2. Intervalo de confiança para a média 2.1. Quando a variância populacional é conhecida - Intervalo de confiança

Intervalo de confiança

1.

Introdução

Nas aulas anteriores, vimos como utilizar estatísticas pontuais da amostra (média e proporção amostral) para identificar os parâmetros populacionais. Porém, como discutido tais resultados são em geral imprecisos, uma vez que são extraídos de amostras.

Nesta seção iremos estudar como podemos estimar intervalos de valores, para os quais os

parâmetros de interesse estejam inseridos. De forma a termos uma melhor visão sobre o erro que podemos estar cometendo ao estimarmos parâmetros populacionais a partir de estatísticas amostrais. Tais erros são normalmente denominados de margens de erro. A forma geral de uma estimação por intervalo, também conhecido como intervalo de confiança, é a

seguinte:

Estimação por ponto ± margem de erro

Assim, construímos, de forma genérica, uma estimativa de um intervalo de valores possíveis, no qual se admite que esteja o parâmetro populacional. Neste tipo de estimativa temos um

intervalo de valores em torno do parâmetro amostral, no qual julgamos, com um risco conhecido de erro, estar o parâmetro da população. A esse intervalo chamamos intervalo de confiança.

Como já sabemos calcular a estimação por ponto, pelo menos para a média e proporção, agora precisamos aprender como calcular a margem de erro. Para tanto, analisaremos dois casos, primeiro quando a variância populacional (ou desvio-padrão) é conhecida e depois quando a

variância populacional é desconhecida, caso muitas vezes comum nos estudos e pesquisas. Por fim, também teremos a oportunidade de analisarmos o tamanho “ideal” de uma amostra.

2.

Intervalo de confiança para a média

2.1.

Quando a variância populacional é conhecida

Por “σ conhecido” queremos dizer que há dados históricos ou outras informações disponíveis que nos permitem obter uma boa estimativa do desvio padrão da população antes de tomarmos a amostra que será usada para a construção de um intervalo de confiança.

Para construirmos um intervalo de confiança para µ, recorreremos ao nosso conhecimento

𝑋̅~𝑁 (𝜇;𝜎_{𝑛 )}2

𝑍 =𝑋̅ − 𝜇_𝜎 √𝑛

⁄ ~𝑁(0,1)

Consultando a tabela de distribuição normal padronizada podemos verificar que, por exemplo, 95% das observações se encontram no intervalo ±1,96.

Ou seja,

𝑃(−1,96 ≤ 𝑍 ≤ 1,96) = 0,95

𝑃 (−1,96 ≤𝑋̅ − 𝜇_𝜎 √𝑛

⁄ ≤ 1,96) = 0,95

𝑃 (−1,96. 𝜎 √𝑛

⁄ ≤ 𝑋̅ − 𝜇 ≤ 1,96. 𝜎⁄ ) = 0,95_√𝑛

𝑃 (−1,96. 𝜎 √𝑛

⁄ − 𝑋̅ ≤ −𝜇 ≤ 1,96. 𝜎⁄_√𝑛− 𝑋̅) = 0,95

𝑃 (𝑋̅ − 1,96. 𝜎 √𝑛

⁄ ≤ 𝜇 ≤ 𝑋̅ + 1,96. 𝜎⁄ ) = 0,95_√𝑛

Assim, a estimativa intervalar é dada por:

𝑋̅ ± 1,96. 𝜎 √𝑛 ⁄

Isso significa que, se selecionarmos 100 amostras aleatórias da população e as usarmos para calcular 100 intervalos de confiança para a média populacional (µ), aproximadamente 95 deles

(95%) conteriam a média verdadeira da população.

Em nossa aula anterior calculávamos z e então encontrávamos a área correspondente e, assim, a probabilidade desejada. Agora a ação é inversa, ou seja, temos uma probabilidade (coeficiente de confiança) e queremos encontrar o intervalo, ou seja, os valores de z.

De maneira genérica, dado um nível de confiança (1-α), por exemplo, de 95%, o intervalo de confiança será dado por:

𝐼𝐶: (𝑋̅ − 𝑧𝛼 2

⁄ . 𝜎⁄ ; 𝑋̅ + 𝑧_√𝑛 𝛼⁄₂. 𝜎⁄ )_√𝑛

Salientamos que a estimativa intervalar da média populacional baseia-se na hipótese de que a distribuição das médias amostrais é normal, daí usamos a nova variável z. Para grandes amostras (quando n é maior que 30 ou 50) esta premissa é garantida pelo Teorema do Limite

Além disso, uma vez que n aparece no denominador do intervalo de confiança, um tamanho de amostra maior produzirá um erro (margem de erro) menor, logo, teremos um intervalo

mais restrito e uma precisão maior na estimativa.

Exemplo:

Considerando que uma amostra de cem elementos extraída de uma população aproximadamente normal, cujo desvio padrão é igual a 2, forneceu média de 35,6 (_𝑋̅),

construir intervalos de confiança de 90%, 95% e 99% para a média dessa população. Para seu primeiro intervalo de 90% de confiança, temos: 0,9*0,5 = 0,45.

Conhecendo a área que nos dá 90% de confiança no resultado, vamos até a Tabela para a Distribuição Normal Padronizada e encontramos o valor mais próximo de 0,45, que é 0,4495.

Para este valor temos (considerando a linha e a coluna) z = 1,64

Confiança desejada

z Fórmula Intervalo de confiança

90% 1,64 _{𝜇 ± 1,64} 𝜎

√𝑛 35,6 ± 1,64

2

√100= 35,6 ± 0,328

95% 1,96 _{𝜇 ± 1,96} 𝜎

√𝑛 35,6 ± 1,96

2

√100= 35,6 ± 0,392

99% 2,58 _{𝜇 ± 2,58} 𝜎

√𝑛 35,6 ± 2,58

2

√100= 35,6 ± 0,516

Podemos representar da seguinte forma:

𝑃(35,272 ≤ 𝜇 ≤ 35,928) = 0,90 𝑃(35,208 ≤ 𝜇 ≤ 35,992) = 0,95 𝑃(35,084 ≤ 𝜇 ≤ 35,116) = 0,99

2.1.1.Intervalos de confiança unilaterais

Em alguns casos poderíamos estar interessados em calcular intervalos unilaterais, nos quais estaríamos preocupados apenas com o limite superior do intervalo, ou com o limite inferior desse, mas não com ambos.

Exemplo:

Se estivermos interessados na possível inadimplência das empresas, não deveríamos nos preocupar com o caso das empresas possuírem, por exemplo, elevados recursos em caixa, mas somente com aquelas que possuam baixo nível de reservas. Nesse caso, para um nível de confiança de 95% verificamos pela tabela da distribuição normal padrão que:

Logo,

𝑃(𝑍 ≤ 1,645) = 0,95

𝑃 (𝑋̅ − 𝜇_𝜎 √𝑛

⁄ ≤ 1,645) = 0,95

𝑃 (𝜇 ≥ 𝑋̅ − 1,645. 𝜎 √𝑛

⁄ ) = 0,95

Suponha que este limite inferior seja igual a R$ 70.000,00, estamos dizendo que 70 mil reais é o limite mínimo, a partir do qual se deve conter a média verdadeira (µ). Analogamente, o limite superior será:

𝑋̅ + 1,645. 𝜎 √𝑛 ⁄

2.1.2.Como determinar o tamanho de uma amostra

Como vimos, para σ conhecido temos:

𝑋̅ ± 𝑧𝛼_⁄2. 𝜎 √𝑛 ⁄

No qual, o segundo elemento é a chamada margem de erro, e significa a margem de erro que

estamos dispostos a aceitar em nossa estimativa: 𝐸 = 𝑧𝛼

2 ⁄ . 𝜎⁄_√𝑛

√𝑛 =𝑧𝛼⁄_𝐸2. 𝜎→ 𝑛 =(𝑧𝛼⁄2) 2

. 𝜎2 𝐸2

Desta forma, dada uma margem de erro que estamos dispostos a aceitar, a fórmula acima nos

fornece o tamanho de amostra que deveremos obter. O tamanho da amostra depende de 3 fatores, conforme abaixo:

 O grau de confiança desejado (z);

 Quantidade de dispersão entre os valores individuais da população ( );  Erro tolerável ou admitido (e).

Se n não for inteiro, devemos arredondar seu resultado para cima.

Exemplo:

Qual o tamanho de amostra necessária para se estimar a média de uma população infinita cujo desvio padrão é igual a 4, com 98% de confiança e erro de 0,5?

𝑛 =(𝑧𝛼⁄2) 2

. 𝜎2

𝐸2 → 𝑛 =(2,33)

2_{. 4}2

0,52 = 347,4496 → 𝑛 = 348

Exercícios Resolvidos

1. Uma amostra aleatória simples de 40 itens resultou em uma média amostral 25. O desvio padrão da população é σ =5.

a)Qual é o erro padrão da média, _𝜎𝑋̅?

b)Para um grau de confiança de 95%, qual é a margem de erro?

Resposta:

a)𝝈_𝑿̅ = 𝝈

√𝒏= 𝟓

√𝟒𝟎= 𝟎, 𝟕𝟗

b)𝑬 = 𝒛𝜶 𝟐

⁄ . 𝝈⁄_√𝒏 = 𝟏, 𝟗𝟔. 𝟎, 𝟕𝟗 = 𝟏, 𝟓𝟓

2. Uma amostra aleatória simples de 50 itens de uma população, com σ=6, resultou em uma média amostral igual a 32.

a)Forneça um intervalo de confiança de 90% para a média populacional. b)Estime um intervalo de confiança de 95% para a média populacional. c) Providencie um intervalo de confiança de 99% para a média populacional.

a) 𝑰𝑪: 𝑿̅ ± 𝒛𝜶 𝟐

⁄ . 𝝈⁄_√𝒏= 𝟑𝟐 ± 𝟏, 𝟔𝟒._√𝟓𝟎𝟔 = 𝟑𝟐 ± 𝟏, 𝟔𝟒. 𝟎, 𝟖𝟓 = 𝟑𝟐 ± 𝟏, 𝟑𝟗𝟒 =

[𝟑𝟎, 𝟔𝟎𝟔; 𝟑𝟑, 𝟑𝟗𝟒]

b) 𝑰𝑪: 𝑿̅ ± 𝒛𝜶 𝟐

⁄ . 𝝈⁄_√𝒏= 𝟑𝟐 ± 𝟏, 𝟗𝟔._√𝟓𝟎𝟔 = 𝟑𝟐 ± 𝟏, 𝟗𝟔. 𝟎, 𝟖𝟓 = 𝟑𝟐 ± 𝟏, 𝟔𝟔𝟔 =

[𝟑𝟎, 𝟑𝟑𝟒; 𝟑𝟑, 𝟔𝟔𝟔]

c) 𝑰𝑪: 𝑿̅ ± 𝒛𝜶 𝟐

⁄ . 𝝈⁄_√𝒏= 𝟑𝟐 ± 𝟐, 𝟓𝟖._√𝟓𝟎𝟔 = 𝟑𝟐 ± 𝟐, 𝟓𝟖. 𝟎, 𝟖𝟓 = 𝟑𝟐 ± 𝟐, 𝟏𝟗𝟑 =

[𝟐𝟗, 𝟖𝟎𝟕; 𝟑𝟒, 𝟏𝟗𝟑]

3. Uma amostra aleatória simples de 60 itens resultou em uma média amostral igual a 80. O desvio padrão σ da população é igual a 15.

a. Calcule o intervalo de confiança de 95% para a média populacional.

b.Suponha que a mesma média amostral tenha sido obtida de uma amostra de 120 itens. Forneça um intervalo de confiança de 95% da média populacional.

c. Qual é o efeito de um tamanho de amostra maior sobre a estimação por intervalo?

Resposta:

a) 𝑰𝑪: 𝑿̅ ± 𝒛𝜶 𝟐

⁄ . 𝝈⁄_√𝒏= 𝟖𝟎 ± 𝟏, 𝟗𝟔._√𝟔𝟎𝟏𝟓 = 𝟖𝟎 ± 𝟏, 𝟗𝟔. 𝟏, 𝟗𝟑𝟔𝟓 = 𝟖𝟎 ± 𝟑, 𝟕𝟗𝟓𝟓 =

[𝟕𝟔, 𝟐𝟎𝟒𝟓; 𝟖𝟑, 𝟕𝟗𝟓𝟓]

b) 𝑰𝑪: 𝑿̅ ± 𝒛𝜶 𝟐

⁄ . 𝝈⁄_√𝒏= 𝟖𝟎 ± 𝟏, 𝟗𝟔._{√𝟏𝟐𝟎}𝟏𝟓 = 𝟖𝟎 ± 𝟏, 𝟗𝟔. 𝟏, 𝟑𝟔𝟗𝟑 = 𝟖𝟎 ± 𝟐, 𝟔𝟖𝟒 =

[𝟕𝟕, 𝟑𝟏𝟔; 𝟖𝟐, 𝟔𝟖𝟒]

c) Amostras maiores diminuem a margem de erro, fazendo com que, para um

mesmo nível de confiança, determinemos intervalos de confiança menores.

4. Sabe-se que o intervalo de confiança de 95% de uma média populacional é de 152 a 160.

Se σ = 15, qual tamanho de amostra foi utilizado nesse estudo?

Resposta:

Como: IC: 𝑿̅ ± 𝒛𝜶 𝟐

⁄ . 𝝈⁄_√𝒏, que está entre 152 e 160, logo a margem de erro é metade da

variação do intervalo, ou seja, E=4, assim:

𝑬 = 𝒛𝜶 𝟐

⁄ . 𝝈⁄_√𝒏= 𝟒

𝟏, 𝟗𝟔.𝟏𝟓

√𝒏= 𝟒

2.2.

Quando a variância populacional é desconhecida

Quando desenvolvemos a estimação por intervalo de uma média populacional, geralmente não possuímos uma boa estimativa do desvio padrão da população. Nesses casos, precisamos usar a mesma amostra para estimar µ e σ. Essa situação representa o caso que apresenta σ desconhecido.

Assim precisamos calcular o desvio padrão amostral (s) e usá-lo no lugar de σ, para calcular a margem de erro. Neste caso, a estimação por intervalo da média populacional não terá mais

uma distribuição normal, mas sim, apresentará uma distribuição de probabilidade conhecida como distribuição t de Student. A distribuição t é uma família de distribuições de probabilidade similares, sendo que, cada distribuição específica depende de um parâmetro conhecido como grau de liberdade.

Comparação da distribuição normal padrão com distribuições t que têm 0 e 20 graus de liberdade

De maneira genérica, no caso de σ desconhecido, e dado um nível de confiança (1-α), o intervalo de confiança será dado por:

𝐼𝐶: (𝑋̅ ± 𝑡𝛼_⁄2. 𝑠 √𝑛 ⁄ )

Em que s é o desvio padrão da amostra, calculado como:

𝑠 = √∑(𝑋_{𝑛 − 1}𝑖− 𝑋̅)2

Distribuição normal

padrão Distribuição t (20

graus de liberdade)

𝑡𝛼 2

⁄ é o valor de t (Tabelado) que produz uma área igual a 𝛼⁄₂ na cauda superior da distribuição t, com n-1 graus de liberdade. Para determinar o valor de t na tabela, a ser usado é necessário ter: um nível de confiança desejado (1-α) e o número de graus de liberdade a ser utilizado (n-1).

Exemplo:

Sabendo-se que uma amostra tem 25 elementos, que a sua média 150 e desvio padrão igual a 10. Represente um intervalo de confiança em nível de 90%. Como a amostra é menor que 30 elementos, então iremos usar a distribuição t de Student. Se desejarmos um intervalo de

confiança de 90%, temos:

Para trabalharmos com a tabela, encontramos o número de graus de liberdade, que é: (n-1), logo (25-1)=24. E O nível de confiança desejado é (1-α) = (1 – 0,9) = 0,1. Conhecendo o número de graus de liberdade e o nível de confiança, vamos à tabela e encontramos o valor t, neste

caso igual a 1,7109. Em seguida, calculamos o intervalo de confiança:

𝑋̅ ± 𝑡𝛼_⁄2 𝑠 √𝑛 150 ± 𝑡2,5 10

√25

150 ± 1,7109 10

√25 150 ± 3,4218

Exercícios resolvidos

1. Para uma distribuição t com 16 graus de liberdade, encontre a área, ou probabilidade, em cada região apresentada a seguir:

a)À direita de 2,120. b)À esquerda de 1,337. c)A esquerda de -1,746. d)À direita de 2,583. e) Entre -2,120 e 2,120. f) Entre -1,746 e 1,746.

Resposta: Conforme a tabela da distribuição t de student, encontramos os seguintes

valores:

a) 0,025 ou 2,5%

b) 1-0,1 = 0,90 ou 90%

c) 0,05 ou 5%

d) 0,01 ou 1%

e) 1-2(0,025) = 1-0,05 = 0,95 ou 95%

f) 1-2(0,05) = 1-0,1 = 0,90 ou 90%

2. Encontre o(s) valor(es) t em cada um dos seguintes casos: a)Área da cauda superior igual a 0,025, com 12 graus de liberdade. b)Área da cauda inferior igual a 0,05, com 50 graus de liberdade.

c)Área da cauda superior igual a 0,01, com 30 graus de liberdade.

d)Em que 90% da área se situa entre esses dois valores t com 25 graus de liberdade. e)Em que 95% da área se situa entre esses dois valores t com 45 graus de liberdade

Resposta: Conforme a tabela da distribuição t de student, encontramos os seguintes

valores:

a) 2,179

b) -1,676

c) 2,457

d) ± 1,708

3. Os dados amostrais seguintes são de uma população normal: 10, 8,12, 15, 13,11, 6, 5. a)Qual é a estimação por ponto da média populacional?

b) Qual é a estimação por ponto do desvio padrão da população?

c) Com 95% de confiança, qual é a margem de erro da estimativa da média populacional? d)Qual é o intervalo de confiança de 95% da média populacional?

Resposta:

a) 𝑿̅ =∑ 𝑿𝒊

𝒏 = 𝟖𝟎

𝟖 = 𝟏𝟎

b) 𝒔 = √∑(𝑿𝒊−𝑿̅)𝟐

𝒏−𝟏 = √ 𝟖𝟒

𝟕 = 𝟑, 𝟒𝟔

c) 𝑬 = 𝒕_{𝟎,𝟎𝟐𝟓}(𝒔

√𝒏) = 𝟐, 𝟑𝟔𝟓 ( 𝟑,𝟒𝟔

√𝟖) = 𝟐, 𝟗

d) 𝑰𝑪 = 𝑿̅ ± 𝒕_{𝟎,𝟎𝟐𝟓}(𝒔

√𝒏) = 𝟏𝟎 ± 𝟐, 𝟗 = [𝟕, 𝟏; 𝟏𝟐, 𝟗]

4. Uma amostra aleatória simples com n =54 produziu uma média amostral igual a 22,5 e um desvio padrão da amostra igual a 4,4.

a)Desenvolva um intervalo de confiança de 90% para a média populacional. b) Estabeleça um intervalo de confiança de 95% para a média populacional. c) Estipule um intervalo de confiança de 99% para a média populacional.

d)O que acontece à margem de erro e ao intervalo de confiança quando o grau de confiança é aumentado?

Resposta:

a) 𝑰𝑪 = 𝑿̅ ± 𝒕_{𝟎,𝟎𝟓}(𝒔

√𝒏) = 𝟐𝟐, 𝟓 ± 𝟏, 𝟔𝟕𝟒 ( 𝟒,𝟒

√𝟓𝟒) = 𝟐𝟐, 𝟓 ± 𝟏, 𝟔𝟕𝟒(𝟎, 𝟔𝟎) = 𝟐𝟐, 𝟓 ± 𝟏 = [𝟐𝟏, 𝟓; 𝟐𝟑, 𝟓]

b) 𝑰𝑪 = 𝑿̅ ± 𝒕_{𝟎,𝟎𝟐𝟓}(𝒔

√𝒏) = 𝟐𝟐, 𝟓 ± 𝟐, 𝟎𝟎𝟔 ( 𝟒,𝟒

√𝟓𝟒) = 𝟐𝟐, 𝟓 ± 𝟐, 𝟎𝟎𝟔(𝟎, 𝟔𝟎) = 𝟐𝟐, 𝟓 ± 𝟏, 𝟐 = [𝟐𝟏, 𝟑; 𝟐𝟑, 𝟕]

c) 𝑰𝑪 = 𝑿̅ ± 𝒕_{𝟎,𝟎𝟎𝟓}(𝒔

√𝒏) = 𝟐𝟐, 𝟓 ± 𝟐, 𝟔𝟕𝟐 ( 𝟒,𝟒

√𝟓𝟒) = 𝟐𝟐, 𝟓 ± 𝟐, 𝟔𝟕𝟐(𝟎, 𝟔𝟎) = 𝟐𝟐, 𝟓 ± 𝟏, 𝟔 = [𝟐𝟎, 𝟗; 𝟐𝟒, 𝟏]

d) Quanto maior a confiança (%) que queremos, maior deverá ser à margem de erro, logo maior será o intervalo de confiança.

3.

Intervalo de confiança para proporção

A estimação por intervalo de confiança de uma proporção populacional segue o mesmo modus operandi da estimação por intervalo da média. A forma geral será:

Como apresentado anteriormente, a distribuição amostral de _𝑝̅ pode ser aproximada por meio de uma distribuição normal, quando _{𝑛𝑝 ≥ 5 𝑒 𝑛(1 − 𝑝) ≥ 5}, neste caso teremos:

𝑝̅~𝑁 (𝑝;𝑝(1 − 𝑝)_𝑛 )

Ou seja, 𝑝̅ terá média igual a p e 𝜎_𝑝̅= √𝑝(1−𝑝)

𝑛 . Notem, porém que 𝜎𝑝̅ não pode ser usado diretamente, pois não sabemos o valor de p, sendo assim, usamos a estimativa pontual _𝑝̅ . Assim, a estimação por intervalo de confiança de uma proporção populacional será dada por:

𝑝̅ ± 𝑧

√𝑝̅(1 − 𝑝̅)

𝑛

Em que 1-α é o coeficiente de confiança e _zα 2

⁄ é o valor de z que produz uma área igual a α⁄2 na cauda superior da distribuição normal padrão.

Exemplo

Foi realizada uma pesquisa com 900 jogadoras de tênis para saber como as mulheres viam o tratamento que lhes era dado nos cursos de tênis no Brasil. A pesquisa revelou que 396 jogadoras estavam satisfeitas. Desse modo, a estimação pontual da proporção de mulheres tenistas satisfeitas é de 396/900=0,44. Com base nesta informação estime um intervalo de confiança para a proporção populacional com um grau de confiança de 95%.

𝑝̅ ± 𝑧

√𝑝̅(1 − 𝑝̅)

𝑛

0,44 ± 1,96√0,44.0,56₉₀₀

0,44 ± 0,0324

Logo, a proporção populacional de mulheres tenistas satisfeitas com os cursos de tênis no Brasil, com 95% de confiança, está entre 40,76% (0,44 – 0,0324) e 47,24% (0,44 + 0,0324).

3.1.

Determinação do tamanho da amostra para o caso de proporções

Digamos que E denote a margem de erro desejada:

𝐸 = 𝑧

⁄

√𝑝̅(1 − 𝑝̅)

_𝑛

𝑛 =(𝑧𝛼⁄2) 2

𝑝̅(1 − 𝑝̅) 𝐸2

Observe, entretanto, que não podemos usar essa fórmula para calcular o tamanho da amostra, porque _𝑝̅ somente será conhecido após selecionarmos uma amostra e calcularmos sua proporção. Desta forma, substituímos a proporção amostral por um valor planejado de p, o qual será denotado por p*. Assim teremos:

𝑛 =(𝑧𝛼⁄2) 2

𝑝∗_{(1 − 𝑝}∗₎ 𝐸2

Na prática, para definirmos um valor para p* podemos utilizar um dos seguintes métodos:

 Usar a proporção amostral de uma amostra anteriormente realizada;  Realizar um estudo piloto com uma amostra preliminar;

 Usar um valor planejado p* = 0,5.

Exemplo:

Retornemos ao exemplo anterior das mulheres tenistas, qual deve ser o tamanho da amostra se o diretor da pesquisa quiser estimar a proporção populacional com uma margem de erro de 0,025 e com 95% de confiança?

𝐸 = 0,025

𝑧𝛼 2

⁄ = 1,96

Utilizando p*=0,44, teremos:

𝑛 =(𝑧𝛼⁄2) 2

𝑝∗_{(1 − 𝑝}∗₎

𝐸2 =(1,96)

2_(0,44)(0,56)

(0,025)2 = 1.514,5

Logo, devemos pesquisar 1.515 mulheres tenistas.

Exercícios resolvidos

1. Uma amostra aleatória simples de 400 pessoas apresentou 100 respostas Sim.

a)Qual é a estimação por ponto da proporção da população que apresentaria respostas Sim? b)Qual é sua estimativa do erro padrão da população, _𝜎𝑝̅?

c) Calcule o intervalo de confiança de 95% para a proporção populacional?

Resposta:

a) 𝒑̅ =𝟏𝟎𝟎

b) 𝝈_𝒑̅ = √𝒑̅(𝟏−𝒑̅)

𝒏 = √ 𝟎,𝟐𝟓.𝟎𝟕𝟓

𝟒𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟏𝟕

c) 𝒑̅ ± 𝒛_{𝟎,𝟎𝟐𝟓}√𝒑̅(𝟏−𝒑̅)

𝒏 = 𝟎, 𝟐𝟓 ± 𝟏, 𝟗𝟔(𝟎, 𝟎𝟐𝟏𝟕) = 𝟎, 𝟐𝟓 ± 𝟎, 𝟎𝟒𝟐𝟒 =

[𝟎, 𝟐𝟎𝟕𝟔; 𝟎, 𝟐𝟗𝟐𝟒]

2. Uma amostra aleatória simples de 800 elementos gera uma proporção amostral 𝑝̅ = 0,70. a)Forneça um intervalo de confiança de 90% para a proporção populacional.

b)Providencie um intervalo de confiança de 95% para a proporção populacional.

Resposta:

a) 𝒑̅ ± 𝒛𝜶 𝟐

⁄ √𝒑̅(𝟏−𝒑̅)_𝒏 = 𝟎, 𝟕 ± 𝟏, 𝟔𝟒𝟓√𝟎,𝟕.𝟎,𝟑_𝟖𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟕 ± 𝟎, 𝟎𝟐𝟔𝟕 = [𝟎, 𝟔𝟕𝟑𝟑; 𝟎, 𝟕𝟐𝟔𝟕]

b) 𝒑̅ ± 𝒛_𝜶

𝟐

⁄ √𝒑̅(𝟏−𝒑̅)_𝒏 = 𝟎, 𝟕 ± 𝟏, 𝟗𝟔√𝟎,𝟕.𝟎,𝟑_𝟖𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟕 ± 𝟎, 𝟎𝟑𝟏𝟕 = [𝟎, 𝟔𝟔𝟖𝟐; 𝟎, 𝟕𝟑𝟏𝟕]

3. Com 95% de confiança, qual tamanho de amostra deve ser tomado para se obter uma margem de erro de 0,03 para a estimativa de uma proporção populacional? Suponha que não haja dados históricos disponíveis para que se possa desenvolver um valor planejado para p*.

Resposta:

𝒏 =(𝒛𝜶⁄𝟐) 𝟐

𝒑∗_{(𝟏 − 𝒑}∗₎

𝑬𝟐 =

(𝟏, 𝟗𝟔)𝟐_{(𝟎, 𝟓)(𝟎, 𝟓)}

(𝟎, 𝟎𝟑)𝟐 = 𝟏. 𝟎𝟔𝟕, 𝟏𝟏𝟏 = 𝟏. 𝟎𝟔𝟖

4. Exercícios

1. Em um esforço para estimar a quantia média que cada cliente gasta por jantar em um

grande restaurante de Santo André, foram coletados dados de uma amostra de 49 clientes. Suponha um desvio padrão de R$ 5,00 para a população.

a) Para um grau de confiança de 95%, qual é a margem de erro?

R: 1,4

b) Se a média amostral é R$ 24,80, qual é o intervalo de confiança de 95% para a média populacional?

2. Uma pesquisa de pequenos negócios com websites revelou que a quantia média gasta em um site era de R$ 11.500 por ano. Dada uma amostra de 60 negócios e um desvio padrão

o da população igual a R$ 4 mil, qual é a margem de erro? Use 95% de confiança.O que você recomendaria se o estudo demandasse uma margem de erro de R$ 500?

3. A revista Veja divulgou que a renda familiar anual média de seus leitores é igual a R$ 119.155,00. Suponha que essa estimativa se baseie em uma amostra de 80 famílias; com base em estudos passados, sabe-se que o desvio padrão da população é σ = R$ 30.000. a) Desenvolva uma estimação por intervalo de confiança de 90% para a média populacional.

R: [113.638; 124.672]

b) Estabeleça uma estimação por intervalo de confiança de 95% para a média populacional.

R: [112.581; 125.729]

c) Determine uma estimação por intervalo de confiança de 99% para a média populacional.

R: [110.515; 127.795]

d) Discuta o que acontece à amplitude do intervalo de confiança quando o grau de confiança é aumentado. Esse resultado parece razoável? Explique.

R: A amplitude do intervalo aumenta quando o grau de confiança sobe, uma vez que é

afirmações mais gerais têm maior probabilidade de estarem certas.

4. A equipe de vendas da Skillings Distributors apresenta semanalmente relatórios que relacionam os contatos feitos com clientes durante a semana. Uma amostra de 65

relatórios semanais exibiu uma média amostral de 19,5 contatos com clientes por semana. O desvio padrão da amostra foi 5,2. Forneça os intervalos de confiança de 90% e 95% correspondentes ao número médio da população de contatos semanais com clientes feitos pela equipe de vendas.

R: [18,42; 20,58] [18,21; 20,79]

5. O número médio de horas de voo dos pilotos da TAM equivale a 49 horas por mês. Suponha que essa média tenha se baseado em tempos de voo reais de uma amostra de 110 pilotos da TAM e que o desvio padrão da amostra tenha sido de 8,5 horas.

a) Com 95% de confiança, qual é a margem de erro?

R: 1,69

R: [47,31; 50,69]

c)O número médio de horas de voo dos pilotos da Azul equivale a 36 horas por mês. Use os

resultados que obteve no item (b) para discutir as diferenças entre os tempos de voo dos pilotos das duas empresas aéreas. O Valor Econômico publicou que a Azul tem o custo de mão-de-obra mais elevado entre todas as empresas aéreas. A informação contida neste exercício oferece subsídios para compreendermos por que a United Airlines poderia esperar custos de mão-de-obra mais elevados?

R: Menos horas e custos mais elevados para a Azul.

6. Trinta restaurantes fast-food, incluindo o Wendy's, o McDonald's e o Burger King, foram frequentados durante o verão de 2011. Durante cada visita, o cliente ia ao drive-through e pedia uma refeição básica, por exemplo, uma refeição combo, ou um sanduíche, batatas

fritas e um milk-shake. Foi registrado o tempo decorrido entre escolher a opção do cardápio e receber o pedido. Os tempos, em minutos, para as 30 visitas foram os seguintes:

0,9 1 1,2 2,2 1,9 3,6 2,8 5,2 1,8 2,1

6,8 1,3 3 4,5 2,8 2,3 2,7 5,7 4,8 3,5

2,6 3,3 5 4 7,2 9,1 2,8 3,6 7,3 9

a) Apresente uma estimação por ponto da média populacional de tempo gasto nos drive-throughs dos restaurantes fast-food.

R: 3,8

b) Com 95% de confiança, qual é a margem de erro?

R: 0,84

c) Qual é a estimação por intervalo de confiança de 95% para a média populacional?

R: [2,96; 4,64]

d) Discuta a assimetria que possa estar presente nessa população. Qual sugestão você apresentaria em uma repetição desse estudo.

R: Aumentar o tamanho da amostra.

7. A Taletos RH, uma firma de consultoria em recursos humanos, realizou uma pesquisa de

a)Qual é a estimação por ponto da proporção da população de empregados que estão fortemente insatisfeitos com suas experiências de trabalho atuais?

b) Com 95% de confiança, qual é a margem de erro?

c) Qual é o intervalo de confiança de 95% da proporção populacional de empregados que estão fortemente insatisfeitos com suas experiências de trabalho atuais?

d)A Talentos RH estima que custa aos empregadores 1/3 do salário anual de um empregado que trabalha por hora para encontrar um substituto, e até 1,5 vezes o salário anual para encontrar um substituto para um empregado que recebe altos salários. Qual mensagem

essa pesquisa transmite aos empregadores?

8. Dados sobre o perfil do público coletados no site da ESPN Sports mostraram que 26% dos usuários eram mulheres. Suponha que essa porcentagem tenha se baseado em uma

amostra de 400 usuários.

a)Com 95% de confiança, qual é a margem de erro associada à proporção estimada de usuários que são mulheres?

R: 0,0430

b)Qual é o intervalo de 95% de confiança relativo à proporção populacional de usuários do site da ESPN Sports que são mulheres?

R: [0,2170; 0,3030]

c) Qual tamanho de amostra deve ser tomado se a margem de erro desejada for igual a 0,03?

R: 822

9. Uma pesquisa realizada conjuntamente pelo jornal O Estado de São Paulo e o Instituto Gallup para a campanha à Presidência da República tomou como amostra 491 eleitores em potencial em junho. Uma das principais finalidades da pesquisa era obter uma estimativa da proporção dos eleitores em potencial que eram favoráveis a cada candidato.

Suponha um valor planejado de p* = 0,50 e um grau de confiança de 95%.

a) Para p* = 0,50, qual foi a margem de erro planejada para a pesquisa realizada em junho?

R: 0,0442

b) Quanto mais se aproximam as eleições de outubro, maior precisão e menores margens de erro são desejadas. Suponha que as seguintes margens de erro sejam solicitadas para as

Pesquisa Margem de Erro

Agosto 0,04

Setembro 0,03

Início de outubro 0,02

Véspera das

eleições 0,01

R: 601; 1.068; 2.401; 9.604

10. O IBOPE publica dados sobre o tempo de propaganda, em minutos, durante meia hora nos programas do horário nobre. Os dados representativos, em minutos, de uma amostra de 20 programas do horário nobre nas principais redes de TV às 8h30 da noite são os

seguintes:

6,0 6,6 5,8 7,0 6,3 6,2 7,2 5,7 6,4 7,0 6,5 6,2 6,0 6,5 7,2 7,3 7,6 6,8 6,0 6,2

Suponha uma população normal e forneça uma estimação por ponto e um intervalo de confiança de 95% referentes ao número médio de minutos de propaganda durante meia

hora nos programas de televisão no horário nobre, às 8h30 da noite.