Universidade Federal do ABC Dinâmica não linear e caos
Prof. Rafael Vilela 3o quadrimestre, 2017 Lista 2: Caos em sistemas conservativos
1. Considere a equação do oscilador harmônico amortecido,mx00+γx0+kx= 0, onde γ = 0 se não houver atrito. Denindo y = x0, você pode considerar o problema no espaço de fase xy.
(a) No caso sem atrito, obtenha o mapa de Poincaré correspondente à seção y = αx. Interprete.
(b) Faça o mesmo para o caso com atrito (γ >0).
2. Demonstre que a prova do teorema de Liouville pode ser feita calculando-se a derivada do volume da região arbitrária R num instante de tempo qualquer. Ou seja, mostre que
dΩ dt |t=t
0 = 0 vale para qualquer t0.
3. Mostre que o sistema de Lorenz (σ, ρe β positivos) não preserva volume:
x0 =σ(y−x);
y0 =x(ρ−z)−y;
z0 =xy−βz.
4. Mostre que pontos xos de mapas bidimensionais que preservam área somente podem ser elípticos e hiperbólicos.
5. Determine os pontos xos do mapa padrão para k >0 e os classique como elípticos ou hiperbólicos.
6. Para o mapa padrão comk = 1, calcule o ângulo entre as variedades estável e instável do ponto xo (0,0)na própria origem.
7. Obtenha uma cota superior (nita) para o número de órbitas periódicas de período n para o mapa da ferradura. Dica: use a conjugação topológica com o mapa shift.
8. (a) Mostre que qualquer ponto do conjunto invariante sob o mapa da ferradura exibe dependência sensível às condições iniciais.
(b) Mostre que o mapa da ferradura admite uma órbita densa no conjunto invariante (isto é, que visita vizinhanças arbitrariamente pequenas de qualquer ponto do conjunto invariante).
(c) Explique como uma dinâmica do mapa de ferradura surge em torno do ponto xo (0,0) quando k >0 no mapa padrão.
9. Disserte sobre o teorema KAM.
10. Disserte sobre o teorema de Poincaré-Birkho.
