DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE - Intervalo de Confiança

INTERVALO DE CONFIANÇA (IC)

Para estabelecermos um intervalo de confiança utilizaremos a seguinte estratégia

Na distribuição acima, a empresa poderá estar 90 % confiante de que o índice médio de economia de estará entre 28,1 e 34,1.

Considerando os dados acima pode-se estabelecer que tem-se 90% de confiabilidade de que o índice médio de economia de combustível para toda linha de automóvel de passeio do fabricante está entre 28,1 e 34,1 milhas por galão. Estudaremos a técnica de inferência estatística – usar amostras estatísticas para estimar o valor de um parâmetro populacional desconhecido. Neste campo, estabeleceremos como usar amostras estatísticas para fazer a estimativa do parâmetro populacional  quando o tamanho da amostra for pelo menos 30 ou quando a população é normalmente distribuída e o desvio

σ

é conhecido.

1.1. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA (AMOSTRAS GRANDES) Estimativa Pontual: É um valor único estimado para um parâmetro populacional. A estimativa pontual menos tendenciosa de uma média populacional  é a média amostral

´

x

.

Exemplo:

Pesquisadores de mercado usam o número de frases por anúncio como medida de legibilidade de anúncios de revistas. A seguir, representamos uma amostra aleatória do número de frases encontrado em 50 anúncios. Encontre a estimativa pontual da média populacional .

Solução:

A média amostral dos dados é:

´

x=

∑

x

n

=

620

50

=12,4

Então, a estimativa pontual para o comprimento da média de todos os anúncios de revista é 12,4 frases

1.2. ESTIMATIVA INTERVALAR

É um intervalo, ou amplitude de valores, usado para estimar um parâmetro populacional. Para formar uma estimativa intervalar, use a estimativa pontual como centro do intervalo e depois adicione e subtraia a margem de erro. Por exemplo, se a margem de erro for 2,1, então uma estimativa intervalar seria dada por 12,4  2,1 ou 10,3 <  < 14,5. A estimativa pontual e a estimativa intervalar estão a seguir:

Antes de encontrar a margem de erro para uma estimativa intervalar, devemos primeiro determinar o grau de confiabilidade que sua estimativa intervalar contenha a média populacional .

É a probabilidade de que o intervalo estimado contenha o parâmetro populacional

O nível de confiança c é a área sob a curva normal padrão entre os valores críticos, −z_ce z_c . A área remanescente é 1 – c, então a área em cada cauda é

1

2

(1−c )

.

Por exemplo, se c = 90%, então 5% da área está à esquerda

−

z

_c

=−1,645

e 5% está à direita de

z

_c

=1,645

Considerando c = 90%

C = 0,90 Área na região central da curva

1 – c = 1- 0,90 = 0,10 Área nas regiões extremas (cauda)

1

2

(

1−c )=0,05

Área em cada cauda

−

z

_c

=−1,645

Valor crítico separando a cauda esquerda

z

_c

=1,645

Valor crítico separando a cauda direita Usaremos níveis de confiança, interligados com os seguintes níveis de confiança: Nível de Confiança ZC 90 % 1,645 95 % 1,96 99 % 2,575

A diferença entre a estimativa pontual e o valor real do parâmetro é chamada de erro de amostragem.

Quando temos  estimado, o erro de amostragem é a diferença de

´

x−μ

. Na maioria dos casos, é claro,  é desconhecido e

´

x

varia de amostra para amostra. O valor máximo para o erro poderá ser calculado se o nível de confiança e a distribuição de amostragem forem conhecidos.

1.3. MARGEM DE ERRO

Também denotado por erro máximo da estimativa ou tolerância de erro (E) é a maior distância entre o ponto de estimativa e o valor do parâmetro que se está estimando

E=Z

C

σ

´x

=

Z

C

σ

√

n

Para utilizar tal técnica, assume-se que o desvio padrão da amostra é conhecido. Esse caso é raro, mas quando n 30, o desvio padrão da amostra S pode ser usado no lugar de 

Exemplo 1 :

Pesquisadores de mercado usam o número de frases por anúncio como medida de legibilidade de anúncios de revistas. A seguir, representamos uma amostra aleatória do número de frases encontrado em 50 anúncios.Considerando um nível de confiança de 95% e o desvio padrão da amostra é aproximadamente 5,0. CALCULE a Margem de Erro no intuito de encontrar a média de frases em todos os anúncios de revistas.

Solução: Passo 1:

i) Como foi estabelecido um nível de confiança de 95%, temos que o z-escore será de 1,96 (ou seja, 95% da área abaixo da curva normal padrão está dentro de 1,96 desvios padrões da média);

ii) Como n 30 podemos utilizar o desvio padrão S no lugar de  iii) Sabemos também que n = 50

Passo 2:

Calculando o Erro amostral teremos:

E=Z

C

σ

√

n

E=1,96

5

√

50

≅1,4

Passo 4:

1.4. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL Um intervalo de confiança c para a média populacional  é:

´

x−E<μ< ´x +E

A probabilidade de que o intervalo de confiança contenha μ é c

Passos para encontrar um intervalo de confiança para a média populacional ( n  30) ou  é conhecido como uma população normalmente distribuída.

Encontrar a estatística amostral  e

´

x

´x=

∑

_nx

Especifique , se for conhecido. Caso contrário, encontre o desvio padrão amostral S e use-o como uma estimativa para 

S=

√

∑

(

x−´x )

2

n−1

Encontre o valor crítico

Z

_C que

corresponda ao nível de confiança dado

Encontrar a margem de erro

E=Z

_C

σ

√

n

Encontre os extremos esquerdo e

direito e forme o intervalo de confiança

Extremo esquerdo: ´x−E

Extremo direito:

´

x+E

Intervalo: ´x−E<μ< ´x +E

CONSTRUINDO UM INTERVALO DE CONFIANÇA Exemplo 2:

Utilizando os dados do Exemplo 1 construa um intervalo de confiança de 95% para a média do número de frases em todos os anúncios da revista. Solução: Sendo

E=1,96

5

√

50

≅1,4

´ x=

∑

x n = 620 50 =12,4

O intervalo de confiança será:

IC=(11,0;13,8)

Extremoesquerdo : ´x−E=12,4−1,4=11,0

Extremodireito : ´x +E=12,4+1,4=13,8

CONSTRUINDO UM INTERVALO DE CONFIANÇA COM σ CONHECIDO O diretor de admissão de uma faculdade deseja estimar a idade média de todos os estudantes matriculados. Em uma amostra aleatória de 20 estudantes, a idade média encontrada é 22,9 anos. Baseado em estudos anteriores, o desvio padrão conhecido é 1,5 anos e a população é normalmente distribuída. Construa um intervalo de confiança de 90% para a média de idade da população.

Solução:

Usando n = 20,

n=20 anos , ´x=22,9 anos , σ =1,5 anos , z

_0,90

=1,645

i

¿

Erro amostral :1,645

1,5

ii

¿

Extremoesquerdo : ´x −E=22,9−0,60=22,3

Extremodireito : ´x +E=22,9+0,60=23,5

TAMANHO DA AMOSTRA

Para a mesma amostra estatística, conforme o nível de confiança aumenta, o intervalo de confiança fica mais largo. Conforme o intervalo de confiança fica mais largo, a precisão da estimativa decresce. Uma maneira de aumentar a precisão de uma estimativa sem decrescer o nível de confiança é aumentar o tamanho da amostra. Mas, qual o tamanho de amostra necessário para garantir certo nível de confiança para uma margem de erro dada?

Dado o nível de confiança c e uma margem de erro E, o tamanho mínimo da amostra n necessário para estimar a média populacional μ é:

n=

(

Z

c

σ

E

)

2

Se σ for desconhecido, você pode estimá-lo usando s, dado que você tenha uma amostra preliminar com pelo menos 30 membros.

Exemplo 3:

Considerando os dados do exemplo 1, DETERMINE quantos anúncios da revista devem ser incluídos na amostra se você quer estar 95% confiante de que a média amostral esteja dentro de uma frase da média populacional?

Solução:

Considerando

c=0,95, Z

_c

=1,96, σ ≈ s ≈ 5,0 e E=1

, você pode encontra o tamanho mínimo de amostra n:

n=

(

Zcσ E

)

2 =

(

1,96 ∙5,0 1

)

2 =96,04

Quando necessário arredonde a quantidade de amostras no intuito de obter número inteiro, neste caso a quantidade mínima de amostras será 97.

Existem situações em que temos o desvio padrão da população desconhecido e por diversos fatores não é possível coletar amostras de tamanha 30 ou mais. Se a variável aleatória for normalmente distribuída, ou aproximadamente normalmente distribuída, pode-se utilizar a distribuição t.

Se a distribuição de uma variável aleatória x for aproximadamente normal, então:

t=

x −μ

´

x

√

n

O que corresponde a uma distribuição t

Valores críticos de t são denotados por t_c . Diversas propriedades da distribuição t estão a seguir.

1. A distribuição t tem forma de sino e é simétrica sobre a média.

2. A distribuição t é uma família de curvas, cada uma determinada por um parâmetro chamado de grau de liberdade. Os graus de liberdade são o número de escolhas livres deixas depois que uma amostra estatística tal como ´x é calculada. Quando usamos a distribuição t para estimar a média da população, os graus de liberdade são iguais ao tamanho da amostra menos um:

g .l .=n−1

3. A área total sob a curva é 1 ou 100%

4. A média, a mediana e a moda da distribuição t são iguais a zero.

5. Conforme os graus de liberdade aumentam, a distribuição t aproxima a distribuição normal. Depois de 30 g.l. a distribuição t está muito próxima à distribuição normal padrão z.

Exemplo 4:

Encontre o valor crítico t_c para uma confiança de 95 % quando o tamanho da amostra é 15.

Em razão de n = 15, os graus de liberdade são: g.l. = n -1 = 15 – 1 = 14

Uma parte da Tabela da distribuição t é mostrada abaixo. Considerando g.l. = 14 e c = 0,95, o valor crítico t_c é mostrado pela áreas destacadas na tabela.

Observando a tabela, você pode ver que t_c=2,145 . O gráfico abaixo demonstra a distribuição t para 14 graus de liberdade, c = 0,95 e t_c=2,145 . A interpretação do gráfico é que 95% da área sob a curva da distribuição t com 14 graus de liberdade está entre t=± 2,145

INTERVALOS DE CONFIANÇA E A DISTRIBUIÇÃO t

Construir um intervalo de confiança usando a distribuição t é similar a construir um intervalo de confiança usando a distribuição normal – ambos usam uma estimativa pontual

´

x

e um margem de erro E.

INSTRUÇÕES

Em palavras Simbolos

1. Identifique a amostra estatística

n , ´x e s

x=

∑

x

n

;s=

√

∑

(

x−´x )

2

n−1

2. Identifique os graus de liberdade,

o nível de confiança c e os valores críticos t_c

3. Encontre a margem de erro E

E=T

_C

s

√

n

4. Encontre os extremos esquerdo

e direito e forme os intervalos de confiança

Extremoesquerdo : ´x−E

Extremodireito : ´x +E

Intervalo: ´x−E<μ< ´x +E

CONSTRUINDO UM INTERVALO DE CONFIANÇA Exemplo 5:

Considere uma seleção de 16 cafeterias para a medição da temperatura do café vendido em cada uma delas. A média de temperatura da amostra é de

162,0℉ com desvio padrão de 10,0℉ . Encontre um intervalo de 95% para

a temperatura média. Assuma que as temperaturas são normalmente distribuídas.

Solução:

i) Sabendo que

n=16 ; ´x =162,0; s=10,0 ;c=0,95 e g . l.=16−1=15

ii) Utilizando a Tabela de Distribuição t temos que t_c=2,131

iii) A margem de erro no intervalo de confiança de 95% é:

E=2,131

10

√

16

≈ 5,3

iv) O intervalo de confiança será:

Interpretação: Com 95 % de confiança, podemos dizer que a média da temperatura do café vendido está entre 156,7℉ e 167,3℉ .