Contagem,
Permutações e
Combinações
Matemá,ca Discreta II(Cap. 6 Rosen)
André Câmara (andrecamara@deinfo.ufrpe.br)
• Teorema
• Uma declaração que pode ser demonstrada verdadeira
• Formados por uma ou mais premissas e uma conclusão
• Podem ser chamados também de fatos ou resultados
• Demonstramos que um teorema é verdadeiro através de uma prova
Terminologia
• Axioma
• Declarações assumidas como verdadeiras (ex.: x=x)
• Lemma
• Teorema menos importante (usado como passo intermediário em uma prova)
• Corolário
• Teorema estabelecido diretamente a par,r do teorema provado
• Conjectura
• Declaração assumida como verdadeira, baseados em evidências parciais, argumentos heurís,cos, ou intuição de especialista
• Quando provadas, tornam-‐se Teoremas
Terminologia (cont.)
• Princípios básicos de contagem
• Regra do Produto:
• Suponha que um evento E pode ocorrer de m formas diferentes, e , independentemente
deste evento, um segundo evento F pode
ocorrer de n maneiras.
• Então, E ou F podem ocorrer de mn maneiras.
Revisão: Combinatória
Regra do Produto
• Exemplo:
• Uma empresa com apenas dois funcionários aluga
um andar de um prédio com 12 escritórios.
• De quantas formas podemos atribuir estas salas
aos dois funcionários?
• R: Atribuir uma sala ao funcionário 1 (que pode ocorrer de 12 formas diferentes) e atribuir uma sala ao funcionário 2 (de 11 formas diferentes)
• Pela regra do produto, temos: 12 11 = 132 formas diferentes
Exemplo 2
• Quantas sequências de bit diferentes com
tamanho 7 existem?
• R: Cada um dos 7 bits pode ser preenchido de 2 maneiras (0 ou 1)
Exemplo 3
• Existem 26 escolhas para cada uma das três letras maiúsculas e 10 escolhas para cada um dos 3 dígitos. Quantas placas podem ser geradas?
• R: 26*26*26*10*10*10 = 17.576.000 placas possíveis
Exemplo 4
• Qual o valor de k após a execução deste código (n1, n2, ... nm são inteiros posi,vos):
• R: n1* n2*...* nm
• Suponha que um evento E pode ocorrer de m formas diferentes, e um segundo evento F pode ocorrer de n maneiras diferentes, e suponha também que ambos eventos não podem ocorrer
simultaneamente.
• Então, E ou F podem ocorrer de m+n formas.
Regra da soma
Exemplo 1
• Suponha que ou um docente ou um aluno será escolhido como representante de um comitê universitário. Este comitê pode ser formado de quantas maneiras diferentes se existem 37 professores e 83 alunos?
• R: Existem 37 maneiras de escolher um professor e 83 maneiras de escolher um aluno. Estas escolhas são independentes uma da
outra, portanto existem 37+83 = 120 maneiras
diferentes.
Exemplo 2
• Qual o valor de k após a execução do seguinte
trecho de código (n1, n2, ... nm são inteiros posi,vos):
• R: n1+ n2+ ... + nm
• Para 3 ou mais eventos...
E1 à n1 E2 à n2 E3 à n3 ...
Estendendo...
Regra da soma: (dois eventos não ocorrem ao mesmo tempo)
Num. maneiras = n1 + n2 + n3 + ...
Regra da mul5plicação: (eventos ocorrem um após o outro)
Num. maneiras = n1 n2 n3 ...
• Suponha que uma universidade tem 3 disciplinas diferentes de história, 4 disciplinas diferentes de literatura, e 2 disciplinas diferentes de sociologia.
a) O número m de formas que um estudante pode escolher os cursos é:
m = (3)(4)(2) = 24
b) O número m de formas que um estudante pode escolher apenas um dos cursos é:
m = (3) + (4) + (2) = 9
Exemplo 3
IP
• Na internet, cada computador possui um endereço chamado endereço IP.
• No IPv4, este endereço é composto de 32 bits
• ne,d=número da rede
• hos,d=número do host
Exemplo: contando endereços
IP
• Classe A: redes grandes
• (0)2 seguido por 7-‐bits para rede e 24-‐bits para hosts
• ne,d não pode ser 1111111
• Classe B: redes médias
• (10)2 seguido por 14-‐bits para rede e 16-‐bits para hosts
• Classe C: redes menores
• (110)2 seguido de 21-‐bits para rede e 8-‐bits para hosts
• 11111111 e 00000000 tem uso especial e não
podem ser designados como end. de host válidos
Exemplo: contando endereços
IP
• Quantos endereços IP estão disponíveis na internet?
• R: Seja x o número de endereços disponíveis • xA = números de endereços da Classe A • xB = números de endereços da Classe B • xC = números de endereços da Classe C • x = xA + xB + xC
Exemplo: contando endereços
IP
• xA = 27 – 1 = 127 redes (rede 1111111 é indisponível)
• Para cada rede existem 224-‐2 = 16.777.214 hosts • xA = 127 * 16.777.214 = 2.130.706.178 • xB = 214 = 16.384 redes
• Para cada rede existem 216-‐2 = 65.534 hosts • xB = 16.384 * 65.534 = 1.073.709.056 • xC = 221 = 2.097.152 redes
• Para cada rede existem 28-‐2 = 254 hosts • xC = 2.097.152 * 254 = 532.676.608
Princípio da Inclusão-‐Exclusão
• Ou “Regra da Subtração”• Suponha que uma tarefa possa ser feita de uma dentre duas maneiras, mas algumas dessas maneiras são comuns entre eles.
• Não podemos usar a regra da soma!
• Devemos subtrair as formas que se repetem, para que não sejam contadas duas vezes
• “Se uma tarefa pode ser feita de n1 ou n2 maneiras, então o número
de formas de se realizar a tarefa é n1+n2 menos o número de formas
de se realizar a tarefa que são comuns às duas maneiras”. • Sejam A e B conjuntos finitos
• Teorema
• Para quaisquer conjuntos finitos A, B e C
Exemplo 1
• Encontre o número de estudantes matriculados em pelo menos uma das aulas de Francês, Alemão e Inglês, dado que:
• 65 estudam Francês, 20 estudam Francês e Alemão
• 45 estudam Alemão, 25 estudam Francês e Inglês,
• 42 estudam Inglês, 15 estudam Alemão e Inglês
• 8 estudam todas as três línguas
Exemplo
• Ou por diagramas de Venn
10 28 12 8 18 7 17 F A I n(F ∪ A ∪ I ) = n(F) + n(A) + n(I ) −n(F ∩G) − n(F ∩ I ) − n(A ∩ I ) + n(F ∩ A ∩ I ) = 65 + 45 + 42 − 20 − 25 −15 + 8 = 100
Exemplo 2
• Quantas strings de bits de tamanho 8 começam com 1 ou terminam com dois bits 00?
formas formas formas Pode estar dentro de ambos os conjuntos de soluções n = 128+64-‐32 = 160
Exemplo 3
• Suponha que existam 1807 calouros. Destes, 453
estão cursando programação, 567 estão cursando matemá,ca discreta, e 299 estão cursando ambos as disciplinas. Quantos não estão cursando nem um nem outro?
• |A| = 453
• |B| = 567
• |A ∩ B| = 299
• |A ∪ B| = |A| + |B| -‐ |A ∩ B| = 453+567-‐299 = 721 cursam prog. ou mat. disc.
Portanto, 1807 – 721 = 1086 não cursam nenhuma
das duas
Regra da divisão
• Existem n/d maneiras de se realizar uma tarefa
se ela pode ser feita usando um procedimento que pode ser realizado de n maneiras, e para cada maneira w, exatamente d das n maneiras correspondem à maneira w.
Exemplo
• De quantas maneiras diferentes 4 pessoas podem se sentar em torno de uma mesa circular, onde duas arrumações são consideradas a mesma quando cada pessoa tem o mesmo vizinho da esquerda e o mesmo vizinho da direita?
Exemplo
• R: Rotulando os assentos:
• Temos 4 formas de escolher quem vai sentar no assento 1
• 3 para o assento 2, ...
• 4! = 24 maneiras das pessoas sentarem
• Considerar apenas as maneiras com vizinhos diferentes!
• 4 formas diferentes de selecionar a pessoa do assento 1 à 24/4 = 6 maneiras Assento 1 Assento 2 Assento 3 Assento 4
Diagrama de Árvore
• Uma forma comum de representar todas as saídas de uma sequência de eventos
• Ex.: A = {1,2}, B={a,b,c}, C={x,y}
n=(2)(3)(2)=12
Diagrama de Árvore
• Exemplo:• Strings de bits de tamanho 4 sem 1`s consecu,vos
Princípio da Casa de Pombos
• Muitos resultados na teoria combinatória sãoversões diferentes do mesmo problema:
“Se n casas de pombos são ocupadas por n+1 ou mais pombos, então pelo menos uma casa é
ocupada por mais de um pombo”
Exemplos
• Suponha que um departamento contém 13
professores
• Então dois dos professores nasceram no mesmo mês
• Suponha que um saco de lavanderia contém muitas meias vermelhas, brancas e azuis.
• Então é necessário pegar apenas 4 meias (pombos) para ter certeza de obter um par com uma única cor (casa de pombo)
Exemplos
• Mostre que em um conjunto de 6 aulas existem duas que são ministradas no mesmo dia. Assuma que as aulas não são ministradas nos finais de semana.
• Temos 5 dias úteis durante a semana e temos 6 aulas. Se todo dia tem uma aula, então serão 5 aulas por semana, sobrando 1 aula que será colocada no mesmo dia de outra.
Exemplos
• Mostre que em um conjunto de 5 inteiros (não necessariamente consecu,vos) existem 2 com o mesmo resto quando dividido por 4.
• Os possíveis restos quando dividimos um número por 4, são: 0, 1, 2, 3 (4 restos)
• Se tenho 5 inteiros, então quando divididos por 4 terão 5 restos. Como temos 4 restos dis,ntos 2 serão iguais.
Exemplos
• Em um conjunto de 367 pessoas, pelo menos quantas pessoas fazem aniversário no mesmo dia?
• Pelo menos 2, pois só temos no máximo 366 dias possíveis
Exemplos
• Encontre o número mínimo de elementos que são necessários ser re,rados do conjunto S = {1,2,3,...9} para que se tenha certeza que dois dos números somados resultam em 10
• Aqui as casas de pombos são os 5 conjuntos {1,9}, {2,8}, {3,7}, {4,6}, {5}
• Portanto, qualquer escolha de 6 elementos de S garante que 2 dos números somados resultam em 10
Generalizando
• Se n casas de pombo são ocupadas por kn+1 ou
mais pombos, onde k é um inteiro posi,vo, então pelo menos uma casa de pombo é ocupada por k+1 ou mais pombos.
Exemplos
• Encontre o número mínimo de estudantes em
uma turma de modo que se tenha certeza de que 3 deles nasceram no mesmo mês
• Aqui, n=12 é o número de casas de pombos • K+1 devem ocupar a mesma casa (mes) • k+1 = 3, portanto k=2
• Entre kn+1 = 25 estudantes (pombos), três deles serão nascidos no mesmo mês
Exemplos
• Suponha que um saco de lavanderia contém muitas meias vermelhas, brancas e azuis. Ache o número de meias que se deve escolher a fim de se obter 2 pares (4 meias) das mesma cor.
• n=3 cores (casas de pombos)
• k+1 = 4 (meias da mesma cor, ou pombos ocupando a mesma casa) • k=3
• kn+1 = 3*3+1 = 10
• Dentre quaisquer 10 meias, 4 tem a mesma cor
PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES
Algumas funções importantes
• Função Fatorial• O produto dos inteiros posi,vos de 1 a n (inclusive) é denotado por n! (“n fatorial”)
n! = 1 2 3 4 ... (n-‐2) (n-‐1) n • Importante: • 0! = 1 • 1! = 1 • n! = n(n-‐1)!
Fatorial
Exemplos
• Exemplo 1: • Exemplo 2: • Observe que:Permutações
• Qualquer arranjo de um conjunto de n objetos em
uma dada ordem é chamada de uma permutação
• BDCA, DCBA e ACDB são permutações de A,B,C,D
• Qualquer arranjo de r ≤ n destes objetos em uma dada ordem é chamada de uma
r-‐permutação dos n objetos, r a r
• BAD, ACB, DBC são permutações das 4 letras 3 a 3 • AD, BC, CA são permutações das 4 letras 2 a 2
Permutações
• Normalmente estamos interessados apenas no
número de permutações, sem necessitar listá-‐las
• O número de permutações de n objetos r a r é
denotado por: P(n,r)
Permutações
• Teorema• Prova:
• Primeiro elemento: n opções
• Segundo elemento: n-‐1 opções
• ...
• r-‐ésimo elemento: n-‐(r-‐1) = n-‐r+1
• Pela regra do produto, chegamos ao Teorema r termos
Exemplo 1
• Encontre o número m de permutações de seis objetos, A, B, C, D, E, F, selecionando-‐se 3 a cada momento (3 a 3).
• Palavras com três letras usando apenas as seis letras dadas, sem repe,ção
Permutações
• Corolário• Se r = n, então existem n! permutações dos n objetos
• Exemplo
• Letras A, B, C
• 3! = 6 permutações
• ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
Permutações com Repetições
• Nas permutações anteriores, não há repe,çãode objetos
• Muitas vezes, queremos saber o número de permutações de n objetos, dos quais alguns podem se repe,r
• Exemplo
• “BABBY” à “B1 , A , B2 , B3 , Y”
• 5! = 120
• Algumas permutações possíveis são
Permutações com Repetições
• O fato é que existem 3! = 6 formas diferentes depreencher as três primeiras posições com os três B’s
• Isso é verdade para cada conjunto de três
posições em que os B’s podem aparecer
• Teorema:
n1, n2, n3, ... à número de repe,ções
Permutações com Repetições
• De fato, no exemplo anterior, o que teremos é• “BABBY”
• “BENZENE”
Amostras Ordenadas
• Amostragem com reposição• n n n n ... n (r fatores) = nr
• Amostragem sem reposição (r-‐permutação)
Exemplo
• 3 cartas são escolhidas uma após a outra de uma pilha de 52 cartas. Encontre o número m de formas que isto pode ser feito:
a. Com reposição
b. Sem reposição
m = (52) (52) (52) = 140.608
m = P(52,3) = (52) (51) (50) = 132.600
Combinatória
• “Arte da contagem”• Permite definir o número de objetos em um conjunto rapidamente
Combinações
• Seja S um conjunto com n elementos.
• Uma combinação destes n elementos selecionando-‐se r a cada vez é qualquer seleção de r objetos (sem ordem)
• r-‐combinação
• Subconjunto de S com r elementos
• C(n,r)
• Ou nCr , Cn,r , Crn
Exemplo
• Encontrar o número de combinações de 4
objetos A, B, C, D, sendo selecionados 3 por a cada vez
• Cada combinação corresponde a 3! = 6 permutações dos objetos
Exemplo (cont.)
• O número de combinações mul,plicado por 3!
nos dá o número de permutações:
• Sendo P(4,3) = 4 3 2 = 24 e 3!=6, temos C(4,3) = 4
Combinações
• Teorema Ou seja, C(n, r) = n r ! " # $ % &Exemplo
• Um fazendeiro compra 3 vacas, 2 porcos, e 4 galinhas de um homem que tem 6 vacas, 5 porcos e 8 galinhas.
• Qual o número m de escolhas que o fazendeiro tem?
Exemplo
• Considere que uma moeda seja lançada 5 vezes. De quantas formas pode-‐se ter três caras?
• Combinação (ordem não importa)
• Determine o número de formas que uma moeda
pode cair se lançada 5 vezes.
• O resultado pode ser:
• 5 caras, 4 caras, 3 caras, 2 caras, 1 cara, 0 cara
Exemplo
• Determine o número de formas que uma moeda pode cair se lançada 5 vezes.
• O resultado pode ser:
• 5 caras, 4 caras, 3 caras, 2 caras, 1 cara, 0 cara
• O Mesmo que 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 = 25 Ou seja, n k ! " # $ % & k=0 n
∑
= 2nExemplo
• De quantas maneiras um comitê, cons,tuido por
3 homens e 2 mulheres, pode ser escolhido entre 7 homens e 5 mulheres?
• Homens podem ser escolhidos de
• Mulheres podem ser escolhidas de
Recursos extras
• Khan Academy• h|p://www.khanacademy.org/math/
trigonometry/prob_comb/
