Análise Funcional

(1)

Notas de Aula

An´

alise Funcional

Rodney Josu´

e Biezuner

1

Departamento de Matem´atica

Instituto de Ciˆencias Exatas (ICEx)

Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)

Notas de aula do curso An´alise Funcional do Programa

de Pós-Gradua¸cão em Matemática, ministrado no primeiro semestre de 2009.

6 de julho de 2009

(2)

Sum´

ario

1 Espa¸cos Vetoriais Normados e Espa¸cos de Banach 3

1.1 Defini¸c˜ao . . . 3

1.2 Exemplo 1: Os espa¸cos `p_{(n) . . . .} ₄

1.3 Exemplo 2: Os espa¸cos das sequˆencias `p _{. . . .} ₅

1.4 Exemplo 3: Os espa¸cos Lp_{(Ω) . . . .} ₆

1.5 Exemplo 4: Os espa¸cos Ck¡_Ω¢_{e os espa¸cos de H¨older C}k,α¡_Ω¢ _{. . . .} ₉

1.6 Exerc´ıcios . . . 11

2 Aplica¸c˜oes Lineares 12 2.1 Aplica¸c˜oes Lineares Limitadas . . . 12

2.3 O Teorema de Hahn-Banach . . . 18

2.4 Formas Geom´etricas do Teorema de Hahn-Banach: Conjuntos Convexos . . . 21

3 Os Teoremas da Limita¸cão Uniforme, da Aplica¸cão Aberta e do Gráfico Fechado 25 3.1 O Teorema da Limita¸cão Uniforme . . . 25

3.2 Os Teoremas da Aplica¸c˜ao Aberta e do Gr´afico Fechado . . . 27

3.3 Operadores Adjuntos . . . 29 3.4 Exerc´ıcios . . . 34 4 Espa¸cos Reflexivos 36 4.1 Espa¸cos Reflexivos . . . 36 4.2 Espa¸cos Separ´aveis . . . 38 4.3 Exemplo 1: Espa¸cos `p _{. . . .} ₃₉

4.4 Espa¸cos Uniformemente Convexos . . . 42

4.5 Exemplo 2: Espa¸cos Lp_{(Ω) . . . .} ₄₃

5 Topologia Fraca e Topologia Fraca* 54 5.1 Topologia Fraca . . . 54

5.2 Sequˆencias Fracamente Convergentes . . . 57

5.3 Topologia Fraca* . . . 58

5.4 Convexidade Uniforme e Topologia Fraca . . . 61

5.5 Reflexividade, Separabilidade e Topologias Fracas . . . 64

5.6 Metrizabilidade e Topologia Fraca . . . 65

(3)

6 Espa¸cos de Hilbert 70

6.1 Produto Interno . . . 70

6.2 Espa¸cos de Hilbert . . . 74

6.3 Teorema de Representa¸c˜ao de Riesz . . . 74

6.4 Bases de Schauder e Bases de Hilbert . . . 76

7 Operadores Compactos 81 7.1 Operadores Completamente Cont´ınuos e Operadores Compactos . . . 81

7.2 Teoria de Riesz-Fredholm para Operadores Compactos . . . 83

7.3 O Espectro de Operadores Compactos . . . 87

7.4 Teoria Espectral para Operadores Autoadjuntos Compactos . . . 89

7.5 Aplica¸c˜ao: Problemas de Sturm-Liouville e Operadores Integrais . . . 93

8 Espa¸cos de Sobolev e Equa¸c˜ao de Laplace 100 8.1 O Princ´ıpio de Dirichlet . . . 100

8.2 A Derivada Fraca . . . 101

8.2.1 Defini¸c˜ao . . . 101

8.2.2 Um Teorema de Aproxima¸cão para Fun¸cões Fracamente Diferenciáveis . . . 103

8.2.3 Caracteriza¸cão das Fun¸cões Fracamente Diferenciáveis . . . 105

8.2.4 Regra do Produto e Regra da Cadeia . . . 107

8.3 Espa¸cos de Sobolev . . . 109

8.4 Caracteriza¸c˜ao dos Espa¸cos W₀1,p(Ω) . . . 110

8.5 Imers˜ao Cont´ınua de Espa¸cos de Sobolev . . . 111

8.6 Imers˜ao Compacta de Espa¸cos de Sobolev . . . 114

8.7 Resolu¸c˜ao do Problema de Dirichlet . . . 117

(4)

Cap´ıtulo 1

Espa¸cos Vetoriais Normados e

Espa¸cos de Banach

1.1 Defini¸c˜

ao

1.1 Defini¸c˜ao. Seja E um espa¸co vetorial real. Uma norma em E ´e uma fun¸c˜ao k·k : E −→ R que satisfaz as seguintes propriedades:

(i) kxk > 0 para todo x ∈ E e kxk = 0 se e somente se x = 0; (ii) (Homogeneidade) para todo α ∈ R e para todo x ∈ E vale

kαxk = |α| kxk ;

(iii) (Desigualdade Triangular) para todos x, y ∈ E vale

kx + yk 6 kxk + kyk .

Um espa¸co vetorial E munido de uma norma k·k ´e chamado um espa¸co vetorial normado e denotado (E, k·k).

1.2 Defini¸c˜ao. Seja M um conjunto. Uma métrica em M é uma fun¸cão d : M × M −→ R que satisfaz as seguintes propriedades:

(i) d (x, y) > 0 para todos x, y ∈ M e d (x, y) = 0 se e somente se x = y; (ii) (Desigualdade Triangular) para todos x, y, z ∈ M vale

d (x, z) 6 d (x, y) + d (y, z) .

Um espa¸co vetorial normado torna-se naturalmente um espa¸co m´etrico com a m´etrica derivada da norma:

d (x, y) = kx − yk .

Desta forma, um espa¸co vetorial normado torna-se um espa¸co topol´ogico com a topologia induzida pela m´etrica.

1.3 Proposi¸c˜ao. Seja (E, k·k) um espa¸co vetorial normado. Ent˜ao as fun¸c˜oes soma de vetores E × E −→

E, (x, y) 7→ x + y, multiplica¸c˜ao de vetores por escalares R × E −→ E, (α, x) 7→ αx, e norma k·k : E −→ R, x 7→ kxk s˜ao cont´ınuas.

(5)

1.4 Corol´ario. Fixado x0 ∈ E, a aplica¸cão x 7→ x + x0 (transla¸cão) é um homeomorfismo. Fixado α ∈ R

não nulo, a aplica¸cão x 7→ αx (homotetia) é um homeomorfismo.

Lembramos que um espa¸co métrico completo é um espa¸co métrico em que todas as sequências de Cauchy são convergentes, isto é, convergem para um elemento do próprio espa¸co.

1.5 Defini¸c˜ao. Um espa¸co vetorial normado completo ´e chamado um espa¸co de Banach.

1.2 Exemplo 1: Os espa¸cos `

p

(n)

1.6 Defini¸c˜ao. Seja 1 6 p 6 ∞. Definimos o espa¸co `p_{(n) como sendo o espa¸co R}n _{dotado da norma}

kxk_p= Ã _n X i=1 |xi|p !1/p (1.1) se 1 6 p < ∞, e kxk_∞= max 16i6n|xi| . (1.2)

1.7 Proposi¸c˜ao. `p_{(n) ´e um espa¸co vetorial normado.}

Prova. As propriedades (i) e (ii) de uma norma na Defini¸cão 1.1 são claramente verificadas. Para provar a desigualdade triangular (que neste caso especial também recebe o nome de desigualdade de Minkowski)

Ã _n X i=1 |xi+ yi|p !1/p 6 Ã _n X i=1 |xi|p !1/p + Ã _n X i=1 |yi|p !1/p , (1.3)

recorremos à desigualdade de Hölder (que será demonstrada no final):

n X i=1 |xiyi| 6 kxkpkykp0 onde 1 p+ 1 p0 = 1. (1.4)

O n´umero p0 _{´e chamado o expoente conjugado de p; observe que p}0_{= p/ (p − 1). De fato, escrevemos} n X i=1 |xi+ yi|p6 n X i=1 (|xi| + |yi|) |xi+ yi|p−16 n X i=1 |xi| |xi+ yi|p−1+ n X i=1 |yi| |xi+ yi|p−1 6 kxk_p ° ° ° ³ |x1+ y1|p−1, . . . , |xn+ yn|p−1 ´° ° ° _p p−1 + kyk_p ° ° ° ³ |x1+ y1|p−1, . . . , |xn+ yn|p−1 ´° ° ° _p p−1 = Ã _n X i=1 |xi+ yi|p !p−1 p ³ kxk_p+ kyk_p ´ . Logo, kx + yk_p= Ã _n X i=1 |xi+ yi|p !1−p−1 p 6 kxk_p+ kyk_p.

A desigualdade de H¨older, por sua vez, segue da desigualdade mais geral

aλ_b1−λ_{6 λa + (1 − λ) b} _(1.5)

sempre que a, b > 0 e 0 < λ < 1. Esta desigualdade pode ser provada da seguinte forma: se b = 0, ela ´e ´obvia; se b 6= 0, divida a desigualdade por b e tome t = a/b > 0, de modo que provar a desigualdade torna-se

(6)

equivalente a mostrar que a fun¸c˜ao f (t) = tλ_{− λt ´e menor que ou igual a 1 − λ para todo t > 0. E, de fato,}

como f0_{(t) = λ}¡_tλ−1_{− 1}¢_{, f ´e estritamente crescente para 0 6 t < 1 e estritamente decrescente para t > 1,}

logo f atinge o seu m´aximo em t = 1, onde f vale exatamente 1 − λ. Tomando

a = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ xi kxk_p ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ p , b = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ yi kyk_p0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ p0 e λ = 1 p,

para cada ´ındice i, segue que

|xiyi| kxk_pkyk_p0 6 1 p |xi|p kxkp_p + 1 p0 |yi|p 0 kykp_p00 .

1.8 Proposi¸c˜ao. `p_{(n) ´e um espa¸co de Banach.}

Prova. Para ver que `p_{(n) é completo, basta observar que uma sequência em `}p_{(n) é de Cauchy se e}

somente se cada uma das sequências de coordenadas é de Cauchy e que, além disso, uma sequência em `p_(n)

é convergente se e somente se cada uma das sequências de coordenadas é de Cauchy. Outra maneira de ver que `p_{(n) é um espa¸co de Banach é lembrar que todas as normas em R}n _{são equivalentes e usar o fato bem}

conhecido que Rn _{com a norma usual ´e completo. ¥}

Observe que `2_{(n) ´e o espa¸co R}n _{munido da norma euclidiana, a qual ´e derivada de um produto interno.}

1.3 Exemplo 2: Os espa¸cos das sequˆ

encias `

p

1.9 Defini¸c˜ao. Seja 1 6 p < ∞. Definimos o espa¸co `p_{como sendo o espa¸co das sequˆencias reais p-som´aveis,}

isto ´e, `p ₌ ( x : N −→ R : ∞ X i=1 |xi|p< ∞ ) , dotado da norma kxk_p= Ã_∞ X i=1 |xi|p !1/p , (1.6)

e o espa¸co `∞ _{como sendo o espa¸co das sequˆencias reais limitadas, isto ´e,}

`∞₌ ½ x : N −→ R : sup i∈N|xi| < ∞ ¾ , dotado da norma kxk_∞= sup i∈N|xi| . (1.7)

1.10 Proposi¸c˜ao. `p _{´e um espa¸co vetorial normado.}

Prova. Basta passar o limite na desigualdade de Minkowski fazendo n → ∞. ¥ 1.11 Proposi¸c˜ao. `p _{´e um espa¸co de Banach.}

(7)

Prova. Seja {xn}_n∈Numa sequência de Cauchy em `p({xn} é uma sequência de sequências reais). Denote os

termos de cada sequência xn por xn,m. Para cada m fixado, {xn,m}_n∈Né também uma sequência de Cauchy,

logo converge para um certo n´umero am; em outras palavras, a sequˆencia de sequˆencias {xn} converge termo

a termo para a sequencia real a = {am}. Afirmamos que esta sequˆencia est´a em `p e que xn→ a em `p.

De fato, como {xn}n∈N´e de Cauchy em `p, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que

kxk− xlkp< ε

sempre que k, l > N ; em particular, para todo m ∈ N, vale

m

X

i=1

|xk,i− xl,i|p< εp

sempre que k, l > N . Fixando k e fazendo l → ∞, obtemos

m

X

i=1

|xk,i− ai|p< εp

para todo m ∈ N, sempre que k > N . Da´ı, fazendo m → ∞, temos que

∞

X

i=1

|xk,i− ai|p< εp

sempre que k > N,o que implica que xk − a ∈ `p sempre que k > N , e portanto a ∈ `p. Esta mesma

desigualdade tamb´em implica que xk → a em `p. ¥

1.12 Exemplo. Subespa¸cos de `∞_{que são também espa¸cos de Banach são}

`∞c = {x ∈ `∞: x ´e uma sequˆencia convergente} ,

`∞

0 = {x ∈ `∞: lim xn= 0} .

A demonstra¸c˜ao deste fatos ´e deixada como exerc´ıcio. ¤

1.4 Exemplo 3: Os espa¸cos L

p

(Ω)

1.13 Defini¸c˜ao. Seja Ω ⊂ Rn _{um conjunto mensur´avel. Seja 1 6 p < ∞. Definimos o espa¸co L}p_{(Ω) como}

sendo o espa¸co das (classes de equivalência de) fun¸cões reais p-integráveis no sentido de Lebesgue, isto é, Lp_{(Ω) =} ½ f : Ω −→ R : Z Ω |f |p< ∞ ¾ , dotado da norma kf k_p= µZ Ω |f |p ¶1/p , (1.8)

e o espa¸co L∞_{(Ω) como sendo o espa¸co das (classes de equivalência de) fun¸cões reais mensuráveis}

limitadas, isto ´e,

L∞_{(Ω) =} ½ f : Ω −→ R : sup Ω |f | < ∞ ¾ , dotado da norma kf k_∞= sup Ω |f | . (1.9)

(8)

Observe que nesta defini¸c˜ao,

sup

Ω

|f | = inf {c ∈ R : |f (x)| 6 c q.t.p.} .

1.14 Proposi¸c˜ao. Lp_{(Ω) ´e um espa¸co vetorial normado.}

Prova. Lp_{(Ω) ´e um espa¸co vetorial porque se f, g ∈ L}p_{(Ω) e λ ∈ R, ent˜ao f + g ∈ L}p_{(Ω) e λf ∈ L}p_(Ω).

De fato, |f (x) + g (x)| 6 |f (x)| + |g (x)| 6 2 max {|f (x)| , |g (x)|} , de modo que |f (x) + g (x)|p6 2p_{max {|f (x)|}p , |g (x)|p} 6 2p_{(|f (x)|}p + |g (x)|p) , donde _Z Ω |f + g|p6 2p µZ Ω |f |p+ Z Ω |g|p ¶1/p .

Al´em disso, kλf k_p= |λ| kf k_p e kf k_p = 0 se e somente se f = 0 q.t.p.

Como nos espa¸cos `p_{, para provar a desigualdade triangular ou desigualdade de Minkowski,}

µZ Ω |f + g|p ¶1/p 6 µZ Ω |f |p ¶1/p + µZ Ω |g|p ¶1/p , (1.10)

recorremos `a desigualdade de H¨older Z Ω |f g| 6 kf k_pkgk_p0 onde 1 p+ 1 p0 = 1. (1.11) Escrevemos Z Ω |f + g|p6 Z Ω (|f | + |g|) |f + g|p−16 Z Ω |f | |f + g|p−1+ Z Ω |f | |g|p−1 6 kf k_p ° ° °|f + g|p−1 ° ° ° _p p−1 + kgk_p ° ° °|f + g|p−1 ° ° ° _p p−1 = µZ Ω |f + g|p ¶p−1 p ³ kf k_p+ kgk_p ´ . Logo, kf + gk_p= Ã _n X i=1 |f + g|p !1−p−1_p 6 kf k_p+ kgk_p.

A desigualdade de Hölder segue, como na demonstra¸cão da Proposi¸cão 1.7, da desigualdade mais geral

aλb1−λ6 λa + (1 − λ) b sempre que a, b > 0 e 0 < λ < 1. Desta vez tomamos, para cada x ∈ Ω,

Da´ı, integrando sobre Ω, obtemos 1 kf k_pkgk_p0 Z Ω |f g| 61 p R Ω|f | p kf kp_p + 1 p0 R Ω|g| p kgkp_p00 = 1 p+ 1 p0 = 1. ¥

(9)

1.15 Proposi¸c˜ao. Lp_{(Ω) ´e um espa¸co de Banach.}

Prova. Consideraremos primeiro o caso L∞_{(Ω). Seja {f}

n} ⊂ L∞(Ω) uma sequˆencia de Cauchy. Ent˜ao,

dado k ∈ N, existe Nk∈ N tal que

kfn− fmk_∞< 1

k

sempre que n, m > Nk. Em particular,

|fn(x) − fm(x)| < 1

k

q.t.p. em Ω, sempre que n, m > Nk. Isso implica que {fn(x)} ´e uma sequˆencia de Cauchy para quase todo

ponto x ∈ Ω e podemos definir f (x) = lim fn(x) q.t.p. Resta mostrar que f ∈ L∞(Ω) e que fn → f em

L∞_{(Ω). Isso decorre da ´}_{ultima desigualdade, fazendo m → ∞:}

|fn(x) − f (x)| <

1

k.

Segue que fn → f na norma de L∞(Ω); al´em disso, como para qualquer n, k fixados temos |f (x)| 6

|fn(x)| + 1/k, logo f ∈ L∞(Ω).

Examinaremos agora o caso 1 6 p < ∞. Seja {fn} ⊂ Lp(Ω) uma sequˆencia de Cauchy. Em particular,

podemos extrair uma subsequˆencia {fnk} tal que

° °fnk+1− fnk ° ° p< 1 2k. Considere a sequência gn= n X k=1 ¯ ¯fnk+1− fnk ¯ ¯ . Então existe g = lim gn. Pelo Teorema da Convergência Monótona,

R

Ω|g|

p

= limR_Ω|gn|p. Mas, usando a

desigualdade de Jensen, Z Ω |gn|p 6 Z Ω Ã _n X k=1 ¯ ¯fnk+1− fnk ¯ ¯ !p 6 n X k=1 Z Ω ¯ ¯fnk+1− fnk ¯ ¯p 6 n X k=1 µ 1 2k ¶p = n X k=1 µ 1 2p ¶k 6 ∞ X k=1 µ 1 2p ¶k = 1 2p 1 − ₂1p = 1 2p_{− 1} < 1,

logo conclu´ımos que kgk_p6 1 e, em particular, g assume valores reais em quase todo ponto.

Usaremos a sequência {gn} e seu limite g para verificar que a subsequência {fnk(x)} é de Cauchy em

quase todo ponto x. Com efeito, sejam k > l > 1 e escreva

|fnk(x) − fnl(x)| 6 ¯ ¯fnk(x) − fnk−1(x) ¯ ¯ + . . . +¯¯fnl+1(x) − fnl(x) ¯ ¯ = gk−1(x) − gl−1(x) 6 g (x) − gl−1(x) .

Como gl(x) → g (x) q.t.p., para quase todo x ∈ Ω fixado, existe N ∈ N tal que g (x) − gl−1(x) < ε sempre

que l > N ; j´a que k > l, segue que |fnk(x) − fnl(x)| < ε sempre que k, l > N .

Portanto, podemos definir, em quase todo ponto,

f (x) = lim fnk(x) .

Falta provar que f ∈ Lp_{(Ω) e que f}

n→ f em Lp(Ω). Fazendo k → ∞ na desigualdade |fnk(x) − fnl(x)| 6

g (x) − gl−1(x), obtemos

(10)

Como g −gl−1∈ Lp(Ω), segue em particular que f −fnl∈ L

p_{(Ω) e, portanto, f ∈ L}p_{(Ω) j´a que f} nl∈ L

p_(Ω).

Al´em disso, integrando esta desigualdade sobre Ω, temos Z Ω |f − fnl| p₆ Z Ω |g − gl−1|p→ 0

quando l → ∞ pelo Teorema da Convergência Dominada (|g − gl−1| é dominada por 2 |g|). Provamos, então,

que uma subsequência da sequência de Cauchy {fn} converge para f em Lp(Ω); portanto, toda a sequência

converge para f . ¥

1.16 Exemplo. O espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas C¡Ω¢com a norma L1_{´e um espa¸co vetorial normado mas}

não é um espa¸co de Banach. Por exemplo, tome Ω = [0, 1] e considere a sequência de fun¸cões

fn(t) =                0 se 0 6 t 6 1 2, n µ t − 1 2 ¶ se 1 2 6 t 6 1 2+ 1 n, 1 se 1 2 + 1 n 6 t 6 1.

Assumindo n > m para fixar id´eias, temos que

kfn− fmk1=

Z 1 0

|fn(t) − fm(t)| dt

é a área do triângulo de altura 1 e comprimento da base 1

m−

1

n, de modo que kfn− fmk1< ε

sempre que n, m > ε, ou seja {fn}n∈N ´e uma sequˆencia de Cauchy em C ([0, 1]) na norma L1. Mas

ela não converge para nenhuma fun¸cão cont´ınua na norma L1_{. De fato, convergência L}1 _{implica em}

convergˆencia q.t.p., a menos de uma subsequˆencia, e fn(t) → 0 se 0 6 t 6 1

2, enquanto que fn(t) → 1 se 1

2 6 t 6 1. Para uma demonstra¸c˜ao mais direta, suponha por absurdo que existe f ∈ C ([0, 1]) tal que kfn− f k₁→ 0. Como kfn− f k1= Z 1 0 |fn(t) − f (t)| dt = Z 1 2 0 |f (t)| dt + Z 1 2+n1 1 2 |fn(t) − f (t)| dt + Z 1 1 2+n1 |1 − f (t)| dt

e as três integrais são não-negativas, cada uma delas deve ser igual a 0 ou convergir para 0 quando

n → ∞. Conclu´ımos que f (t) =      0 se 0 6 t 6 1 2, 1 se 1 2 6 t 6 1, e portanto f n˜ao ´e cont´ınua. ¤

1.5 Exemplo 4: Os espa¸cos C

k

¡

_Ω

¢

_{e os espa¸cos de H¨}

_{older C}

k,α

¡

_Ω

¢

Usaremos a nota¸c˜ao de multi-´ındice para denotar a derivada parcial

Dγ_{f (x) =} ∂|γ|f

∂xγ1

1 . . . ∂xγnn(x)

(11)

1.17 Defini¸c˜ao. Seja Ω ⊂ Rn _{um conjunto aberto. Definimos o espa¸co C}k_{(Ω) como o espa¸co das fun¸c˜oes}

reais definidas em Ω cujas derivadas parciais até a ordem k (inclusive) são limitadas e uniformemente cont´ınuas (isso garante que elas possuem uma única extensão cont´ınua para Ω), isto é,

Ck_{(Ω) =}©_{f ∈ C}k_{(Ω) : D}γ_{f ´e limitada e uniformemente cont´ınua em Ω para todo |γ| 6 k}ª_.

dotado da norma

kf k_Ck_(Ω)= max

|γ|6kkD γ_{f k}

L∞_(Ω). (1.12)

Freq¨uentemente denotamos o espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas C0_{(Ω) simplesmente por C(Ω), e definimos}

C∞_{(Ω) =} T k∈N

Ck_(Ω).

Relembramos o conceito de continuidade de H¨older:

1.18 Defini¸c˜ao. Seja Ω ⊂ Rn_{. Dizemos que uma fun¸c˜ao f : Ω → R ´e cont´ınua de H¨}_{older com expoente}

α, se sup x,y∈Ω x6=y |f (x) − f (y)| |x − y|α < ∞

para algum 0 < α 6 1. Neste caso, denotaremos f ∈ Cα_{(Ω), se α < 1, e f ∈ C}0,1_{(Ω) se α = 1. Al´em}

disso, denotamos tamb´em

[f ]_Cα_(Ω)= sup

x,y∈Ω x6=y

|f (x) − f (y)|

|x − y|α . (1.13)

Em particular, note que se f é cont´ınua de Hölder com expoente α em Ω, então

|f (x) − f (y)| 6 [f ]_Cα_(Ω)|x − y|

α

para todos x, y ∈ Ω.

Claramente, se uma fun¸cão é cont´ınua de Hölder em Ω, então ela é cont´ınua em Ω; na verdade, ela é uniformemente cont´ınua em Ω, o que motiva o nome de fun¸cão uniformemente cont´ınua de Hölder em Ω, às vezes usado na literatura. Uma fun¸cão cont´ınua de Hölder com expoente α = 1 é uma fun¸cão cont´ınua de Lipschitz.

1.19 Defini¸c˜ao. Seja Ω ⊂ Rn _{um conjunto aberto. Os espa¸cos de H¨}_{older C}k,α¡_Ω¢ _{s˜ao definidos como}

os subespa¸cos de Ck¡_Ω¢_{consistindo das fun¸cões cujas derivadas parciais até a ordem k (inclusive) são}

todas cont´ınuas de H¨older com expoente α em Ω:

Ck,α¡_Ω¢₌©_{f ∈ C}k¡_Ω¢_{: D}γ_{f ∈ C}α_{(Ω) para todo |γ| 6 k}ª com norma kf k_Ck,α_(Ω)= kf k_Ck_(Ω)+ max |γ|6k[D γ_{f ]} Cα_(Ω). (1.14)

Permitindo α = 0, podemos incluir os espa¸cos Ck¡_Ω¢_{entre os espa¸cos de H¨older:}

Ck¡_Ω¢_{= C}k,0¡_Ω¢_.

1.20 Proposi¸c˜ao. Ck,α¡_Ω¢_{´e um espa¸co vetorial normado.}

Prova. Provemos a validade da desigualdade triangular. Para isso, j´a que kf k_Ck_(Ω)nada mais ´e que a soma

(12)

para a seminorma [Dγ_{f ]}

Cα_(Ω) (uma seminorma ´e uma fun¸c˜ao que satisfaz todas as propriedades que uma

norma satisfaz, exceto a condi¸c˜ao (i) da Defini¸c˜ao 1.1). Isso significa provar que sup x,y∈Ω x6=y |(f + g) (x) − (f + g) f (y)| |x − y|α 6 supx,y∈Ω x6=y |f (x) − f (y)| |x − y|α + supx,y∈Ω x6=y |g(x) − g(y)| |x − y|α .

Mas isso segue diretamente da desigualdade triangular

|(f + g) (x) − (f + g) f (y)| 6 |f (x) − f (y)| + |g(x) − g(y)|

e do fato que

sup (A + B) 6 sup A + sup B. ¥

1.21 Proposi¸c˜ao. Ck,α¡_Ω¢_{´e um espa¸co de Banach.}

Prova. Exerc´ıcio. ¥

1.6 Exerc´ıcios

1.1 Mostre que

kxk_∞= lim

p→∞kxkp.

1.2 C1_{(Ω) com a m´etrica L}∞ _{´e um espa¸co vetorial normado? ´}_{E um espa¸co de Banach?}

1.3 Seja E um espa¸co vetorial normado em rela¸c˜ao a duas normas, k·k₁ e k·k₂. Dizemos que estas duas normas s˜ao equivalentes se existirem constantes C, D > 0 tais que

kxk₁6 C kxk₂, kxk₂6 D kxk₁,

para todo x ∈ E. Suponha que k·k₁e k·k₂ são normas equivalentes. Prove que (E, k·k₁) é de Banach se e somente se (E, k·k₂) é de Banach.

1.4 Mostre que Ck,α¡_Ω¢_{com a norma}

kf k_Ck,α_(Ω)= k X i=0 kf k_Ci_(Ω)+ X |γ|6k [Dγ_{f ]} Cα_(Ω)

é um espa¸co vetorial normado. Mostre que esta norma é equivalente à norma definida no texto. 1.5 Demonstre a Proposi¸cão 1.21.

(13)

Cap´ıtulo 2

Aplica¸c˜

oes Lineares

2.1 Aplica¸c˜

oes Lineares Limitadas

Em espa¸cos vetoriais normados, um critério simples para a continuidade de aplica¸cões lineares é encapsulado na seguinte defini¸cão, como veremos a seguir:

2.1 Defini¸c˜ao. Sejam (E, k·k_E) e (F, k·k_F) espa¸cos vetoriais normados. Dizemos que uma aplica¸c˜ao linear

T : E −→ F ´e limitada se existe uma constante M > 0 tal que kT xk_F 6 M kxk_E para todo x ∈ E.

Em geral, omitiremos os subscritos das normas quando for claro do contexto a quais espa¸cos elas se referem. 2.2 Proposi¸c˜ao. Sejam E, F espa¸cos vetoriais normados e T : E −→ F uma aplica¸c˜ao linear. As seguintes

afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

(i) T ´e cont´ınua.

(ii) T ´e cont´ınua na origem. (iii) T ´e limitada.

Prova. (i)⇒(ii) Óbvio. (ii)⇒(iii) Tomando ε = 1 na defini¸cão (ε, δ) de continuidade em espa¸cos métricos, existe δ > 0 tal que kxk 6 δ implica kT xk 6 1. Portanto, se y ∈ E é um vetor não nulo qualquer, temos

° ° ° °T µ δy kyk ¶°_° ° ° 6 1. Por linearidade conclu´ımos que

kT yk 6 1 δkyk .

(iii)⇒(i) Seja M tal que kT xk 6 M kxk para todo x ∈ E. Ent˜ao

kT x − T yk = kT (x − y)k 6 M kx − yk

e portanto T ´e uma aplica¸c˜ao de Lipschitz, em particular (uniformemente) cont´ınua. ¥

(14)

2.3 Exemplo. Embora aplica¸cões lineares em espa¸cos vetoriais normados de dimensão finita sejam sempre cont´ınuas, o mesmo não vale para espa¸cos vetoriais normados de dimensão infinita. De fato, se E é um espa¸co vetorial normado de dimensão infinita e F é um espa¸co vetorial normado de dimensão maior ou igual a 1, podemos sempre construir uma aplica¸cão linear T : E −→ F que não é limitada. Para isso, seja B uma base para E, B0 ⊂ B um subconjunto enumerável de vetores e y ∈ F um vetor não nulo

qualquer. Definimos uma aplica¸c˜ao linear T : E −→ F definindo T em B por

T xn = n kxnk y se xn∈ B

0

e

T x = 0 se x ∈ B\B0. T n˜ao ´e limitada, pois

kT xnk = n kyk kxnk ,

logo n˜ao existe uma constante M > 0 tal que

kT xnk 6 M kxnk .

Em particular, vemos que se E é um espa¸co vetorial normado de dimensão infinita, sempre existem funcionais lineares que não são cont´ınuos, pois podemos tomar F = R. ¤

2.4 Defini¸c˜ao. Se E, F são espa¸cos vetoriais normados, denotaremos o espa¸co vetorial das aplica¸cões lin-eares limitadas por L (E, F ). Definimos a norma de uma aplica¸cão linear limitada por

kT k = inf {M ∈ R : kT xk 6 M kxk para todo x ∈ E} .

2.5 Proposi¸c˜ao. Sejam E, F espa¸cos vetoriais normados e T : E −→ F uma aplica¸c˜ao linear limitada.

Ent˜ao kT k = sup x∈E\{0} kT xk kxk = supx∈E kxk61 kT xk = sup x∈E kxk=1 kT xk . Prova. Seja M = sup x∈E x6=0 kT xk kxk .

Ent˜ao kT xk 6 M kxk para todo x ∈ E, logo M > kT k. Reciprocamente, como por defini¸c˜ao kT xk 6 kT k kxk para todo x ∈ E, segue que

kT xk kxk 6 kT k

para todo x ∈ E\ {0}, logo kT k 6 M . Isso prova a primeira identidade. Para provar que

sup x∈E\{0} kT xk kxk = supx∈E kxk=1 kT xk = sup x∈E kxk61 kT xk ,

basta notar que

kT xk kxk = ° ° ° °T µ x kxk ¶°_° ° ° . ¥

Apesar de uma aplica¸cão linear limitada ser cont´ınua, não podemos trocar o sup na bola unitária ou na esfera unitária pelo máximo, pois em espa¸cos vetoriais normados de dimensão infinita a bola e a esfera unitária nunca são compactas (veja o Corolário 1.39).

(15)

2.6 Proposi¸c˜ao. Se E, F são espa¸cos vetoriais normados, então L (E, F ) é um espa¸co vetorial normado. Prova. Sejam T, S ∈ L (E, F ). Temos

k(T + S) xk = kT x + Sxk 6 kT xk + kSxk 6 kT k kxk + kSk kxk

= (kT k + kSk) kxk

para todo x ∈ E, de modo que obtemos simultaneamente que T + S ∈ L (E, F ) e a validade da desigualdade triangular para a norma de aplica¸c˜oes lineares. ¥

2.7 Proposi¸c˜ao. Se E é um espa¸co vetorial normado e F é um espa¸co de Banach, então L (E, F ) é um

espa¸co de Banach.

Prova. Seja {Tn} uma sequˆencia de Cauchy em L (E, F ). Como

kTnx − Tmxk = k(Tn− Tm) xk 6 kTn− Tmk kxk ,

segue que {Tnx} ´e uma sequˆencia de Cauchy em F para todo x ∈ E. Defina

T x := lim Tnx.

Afirmamos que T = lim Tn em L (E, F ). De fato, em primeiro lugar, T ´e uma transforma¸c˜ao linear, pois

T (αx + βy) = lim Tn(αx + βy) = lim (αTnx + βTny) = α lim Tnx + β lim Tny

= αT x + βT y.

Al´em disso, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que kTn− Tmk < ε sempre que n, m > N . Ent˜ao

kTnx − Tmxk 6 ε kxk

para todo x ∈ E e fazendo n → ∞ obtemos

k(T − Tm) xk = kT x − Tmxk 6 ε kxk

para todo x ∈ E, sempre que m > N . Em particular, T − Tm ∈ L (E, F ), portanto T = (T − Tm) + Tm∈

L (E, F ) e

kT − Tmk < ε

sempre que m > N , isto ´e, Tm→ T em L (E, F ). ¥

Reciprocamente, com a ajuda do teorema de Hahn-Banach (veja a pr´oxima se¸c˜ao), pode-se provar que (se

E 6= 0) se F não é um espa¸co de Banach, então L (E, F ) não é um espa¸co de Banach (Proposi¸cão 2.26).

2.8 Defini¸c˜ao. Se E ´e um espa¸co vetorial normado, denotaremos o espa¸co vetorial dos funcionais lineares limitadas por E∗_{. Ele ´e chamado o espa¸co dual de E.}

2.9 Corol´ario. Se E é um espa¸co vetorial normado, então E∗ _{é um espa¸co de Banach.}

2.10 Proposi¸c˜ao. Sejam E, F, G espa¸cos vetoriais normados. Se T ∈ L (E, F ) e S ∈ L (F, G), ent˜ao

ST ∈ L (E, G) e

kST k 6 kSk kT k .

Prova. Temos

k(ST ) xk 6 kSk kT xk 6 kSk kT k kxk

(16)

2.11 Defini¸c˜ao. Sejam E, F espa¸cos vetoriais normados. Dizemos que uma aplica¸c˜ao T : E −→ F ´e limitada inferiormente se existe uma constante m > 0 tal que

kT xk > m kxk

para todo x ∈ E.

2.12 Proposi¸c˜ao. Seja T ∈ L (E, F ). Ent˜ao a inversa T−1 _{: Im T −→ E existe e ´e linear e limitada se e}

somente se T ´e limitada inferiormente.

Prova. Suponha que T ´e limitada inferiormente. Ent˜ao, se x 6= y segue que

kT x − T yk = kT (x − y)k > m kx − yk > 0,

logo T ´e injetiva e portanto a inversa T−1_{: Im T −→ E est´a bem definida. Como T (αx + βy) = αT x + βT y,}

tomando T−1 _{em ambos os lados desta equa¸c˜ao, segue tamb´em que}

T−1_{(αT x + βT y) = αx + βy = αT}−1_{(T x) + βT}−1_{(T y) ,}

logo T−1 _{´e linear. Finalmente,}

°

°T−1_{(T x)}°_{° = kxk 6 m}−1_{kT xk}

para todo y = T x ∈ Im T , e portanto T−1 _{´e limitada.}

Reciprocamente, suponha que T−1_{: Im T −→ E existe e ´e linear e limitada. Ent˜ao}

kxk =°°T−1_{(T x)}°_{° 6}°_°T−1°_{° kT xk}

para todo x ∈ E, ou seja,

kT xk >°°T−1°_°−1_{kxk .}

¥

2.13 Defini¸c˜ao. Sejam E, F espa¸cos vetoriais normados. Dizemos que E e F são topologicamente iso-morfos quando existe uma aplica¸cão linear bijetiva T : E −→ F tal que T e T−1 _{são limitadas.}

2.14 Corol´ario. T : E −→ F ´e um isomorfismo topol´ogico entre os espa¸cos vetoriais normados E e F se

e somente se existem constantes m, M > 0 tais que

m kxk 6 kT xk 6 M kxk .

Em particular, isomorfismos topológicos preservam sequências de Cauchy e sequências convergentes; da´ı, se

E e F são topologicamente isomorfos, então E é um espa¸co de Banach se e somente se F é.

2.15 Proposi¸c˜ao. Sejam E, F espa¸cos vetoriais normados de dimens˜ao finita com a mesma dimens˜ao.

Ent˜ao E e F s˜ao topologicamente isomorfos.

Prova. Como a rela¸cão de isomorfismo topológico entre espa¸cos vetorias normados é uma rela¸cão de equivalência, basta mostrar que se dim E = n então E é topologicamente isomorfo a `1_{(n). Seja B =}

{e1, . . . , en} uma base para E. Considere o isomorfismo T : `1(n) −→ E definido por

T (x1, . . . , xn) = n

X

i=1

(17)

Afirmamos que T é um isomorfismo topológico. De fato, T é limitada porque kT xk_E6 n X i=1 kxieikE= n X i=1 |xi| keikE 6 µ max i=1,...,nkeikE ¶_Xn i=1 |xi| = M kxk_`1_(n)

onde denotamos M = max

i=1,...,nkeikE. Como T é cont´ınua, a fun¸cão x 7→ kT xk também é e assume um valor

m´ınimo m na esfera unit´aria B =©x ∈ `1_{(n) : kxk = 1}ª_{. Necessariamente m > 0, pois {e}

1, . . . , en} ´e um

conjunto linearmente independente. Portanto, ° ° ° °T_kxkx ° ° ° ° > m

para todo x ∈ E, x 6= 0, o que mostra que m kxk 6 kT xk 6 M kxk para todo x ∈ E. ¥ 2.16 Corol´ario. Todo espa¸co vetorial normado de dimens˜ao finita ´e de Banach.

Todo subespa¸co vetorial de dimens˜ao finita de um espa¸co vetorial normado ´e fechado.

2.17 Corol´ario. Se E é um espa¸co vetorial normado de dimensão finita e T : E −→ F é linear, então T

´e cont´ınua.

2.18 Corol´ario. Se E é um espa¸co vetorial normado de dimensão finita, então um subconjunto de E é

compacto se e somente se ele for fechado e limitado.

Além disso, se E é um espa¸co vetorial normado tal que a bola unitária B = {x ∈ E : kxk 6 1} é compacta, então E possui dimensão finita.

Prova. Vamos provar a ´ultima afirma¸c˜ao. Para isso, provaremos antes o seguinte resultado:

Seja E um espa¸co vetorial normado e F ⊂ E um subespa¸co vetorial fechado pr´oprio de E. Ent˜ao para todo 0 < ε < 1 existe y ∈ E tal que kyk = 1 e

dist (y, F ) > ε.

Seja z ∈ E\F e d = dist (z, F ). Como F é fechado, d 6= 0 e pela defini¸cão de distância existe x0∈ F tal que

d 6 kz − x0k 6 d ε. Tome y = z − x0 kz − x0k ,

de modo que kyk = 1. Al´em disso, para todo x ∈ F temos

ky − xk = ° ° ° °_{kz − x}z − x0₀_k− x ° ° ° ° = 1 kz − x0kkz − x0− kz − x0k xk > ε dkz − x1k ,

(18)

onde x1= x0− kz − x0k x ∈ F , logo

ky − xk > ε dd = ε.

Agora, suponha por absurdo que E é um espa¸co de dimensão infinita. Vamos construir uma sequência

{xn}n∈N ⊂ B que não possui subsequência convergente, mostrando que B não pode ser compacta. Tome

x1∈ B qualquer. Como hx1i ´e um subespa¸co fechado de E e, por hip´otese, E 6= hx1i, existe x2∈ B tal que

kx1− x2k > 1/2.

O subespa¸co hx1, x2i também é um subespa¸co fechado próprio de E, logo existe x3∈ B tal que

kx1− x3k > 1/2 e kx2− x3k > 1/2.

Continuando desta maneira, obtemos uma sequˆencia {xn} ⊂ B tal que

kxn− xmk > 1/2

para todos n, m ∈ N. Como nenhuma subsequência desta sequência pode ser de Cauchy, ela não possui nenhuma subsequência convergente. ¥

2.2 Exerc´ıcios

2.1 Verifique nos casos abaixo que o funcional linear est´a bem definido e ´e limitado e calcule sua norma. a) f : `2_{−→ R; f (x) =} P∞ n=1 xn n. b) f : `∞ 0 −→ R; f (x) = ∞ P n=1 xn 2n+1. c) f : L1_{(−1, 1) −→ R; f (x) =}R1 −1tx (t) dt.

2.2 Considere o operador linear Mλ: `p−→ `p definido por

Mλ(x) = (λ1x1, λ2x2, . . .)

onde λ = (λn) ∈ `∞. Mλé chamado multiplica¸cão por λ. Verifique que Mλé um operador linear bem

definido e limitado e calcule sua norma. Para que sequências λ existe o operador inverso M_λ−1? Para que sequências λ o operador inverso M_λ−1 existe e é limitado?

2.3 Considere o operador shift S : `p_{−→ `}p _{definido por}

Sx = (0, x1, x2, . . .) .

S−1 _{existe e ´e limitado? Considere agora o operador truncamento T : `}p_{−→ `}p _{definido por}

T x = (x2, x3, . . .) .

T−1 _{existe e ´e limitado?}

2.4 Seja T : C ([0, 1]) −→ C ([0, 1]) definida por

(T f ) (t) = f (t) + Z _t

0

f (s) ds.

(19)

2.5 Seja E um espa¸co de Banach e T ∈ L (E) um operador tal que kT k < 1. Mostre que I − T ´e um operador bijetivo, (I − T )−1= P∞

n=1

Tn_{, (I − T )}−1

´e limitado e que ° ° °(I − T )−1 ° ° ° 6 1 1 − kT k.

2.6 Seja E um espa¸co de Banach e T ∈ L (E) um operador tal que kI − T k < 1. Mostre que T−1 _{existe e}

est´a em L (E).

2.7 Seja E = ©f ∈ C1_{([0, 1]) : f (0) = 0}ª_{. Dada g ∈ C ([0, 1]), considere a aplica¸c˜ao linear T}

g : E −→

C ([0, 1]) definida por

(Tgf ) (t) = f0(t) + g (t) f (t) .

Mostre que T−1 _{existe e ´e limitada.}

2.8 A aplica¸c˜ao linear D : C1_{([0, 1]) −→ C ([0, 1]) definida por}

Df = f0

´e limitada? Se for, calcule kDk .

2.9 Seja E =©f ∈ C ([0, 1]) : f ´e de classe C1ª_{. Considere a aplica¸c˜ao linear T : E −→ C ([0, 1]) definida}

por

Df = f0. D ´e limitada? Se for, calcule kDk .

2.10 A aplica¸c˜ao linear I : C ([0, 1]) −→ C ([0, 1]) definida por (If ) (t) =

Z t

0

f (s) ds.

´e limitada? Se for, calcule kIk .

2.11 Prove que n˜ao existe norma em C∞_{([0, 1]) que torne o operador derivada Df = f}0_{limitado. [Sugest˜ao:}

considere as fun¸c˜oes fλ(x) = eλx.]

2.3 O Teorema de Hahn-Banach

O teorema de Hahn-Banach garante que todo espa¸co vetorial normado é ricamente suprido de funcionais lineares, de modo que pode-se obter uma teoria satisfatória de espa¸cos duais e de operadores adjuntos. 2.19 Defini¸c˜ao. Seja E um espa¸co vetorial normado. Dizemos que um funcional p : E −→ R é semilinear

se ele for subaditivo, isto ´e,

p (x + y) 6 p (x) + p (y) para todos x, y ∈ E, e positivo-homogˆeneo, ou seja,

p (αx) = αp (x) para todos x ∈ E, α > 0.

Um exemplo de funcional semilinear em um espa¸co vetorial normado é a própria norma deste espa¸co. Para demonstrarmos o lema principal desta se¸cão, que também é conhecido como o teorema de Hahn-Banach para espa¸cos vetoriais (embora nestas notas não nos referiremos a ele deste modo em geral, preferindo reservar o nome teorema de Hahn-Banach para o teorema de Hahn-Banach para espa¸cos vetoriais normados), relembramos o lema de Zorn:

(20)

2.20 Lema. (Lema de Zorn) Seja A 6= ∅ um conjunto parcialmente ordenado. Se todo subconjunto

total-mente ordenado de A possui um limitante superior, ent˜ao A tem pelo menos um elemento maximal.

2.21 Lema. Sejam E um espa¸co vetorial e p : E −→ R um funcional semilinear. Seja F um subespa¸co

vetorial de E e f0: F −→ R um funcional linear tal que f0(x) 6 p (x) para todo x ∈ F . Ent˜ao f0 se

estende a um funcional linear f : E −→ R satisfazendo f (x) 6 p (x) para todo x ∈ E.

Prova. Este resultado é uma consequência do Lema de Zorn. Seja A o conjunto de todas as extensões lineares g : L (g) −→ R de f0 a um subespa¸co vetorial L (g) ⊃ F de E tais que g (x) 6 p (x) para todo

x ∈ L (g). Note que A 6= ∅ porque f0∈ A. Definimos uma ordem parcial em A declarando

g 6 h se L (g) ⊂ L (h) ,

isto é, g 6 h se h é uma extensão de g. Para ver que A satisfaz a hipótese do lema de Zorn, seja A ⊂ A um subconjunto totalmente ordenado. Então um limitante superior para A é o funcional g : L (g) −→ R onde

L (g) = [

h∈A

L (h)

e g ´e definido por

g (x) = h (x) se x ∈ L (h) para qualquer h ∈ A.

Observe que g est´a bem definido porque A ´e totalmente ordenado. Pelo lema de Zorn, existe um elemento maximal f ∈ A. Para provar o resultado, basta mostrar que L (f ) = E.

Suponha por absurdo que existe x0 ∈ E\L (f ). Considere o subespa¸co L = L (f ) + hx0i. Defina uma

extens˜ao linear g : L −→ R de f por

h (x + tx0) = f (x) + tα,

onde α ∈ R ´e uma constante a ser definida apropriadamente para que tenhamos h (y) 6 p (y) para todo

y ∈ L, e portanto g contradizer´a a maximalidade de f . De fato, dados x1, x2∈ L (f ), temos

f (x1) + f (x2) = f (x1+ x2) 6 p (x1+ x2) 6 p (x1+ x0) + p (x2− x0) ,

donde

f (x2) − p (x2− x0) 6 p (x1+ x0) − f (x1) .

Escolha α tal que

sup

x∈L(f )

[f (x) − p (x − x0)] 6 α 6 inf

x∈L(f )[p (x + x0) − f (x)] .

Isso implica que

h (x − x0) = f (x) − α 6 p (x − x0) ,

h (x + x0) = f (x) + α 6 p (x + x0) ,

para todo x ∈ L (f ). Se t > 0, multiplicando

f³ x t ´ + α 6 p³ x t + x0 ´ por t obtemos h (x + tx0) = f (x) + tα 6 p (x + tx0) . Se t < 0, multiplicando f µ x −t ¶ − α 6 p µ x −t− x0 ¶ por −t obtemos h (x + tx0) = f (x) + tα 6 p (x + tx0) .

(21)

2.22 Teorema. (Teorema de Hahn-Banach) Sejam E um espa¸co vetorial normado e f0 : F −→ R um

funcional linear limitado definido em um subespa¸co vetorial F ⊂ E. Ent˜ao f0 se estende a um

funcional linear f : E −→ R tal que

kf k_E∗= kf0k_F∗.

Prova. Basta aplicar o teorema anterior ao funcional semilinear

p (x) = kf0kF∗kxk .

¥

2.23 Corol´ario. Sejam E um espa¸co vetorial normado e F um subespa¸co vetorial de E. Suponha que

exista x0∈ E tal que

dist (x0, F ) = inf

x∈Fkx − x0k > 0.

Ent˜ao existe f ∈ E∗ _{tal que f (x}

0) = 1, kf k_E∗ = 1/ dist (x0, F ) e f ≡ 0 sobre F .

Em particular, se F é um subespa¸co vetorial de E que não é denso em E, então existe f ∈ E∗_não-nulo

que se anula em F .

Prova. Considere o subespa¸co vetorial F1= F + hx0i. Defina um funcional linear f0: F1−→ R por

f0(x + tx0) = t.

Note que f0≡ 0 sobre F e que f0(x0) = 1. Escrevendo y = x + tx0, se t 6= 0 temos que

kyk = kx + tx0k = |t| ° ° °x t + x0 ° °

° > |t| dist (x0, F ) = |f0(y)| dist (x0, F ) ,

ou seja, |f0(y)|

kyk 6

1

dist (x0, F ) para todo y ∈ F1, donde

kf0k_F∗

1 6

1 dist (x0, F )

. (2.1)

Seja {yn} ⊂ F uma sequˆencia tal que kx0− ynk → dist (x0, F ). Temos

1 = f0(x0− yn) 6 kf0kF∗

1 kx0− ynk ,

de modo que ao passarmos o limite quando n → ∞ segue que

kf0k_F∗ 1 > 1 dist (x0, F ) . (2.2) Portanto, kf0kF∗ 1 = 1 dist (x0, F ).

Usando o teorema de Hahn-Banach, estendemos f linearmente a todo o espa¸co E. ¥

Este resultado ´e frequentemente usado para verificar se um subespa¸co vetorial de um espa¸co vetorial normado ´e denso.

2.24 Corol´ario. Seja E um espa¸co vetorial normado. Para todo vetor n˜ao-nulo x0∈ E existe f ∈ E∗ tal

que

(22)

Prova. Aplique o teorema de Hahn-Banach ao subespa¸co F = hx0i e ao funcional linear limitado f0: F −→

R definido por f0(tx0) = t kx0k. ¥

2.25 Corol´ario. Seja E um espa¸co vetorial normado. Para todo vetor x ∈ E vale

kxk = sup f ∈E∗_\{0} |f (x)| kf k = supf ∈E∗ kf k61 |f (x)| = max f ∈E∗ kf k61 |f (x)| .

Prova. Pelo corol´ario anterior existe g ∈ E∗ _{tal que kgk}

E∗= 1 e g (x) = kx0k. Logo, sup f ∈E∗_\{0} |f (x)| kf k > |g (x)| kgk = kxk .

Como |g (x)| 6 kgk kxk, segue o resultado. ¥

2.26 Proposi¸c˜ao. Sejam E, F espa¸cos vetoriais normados. Se L (E, F ) ´e um espa¸co de Banach, ent˜ao F

´e um espa¸co de Banach.

Prova. Em primeiro lugar, observamos que se f é funcional linear sobre E e y ∈ F é um vetor qualquer, então podemos definir uma aplica¸cão linear T : E −→ F por

T x = f (x) y.

Além disso, se f for um funcional linear limitado, então T também é uma aplica¸cão linear limitada. De fato,

kT k = supkT xk

kxk = kyk sup |f (x)|

kxk = kyk kf k .

Seja {yn}_n∈N uma sequˆencia de Cauchy em F . Pelo Corol´ario 2.24, existe um funcional linear f ∈ E∗

tal que kf k = 1. Para cada n ∈ N, defina uma aplica¸c˜ao linear Tn∈ L (E, F ) por

Tnx = f (x) yn.

Então kTnk = kynk e {Tn}n∈N é uma sequência de Cauchy em L (E, F ). Como L (E, F ) é um espa¸co de

Banach, Tn→ T em L (E, F ). Em particular, Tnx → T x em F para todo x ∈ E. Escolhendo x ∈ E tal que

f (x) = 1, segue que Tnx = yn e portanto yn→ T x. ¥

Assim, juntamente com a Proposi¸cão 2.7, este resultado implica que L (E, F ) é um espa¸co de Banach se e somente se F é um espa¸co de Banach.

2.4 Formas Geom´

etricas do Teorema de Hahn-Banach: Conjuntos

Convexos

2.27 Defini¸c˜ao. Seja E um espa¸co vetorial. Um hiperplano afim ´e um conjunto da forma

H = f−1(α) = {x ∈ E : f (x) = α} , onde f : E −→ R ´e um funcional linear n˜ao-nulo e α ∈ R.

2.28 Proposi¸c˜ao. Seja E um espa¸co vetorial normado. O hiperplano H = f−1_{(α) ´e fechado se e somente}

(23)

Prova. Suponha que H é fechado. Então E\H é aberto e não-vazio (porque f é não-nulo). Escolha

x0∈ E\H tal que f (x0) < α, para fixar id´eias, e uma bola Br(x0) ⊂ E\H. Afirmamos que f (x) < α para

todo x ∈ Br(x0). Com efeito, se f (x1) > α para algum x1∈ Br(x0), considere o segmento

L = {(1 − t) x0+ tx1: 0 6 t 6 1}

que est´a inteiramente contido em Br(x0). Tomando t = f (x1) − α

f (x1) − f (x0) temos f ((1 − t) x1+ tx0) = (1 − t) f (x1) + tf (x0) = µ 1 − f (x1) − α f (x1) − f (x0) ¶ f (x1) + f (x1) − α f (x1) − f (x0)f (x0) = [α − f (x0)] f (x1) + [f (x1) − α] f (x0) f (x1) − f (x0) = α,

contradizendo Br(x0) ⊂ E\H. Portanto, conclu´ımos que

f (x0+ rz) < α

para todo z ∈ B1(0), donde (usando o fato que f (z) = −f (−z))

|f (z)| 6 1

r(α − f (x0))

para todo z ∈ B1(0), o que implica que f ´e limitada e

kf k 6 1

r(α − f (x0)) .

A rec´ıproca ´e ´obvia. ¥

2.29 Defini¸c˜ao. Seja E um espa¸co vetorial e A, B ⊂ E subconjuntos quaisquer.

Dizemos que o hiperplano H = f−1_{(α) separa A e B no sentido amplo se f (x) 6 α para todo}

x ∈ A e f (x) > α para todo x ∈ B.

Dizemos que o hiperplano H = f−1_{(α) separa A e B no sentido estrito se existe ε > 0 tal que}

f (x) 6 α − ε para todo x ∈ A e f (x) > α + ε para todo x ∈ B.

2.30 Lema. (Funcional de Minkowski) Seja E um espa¸co vetorial normado e C ⊂ E um conjunto aberto

convexo contendo a origem. Defina o funcional pC : E −→ R por

pC(x) = inf n α > 0 : x α∈ C o . Ent˜ao pC ´e um funcional semilinear que satisfaz

(i) existe M > 0 tal que 0 6 pC(x) 6 M kxk para todo x ∈ E;

(ii) C = {x ∈ E : pC(x) < 1} .

Prova. Para simplificar a nota¸c˜ao, denotaremos pC por p.

Prova de (i): Seja r > 0 tal que Br[0] ⊂ C. Ent˜ao, para todo x ∈ E, r x

kxk ∈ C, logo por defini¸c˜ao p (x) 6 r

(24)

Prova de (ii): Seja x ∈ C. Como C ´e aberto, existe ε > 0 tal que (1 + ε) x ∈ C, logo por defini¸c˜ao

p (x) 6 1

1 + ε < 1 Reciprocamente, se p (x) < 1, ent˜ao existe 0 < α < 1 tal que x

α∈ C, donde x = α x

α+ (1 − α) 0 ∈ C, já que C é convexo e contém a origem.

Por fim, vamos verificar que p é semilinear. É fácil ver que p é positivo-homogêneo. Para verificar a subaditividade de p, sejam x, y ∈ E e ε > 0. De (ii) e do fato de p ser positivo-homogêneo segue que

x p (x) + ε, y p (y) + ε∈ C. Da´ı, t x p (x) + ε + (1 − t) y

p (y) + ε∈ C para todo 0 6 t 6 1.

Em particular, escolhendo t = p (x) + ε

p (x) + p (y) + 2ε, temos que x + y

p (x) + p (y) + 2ε ∈ C.

Pela positivo-homogeneidade de p e por (ii), conclu´ımos que

p (x + y) < p (x) + p (y) + 2ε.

Como ε > 0 ´e arbitr´ario, segue a subaditividade de p. ¥

2.31 Lema. Seja E um espa¸co vetorial normado e C ( E um conjunto aberto convexo n˜ao-vazio. Seja

x0∈ E\C. Ent˜ao existe f ∈ E∗ tal que f (x) < f (x0) para todo x ∈ C.

Em particular, o hiperplano H = f−1_{(f (x}

0)) separa x0 e C no sentido amplo.

Prova. Fazendo uma transla¸c˜ao, podemos assumir que 0 ∈ C e definir o funcional de Minkowski p de C. Considere F = hx0i e o funcional linear sobre F dado por f0(tx0) = t. Como p (x0) > 1 (por (ii) do lema

anterior), temos p (tx0) = tp (x0) > t se t > 0; se t < 0, p (tx0) > t trivialmente, porque o funcional de

Minkowski p ´e n˜ao-negativo. Segue que f0(x) 6 p (x) para todo x ∈ F . Podemos portanto usar o teorema de

Hahn-Banach (Lema 2.21) para concluir que f0possui uma extens˜ao linear f : E −→ R tal que f (x) 6 p (x)

para todo x ∈ E. De (i) do lema anterior, segue que f ´e limitada. Finalmente, como p (x) < 1 para todo

x ∈ C, segue que f (x) 6 p (x) < 1 = f (x0) para todo x ∈ C. ¥

2.32 Teorema. (Teorema de Hahn-Banach, primeira forma geom´etrica) Seja E um espa¸co vetorial

nor-mado. Sejam A, B ⊂ E conjuntos convexos n˜ao-vazios disjuntos, com A aberto. Ent˜ao existe um hiperplano fechado que separa A e B no sentido amplo.

Prova. Seja

C = A − B = {x − y : x ∈ A e y ∈ B} . C ´e convexo, pois se x1− y1, x2− y2∈ C ent˜ao

t (x1− y1) + (1 − t) (x2− y2) = tx1+ (1 − t) x2− [ty1+ (1 − t) y2] ∈ C,

e C é aberto porque C = ∪y∈B(A − y), união de abertos (transla¸cão é um homeomorfismo). Além disso,

0 /∈ C porque A e B s˜ao disjuntos. Pelo lema anterior, tomando x0= 0, existe f ∈ E∗tal que f (z) < 0 para

todo z ∈ C, ou seja, f (x) < f (y) para todos x ∈ A e y ∈ B. Escolhendo α tal que sup

A

f 6 α 6 inf

B f,

(25)

2.33 Teorema. (Teorema de Hahn-Banach, segunda forma geom´etrica) Seja E um espa¸co vetorial

nor-mado. Sejam A, B ⊂ E conjuntos convexos n˜ao-vazios disjuntos, com A fechado e B compacto. Ent˜ao existe um hiperplano fechado que separa A e B no sentido estrito.

Prova. Dado ε > 0, sejam

Aε= A + Bε(0) e Bε= B + Bε(0) ,

de modo que A e B são abertos, convexos e não-vazios. Além disso, tomando ε < dist (A, B), segue que Aε

e Bεs˜ao disjuntos. Pelo teorema anterior, existe um hiperplano fechado H = f−1(α) que separa Aε e Bε

no sentido amplo, logo

f (x + εz) 6 α 6 f (y + εz)

para todos x ∈ A, y ∈ B e z ∈ B1(0). Da´ı,

f (x) + ε kf k 6 α 6 f (y) + ε kf k .

¥

2.5 Exerc´ıcios

2.12 Sejam E um espa¸co vetorial e f : E −→ R um funcional linear. Mostre que a codimens˜ao do n´ucleo de f ´e 1, ou seja, podemos escrever

E = ker f ⊕ hx0i

onde x0´e qualquer vetor de E tal que f (x0) 6= 0.

2.13 Seja E um espa¸co vetorial normado. Se f : E −→ R ´e um funcional linear tal que para toda sequˆencia

{xn}_n∈N convergente para 0 a sequência {f (xn)}_n∈Né limitada, mostre que f é limitado.

2.14 Seja E um espa¸co vetorial normado. Prove que um funcional linear f : E −→ R ´e limitado se e somente se ker f ´e fechado.

2.15 Sejam E um espa¸co vetorial normado e L = hx1, x2, . . .i um subespa¸co vetorial gerado por um conjunto

enumer´avel de vetores. Mostre que x ∈ L se e somente se para todo f ∈ E∗ _{tal que f (x}

n) = 0 para

todo n tem-se f (x) = 0.

2.16 Sejam E um espa¸co vetorial normado e f : E −→ R um funcional linear limitado n˜ao-nulo. Considere o hiperplano H = f−1_{(1). Mostre que}

kf k = 1

inf

x∈Hkxk

.

2.17 Sejam E um espa¸co vetorial normado e F um subespa¸co vetorial pr´oprio de E. Mostre que se T0: F −→

RN _{é uma aplica¸cão linear limitada, então T se estende a uma aplica¸cão linear limitada T : E −→ R}N

(26)

Cap´ıtulo 3

Os Teoremas da Limita¸c˜

ao Uniforme,

da Aplica¸c˜

ao Aberta e do Gr´

afico

Fechado

3.1 O Teorema da Limita¸c˜

ao Uniforme

3.1 Lema. (O Teorema da Categoria de Baire) Seja X um espa¸co m´etrico completo. Seja {Fn}_n∈N uma

cole¸cão enumerável de conjuntos fechados de X. Se int Fn= ∅ para todo n, então int

µ S n∈N Fn ¶ = ∅.

Alternativamente, seja X um espa¸co métrico completo não-vazio. Seja {Fn}n∈N uma cole¸cão

enu-mer´avel de conjuntos fechados de X tal que X = S

n∈N

Fn. Ent˜ao existe n0∈ N tal que int Fn0 6= ∅.

3.2 Teorema. (Teorema da Limita¸c˜ao Uniforme) Sejam E, F espa¸cos vetoriais normados, sendo E um

espa¸co de Banach. Seja {Tλ}_λ∈Λ uma cole¸c˜ao de operadores lineares limitados de E em F

puntual-mente limitados, isto ´e, para todo x ∈ E existe Cx> 0 tal que

kTλxk 6 Cx para todo λ ∈ Λ.

Ent˜ao {Tλ}λ∈Λ ´e uniformemente limitada, ou seja, existe C > 0 tal que

kTλk 6 C para todo λ ∈ Λ.

Prova. Para cada n ∈ N, considere o conjunto

Fn = {x ∈ E : kTλxk 6 n para todo λ ∈ Λ} .

Ent˜ao Fn ´e fechado, porque Fn =

T

λ∈Λ

G−1_λ [0, n] onde Gλ é a fun¸cão cont´ınua Gλ= k·k ◦ Tλ. Por hipótese,

X = S

n∈N

Fn, logo pelo Teorema da Categoria de Baire existe n0∈ N tal que int Fn0 6= ∅. Seja Br(x0) ⊂ Fn0.

Temos

kTλ(x0+ rz)k 6 n0

para todo z ∈ B1(0) e para todo λ ∈ Λ. Logo,

kTλ(z)k 6 n0+ kTλx0k

r

(27)

para todo z ∈ B1(0) e para todo λ ∈ Λ, ou seja,

kTλk 6 n0+ Cx

r

para todo λ ∈ Λ. ¥

3.3 Corol´ario. Sejam E, F espa¸cos vetoriais normados, sendo E um espa¸co de Banach. Seja {Tn}n∈Numa

sequˆencia de operadores lineares limitados de E em F tais que para todo x ∈ E a sequˆencia {Tnx}n∈N

converge para um elemento de F que denotaremos T x. Ent˜ao {Tn}n∈N ´e uniformemente limitada, T

´e um operador linear limitado e

kT k 6 lim inf kTnk .

Prova. A limita¸cão uniforme da sequência decorre do teorema anterior. O fato de T ser linear decorre das propriedades de limites de somas e multiplica¸cão por escalar de sequências e da linearidades dos operadores da sequência, como na Proposi¸cão 2.7. Como, pelo teorema anterior, existe uma constante C > 0 independente de x tal que

kTnxk 6 C kxk

para todo x ∈ X, tomando o limite quando n → ∞ obtemos que T ´e limitado. Finalmente, como

kTnxk 6 kTnk kxk ,

da defini¸c˜ao de norma de um operador segue o ´ultimo resultado. ¥

3.4 Corol´ario. Sejam E um espa¸co vetorial normado e B ⊂ E um subconjunto. Se para todo f ∈ E∗ _o

conjunto f (B) é limitado, então B é limitado.

Prova. Aplicamos o Teorema da Limita¸c˜ao Uniforme substituindo E = E∗ _{(que ´e um espa¸co de Banach,}

como vimos no Corol´ario 2.9), F = R e Λ = B. Para todo b ∈ B definimos um operador linear limitado

Tb: E∗−→ R por

Tbf = f (b) .

De fato,

kTbf k = kf (b)k 6 kf k kbk = kbk kf k

A cole¸cão {Tbf }b∈B é limitada para cada f ∈ E∗ por hipótese. Portanto, do Teorema 3.2 segue que existe

uma constante C > 0 independente de f tal que

|f (b)| 6 C kf k

para todo f ∈ E∗_{. Usando o Corol´ario 2.25 conclu´ımos que}

kbk 6 C

para todo b ∈ B. ¥

3.5 Corol´ario. Sejam E um espa¸co de Banach e B∗_{⊂ E}∗ _{um subconjunto. Se para todo x ∈ E o conjunto}

hB∗_{, xi =} S f ∈B∗

f (x) é limitado, então B∗ _{é limitado.}

Prova. Aplicamos o Teorema da Limita¸c˜ao Uniforme substituindo F = R e Λ = B∗_{. Para todo b}∗ _{∈ B}∗

considere o funcional linear limitado

Tb∗= b∗.

A cole¸cão {Tb∗x}_b_∗_∈B_∗é limitada para cada x ∈ E por hipótese. Portanto, do Teorema 3.2 segue que existe

uma constante C > 0 tal que

kb∗k 6 C

(28)

3.2 Os Teoremas da Aplica¸c˜

ao Aberta e do Gr´

afico Fechado

3.6 Teorema. (Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta) Sejam E, F espa¸cos de Banach e T : E −→ F uma aplica¸c˜ao

linear limitada e sobrejetiva. Ent˜ao existe r > 0 tal que T (B1(0)) ⊃ Br(0)

Em particular, T ´e uma aplica¸c˜ao aberta.

Prova. Passo 1. Seja T : E −→ F uma aplica¸c˜ao linear sobrejetiva. Ent˜ao existe r > 0 tal que

T (B1(0)) ⊃ B2r(0) .

Seja

Fn= nT (B1(0)).

Ent˜ao Fn ´e fechado e F =

S

n∈N

Fn, logo pelo Teorema da Categoria de Baire (F ´e de Banach) existe n0∈ N

tal que int Fn0 6= ∅. Em particular, int T (B1(0)) 6= ∅. Sejam y ∈ F e r > 0 tais que B4r(y) ⊂ T (B1(0)).

Em particular, y, −y ∈ T (B1(0)). Obtemos

B4r(0) = −y + B4r(y) ⊂ T (B1(0)) + T (B1(0)) = 2T (B1(0))

a ´ultima igualdade valendo porque T (B1(0)) é convexo (pois aplica¸cões lineares são aplica¸cões convexas, isto

´e, levam conjuntos convexos em conjuntos convexos, o fecho de um conjunto convexo ´e convexo e podemos sempre escrever x + y = 2¡1

2x + 12y

¢

). Como B4r(y) ⊂ 2T (B1(0)), segue o resultado.

Passo 2. Seja T : E −→ F uma aplica¸c˜ao linear limitada. Se existe r > 0 tal que

T (B1(0)) ⊃ B2r(0) ,

ent˜ao

T (B1(0)) ⊃ Br(0) .

Dado y ∈ Br(0) ⊂ F , queremos encontrar x ∈ B1(0) ⊂ E tal que T x = y. Sabemos que, dado ε > 0, existe

z ∈ B1/2(0) ⊂ E tal que T z ∈ Bε(y). De fato, como 2y ∈ B2r(0), existe z0 ∈ B1(0) tal que kT z0− 2yk < ε;

da´ı, ° ° ° °Tz 0 2 − y ° ° °

° < ε₂ e podemos tomar z = z0/2. Escolhendo ε = r/2 obtemos z1∈ E tal que

kz1k < 1

2 e ky − T z1k <

r

2.

Aplicando o mesmo argumento a y − T z1 e escolhendo ε = r/4, encontramos z2∈ E tal que

kz2k <

1

4 e k(y − T z1) − T z2k <

r

2. Procedendo desta forma, obtemos uma sequˆencia {zn}n∈N tal que

kznk < 1

2n e ky − T (z1+ . . . + zn)k <

r

2n

para todo n. Em particular, a sequˆencia {xn}n∈N definida por

xn= z1+ . . . + zn

´e de Cauchy. Como E ´e de Banach, podemos tomar x = lim xn e x satisfaz

kxk < ∞ X n=1 1 2n = 1

(29)

e

y = lim T xn= T (lim xn) = T x.

Juntando os dois passos, o teorema fica provado. Para ver que T ´e aberta, seja U ⊂ E um aberto e mostremos que T (U ) ´e aberto. Dado y ∈ T (U ), seja x ∈ E tal que y = T x. Seja ε > 0 tal que

Bε(x) ⊂ U , ou seja, x + Bε(0) ⊂ U . Ent˜ao y + T (Bε(0)) ⊂ T (U ). Pelo teorema T (Bε(0)) ⊃ Bεr(0), logo

Bεr(y) ⊂ T (U ). ¥

3.7 Corol´ario. Sejam E, F espa¸cos de Banach. Se T : E −→ F ´e uma aplica¸c˜ao linear limitada bijetiva,

então a aplica¸cão linear T−1_{: F −→ E é cont´ınua.}

Prova. Pois a inversa de uma aplica¸c˜ao aberta ´e cont´ınua. ¥

Em outras palavras, um operador linear limitado bijetivo entre espa¸cos de Banach ´e automaticamente um isomorfismo topol´ogico.

3.8 Corol´ario. Seja E um espa¸co de Banach. Se k·k₁, k·k₂ s˜ao duas normas tais que existe uma constante C > 0 tal que

kxk₁6 C kxk₂ para todo x ∈ E, ent˜ao elas s˜ao normas equivalentes.

3.9 Defini¸c˜ao. Sejam E, F espa¸cos vetoriais normados. Dizemos que uma aplica¸cão linear T : E −→ F é fechada se seu gráfico

G (T ) = {(x, T x) : x ∈ E}

´e fechado em E × F .

Observe que o gráfico de uma aplica¸cão linear é um subespa¸co vetorial de E × F . ´E claro que toda aplica¸cão linear cont´ınua é fechada, entretanto existem muitos exemplos de operadores lineares importantes na prática que não são cont´ınuos mas pelo menos são fechados. Se E e F são espa¸cos de Banach, os dois conceitos são equivalentes:

3.10 Teorema. (Teorema do Gr´afico Fechado) Sejam E, F espa¸cos de Banach e T : E −→ F uma aplica¸c˜ao

linear fechada. Ent˜ao T ´e limitada.

Prova. Consideremos duas normas em E:

kxk₁= kxk_E e kxk₂= kxk_E+ kT xk_F.

(A segunda norma é às vezes chamada norma do gráfico.) Como G (T ) é fechado, E sob a norma do gráfico ainda é um espa¸co de Banach. De fato, se {xn} é uma sequência de Cauchy em (E, k·k2), então em particular

{xn} é uma sequência de Cauchy em (E, k·k1) pois kxk1 6 kxk2 e {T xn} é uma sequência de Cauchy em

(F, k·k_F) pois kT xk_F 6 kxk₂. Se x = lim xn e y = lim T xn, segue que (xn, T xn) → (x, y) em E × F . Como

G é fechado, temos que (x, y) ∈ G, logo y = T x. Podemos então usar o Corolário 3.8 para concluir que

existe uma constante C > 0 tal que

kxk₂6 C kxk₁ para todo x ∈ E. Em particular, segue que

kT xk_F 6 C kxk₁.

¥