Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 1 AS REPRESENTAÇÕES MATEMÁTICAS EM UMA PERSPECTIVA
SEMIÓTICA
Maria Margarete do Rosário Farias Universidade Estadual de Santa Cruz-UESC
margarete333@hotmail.com
Rosana Giaretta Sguerra Miskulin Universidade Estadual Paulista - UNESP
misk@rc.unesp.br
Resumo: Nesse trabalho, propomos uma discussão sobre a Semiótica de Peirce como uma metodologia para o ensino da Matemática. Especificamente, apresentamos uma atividade investigativa (excerto da dissertação de mestrado da 1ª. Autora) intitulada: Otimizando o
Retângulo. A aplicação dessa atividade mediada pelo software Winplot, teve como
finalidade investigar e ressaltar as diferentes formas representativas dos conceitos matemáticos, como dimensões didáticas e pedagógicas, implícitas no conhecimento do professor em formação inicial. Nessa perspectiva, procuramos relatar os acontecimentos vividos na pesquisa, primando o aspecto qualitativo baseado na coleta de dados mediante observação em sala de aula, aplicação e discussão das atividades investigativas no laboratório de informática, entrevistas com alunos e professores da disciplina Cálculo I da UNESP de Rio Claro/SP. Assim, tendo como base os dados coletados junto aos sujeitos da pesquisa, inferimos que através de um processo semiótico, é possível gerar novas formas de representação e que a cognição e o efeito transformador dos signos sobre o ensino conduz todos os envolvidos a um processo de pensamento mais generalizado sobre a atividade Matemática, o que implica a relevância de transitar entre várias representações no processo de exploração e investigação dos conceitos matemáticos.
Palavras-chave: Semiótica; Softwares Educativos; Ensino do Cálculo; Representações Matemáticas.
1. A ABORDAGEM PERCIANA COMO UMA METODOLOGIA PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA.
A Semiótica de Peirce é uma teoria muito pouco difundida na área da Educação Matemática, embora não tenha sido designada como uma metodologia para o ensino da Matemática, seus princípios, em termos gerais, podem convergir para esse fim.
A abordagem peirceana considera o signo como mediação semiótica (forma lógica da Semiose) enfocando dois sentidos para a palavra signo: sentido extensivo e sentido específico, nesse último caso ele se apresenta ou representa algo ou alguém em forma,
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 2 sentido, função entre outros aspectos. Em particular, para a função do sentido extensivo, (PEIRCE, apud SANTAELLA, 2002) consideram três categorias onipresentes e universais: primeiridade; secundidade e terceiridade. Na primeiridade as características monádicasi são: originalidade, acaso, possibilidade, incerteza, imediaticidade, presentidade e qualidade. Em um contexto matemático, poderíamos ilustrar tal característica, usando o fato de um estudante visualizar na lousa o desenho do gráfico de uma função, aquele traço por si só, sem fazer referência a nada, simplesmente uma imagem registrada na lousa. Esse momento corresponde a uma primeira apreensão, uma primeiridade, representando assim uma finíssima película de mediação, entre os sentidos (o que se vê, ouve e sente) e os fenômenos suscetivelmente colocados, simplesmente por já pertencer a este mundo ou particularmente a um dado conjunto de idéias e fatos.
A secundidade é definida como categoria diádica, pois as idéias estão relacionadas com polaridade: ação e reação, esforço, dependência, experiência. Voltando ao instante em que o estudante vê o traço na lousa, o relacionado, por exemplo, ao gráfico de uma função do segundo grau, esse momento caracteriza o estado segundo, pois, “no plano da
primeiridade a lógica é a da mera probabilidade de ser, a força que não realiza” (PEIRCE,
apud SANTAELLA, 2004, p.46). Mas, qualquer reação gerada nesse breve instante, provocada por uma ação do pensamento quando esse estudante principia uma interpretação, diante a imagem de tal objeto matemático, identificando-o a algo conhecido e considerando, por conseguinte, suas particularidades e/ou singularidades, é o estado de
secundidade, que se manifesta na condição de confronto, na busca de compreensão
associada ao caráter de observação em relação às informações que lhe estão sendo impostas. Simultaneamente ao estado de receptividade do estudante diante tal conhecimento, o professor poderá introduzir novos questionamento a fim de estimular o seu aluno, a descobertas de outras formas representativas que lhe possibilite compreender de maneira mais aprofundada o conteúdo estudado. Assumindo, portanto, que a idéia principal de secundidade é a experiência, evidenciamos que no momento de confronto, haja o estabelecimento de uma suposta abrangência que lhe permita relacionar conhecimentos anteriores aos novos adquiridos. Deste modo em uma prática e experimentação contínua é configurado o ambiente de exploração e investigação que
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 3 tornará possível o desenvolvimento de idéias e concepções, de modo que o conhecimento é elaborado mediante uma percepção sígnica.
A terceiridade ou categoria triádica está ligada às idéias de generalidade, continuidade, crescimento, representação e mediação. A mediação, segundo Peirce (apud Santaella, 1996), é considerada a característica mais geral da terceiridade. Em outras palavras, a terceiridade é uma relação triádicaii existente entre o signo, o objeto e o
pensamento interpretante, ou seja, um signo coloca um segundo - seu objeto em relação cognitiva para com um terceiro - o interpretante. Nessa medida, o olhar atento do estudante, referindo-nos ao exemplo acima citado, já está carregado de interpretação, de busca de explicação, de análise e generalização, ou seja, a caminho da terceiridade, sob a qual ele poderá interpretar o dado traço que corresponde a uma parábola de acordo com uma suposta lei ou conceito matemático. Enfim, “palavras” para significar têm que necessariamente estarem conectadas com outras palavras, isto é, para compreendermos um dado pensamento precisamos interpretá-lo com outro pensamento, uma representação em outra representação, onde o signo faz o papel de mediador, pois de um lado representa o que é externo a ele, o seu objeto, e do outro lado dirige-se a alguém, o interpretante que por sua vez processará a mensagem advinda do signo. E, esse processo de investigação ocorre indefinitamente. Portanto, elementos da terceiridade implicam em um processo de conhecimento, vez que estabelece um pensamento, compõe uma intercessão entre o estado de primeiridade e secundidade. A partir dessas considerações sobre o signo, o qual só pode fazer sentido se traz o poder de representar alguma coisa diferente dele, acreditamos que se torna bastante proveitoso, para o ensino da matemática, compreender seus conceitos utilizando várias representações matemáticas, tais como; apresentando o conteúdo verbalmente, representando-o por meio de um gráfico, por meio algébrico ou ainda geométrico ou mesmo por meio de tabelas.
2. AS REPRESENTAÇÕES MATEMÁTICAS MEDIADAS PELO COMPUTADOR Hitt (2003) assinala que, cada representação é parcial em relação à uma compreensão global, visto que é enganoso pensar que as representações de um mesmo conceito ou objeto matemático transpareça uma na outra de forma evidente. Portanto devemos considerar como absolutamente necessário o intercâmbio entre as diferentes
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 4 representações, no que corresponde à interpretação de um conceito, propriedade ou outra noção matemática qualquer. Na exploração ou investigação de um problema torna-se, importante não priorizar uma representação matemática em detrimento da outra visando, deste modo, possibilitar ao aluno perspectivas de análise e percepções sobre a atividade desenvolvida, contudo levando-se em conta as dificuldades inseridas na metodologia adotada para o estudo de tais representações.
No que se seguem em relação ao uso da tecnologia no trato das representações matemáticas, autores assinalam que com a possibilidade do uso de calculadoras gráficas e dos computadores, o uso de múltiplas representações, tem sido intensivamente discutido, especialmente para o ensino de funções. Borba (1994, apud BORBA e VILLARREAL 2005), Borba e Confrey (1996, apud BORBA e VILLARREAL, 2005) têm também destacado a importância dessa abordagem que privilegia a mudança de uma representação matemática à outra, ou seja, visa contemplar em uma atividade ou em um dado problema a coordenação entre essas várias representações que podem ser ilustradas tais como tabelas, gráficos, representações geométricas, expressões algébricas entre outras. Além do que qualquer atividade mediada pelo computador é uma atividade sígnica, que pode expressar um signo. Nesse sentido, Miskulin (1999) assinala que, “a representação desempenha uma função extremamente importante” (p. 289), enfatizando que, toda representação possui um caráter semiótico e um caráter instrumental. A Semioticidade pode ser percebida pelos desenhos, gráficos, gestos, discursos, palavras, etc. Deste modo, a dimensão instrumental da representação está relacionada aos objetivos, formas do sujeito expressar o conceito matemático por meio dos signos que carrega nele próprio o significado conceitual matemático. Assim sendo, como afirma (FISCHBEIN, 1993, apud MISKULIN, 1999) “nesta simbiose entre conceito e figura, como pode ser revelado nas figuras geométricas, por exemplo, é a imagem componente que estimula novas direções de pensamento, não esquecendo suas restrições lógicas e conceituais que controlam o rigor formal do processo” (p. 291).
3. OTIMIZANDO O RETÂNGULO.
No Laboratório de Informática, participaram da atividade dezoito estudantes da disciplina Cálculo diferencial e Integral I (turma de 37 alunos do curso de Matemática da
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 5 UNESP de Rio Claro/SP), selecionados mediante entrevistas, dando prioridade àqueles que manifestassem efetivo interesse em lecionar Matemática.
Problema: Determinar as dimensões do retângulo de maior área, que pode ser inscrito em
um semicírculo de raio r.
Objetivo: investigar os diferentes tipos de representações matemáticas utilizadas pelos
alunos/futuro professor, bem como o grau de conhecimento matemático no processo de interpretação, compreensão e visualização no desenvolvimento do problema. Para o desenvolvimento da atividade foi utilizado o software matemático Winplot.
3.1. METODOLOGIA: DISCUTINDO A ATIVIDADE
A fim de orientar o desenvolvimento da atividade junto aos sujeitos da pesquisa, foi entregue a cada dupla de alunos um roteiro informando a questão a ser discutida e o tutorial do Winplot. Vale ressaltar que os estudantes já estavam familiarizados com alguns comandos do software, tornando produtivo o desenvolvimento dos trabalhos. Os encaminhamentos para a abordagem das representações algébrica, gráfica e geométrica por meio do software, a fim de encontrar possíveis soluções para o problema proposto, obedeceram aos seguintes passos.
3.1.1. Interação da pesquisadora com os estudantes de modo a propiciar um ambiente
investigativo.
Inicialmente foi sugerido aos estudantes, que representassem por meio do Winplot o gráfico da circunferência de equação x2 +y2 = r2 (raio genérico). (Vide Fig. 1).
x y
Figura 1: O Círculo
A partir da representação gráfica da circunferência de centro na origem, foi requerido aos estudantes que discutissem em grupo como poderiam representar algebricamente a equação do semicírculo. Após discussões mediadas pela pesquisadora e
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 6 questionamentos estabelecidos pelos próprios estudantes, soluções foram apresentadas. A seguir, foi proposto aos alunos esboçarem por meio do Winplot o gráfico da equação
2 2 x -r
y , gerando um semicírculo de centro na origem e de raio genérico sobre o eixo das ordenadas (vide Fig.2).
x y
?
Figura 2: O Semicírculo
Ilustrada a representação gráfica de 2 2
x -r =
y , foi sugerido aos estudantes que reproduzissem o retângulo inscrito no semicírculo. Para dinamizar esse momento da atividade foi lhes mostrado como traçar o primeiro segmento que daria origem ao retângulo inscrito no semicírculo, deixando a cargo dos alunos os três segmentos restantes (vide Fig.3); x y ? x y ?
Figura 3: O retângulo inscrito
3.1.2. Concepção de um modelo matemático que pudesse motivar os estudantes a encontrar possíveis soluções para o problema.
Tendo em vista o retângulo inscrito no semicírculo (vide Fig. 3), foram levantadas algumas hipóteses e conjecturas pela pesquisadora, estimulado os estudantes a encontrarem um modelo matemático que viesse representar a área do retângulo inscrito no semicírculo de raio r e de centro na origem. Depois de algumas conjecturas e suposições entre os grupos, foi definida a função A(x) = 2x r2-x2 e em seguida, representado o seu gráfico no Winplot, bem como o ponto genérico (a, 2a r2-a2 ) .Vide Figura 4.
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x
? Figura 4: Função Área
Dando prosseguimento a exploração do gráfico (Fig.4), foi perguntado aos estudantes como poderiam justificar algebricamente suas observações para determinar as dimensões do retângulo de maior área? Para responder tal questionamento foi necessária a mediação da pesquisadora e discussões entre os grupos de duplas. Delineado os procedimentos, todos passaram então, ao exercício de calcular a derivada de A(x), bem como A’(x) e A’’(x) registrando os cálculos operatórios por meio de lápis e papel. Concluído os cálculos e devidamente registrados, foi solicitado aos estudantes que confirmassem entre eles as soluções encontradas, possibilitando aos mesmos comparar suas respostas. Muitos puderam confirmar acertos e erros, e após as correções necessárias, concluíram que o ponto máximo da função correspondia a x = 1,4 para um raio r = 2. E, considerando esses valores para o “teste da segunda derivada”, puderam concluir que x =
1,4 correspondia a um ponto de máximo. Vale ressaltar que nessa atividade foram
explorados resultados para outros valores de r
Finalizado os cálculos, os estudantes passaram então a estabelecer, por meio do Winplot, o gráfico da função derivada, bem como um ponto genérico representado pela seguinte coordenada; 2 2 2 2 2 a -r a -a -r 2
a, , possibilitando-os perceberem, simultaneamente,
o máximo da função área relacionada a maior área do retângulo inscrito no semicírculo.
2 2 x -r x 2 ) x ( A
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x
?
Figura 5: Derivada da Função Área.
A partir das discussões no laboratório, foi solicitado aos estudantes que escrevessem no papel os resultados encontrados, e que comentassem um pouco sobre suas percepções à respeito da atividade desenvolvida. Vejamos abaixo alguns desses registros:
Alexandre e Clara - Pudemos observar que quando o valor se aproxima do ponto de maior
extremo, o valor da área do retângulo se aproxima do máximo. Pudemos observar melhor, junto aos cálculos de derivadas. [...] Quando encontrado o valor máximo, a derivada zera, nesse caso á área do retângulo inscrito é máxima.
Patrícia e Agáta - Pela primeira vez entendemos a relação para a construção de um tipo de
problema. Pudemos observar que quando a área é máxima, a derivada da função é zero e quando é mínima também. Pudemos ainda observar que é importante ter noção do que estamos fazendo, pois a máquina pode errar (referindo-se a uso do software) e devemos estar atentos aos que ocorre.
Frederico e Henrique - Montar o retângulo por meio do software foi o que a gente achou
mais interessante, outra coisa bem legal foi ter a noção de trabalhar na planilha, poder relacionar máximos e mínimos. Já no Winplot foi a possibilidade de visualizar os gráficos das funções, da função Área e das funções derivadas, além de interpretar através da área do maior retângulo os pontos de máximo e mínimo.
4. ANÁLISE SEMIÓTICA
Mediante a atividade desenvolvida e tendo como base as categorias de primeiridade, secundidade e terceiridade, podemos inferir, que a qualidade visual do retângulo inscrito no semicírculo, correspondeu no primeiro momento em uma forma sígnica icônica - uma primeiridade e, em um segundo momento, um indicativo para a definição do modelo matemático - a função área. A partir dessa primeira apreensão, por meio da interação e discussões geradas pela pesquisadora, no contexto do desenvolvimento
A’(x) A(x)
Retângulo inscrito
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 9 da atividade e pelas inferências e hipóteses levantadas pelos estudantes, no processo de criarem estratégias para solucionar o problema apresentado, novas informações ocorreram, permitindo aos estudantes avançarem e elaborar os seus raciocínios de maneira mais significativa, percebendo, por conseguinte, como a qualidade dos signos era manifestada nas diferentes representações das figuras, isto é, como a circunferência e o semicírculo se relacionavam com os dados da atividade proposta – existia “uma certa tradução” dos dados da atividade para a sua representação. Nesse ponto, temos então a secundidade.
Em um terceiro momento, quando os alunos começaram a relacionar os conceitos de derivada da função área com o fato de igualar sua representação algébrica a zero para determinar os pontos críticos, compreenderam que deveriam encontrar também a segunda derivada da função área para investigar se o ponto era de máximo ou de mínimo. Esse foi um momento importante, pois permitiu aos estudantes relacionar os diversos conceitos matemáticos trabalhados através da visualização e da dinamicidade do software Winplot. Além disso, ao confirmarem as suas conjecturas iniciais perceberam as diversas relações matemáticas que puderam ser extraídas e estabelecidas à partir das diferentes representações – algébrica, gráficas e geométricas (estática e dinâmica). Nesse momento podemos considerar que os alunos atingiram um nível mais elevado de raciocínio matemático possibilitando aos mesmos a capacidade de abstrair e generalizar os conceitos estudados para outros contextos. Nesse ponto, temos então, na análise Semiótica, a terceridade.
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
O objetivo desta atividade consistiu em retratar a utilização das várias representações matemáticas mediadas pelo software Winplot, embasadas em conteúdos da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I. Com essa perspectiva, procuramos relatar os acontecimentos vividos em nossa coleta de dados, junto aos sujeitos da pesquisa, bem como alguns momentos desses estudantes em referência à atividade apresentada.
Além disso, a abordagem metodológica, junto aos sujeitos pesquisados, permitiu-nos proceder a uma compreensão que através de um processo semiótico, é possível gerar novas formas de representação e assim ad infinitum e que a cognição e o efeito transformador dos signos sobre o ensino conduz a todos os envolvidos em um processo de
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 10 pensamento mais generalizado sobre a atividade Matemática, o que implica a relevância de transitar entre várias representações no processo de exploração e investigação dos conceitos matemáticos, buscando uma integração entre essas. Assim o signo se constituiu na mente dos alunos, isto é, o signo só assumiu o status de signo na terceridade, a qual permitiu aos alunos procederem as inter-relações das diferentes representações – algébrica, gráfica e geométrica – com os significados intrínsecos aos conceitos matemáticos.
REFERÊNCIAS
BORBA, M.C; VILLARREAL, M.C. Humans-with-Media and the Reorganization of Mathematical Thinking: information and communication technologies, modeling, experimentation and visualization. Austrália: Springer, 2005. p. 125 -168.
HITT, F. Una reflexion sobre la construccio de conceptos matemáticos en ambientes com tecnologia. Boletin de la Asociacion Matemática Venezolana , Caracas, v. X, n.2, p.6, 2003. Disponível em:
< http://www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol10/fernandoHitt.pdf. >. Acesso em: 7 março. 2010.
MISKULIN,R.G.S. Concepções Teórico - Metodológicas sobre a Introdução e a Utilização de Computadores no Processo de Ensino e Aprendizagem da Geometria. 1999. 577 f. Tese (Doutorado em Educação) - Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 1999.
SANTAELLA, L. Semiótica Aplicada. São Paulo: Thomson, 2002. 185 p. SANTAELLA, L. O que é Semiótica. 20.ed. São Paulo: Brasiliense, 2004. 86 p.
i Qualidade em si mesma, mera potencialidade, não necessariamente realizada. ii
A relação triádica implica que o signo pode ser analisado, em si mesmo, nas suas propriedades internas, ou seja, no seu poder de significar. Pode ser analisado na sua referência àquilo que ele indica, se refere ou representa; e nos tipos de efeitos que está apto a produzir nos seus receptores, isto é, nos tipos de interpretação que ele tem o potencial de despertar nos seus usuários. (SANTAELLA, 2002, p.5).
