TÍTULO: ANÁLISE COMPORTAMENTAL DE ELEMENTOS SÓLIDOS POR VIA ANALÍTICA E NUMÉRICA

Realização: IES parceiras:

TÍTULO: ANÁLISE COMPORTAMENTAL DE ELEMENTOS SÓLIDOS POR VIA ANALÍTICA E NUMÉRICA

CATEGORIA: CONCLUÍDO

ÁREA: CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

SUBÁREA: Engenharias

INSTITUIÇÃO: FACULDADE ENIAC - ENIAC

AUTOR(ES): VIRGÍNIA CARVALHO ALVES DA SILVA, KAIQUE OLIVEIRA DA SILVA, NATÁLIA SILVA DANTAS

1. RESUMO

Pretende o presente estudo, efetuar uma análise crítica do comportamento de peças solidas, sujeitas a esforços aplicados. Para tal, foi introduzido um caso de estudo de uma viga bi apoiada, sujeita a carregamento externo, fazendo uso de duas verificações: análise analítica (clássica), através da formulação da Mecânica dos Materiais e do software Ftool (pelo método dos deslocamentos) e análise numérica, através do Método dos Elementos Finitos (MEF) e do software Casca/Franc2D. A consulta da bibliografia da especialidade aliado ao desenvolvimento de um caso de estudo prático, através de diferentes análises, para além de permitir uma maior visibilidade do conhecimento, proporcionou conclusões mais assertivas. Finalmente, a convergência de resultados obtidos por ambas as vias, para além de demonstrar a eficácia na utilização conjunta das duas ferramentas na compreensão da análise estrutural, reforça as potencialidades de aplicabilidade do MEF, que ultrapassa em larga escala as limitações sentidas pela análise clássica. A este respeito, poder-se-á constatar a acumulação de tensões provocada nos pontos de incidência das cargas pontuais, de fácil interpretação nos gráficos obtidos por via numérica (MEF).

Palavra-chave: Elementos sólidos. Análise estrutural. Método Elementos

Finitos.

2. INTRODUÇÃO

Para o dimensionamento, verificação ou comportamento de peças estruturais, faz-se necessário a utilização da Mecânica dos Materiais (MM), sendo esta uma das especializações do domínio da Mecânica Clássica. O estudo da MM compreende outras ciências afetas, tais como: a Mecânica dos corpos rígidos (Estática), a Mecânica dos corpos deformáveis (meios contínuos) e a Mecânica dos Sólidos, cujo embasamento teórico se resume desde o equilíbrio estático, à teoria da elasticidade. O presente trabalho propõe uma análise de comportamento de uma dada peça sólida, viga de concreto bi apoiada, sujeita a cargas exteriores. A determinação desse comportamento, será efetuada por duas vias: análise analítica e numérica, cujos resultados terão de ser convergentes para validação do modelo e das teorias. No que se refere à analise analítica, far-se-á uso das formulações da MM, bem como de um software de análise estrutural (pelo método dos deslocamentos), denominado “Ftool” da PUC-RJ. Quanto á analise numérica, será utilizado o Método dos Elementos Finitos (MEF), cuja filosofia de cálculo se baseia no método das energias ou no método dos

resíduos ponderados, mediante discretização de elementos finitos na peça sólida, resultando assim em equações diferenciais provenientes da teoria da elasticidade. Através das técnicas de análise numérica, é possível simplificar as equações diferenciais em sistemas de equações algébricas, tornando o MEF adequado à utilização de softwares computacionais. Pelo exposto, far-se-á uso de um software do MEF denominado “Casca/Franc2D” da Universid. Cornell-USA, (JESULAURO, 2002).

Tendo em conta que o MEF é uma ferramenta poderosa e praticamente ilimitada, não prescinde, contudo, nem da analise analítica nem da experimental para a validação do modelo em estudo. A utilização conjunta destas análises, potencializa a compreensão, o cálculo e a validação de estruturas mais complexas e arrojadas com maior segurança e economia das mesmas, (PORTELA, 2001)

3. OBJETIVOS

Como objetivo Geral: Realizar análise do comportamento de elementos sólidos por via analítica e numérica. Como objetivo Específico: partindo do conhecimento das caraterísticas geométricas e mecânicas do material, das ligações ao exterior e das forças aplicadas, pretende-se determinar em seções pré-estabelecidas, as tensões normais, tangenciais, deslocamentos horizontais e verticais e ainda visualizar as direções principais no apoio fixo e meio vão da estrutura. Por último, aferir a convergências dos resultados obtidos, por ambas as vias: analítica e numérica (MEF), para validação do modelo (anális. numérica) e das teorias clássicas (anális. analítica).

4. METODOLOGIA

A principal ferramenta de pesquisa utilizada neste trabalho, consiste na consulta da revisão bibliográfica de diferentes livros e autores da especialidade para aplicação em caso de estudo, definido no item seguinte. Para este fim, utilizou-se como referencial teórico, o livro intitulado: “Análise de Estruturas – Conceitos e Métodos Básicos” (Martha, 2010), bem como a consulta dos softwares freeware: Ftool (PUC-RJ) e Casca/Franc2D (Universidade Cornell-USA), tendo sido fundamentais na concepção, recolha de dados e desenvolvimento deste estudo.

5. DESENVOLVIMENTO

Para uma melhor compreensão do tema focalizado, apresenta-se seguidamente um caso de estudo, que consiste na análise comportamental de uma viga bi apoiada, submetida simultaneamente a um carregamento uniformemente distribuído e uma carga concentrada a meio vão, conforme exposto na Figura 1.

Figura 1 – Estrutura em análise: a) viga bi apoiada, b) seção transversal

a) b)

Fonte: Autor, 2020

Pretende-se determinar em seções pré-definidas, os esforços solicitantes internos (Vy, Mz), as tensões normais (𝜎_𝑥) e tangenciais (𝜏_𝑥𝑦), os deslocamentos verticais (Δlx, Δly), e ainda visualizar as direções principais (das tensões principais) no apoio fixo e meio vão da estrutura. Dado que este estudo compreende a verificação analítica e numérica, será apresentado uma análise de convergência dos resultados, para aferir a veracidade do modelo do MEF e das teorias de MM.

Dados geométricos, forças aplicadas e caraterísticas mecânicas do concreto: comprim.: L= 600 cm; área: b * h= (20*50) cm2_{; cargas: (q)= 25 KN/m , (p)= 5 kN; Peso}

Volúmico 𝛾 (concreto) = 24 KN/m3; Tensão Caraterística C25: σC = 25 Mpa; Módulo

elasticidade E(C25) = (αe=1) * 5600 * √25 = 28000 MPa = 28 * 106 _KN/m2

Verificação Analítica:

Parâmetros a determinar nas Seções: S1, S2, S3:

▪ Reações (RA, RB); Esforços (Vy, Mz); Tensões (σx; τzy); Deslocam. (Δlx, Δly)

Figura 3 – Diagramas de esforços: a) esforço cortante, b) momento fletor, e c) flecha

Fonte: Autor, 2020. Obtido no software Ftool, PUC-RJ, (Martha, 2018)

Definido o Modulo Elasticidade:

𝐼

=

12

=

4 _{e y =} ℎ

2 =

25 cm, apresenta-se seguidamente na Tabela 1, o cálculo dos parâmetros acima expressos:

Tabela 1 – Reações, Esforços Solicitantes internos, Tensões Normais e Tangenciais máx.

A determinação da flecha a meio vão, pode ser calculado por sobreposição de efeitos de carregamentos isolados, tal como apresentado na Figura 4.

Figura 4 – Flecha a meio vão, por sobreposição de efeitos de carregamentos isolados

Fonte: Autor, 2020. Resultando:

∆𝑙𝑦 =

+

=

Verificação Numérica:

A geometria da viga (50cm x 600cm), bem como a discretização da malha de elementos finitos com elementos quadriláteros de 8 nós (Q8), foi definida no software “Casca”, (SWENSON, 1997), resultando o que se pode observar na Figura 5.

Figura 5 – a) Geometria e malha da viga, b) elementos quadriláteros de 8 nós

Fonte: Autor, 2020. Obtido no software Casca, da Universidade Cornell-USA

Efetuada a modelagem no software Casca, transferiu-se o arquivo para o software Franc2D, para introdução dos restantes dados, sendo estes: a definição do tipo de análise (estado plano de tensão), as restrições cinéticas nos apoios, as caraterísticas do material e o carregamento pontual e uniformemente distribuído. Uma vez introduzidos todos os parâmetros, segue-se o processamento (análise linear) e por fim o pós-processamento, de onde se obtém todas as respostas sob a forma de gráficos com escalas de cor ou gráficos com variação de 2 parâmetros, para cada uma das seções transversais (S1, S2, S3), definidas na Figura 1.

Seguidamente far-se-á a apresentação dos principais gráficos obtidos por via numérica (MEF), para posterior comparação com a análise analítica, (Fig. 6,7,8,9,10).

Figura 6 – Diagrama de Tensões e Deslocamentos

σ

τ

Fonte: Autor, 2020. Obtido no software Franc2d, da Universidade Cornell-USA Figura 7 – a) deformada da Viga, b) orientação das direções principais no apoio e meio vão

Figura 8 – Analise na Seção S1. Gráficos de Tensão σx, τxy e de Deformação Δlx, Δly

Seção S1

Calculo Analítico:

σ

τ

ligeira acumulaç. tensão, na aresta superior no ponto de aplicação de carga concentrada

Não existe deslocamento vertical no eixo Cálculo Analítico: Δly = - 0,762 cm de simetria da peça (a meio vão da viga)

Fonte: Autor, 2020. Gráficos obtidos no software Franc2D, mediante definição de seção S1.

Figura 9 – Análise na Seção S2. Gráficos de Tensão σx, τxy e de Deformação Δlx, Δly

Secão S2

Calculo Analítico:

σ

τ

Confere com a deformação da viga, na Fig. 7 Calculo Analítico: Δly = 0,542 cm Fonte: Autor, 2020. Gráficos obtidos no software Franc2D, mediante definição de seção S2. Figura 10 – Analise na Seção S3 e apoio B. Gráficos Tensão σx, τxy e Deformação Δlx, Δly

Deslocamento Δlx no apoio A (apoio simples) Deslocamento Δlx no apoio B (apoio duplo) Fonte: Autor, 2020. Gráficos obtidos no software Franc2D, mediante definição de seção S3.

6. RESULTADOS

Na posse dos resultados obtidos no item anterior e uma vez confrontadas as análises analítica e numérica pelo MEF, poder-se-á concluir o seguinte: comparados os valores máximos das Tensões Normais, Tangenciais e Flechas, nas seções em estudo (S1, S2, S3), obtidos por via analítica (Tabela 1 e na Fig. 3), com os determinados por via numérica (Fig. 8, 9 e 10), verifica-se uma diferença numérica inferior a 3%, o que confere uma igualdade de resultados manifestamente aceitável. Através da visualização de gráficos obtidos pelo MEF, é possível confirmar diversos comportamentos/resultados já conhecidos em vigas bi apoiadas, sendo exemplo:

- A linearidade do diagrama de Tensões Normais, obtido ao longo das seções transversais da viga S1 e S2, (Fig. 8, 9); de ressalvar que a Tensão Normal na seção S3 é Nula, visto que o Momento Fletor no apoio é Zero;

- O formato parabólico do diagrama de Tensões Tangenciais, obtido ao longo da seção transversal da seção S2, (Fig. 9);

- Em relação aos pontos de aplicabilidade de forças, quer da carga concentrada a meio vão (seção S1), quer da reação no apoio B (seção S3), é visível o efeito de acumulação de Tensão tanto nos diagramas de Tensão Normal quanto de Tensão Tangencial, tendendo ao equilíbrio para um dado afastamento desse ponto de aplicação da carga (de referir: 15 cm abaixo da aresta superior da viga, na seção S1 e 15 cm acima da aresta inferior da viga, na seção S3), (Fig. 8, 10);

- Os deslocamentos horizontais (Δlx) e verticais (Δly), obtidos ao longo das seções transversais (S1, S2, S3) e ainda no apoio A, apresentam total coerência com

a deformação global da estrutura, tendo em conta o carregamento, as restrições impostas nos apoios (simples e duplo) e as consequentes rotações, (Fig. 7, 8, 9, 10). - Finalmente, em relação ás direções principais (das Tensões Principais), é notório o direcionamento da biela de compressão entre a força pontual aplicada e o apoio, gerando acumulação de tensões nesse apoio; assim como é visível a horizontalidade das direções principais de tração e compressão no meio vão, à medida que se aproximam das arestas inferior e superior respetivamente, (Fig.7).

7. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Perante a convergência de resultados entre as duas analises analítica e numérica e dada a total coerência de comportamento (já esperado), obtido pela analise numérica ao longo das seções transversais, quer ao nível de tensões, de deformações, das direções principais e das rotações nos apoios, podemos afirmar que o objetivo foi alcançado, uma vez comprovada a veracidade do modelo numérico e as teorias clássicas da MM. Sendo o MEF um método aproximativo, quanto mais afinada a discretização da malha de elementos finitos, maior o rigor dos resultados. Foi demonstrado que o MEF para além de elevar a capacidade de cálculo de estruturas mais complexas e arrojadas, permite uma maior compreensão de comportamento localizado (cite-se a acumulação de Tensões), que possam induzir ao aparecimento de danos e assim comprometer a segurança das estruturas. Pelo exposto, a análise conjunta: via analítica e numérica, cumpriram o âmbito proposto do presente trabalho.

8. FONTES CONSULTADAS

• PORTELA, Artur; SILVA, Arlindo. Mecânica dos Materiais. 1 ed. Plátano Edições Técnicas, Lisboa, 2001. p. 1-15.

• MARTHA, Luiz Fernando. Analise de Estruturas, Conceitos e Métodos Básicos. 1 ed. Elsevier Editora, Rio de Janeiro, 2010. p. 524.

• MARTHA, Luiz Fernando. Ftool - Tutorial for creation and analysis of a simple frame and result visualization. Tecgraf.puc-rio. v.4, Rio de Janeiro, Jan 2018. p. 20.

• Swenson, Daniel, et al. CASCA: A Simple 2-D Mesh Generater. User´s Guide. v. 1.4, Cornell University, Tthaca, New York, May 1997.

• JESULAURO, Erin. A Crack Propagation Simulator for Plane Layered Structures. User´s Guide. v. 1.5, Cornell University, Tthaca, New York, May 2002.