Índice de Sharpe se apresenta de forma mais assertiva quando utilizado para medir o desempenho passado de uma carteira, pois é possível que a mesma apresente um risco não sistemático considerável devido a uma ineficiente diversificação (OTTO; SÉLLOS; ARAÚJO, 2017).
Devido a algumas mudanças que ocorreram no mercado, como a volatilidade das taxas de juros nos anos 70, assim como as tendências de gestão segmentada e alocação dos ativos através do benchmark, tornaram necessárias algumas adaptações da fórmula inicial do Índice de Sharpe. Em 1994, Sharpe lança a nova versão do seu índice, levando em consideração a média do excesso do retorno e o desvio-padrão do ativo livre de risco e da carteira, sendo denominado como Índice de Sharpe Generalizado, Equação 9 (GUIMARÃES JÚNIOR; CARMONA; GUIMARÃES, 2015):
29 ISG = Média (R − R )
θ(R − R ) (9)
Onde:
Média (R − R ) = média dos excessos de retorno da carteira em relação ao ativo livre de risco;
θ(R − R ) = desvio-padrão dos excessos de retorno da carteira em relação ao ativo livre de risco.
2.5.3 Alfa de Jensen
O Alfa (α) de Jensen foi criado por Michael Jensen, em 1968, também com base no CAPM, avalia o desempenho da carteira na relação entre o beta e o retorno ajustado pelo risco, analisando a diferença entre a rentabilidade obtida pela carteira e a rentabilidade esperada pelo CAPM, tendo o beta (β) como medida de risco não-diversificável (GUIMARÃES JÚNIOR; CARMONA; GUIMARÃES, 2015). A Equação 10 demonstra a fórmula para o cálculo desse desempenho (GASPAR; SANTOS; RODRIGUES, 2014):
α = (R − R ) − β (R − R ) (10)
Onde:
R = retorno esperado da carteira; R = retorno do ativo livre de risco;
β = coeficiente de volatilidade entre o ativo e o mercado; R = retorno do mercado.
Esta medida avalia o desempenho da carteira, medindo seu retorno, ajustado pelo risco, quando ocorre um resultado positivo significa que a carteira gerou um retorno maior que o esperado (OTTO; SÉLLOS; ARAÚJO, 2017).
O Alfa de Jensen é utilizado para retornos esperados, tanto da carteira como do mercado, durante um período de tempo. Quando se fala de retorno realizado ou verificado, deve-se adicionar um termo aleatório, ou seja, um erro aleatório, como demonstrado na Equação 11 (GUIMARÃES JÚNIOR; CARMONA; GUIMARÃES, 2015):
30 α = (R − R ) − β (R − R ) − (11)
De acordo com os estudos de Jensen, quando a situação é de equilíbrio perfeito, o erro aleatório será igual a zero, enquanto o prêmio pelo risco será igual a relação entre o beta e o retorno do mercado (GUIMARÃES JÚNIOR; CARMONA; GUIMARÃES, 2015).
31 3 METODOLOGIA
Esta pesquisa se caracteriza como descritiva-exploratória de abordagem quantitativa, com natureza aplicada, tendo os dados obtidos por meio de levantamento bibliográfico. Sendo assim, o trabalho visa expor as características da situação através do emprego de instrumentos estatísticos, tanto na coleta de dados como no seu tratamento (ALMEIDA; SILVA; RIBEIRO, 2010)
Nesta pesquisa, o método de pesquisa descritiva-exploratória está dividido em cinco etapas: Definição da Amostra e Coleta de Dados, Seleção dos Ativos e Processamento de Dados. Essas etapas serão explicadas abaixo.
3.1 Definição da Amostra e Coleta de Dados
O Índice Ibovespa é o indicador de desempenho médio, que tem como objetivo representar os ativos de maior negociabilidade e representatividade do mercado acionário brasileiro (PERROTI JUNIOR; PAYÉS, 2015). Dessa forma, para esta pesquisa, foram coletados os valores mensais do fechamento ajustado dos ativos de todas as empresas que compõem o Índice Ibovespa (IBOV) da Brasil, Bolsa, Balcão (B3), durante o período de 31/12/2013 a 31/12/2018. Outro dado utilizado na pesquisa foi a taxa livre de risco, que neste caso foi definida pela taxa Selic, enquanto a taxa de mercado foi obtida pelo retorno médio mensal da carteira Ibovespa (IBOV), sendo composta por 61 empresas (representada no Quadro 1 no Apêndice).
Os dados foram coletados na base de dados Economatica, que trabalha com fontes primárias de informações oficiais, sendo utilizado por milhares de analistas em inúmeras instituições, a ferramenta permite uma análise de balanços, mercado de ações, fundos de investimentos e títulos públicos, sempre prezando pela grande abrangência de dados e a alta confiabilidade (ECONOMATICA, 2015).
3.2 Seleção dos Ativos
A partir da coleta de dados das cotações de fechamento ajustado aos proventos das 61 empresas que compõem o Índice Ibovespa, foi constatado que alguns ativos não apresentavam cotação mensal para todo o período analisado nesta pesquisa. Sendo assim, os
32 mesmos foram excluídos da amostra, a saber: KLBN11, LOGG3, BRDT3, RAIL3, SUZB3 e VVAR3. Dessa forma, as ações selecionadas para compor a amostra correspondem a 90,77% da carteira BOVESPA (a carteira completa pode ser observada no Quadro 2 no Apêndice).
3.3 Processamento de Dados
Com a exclusão das empresas que não possuíam todos os dados desejados, foi possível elaborar uma planilha no Software Microsoft Excel para calcular a variação mensal de cada ativo, ou seja, o retorno contínuo dos ativos de janeiro de 2014 a dezembro de 2018, por meio da fórmula do logaritmo natural. O retorno contínuo foi aplicado nas cotações das ações selecionadas para compor a amostra e nas cotações da carteira IBOV.
Em seguida, calculou-se, no Microsoft Excel, o retorno médio de todos os ativos por meio da função MÉDIA, bem como o desvio-padrão e a variância dos ativos com o auxílio das funções DESVPAD.P e VAR.P (os resultados estão apresentados no Quadro 3 no Apêndice).
Também a partir do retorno, foi possível verificar o beta (β) dos ativos utilizando a função INCLINAÇÃO(retornos da ação; retornos do Ibovespa), verificando a volatilidade entre um ativo e o mercado (Quadro 4 no Apêndice apresenta os resultados).
Em seguida, foi necessário encontrar a covariância entre todos os pares de ativos. Utilizando o Microsoft Excel, com o auxílio da ferramenta Análise de Dados (localizada na aba Dados), é possível selecionar a tabela com os retornos dos ativos e calcular a matriz de covariância automaticamente. Como a matriz não vem completa foi preciso preenche-la. Sabendo que a diagonal principal são as variâncias e as demais são as covariâncias, o preenchimento da matriz pode se dar de duas formas. A primeira, selecionando a coluna de covariâncias e clicando no recurso Colar Especial função TRANSPOR. A segunda, selecionando as células nas quais deseja que os dados apareçam e digitando a fórmula TRANSPOR(seleciona a coluna com as covariâncias) e depois pressiona, simultaneamente, o comando “Ctrl + Shift + Enter”. Neste cálculo, só se levou em conta os retornos dos ativos, assim tanto a Selic quanto o IBOV não participaram da matriz (passo a passo descrito nas Figuras 5 a 10 no Apêndice).
Depois de realizar todos os cálculos descritos, pode-se iniciar o processo de otimização da carteira pelo método de Markowitz. A primeira carteira foi composta por 59 ativos, tendo cada um a mesma porcentagem (ou peso) de investimento, de 1,69%, em que a
33 soma corresponde ao total investido no portfólio (100%), por causa dessa característica esta carteira pode ser denominada como “Carteira Simples” (PEROTTI JUNIOR; PAYÉS, 2015), já que não apresenta nenhum critério racional de diversificação (No Quadro 5 no Apêndice é apresentada a Carteira Simples). Para esta carteira foi calculado o risco, o retorno e o beta.
Com a definição da porcentagem inicial de investimento, foi possível calcular o retorno, desvio-padrão e beta da carteira, utilizando o Microsoft Excel, por meio das funções a seguir:
Retorno da carteira (R ): MATRIZ.MULT (TRANSPOR (pesos); retornos dos ativos), e depois pressiona, simultaneamente, o comando “Ctrl + Shift + Enter”; Desvio-padrão da carteira (θ ): RAIZ(MATRIZ.MULT(MATRIZ.MULT (TRANSPOR(pesos);matriz de covariância);pesos), e depois pressiona, simultaneamente, o comando “Ctrl + Shift + Enter”;
Beta da carteira (β ): SOMA(beta do ativo * peso do investimento no ativo). A função Solver do Microsoft Excel foi utilizada para seleção da carteira ótima, pois busca a melhor solução para determinado problema a partir de uma função objetivo, variáveis e restrições, capaz de encontrar os pontos ideais (máximo e mínimo) do resultado desejado. Nesta pesquisa, o objetivo é a minimização do risco (desvio-padrão) e maximização do retorno da carteira, sendo assim, foi possível definir as células variáveis e as restrições ou critérios para seleção da carteira a ser analisada.
A segunda carteira teve como função objetivo a célula do desvio-padrão, tendo como objetivo sua minimização. Como células variáveis foram definidas as que continham a porcentagem (peso) de investimento em cada ativo. Enquanto que as restrições foram estabelecidas três: as porcentagens (pesos) de investimento tinham que ser maiores ou iguais a zero, a soma das porcentagens de investimento deve ser igual a 100% e o retorno da carteira teria que ser maior ou igual ao retorno do mercado (IBOV), como pode ser observado na Figura 11. Essa carteira pode ser denominada como “Carteira de Variância Mínima”, expressão utilizada por Markowitz para carteiras de menor risco possível (PEROTTI JUNIOR; PAYÉS, 2015).
Tendo realizado este procedimento, ao executar o Solver, foram definidos os valores de desvio-padrão, beta e retorno da carteira de tal maneira que, para o retorno instituído, se encontrou o menor risco possível para carteira.
34
Figura 11 – Parâmetros do Solver para Minimização do Risco
Fonte: Elaborado pela autora (2019).
Já a terceira carteira foi denominada como “Carteira de Máximo Retorno” (PEROTTI JUNIOR; PAYÉS, 2015), já que possibilita encontrar o maior retorno possível que a carteira com base nos requisitos estabelecidos. Teve como função objetiva a célula do retorno, visando sua maximização. Como células variáveis foram definidas as que continham a porcentagem (peso) de investimento em cada ativo. Enquanto as restrições, foram estabelecidas três: as porcentagens (peso) de investimento tinham que ser maiores ou iguais a zero, a soma das porcentagens de investimento deve ser igual a 100% e o desvio-padrão da carteira teria que ser menor ou igual ao desvio-padrão do mercado (IBOV), como pode ser observado na Figura 12.
Definido todos os parâmetros necessários, feita a aplicação do Solver, foi possível obter o beta, desvio-padrão e retorno da carteira, em que para o risco definido se encontrou o maior retorno possível.
35
Figura 12 – Parâmetros do Solver para Maximização do Retorno
Fonte: Elaborado pela autora (2019).
Os resultados da relação risco-retorno das carteiras otimizadas foram comparados ao da Carteira Simples, que utiliza todos os ativos viáveis da carteira BOVESPA. Para analisar o desempenho das mesmas, foi calculado os três indicadores de desempenho, a saber: Índice de Sharpe, com base no desvio-padrão (θ), o Índice de Treynor, em relação ao beta (β) e Alfa (α) de Jensen utilizando o beta e o retorno do mercado.
No caso do Índice de Sharpe, se tem a opção de utilizar duas fórmulas, a primeira com base no risco da carteira e a segunda denominada como Índice de Sharpe Generalizado. Para este trabalho optou-se a utilização da primeira fórmula, já que a mesma é empregada por alguns autores que estudam essa metodologia e serviram de embasamento teórico para este estudo, como Hieda e Oda (1998), Correia e Neves (2013), Gaspar, Santos e Rodrigues (2014), Silva, Nogueira e Ribeiro (2015), Otto, Séllos e Araújo (2017).
36 4 ANÁLISE DOS RESULTADOS
4.1 Risco e Retorno das Ações da Carteira Ibovespa
Por meio dos dados históricos das cotações de todas as empresas que compõem o Índice Ibovespa, durante o período de quatro anos, foi possível calcular o retorno médio, desvio-padrão e beta dos ativos, possibilitando a identificação das ações mais rentáveis e mais arriscadas da carteira.
Como é possível verificar na Tabela 1, a ação MGLU3 possui a maior rentabilidade do período, de 5,41% a.m. Apesar de ter o maior retorno, a mesma possui um risco de 20,26%, ocupando a quarta posição no ranking do desvio-padrão (ver Quadro 3 no Apêndice), ou seja, o investidor que visa ter o melhor retorno dentre os ativos da carteira BOVESPA terá que enfrentar um alto risco para alcançar esse objetivo. Enquanto isso as ações CVCB3 e SANB11 possuem o mesmo retorno, tendo, respectivamente, 9,33% e 9,37% de risco. Partindo do princípio de que se um investidor estiver diante de dois investimentos que oferece o mesmo retorno, porém com riscos diferentes, ele escolherá o menos arriscado, assim a melhor opção é o ativo CVCB3, que apresenta o menor risco.
Tabela 1 – Ranking do Retorno e do Risco da Amostra
Retorno Desvio-Padrão Beta
Posição Código Retorno Médio Posição Código Desvio-padrão Posição Código Beta
1 MGLU3 5,41% 1 USIM5 22,43% 1 USIM5 2,85
2 CVCB3 2,52% 2 GOLL4 21,53% 2 CSNA3 2,29
3 SANB11 2,52% 3 CSNA3 21,15% 3 PETR4 2,24
4 ELET3 2,45% 4 MGLU3 20,26% 4 GOLL4 2,23
5 LREN3 2,38% 5 GOAU4 19,53% 5 GOAU4 2,08
Fonte: Elaborado pela autora (2019).
Ainda analisando a Tabela 1, a ação ELET3, possui um retorno de 2,45% a.m. contrastando com um risco de 16,63%, sendo a sexta ação mais arriscada da carteira. Já a LREN3 tem um risco de 7,77%, o mais baixo em relação as quatro primeiras ações do ranking. Também foi possível identificar que 27 ações tiveram um retorno superior ao da Carteira IBOV, que foi de 0,89% a.m. (conforme Quadro 3 no Apêndice).
Sobre o risco da amostra mensurado pelo desvio-padrão, é possível verificar na Tabela 1, que das cinco ações mais arriscadas, só uma está entre as cinco ações com maior
37 retorno, a MGLU3, ocupando a primeira posição no ranking dos retornos médios. Observou-se que para o período analisado o desvio-padrão da carteira IBOV foi de 6,20% e que apenas dois ativos apresentaram desvio-padrão menor, a saber: EGIE3 e ABEV3, tendo, respectivamente, 5,02% e 4,81% de risco. É de se esperar que quanto maior o risco, maior o retorno, pois existe uma correlação positiva entre risco e retorno (GONÇALVES JUNIOR; GONÇALVES, 2006).
Sendo o beta (β) o coeficiente de volatilidade entre o ativo e o mercado, quando este apresenta um β > 1, significa que o risco do ativo é maior que o risco de mercado. No caso desta pesquisa o risco de mercado é representado pelo IBOV. Dessa forma, como é possível verificar na Tabela 1, as cinco primeiras ações apresentam um risco superior que o de mercado. Outro ponto, é que quatro dessas ações, USIM5, CSNA3, GOLL4 e GOAU4, também apresentaram um desvio-padrão elevado, enquanto a PETR4, com beta igual a 2,24 ocupa a posição oitava no ranking dos desvios-padrões.
4.2 Otimização da Carteira
Nesta etapa são abordados os resultados obtidos com as três carteiras trabalhadas neste estudo, denominadas como Carteira Simples, Carteira de Variância Mínima e Carteira de Máximo Retorno. Buscou-se realizar os cálculos para otimização da carteira por meio do Solver e por meio dele identificar a participação de ações mais relevantes de maneira a maximizar o retorno e minimizar o risco.
4.2.1 Carteira Simples
A Carteira Simples é composta por 90,77% dos ativos que compõem a carteira BOVESPA, sendo um portfólio diversificado de forma irracional, em que foi atribuído o mesmo peso para os ativos, a saber: 1,69%, aos 59 ativos existentes, como pode ser observado no Quadro 5 no Apêndice. Os resultados obtidos com essa carteira estão apresentados na Tabela 2 abaixo.
Tabela 2 – Resultados da Carteira Simples
Retorno da carteira Desvio-padrão da carteira Beta da carteira
0,92% 6,56% 1,03
38 A carteira simples obteve um retorno de 0,92%, ao passo que o retorno do mercado foi de 0,89%. Ou seja, o retorno da carteira simples foi maior que o retorno da carteira de mercado. Observa-se também que o risco da carteira simples foi maior que o risco da carteira de mercado, justificando, portanto, o maior retorno obtido. Evidenciando, assim, o que foi afirmado por Gonçalves Junior e Gonçalves (2006) de que quando o retorno aumenta, aumenta-se o risco. O beta da carteira confirma que a Carteira Simples apreaumenta-senta um risco maior que a carteira de mercado. Logo, percebe-se a correlação positiva entre o risco e retorno, que quando um aumenta o outro também sofre um aumento.
4.2.2 Carteira de Variância Mínima
A carteira de Variância Mínima foi obtida a partir da ferramenta Solver do
Microsoft Excel, tendo o objetivo de minimizar o risco da carteira, de forma que o retorno da
carteira fosse maior ou igual ao do mercado. Assim, foi possível selecionar 14 ações de empresas diferentes para compor a carteira eficiente, como demonstrado na Tabela 3.
Como pode ser observado na Tabela 3, o maior investimento foi feito na ação ABEV3, que possui um risco inferior ao do mercado, a saber: 4,81% (ocupando a sexagésima posição do ranking, sendo mais arriscada, apenas, que a Selic). Enquanto a ação WEGE3 recebeu o segundo maior investimento da carteira, de 16,87%, isso ocorre, pois, a mesma apresenta um risco de 6,39% (conforme Quadro 3 em Apêndice), próximo ao risco da carteira IBOV de 6,20%. Em seguida, tem-se a EMBR3 com um investimento de 15,52%, que pode ser explicado pelo fato da ação possuir um retorno e risco próximo ao do mercado.
As ações VIVT4 e TAEE11, com os investimentos de, respectivamente, 11,97% (quarta posição) e 9,20% (quinta posição), contaram com essa porcentagem de aplicação por serem um dos ativos menos arriscados da carteira de mercado. Já a BRKM5 detém um investimento de 7,24%, que pode ser esclarecido pelo seu retorno ser duas vezes maior que o do mercado, ao mesmo tempo que o seu risco não representa o dobro de risco do mercado.
A EQTL3 obteve uma participação de 6,52%, tendo um risco de 6,38% (próximo ao da carteira de mercado) e com um retorno de 2,10% (maior que a carteira de mercado). Ao mesmo tempo que a EGIE3, com 5,88% de investimento, apresenta um risco menor que o do mercado, de 5,05%, e um retorno de 0,77%, abaixo do atingido pelo mercado.
Na MRFG3 foi investido 5,59%, em que a mesma possui um risco maior que o da carteira Ibovespa de 12,14%, com um retorno inferior ao mercado. Em contrapartida a RADL3,
39 com 1,99% aplicado, dispõe de um retorno superior ao da carteira, de 2,35%, e um risco de 8,04%.
O ativo CIEL3, com uma porcentagem de investimento de 1,00%, é o único, da composição da carteira eficiente, que apresenta um retorno negativo de - 0,92% e o seu risco maior que o da carteira de mercado de 8,86%. Já a UGPA3, com 0,78% investido, dispõe de um risco de 7,22%, próximo ao do mercado e um retorno de 0,12%.
Percebe-se, na Tabela 3, que as duas ações mais rentáveis, MGLU3 e CVCB3, estão presentes na carteira ótima, porém com uma proporção de investimento baixa, sendo, respectivamente, 0,37% e 0,02%, isso pode ser explicado pelos dois ativos apresentarem um risco alto se comparado com o risco da carteira de mercado.
Em um quadro geral sobre a formação da carteira ótima, visando a diminuição do risco, é possível constatar que os maiores investimentos foram nas ações com menor risco e que metade da carteira é formado por ações que obtiveram um retorno menor que o retorno da carteira de mercado, já que quanto maior o retorno, maior é o risco.
Tabela 3 – Composição da Carteira de Variância Mínima
Nº Ação % Investido 1 ABEV3 17,05% 2 WEGE3 16,87% 3 EMBR3 15,52% 4 VIVT4 11,97% 5 TAEE11 9,20% 6 BRKM5 7,24% 7 EQTL3 6,52% 8 EGIE3 5,88% 9 MRFG3 5,59% 10 RADL3 1,99% 11 CIEL3 1,00% 12 UGPA3 0,78% 13 MGLU3 0,37% 14 CVCB3 0,02%
Fonte: Elaborado pela autora (2019).
Na Tabela 4 são apresentados os resultados obtidos com a otimização da carteira, em que a mesma alcançou o seu objetivo e obteve um desvio-padrão menor que o de mercado, 2,78% contra 6,20% do mercado, enquanto o seu retorno foi igual ao do mercado, de 0,89%. O beta da carteira confirma que a Carteira de Variância Mínima apresenta um risco menor que o
40 de mercado, já que o seu valor é de 0,31, como visto, beta menor que 1 indica que o risco da carteira é menor que o risco do mercado. Ou seja, entre a carteira Ibovespa e a Carteira de Variância Mínima, partindo da premissa de que ao se deparar com dois portfólios com o mesmo retorno, o investidor escolheria o que possui o menor risco (ALMEIDA; SILVA; RIBEIRO, 2010), o investidor optaria, então, pela segunda carteira.
Tabela 4 – Resultados da Carteira de Variância Mínima
Retorno da carteira Desvio-padrão da carteira Beta da carteira
0,89% 2,78% 0,31
Fonte: Elaborado pela autora (2019).
4.2.3 Carteira de Máximo Retorno
A carteira de Máximo Retorno foi obtida a partir da ferramenta Solver do Microsoft
Excel, tendo o objetivo de maximizar o retorno da carteira, de forma que o risco da mesma fosse
menor ou igual ao do mercado. Com base nos parâmetros definidos na otimização, foi possível selecionar 4 ações que maximizam o retorno da carteira, como demonstrado na Tabela 5.
Na Tabela 5, pode-se verificar a participação de cada ativo na composição da carteira. O papel RADL3 é responsável por quase metade do investimento total, isso ocorre por ser a sexta ação mais rentável da carteira de mercado e por possuir um risco próximo ao do mercado, de 8,04%. A MGLU3, como já constatado anteriormente, é a ação mais rentável da carteira Ibovespa, porém é a quarta com o maior desvio-padrão. Como o objetivo desta otimização é a maximização do retorno, é imprescindível a participação dessas duas ações, que possuem retornos expressivos dentre as demais.
Porém, a condição para a otimização é de que o risco da Carteira de Máximo Retorno não seja maior que o risco de mercado, por isso é necessário o investimento em ações que apresentam um retorno acima do mercado, mas com um desvio-padrão que esteja próximo ao do mercado, como é o caso da EQTL3, com um risco de 6,38% contra 6,20% do mercado.
Também é possível identificar que as ações selecionadas apresentam um retorno maior que o dobro do retorno do mercado, começando a partir da BRKM5, que ocupa a décima primeira posição do ranking dos retornos.
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Tabela 5 – Composição da Carteira de Máximo Retorno
Nº Ação % Investido
1 RADL3 43,18%
2 MGLU3 25,83%
3 EQTL3 20,70%
4 BRKM5 10,29%
Fonte: Elaborado pela autora (2019).
Na Tabela 6 são apresentados os resultados obtidos com a otimização da carteira, em que a mesma alcançou o seu objetivo e obteve um retorno maior que o de mercado, 3,30% contra 0,89% do mercado, enquanto o seu desvio-padrão foi próximo ao do mercado, de 6,20%. O beta da Carteira de Máximo Retorno é 0,63, ou seja, o risco da carteira otimizada é menor que o risco da carteira de mercado.
Sendo assim, ao comparar a carteira Ibovespa com a Carteira de Máximo Retorno, com base no pressuposto de que os investidores estão sempre insatisfeitos com o retorno de seus investimentos, por isso tendo que escolher entre carteiras com o mesmo risco, mas com retorno distintos, os mesmos escolhem a que possui o maior retorno (ALMEIDA; SILVA; RIBEIRO, 2010), o investidor elegeria a segunda carteira.
Tabela 6 – Resultados da Carteira de Máximo Retorno
Retorno da carteira Desvio-padrão da carteira Beta da carteira
3,03% 6,20% 0,63
Fonte: Elaborado pela autora (2019).
4.2.4 Comparação entre as Carteiras
Observou-se que as três carteiras selecionadas nesta pesquisa ofereceram um retorno superior ao do mercado, assim caso um investidor tivesse que escolher entre a carteira Ibovespa e uma das três carteiras apresentadas, ele ficaria com a segunda opção, apoiando-se nas premissas que envolvem o comportamento do investidor.
Dentre as três carteiras, a Carteira de Variância Mínima foi a que apresentou o menor risco e menor retorno, enquanto a Carteira de Máximo Retorno apresentou o maior retorno, isso prova que a diversificação da carteira promove um aumento do retorno e a diminuição do risco, como abordado por Markowitz (1952).
A Carteira Simples representa um investimento em 59 ativos que compõem a carteira Ibovespa, não sendo utilizado nenhum critério de diversificação, a carteira apresentou
42 a maior volatilidade em relação a carteira de mercado e as demais carteiras selecionadas nesta pesquisa, sendo assim, esta carteira não é adequada para se investir, pois há opções melhores.
O investidor racional optará por uma carteira que maximizará o retorno esperado para determinado grau de risco, ou seja, cada investidor se baseará em seu nível de satisfação e aversão ao risco para selecionar qual das duas carteiras otimizadas nesta pesquisa é a ideal (PEROTTI JUNIOR; PAYÉS, 2015).
Com base nos dados levantados e resultados obtidos, evidencia-se a importância da diversificação da carteira para a obtenção de maiores ganhos com o mínimo risco possível, as carteiras otimizadas provam que o investidor não precisa investir em todos os ativos do Índice Ibovespa para possuírem um retorno satisfatório. Assim como atesta que o Modelo de Seleção de Carteiras de Markowitz é viável para formação de uma carteira eficiente.
4.3 Desempenho das Carteiras
4.3.1 Análise do Índice de Treynor das Carteiras
O Índice de Treynor, também conhecido como Recompensa pela Volatilidade, evidencia o retorno gerado por uma carteira por unidade de risco não-diversificável (β), que quanto maior o valor do índice, melhor é o desempenho da carteira analisada (CORREIA; NEVES, 2013). Logo, foram calculados os índices de Treynor das carteiras otimizadas, que estão expostos na Tabela 7.
Tabela 7 – Resultados do Índice de Treynor
Carteira Simples Carteira de Variância Mínima Carteira de Máximo Retorno
0,05% 0,08% 3,44%
Fonte: Elaborado pela autora (2019).
Na Tabela 7, observa-se que a Carteira de Máximo Retorno obteve o melhor desempenho, de 3,44%. Isso acontece por causa do seu retorno ser o maior em relação as três carteiras e ao ativo livre de risco, assim como o seu beta é próximo ao beta do mercado. Enquanto a Carteira de Variância Mínima, mesmo tendo um beta menor que o do mercado, indicando que o seu risco não ultrapassa o risco da carteira de mercado, o seu excesso de retorno é de 0,03%.
