Um estudo sobre integral definida

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Ensino Superior do Seridó

Coordenação do Curso de Matemática

Um estudo sobre integral de…nida

Kaline Araújo da Silva

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Ensino Superior do Seridó

Coordenação do Curso de Matemática

Um estudo sobre integral de…nida

por

Kaline Araújo da Silva

sob orientação da

Prof

. Ma. Maria Jucimeire dos Santos

Caicó-RN Dezembro de 2016

Silva, Kaline Araújo da.

Um estudo sobre integral definida / Kaline Araújo da Silva. -Caicó: UFRN, 2016.

48f.: il.

Orientador: Ma. Maria Jucimeire dos Santos. Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

Centro de Ensino Superior do Seridó - Campus Caicó. Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas.

Curso de Matemática.

Monografia - Licenciatura em Matemática.

1. Áreas. 2. Riemann. 3. Integral definida. I. Santos, Maria Jucimeire dos. II. Título.

RN/UF/BS-CAICÓ CDU 51

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial do Centro de Ensino Superior do Seridó - CERES Caicó

"Por que nos torna tão pouco felizes esta maravilhosa ciência aplicada, que economiza trabalho e torna a vida mais fácil? A resposta é simples: porque ainda não

Agradecimentos

Agradeço, primeiramente a Deus, aquele que tudo pode, que me dá sabedoria, saúde e força que preciso para seguir na minha caminhada.

A minha família, em especial a minha mãe, Josenilda, pela con…ança nas minhas escolhas e por ter me dado uma boa criação e educação, mesmo com as di…culdades enfrentadas diariamente. Por me apoiar em todos os momentos e por todo amor e carinho.

Ao meu pai, Darci (in memoriam), que não pode compartilhar comigo esses momentos, mas com certeza está lá no céu torcendo por mim.

Aos meus professores, por todos os ensinamentos e dedicação, sempre com motivações que me ajudaram à crescer e por compartilhar as experiências vividas.

A minha professora orientadora, Maria Jucimeire, por toda paciência e dedicação, por todos os dias e horas dedicados a esse trabalho.

Aos meus colegas e amigos, em especial Lidiane, Denise, Maria, Kamila, Fernanda, Brunno e Luana, por toda a cumplicidade e união, por sempre estarem comigo em todos os momentos.

Aos meus amigos, por todo o apoio e incentivo, por estarem sempre ao meu lado. En…m, a todos que de alguma maneira contribuiram para minha formação.

Resumo

O presente trabalho exibe alguns conceitos básicos para o estudo da integral de…nida, como também noções de áreas, integral de…nida e alguns resultados. Inicialmente será apresentado limite de uma função e suas propriedades, e posteriormente, a de…nição de função contínua. No segundo momento, explicaremos somatório e suas particularidades, que serão utilizados em seguida no estudo das áreas de regiões irregulares. E, por …m, será exposto o conceito da soma de Riemann e da integral de…nida, um breve resumo sobre Bernhard Riemann, exemplos utilizando a integral de…nida e suas propriedades.

Abstract

This paper shows some basic concepts for the study of the de…nite integral, as well as notions of areas, de…nite integral and some results. For starters it will be presented the limitation of a function and its properties, and then, the de…nition of continuous function. In the second moment, the sum and its peculiarities will be explained, which will next be used in the study of irregular regions. Finally, the concept of the Riemann sum and the de…nite integral will be exposed, a brief summary about Bernhard Riemann, examples using the de…nite integral and its properties.

Sumário

1 Introdução 1

2 Conceitos básicos para o estudo da integral de…nida 2

2.1 Limite de uma função . . . 2

2.1.1 Propriedades dos limites . . . 3

2.2 Função contínua . . . 9

3 Áreas 11 3.1 Notação sigma para somas . . . 11

3.1.1 Propriedades básicas do somatório . . . 12

3.2 Áreas . . . 17

4 Integral de…nida e alguns resultados 24 4.1 Integral de…nida ou de Riemann . . . 24

4.1.1 Breve história sobre Bernhard Riemann . . . 25

4.1.2 Exemplos da integral de…nida . . . 26

Capítulo 1

Introdução

A integral de…nida serve para calcular áreas, volumes, comprimentos de linhas curvas, entre outros. Assim, traremos o conceito de soma de Riemann, que é calcular áreas dividindo-as em partes pequenas, especi…camente em retângulos, e em seguida, somar as áreas dessas partes. Para se obter a integral de…nida tomamos o limite dessa soma.

O trabalho tem como objetivo mostrar como é calculada a área sob a curva de uma região irregular, evidenciando como se dá esse procedimento através da soma de Riemann. Bem como esclarecer a sua importância no cálculo de áreas.

Ao estudar a disciplina cálculo de uma variável II, me identi…quei com o conteúdo sobre a integral de…nida e o método que era utilizado para ser formulada. Daí surgiu à vontade de estudar mais sobre o assunto e conhecer mais sobre esse método.

O presente trabalho mostra-se da seguinte forma: 1. Introdução, 2. Conceitos básicos para o estudo da integral, 3. Áreas, 4. Integral de…nida e alguns resultados. A pesquisa deu-se através de estudos com materiais bibliográ…cos, com livros impressos que estão disponíveis na biblioteca e também com dissertações encontradas no site do PROFMAT, nas quais apresentam o uso do GeoGebra na construção de grá…cos.

Capítulo 2

Conceitos básicos para o estudo da

integral de…nida

Neste capítulo apresentamos alguns resultados sobre limites e funções contínuas que são necessários para o estudo da integral de…nida. Para isso, utilizamos apenas funções com domínio e contra domínio de…nidos no conjunto dos reais, escrevemos f : X _{R ! R: Nas de…nições e resultados a seguir utilizamos as contantes a; L; ; " 2 R:}

2.1

Limite de uma função

Iniciamos com a de…nição de limite de uma função, que pode ser encontrada no livro de Stewart (2012, p. 98).

De…nição 2.1.1 Seja f uma função de…nida sobre algum intervalo aberto que contém o número a, exceto possivelmente no próprio a. Então dizemos que o limite de f quando x tende para a é L, e escrevemos

lim

x!af (x) = L:

Se para todo número " > 0 houver um número > 0; tal que, para todo x no domínio de f satisfazendo

se 0 <_jx a_{j < ; ent~ao jf(x)} L_{j < ":} (2.1) A seguir apresentamos um exemplo para esclarecer a de…nição anterior.

Exemplo 2.1.2 Considere a função f : X _{R ! R de…nida por f(x) = 2x 5:Utilize} a De…nição 2.1.1 para mostrar que lim

x!4(2x 5) = 3.

Seja " > 0. Devemos encontrar > 0; tal que 0 <_jx 4_{j < então j(2x} 5) 3_{j < ":}

Portanto, temos que dado " > 0 e tomando = "_{2, se 0 < jx} 4_{j < , temos:} j(2x 5) 3_{j = j2x} 8_{j = j2 (x} 4)_{j = 2 jx} 4_{j < 2 = 2} "

2 = ":

Concluímos, pela De…nição 2.1.1, que lim

x!4(2x 5) = 3:

Na próxima seção, apresentamos algumas propriedades do limite que facilitam o desenvolvimento dos cálculos.

2.1.1

Propriedades dos limites

Sejam c; a; L; M 2 R constantes quaisquer e considere as funções f : X R ! R e g : X _{R ! R: Suponha que existam os limites lim}

x!af (x) = L e limx!ag(x) = M, então:

Propriedade 2.1.3 Propriedade da soma

lim

x!a[f (x) + g(x)] = limx!af (x) + limx!ag(x) = L + M: (2.2)

Demonstração: Queremos mostrar que lim

x!a[f (x) + g(x)] = limx!af (x) + limx!ag(x);isto

é, para todo " > 0, devemos encontrar > 0, tal que, para todo x no domínio de f satisfazendo

0 <_jx a_{j < , então j[f(x) + g(x)]} [L + M ]_{j < ":} Seja " > 0 dado. Observe que

j[f(x) + g(x)] [L + M ]_{j = j[f(x)} L] + [g(x) M ]_{j :} Pela desigualdade triangular (ver Elon (2010, p. 14)), temos:

Sabemos que lim

x!af (x) = L e limx!ag(x) = M: Tomando "1 = "2 = "

2; pela De…nição

2.1.1, existem 1; 2 > 0 tais que, para todo x no domínio de f satisfazendo

0 <_jx a_{j <} 1, então jf(x) Lj < ₂" e 0 < jx a_{j <} 2, então jg(x) Mj < ₂". Seja = min( 1; 2) > 0: Logo, j[f(x) L] + [g(x) M ]_{j jf(x)} L_{j + jg(x)} M_{j <} " 2 + " 2 = "; sempre que 0 < jx a_{j < .} Ou seja, lim

x!a[f (x) + g(x)] = limx!af (x) + limx!ag(x) = L + M:

Propriedade 2.1.4 Propriedade da diferença lim

x!a[f (x) g(x)] = limx!af (x) x!alimg(x) = L M (2.3)

Demonstração: Análoga à anterior. Propriedade 2.1.5 Propriedade do produto

lim

x!a[f (x)g(x)] = limx!af (x) limx!ag(x) = L M: (2.4)

Demonstração: Dado " > 0; devemos mostrar que existe > 0 tal que jf(x)g(x) LM_{j < " sempre que 0 < jx} a_{j < e x 2 X:}

Note que

jf(x)g(x) LM_{j = jf(x)g(x) + [ f(x)M + f(x)M]} LM_j jf(x)g(x) LM_{j = jf(x)g(x)} f (x)M + f (x)M LM_j

jf(x)g(x) LM_{j = jf(x) [g(x)} M ] + M [f (x) L]_{j :}

Pela desigualdade triangular e sabendo que o módulo de um produto é igual ao produto dos módulos, obtemos:

Consequentemente, para garantir que jf(x)g(x) LM_{j < "; é su…ciente que} (i) _{jf(x)j jg(x)} M_{j <} 1₂" e

(ii) _jf(x) L_{j jMj <} 1₂": Como o lim

x!af (x) existe, pelo Teorema da Limitação (ver Munem (2011, p. 83)),

podemos garantir que existem números reais positivos N e 1;tal que jf(x)j < N sempre

que 0 < jx a_{j <} 1 e x 2 X:

Além disso, lim

x!ag(x) = M: Então, tomando "2 = 1

2N" > 0; existe 2 > 0 tal que

jg(x) M_{j < 2N}" _{sempre que 0 < jx} a_{j <} 2; x2 X:

Portanto, se x 2 X; 0 < jx a_{j <} 1 e 0 < jx aj < 2; então ambas as

desigualdades jf(x)j < N e jg(x) M_{j < 2N}" são válidas, segue que jf(x)j jg(x) M_{j < N} "

2N = 1 2";

para todo x 2 X satisfazendo 0 < jx a_{j <} 1 e 0 < jx aj < 2:

Vamos provar que (ii) vale:

Se M = 0; então a desigualdade jf(x) L_{j jMj <} "_{2 é válida, para qualquer x 2 X:} Se M 6= 0, então _2jMj" > 0 e como lim

x!af (x) = L; concluimos que existe 3 > 0 tal

que

jf(x) L_{j < 2jMj}" _{sempre que 0 < jx} a_{j <} 3; x2 X:

Portanto, a condição (ii) é válida se 0 < jx a_{j <} 3:

Finalmente, o procurado é dado por = min( 1; 2; 3);

segue que

jf(x)g(x) LM_{j < " é válido sempre que x 2 X e 0 < jx} a_{j < :} Portanto,

lim

x!a[f (x)g(x)] = limx!af (x) limx!ag(x) = L M:

Propriedade 2.1.6 Propriedade do quociente

lim x!a f (x) g(x) = lim x!af (x) lim x!ag(x) = L M se limx!ag(x) = M 6= 0: (2.5)

Demonstração: Inicialmente devemos mostrar que lim

x!a 1 g(x) =

1

M; M 6= 0, ou seja,

0 <_jx a_{j < ; obtemos g(x)}1 _M1 < ": Note que 1 g(x) 1 M = jM g(x)_j jMg(x)j Como lim

x!ag(x) = M, existe 1 > 0 tal que, se 0 < jx aj < 1 e x 2 X, temos:

jg(x) M_{j <} jMj 2 : Assim, para x 2 X e 0 < jx a_{j < ;} jMj = jM g(x) + g(x)_{j jM} g(x)_{j + jg(x)j <} jMj 2 +jg(x)j isto é, jMj < jMj₂ +_{jg(x)j :} Isso mostra que

se 0 < jx a_{j <} 1 e x 2 X então jg(x)j > jMj₂ :

Assim, para esses valores de x, temos: 1 jMg(x)j = 1 jMj jg(x)j < 1 jMj 2 jMj = 2 jMj2: Além disso, existe 2 > 0 tal que

se 0 < jx a_{j <} 2 e x 2 X então jg(x) Mj < M

2_"

2 :

Seja = min( 1; 2): Então, para 0 < jx aj < e x 2 X; temos

1 g(x) 1 M = jg(x) M_j jMg(x)j < 2 M2 M2 2 ": Logo, lim x!a 1 g(x) = 1

M: Assim, utilizando a Propriedade 2.1.5, temos que:

lim

x!a

f (x)

g(x) = limx!af (x) limx!a

1 g(x) = L 1 M = L M:

Propriedade 2.1.7 Propriedade da potência lim x!a[f (x)] n =hlim x!af (x) in = Ln: (2.6)

onde n é um inteiro positivo.

Demonstração: Vamos usar o princípio da indução sobre n para mostrar a igualdade. O princípio da indução e sua demonstração pode ser encontrado no livro de Milies (2003, p. 25-31).

1. Base da indução.

Para n = 1, temos que a igualdade lim

x!af (x) = L é válida por hipótese.

2. Hipótese da indução.

Suponha que a proposição é verdadeira para algum k 2 N, isto é, lim

x!a[f (x)] k

= Lk:

3. Tese da indução.

Queremos mostrar que a proposição vale para k + 1, ou seja, lim x!a[f (x)] k+1 = Lk+1: Temos que: lim x!a[f (x)] k+1 = lim x!a f (x) k _{f (x) :} Pela Propriedade 2.1.5, lim x!a[f (x)] k+1 = lim x!af (x) k _lim x!af (x):

Por hipótese da indução,

lim x!a[f (x)] k+1 = Lk L: Logo, lim x!a[f (x)] k+1 = Lk+1:

Portanto, o princípio da indução garante que lim

x!a[f (x)] n

= Ln _{é verdadeira, para}

Propriedade 2.1.8 Propriedade da constante

Seja f : X _{R ! R de…nida por f(x) = c; para todo x 2 X:} lim

x!ac = c: (2.7)

Demonstração: Tem-se que dado " > 0 qualquer e um número > 0 : se 0 < jx a_{j < ; então jc} c_{j = 0 < ":}

Logo, lim

x!ac = c:

Propriedade 2.1.9 Seja f : X _{R ! R de…nida por f(x) = x; para todo x 2 X:} lim

x!ax = a: (2.8)

Demonstração: Dado " > 0; tome = " > 0: Assim se 0 < jx a_{j < ; então jx} a_{j < ":} Logo, lim

x!ax = a:

Todos os resultados descritos anteriormente são para limites, onde a variável x tende a um número real a. A seguir, apresentamos a de…nição de limite no in…nito.

De…nição 2.1.10 _{Seja f uma função de…nida em algum intervalo (a; 1). Então}

lim

x!1f (x) = L

signi…ca que para todo " > 0 existe um número real N > 0 tal que se x > N então jf(x) L_{j < ":}

Exemplo 2.1.11 Seja f (x) = _x1 _{de…nida em algum intervalo (a; 1). Use a De…nição} 2.1.10 para demonstrar que lim

x!1 1 x = 0:

Dado " > 0; encontraremos um número N tal que, para todo x > N; possamos obter 1

x 0 < ":

Note que, 1_x < " se, e somente se, 1_" < x:

Tomando N = 1_"; se x > N = 1_" temos _x1 0 = _x1 < ": Portanto, pela De…nição 2.1.10,

lim

x!1

1 x = 0:

2.2

Função contínua

A de…nição a seguir pode ser vista no livro de Munem (2011, p. 61).

De…nição 2.2.1 _{Dizemos que a função f : R ! R é contínua em um número a 2 R} se, e somente se, as seguintes condições forem válidas:

(i) f (a) é de…nido; (ii) lim

x!af (x) existe, e

(iii) lim

x!af (x) = f (a).

Exemplo 2.2.2 _{A função f : R ! R de…nida por f(x) = (x + 2x}3)4 é contínua em 1?

Temos que f ( 1) = 1 + 2 ( 1)3 4 = ( 1 2)4 = ( 3)4 = 81, logo f ( 1) é de…nida. Ainda, lim x! 1f (x) = limx! 1 x + 2x 3 4_: Pela Propriedade 2.1.7, lim x! 1f (x) = x! 1lim x + 2x 3 4 : Pela Propriedade 2.1.3, lim x! 1f (x) = x! 1lim x + limx! 12x 3 4 :

Pelas Propriedades 2.1.7, 2.1.5 e 2.1.8, obtemos:

lim x! 1f (x) = " lim x! 1x + 2 x! 1lim x 3#4 lim x! 1f (x) = 1 + 2 ( 1) 3 4 lim x! 1f (x) = ( 1 2) 4 = ( 3)4 = 81: Assim, lim x! 1f (x) = 81 = f ( 1):

Como satisfaz as condições da De…nição 2.2.1, concluímos que a função f (x) = (x + 2x3₎4 _{é contínua no ponto x = 1.}

Capítulo 3

Áreas

Neste capítulo, inicialmente mostramos alguns resultados sobre somatórios que são utilizados no cálculo de áreas. Posteriormente, de…nimos áreas de acordo com Munem (2011, p. 297) e faremos alguns exemplos para esclarecer o conceito.

3.1

Notação sigma para somas

Na notação matemática, empregamos a letra maiúscula grega sigma P para somar termos escritos da mesma forma. Como por exemplo, invés de escrevermos 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8, simplesmente podemos escrever

8

P

k=1

k, onde k = 1, que está na parte inferior do sigma, signi…ca o início do intervalo e o número 8, que está na parte superior do sigma, representa o …nal do intervalo e o k corresponde aos valores inteiros de 1 até 8.

Podemos usar também outra notação, como P

1 k 8

k, na qual o intervalo desejado está todo expresso na parte inferior do sigma.

Assim,

8

P

k=1

k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8, signi…ca "a soma de todos os termos da forma k compreendidos entre os valores inteiros de 1 até 8".

Portanto, temos a seguinte de…nição que pode ser vista no livro de Stewart (2012, p. A. 32).

De…nição 3.1.1 Se am; am+1; :::; anforem números reais e m e n, inteiros positivos tal

que m n; então

n

X

i=m

3.1.1

Propriedades básicas do somatório

Agora, mostramos as propriedades básicas do somatório, que podem ser encontradas no livro de Munem (2011, p. 299).

Sejam a0, a1, a2,..., an e b0, b1, b2,..., bn números reais e considere as contantes A,

B_{, C 2 R. Então:}

Propriedade 3.1.2 Propriedade da constante

n X k=1 C = nC: (3.1) Demonstração: De fato, n X k=1 C = C + C + ::: + C_{| {z }} n X k=1 C = nC:

Propriedade 3.1.3 Propriedade da homogeneidade

n X k=1 Cak= C n X k=1 ak: (3.2) Demonstração: n X k=1 Cak = Ca1+ Ca2+ ::: + Can:

Pela distributividade dos números reais, tem-se

n

X

k=1

Cak = C(a1+ a2+ ::: + an):

Pela De…nição 3.1.1, tem-se

n X k=1 Cak= C n X k=1 ak:

Propriedade 3.1.4 Propriedade aditiva n X k=1 (ak+ bk) = n X k=1 ak+ n X k=1 bk: (3.3) Demonstração: n X k=1 (ak+ bk) = (a1+ b1) + (a2+ b2) + ::: + (an+ bn):

Pela comutatividade e associatividade dos números reais, obtemos:

n X k=1 (ak+ bk) = (a1+ a2+ ::: + an) + (b1+ b2+ ::: + bn) n X k=1 (ak+ bk) = n X k=1 ak+ n X k=1 bk:

Propriedade 3.1.5 Soma de inteiros sucessivos

n

X

k=1

k = n(n + 1)

2 : (3.4)

Demonstração: Vamos usar o princípio da indução sobre n para mostrar a igualdade. 1. Base da indução. Para n = 1, temos: n X k=1 k = 1 = 1 (1 + 1) 2 : 2. Hipótese da indução.

Suponha que a proposição é verdadeira para algum n 2 N, isto é,

n

X

k=1

k = n (n + 1) 2 :

3. Tese da indução.

Queremos mostrar que a proposição vale para n + 1, ou seja,

n

X

k=1

k = 1 + 2 + ::: + n + (n + 1) = (n + 1)(n + 2)

2 :

Pela hipótese de indução,

n X k=1 k = 1 + 2 + ::: + n + (n + 1) = n (n + 1) 2 + (n + 1): Logo, n X k=1 k = 1 + 2 + ::: + n + (n + 1) = n (n + 1) + 2(n + 1) 2 n X k=1 k = 1 + 2 + ::: + n + (n + 1) = (n + 1) (n + 2) 2 :

Portanto, o princípio da indução garante que

n

P

k=1

k = n(n+1)₂ é verdadeira.

Propriedade 3.1.6 Soma de quadrados sucessivos

n

X

k=1

k2 = n(n + 1)(2n + 1)

6 : (3.5)

Demonstração: Vamos usar o princípio da indução sobre n para mostrar a igualdade. 1. Base da indução. Para n = 1, temos: n X k=1 k2 = 1 = 1(1 + 1)(2 1 + 1) 6 : 2. Hipótese da indução.

Suponha que a proposição é verdadeira para algum n 2 N, isto é,

n

X

k=1

k2 = 1 + 4 + ::: + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

3. Tese da indução.

Queremos mostrar que a proposição vale para n + 1, ou seja,

n

X

k=1

k2 = 1 + 4 + ::: + n2+ (n + 1)2 = (n + 1)(n + 2)(2n + 3)

6 :

Pela hipótese de indução,

n X k=1 k2 = 1 + 4 + ::: + n2+ (n + 1)2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 + (n + 1) 2 : Logo, n X k=1 k2 = 1 + 4 + ::: + n2+ (n + 1)2 = n(n + 1)(2n + 1) + 6(n + 1) 2 6 n X k=1 k2 = 1 + 4 + ::: + n2+ (n + 1)2 = (n + 1) [n(2n + 1) + 6(n + 1)] 6 n X k=1 k2 = 1 + 4 + ::: + n2+ (n + 1)2 = (n + 1) (2n 2_{+ 7n + 6)} 6 n X k=1 k2 = 1 + 4 + ::: + n2+ (n + 1)2 = (n + 1) (n + 2)(2n + 3) 6 :

Portanto, pelo princípio da indução podemos a…rmar que

n P k=1 k2 ₌ n(n+1)(2n+1) 6 é verdadeira.

Propriedade 3.1.7 Soma de cubos sucessivos

n X k=1 k3 = n 2_{(n + 1)}2 4 (3.6)

Demonstração: Vamos usar o princípio da indução sobre n para mostrar a igualdade. 1. Base da indução.

Para n = 1, temos: n X k=1 k3 = 1 = 1 2_{(1 + 1)}2 4 : 2. Hipótese da indução.

Suponha que a proposição é verdadeira para algum n 2 N, ou seja,

n X k=1 k3 = 1 + 8 + ::: + n3 = n 2_{(n + 1)}2 4 : 3. Tese da indução.

Queremos mostrar que a proposição vale para n + 1, isto é,

n X k=1 k3 = 1 + 8 + ::: + n3+ (n + 1)3 = (n + 1) 2_{(n + 2)}2 4 :

Pela hipótese de indução,

n X k=1 k3 = 1 + 8 + ::: + n3+ (n + 1)3 = n 2_{(n + 1)}2 4 + (n + 1) 3_: Logo, n X k=1 k3 = 1 + 8 + ::: + n3+ (n + 1)3 = n 2_{(n + 1)}2_{+ 4(n + 1)}3 4 n X k=1 k3 = 1 + 8 + ::: + n3+ (n + 1)3 = (n + 1) 2 [n2_{+ 4(n + 1)]} 4 n X k=1 k3 = 1 + 8 + ::: + n3+ (n + 1)3 = (n + 1) 2 (n2+ 4n + 4) 4 n X k=1 k3 = 1 + 8 + ::: + n3+ (n + 1)3 = (n + 1) 2 (n + 2)2 4 :

Com isso, o princípio da indução nos garante que

n

P

k=1

Propriedade 3.1.8 Propriedade telescópica n X k=1 (bk bk 1) = bn b0: (3.7) Demonstração: n X k=1 (bk bk 1) = (b1 b0) + (b2 b1) + (b3 b2) + ::: + (bn bn 1): Daí, n X k=1 (bk bk 1) = bn b0:

3.2

Áreas

Na matemática, conseguimos calcular as áreas de várias …guras planas, como o quadrado, o retângulo, o triângulo, entre outros. Para isso recorremos à fórmulas já de…nidas para cada área. Vejamos algumas delas:

Área do quadrado:

Aq= l2, onde l é o lado e Aq é a área do quadrado.

Área do retângulo:

An= b:h, onde b é a base, h é a altura e An é a área do retângulo.

Área do triângulo: At=

b:h

2 , onde b é a base, h é a altura e At é a área do triângulo.

No entanto, para calcular outras áreas irregulares, não é tão simples assim. Então, vamos ver uma forma de calcular a área de uma região S que está sob a curva y = f (x) de a até b.

Figura 1: Grá…co da função y = f (x) no intervalo x = a e x = b:

Fonte: Stewart (2012)

O primeiro passo é preencher a região S com retângulos, aumentando cada vez mais a quantidade de retângulos. Depois somamos as áreas de todos eles. Por …m, tomamos o limite, no qual o resultado será a área exata da região S.

Vejamos a de…nição de partição, que pode ser vista no livro de Guidorizzi (2001, p. 299).

De…nição 3.2.1 Uma partição P de um intervalo [a; b] é um conjunto …nito P = fx0; x1; x2; :::; xng onde a = x0 < x1 < x2 < ::: < xn= b:

Uma partição P divide [a; b] em n intervalos [xi 1; xi] ; i = 1; 2; :::; n:

Figura 2: Partição P em [a; b]

Guidorizzi (2001)

A amplitude do intervalo [xi 1; xi] será indicada por xi = xi xi 1: Assim:

x1 = x1 x0; x2 = x2 x1 etc.

Exemplo 3.2.2 Calcule a área A sob a parábola y = x2 _{entre o intervalo x = 0 e}

x = 1.

Inicialmente indicamos uma subdivisão do intervalo [0; 1] em n subintervalos iguais: 0;_n1 ; 1_n;2_n ; _n2;_n3 ; :::; n 1_n ;n_n :

Figura 3: Grá…co da função y = x2 com retângulos circunscritos.

Fonte: Elaborado pela autora

Assim, acima de cada subintervalo construímos um retângulo circunscrito correspondente. Portanto, a altura do k-ésimo retângulo é k_n 2, dada pelo lado direito do retângulo, e a base é _n1, que é a largura dos subintervalos. Usando a fórmula de calcular a área de um retângulo, temos:

An= b h:

Lembrando que b é a base, h é a altura e An é a área do retângulo.

An = 1 n k n 2 An= k2 n3:

Portanto, a área de cada retângulo é An = k

2

n3: Assim, concluímos que a região

formada pelos n retângulos é A

n

P

k=1 k2

n3; onde A representa a área da região.

n X k=1 k2 n3 = n X k=1 1 n3k 2_:

Pela Propriedade 3.1.3, tem-se

n X k=1 k2 n3 = 1 n3 n X k=1 k2:

Utilizando a Propriedade 3.1.6, obtemos:

n X k=1 k2 n3 = 1 n3 n(n + 1)(2n + 1) 6 n X k=1 k2 n3 = 1 n2 2n2_{+ 3n + 1} 6 n X k=1 k2 n3 = 2n2 _{+ 3n + 1} 6n2 n X k=1 k2 n3 = 1 3 + 1 2n + 1 6n2:

Como os retângulos são circunscritos, signi…ca que: A 1 3+ 1 2n + 1 6n2:

Agora, fazendo o mesmo processo com retângulos inscritos.

Novamente indicamos uma subdivisão do intervalo [0; 1] em n subintervalos iguais: 0;1 n ; 1 n; 2 n ; 2 n; 3 n ; :::; n 1 n ; n n :

Figura 4: Grá…co da função y = x2 com retângulos inscritos.

Fonte: Elaborado pela autora

Em cada subintervalo construimos um retângulo inscrito correspondente. Portanto, a altura do k-ésimo retângulo é k 1_n 2, dada pelo lado esquerdo do retângulo, e a base é _n1, que é a largura de cada subintervalo. Daí usando a fórmula de calcular a área de um retângulo, temos:

An= b h:

Lembrando que b é a base, h é a altura e An é a área do retângulo.

An = 1 n k 1 n 2 An = 1 n k2 _{2k + 1} n2 An= k2 _{2k + 1} n3 :

Ou seja, a área de cada retângulo é An = k

2 _2k+1

n3 ; assim a região constituída pelos

n retângulos é A

n

P

k=1

k2 _2k+1

n3 ; onde A representa a área da região.

Além disso, n X k=1 k2 _{2k + 1} n3 = n X k=1 1 n3 k 2 _{2k + 1 :}

Pela Propriedade 3.1.3, tem-se

n X k=1 k2 _{2k + 1} n3 = 1 n3 n X k=1 k2 2k + 1:

Pelas Propriedades 3.1.4 e 3.1.3, tem-se

n X k=1 k2 _{2k + 1} n3 = 1 n3 n X k=1 k2 2 n X k=1 k + n X k=1 1 ! :

Pelas Propriedades 3.1.6, 3.1.5 e 3.1.2, tem-se

n X k=1 k2 _{2k + 1} n3 = 1 n3 n(n + 1)(2n + 1) 6 2 n(n + 1) 2 + n n X k=1 k2 _{2k + 1} n3 = 1 n3 2n3_{+ 3n}2_{+ n} 6 n 2 _{n + n} n X k=1 k2 2k + 1 n3 = 1 n3 2n3+ 3n2+ n 6n2 6 n X k=1 k2 _{2k + 1} n3 = 2n3 _3n2_{+ n} 6n3 n X k=1 k2 _{2k + 1} n3 = 1 3 1 2n + 1 6n2:

Como os retângulos são inscritos, temos: A 1 3 1 2n + 1 6n2:

Dos resultados obtidos pelos cálculos com retângulos circunscritos e inscritos, temos a seguinte desigualdade:

1 3 1 2n + 1 6n2 A 1 3 + 1 2n + 1 6n2:

Daí podemos concluir que a medida em que aumenta a quantidade de subintervalos, as quantidades 1_{3 2n}1 +_6n12 e 1 3+ 1 2n+ 1 6n2 se aproximam de 1

3. Como A está entre essas

duas quantidades que podem …car próximas de 1₃ o quanto desejarmos, então A deverá ser igual a 1₃.

A seguir, apresentamos a de…nição formal de área, que pode ser encontrada em Stewart (2012, p. 339).

De…nição 3.2.3 A área A da região S que está sob o grá…co de uma função contínua f é o limite da soma das áreas dos retângulos:

A = lim

n!1An= limn!1[f (x1) x + f (x2) x + ::: + f (xn) x] :

Capítulo 4

Integral de…nida e alguns resultados

Neste capítulo apresentamos de…nições e resultados sobre a integral de…nida, a partir da soma de Riemman. Esses resultados são aplicados na resolução de questões de cálculo.

4.1

Integral de…nida ou de Riemann

A seguinte de…nição foi retirada do livro de Stewart (2012, p. 345).

De…nição 4.1.1 _{Se f : R ! R é uma função contínua de…nida em R, dividimos} o intervalo [a; b] em n subintervalos de comprimentos iguais x = (b a)_n . Sejam x0(= a); x1; x2; :::; xn(= b) as extremidades desses subintervalos, escolhemos os pontos

amostrais x₁; x₂; :::; x_n nesses subintervalos, ou seja, um ponto qualquer x_{i 2 [x}i 1; xi].

Então a integral de…nida de f de a até b é Z b a f (x)dx = lim n!1 n X i=1 f (x_i) x; (4.1)

desde que este limite exista. Se ele existir, dizemos que f é integrável em [a; b]. Assim, a integral de…nida é determinada exatamente pelo seguinte limite: Para todo número " > 0 existe um inteiro N > 0 tal que

Z b a f (x)dx n X i=1 f (x_i) x < "

Na notação de integral de…nida R_abf (x)dx, f (x) é o integrando, a e b são os limites de integração, onde a é o limite inferior e b é o limite superior, e o dx indica que a variável independente é x.

A soma

n

P

i=1

f (x_i) x observada na De…nição 4.1.1 é chamada soma de Riemann, que homenageia o matemático Bernhard Riemann (1826 - 1866). Esse resultado desenvolvido pelo mesmo, é essencial para a teoria da integral de…nida. A soma de Riemann, quando f é positiva, é uma soma de áreas de retângulos. Caso f assuma valores positivos e negativos, então será a soma das áreas que estão acima do eixo x menos a soma das áreas que estão abaixo do eixo x. Daí quando calculamos o limite dessa soma de Riemann, obtemos a área líquida, ou seja, a diferença das áreas:

Z b a

f (x)dx = A1 A2;

onde A1 é a área acima do eixo x e A2 é a área abaixo do eixo x.

4.1.1

Breve história sobre Bernhard Riemann

Figura 5: Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866).

Fonte: Cajori (2007)

De acordo com Florian Cajori (2007, p. 536-537) e Howard Eves (1997, p. 613-615), Georg Friedrich Bernhard Riemann nasceu em 1826, numa aldeia de Hanover,

situada na Alemanha. Ele sempre recebeu uma boa educação, seu pai desejava que ele estudasse teologia, por isso estudou …loso…a e teologia em Göttingen. Mas assistindo algumas aulas de matemática, se interessou pela ciência e abandonou a teologia. Riemann foi elogiado por Gauss, que se referiu a ele como "uma mente criativa, ativa e verdadeiramente matemática, e de uma originalidade gloriosamente fértil". Em 1847, iniciou os estudos em Berlim, com diversos matemáticos, e em 1850 voltou a Göttingen, onde estudou física e concluiu seu doutorado no ano seguinte, apresentando a tese Grundlagen für eine algemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen complexen Grösse, no campo da teoria das funções complexas. Nessa tese encontra-se as chamadas equações diferenciais de Cauchy-Riemann e o conceito de superfície de Riemann. Ele facilitou o entendimento no conceito de integrabilidade pela de…nição da integral de Riemann, dando sequência, para o conceito mais geral de integral de Lebesgue e, assim, para generalizações ulteriores da integral.

Em 1854, Riemann tornou-se professor o…cial não-remunerado da Universidade de Göttingen e apresentou a conferência probatória sobre as hipóteses em que se baseiam os fundamentos da geometria. Ele também deu contribuições a física em vários segmentos, por exemplo, no tratamento matemático às ondas de choque. Em 1857, foi indicado professor assistente de Göttingen e em 1859 sucedeu a Dirichlet como professor titular. Em 1866, morreu vítima de tuberculose em Selasca, na Itália, onde havia ido três vezes em busca de melhoras.

4.1.2

Exemplos da integral de…nida

Exemplo 4.1.2 Avalie diretamente a integral de Riemann dada pelo cálculo de um limite das somas de Riemann. Use partições constituídas de subintervalos de comprimentos iguais e use retângulos inscritos ou circunscritos, conforme esteja indicado.

1. R₀2(x3_{+ 2)dx (retângulos inscritos)}

Inicialmente, partiremos o intervalo [0; 2] em n subintervalos iguais de comprimento x, onde x = b a_n = 2 0_n = _n2. Por exemplo, a …gura abaixo mostra a partição para 4 subintervalos, em que cada um mede 2₄ = 1₂:

Figura 6: Grá…co da função y = x3+ 2 com retângulos inscritos.

Fonte: Elaborado pela autora

A função f (x) = x3_{+ 2é crescente no intervalo [0; 2]. Sejam c}

1; c2; c3; :::; cn pontos

de extremidade à esquerda dos intervalos correspondentes. Assim, os n subintervalos são

[0; x] ; [ x; 2 x] ; [2 x; 3 x] ; :::; [2 x; 2] com c1 = 0; c2 = x; c3 = 2 x; :::; cn= 2 x: Portanto, ck = (k 1) x = (k 1) 2 n = 2 (k 1) n :

Então, a soma de Riemann correspondente a região sob a curva no intervalo [0; 2] é dada por

n X k=1 f (ck) xk = n X k=1 (ck)3+ 2 x n X k=1 f (ck) xk = n X k=1 " 2k 2 n 3 + 2 # 2 n n X k=1 f (ck) xk = n X k=1 8k3 _24k2_{+ 24k 8} n3 + 2 2 n n X k=1 f (ck) xk = n X k=1 8k3 _24k2_{+ 24k 8 + 2n}3 n3 2 n n X k=1 f (ck) xk = n X k=1 16k3 48k2+ 48k 16 + 4n3 n4 : Pela Propriedade 3.1.3, n X k=1 f (ck) xk= 1 n4 n X k=1 16k3 48k2+ 48k 16 + 4n3 : Pelas Propriedades 3.1.4 e 3.1.3, n X k=1 f (ck) xk = 1 n4 16 n X k=1 k3 48 n X k=1 k2+ 48 n X k=1 k n X k=1 16 + n3 n X k=1 4 ! : Pelas Propriedades 3.1.7, 3.1.6, 3.1.5 e 3.1.2, n X k=1 f (ck) xk= 1 n4 " 16n 2_{(n + 1)}2 4 48 n (n + 1) (2n + 1) 6 + 48 n (n + 1) 2 16n + 4n 4 # n X k=1 f (ck) xk = 1 n4 4n 2_{(n + 1)}2 8n(n + 1)(2n + 1) + 24n(n + 1) 16n + 4n4 n X k=1 f (ck) xk= 4(n + 1)2 n2 8(n + 1)(2n + 1) n3 + 24(n + 1) n3 16 n3 + 4 n X k=1 f (ck) xk= 4(n2_{+ 2n + 1)} n2 8(2n2_{+ 3n + 1)} n3 + 24n + 24 n3 16 n3 + 4

n X k=1 f (ck) xk = 4n2 _{+ 8n + 4} n2 + ( 16n2 _{24n 8} n3 ) + 24n + 24 n3 16 n3 + 4 n X k=1 f (ck) xk = 4 + 8 n + 4 n2 16 n 24 n2 8 n3 + 24 n2 + 24 n3 16 n3 + 4 n X k=1 f (ck) xk= 8 8 n + 4 n2:

Logo, utilizando a De…nição 4.1.1, obtemos: Z 2 0 x3+ 2 dx = lim n!1 n X k=1 f (ck) xk = lim n!1 8 8 n + 4 n2 = 8: 2. R₄7(2x 6) dx(retângulos circunscritos)

Inicialmente, partiremos o intervalo [4; 7] em n subintervalos iguais de comprimento x, onde x = b a_n = 7 4_n = _n3. Por exemplo, a …gura abaixo mostra a partição para 6 subintervalos, em que cada um mede 3₆ = 1₂.

Figura 7: Grá…co da função y = 2x 6 com retângulos circunscritos.

A função f (x) = 2x 6 é crescente no intervalo [4; 7]. Sejam c1; c2; c3; :::; cn pontos

de extremidade à direita dos intervalos correspondentes. Assim, os n subintervalos são

[4; 4 + x] ; [4 + x; 4 + 2 x] ; [4 + 2 x; 4 + 3 x] ; :::; [7 x; 7]

com

c1 = 4 + x; c2 = 4 + 2 x; c3 = 4 + 3 x; :::; cn= 7:

Portanto,

ck = 4 + k x:

Então, a soma de Riemann correspondente a região sob a reta no intervalo [4; 7] é dada por n X k=1 f (ck) xk= n X k=1 (2ck 6) x n X i=1 f (ck) xk = n X i=1 2 4 + k3 n 6 3 n n X k=1 f (ck) xk = n X k=1 8 + 6k n 6 3 n n X k=1 f (ck) xk = n X k=1 2n + 6k n 3 n n X k=1 f (ck) xk= n X k=1 6n + 18k n2 : Pela Propriedade 3.1.3, n X k=1 f (ck) xk= 1 n2 n X k=1 (6n + 18k) : Pelas Propriedades 3.1.4 e 3.1.3, n X k=1 f (ck) xk= 1 n2 n n X k=1 6 + 18 n X k=1 k ! :

Pelas Propriedades 3.1.2 e 3.1.5, n X k=1 f (ck) xk= 1 n2 6n 2_{+ 18}n(n + 1) 2 n X k=1 f (ck) xk = 1 n2 6n 2_{+ 9n}2_{+ 9n} n X k=1 f (ck) xk= 1 n2 15n 2_{+ 9n} n X k=1 f (ck) xk = 15 + 9 n:

Logo, usando a De…nição 4.1.1, temos: Z 7 4 (2x 6) dx = lim n!1 n X k=1 f (ck) xk= lim n!1 15 + 9 n = 15:

Vejamos agora algumas propriedades básicas da integral de…nida e suas respectivas demonstrações.

4.1.3

Propriedades da integral de…nida

Considere f : [a; b] ! R e g : [a; b] ! R funções contínuas e integráveis no intervalo [a; b].

Propriedade 4.1.3 Propriedade da homogeneidade Z b a kf (x)dx = k Z b a f (x)dx: (4.2)

Demonstração: Pela Equação 4.1, obtemos: Z b a kf (x)dx = lim n!1 n X i=1 kf (x_i) x: Pelas Propriedades 3.1.3, 2.1.5 e 2.1.8, Z b a kf (x)dx = k lim n!1 n X i=1 f (x_i) x:

Novamente pela Equação 4.1, temos: Z b a kf (x)dx = k Z b a f (x)dx:

Propriedade 4.1.4 Propriedade aditiva/subtração Z b a [f (x) g(x)]dx = Z b a f (x)dx Z b a g(x)dx: (4.3) Demonstração: Pela Equação 4.1, sabemos que

Z b a [f (x) g(x)]dx = lim n!1 n X i=1 [f (x_i) g(x_i)] x:

Assim, pela Propriedade 3.1.4, temos: Z b a [f (x) g(x)]dx = lim n!1 " _n X i=1 f (x_i) x n X i=1 g(x_i) x # : Pela Propriedade 2.1.3, Z b a [f (x) g(x)]dx = lim n!1 n X i=1 f (x_i) x lim n!1 n X i=1 g(x_i) x:

Logo, pela Equação 4.1, Z b a [f (x) g(x)]dx = Z b a f (x)dx Z b a g(x)dx:

Propriedade 4.1.5 Propriedade da integral de uma função constante Seja f : [a; b] ! R de…nida por f(x) = K; para todo x 2 [a; b] :

Z b a

Kdx = K(b a), onde K é qualquer constante: (4.4) Demonstração: Pela Equação 4.1, tem-se

Z b a Kdx = lim n!1 n X i=1 K x:

Pela Propriedade 3.1.2, tem-se Z b

a

Kdx = lim

n!1(n K x) :

Pela De…nição 4.1.1, tem-se que x = (b a)_n , portanto Z b a Kdx = lim n!1nK (b a) n Z b a Kdx = K(b a):

Propriedade 4.1.6 _{Se c 2 ]a; b[ e f é integrável em [a; c] e em [c; b] então} Z b a f (x)dx = Z c a f (x)dx + Z b c f (x)dx: (4.5) Demonstração: _{Para toda partição P de [a; b], com c 2 [x}i 1; xi] ;

Figura 8: Partição P de [a; b] , com c 2 [xi 1; xi] :

Fonte: Guidorizzi (2001)

tomamos xi = xi xi 1 e ci 2 [xi 1; xi] ; ou seja, ci será um ponto amostral de

cada subintervalo. Portanto, n X i=1 f (ci) xi Z c a f (x)dx + Z b c f (x)dx =

= m X i=1 f (ci) xi+ n X i=m+1 f (ci) xi Z c a f (x)dx + Z b c f (x)dx m X i=1 f (ci) xi Z c a f (x)dx + n X i=m+1 f (ci) xi Z b c f (x)dx :

Como, por hipótese, f é integrável em [a; c] e em [c; b], ou seja, o limite existe em [a; c]e em [c; b] : Então dado " > 0; existe > 0 tal que, para toda partição P de [a; b] ; com c 2 [xi 1; xi] e máx xi < ; onde máx é o maior valor que xi pode assumir.

m X i=1 f (ci) xi Z c a f (x)dx < " 2 e n X i=m+1 f (ci) xi Z b c f (x)dx < " 2: E portanto, n X i=1 f (ci) xi Z c a f (x)dx + Z b c f (x)dx < ": Assim, lim n!1 m X i=1 f (ci) xi = Z c a f (x)dx + Z b c f (x)dx: Pela De…nição 4.1.1, Z b a f (x)dx = Z c a f (x)dx + Z b c f (x)dx:

Essa demonstração pode ser vista no livro de Guidorizzi (2001, p. 304-305). Propriedades comparativas da integral de…nida

Propriedade 4.1.7 Propriedade da positividade Se f (x) 0 para a x b, então

Z b a

f (x)dx 0: (4.6) Demonstração: Como f (x) 0 para a x b, então podemos a…rmar que dado a x_i b temos f (xi) 0:

Além disso, b a 0, daí, x = b a_n 0: Assim, f (xi) x 0:

Logo, lim

n!1 n

P

i=1

f (x_i) x 0, caso exista, e portanto, Z b a f (x)dx = lim n!1 n X i=1 f (x_i) x 0:

Propriedade 4.1.8 Propriedade da comparação Se f (x) g(x) para a x b, então Z b a f (x)dx Z b a g(x)dx: (4.7) Demonstração: Como f (x) g(x); para a x b; então f (x) g(x) 0; para a x b: Assim, a Propriedade 4.1.7 garante que para a x b temos:

Z b a

[f (x) g(x)] dx 0:

Utilizando a Propriedade 4.1.4, obtemos: Z b a f (x)dx Z b a g(x)dx 0; ou seja, Z b a f (x)dx Z b a g(x)dx:

Propriedade 4.1.9 Desigualdade máx-mín, onde máx é o maior valor e mín é o menor valor

Se m f (x) M_{, onde m; M 2 R; para a} x b, então m(b a) Z b a f (x)dx M (b a): (4.8) Demonstração: Como m f (x) M

então a Propriedade 4.1.8 garante que Z b a mdx Z b a f (x)dx Z b a M dx:

Pela Propriedade 4.1.5, temos: m(b a)

Z b a

f (x)dx M (b a):

Além das propriedades vistas anteriormente, apresentamos as de…nições a seguir que são bastante utilizadas nos cálculos das integrais e podem ser visualizadas no livro de Munem (2011, p. 318).

De…nição 4.1.10 A integral de…nida R_abf (x)dx para a b

(i) Se f é uma função qualquer e a é um número no domínio de f , de…niremos Ra

a f (x)dx = 0:

(ii) Se a > b e f é Riemann-integrável em [b; a] ; então de…nimos R_abf (x)dx = Ra

Considerações …nais

Ao longo desse trabalho podemos observar a grande importância da integral de…nida no cálculo de áreas irregulares e a contribuição de Riemman nesse estudo. Vimos também que o estudo da integral de…nida, nesse caso, precisa do limite e do somatório para ser explorada e analisada. Portanto, esse trabalho mostra ao leitor como calcular áreas através da soma de Riemman, usando os retângulos como base de todo o procedimento.

Apresentamos de…nições e resultados de limite e funções contínuas que são necessários para o entendimento do tema. Como também abordamos áreas, ilustrando alguns exemplos. E por …m, apontamos alguns resultados básicos sobre a integral de…nida. Esse tema é bastante amplo, a quem interessar dar continuidade, sugerimos livros de análise real para aprofundar o conhecimento. Como também pode ser abordado no ensino médio, utilizando o software GeoGebra, conforme mostra ALMEIDA (2014). Espera-se que o trabalho possa esclarecer o assunto aos leitores, e proporcione a curiosidade para calcular integrais mais complexas, que não foram realizadas nessa obra, utilizando o método das somas de Riemann.

Referências Bibliográ…cas

[1] ALMEIDA, F. W. C. Integral De…nida: uma abordagem para o ensino médio com o auxílio do software GeoGebra. 2014. 41 f. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Ceará, Juazeiro do Norte. 2014.

[2] CAJORI, Florian. Uma História da Matemática. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2007;

[3] EVES, Howard. Introdução à história da matemática. 2 ed. Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 1997;

[4] GUIDORIZZI, Hamilton L., Um curso de cálculo. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001; [5] LIMA, Elon L., Análise real volume 1. Funções de uma variável. 10 ed. Rio de

Janeiro: IMPA, 2010;

[6] MILIES, Francisco C. P., COELHO, Sônia P., Números: Uma Introdução à Matemática. 3 ed. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2003;

[7] MUNEM, Mustafa A., Cálculo. EDIÇÃO. Rio de Janeiro: LTC, 2011; [8] STEWART, James. Cálculo. 6 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2012;

[9] THOMAS, George B., Cálculo. 12 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.