Concepções de alunos de pedagogia sobre os conceitos de comprimento e perímetro

Texto

(1)CONCEPÇÕES DE ALUNOS DE PEDAGOGIA SOBRE OS CONCEITOS DE COMPRIMENTO E PERÍMETRO.

(2) SUELLY GOMES TEIXEIRA. CONCEPÇÕES DE ALUNOS DE PEDAGOGIA SOBRE OS CONCEITOS DE COMPRIMENTO E PERÍMETRO. Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado Interinstitucional do Programa de Pós-graduação em Educação da Universidade Federal de Pernambuco, como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Educação.. Orientador: Prof. Dr. Marcelo Câmara dos Santos. RECIFE 2004.

(3)

(4) DEDICATÓRIA. A Jesus Cristo, o maior educador, revolucionário e ideólogo de toda a humanidade.. Aquele que, apesar de ausente e no seu silêncio, de forma muito discreta, quase imperceptível, sofreu, torceu, apoiou, incentivou e acompanhou toda a minha árdua caminhada: “Rodrigo”.. À minha família, em especial a Berta, Lica e Jujuba, razões do meu viver.. In memorian: - de meu paizão do coração, Murilo Thomas Teixeira, pelos momentos em que compartilhamos nossos sonhos, por seu amor, carinho e dedicação à minha família e por sua lição de vida. - de minha madrinha, Marísia Gonçalves de Azevedo, que, apesar de ter nos deixado há 10 anos, sempre esteve presente em minha vida, guiando-me e orientando-me em todos os momentos difíceis..

(5) AGRADECIMENTOS. A Deus Todo Poderoso, por ter me concedido a benção de cursar o Mestrado em Educação, tão importante para a minha vida profissional.. Às minhas queridas filhas, Berta, Marília e Júlia, pela compreensão e colaboração nos dias em que tive que me ausentar de Recife, durante o curso, e, principalmente, por se privarem, muitas vezes, das férias, viagens e passeios.. Aos meus pais, Marinska Gonçalves e Olivardo Gomes, pelo incentivo de cada dia.. Ao grande escritor, poeta e incentivador profissional, Sr. Murilo Thomas Teixeira (in memorian), pelo privilégio de ter lido e escutado suas crônicas e poesias, as quais proporcionaram momentos inesquecíveis de contemplação e reflexão; por sua sabedoria e capacidade intelectual na resolução de problemas diversos e, principalmente, pela atenção dispensada às minhas filhas.. Aos meus cunhados, Edgar e Márcia Teixeira, por suas grandes atitudes em convidarem minha filha caçula para passar os fins de semana em companhia de sua filha Bárbara, concedendo-me, assim, mais tempo para trabalhar na pesquisa..

(6) À minha querida irmã e amiga Solange (Lange), pelas longas conversas agradáveis que tivemos nos momentos de descontração.. Ao amigo Sílvio Santa Cruz (Formiga) e aos cunhados Edgar Malta (Gago) e Dausiley Bartolomeu (Belo), por terem me atendido com presteza, quando solicitados, disponibilizando seus equipamentos (computadores), sobretudo, na fase final da dissertação.. A todos os colegas do curso de mestrado, em particular, a Manoel, pelas longas e proveitosas discussões ocorridas durante as apresentações dos projetos, nas disciplinas de Pesquisa em Didática de Conteúdos Específicos I e em Didática de Conteúdos Específicos II.. Às colegas Ana Elizabete, Ione, Raynete e Edileuza pelas horas de estudos e trocas de informações, em especial, aos amigos Marco Aurélio e José Sobral Cruz pelas socializações, descobertas de conhecimentos nas ricas discussões realizadas nas atividades em grupo, pela prazerosa convivência e, sobretudo, pela amizade que foi construída.. À amiga Shirley Malta, por ter me escutado e orientado nos momentos difíceis; por seus aconselhamentos profissionais e, sobretudo, pela amizade que vem se consolidando a cada dia.. Aos Profs. Dr. Paulo Figueiredo e Pedro Ribeiro Barbosa, pelas preciosas sugestões na qualificação e pela doação de textos e artigos.. Um agradecimento mais que especial ao meu orientador, Prof. Dr. Marcelo Câmara dos Santos, pela calma, dedicação e competência profissional.

(7) demonstradas nas proveitosas orientações, por todo o apoio e incentivo e pela sua conduta ética durante toda essa caminhada.. Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Educação, que contribuíram significativamente para o meu crescimento profissional e pessoal.. À Profª Drª Paula Moreira Baltar Bellemain, por seu convite para participar do Grupo Pró-Grandezas em Educação (Núcleo de Didática de Conteúdos Específicos – área de Matemática) da UFPE, o que me oportunizou momentos agradáveis de aprendizagem, embora eu tenha participado de poucas reuniões.. À toda a equipe da Secretaria da Pós-Graduação, em especial a Alda Araújo e a Maria das Graças Oliveira, pela atenção dispensada.. Às Professoras Drª Célia Salsa e Drª Rosilda Ferreira, coordenadoras pedagógica da turma do mestrado interinstitucional (convênio UFPE/UPE), por proporcionarem encontros sistemáticos e produtivos, contribuindo para o aperfeiçoamento dos projetos de pesquisa.. À coordenação e aos alunos do Curso de Pedagogia das Faculdades Integradas da Vitória de Santo Antão (FAINTVISA), onde foi realizado o estudo piloto.. Aos professores, funcionários e alunos da Faculdade de Formação de Professores de Nazaré da Mata (FFPNM), em particular à Profª Sandra Montenegro, coordenadora do Curso de Pedagogia, e à Profª Sandra Batista, pela colaboração na coleta de dados..

(8) Às alunas Daniele, Elisângela, Lindaselva, Luciana e Paula, do Curso de Licenciatura em Ciências (Habilitação em Matemática) da FFPNM, pela colaboração na aplicação do conjunto de atividades.. A todos que contribuíram, de forma direta ou indireta, para a concretização deste trabalho..

(9) SUMÁRIO. DEDICATÓRIA AGRADECIMENTOS SUMÁRIO LISTA DE QUADROS RESUMO ABSTRACT INTRODUÇÃO................................................................................................ 15. CAPÍTULO 1. 19. – PROBLEMÁTICA E QUADRO TEÓRICO....................... 1.1 – Considerações iniciais............................................ 20. 1.2 – Considerações sobre a noção de concepção........ 29. 1.3 – Noção de concepção na abordagem epistemológica e didática...................................... 1.4 – Concepção no Ensino e na Aprendizagem de Matemática............................................................ 1.5 – Noções de Grandezas Geométricas...................... CAPÍTULO 2. 30 33 54. 1.6 – Conceito de Perímetro............................................ 62. 1.7 – Noções de Figura e Desenho................................. 72. 1.8 – Os objetivos da pesquisa....................................... 75. 1.8.1 – Objetivo Geral.......................................... 75. 1.8.2 – Objetivos específicos............................... 75. – PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS.......................... 76. 2.1 – Preliminares............................................................ 77. 2.2 – Considerações sobre o Curso de Pedagogia da FFPNM................................................................... 2.3 – Método..................................................................... 80 83. 2.4 – Caracterização dos sujeitos.................................... 84. 2.5 – Materiais usados pelos alunos................................ 85. 2.6 – Realização do experimento..................................... 85. 2.7 – Aspectos gerais das atividades............................... 86.

(10) CAPÍTULO 3. – APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DAS ATIVIDADES.......... 90. 3.1 – Primeira Atividade................................................... 91. 3.1.1 – Apresentação............................................ 91. 3.1.2 – Análise preliminar...................................... 92. 3.1.3 – Análise a posteriori.................................... 95. 3.2 – Segunda Atividade.................................................. 101. 3.2.1 – Apresentação............................................ 101. 3.2.2 – Análise preliminar...................................... 102. 3.2.3 – Análise a posteriori.................................... 104. 3.3 – Terceira Atividade.................................................... 114. 3.3.1 – Apresentação............................................ 114. 3.3.2 – Análise preliminar...................................... 115. 3.3.3 – Análise a posteriori.................................... 117. 3.4 – Quarta Atividade...................................................... 123. 3.4.1 – Apresentação............................................ 123. 3.4.2 – Análise preliminar...................................... 124. 3.4.3 – Análise a posteriori.................................... 125. 3.5 – Quinta Atividade...................................................... 133. 3.5.1 – Apresentação............................................ 133. 3.5.2 – Análise preliminar...................................... 134. 3.5.3 – Análise a posteriori.................................... 138. 3.6 – Sexta Atividade....................................................... 146. 3.6.1 – Apresentação............................................ 146. 3.6.2 – Análise preliminar...................................... 147. 3.6.3 – Análise a posteriori.................................... 149. 3.7 – Sétima Atividade...................................................... 155. 3.7.1 – Apresentação............................................ 155. 3.7.2 – Análise preliminar...................................... 156. 3.7.3 – Análise a posteriori.................................... 157. CONSIDERAÇÕES FINAIS............................................................................ 163. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................... 169. ANEXOS.......................................................................................................... 173.

(11) LISTA DE QUADROS. QUADRO 1. – Estratégias utilizadas pelos alunos na Atividade 1.......... 96. QUADRO 1A. – Instrumentos utilizados pelos alunos na Atividade 1....... 100. QUADRO 2. – Estratégias utilizadas pelos alunos na Atividade 2.......... 105. QUADRO 2A. – Instrumentos utilizados pelos alunos na Atividade 2....... 110. QUADRO 2B. – Figuras desenhadas pelos alunos na Atividade 2............ 112. QUADRO 3. – Estratégias utilizadas pelos alunos na Atividade 3.......... 118. QUADRO 3A. – Instrumentos utilizados pelos alunos na Atividade 3....... 120. QUADRO 3B. – Figuras desenhadas pelos alunos na Atividade 3............ 121. QUADRO 4. – Estratégias utilizadas pelos alunos na Atividade 4.......... 127. QUADRO 4A. – Instrumentos utilizados pelos alunos na Atividade 4....... 132. QUADRO 5. – Estratégias utilizadas pelos alunos na Atividade 5.......... 139. QUADRO 5 A – Instrumentos utilizados pelos alunos na Atividade 5....... 144. QUADRO 6. – Estratégias utilizadas pelos alunos na Atividade 6.......... 150. QUADRO 6 A – Instrumentos utilizados pelos alunos na Atividade 6....... 154. QUADRO 7. – Estratégias utilizadas pelos alunos na Atividade 7.......... 158. QUADRO 7 A – Instrumentos utilizados pelos alunos na Atividade 7....... 161.

(12) RESUMO. Esta pesquisa faz parte de um conjunto de trabalhos desenvolvidos pelo Grupo Pró-Grandezas, do Programa de Pós-Graduação em Educação da UFPE, e tem como objetivo geral investigar as concepções de alunos de pedagogia sobre os conceitos comprimento e perímetro. O suporte teórico de nossa investigação tem raízes nas pesquisas de Règine Douady & Marie-Jeanne Perrin-Glorian (1989), que diferenciam, no estudo do conceito de área, três quadros, a saber: o geométrico, constituído pelas superfícies planas e seus contornos; o das grandezas, constituído por classes de equivalência de superfícies de mesma medida; e, por último, o numérico, constituído pelas medidas das superfícies – expressas por meio de números reais positivos. A parte experimental deste trabalho iniciou pela elaboração e realização da análise preliminar de um conjunto de 7 (sete) atividades de comparação e produção, que foram resolvidas por alunos de 2º e 8º períodos do curso de Pedagogia, da Faculdade de Formação de Professores de Nazaré da Mata, sendo realizadas no ambiente papel e lápis. Os resultados da pesquisa revelaram que os alunos, dependendo da atividade, apresentavam concepções diferenciadas, ora situadas no quadro das grandezas, ora situadas no quadro geométrico, sendo esta última marcante nas atividades que envolviam figuras fechadas. Foi observado, ainda, que a inclusão do termo ‘perímetro’, a partir da 5ª atividade, causou uma certa desestabilização em alguns alunos, uma vez que eles vinham apresentando uma determinada estratégia – a de fazer a comparação pelos comprimentos das.

(13) figuras –, sendo imediatamente modificada na presença do conceito perímetro, ou seja, eles passaram a comparar as figuras pela forma e não mais por seus comprimentos. A análise das atividades constituiu-se na parte final da pesquisa, que levou a conclusões e propostas de novas investigações visando a um aprofundamento nas questões referentes às concepções de alunos sobre os conceitos de comprimento e perímetro.. Palavras-chaves: Concepções; Comprimento; Perímetro.

(14) ABSTRACT. This work is part of a set of studies undertaken by the Pró-Grandezas Group at the Post-Graduate Programme at the Department of Education at UFPE, State of Pernambuco’s Federal University, NE Brazil, and, in general terms, aims to investigate the conceptions Pedagogy students have on the concepts of length and perimeter. Theoretical support for this investigation is rooted in the research carried out by Régine Douady & Marie-Jeanne Perrin-Glorian (1989), who differentiated, in their studying of the concepts in this area, three scenarios: the geometrical one made by flat surfaces and their contours; the sizes scenario, made by the classes of equivalence for surfaces that have the same measurements and, lastly, the numerical scenario, made by the measures of surfaces which are expressed by real and positive numbers. The experimental part of this work started with the elaboration and undertaking of a preliminary analysis of a set of 7 comparison and production activities that were carried out by 1st and 4th-year students from the course of Pedagogy at the Teacher’s Formation College in Nazaré da Mata, state of Pernambuco, NE Brazil; these tasks were carried out with pencil and paper. The results from the study showed that students, depending on the activity at hand, displayed different concepts, at times focusing on the size scenario, at other times basing themselves on the geometrical scenario, the latter one remarkable in the activities that involved closed objects. It was also possible to observe that the inclusion of the word perimeter from the 5th activity onwards caused a certain loss of stability on some.

(15) students, since they had been presenting a particular strategy of making comparisons using the lengths of the objects, something that was immediately changed in the presence of the perimeter concept, that is, students started to compare objects by their shape and not by their lengths anymore. Studying the activities made for the final stage of the research which led to conclusions and proposals for new investigations to further the issues linked to the conceptions students have on the concepts of length and perimeter.. Key words: Concepts, Length, Perimeter..

(16) INTRODUÇÃO. Como professora de Desenho Geométrico e Geometria no ensino superior, lecionando em faculdades de formação de professores pública e particular, desde 1987, muitas inquietações surgiram ao longo desse tempo, no dia a dia em sala de aula. A primeira delas diz respeito à formação dos alunos na área de geometria. Verificamos, por exemplo, que grande parte dos alunos, ao ingressarem nos cursos de Licenciatura em Ciências e Matemática, é despreparada e demonstra insegurança nessa disciplina. Acerca desse assunto Passos (2001, p. 1), diz: O trabalho desenvolvido em cursos de formação de educadores para as séries iniciais do Ensino Fundamental (anteriormente, Ensino Primário ou de 1ºGrau) mostrou, ao longo de uma dezena de anos, as dificuldades dos futuros professores em relação à Geometria. Na prática de sala de aula foi possível perceber que esses futuros professores apresentavam um conhecimento restrito ou nulo a respeito do assunto e que provavelmente a Geometria não havia sido focalizada em seus respectivos cursos no Ensino Fundamental, na época, de 1º Grau.. Outro aspecto observado, nesse período, é que os alunos, ao resolverem questões matemáticas e geométricas, apresentavam muitas deficiências em conceitos básicos nessas áreas. Além disso, percebemos um índice crescente de alunos desistentes na disciplina de Geometria, nos primeiros meses de curso, por causa das dificuldades de aprendizagem dos conceitos ensinados..

(17) 16. Para nós não estava claro se esses bloqueios que o aluno apresentava, durante o curso, eram decorrentes da sua precária formação ou dos conteúdos apresentados na seqüência de ensino.. Após participar de vários eventos, tais, como seminários, congressos e encontros estaduais de Educação Matemática, pudemos observar que muitas dessas nossas inquietações eram sentidas, também, por outros professores de Matemática.. Entre as diferentes temáticas abordadas nas pesquisas e nas discussões ocorridas durante os eventos estavam sempre os problemas relacionados às grandezas geométricas. Estas últimas, em muitas propostas curriculares e livros didáticos, fazem parte dos conteúdos de geometria, que, por sua vez, vinha sendo desprezada no ensino escolar. Logo, as grandezas geométricas sofreram o abandono do qual foi alvo esse campo da Matemática.. Em contraposição à situação de ausência do ensino de geometria nas aulas de Matemática, os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCNs – (BRASIL, 1997) apresentaram o estudo das grandezas e medidas como um bloco próprio, ao lado dos números e operações, espaço e forma e tratamento da informação.. A discussão sobre os problemas de ensino-aprendizagem relativos às grandezas geométricas assumiu, assim, uma importância maior na comunidade de Educação Matemática em nosso país. Convém ressaltar que estudos vêm sendo desenvolvidos em outros países, como, por exemplo, os trabalhos de Douady & Perrin-Glorian (1989).. A pesquisa aqui apresentada tem como objeto de estudo as grandezas geométricas, tema que vem sendo investigado, também, pelo grupo Pró-.

(18) 17. Grandezas do Programa de Pós-Graduação em Educação da UFPE, o qual reúne professores e alunos da pós-graduação. O nosso estudo vem, portanto, agregar-se a outras já realizadas pelo grupo e busca identificar as concepções de alunos (futuros professores) do Curso de Pedagogia.. Dentre as pesquisas desenvolvidas pelo grupo, esta apresenta três característica básicas: o enfoque nos conceitos comprimento e perímetro; a identificação de concepções a partir da exploração de situações de comparação e produção; e a verificação da influência dos instrumentos adotados pelos alunos na resolução das atividades.. Além desta introdução – que apresenta o contexto em que a pesquisa está inserida, dando uma visão panorâmica da dissertação – o nosso trabalho é composto por 3 capítulos.. No capítulo 1 mostramos alguns estudos preliminares que compõem a fundamentação teórica e a problemática da pesquisa; tratamos da noção de concepção em três abordagens: na literatura portuguesa, na epistemologia e didática e no ensino e na aprendizagem da Matemática. Além disso, fizemos um comentário relativo ao tratamento dado às grandezas geométricas nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs).. Após discorrermos sobre os elementos teóricos, no capítulo anterior, temos o capítulo 2 que descreve os procedimentos metodológicos da pesquisa: sua concepção, à luz dos elementos teóricos citados anteriormente; escolha dos sujeitos; os instrumentos de pesquisa; as condições de realização do experimento em sala de aula e os aspectos gerais das atividades..

(19) 18. No capítulo 3, apresentamos as atividades propostas, acompanhadas de suas respectivas análises preliminares, bem como analisamos os resultados obtidos em nosso experimento.. Finalmente, concluímos a dissertação fazendo breves considerações finais sobre o que foi possível observar no desenvolvimento da pesquisa, destacando, sobretudo, as concepções dos alunos sobre os conceitos comprimento. e. perímetro.. complementam o trabalho.. As. referências. bibliográficas. e. os. anexos.

(20) CAPÍTULO 1 – PROBLEMÁTICA E QUADRO TEÓRICO.

(21) 20. 1.1 – Considerações Iniciais. Um dos assuntos que vem ganhando destaque nas pesquisas em Didática da Matemática é o estudo das grandezas geométricas que, além de ser relevante para as práticas sociais e para a formação do cidadão, tem fortes conexões com outras áreas do conhecimento matemático. Comprimento juntamente com área, volume e ângulo, constituintes de um campo conceitual mais amplo das grandezas geométricas, representam um campo privilegiado de articulação com a álgebra, a geometria e a aritmética. Sobre essa questão os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) destacam: Há um razoável consenso no sentido de que os currículos de Matemática para o ensino fundamental devem contemplar o estudo dos números e das operações (no campo da Aritmética e da Álgebra), o estudo do espaço e das formas (no campo da Geometria) e o estudo das grandezas e das medidas (que permite interligações entre os campos da Aritmética, da Álgebra e da Geometria) (BRASIL, 1997, p. 53).. Segundo Lima (1995, p. 49), “o ensino das grandezas geométricas faz parte de quase todo currículo escolar nos últimos cem anos”. Contudo, ele afirma que, “sob o ponto de vista da didática desses conceitos, muitos problemas persistem, assegurando atualidade e importância a uma discussão sobre eles”.. Pesquisas desenvolvidas por Lima (1995) e Bellemain & Lima (2002) constatam, nos últimos dez anos, uma certa negligência no estudo das.

(22) 21 grandezas geométricas em nossas escolas. Um das razões que poderia justificar essa ocorrência reside no fato de que o estudo das grandezas geométricas, em muitos livros didáticos e propostas curriculares, faz parte dos conteúdos de geometria. Acerca da inclusão das grandezas geométricas nesse campo, Perrot et al (1998, p. 4) afirma que “dentro do ensino fundamental da Geometria, um assunto particularmente importante é o das grandezas geométricas, e mais especificamente o da medida dos comprimentos de linhas, e das áreas das figuras planas”.. Considerando o estudo das grandezas como parte integrante da geometria, mas que nela não se encerra, observamos que este último campo vinha sendo pouco realçado no ensino escolar, diante da álgebra e da aritmética. Várias pesquisas realizadas por educadores matemáticos, como Perez (1985), Pavanello (1993), Lorenzato (1995), Perrot et al (1998) e Câmara dos Santos (1997), constataram a ausência, ou quase ausência, do ensino da geometria nas séries dos ensinos Fundamental e Médio.. Na literatura encontramos, também, alguns registros que traduzem essa carência no ensino da geometria. Fonseca et al, por exemplo, ao falarem da relevância e do potencial que essa área desempenha no desenvolvimento das crianças, nas séries iniciais, responsabiliza, entre outros aspectos, a formação dos professores:. É freqüente ouvir das professoras das séries iniciais que, por diversos motivos, mas principalmente por não saberem o que (nem como e nem por quê), elas acabam não trabalhando nada de Geometria em suas aulas de Matemática. Mais do que a dificuldade do ensino de Geometria é a omissão desse ensino que flagramos nas experiências que acompanhamos ou nos depoimentos dos professores (FONSECA et al, 2002, p. 14).. E complementa dizendo que:.

(23) 22 As experiências de formação de professores a que nos temos dedicado mostram, todavia, que muitos dos educadores em exercício no primeiro segmento do Ensino Fundamental encontram-se distantes de todas essas considerações quanto à Geometria; parte dessa situação deve-se, sem dúvida, às experiências que viveram em sua própria escolarização. Como mostram muitas pesquisas, a Educação Matemática brasileira, a partir do Movimento da Matemática Moderna, teve como uma de suas marcas um quase total abandono do ensino da Geometria. (FONSECA et al, 2002, p. 118).. Lorenzato (1995, p. 3) apresenta, entre outras causas que justifiquem essa ausência, ou quase ausência, do ensino da Geometria em sala de aula, “que muitos professores não detêm os conhecimentos geométricos necessários para realização de suas práticas pedagógicas”. Uma outra, não menos importante, diz respeito ao currículo dos cursos de formação de professores, tanto os de Licenciaturas em Matemática como nos Cursos de Pedagogia ou, ainda, nos Cursos de Magistério, os quais, segundo ele, não têm preparado, suficientemente os profissionais para atuarem na área. Assim, o ensino da Matemática nas séries iniciais é afetado pela pouca experiência acadêmica desses profissionais.. Além disso, observa-se que a geometria vem sendo trabalhada de modo fragmentado e desarticulada de outros contextos, como observa Câmara dos Santos (1999, p. 2): a geometria somente encontra seu lugar, dentro do ensino da Matemática, na forma de uma espécie de apêndice curricular, apresentado de modo fortemente fragmentado e completamente desvinculado da aritmética e da álgebra e, muitas vezes relegado à condição de último capítulo do livro, aquele que, ô azar, não encontra tempo de ser visto durante o ano escolar.. Apesar de os pesquisadores em Educação Matemática estarem preocupados quanto ao ensino da geometria, especialmente a partir da década de 80, são ainda muito discretas as mudanças ocorridas nesse campo, nas.

(24) 23 séries iniciais. Sobre a trajetória dessas mudanças e do atual quadro do ensino de Matemática, que, em parte, poderia explicar essa carência do ensino de geometria nas séries iniciais, os PCNs fazem o seguinte comentário: tanto as propostas curriculares como os inúmeros trabalhos desenvolvidos por grupos de pesquisa ligados a universidades e outras instituições brasileiras são ainda bastante desconhecidos de parte considerável dos professores que, por sua vez, não têm uma clara visão dos problemas que motivam as reformas. O que se observa é que idéias ricas e inovadoras não chegam a eles, ou são incorporadas superficialmente ou recebem interpretações inadequadas, sem provocar mudanças desejáveis (BRASIL,. 1997, p. 23).. Além dos conteúdos indicados para cada segmento da formação escolar, os PCNs apresentam, também, fundamentos norteadores e idéias básicas para o ensino da Matemática. Sabemos, no entanto, que esses fundamentos aparecem, muitas vezes, distorcidos e equivocados em diferentes propostas. Sobre esta problemática os Parâmetros Curriculares Nacionais comentam que: Parte dos problemas referentes ao ensino de Matemática está relacionado ao processo de formação do magistério, tanto em relação à formação inicial como à formação continuada. Decorrentes dos problemas da formação de professores, as práticas na sala de aula tomam por base livros didáticos, que, infelizmente, são muitas vezes, de qualidade insatisfatória. A implantação de propostas inovadoras, por sua vez, esbarra na falta de uma formação profissional qualificada, na existência de concepções pedagógicas inadequadas e, ainda, nas restrições ligadas às condições de trabalho (BRASIL, 1997, p. 24).. No tocante à formação de professores, Bragagnolo (2001) diz que os profissionais do ensino fundamental, sobretudo os que atuam no 1º ciclo, não apresentam clareza dos fundamentos da matemática, e o conhecimento que eles possuem acerca do conteúdo matemático das séries iniciais é bastante restrito. E comenta que:.

(25) 24 Toda esta problemática nos levou a refletir e nos remeteu para a realização da nossa pesquisa na formação inicial dos professores, pois as instituições formadoras de Magistério Ensino Médio e Pedagogia Séries Iniciais, segundo nosso conhecimento, trabalham de forma reduzida o conhecimento matemático referente às séries iniciais, com os futuros professores. A estrutura curricular destes cursos tem oferecido aos alunos uma ou no máximo duas disciplinas sobre o conhecimento matemático. Isso tem gerado uma lacuna na formação destes professores (BRAGAGNOLO, in: ENEM,. 2001, p. 2).. É consensual a idéia de que a qualidade da formação do professor é fundamental para o exercício da docência. Porém, outros fatores estão imbricados nesse exercício e devem ser levados em consideração. Acreditamos, no entanto, que o direcionamento dado, pelos professores, em suas ações pedagógicas parte, em geral, das concepções que estes mesmos professores têm sobre determinados conceitos. Acerca deste assunto, Passos (1998, p. 370) comenta:. Vale dizer que o interesse, o entusiasmo pela disciplina que leciona e a crença no seu potencial docente no processo de formação e veiculação de valores e conceitos propiciam a manifestação da competência do professor que envolve os domínios de conteúdo, de metodologia e das relações humanas.. Diante do quadro insatisfatório anteriormente referido, vale salientar que, nos últimos anos, já verificamos alguns avanços no processo de ensino das grandezas geométricas. No âmbito das diretrizes curriculares atuais observa-se o reconhecimento da importância desse tema para o ensino. Por exemplo, nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental (PCNs) os conteúdos são organizados em quatro grandes blocos: Números e operações; Espaço e forma; Grandezas e medidas e Tratamento da informação. Sobre o bloco das grandezas e medidas, Bellemain & Lima (2002, p. 73-74) fazem alguns comentários:.

(26) 25 Os Parâmetros Curriculares Nacionais fazem críticas pertinentes e propõem avanços com relação ao ensino habitual das grandezas e medidas. Observa-se uma preocupação nítida na construção do significado das noções deste domínio de conhecimentos. O papel das grandezas e medidas no Ensino Fundamental é valorizado como meio de colocar em prática alguns dos princípios norteadores da proposta curricular, como por exemplo: articular os conhecimentos escolares com a vivência do aluno fora da escola; estabelecer conexões entre os conteúdos matemáticos e da Matemática com outras áreas disciplinares; recuperar a Matemática como ciência historicamente construída e recebendo as influências das culturas no seio das quais vai sendo elaborada.. Verificamos, ainda, outros avanços no tratamento dado aos conteúdos, nas mudanças nos livros didáticos atuais, cuja evolução é percebida na maneira de abordar a geometria e as grandezas. Os trabalhos realizados por Barbosa (2002) e Duarte (2002), por exemplo, mostram que esses assuntos, em algumas coleções, já não são mais tratados no final dos livros. Além disso, observa-se uma certa preocupação em explorar situações contextualizadas, relacionadas ao cotidiano, ainda que de modo acanhado (BARBOSA, 2002).. Outro aspecto a ser considerado nos resultados dessas pesquisas é o fato de que os livros didáticos atuais, geralmente, abordam os conceitos comprimento e área ora numa perspectiva próxima do quadro geométrico, na qual se destacam os conceitos de contorno e superfície, ora com uma idéia mais próxima ao quadro numérico, enfatizando a medida. Desse modo, verifica-se nos livros didáticos uma certa ausência de situações de comparação – sem a ação do medir – que permitam que os alunos construam esses conceitos como grandezas.. Uma das hipóteses feitas por Douady & Perrin-Glorian (1989) é a da necessidade de que, no processo de ensino-aprendizagem, o conceito de área seja trabalhado como uma grandeza autônoma, distinguindo-a da medida de área, contrapondo-se ao processo habitual em que se coloca num só quadro a.

(27) 26 grandeza e a medida da grandeza. De acordo com essas pesquisadoras, o amálgama precoce entre grandeza e número gera obstáculos didáticos na aprendizagem do conceito de área e na dissociação entre área e perímetro. Desse modo, a área da superfície plana como um objeto matemático aparece distinta da superfície plana, uma vez que superfícies diferentes podem ter a mesma área. Da mesma forma se distingue do número que está associado a essa superfície quando se adota uma superfície unitária para medi-la, pois, modificar a superfície unitária altera a medida da área, mas, não a área da superfície.. No que se referem às dificuldades conceituais de aprendizagem no processo de construção das grandezas geométricas, Perrot et al (1998) e Câmara dos Santos (1999) observam que o aluno faz confusão entre os conceitos perímetro e área, superfície e contorno e, também, entre grandeza e medida da grandeza. Concebem, erroneamente, que somente os segmentos de reta têm um comprimento ou apenas os polígonos ‘particulares’, com nomes próprios, possuem perímetro e área.. Podemos acrescentar, também, a confusão que o aluno faz entre contorno e perímetro, constatada no estudo de Barbosa (2002).. Pesquisa realizada na França por Moreira Baltar (1996), citada em Bellemain & Lima (2002), revela, a partir de uma análise de avaliações de desempenho de alunos franceses e de resultados de pesquisas em Educação Matemática, no nível equivalente aos 2º e 3º ciclos do Ensino Fundamental brasileiro, que as questões sobre o conceito de área e perímetro têm, em geral, aproveitamento inferior a 50%. A pesquisadora aponta, também, segundo a avaliação da Associação dos Professores de Matemática do Ensino Público (APMEP), que os maiores índices de fracasso no currículo francês atual estão.

(28) 27 relacionados à aprendizagem das grandezas geométricas, ao cálculo sobre grandezas (áreas e volumes, entre outras) e à utilização das unidades. É verificado, ainda, que dentre os erros cometidos com mais freqüência encontram-se a confusão entre área e perímetro, a utilização de fórmulas errôneas e o uso inadequado de unidades.. Outros trabalhos acerca das questões didáticas – não devidamente esclarecidas nos PCNs na abordagem das grandezas geométricas – vêm sendo desenvolvidos. Todavia, investigar concepções de sujeitos que lidam com educação, particularmente com o ensino, é tão relevante quanto investigar o próprio processo de ensino e aprendizagem dos alunos – em suas diferentes abordagens –, no contexto escolar. Nesse cenário é que se insere o presente estudo, voltado para as concepções de alunos (futuros professores), em particular, os das séries iniciais do Ensino Fundamental. Nesta pesquisa serão abordados os conceitos de comprimento e perímetro.. Esta investigação apóia-se em pesquisas anteriores da Educação Matemática, destacando-se aquelas que investigam os conceitos comprimento, perímetro e área. Recorremos, ainda, a estudos da vertente francesa da Didática da Matemática, particularmente, nos trabalhos de Douady & Perrin-Glorian (1989), que estão relacionados com as grandezas geométricas.. Além desses estudos, contamos, também, com os trabalhos que se baseiam no quadro teórico proposto pelas pesquisadoras supracitadas, tais, como, Lima (1995), Moreira Baltar (1996), Perrot et al (1998), Câmara dos Santos (1999), Bellemain & Lima (2002), Barbosa (2002), entre outros.. O suporte teórico de nossa investigação, portanto, tem raízes nas pesquisas de Douady & Perrin-Glorian (1989), que distinguem, no estudo do.

(29) 28 conceito de área, três quadros: o geométrico, constituído pelas superfícies planas; o das grandezas, constituído por classes de equivalência de superfícies de mesma medida; o numérico, constituído pelas medidas das superfícies – expressas por meio de números reais positivos.. Na nossa base teórica, consideramos, ainda, a noção de concepção apontada por Balacheff (1995), sobre o qual nos deteremos posteriormente. Para ele, o aluno revela seu conhecimento sobre um determinado objeto matemático – posto em situações variadas – a partir da mobilização de suas diferentes concepções frente a essas situações. Há, portanto, uma interdependência entre situação-problema e concepção. Assim, o aluno, ao se deparar com problemas diferentes, relativos a um determinado conceito, poderá mobilizar e apresentar concepções distintas.. Diferentemente da pesquisa de Barbosa (2002), que investigou, com alunos da 4ª série do 2º ciclo do Ensino Fundamental, as questões didáticas relacionadas à dissociação contorno/perímetro, comparação de figuras segundo seus comprimentos e perímetros, sem o uso de medidas, aqui, nós buscamos identificar, entre os alunos do Curso de Pedagogia, do Ensino Superior da rede estadual de ensino (os sujeitos da nossa pesquisa) quais são as suas concepções à luz da teoria sobre os referidos conceitos.. No próximo tópico será abordado, então, a noção de concepção, em três abordagens: na literatura, na epistemologia e didática e no ensino e na aprendizagem da matemática..

(30) 29 1.2 – Considerações sobre a Noção de Concepção.. Para esclarecer o escopo desta investigação convém, de início, explicitar a noção de concepção. Apresentaremos, primeiramente, as noções trazidas em dicionários da língua portuguesa, com o objetivo de verificar as definições que são mais aceitas e difundidas nessas fontes e que, certamente, contribuem para o que, comumente, chamamos de ‘concepção’.. Tomaremos como base três dicionários renomados na língua portuguesa: o Dicionário de Michaelis (1998), o Novo Aurélio Século XXI (1999) e o Dicionário Houaiss (2001). Procuraremos transcrever as acepções neles apresentadas, fazendo breves comentários com aquelas que estão relacionadas às grandezas.. Segundo o Dicionário Michaelis (1998), a palavra concepção vem do Latim conceptione, que significa “ato de conceber ou ser concebido; geração” ou, ainda, “faculdade de compreender as coisas; percepção; fantasia, imaginação; imagem de uma coisa na mente”. Observamos que são apresentados significados diferentes, ora no sentido de dar a existência, de produzir ou mesmo de inventar, ora como idéia ou representação mental de algo, ora no sentido de perceber e entender as coisas. Colocada no contexto de nossa pesquisa, a palavra concepção é apresentada sob a seguinte asserção: “faculdade de compreender as coisas”.. O termo concepção trazido no dicionário Aurélio (1999) não difere muito dos demais, entretanto, acrescenta que “é o ato de conceber ou criar mentalmente, de formar idéias, especialmente abstrações”, ou “maneira de conceber ou formular uma idéia original, um projeto, um plano, para posterior realização”, também diz: “noção, idéia, conceito, compreensão” e, ainda, “modo.

(31) 30 de ver, ponto de vista, opinião, conceito”. Observamos que o autor apresenta outro significado; além de criação, compreensão, menciona, ainda, a representação mental que o indivíduo faz sobre algo para poder intervir em situações posteriores.. Para Houaiss (2001), concepção é, além dos significados já citados anteriormente, “maneira subjetiva de ver e entender o mundo, especialmente as relações humanas e os papéis das pessoas e o seu próprio na sociedade”. Desse modo, o autor acrescenta outro sentido à palavra concepção, o da interpretação que o sujeito faz do mundo, de si próprio e de como ele percebe as relações entre os homens na sociedade. Colocada no contexto do nosso trabalho, a noção que o sujeito possa vir a ter acerca dos conceitos comprimento e perímetro, será, na verdade, manifestações pessoais de compreensão e relações que ele possa estabelecer com o meio em que vive.. Faremos, agora, um levantamento sobre a noção de concepção na visão de alguns teóricos, de modo mais amplo, numa abordagem epistemológica e didática.. 1.3 – Noção de Concepção nas Abordagens Epistemológica e Didática. Prosseguindo o estudo acerca da noção de concepção, Artigue (1990), apud Bellemain & Lima (2002) diz que suas principais funções em termos teóricos da didática são “evidenciar a pluralidade de pontos de vista possíveis sobre um mesmo objeto matemático e negar a ‘ilusão de transparência’ da comunicação didática, defendida pelas teorias empiristas da aprendizagem”. Desse modo, essas funções indicam que distintas concepções “são mais adaptadas e diferentes classes de problemas e que existe necessariamente uma.

(32) 31 diferença entre o saber que o ensino deseja transmitir e os conhecimentos que os alunos constroem efetivamente” (ARTIGUE, in: BELLEMAIN & LIMA, 2002, p. 20).. Resgatar a noção de concepção, segundo Balacheff (1995), é mobilizar ações do sujeito, mediante a realização de uma atividade, o qual, em situações específicas pode agir racional e coerentemente para resolver a questão. No entanto, não há nenhum impedimento de que, em sua totalidade, as concepções do sujeito sobre o objeto em questão sejam reciprocamente contraditórias e, portanto, incoerentes. Sobre isso, Balacheff (1995, in BELLEMAIN & LIMA, 2002, p. 21) assinala que: o conhecimento de um sujeito sobre um objeto matemático diz respeito a suas diferentes concepções, mobilizadas em diferentes momentos, na resolução de diferentes problemas e, não apenas pode, mas é, em geral, globalmente incoerente.. Neste sentido, podemos dizer que um mesmo objeto, a depender das circunstâncias em que ele (o objeto) esteja inserido, pode suscitar no sujeito concepções diferentes.. De acordo com Bellemain & Lima (2002), as abordagens de Artigue e Ballachef tendem a confirmar e aprofundar uma dependência recíproca entre concepção e situação, em que, para Artigue (1990):. a concepção é um objeto local, intimamente associado ao saber em jogo e aos diferentes problemas em cuja resolução ela intervém; ela vai se constituir em um instrumento tanto para análise do saber e a elaboração de situações didáticas, quanto para a análise dos comportamentos do aluno (ARTIGUE, in: BELLEMAIN, 2002, p. 21).. Algumas investigações em Didática da Matemática exemplificam as questões levantadas anteriormente. Podemos citar, por exemplo, a pesquisa.

(33) 32 realizada por Gérard Vergnaud sobre o conceito de volume na qual são evidenciadas duas concepções distintas sobre volume: a grandeza física unidimensional – referente às operações de comparação, estimativas e somas nas situações cotidianas – e a grandeza tridimensional – diz respeito à análise psicogeométrica do espaço e à aplicação dessa análise no campo numérico e dimensional. A articulação e a diferenciação entre essas duas concepções, segundo Bellemain & Lima (2002), são objetivos conceituais básicos da aprendizagem do conceito de volume, na matemática escolar.. Na mesma direção, podemos mencionar, também, as pesquisas de Régine Douady e Marie-Jeanne Perrin-Glorian (1989) sobre o conceito de área de figuras planas. Essas autoras observam que, no ensino elementar, na França, os alunos desenvolvem uma concepção “forma”, ligada ao quadro geométrico, ou uma concepção “número”, ligada ao quadro numérico, ou as duas, mas, de forma independente e desarticulada. Entretanto, os problemas de área requerem, exatamente, uma articulação entre esses quadros.. Dessa maneira, os erros de alunos de terceira e quarta séries (nível equivalente. ao. 2º. ciclo. do. ensino. fundamental. brasileiro) consistem,. principalmente, numa associação da área à superfície, levando-os a concluir erroneamente que se o perímetro de uma superfície aumenta, sua área também, e reciprocamente; se duas superfícies têm o mesmo perímetro, elas têm a mesma área. Nota-se, ainda, nesses alunos, o uso de fórmulas em situações onde elas não são válidas, como, por exemplo, ao considerar a área do paralelogramo como sendo o produto dos comprimentos de seus lados.. Outra abordagem que tem contribuído com o estudo de concepções é a análise histórico-epistemológica. Nessa abordagem, Bellemain & Lima (2002, p. 23) citam Artigue quando afirmam que “a identificação das concepções.

(34) 33 historicamente encontradas pode ajudar a interpretar certas respostas dos alunos e a compreender sua coerência”.. Os autores acrescentam ainda: Segundo Artigue (1990), uma das contribuições da análise epistemológica para os estudos da didática da matemática é a reflexão crítica acerca de certas “representações epistemológicas errôneas que a prática de ensino tende a induzir” (p. 245). Com efeito, o ensino tende a apresentar os conceitos matemáticos como universais, no tempo e no espaço e a cultivar uma “ficção de rigor eterno e perfeito da Matemática” (p. 243). O recurso à análise epistemológica ajuda a invalidar tais concepções, na medida em que recupera a historicidade tanto dos conceitos matemáticos quanto das noções metamatemáticas (como a noção de rigor, por exemplo) (BELLEMAIN & LIMA, 2002, p. 13-14).. 1.4 – Concepção no Ensino e na Aprendizagem de Matemática. Para abordar este tópico citamos Câmara dos Santos (2002), em seu artigo “Algumas Concepções Sobre o Ensino-Apredizagem de Matemática”, no qual são tratados três tipos de concepções: a baldista, a da escadinha e a sócioconstrutivista.. A primeira concepção, denominada pelo autor de baldista, é uma referência à “concepção cabeça vazia”, atribuída por Machado (1996), para quem o conhecimento, durante algum tempo, era concebido como um bem passível de ser acumulado, algo que pudesse preencher um reservatório – como um balde – existente em cada ser humano, quem sabe, inicialmente vazio. Ele comenta, ainda, que o prestígio atribuído a esse tipo de idéia do conhecimento está cada vez menor, muito embora as pessoas “utilizem reiteradamente expressões como apropriação do saber ou aquisição do conhecimento,.

(35) 34 indiciárias da idéia de conhecimento como um bem que se adquire ou de que se toma posse” (MACHADO, 1996, p. 30).. Nesse modelo, parte-se, então, da concepção de que o conhecimento é algo que não pode ser construído pelo aluno, cabendo à sua atividade mental apenas a função de armazenar/acumular as informações transmitidas pelo professor. Ou seja, quanto mais informações o aluno puder memorizar mais ele terá aprendido. Neste sentido, a cabeça do aluno funciona como se fosse um recipiente vazio, que precisa ser preenchido.. No campo da Matemática, Câmara dos Santos (2002, p. 11) diz que:. (...) no momento de entrar em contato com um novo objeto de conhecimento matemático, a cabeça do aluno se apresenta como um balde vazio, ou seja, ele não sabe nada sobre esse novo objeto de conhecimento, e que esse conhecimento será despejado em sua cabeça, da mesma forma como enchemos um balde.. Essa concepção de conhecimento também é apontada por Mizukami (1986) na ‘abordagem tradicional’. Segundo a autora, “parte-se do pressuposto de que a inteligência, ou qualquer outro nome dado à atividade mental, seja uma faculdade capaz de acumular/armazenar informações” (MIZUKAMI, 1986, p.10).. Caracterizado o ensino pela transmissão do conhecimento e raciocínios elaborados, a metodologia se baseia mais freqüentemente pela aula expositiva e pelas demonstrações do professor à classe, sendo esta considerada quase como um auditório.. A função do professor, nesse modelo, passa a ser a de transmissor dos conhecimentos, a partir de definições e aplicações de exemplos e exercícios de fixação, com o objetivo de preencher o balde. Ao aluno, que está ‘adquirindo’ conhecimento, compete memorizar definições, sínteses, resumos, enunciados.

(36) 35 de leis que lhes são fornecidos. Na matemática, por exemplo, o professor, ao antecipar a definição de conceitos matemáticos, impede que o aluno, por si próprio, construa o conhecimento. Nesse contexto, Câmara dos Santos (2002, p. 12) faz o seguinte questionamento: “na aprendizagem de matemática, que interesse tem um aluno em descobrir o processo de construção de um certo conhecimento matemático se o professor parte da definição do conceito?”.. Observamos que o papel do professor, na concepção baldista, não difere muito da abordagem tradicional apontada por Mizukami (1986, p. 15), quando ela diz que “o professor já traz o conteúdo pronto e o aluno se limita, passivamente, a escutá-lo”, ou ainda, “o professor é o agente, o aluno é o ouvinte” (1986, p. 16).. Nessa mesma linha de pensamento, Saviani (1980, p. 29) diz que:. (...) o papel do professor se caracteriza pela garantia de que o conhecimento seja conseguido e isto independentemente do interesse e vontade do aluno, o qual, por si só, talvez, nem pudesse manifestá-lo espontaneamente e, sem o qual, suas oportunidades de participação social estariam reduzidas.. Observamos que a relação professor – aluno é exercida verticalmente, sendo que um dos pares (professor) detém o conhecimento e tem poder decisório quanto à avaliação, metodologia, conteúdo, etc. Assim, num tipo mais extremado, as relações sociais são suprimidas e a classe permanece intelectual e afetivamente sob o domínio do professor.. Uma vez que a aprendizagem consiste em adquirir informações e transmitir demonstrações, uma das decorrências da concepção baldista, apontada por Câmara dos Santos (2002), ou mesmo da abordagem tradicional, mencionada por Mizukami (1986), é a que propicia nos alunos a formação de reações estereotipadas, de automatismos, geralmente isolados uns dos outros e.

(37) 36 empregadas, na maioria das vezes, somente em situações análogas àquelas em que foram adquiridas.. A aprendizagem, nesse tipo de concepção, segundo Câmara dos Santos (2002, p. 12), está diretamente relacionada com a comunicação, pois ela: (...) se dá pela palavra do professor, e os erros devem ser evitados a todo custo pelo professor. Se eles aparecem, eles serão, em geral, por falta do aluno, que não prestou a devida atenção ao que o professor falou. Em alguns casos, a culpa será atribuída ao professor, na medida em que ele não ”explicou direito” ou “deu muito rápido o assunto”.. Desse modo, se os erros aparecem ou é porque o professor não comunicou bem o conteúdo ou porque o aluno não estava atento às aulas. Assim, quanto menor for o erro do aluno tanto maior será a sua aprendizagem. A avaliação torna-se, portanto, “uma tarefa relativamente simples, podendo efetivamente ser associada a uma operação de medição“ (MACHADO, 1996, p. 265).. Analogamente, na abordagem tradicional Mizukami (1986, p. 17) diz que: A avaliação é realizada predominantemente visando a exatidão da reprodução do conteúdo comunicado em sala de aula. Medese, portanto, pela quantidade de informações que se consegue reproduzir. Daí a consideração de provas, exames, chamadas orais, exercícios, etc., que evidenciem a exatidão da reprodução da informação.. Contudo, não há garantia de que, nesse processo de comunicação, o conhecimento ‘recebido’ pelo aluno seja o mesmo ‘transmitido’ pelo professor. O esquema abaixo, apresentado por Câmara dos Santos (2002) simplifica a idéia da concepção baldista..

(38) 37. Emissor (professor). Mensagem (conhecimento). Codificação (lingüística) Canal de comunicação. Receptor (Aluno). Mensagem (conhecimento). Decodificação (lingüística). Concordamos com o autor quando ele comenta que o aluno no momento da decodificação da mensagem põe em ação suas próprias representações sobre o conceito abordado, muitas vezes, contrárias ao que foi exibido pelo professor. Desse modo, fica evidente que o aluno não tem a cabeça vazia (CÂMARA DOS SANTOS, 2002).. A comunicação, portanto, tem um lugar proeminente, daí ser um ensino caracterizado pelo verbalismo do professor e pela memorização do aluno.. Em termos gerais, tanto a concepção baldista como a abordagem tradicional são caracterizadas por se preocuparem mais com a variedade e a quantidade de informações, conceitos, noções do que com a formação do pensamento reflexivo.. Ainda nessa concepção, Câmara dos Santos (2002) menciona algumas vantagens, como, por exemplo, ensinar a um grande número de alunos. Além disso, não exige uma preparação prévia das situações de aprendizagem, dado que o único instrumento de mediação é a palavra do professor.. Enfim, a concepção baldista trazida pelo autor assemelha-se à expressão “papel em branco” ou, ainda, “tábua rasa”, adotada por John Locke, em referência à mente do homem ao nascer. Como a própria Mizukami (1986, p. 9).

(39) 38 diz, ao se referir à posição do homem na abordagem tradicional: “O homem, no início de sua vida, é considerado uma espécie de tábua rasa, na qual são impressas, progressivamente, imagens e informações fornecidas pelo ambiente”.. A segunda concepção apontada por Câmara dos Santos (2002, p. 12) é denominada de “concepção da escadinha”, a qual está alicerçada na linha behaviorista de Skinner, cuja idéia principal consiste na possibilidade de “modificar o comportamento de um indivíduo a partir de situações de estímulo e reforço de uma resposta positiva”.. Fundamentado em uma filosofia comportamentalista, o behaviorismo tem por fim um estudo científico, puramente objetivo do comportamento humano. No que se refere ao processo de ensino-aprendizagem, o foco da atenção se volta à pesquisa de estímulo e dos comportamentos observáveis resultantes. Esse tipo de abordagem privilegia o processo mecanicista (exercícios de fixação através da repetição, ensino programado, imitação) sem, no entanto, levar em conta a atividade conjunta, os conhecimentos prévios dos alunos, nem tampouco contempla como fator influenciador da aprendizagem o contexto em que o aluno está inserido.. Segundo Mizukami (1986, p. 20 - 21), o ensino, nessa concepção, é composto por padrões de comportamento, segundo objetivos pré-fixados. Os objetivos de treinamento são as categorias de comportamento ou habilidades a serem desenvolvidas. Habilidades são compreendidas como respostas emitidas, caracterizadas por formas e seqüências especificadas.. Para Skinner, é possível programar o ensino de qualquer disciplina ou de qualquer comportamento, desde que se possa definir, antecipadamente, o conjunto final desejado (MIZUKAMI, 1986). Logo, a organização dos elementos.

(40) 39 para as experiências curriculares, que irão conduzir os alunos por caminhos adequados para que eles cheguem ao comportamento esperado, ou seja, para que atinjam o objetivo final, constitui-se como proposta de aprendizagem nessa concepção. Enfim, o aprendizado será assegurado pela sua programação.. Ainda na abordagem comportamentalista, a autora cita Rocha (1980) ao definir a aprendizagem como “uma mudança relativamente permanente em uma tendência comportamental e/ou na vida mental do indivíduo, resultantes de uma prática reforçada” (MIZUKAMI, 1986, p. 30).. Segundo tal concepção, ensinar consiste, então, numa distribuição ordenada e planejada de práticas de reforço, sob as quais os alunos aprendem, e é de responsabilidade do professor assegurar a aquisição do conhecimento.. Como diz Mizukami: Os passos de ensino, assim como os objetivos intermediários e finais, serão decididos com bases em critérios que fixam os comportamentos de entrada e aqueles os quais o aluno deverá exibir ao longo do processo de ensino. A função básica do professor consistiria em arranjar as contingências de reforço de modo a possibilitar ou aumentar a probabilidade de ocorrência de uma resposta a ser aprendida. Deverá, portanto, dispor e planejar melhor as contingências desses reforços em relação às respostas desejadas (1986, p. 32).. Notamos, portanto, nesse tipo de abordagem, que os elementos mínimos considerados para a consecução de um modelo instrucional são: o aluno, um objetivo de aprendizagem e um plano para alcançar o objetivo proposto.. Analogamente, na concepção escadinha, Câmara dos Santos (2002) comenta que o professor que se apóia nesse tipo de concepção direciona suas ações pedagógicas levando em conta três aspectos. O primeiro diz respeito à definição dos objetivos a serem alcançados pelos alunos num determinado.

(41) 40 tempo; o segundo trata da elaboração de situações que levem os alunos a manifestarem um comportamento diferenciado do inicial e de forma positiva. Assim, os objetivos alcançados pelos alunos terão o reconhecimento do professor, que virá na forma de aprovação; e o terceiro e último, com o propósito de reforçar o novo comportamento, o professor apresenta uma série de atividades.. Sobre esse tipo de ensino o autor afirma: Esse modelo é o mais representativo da pedagogia por objetivos e da instrução programada, bastante difundida nos anos oitenta, no Brasil; encontramos ainda essa concepção em grande parte dos softwares educativos encontrados atualmente, e na maioria das atividades conhecidas por introdutórias de nossos livros didáticos (CÂMARA DOS SANTOS, 2002, p. 13).. Para Mizukami (1986, p. 34), esse tipo de ensino – Instrução Programada – “consiste num corpo de conceitos que sintetizam as idéias básicas sobre a apresentação de estímulos para a aprendizagem, condensando o planejamento, a implementação e avaliação do ensino”. Oliveira (1973), apud Mizukami (1986, p. 34) define esse tipo de instrução como “um esquema para fazer efetivo uso de reforços, modelagem e manutenção de comportamento, de maneira a maximizar os efeitos de reforço”.. Esse tipo de instrução considera, como princípio, que a divisão, em pequenos passos, da matéria a ser aprendida pelos alunos favoreça a aprendizagem, a fim de ser possível reforçar todas as respostas e comportamentos operantes exibidos por eles. Fica evidente, nesse tipo de ensino, que o que não é programado não é desejável. Dessa forma, a concepção que se tem da aprendizagem segue um processo de “linha-demontagem”, um conjunto linearmente ordenado, em que a uniformidade dos.

(42) 41 resultados expressa pelos alunos, depende da eficiência com que se desenvolveu o ensino-aprendizagem.. A representação do conhecimento como um conjunto linearmente ordenado, ou, ainda, como idéia de ‘cadeia’, atribuída por Machado (1996), tornou-se dominante a partir de Descartes, como o próprio autor diz: Nas cadeias cartesianas, os elos deveriam ser construídos linearmente e paulatinamente, ordenados por uma bem definida hierarquia que conduziria do mais simples ao mais complexos, não se hesitando em delimitar com nitidez critérios de simplicidade/complexidade (MACHADO, 1996, p. 30).. Ele comenta, também, que ainda hoje é possível reconhecer a hegemonia desse tipo de concepção que é “responsável por grande parte dos argumentos que suportam as retenções nos degraus das seriações escolares, como, por exemplo, a idéia de pré-requisito” (MACHADO, 1996, p, 30). Para o autor, esse tipo de organização linear encontra-se amplamente presente nas disciplinas escolares, sobretudo na Matemática. Segundo ele, essa organização acontece com maior intensidade nessa área: … talvez em conseqüência de uma associação direta entre a linearidade e o formalismo, entendido como organização de conteúdos curriculares sob forma explícita ou disfarçada de teorias formais, parece certo e indiscutível que existe uma ordem necessária para a apresentação dos assuntos, sendo a ruptura da cadeia fatal para a aprendizagem (MACHADO, 1996, p.188).. Uma das características da concepção escadinha, assim como na abordagem comportamentalista, é a individualização do ensino, visto que o pressuposto básico é de que cada aluno progrida com seu próprio ritmo, em pequenos passos, sem cometer erros..

(43) 42 A aparição do erro, na concepção escadinha, segundo Câmara dos Santos, (2002) pode trazer conseqüências irremediáveis no processo de ensinoaprendizagem e, por isso mesmo, ele deve ser evitado. No entanto, se o erro insiste em aparecer não será devido à concepção dos alunos, mas, aos estágios previamente propostos, que se encontram em níveis elevados. Além disso, o autor comenta que: “a obrigação que o aluno aprenda por si mesmo, mas sem cometer erros apareçam no cenário didático, acaba por induzir uma forte diretividade do professor, por trás das atividades propostas aos alunos” (CÂMARA DOS SANTOS, 2002, p. 13).. Algumas limitações no processo de aprendizagem são apontadas pelo autor nessa concepção de ensino. Inicialmente, pela própria condução do ensino que não permite ao aluno uma visão global do conhecimento devido aos estágios a que são submetidos na aprendizagem, a ponto de impossibilitar que esse mesmo aluno dê sentido ao que está realizando. O próprio autor diz que: “(...) a fragmentação da aprendizagem, em pequenas etapas intermediárias muitas vezes impede que o aluno se aproprie do significado do que ele está fazendo” (CÂMARA DOS SANTOS, 2002, p. 13).. Outra limitação diz respeito a essa fragmentação, pois ela pode “impedir o aluno de transferir para outras situações a aprendizagem em questão” (CÂMARA DOS SANTOS, 2002, p. 13).. O autor menciona, ainda, que os erros e obstáculos dos alunos nesse tipo de. ensino–aprendizagem ficam camuflados, não apenas pela didática. executada, mas, e principalmente, pelo sentimento de angústia dos alunos quando têm que caminhar sozinhos..

(44) 43 Por fim, e devido à própria fragmentação da aprendizagem, nada pode garantir que os alunos tenham alcançado o objetivo principal da aprendizagem, embora tenham atingido outros objetivos intermediários, típicos do processo. O próprio Câmara do Santos (2002, p. 13) diz que: (...) o problema da fragmentação da aprendizagem em uma multitude de sub-objetivos; o fato do aluno ter atingido uma parte (ou mesmo todos) dos objetivos intermediários, não garante absolutamente que ele tenha atingido o objetivo principal.. O fato de uma pessoa conhecer as letras do alfabeto não garante que ela saiba ler ou escrever, ou, ainda, o fato de uma pessoa saber ler e escrever em inglês não significa que ela saiba se falar nesse idioma.. Na concepção escadinha, tal como na concepção baldista, há uma ênfase no produto obtido, na transmissão do conhecimento, no diretivismo, por parte do professor, sobre o que será aprendido e transmitido às novas gerações. Essa concepção se baseia, no entanto, não numa prática cristalizada, mas em resultados experimentais de planejamento de contingências de reforço.. Nesse tipo de concepção, uma das vantagens apontadas por Câmara dos Santos (2002) é que aqui o aluno assume papel fundamental, pois ele é o centro da aprendizagem, e cabe ao professor a função de auxiliá-lo em sua ação, contrapondo-se, assim, ao modelo baldista, citado no início deste tópico, no qual o protagonista do processo é o professor.. Outro benefício desse modelo, apontado pelo autor, é que o professor constrói antecipadamente situações didáticas seqüenciadas que lhe favorecem na organização do processo de avaliação, e como as atividades propostas visam ao sucesso dos alunos, os erros, a priori, passam a não fazer parte do processo e por isso são evitados..