Influência dos parâmetros operacionais no comportamento dinâmico de chumaceiras axiais de esmagamento de película compressível

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INFLUÊNCIA DOS PARÂMETROS OPERACIONAIS NO

COMPORTAMENTO DINÂMICO DE CHUMACEIRAS AXIAIS

DE ESMAGAMENTO DE PELÍCULA COMPRESSÍVEL

André Batista Pestana

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Mecânica

Orientador: Prof. Eduardo Joaquim Anjos de Matos Almas

Júri

Presidente:

Prof. Luís Manuel Varejão de Oliveira Faria

Orientador:

Prof. Eduardo Joaquim Anjos de Matos Almas

Vogais:

Prof. Miguel António Lopes de Matos Neves

Tenente-Coronel Eng Mat António José dos Santos Martins

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Agradecimentos

Manifesto os mais sinceros agradecimentos a todas as pessoas que contribu´ıram direta ou indireta-mente, na elaboraç ão desta dissertaç ão de mestrado, com destaque:

Ao meu orientador cient´ıfico, Professor Doutor Eduardo Joaquim Anjos de Matos Almas, pela orientaç ão e apoio ao longo de todo o trabalho. Agradeço ainda, todo o conhecimento transmitido n ão s ó no âmbito da dissertaç ão de mestrado como na resoluç ão de problemas gerais de engenharia.

Ao Coronel Eng. MAT Jo ˜ao Paulo Barreiros Pereira da Silva que, com amizade, sempre me apoiou ao longo de todo o percurso na Academia Militar.

Ao professor Doutor da Academia Militar, Jos é Borges, por ter apoiado o Curso de Serviço Material, ao longo destes últimos anos.

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A Academia Militar, pela formaç ão de excel ência proporcionada, contribuindo para o meu desenvol-vimento no âmbito pessoal e militar.

Aos meus camaradas da Academia Militar e amigos pela lealdade, apoio e amizade ao longo do meu percurso acad ´emico.

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A minha m ãe, irm ão e irm ã por toda a confiança, amor e pela sua presença nos melhores e piores momentos da minha vida.

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A minha amiga, Cristina Esteves, por toda a amizade e pelo apoio no processo de revis ão desta dissertaç ão.

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Resumo

No presente trabalho s ão estudadas chumaceiras axiais de esmagamento de pel´ıcula compress´ıvel. A lubrificaç ão deste componente mec ânico, é conseguida por meio de um fluido gasoso justificando a obtenç ão de soluç ões por via de experimentaç ão num érica, uma vez que atualmente ainda n ão é poss´ıvel recorrer-se a m étodos anal´ıticos.

Atrav és da simulaç ão num érica, analisa-se a influ ência de alguns par âmetros operacionais na res-posta deste tipo de chumaceira.

Na an álise dos resultados verifica-se que a posiç ão m édia final do elemento suportado é indepen-dente da espessura de pel´ıcula inicial utilizada, desde que esta n ão ultrapasse o valor limite em que a press ão gerada n ão consiga fazer face à aceleraç ão da massa durante a fase descendente, resultando no contacto entre as superf´ıcies dos elementos da chumaceira.

A utilizaç ão de frequ ências elevadas é recomend ável uma vez que promove uma maior separaç ão de superf´ıcies, menor dissipaç ão de energia por parte da pel´ıcula lubrificante e menor amplitude de oscilaç ão do elemento suportado, embora com as desvantagens do per´ıodo transiente ser superior e do ganho do afastamento do elemento suportado se reduzir significativamente, seguindo um modelo assimpt ótico.

Em condiç ões de press ão constante e frequ ência elevada, o sistema, com o aumento da massa, reage de forma a permitir uma melhor lubrificaç ão da chumaceira e a reduzir a oscilaç ão do elemento suportado. Por outro lado, a rigidez do sistema aumenta fazendo face a uma poss´ıvel sobrecarga.

Palavras-chave:

Tribologia, Chumaceira Axial de Esmagamento de Pel´ıcula, Lubrificaç ão com Fluido Compress´ıvel, Experimentaç ão Num érica, Par âmetros Operacionais.

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Abstract

This document presents a study of compressible squeeze film thrust bearings. The lubrication of this mechanical component is achieved by a gaseous fluid for which there are no available analytical solutions thus requiring the use of numerical experimentation.

Through a numerical simulation, it was analyzed the influence of some operational parameters in the performance of this type of bearing.

From the results analysis it can be concluded that the mean final position of the supported element is independent of the initial film thickness used, provided it does not exceed the threshold value at which the pressure generated can not cope with the acceleration of the mass during the downturn resulting in contact between the surfaces of the bearing elements.

The use of higher frequencies is recommended since it promotes greater separation between surfa-ces, lower energy dissipation by the lubricating film and a lower amplitude of oscillation of the supported element, however with the disadvantages of having a larger transient period and a significantly reduced increase in the support element clearance approaching an asymptotic limit.

Under conditions of constant pressure and high frequency, the system reacts to an increase in the supported mass leading to an improved lubrication of the bearing and a reduced oscillation of the sup-ported element. It also increases the stiffness coping better with a possible overload.

Keywords:

Tribology, Squeeze Film Thrust Bearing, Compressible Fluid Lubrication, Numerical Experimentation, Operation Parameters.

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Conte ´

udo

Agradecimentos . . . V Resumo . . . VII Abstract . . . IX Lista de Tabelas . . . XIII Lista de Figuras . . . XVI Nomenclatura . . . XVIII

1 Enquadramento da Dissertac¸ ˜ao 1

1.1 Introduc¸ ˜ao . . . 1

1.2 Contexto e Motivac¸ ˜ao . . . 2

1.3 Objectivos . . . 3

1.4 Estrutura da Dissertac¸ ˜ao . . . 3

2 Breve Revis ão Bibliogr áfica e Fundamentos 5 2.1 Revis ão Bibliogr áfica da Teoria de Lubrificaç ão . . . 5

2.1.1 Desenvolvimento te ´orico do efeito de esmagamento de pel´ıcula de ar . . . 7

2.1.2 Aplicac¸ ˜oes . . . 8

2.1.3 Classificac¸ ˜ao de Chumaceiras de Ar . . . 10

2.2 Fundamentos . . . 12

2.2.1 Caracterizaç ão e Equaç ões do Modelo Te órico . . . 12

2.2.2 M ´etodos Num ´ericos . . . 20

3 Experimentaç ão Num érica 22 3.1 Preparaç ão do Programa C-NZ.FOR . . . 22

3.1.1 Alterac¸ ˜oes efetuadas no programa . . . 23

3.1.2 Validac¸ ˜ao do programa . . . 24

3.2 Criaç ão do Programa para Tratamento Gr áfico dos Resultados . . . 25

4 Casos de Estudo 27 4.1 Estudo da Influ ência da Espessura Inicial de Pel´ıcula na Posiç ão M édia Final da Massa . 27 4.1.1 Introduç ão . . . 27

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4.1.3 Resultados e conclus ˜oes . . . 28

4.2 Estudo da Influ ência da Frequ ência na Posiç ão M édia Final da Massa . . . 31

4.2.1 Introduc¸ ˜ao . . . 31

4.2.2 Procedimentos adotados . . . 31

4.3 Comparac¸ ˜ao do Sistema com uma Mola considerada Ideal . . . 36

4.3.1 Influ ência da frequ ência no desfasamento entre a press ão m édia e a espessura m édia de pel´ıcula . . . 36

4.3.2 Influ ˆencia da frequ ˆencia no desfasamento entre os movimentos do elemento de suporte e suportado . . . 38

4.3.3 Conclus ˜oes . . . 40

4.4 Estudo da Influ ência da Variaç ão Simult ânea da Massa e Área a Raz ão Constante na Posiç ão M édia Final da Massa . . . 41

4.4.1 Introduc¸ ˜ao . . . 41

4.5 Estudo da Influ ˆencia da Frequ ˆencia no Per´ıodo Transiente . . . 46

4.5.1 Introduc¸ ˜ao . . . 46

4.6 Influ ˆencia da Rigidez do Sistema na Espessura M ´edia de Pel´ıcula final . . . 48

4.6.1 Introduc¸ ˜ao . . . 48

4.6.2 An álise em condiç ões de área constante . . . 48

4.6.3 An álise em condiç ões de press ão constante . . . 50

5 Conclus ˜oes 53

6 Trabalho futuro 57

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Lista de Tabelas

3.1 Variac¸ ˜ao relativa dos resultados obtidos nos dois programas. . . 25

4.1 Valores fixos das vari ´aveis. . . 27

4.2 Par ˆametros constantes no caso de estudo. . . 31

4.3 Deslocamento adimensional para cada frequ ˆencia analisada. . . 33

4.4 Desfasamento entre press ˜ao m ´edia e espessura m´ınima de pel´ıcula para cada caso con-siderado. . . 37

4.5 Desfasamento entre os movimentos do elemento de suporte e suportado para as frequ ˆencias consideradas. . . 39

4.6 Amplitude do movimento oscilat ´orio do elemento suportado para as diferentes frequ ˆencias utilizadas. . . 40

4.7 Caracterizac¸ ˜ao dos elementos de estudo. . . 41

4.8 Variaç ão do deslocamento adimensional com o aumento da frequ ência para a mesma raz ão massa/ área. . . 44

4.9 Caracterizac¸ ˜ao do caso de estudo. . . 46

4.10 Dados referentes ao per´ıodo transiente de cada frequ ˆencia. . . 47

4.11 Variaç ão relativa de espessura m édia de pel´ıcula em condiç ões de área constante. . . . 49

4.12 Variaç ão da rigidez com o aumento da frequ ência em condiç ões de área constante. . . . 50

4.13 Caraterizaç ão dos elementos suportados em an álise. . . 50

4.14 Variaç ão relativa de espessura m édia de pel´ıcula em condiç ões de press ão constante. . 51

4.15 Variaç ão da rigidez com o aumento da frequ ência em condiç ões de press ão constante. . 51

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Lista de Figuras

2.1 Representaç ão de algumas aplicaç ões do girosc ópio. . . 8

2.2 Desenvolvimento do efeito de esmagamento de pel´ıcula em ecr ˜as t ´acteis. . . 9

2.3 Esquema representativo de uma chumaceira aeroest ´atica. . . 11

2.4 Esquema representativo de uma chumaceira aerodin ˆamica. . . 11

2.5 Esquema representativo de uma chumaceira de esmagamento de pel´ıcula. . . 12

2.6 Esquema simplificado de uma chumaceira de esmagamento de pel´ıcula de ar. . . 13

2.7 Superf´ıcie plana com eixos x-y. . . 15

2.8 Superf´ıcie circular plana. . . 16

2.9 Representaç ão do modelo din âmico da chumaceira baseado no modelo f´ısico da mesma. 17 2.10 Sistema din âmico do elemento suportado da chumaceira. . . 18

3.1 Inicializaç ão e finalizaç ão dos ficheiros de leitura de dados e escrita de resultados. . . 23

3.2 Adiç ão das condiç ões ”IF” no c álculo dos factores de proporcionalidade. . . 24

3.3 Esquema representativo da realizaç ão de experi ências com base na simulaç ão num érica. 26 4.1 Posiç ões da massa no instante inicial. . . 28

4.2 Press ão m édia adimensional para tr ês espessuras m édias iniciais de pel´ıcula diferentes. 29 4.3 Deslocamento m édio adimensional para tr ês espessuras m édias iniciais de pel´ıcula dife-rentes. . . 29

4.4 Dist ância entre os elementos de chumaceira para tr ês espessuras m édias iniciais de pel´ıcula diferentes. . . 30

4.5 Press ão m édia Adimensional para frequ ências diferentes. . . 32

4.6 Deslocamento m ´edio Adimensional para frequ ˆencias diferentes. . . 33

4.7 Distribuiç ão m édia de press ão no espaço para frequ ências diferentes. . . 34

4.8 Representaç ão da influ ência do aumento da frequ ência no fluxo de part´ıculas de ar, em que b) corresponde ao caso com frequ ência mais elevada. . . 35

4.9 Desfasamento entre press ão m édia e espessura m édia de pel´ıcula para frequ ências di-ferentes. . . 37

4.10 Desfasamento entre os movimentos do elemento de suporte e suportado para frequ ˆencias diferentes. . . 39

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4.12 Posiç ão m édia final de dois elementos com a mesma raz ão massa/ área. . . 42 4.13 Representaç ão do afastamento de superf´ıces com o aumento da massa e área,

man-tendo a raz ão entre estes par âmetros. . . 43 4.14 Posiç ão m édia final de dois elementos com a mesma raz ão massa/ área para ω=7383,878

Hz. . . 44 4.15 Posiç ão m édia final de dois elementos com a mesma raz ão massa/ área para ω=73838,78

Hz. . . 44 4.16 Deslocamento m édio Adimensional para cada frequ ência considerada. . . 47 4.17 Rigidez do sistema para tr ês frequ ências diferentes, em condiç ões de área constante. . . 49 4.18 Rigidez do sistema para as tr ês frequ ências consideradas, em condiç ões de press ão

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Nomenclatura

A - Dimens ˜ao secund ´aria em superf´ıcies cartesianas A - Area adimensional da pel´ıcula´

Az - Area de pel´ıcula projectada num plano normal a z´

A1, A2 - Area de pel´ıcula projectada para os casos 1 e 2´

AN G0 - Angulo da semi-abertura da geometria polar planaˆ B - Dimens ˜ao caracter´ıstica da chumaceira

Car - constante de amortecimento do ar

F - Funç ão que incorpora v ários termos da equaç ão de Reynolds FM - Peso do elemento suportado

Fz - Capacidade de carga na direc¸ ˜ao z

g - Acelerac¸ ˜ao da gravidade

GE - Valor adimensional da dimens ˜ao exterior da geratriz da geometria polar plana

GI - Valor adimensional da dimens ˜ao interior da geratriz da geometria polar plana

Gz - Componente adimensional da aceleraç ão da massa suportada devido à gravidade

gα, gβ - Factores de escala ou proporcionalidade do sistema de coordenadas

H - Espessura adimensional de pel´ıcula h - Espessura de pel´ıcula

h0 - Espessura de pel´ıcula inicial

IF RON T - Indicador de condic¸ ˜oes de fronteira

i, j, k - Vectores unit ários nas direcç ões x,y e z ,respetivamente k - Constante el ática linear

Knl - Constante el ´astica n ˜ao-linear

Kar - constante el ´astica n ˜ao-linear do ar

m, M - Massa do elemento suportado

m1, m2 - Massa do elemento suportado para o caso 1 e 2

Nα, Nβ - N ´umero de divis ˜oes do eixo α e β, respectivamente

P - Press ão adimensional em cada ponto da pel´ıcula Pα - Press ão m édia em cada n ó α

Pn _- _{Press ão m édia instant ânea}

pmed - Press ˜ao m ´edia adimensional da pel´ıcula

pa - Press ˜ao atmosf ´erica

R - Coordenada polar adimensional segundo o raio da superf´ıcie R0 - Raio da superf´ıcie

r - Raio

r - Vector adimensional da posiç ão de um ponto gen érico da pel´ıcula 4r - Intervalo segundo r

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T - Coordenada adimensional do tempo t - coordenada tempo

4T - Intervalo segundo T

U - Velocidade tangencial da superf´ıcie da chumaceira U - Soma Ui+ Ui

u - Velocidade normal da superf´ıcie da chumaceira v - Soma de vi+ vi

vi, vi - Velocidades tangenciais das superf´ıcies da chumaceira

X - Coordenada cartesiana adimensional

Xi - Coordenadas cartesianas adimensionais (x,y)

xi - Coordenadas cartesianas (x,y)

Y - Coordenada cartesiana adimensional

Z - Coordenada cartesiana adimensional ou deslocamento adimensional do elemento suportado Z1, Z2 - Deslocamento adimensional para os casos 1 e 2

z - Coordenada cartesiana

zM - Deslocamento do elemento suportado

S´ımbolos Gregos

α - Coordenada adimensional curvil´ınea 4α - Intervalo segundo α

β - Coordenada adimensional curvil´ınea 4β - Intervalo segundo β

β - Coordenada adimensional curvil´ınea ε - Amplitude de deslocamento relativo

θ, θ0 (secç ão 2.4.1) - Factores de ponderaç ão da m édia das aproximaç ões por diferenças finitas Λ - Par âmetro adimensional caracter´ıstico da chumaceira

µ - Viscosidade din ˆamica do fluido ρ - Densidade do fluido

τ - Coeficiente adimensional da componente da acelaraç ão da massa suportada devido à press ão da pel´ıcula lubrificante

ψ - Produto PH

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Cap´ıtulo 1

Enquadramento da Dissertac¸ ˜ao

1.1 Introduc¸ ˜ao

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A medida que a civilizaç ão evolui, fazem-se descobertas que abrem horizontes e lançam novos desafios, dos quais muitos deles, constituem problemas de engenharia bastante complexos. Para a sua resoluç ão, podem ser utilizados tr ês m étodos de an álise: os anal´ıticos, os de experimentaç ão em laborat ório e os num éricos ou de experimentaç ão num érica.

Os m étodos anal´ıticos, embora sejam importantes na verificaç ão dos m étodos num éricos, s ó s ão aplic áveis a problemas com condiç ões de fronteira e geometrias simples, distanciando-os muitas vezes da realidade. A sua resoluç ão pode ser por vezes imposs´ıvel ou impratic ável.

A experimentaç ão em laborat ório, recorre a modelos f´ısicos de teste com a configuraç ão real ou à escala. No entanto, torna-se muito dispendiosa pelo custo dos provetes e n úmero de ensaios requeri-dos.

A experimentaç ão num érica baseia-se em modelos matem áticos, como por exemplo equaç ões di-ferenciais sendo poss´ıvel simular comportamentos e prever acontecimentos, de modo a obter uma soluç ão aproximada para o problema.

No presente trabalho, o tipo de lubrificaç ão considerada foi o esmagamento de pel´ıcula compress´ıvel associado a chumaceiras axiais, conseguido por interm édio de ar. Esta forma especial de separaç ão de superf´ıcies, é um caso muito particular, que conduz a fen ómenos de amortecimento e rigidez n ão-linear. O facto de ser utilizado um fluido gasoso e portanto compress´ıvel, torna bastante dif´ıcil a obtenç ão de soluç ões exatas recorrendo a m étodos anal´ıticos. Utilizar o m étodo de experimentaç ão em laborat ório, seria muito dispendioso e moroso, devido à necessidade de repetir testes que envolvem um elevado n úmero de ciclos de oscilaç ão. Recorre-se ent ão, ao m étodo de experimentaç ão num érica que, atrav és da combinaç ão de equaç ões, simula o comportamento deste tipo de chumaceira, obtendo-se soluç ões num éricas aproximadas [1].

A evoluç ão cont´ınua e exponencial da tecnologia, permitiu a criaç ão de computadores de ele-vado desempenho e de grande capacidade de armazenamento. Este facto, possibilitou a utilizaç ão de t écnicas de experimentaç ão num érica com algoritmos complexos, para a resoluç ão de problemas

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que, outrora, eram dif´ıceis ou imposs´ıveis de solucionar, como por exemplo a realizac¸ ˜ao deste trabalho.

1.2 Contexto e Motivac¸ ˜ao

Na atualidade, o interesse pela conservaç ão das mat érias primas e de energia, torna-se cada vez mais evidente face à escassez de recursos. O desgaste é uma das maiores causas de desperd´ıcio de materiais e qualquer reduç ão neste fen ómeno, pode dar origem a economias significativas. Para tal, recorre-se à lubrificaç ão, uma vez que é o meio mais eficaz para controlar o desgaste e reduzir o atrito [2].

A ci ência que estuda as superf´ıcies interatuantes em movimento relativo, as mat érias e m étodos com elas relacionados, denomina-se por Tribologia. A lubrificaç ão é uma disciplina desta ci ência com especial interesse na separaç ão de superf´ıcies, conseguida atrav és de um filme de flu´ıdo viscoso. Este flu´ıdo pode ser um l´ıquido praticamente incompress´ıvel, tal como os óleos, ou um g ás compress´ıvel como por exemplo o ar. Como tem vindo a ser referido, é precisamente com este último que se obt ém a separaç ão de superf´ıcies no tipo de chumaceira em estudo. A formaç ão da pel´ıcula de flu´ıdo, imp õe a exist ência duma press ão neste, para equilibrar a capacidade de carga aplicada entre as duas su-perf´ıcies do mecanismo. Neste trabalho, a geraç ão de press ão est á associada ao efeito de esmaga-mento da pel´ıcula de ar quando as duas superf´ıcies se aproximam [2].

As chumaceiras com lubrificantes gasosos t êm vindo a despertar especial interesse nos últimos anos, devido às caracter´ısticas que possuem e pelo facto de poderem ser usadas em diversas condiç ões ambientais. No entanto, existem factores a ter em conta no fabrico deste tipo de chumaceiras, nomea-damente, as rugosidades e as asperezas das superf´ıcies devem ter dimens ões inferiores à espessura de pel´ıcula do flu´ıdo. Caso contr ário, haver á pontos de contacto entre as duas superf´ıcies, estando pe-rante uma situaç ão de lubrificaç ão mista ou at é lubrificaç ão limite. Neste último caso, a área de contato é igual à que existiria sem lubrificaç ão. S ão exigidas, deste modo, superf´ıcies com bons acabamentos (rugosidade na ordem dos micr ómetros) [2].

O facto de ser usado um flu´ıdo gasoso como meio interveniente na lubrificaç ão de superf´ıcies, confere in úmeras vantagens, destacando-se as seguintes [3] :

• O atrito é extremamente baixo relativamente aos óleos minerais (cerca de mil vezes menos que o óleo mineral mais fino);

• Sendo o g ás ar, um lubrificante considerado ”limpo” , pode ser usado em m áquinas no âmbito da medicina e em ind ústrias alimentares;

• O ar pode operar em ambientes de temperatura elevada uma vez que a sua viscosidade n ˜ao se altera significativamente;

• N ão ocorrem fen ómenos de cavitaç ão, ao contr ário das chumaceiras com óleo mineral;

• No caso das chumaceiras de esmagamento de pel´ıcula compress´ıvel, n ão necessitam de um circuito fechado de alimentaç ão de ar;

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• Se for utilizado ar, este ´e um recurso gratuito e abundante;

• O tempo de vida do ar é superior relativamente a um óleo, devido à sua estabilidade qu´ımica. O modelo que melhor representa o comportamento real de uma chumaceira, é o que tem como base um sistema din âmico, no qual os dois elementos de chumaceira interagem entre si, atrav és de uma pel´ıcula de ar que atua como amortecedor viscoso e mola n ão-linear.

Ao elemento de suporte é transmitida uma oscilaç ão a uma dada frequ ência (ω), fazendo-o osci-lar na direç ão normal à superf´ıcie. Por sua vez, esta é transmitida pela pel´ıcula de ar ao elemento suportado (massa).

A capacidade de carga ou força de sustentaç ão que impede a massa suportada de entrar em con-tacto com o elemento de suporte, é gerada atrav és do equil´ıbrio das variaç ões de press ão. Estas, t êm origem nos movimentos axiais relativos dos elementos de chumaceira. Com a oscilaç ão do elemento de suporte, o ar comprime e expande. Durante a fase de compress ão, o ar é forçado a sair do interior da chumaceira e na fase de expans ão, ocorre uma depress ão e o ar entra. Para uma determinada frequ ência, a quantidade de ar que entra é muito superior à que sai, devido ao facto do comprimento da abertura na fase de compress ão ser menor do que o comprimento na fase de expans ão. Nos ciclos se-guintes, a press ão vai aumentando at é que n ão seja poss´ıvel a entrada de mais ar, atingindo-se assim, o equil´ıbrio. Todo este processo é denominado por ”efeito de bombeamento”.

1.3 Objectivos

O trabalho tem como objectivo analisar e quantificar a influ ência dos par âmetros operacionais no comportamento din âmico da chumaceira, permitindo, deste modo, a obtenç ão de recomendaç ões quanto à melhor escolha destes, facilitando um futuro projeto deste componente mec ânico. De modo a alcançar este objectivo, foi realizado um estudo param étrico relativo ao comportamento da chumaceira em funç ão da press ão gerada pela pel´ıcula lubrificante, da posiç ão m édia final da massa, da rigidez da pel´ıcula de ar e do desfasamento entre os elementos de chumaceira.

1.4 Estrutura da Dissertac¸ ˜ao

A dissertaç ão é constitu´ıda por cinco cap´ıtulos principais.

O 1º cap´ıtulo exp õe o contexto em que se insere o trabalho, as suas motivaç ões e os objetivos que levaram à realizaç ão desta dissertaç ão.

No 2º cap´ıtulo apresenta-se uma breve revis ão bibliogr áfica e fundamentos que abrangem v ários marcos hist óricos, desde a descoberta da viscosidade como propriedade f´ısica dos flu´ıdos at é à aplicaç ão de chumaceiras axiais de esmagamento de pel´ıcula compress´ıvel. Neste cap´ıtulo, descreve-se tamb ém o modelo din âmico e o m étodo de experimentaç ão num érica que permite a simulaç ão deste compo-nente mec ânico.

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O 3º cap´ıtulo exp õe as alteraç ões efetuadas no c ódigo utilizado para a simulaç ão e o programa que permitiu a an álise dos resultados.

No 4º cap´ıtulo s ão apresentados os casos de estudo e os resultados que permitiram a obtenç ão de recomendaç ões quanto à melhor escolha dos par âmetros operacionais.

Finalmente, no 5º e 6º cap´ıtulo, s ão feitas consideraç ões finais e sugerem-se trabalhos futuros, respetivamente.

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Cap´ıtulo 2

Breve Revis ˜ao Bibliogr ´afica e

Fundamentos

2.1 Revis ão Bibliogr áfica da Teoria de Lubrificaç ão

A data em que foram abordados os primeiros conceitos da teoria de lubrificaç ão hidrodin âmica é desconhecida mas, segundo Oscar Pinkus [4], o primeiro investigador a realizar os primeiros trabalhos no âmbito desta ci ência foi N.P.Petrov (1836-1920), cientista e engenheiro especializado no atrito de chumaceiras pertencentes a locomotivas. No seu livro ”Friction in Machines and the Effect of Lubri-cant on It” [5], concluiu que a geraç ão de atrito é proveniente duma propriedade f´ısica dos flu´ıdos, a viscosidade e n ão, como era considerado at é à época, a densidade. Posteriormente, defendeu que a natureza do atrito numa chumaceira era hidrodin âmica, ou seja, provinha das tens ões de corte geradas pelo escorregamento entre as camadas do fluido viscoso presente nas chumaceiras e n ão da interaç ão direta das suas superf´ıcies s ólidas em movimento relativo [6].

Ainda no mesmo per´ıodo, em Inglaterra, B.Tower (1845-1904) apresenta conclus ões dos trabalhos experimentais efetuados, em que num primeiro relat ório (1882), afirmou que a lei do atrito s ólido (lei de Coulomb) era menos adequada que a lei do atrito hidrodin âmico para efeitos da teoria da lubrificaç ão. Concluiu tamb ém, que o atrito depende, embora pouco, da carga aplicada e que este aumenta com a velocidade do escoamento e diminui com o aumento da temperatura. Num segundo relat ório (1885), atrav és de mediç ões da press ão ao longo da superf´ıcie da chumaceira, estabeleceu a relaç ão entre a capacidade de carga e as press ões geradas pelo fluido lubrificante. Facto este associado à descoberta acidental durante a sua experi ência utilizando uma chumaceira radial na qual verificou que o óleo sa´ıa sempre por um furo de localizado por debaixo da carga aplicada. Para impedir a sa´ıda começou por tapar o furo com uma rolha e depois com um taco de madeira, verifcando que a press ão o impelia sempre para fora. Colocou assim, um aparelho para medir a press ão e verificou que a press ão gerada era suficiente para separar as superf´ıcies da chumaceira. [6, 7].

Os estudos experimentais de Tower preconizaram pela primeira vez, a realidade da exist ência de press ão hidrodin âmica numa pel´ıcula lubrificante, servindo como base para a teoria da lubrificaç ão.

(24)

No entanto, nenhum conceito experimental deve sustentar, por si s ó, uma teoria. Para fundamentar os resultados experimentais O. Reynolds (1842-1912), em 1886, considerou duas placas paralelas, imersas num flu´ıdo l´ıquido, em que uma delas era din âmica e a outra est ática, desenvolvendo assim, a base da lubrificaç ão hidrodin âmica, a equaç ão de Reynolds [7]. Esta, traduz a press ão gerada pela pel´ıcula, que tem origem no movimento tangencial relativo das superf´ıcies da chumaceira, forçando o flu´ıdo a entrar numa conduta convergente. Este fen ómeno, é denominado por efeito de cunha. No entanto, o conceito de esmagamento de pel´ıcula s ó mais tarde foi abordado com a adaptaç ão desta equaç ão. Em 1914, foi adaptada de modo a poder ser utilizada na obtenç ão de soluç ões bidimensionais por Cristopherson [6].

O uso de ar como lubrificante foi sugerido pelo cientista franc ês Hirn, em 1854, por ém a sua utilizaç ão n ão foi desenvolvida at é 1895, quando surge a publicaç ão de experi ências realizadas por A. Kingsbury (1863-1943), que fundamentavam realmente o uso de ar em chumaceiras, constituindo a base da teoria de lubrificaç ão aerodin âmica, adicionando assim, ao campo da lubrificaç ão, a hip ótese de utilizar flu´ıdos compress´ıveis [8].

O modelo te órico que sustentava as experi ências de Kingsbury surgiu somente em 1913, ap ós a reformulaç ão matem ática da equaç ão de Reynolds por W. J. Harrison, que permitiu a aplicaç ão desta equaç ão para o caso espec´ıfico de flu´ıdos compress´ıveis, com base na equaç ão dos gases perfeitos em condiç ões isot érmicas [6, 9].

Em 1917, John William Strutt (1842-1919), mais conhecido por Lord Rayleigh, foi o primeiro a cal-cular a capacidade de carga e o bin ário de atrito de uma chumaceira axial hidrost ática, na qual o flu´ıdo lubrificante encontrava-se no estado l´ıquido e era previamente pressurizado por uma fonte externa. No entanto, este tipo de chumaceira j á tinho sido estudado por L.D Girard em 1865, tendo demonstrado o princ´ıpio de separaç ão de superf´ıcies e a diminuiç ão do atrito por injeç ão de óleo pr é-pressurizado, marcando o in´ıcio do desenvolvimento das chumaceiras hidroest áticas [7] .

A equaç ão de Reynolds para flu´ıdos incompress´ıveis é uma equaç ão diferencial linear, no entanto, a mesma equaç ão aplicada a flu´ıdos compress´ıveis trata-se de uma equaç ão diferencial n ão-linear. Devido a este último facto, é necess ária a utilizaç ão de aproximaç ões assimpt óticas para se obterem soluç ões anal´ıticas aproximadas. Ausman, em 1959 e em 1961, atrav és da linearizaç ão da equaç ão de Reynolds, obteve soluç ões para chumaceiras radiais, recorrendo à limitaç ão da variaç ão da espessura de pel´ıcula a valores muito pequenos. Mais tarde, Pan (1980) descobre outra soluç ão assimpt ótica, considerando para tal, a velocidade relativa das superf´ıcies da chumaceira a tender para valores infinitos [6].

Na mesma d écada, foi alargado o campo de aplicaç ão da equaç ão de Reynolds, aplicada a flu´ıdos incompress´ıveis e compress´ıveis, passando a considerar os efeitos de turbul ência, in ércia, t érmicos, bem como os comportamentos n ão-Newtoniano e Elastohidrodin âmico, factos que se devem a Szeri (1987) [10].

(25)

2.1.1 Desenvolvimento te ´

orico do efeito de esmagamento de pel´ıcula de ar

O termo ”esmagamento de pel´ıcula”, est á associado a qualquer flu´ıdo entre duas superf´ıcies que se movem com velocidade na direç ão normal em relaç ão a estas. Se este movimento for de aproximaç ão, denomina-se por ”esmagamento positivo” ou contrariamente ”esmagamento negativo” , tratando-se do afastamento de superf´ıcies [11].

O primeiro autor a abordar este conceito associado a flu´ıdos compress´ıveis foi Tipei, em 1954 [12] . O efeito da compressibilidade na distribuiç ão de press ão de uma abertura estreita entre um cilindro rotativo e um plano, foi estudado e provado por Taylor e Saffman, em 1957, ap ós a descoberta da bomba centr´ıpeta por Popper e Reiner (1956-1957) [13].

A primeira derivaç ão da equaç ão de Reynolds com as simplificaç ões de espessura de pel´ıcula fina e plana em condiç ões isot érmicas, aplicada a gases ideais, s ó foi realizada em 1962 por Langlois, com a particularidade do deslocamento das superf´ıcies da chumaceira ser um movimento relativo normal e tangencial [1, 14].

Em 1964, Salbu [12] desenvolve um modelo de chumaceira de esmagamento de pel´ıcula, utilizando duas placas paralelas, com o objectivo de gerar uma capacidade de carga positiva atrav és da oscilaç ão das superf´ıcies, muito pr óximas uma da outra, com recurso a atuadores magn éticos. Salbu verificou, ap ós algumas experi ências, que para baixas frequ ências a força exercida pela pel´ıcula tende a estar em fase com a velocidade de esmagamento. No entanto, para altas frequ ências tende a estar em fase com o deslocamento deste. A publicaç ão de Salbu, despertou um grande interesse na comunidade cient´ıfica, de modo a que na d écada de 60, o n úmero de patentes devido à concepç ão de novas chumaceiras deste tipo aumentou, destacando-se os autores: Emmerich [15], Warnock [16] e Farron [17] [18, 19].

Com a aplicaç ão dos m étodos num éricos para a simulaç ão de chumaceiras de esmagamento de pel´ıcula compress´ıvel utilizando frequ ências elevadas, verifica-se que a sua resoluç ão é morosa. O mesmo acontece, se nas mesmas condiç ões, for procurada uma soluç ão est ável obtida a partir de um valor inicial, traduzindo-se num elevado n úmero de ciclos. Para estes casos, em alternativa aos m étodos num éricos, é poss´ıvel utilizar os assimpt óticos, uma vez que a soluç ão resultante da utilizaç ão de uma frequ ência de oscilaç ão elevada, tende para a mesma soluç ão obtida com o valor de frequ ência infinito, tal como proposto por Pan em 1967 [20]. Mais tarde, este m étodo foi utilizado noutras investigaç ões, destacando-se as obras de Chiang, Pan, Strodtman e DiPrima [21].

Posteriormente, foram desenvolvidos trabalhos com recurso a m étodos num éricos considerando placas paralelas com geometria circular, tendo por objetivo analisar chumaceiras de esmagamento de pel´ıcula compress´ıvel, com a particularidade da introduç ão de massa suportada. Estas investigaç ões, foram realizadas por Beck, Holliday e Strodtman [22].

Em 1970, Reddi e Chu apresentaram no seu trabalho, soluç ões para a equaç ão de Reynolds adap-tada a flu´ıdos compress´ıveis em regime estacion ário, obtidas a partir do m étodo de elementos finitos. Por ém, estas n ão inclu´ıam o efeito de esmagamento de pel´ıcula [23].

Entre 1973 e 1974, Whymark [24] apresentou os seus estudos onde utilizou um disco plano de lat ão com di âmetro de 50 mm e espessura de 0,5 mm, expondo-o a uma frequ ência de vibraç ão de 20 kHz,

(26)

conseguindo um ”efeito de levitac¸ ˜ao”.

Com o desenvolvimento da an álise num érica, consequ ência do crescimento de ferramentas compu-tacionais na d écada de 90, foi poss´ıvel a muitos investigadores obter soluç ões num éricas aproximadas. Matos Almas, em 1992, desenvolveu m étodos de an álise num érica, considerando o efeito de esmaga-mento de pel´ıcula compress´ıvel em chumaceiras axiais, para aplicaç ão em computador pessoal [6].

2.1.2 Aplicac¸ ˜

oes

O interesse por parte dos fabricantes de computadores e das ind ústrias aerospaciais, na aplicaç ão dos estudos realizados nas d écadas de 80 e 90 sobre este tipo de chumaceiras foi elevado, surgindo in úmeras aplicaç ões nesta área. Entre as épocas referidas, surgiu o sensor girosc ópio com a finalidade de medir a taxa de variaç ão angular para o controlo do movimento de um determinado objeto. Existem muitas aplicaç ões para este componente, destacando-se as seguintes [1]:

• sistemas de navegaç ão por GPS em navios, avi ões e autom óveis;

• ind ústrias de electr ónica de consumo: como c âmaras de v´ıdeo, dispositivos de controlo remoto e jogos de computador;

• ind ústrias militares: sistemas de guiamento para m´ısseis e viaturas n ão tripuladas, sensores de impacto, mecanismos de segurança ou de armar em m´ısseis e em muniç ões explosivas;

• ind ústrias autom óveis: sistemas de segurança avançados tais como controlo de estabilidade, detecç ão e prevenç ão de capotamento, novas geraç ões de airbag e sistemas de travagem.

Figura 2.1: Representaç ão de algumas aplicaç ões do girosc ópio (adaptada de [25]).

Em 2005, foi considerada a influ ência do amortecimento que resulta do esmagamento de pel´ıcula compress´ıvel e o efeito no comportamento din âmico de micro-sistemas electro-mec ânicos (ou em ingl ês MEMS) [1].

(27)

Em 2006, Yoshimoto et al. criaram um novo conceito de guiamento linear aplicado a m áquinas industriais, constitu´ıdo por uma camada de atuadores piezoel éctricos com frequ ência de oscilaç ão na gama de ultra-sons, eliminando assim, o ru´ıdo [26].

O desenvolvimento da tecnologia é um processo exponencial e visa n ão s ó facilitar a pr ática de tarefas complexas como tamb ém aproximar a interface virtual à vida quotidiana.

A falta de resposta t áctil é um problema significativo dos ecr ãs atuais, uma vez que muitos deles respondem apenas atrav és de uma vibraç ão generalizada ap ós o toque, tal como representado na figura 2.2a. Sem este tipo de resposta, os utilizadores t êm de confiar quase totalmente na resposta visual para realizar uma determinada aç ão. Como resultado, a performance dos utilizadores diminui e o esforço visual é sobrecarregado. Um exemplo deste tipo de situaç ão, é o utilizador poder observar uma interface gr áfica como por exemplo um bot ão, mas n ão conseguir identific á-lo atrav és do toque no meio envolvente. Adicionar a este tipo de ecr ãs a resposta t áctil é uma soluç ão promissora para abordar este problema. Para tal, foi criado um ecr ã, que tem como princ´ıpio de funcionamento a reduç ão do coeficiente de atrito na superf´ıcie. O ar, localiza-se num espaço muito pequeno entre a superf´ıcie t áctil e uma com atuadores piezoel éctricos, sendo comprimido por aç ão desta última (figura 2.2b). Se a frequ ência for suficientemente alta (26 kHz) e o espaço entre as duas superf´ıcies for muito pequeno de modo a ”encurralar” o ar, d á-se um aumento de press ão (sobreatmosf érica) e uma consequente elevaç ão da superf´ıcie t áctil. Este efeito permite ao utilizador ter a sensaç ão de textura (figura 2.2c). O ecr ã referido (STIMTAC) surgiu com base num projecto realizado em 2011 por Amberg et al. [27].

(a) Vibraç ão generalizada ap ós o toque na superf´ıcie t áctil.

(b) Ecr ã T áctil(STIMTAC) (c) Elevaç ão da superf´ıcies t áctil (STIM-TAC)

(28)

2.1.3 Classificac¸ ˜ao de Chumaceiras de Ar

Antes de ser abordado o tema em t´ıtulo, é necess ário fazer uma breve descriç ão do objetivo fun-damental de qualquer chumaceira, para melhor entendimento da mat éria apresentada posteriormente. Esta tem como funç ão suportar e guiar um elemento de m áquina relativamente a outro, de maneira a permitir um movimento relativo entre estes enquanto ocorre a transfer ência de forças suave e eficaz-mente. Existem v árias possibilidades para a classificaç ão de chumaceiras, como por exemplo, quanto ao princ´ıpio de funcionamento ou à direç ão de aplicaç ão do carregamento. Todavia, ser á dada mais ênfase à natureza do carregamento e à sua aplicaç ão neste trabalho, ou seja, ao caso espec´ıfico de esmagamento de pel´ıcula de ar.

Considerando a natureza do suporte, uma chumaceira pode ser classificada de duas formas distin-tas: sem ou com pel´ıcula lubrificante.

Nos casos sem pel´ıcula lubrificante, est á impl´ıcito o contacto f´ısico entre os elementos de suporte e suportado. Devido a este facto, a chumaceira sofre de desgaste, produç ão de calor, geraç ão de vibraç ões e ru´ıdos parasitas, que se intensificam com o aumento da velocidade. Como exemplos deste tipo encontram-se as de lubrificaç ão limite e as de atrito seco.

Com pel´ıcula lubrificante, comparativamente com as anteriores pode considerar-se que n ão sofrem de desgaste e o atrito é reduzido, à excepç ão do proveniente das forças de corte do flu´ıdo. Dentro desta classe, as mais utilizadas s ão as em que a separaç ão dos elementos se d á por uma pel´ıcula de flu´ıdo no estado l´ıquido ou gasoso. Se a capacidade de carga, tal como foi referido na secç ão 1.2, tiver origem na press ão gerada pelo movimento relativo dos seus elementos, tratam-se de chumaceiras de esmagamento de pel´ıcula hidrodin âmicas e aerodin âmicas. Caso esta tenha origem na aç ão de uma press ão externa, consideram-se as hidroest áticas e aeroest áticas. Al ém disso, ainda pode ser resultante de forças magn éticas, exemplo das chumaceiras electromagn éticas.

Neste trabalho, o estudo est á centrado nas chumaceiras que utilizam como flu´ıdo lubrificante um g ás (ar), portanto, s ó ir á ser feita a descriç ão das aeroest áticas, aerodin âmicas e as de esmagamento de pel´ıcula de ar.

Considerando as aeroest áticas, semelhantes às hidroest áticas, com a particularidade da pel´ıcula de flu´ıdo ser de ar e n ão de um lubrificante l´ıquido como por exemplo, o óleo mineral. Para gerar a pel´ıcula de ar, é necess ário uma fonte de pressurizaç ão externa permitindo assim a separaç ão das superf´ıcies mesmo com velocidade relativa nula. O ar pressurizado, ap ós passar por orif´ıcios num dos elementos, entra numa cavidade (posicionada entre estes), inicialmente à press ão atmosf érica e fechada por aç ão do peso do elemento suportado. Como esta secç ão est á limitada pelas superf´ıcies dos elementos de chumaceira, a press ão no seu interior aumenta e promove a separaç ão das superf´ıcies, tal como pode ser observado na figura 2.3.

(29)

Figura 2.3: Esquema representativo de uma chumaceira aeroest ´atica [1].

As chumaceiras aerodin âmicas apresentam uma grande vantagem em relaç ão às anteriores, uma vez que n ão necessitam de fonte externa de ar para a separaç ão de superf´ıcies. S ão similares às do tipo hidrodin âmico com a grande diferença do lubrificante ser um g ás (normalmente ar) portanto, compress´ıvel. Como a viscosidade do ar é muito mais baixa, cerca de 1000 vezes menos do que o óleo mais fino, o atrito induzido por esta é muito menor. S ão aplicadas, normalmente, em condiç ões de velocidade elevada e podem operar em condiç ões de temperatura reduzida ou elevada . No entanto, a capacidade de carga est á dependente do movimento tangencial relativo dos elementos de chumaceira, que direciona o ar para uma zona convergente gerando-se press ão interna suficiente para a separaç ão de superf´ıcies. Por isso, para velocidade relativa nula a capacidade de carga ser á tamb ém nula. Na figura 2.4 pode ser observada uma chumaceira deste tipo.

Figura 2.4: Esquema representativo de uma chumaceira aerodin ˆamica [1].

Existem casos em que a velocidade tangencial relativa é muito reduzida ou at é mesmo nula, im-possibilitando a criaç ão de uma pel´ıcula de ar pressurizado entre as superf´ıcies dos elementos de chumaceira, inviabilizando deste modo o uso das aerodin âmicas. Por vezes, tamb ém n ão é poss´ıvel a colocaç ão dum sistema externo de pressurizaç ão de ar, como por exemplo, em casos com limitaç ões de espaço. Nestes, recorre-se a chumaceiras de esmagamento de pel´ıcula, caracterizadas pela neces-sidade única de um transdutor electromec ânico (por exemplo piezoel éctrico) para transmitir um movi-mento oscilat ório no elemovi-mento de suporte. Como consequ ência, ocorre a variaç ão da dist ância entre os elementos, permitindo deste modo, a criaç ão de uma pel´ıcula de ar. No entanto, este fen ómeno ser á analisado posteriormente na secç ão 4.2. A figura 2.5 representa um exemplo de chumaceira de esmagamento de pel´ıcula de ar.

(30)

Figura 2.5: Esquema representativo de uma chumaceira de esmagamento de pel´ıcula [1].

2.2 Fundamentos

2.2.1 Caracterizaç ão e Equaç ˜

oes do Modelo Te ´

orico

Nesta secç ão ser ão apresentadas as equaç ões do modelo em coordenadas cartesianas e polar planas, partindo da equaç ão b ásica de Reynolds aplicada a flu´ıdos compress´ıveis, relevantes para a mat éria apresentada no seguimento desta secç ão.

2.2.1.1 Formulaç ão da equaç ão de Reynolds para flu´ıdo compress´ıvel

Em 1886, assim como referido no presente cap´ıtulo, surge a teoria fundamental da lubrificaç ão devido à criaç ão da equaç ão de Reynolds, traduzindo a distribuiç ão de press ão num fluido lubrificante, restrita apenas a fluidos incompress´ıveis. Mais tarde, Harrison (1913) inclui nesta equaç ão os efeitos de compressibilidade [9], permitindo a Tipei (1954) formular a equaç ão apresentada de seguida, que relaciona a espessura de pel´ıcula e a velocidade das superf´ıcies com a press ão gerada pelo movimento relativo destas [29]. ∂ ∂x ρh 3 µ ∂p ∂x + ∂ ∂y ρh 3 µ ∂p ∂y = 6 ∂(hρ) ∂t + ∂ ∂x[ρh (u1+ u2)] + ∂ ∂y[ρh(v1+ v2)] (2.1)

Na figura 2.6 est á representada uma simplificaç ão do modelo f´ısico da chumaceira em estudo, onde pode ser observado o elemento suportado (superior) inicialmente a uma dist ância h0 do elemento de

suporte. Este é submetido a um movimento oscilat ório de frequ ência ω e de amplitude A que é trans-ferido ao elemento suportado por meio de ar. Apresenta-se tamb ém, a vari ável h(t) que representa a espessura de pel´ıcula em funç ão do tempo, j á considerada na equaç ão 2.1.

(31)

Figura 2.6: Esquema simplificado de uma chumaceira de esmagamento de pel´ıcula de ar.

2.2.1.2 Equac¸ ˜ao de Reynolds em coordenadas cartesianas

Em 1962, Langlois [14], apresenta a sua derivaç ão da equaç ão geral de Reynolds baseada nas equaç ões de Navier-Stokes e nas equaç ões de viscosidade hidrodin âmica [30], considerando a simplificaç ão isot érmica e desprezando a in ércia do flu´ıdo [31]. Foram v ários os autores que partiram da equaç ão de Reynolds adaptando-a, atrav és de simplificaç ões, a casos muito espec´ıficos de compressibilidade. No entanto, neste trabalho s ó ser ão apresentadas as f órmulas mais usuais da equaç ão em coordenadas cartesianas e de seguida em polares planas. Para a formulaç ão destas equaç ões foram consideradas as seguintes hip óteses simplificativas [6]:

1. A pel´ıcula de ar é considerada plana e fina, ou seja, a raz ão entre a espessura de pel´ıcula (h(t)) e o comprimento da superf´ıcie (L) é muito pequena;

2. Os termos associados à in ércia do fluido s ão desprezados, uma vez que s ó assumem especial import ância em flu´ıdos cuja viscosidade é baixa e a densidade é alta, caso particular de flu´ıdos com n úmero de Reynolds modificado superior a 1 (Re∗= ρωh2/µ > 1).

3. O processo é considerado isot érmico. A diferença significativa dos valores de capacidade ca-lor´ıfica da pel´ıcula de flu´ıdo gasoso e das massas envolventes, leva a admitir que todo o calor gerado na pel´ıcula seja absorvido e dissipado pelas superf´ıcies, aproximando-se da temperatura ambiente.

4. O flu´ıdo lubrificante ´e considerado um g ´as perfeito.

5. Como consequ ência da isotermia, a viscosidade é constante, embora esta propriedade n ão varie significativamente com a temperatura em flu´ıdos gasosos, ao contr ário do que acontece com os flu´ıdos l´ıquidos.

6. O fluxo de ar é laminar dado que a lubrificaç ão em chumaceiras de esmagamento de pel´ıcula, é dominada por efeitos de viscosidade.

(32)

8. As superf´ıcies s ão consideradas ideais, ou seja, a rugosidade é desprezada. 9. O flu´ıdo gasoso é considerado um meio cont´ınuo.

Pelo facto do flu´ıdo ser um g ás perfeito, pode ser relacionada a press ão e a densidade pelo uso direto da equaç ão geral politr ópica (p/ρn _{= constante). Sabendo que a igualdade n = 1,}

repre-senta os casos isot érmicos, resultar á na proporcionalidade entre estas duas propriedades, permitindo a substituiç ão da densidade pela press ão na equaç ão de Reynolds. Considerando a substituiç ão referida,

é poss´ıvel reescrever a equaç ão 2.1 de forma gen érica [14]: ∂ ∂x ph3∂p ∂xi = 6µ _∂ ∂xi [ph(Vi+ Vi0)] + 2 ∂(ph) ∂t i = [1, 2] (2.2)

Generalizando, ainda mais, a equaç ão anterior atrav és da aplicaç ão dos operadores matem áticos gradiente e diverg ência tem-se [20]:

div −ph 3 12µgradp + phV 2 + ∂ ∂t(ph) = 0 (2.3)

Para tornar a equaç ão anterior adimensional, é necess ário adimensionalizar os par âmetros desta, considerando para tal as seguintes relaç ões [20]:

P = p pa H = h h0 T = ωt Ui= Vi V Xi= xi B Λ = 6µV B pah20 σ = 12µωB 2 pah20 (2.4)

Substituindo os par ˆametros pelos respectivos adimensionais vem:

div−P H3_{gradP + ΛP HU}_{+ σ} ∂

∂T(P H) = 0 (2.5)

A express ˜ao geral de Reynolds aplicada a superf´ıcies coordenadas ´e dada por [20]: 1 gαgβ _∂ ∂α gβ gα P H3∂P ∂α + ∂ ∂β gα gβ P H3∂P ∂β = σ∂ (P H) ∂T (2.6)

Na equaç ão 2.5, desprezou-se o termo ΛP HU , uma vez que o interesse neste trabalho centra-se no efeito de ”esmagamento de pel´ıcula puro”, ou seja, s ó s ão considerados movimentos axiais e n ão tangenciais. Deste modo, pode ser considerada a seguinte equaç ão sem o referido termo:

div−P H3_gradP_{+ σ} ∂

∂T(P H) = 0 (2.7)

Como qualquer superf´ıcie aplicada à equaç ão de Reynolds est á inserida num sistema de coorde-nadas, considera-se as coordenadas gen éricas α e β para descrever essas mesmas superf´ıcies. Na equaç ão anterior, aplicam-se os fatores de escala ou proporcionalidade do sistema de coordenadas

(33)

para a aplicaç ão da equaç ão de Reynolds a uma superf´ıcie cartesiana, da seguinte forma [6]:    α = X β = Y e      gα= | ∂r ∂X| = 1 gβ= | ∂r ∂Y | = 1

Com base na superf´ıcie plana segundo eixos coordenados x-y, representada na figura 2.7, sugere-se a sugere-seguinte transformac¸ ˜ao de coordenadas:

Figura 2.7: Superf´ıcie plana com eixos x-y[1].          x = BX y = BY r = X_i+ Y_j

Aplicando a transformaç ão de vari áveis com ψ = P H na equaç ão 2.6, obt ém-se a seguinte equaç ão [20]: 1 gαgβ _∂ ∂α gβ gα ψ H∂ψ ∂α − ψ ∂H ∂α + ∂ ∂β gα gβ ψ H∂ψ ∂β − ψ ∂H ∂β = σ∂ψ ∂T (2.8)

As raz ões para a transformaç ão anterior s ão as seguintes [6, 32]:

1. As derivadas de PH, em ordem às coordenadas de espaço, s ão em m édia de menor magnitude do que as de P;

2. A derivada ∂H_∂T é eliminada por substituiç ão, o que se torna conveniente nas situaç ões em que o pr óprio H deve ser determinado por consideraç ões din âmicas como neste caso, ou seja, quando a massa suportada pela pel´ıcula de ar se desloca de uma posiç ão para outra, por aç ão da press ão gerada no interior da chumaceira.

Desenvolvendo a express ˜ao anterior obt ´em-se: ∂ψ ∂T − 1 σgαgβ ( ψH gβ gα ∂2_ψ ∂α2 + gα gβ ∂2_ψ ∂β2 − ψ2 gβ gα ∂2_H ∂α2 + gα gβ ∂2_H ∂β2 + H " gβ gα ∂ψ ∂α 2 +gα gβ ∂ψ ∂β 2# −ψ gβ gα ∂ψ ∂α ∂H ∂α + gα gβ ∂ψ ∂β ∂H ∂β + ψ H∂ψ ∂α − ψ ∂H ∂α _∂ ∂α gβ gα + H ∂ψ ∂∂β − ψ ∂H ∂β _∂ ∂β gα gβ = 0 (2.9)

Aplicando α = X, β = Y e gα= gβ = 1na equaç ão 2.9, resulta a seguinte express ão:

∂ψ ∂T − 1 σ ( Hψ ∂ 2_ψ ∂X2+ ∂2_ψ ∂Y2 − ψ2 ∂2H ∂X2 + ∂2_H ∂Y2 + H " ∂ψ ∂X 2 + ∂ψ ∂Y 2#

(34)

−ψ ∂ψ ∂X ∂H ∂X + ∂ψ ∂Y ∂H ∂Y = 0 (2.10) dA = ∂r ∂α× ∂r ∂β dαdβ =      i j k ∂X ∂α ∂Y ∂α ∂Z ∂α ∂X ∂β ∂Y ∂β ∂Z ∂β      dαdβ = gαgβ∂α∂β (2.11)

Dado que o objeto de estudo s ão chumaceiras de esmagamento de pel´ıcula de ar axiais, considera-se apenas o c álculo da capacidade de carga na direç ão z:

Fz= paB2 2π Z 2π 0 Z Z dA (P − 1)(dA · k) dT (2.12)

Simplificando a equaç ão anterior, para aplicaç ão em superf´ıcies cartesianas com coordenadas X e Y resulta: dAXY =      i j k 1 0 0 0 1 0      dXdY = dX dY k (2.13) Fz= paB2 2π Z 2π 0 Z Y Z X (P − 1) dX dY dT (2.14) Com P = P (X, Y, T ) e Fx= Fy= 0.

2.2.1.3 Equac¸ ˜ao de Reynolds em coordenadas polar planas

O c álculo da capacidade de carga para o caso de coordenadas polar planas, é em tudo seme-lhante ao caso das cartesianas, com a exceç ão da transformaç ão de coordenadas e naturalmente, da utilizaç ão da equaç ão de Reynolds apropriada a este tipo de geometria. Considera-se portanto, uma superf´ıcie circular plana (figura??) e a transformaç ão de coordenadas associada:

Figura 2.8: Superf´ıcie circular plana [6].                B = R0 X = R cos(θ) X = R sin(θ) r = R cos(θ)i + R sin(θ)j

Para aplicar a equaç ão de Reynolds ao referido sistema de coordenadas, é necess ário aplicar os se-guintes factores de proporcionalidade do sistema de coordenadas [6]:

   α = R β = θ e      gα= | ∂r ∂R| = 1 gβ= | ∂r ∂θ| = 1

(35)

Procedendo da mesma maneira que o caso anterior (coordenadas cartesianas), a equaç ão de Rey-nolds aplicada a coordenadas polar planas é dada por:

1 R ∂ ∂R RP H3∂P ∂R + 1 R2 ∂ ∂θ P H3∂P ∂θ = σ∂(P H) ∂T (2.15)

Da mesma forma que em coordenadas cartesianas, substitui-se ψ = P H na equaç ão anterior, resultando a seguinte express ão:

∂ψ ∂R− 1 σ Hψ ∂ 2_ψ ∂R2 + 1 R ∂ψ ∂R+ 1 R2 + ∂2ψ ∂θ2 − ψ2 ∂ 2_H ∂R2 + 1 R ∂H ∂R + 1 R2 ∂2H ∂θ2 −ψ ∂ψ ∂R ∂H ∂R + 1 R2 ∂ψ ∂θ ∂h ∂θ + H " ∂ψ ∂R 2 + 1 R2 ∂ψ ∂θ 2#) = 0 (2.16)

A capacidade de carga, analogamente ao sistema de coordenadas cartesiano, pode ser obtida com as seguintes express ˜oes:

dArθ=      i j k cos θ sin θ 0 −R sin θ R cos θ 0      dRdθ = R dR dθ k (2.17) Fz= paR02 2π Z 2π 0 Z θ Z R (P − 1) dR dθ dT (2.18) Com P = P (R, θ, T ) e Fx= Fy= 0.

2.2.1.4 Equaç ão din âmica do modelo de chumaceira e massa suportada

Para a an álise de modelos f´ısicos, muitas vezes recorre-se a modelos din âmicos com o objetivo fundamental de representar, simplificadamente, o comportamento de um determinado corpo quando solicitado. Como tal, na figura 2.9b representa-se o modelo din âmico da chumaceira em estudo, com base no modelo f´ıs´ıco da figura 2.9a.

(a) Modelo f´ısico (b) Modelo din ˆamico

(36)

A equaç ão din âmica do elemento suportado é definida pela seguinte express ão: Md 2_z M dt2 − Car dzM dt − KarzM + FM = 0 (2.19)

na qual as vari ´aveis representam: M- massa suportada

Car- amortecimento devido `a pel´ıcula de ar

Kar- rigidez n ˜ao-linear devido `a pel´ıcula de ar

FM- peso da massa suportada (FM = M × g)

zM- deslocamento da massa suportada

Matos Almas, na sua tese [6], resolve simultaneamente a equaç ão din âmica do elemento suportado e a equaç ão de Reynolds, atrav és de m étodos num éricos, com base na depend ência do deslocamento Z(adimensional) das duas equaç ões. Esta depend ência adv ém dos factos: na equaç ão din âmica, com o c álculo da press ão m édia instant ânea Pn_{, obtida a partir da equaç ão de Reynolds; e na equaç ão de}

Reynolds, com o c álculo da press ão P que depende tamb ém de Z, obtido a partir de H (espessura de pel´ıcula adimensional).

Considerando a força de sustentaç ão ou capacidade de carga Fz como a resultante das forças

associadas ao amortecimento e rigidez n ão-linear, obt ém-se o seguinte modelo din âmico:

Figura 2.10: Sistema din ˆamico do elemento suportado da chumaceira.

Substituindo FM = M g, na equaç ão din âmica, vem:

Md

2_z m

dt2 + M g = Fz (2.20)

A forc¸a Fz, pode ser calculada pelo produto entre a ´area projectada da pel´ıcula (plano perpendicular

a z) e a press ão m édia relativa na pel´ıcula, representada pela seguinte equaç ão [6] :

(37)

A área Aze a press ão Pn, assumem express ões diferentes em cada sistema de coordenadas [6] :

1. No caso de superf´ıcies em coordenadas cartesianas:

Az= BA (2.22) Pn=B A Z 1 0 Z AB 0 P dY dX (2.23)

2. No caso de superf´ıcies em coordenadas polar planas [6] :

Az= π(re2− r 2 i) (2.24) Pn= 1 π(1 + 2C) Z 1 0 Z 2π 0 P (R + C) dθ dR (2.25)

Desenvolvendo a equaç ão 2.20, obt ém-se a express ão [6] : d2zM

dt2 =

1

M(Fz− M g) (2.26)

Introduzindo as vari ´aveis adimensionais: Z = _hz

0 e T = ωt na equac¸ ˜ao anterior, resulta a seguinte

express ˜ao [6] : d2Z dT2 = 1 M ω2_h 0 (Fzn− M g) (2.27)

Se forem considerados os seguintes factores adimensionais da equaç ão din âmica [6] :

τ = paAz M ω2_h 0 Gz= g ω2_h 0 (2.28) poder á ser reescrita a equaç ão din âmica do elemento suportado da seguinte forma [6] :

d2_Z

dT2 = τ (P

n_{− 1) − G}

z (2.29)

O processo de adimensionalizaç ão pode ser aplicado al ém da equaç ão din âmica, como por exem-plo, para a espessura da pel´ıcula. Se a equaç ão que representa a espessura de pel´ıcula (presente na figura 2.6) for dividida por h0em ambos os membros, obt ém-se a seguinte equaç ão adimensional:

H = h h0

(38)

2.2.2 M ´etodos Num ´ericos

A equaç ão de Reynolds aplicada a flu´ıdos compress´ıveis, é uma equaç ão diferencial parab ólica n ão-linear de segunda ordem. Tal facto, e quanto se sabe actualmente, impossibilita a obtenç ão de soluç ões exatas e torna muito dif´ıcil o alcance de soluç ões anal´ıticas aproximadas, dada a dificuldade do procedimento matem ático exigido e a limitaç ão da gama de valores atribu´ıveis aos par âmetros em an álise. Poderia optar-se, imediatamente, pelo uso de elementos finitos devido à flexibilidade de tra-tamento das irregularidades geom étricas/f´ısicas e a velocidade de c álculo mais elevada, comparando com outros m étodos de an álise. No entanto, essa n ão foi a opç ão escolhida para esta tese uma vez que esse processo exige formulaç ões complicadas e sub-rotinas especiais para a composiç ão das matrizes globais a partir das matrizes dos elementos.

A utilizaç ão do processo de diferenças finitas e da equaç ão de Reynolds, requer uma formulaç ão mais simples do que o m étodo de elementos finitos, com a desvantagem de exigir um sistema pre-ferencial de coordenadas, associando as fronteiras da pel´ıcula lubrificante a linhas coordenadas [6]. Como as chumaceiras de esmagamento de pel´ıcula utilizadas neste trabalho possuem geometrias muito simples como a circular n ão se justifica o uso do m étodo dos elementos finitos, pelas raz ões explicadas anteriormente. Foi este facto este que levou Matos Almas [6] a estudar a influ ência dos par âmetros de funcionamento na capacidade de carga de chumaceiras de esmagamento de pel´ıcula compress´ıvel, com recurso a t écnicas cl ássicas de diferenças finitas. Atrav és desta an álise, criou pro-gramas de simulaç ão num érica com recurso à linguagem de programaç ão FORTRAN, dos quais um deles, foi adotado para a realizaç ão deste trabalho, nomeadamente, o ”C-NZ.FOR”. Este programa, tem como base o m étodo de an álise de diferenças finitas Crank-Nicolson e foi selecionado, pois revelou estabilidade num érica nas an álises feitas [6] e é o que melhor se adapta a todos os casos de estudo realizados neste trabalho. A aplicaç ão deste programa aos casos de estudo deste trabalho, permite obter recomendaç ões quanto ao melhor uso dos par âmetros operacionais.

2.2.2.1 M étodo de Crank-Nicolson aplicado ao m étodo de diferenças finitas

Antes de se aplicar o M étodo de Crank-Nicolson à equaç ão de Reynolds, é necess ário aplicar o m étodo de diferenças finitas. Representando a equaç ão 2.9 na forma geral e substituindo a funç ão ψ = P H pela forma gen érica u, vem:

L(u) ≡ ∂u ∂T − F α, β, T, u,∂u ∂α, ∂u ∂β, ∂2_u ∂α2, ∂2_u ∂β2 (2.31) Dividindo os eixos coordenados α, β e T em segmentos de dimens ˜ao 4α, 4β e 4T , respetiva-mente, obriga a que estes passem a ser definidos unicamente nos n ´os [6]:

[(j − 1)4α, (k − 1)4β, (n − 1)4T ] (2.32)

(39)

Para cada n ó, a equaç ão 2.31, é substitu´ıda pela seguinte equaç ão alg ébrica [32]: Lj,kn≡ un+1_j,k − un j,k 4T − F h (j − 1)4α, (k − 1)4β, (n − 1 + θ)4T, θun+1_j,k + (1 − θ)unj,k, θ(un+1_j+1,k− un+1 j−1,k) + (1 − θ)(u n j+1,k− u n j−1,k) 24α , θ(un+1_j,k+1− un+1 j,k−1) + (1 − θ)(u n j,k+1− unj,k−1) 24β , θ0(un+1_j+1,k− 2un+1 j,k + u n+1 j−1,k) + (1 − θ 0_)(un j+1,k− 2unj,k+ unj−1,k) (4α)2 , θ0(un+1_j,k+1− 2un+1_j,k + un+1_j,k−1) + (1 − θ0)(un_j,k+1− 2un j,k+ u n j,k−1) (4β)2 # = 0 (2.33)

Nesta equaç ão, θ e θ0 representam os par âmetros reais arbitr ários num intervalo [0,1], que de-terminam a ponderaç ão da m édia das aproximaç ões por diferenças finitas correspondentes aos dois instantes n e n + 1 . Deste modo, é poss´ıvel calcular o valor aproximado da funç ão nos n ós referidos. Para se obter soluç ões aproximadas, parte-se de uma condiç ão inicial u0

j,ke das condic¸ ˜oes de fronteira

nos instantes seguintes, calculando os valores da soluc¸ ˜ao un+1_j,k a partir dos valores do instante anterior un

j,k[6]. O m ´etodo de Crank-Nicolson, considera θ = θ0= 1

2na equaç ão 2.33, representando a definiç ão

das vari ´aveis e suas derivadas nos seguintes instantes interm ´edios:

(40)

Cap´ıtulo 3

Experimentaç ão Num érica

Para a realizaç ão deste trabalho foi utilizado, tal como referido anteriormente, o c ódigo fonte do programa de c álculo C-NZ.FOR desenvolvido por Matos Almas. Atrav és deste, foi poss´ıvel simular o comportamento da pel´ıcula lubrificante e do elemento suportado. Os resultados obtidos na simulaç ão, como por exemplo a press ão m édia e o deslocamento da massa suportada, foram posteriormente analisados, permitindo assim, perceber a influ ência dos par âmetros operacionais no comportamento din âmico da chumaceira e assim chegar ao objetivo do trabalho, ou seja, dar recomendaç ões quanto à melhor escolha desses par âmetros.

3.1 Preparac¸ ˜ao do Programa C-NZ.FOR

O facto do programa original ter sido criado em 1992, época em que os computadores eram ainda limitados em termos de capacidade de mem ória, n ão possibilitou a execuç ão de certas an álises, como por exemplo, as que envolviam um elevado n úmero de ciclos de estabilizaç ão. No entanto, devido ao desenvolvimento exponencial das tecnologias de informaç ão, foi poss´ıvel alargar o campo das ex-peri ências feitas e a descoberta de informaç ão relativa ao objeto de estudo, permitindo a realizaç ão deste trabalho.

Para ser poss´ıvel a utilizaç ão do programa original, foi necess ário o compilador Microsoft Developer Studio (Fortran Power Station 4.0) que, atrav és de c ódigo C-NZ.FOR, permite gerar um execut ável com capacidade para ler os ficheiros de entrada e fornecer os resultados da simulaç ão num érica para posteriormente serem analisados.

De seguida, os resultados provenientes da simulaç ão com par âmetros estabelecidos, foram com-parados com os obtidos na refer ência [1], de modo, a validar o programa. Para tal, foi necess ária a modificaç ão das condiç ões operacionais, uma vez que o elemento suportado é din âmico e n ão est ático, como o da refer ência.

(41)

3.1.1 Alterac¸ ˜

oes efetuadas no programa

Com o objectivo de compatibilizar o programa C-NZ.FOR com os sistemas inform áticos atuais, foram feitas pequenas alteraç ões no programa original, na sua maioria j á implementadas no programa C-N.FOR, utilizado para o elemento de suporte est ático pela refer ência [1]. Estas alteraç ões, s ão descritas de seguida.

1. Inicializaç ão e finalizaç ão dos ficheiros de leitura de dados e escrita de resultados.

No c ódigo C-NZ.FOR, foram adicionadas instruç ões no sentido de permitir a entrada e sa´ıda de dados a partir de ficheiros csv (comma-separated values). Neste formato, a informaç ão est á sepa-rada por um delimitador, neste caso, por um ponto e v´ırgula e tem a possibilidade de ediç ão/leitura em qualquer editor de texto. Na refer ência [1], foi utilizado o formato (”txt”) que causava alguns problemas, principalmente porque nos ficheiros de sa´ıda originais, a quantidade de caracteres alfanum éricos informativos era significativa, sendo moroso em termos de leitura pelo programa aquando do tratamento gr áfico. Por isso, optou-se apenas, pelo uso de no m áximo tr ês colunas de informaç ão num érica separada pelos referidos delimitadores, facilitando a criaç ão de gr áficos combinados e com elevado n úmero de ciclos.

Figura 3.1: Inicializaç ão e finalizaç ão dos ficheiros de leitura de dados e escrita de resultados.

2. C ´alculo dos factores de proporcionalidade das coordenadas.

Como a geometria da chumaceira utilizada neste trabalho é a circular com raio interior (GI) nulo, foi necess ário adicionar duas instruç ões, destacadas na figura 3.2 por rect ângulos azuis, porque o programa original foi concebido para geometria circular com raio interior n ão nulo, o que originou um ”overflow” devido ao caso indeterminado de divis ão por zero. Este problema, surge com o c álculo destacado no primeiro rect ângulo a azul, tal como se pode constatar de seguida:

C = _GEGI = _GE0 = 0 ⇒ P RP F (J ) = _{ALF A+C}1D0 = 1₀, resultando numa indeterminac¸ ˜ao quando ALF A = 0, ou seja, no centro do c´ırculo.

(42)

Figura 3.2: Adiç ão das condiç ões ”IF” no c álculo dos factores de proporcionalidade.

3. Atribuiç ão de mem ória

No programa original, o n úmero m áximo de ciclos permitido eram 32767. Por ém, neste traba-lho, para ser poss´ıvel obter o ficheiro de sa´ıda de resultados, foram muitas vezes necess ários 50000 ciclos para a soluç ão estabilizar completamente. No entanto, os gr áficos apresentados n ão atingem esse valor, uma vez que correspondem a oscilaç ões muito reduzidas, que n ão s ão importantes para o objetivo deste trabalho. Para ser poss´ıvel utilizar o programa com o n úmero de ciclos desejado, substituiu-se o operador de c álculo ”INTEGER*2” por ”INTEGER*4”, permitindo assim estudar novas an álises, solicitar um maior volume de c álculo ao computador e fornecer resultados com melhor aproximaç ão [1].

3.1.2 Validac¸ ˜ao do programa

Com a validaç ão do programa C-NZ.FOR, obt ém-se a garantia que os resultados provenientes deste s ão confi áveis, expandindo deste modo, os horizontes para experi ências ainda n ão exploradas. Como os únicos dados poss´ıveis de validar correspondem a condiç ões est áticas (elemento suportado fixo) presentes na refer ência [1], foi necess ário criar as mesmas no programa atual (elemento suportado din âmico). Para tal, foi estabelecido que o elemento suportado deveria ter um valor de massa extre-mamente elevado (a tender para infinito) e as condiç ões operacionais deveriam ser as de aus ência de gravidade (ver anexo A). S ó deste modo, é poss´ıvel assegurar que o elemento se comporta da mesma maneira que o caso est ático.

O facto dos resultados da refer ência [1], terem sido obtidos utilizando o programa BIDI.FOR (an álise bidimensional), n ão traz nenhum problema porque sendo o elemento de estudo circular, a sua axissi-metria torna a an álise bidimensional numa an álise unidimensional, possibilitando a comparaç ão com o programa C-NZ.FOR.

(43)

Na tabela seguinte, comparam-se os resultados entre os dois programas referidos. BIDI.FOR C-NZ.FOR Erro relativo [%] ω = 738, 3878Hz Fz= 330, 542 N Fz= 331, 433 N 0,2696

Pmed= 1, 32622 P a Pmed= 1, 32710 P a 0,0663

ω = 7383, 878Hz Fz= 345, 308 N Fz= 345, 997 N 0,1995 Pmed= 1, 340792 P a Pmed = 1, 341473 P a 0,0508

Tabela 3.1: Variac¸ ˜ao relativa dos resultados obtidos nos dois programas.

Observando a tabela 3.1, verifica-se que existe uma pequena diferença nos resultados, atingindo um erro relativo m áximo de 0,27% , aproximadamente. Estev facto pode-se explicar pela utilizaç ão de diferentes m étodos de an álise de diferenças finitas. No programa C-NZ.FOR, recorreu-se ao m étodo de Crank-Nicolson e no programa BIDI.FOR utilizou-se o m étodo de Peaceman-Rachford. O erro relativo associado à utilizaç ão do m étodo de Crank-Nicolson é bastante reduzido, portanto, conclui-se que os resultados obtidos pelo programa s ão confi áveis, permitindo deste modo, tirar conclus ões sobre os mesmos.

3.2 Criaç ão do Programa para Tratamento Gr áfico dos Resultados

Para facilitar a compreens ão das respostas do sistema às diversas solicitaç ões efetuadas, apresentaram-se os resultados, na sua maioria, graficamente. No entanto, para a realizaç ão deste trabalho foi ne-cess ário o tratamento de um grande volume de informaç ão, dado o n úmero elevado de ciclos de cada experi ência. Tal facto dificultava o uso do software Microsoft Excel, uma vez que teria de se repetir v árias vezes a criaç ão de gr áficos para resultados diferentes. Assim, foi criado um programa no soft-ware Matlab que faz a leitura direta dos resultados provenientes do programa C-NZ.FOR e coloca-os numa base de dados (matricial). Deste modo, foi mais f ácil gerar gr áficos e utilizar os resultados para c álculos, como por exemplo, a dist ância entre os elementos da chumaceira. O programas criado, pode ser observado na secç ão referente aos anexos (Anexo B.1).

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Na figura seguinte, apresenta-se um esquema representativo de como as experi ências foram reali-zadas, desde a simulaç ão num érica at é à produç ão gr áfica pelo programa criado.