Cap´ıtulo 4
Diagramas no Espa¸co de Parˆ ametros do Mapa Log´ıstico Perturbado e sua Estabilidade
No cap´ıtulo 3, apresentamos o mapa Log´ıstico Perturbado analisando v´arios de seus fenˆomenos. Atrav´es de diagramas de retorno, estudo da evolu¸c˜ao temporal, diagramas de bifurca¸c˜ao e o c´alculo do coeficiente de Lyapunov, n´os analisamos a dinˆamica do mapa Log´ıstico Perturbado. Vimos o aparecimento de diferentes atratores (que causa a crise de transferˆencia), cruzamento de trajet´orias nos diagramas de bifurca¸c˜ao, crise de fron- teira para diferentes valores dos parˆametros e maneiras de se atingir o caos, diferentes da rota de Feigenbaum. Atrav´es de diagramas de bifurca¸c˜ao, pudemos analisar cada um dos fenˆomenos descritos anteriormente. No entanto, n˜ao foi feita uma an´alise global do compor- tamento da equa¸c˜ao (3.1), para diferentes valores tanto do parˆametro de controlebquanto do parˆametro perturbativo q. Para isso, vamos neste cap´ıtulo apresentar diagramas no espa¸co de parˆametros (b ×q), descrevendo a dinˆamica da equa¸c˜ao (3.1) atrav´es da topologia destes diagramas [10]. Al´em disso, veremos determinadas estruturas presentes nestes diagramas que podem ser obtidas atrav´es da an´alise da estabilidade da equa¸c˜ao (3.1) (o que faremos para o caso particular de t=2 e p=2). A forma dessas estruturas, como veremos adiante, tamb´em est´a condicionada a existˆencia de diferentes atratores no mapa considerado.
4.1 Diagramas no Espa¸co de Parˆ ametros
Os diagramas de espa¸co de parˆametros tˆem sido muito utilizados para descrever processos que envolvem sistemas com mais de um parˆametro, como os apresentados nos trabalhos [31], [29], [30], [39].
Inicialmente, n´os vamos estudar o mapa (3.1) verificando os valores debeqpara os quais este mapa apresenta uma atrator n˜ao finito ou finito (ver tabela da se¸c˜ao 3.4). Neste ´ultimo caso, identificaremos situa¸c˜oes para as quais o mapa ´e per´ıodico ou ca´otico.
Estes diagramas s˜ao feitos considerando-se, no nosso caso, um t fixo, e intervalos de varia¸c˜oes dos parˆametrosb eq [10]. Em seguida divide-se estes intervalos por um n´umerom qualquer, no nosso caso m= 500, gerando 500 valores para cada um dos parˆametros.
Montamos ent˜ao uma figura na qual o eixo das abscissas corresponde aos 500 valores de q e o eixo das ordenadas aos 500 valores deb. Assim, cada ponto desta figura representa um par de valores (q,b) que ser´a usado para a itera¸c˜ao do mapa (3.1).
Assim, consideramos um t fixo e uma condi¸c˜ao inicial fixa X0, e iteramos o mapa (3.1) considerando o par de valores (q,b), para um n´umero de itera¸c˜oes consideradas razo´aveis que no nosso caso ´e 5000, sendo que os 3000 primeiros pontos n´os n˜ao consideramos (transiente).
Para este conjunto de dois mil pontos, n´os calculamos o coeficiente de Lyapunov e, ent˜ao, marcamos no diagrama de parˆametros, um ponto com uma determinada cor, indicando se a trajet´oria ´e ca´otica ou peri´odica, para aquele par de parˆametros.
Consideramos a cor preta para indicar comportamento ca´otico, a cor branca para indicar comportamento peri´odico e a cor cinza para atratores n˜ao finitos (apˆendice B).
As figuras 4.1 e 4.2 s˜ao exemplos destes tipos de diagramas obtidas para t=5 e t=2, res- pectivamente, eX0 = 0,20. `A primeira vista, podemos perceber que, para algumas regi˜oes, a parte ca´otica est´a separada da parte de atratores n˜ao finitos por uma linha imagin´aria, cuja equa¸c˜ao ´e dada pela condi¸c˜ao (3.7).
Como mencionado na se¸c˜ao 2.5 do cap´ıtulo 3, quando esta condi¸c˜ao ´e satisfeita pode ocorrer crise de fronteira que destr´oi a bacia do atrator ca´otico. Acima desta linha imagin´aria, ou seja, quando a condi¸c˜ao (3.8) ´e satisfeita, a possibilidade de ocorrˆencia de um atrator n˜ao finito j´a existe. Sempre que a condi¸c˜ao (3.8) for satisfeita, pode haver um atrator n˜ao finito desde que a trajet´oria atinja a regi˜ao dada pela equa¸c˜ao (3.9) e δn,t=0.
Outra caracter´ıstica deste mapa ´e o comportamento ligado ao fato do per´ıodo da per- turba¸c˜ao ser par ou ´ımpar. Como pode-se ver na figuras 4.1 e 4.2, os diagramas s˜ao es- truturalmente diferentes. O formato de cada um dos diagramas se conserva para diferentes
4.1 Diagramas no Espa¸co de Parˆametros 53
0,00 0,10 0,20
3,0 3,2 3,4 3,6 3,8
q
b
Figura 4.1: Diagrama no espa¸co dos parˆametros, para t=5 e X0=0,20. Pontos em preto, branco e cinza representam, respectivamente, atratores ca´oticos, peri´odicos e n˜ao finitos.
valores de t, dependendo de sua paridade.
Considerando diagramas com valores crescentes det, a mudan¸ca b´asica observada ´e que, quanto maior o valor det, menos densa ´e a parte ca´otica da figura para valores deb menores do que b = 3,569. . .. Isso ´e devido ao fato de que, quanto maior t, a dinˆamica do mapa (3.1) ´e cada vez mais parecida com a dinˆamica do mapa (2.1).
O mapa Log´ıstico Perturbado, como mencionado no cap´ıtulo anterior, apresenta dife- rentes bacias de atra¸c˜ao. Isso significa que, para diferentes condi¸c˜oes iniciais, a trajet´oria ir´a para diferentes atratores. Dessa maneira, devemos supor que esses diagramas devem ter sua estrutura alterada para diferentes valores da condi¸c˜ao inicial. E ´e exatamente o que se verifica, quando mudamos a condi¸c˜ao inicial.
Na figura 4.3, est˜ao dois diagramas para duas condi¸c˜oes iniciais diferentes, X0=0,20 (figura 4.3A) eX0=0,3 (figura 4.3B). Em (A), podemos ver uma regi˜ao, dentro da ´area onde pode haver atrator n˜ao finito, onde aparecem os comportamentos ca´otico e peri´odico. Isso acontece porque a condi¸c˜ao inicial, X0=0,20, faz parte de uma bacia de atra¸c˜ao na qual a
0,00 0,10 0,20 2,80
3,05 3,30 3,55 3,80
q
b
Figura 4.2: Diagrama no espa¸co dos parˆametros, para t=2 e X0=0,20. Pontos em preto, branco e cinza representam, respectivamente, atratores ca´oticos, peri´odicos e n˜ao finitos.
trajet´oria nunca visita o intervalo (3.9), ou, quando a visita, δn,t= 0 (ver tabela 3.1).
Em algumas regi˜oes em que a trajet´oria ´e ca´otica, aparecem lacunas brancas (casos peri´odicos), que apresentam uma forma que se repete, como ´e o caso da figura 4.2 na parte inferior esquerda.
Para estudar estas estruturas precisamos analisar com mais detalhes as regi˜oes peri´odicas.
Assim, iremos trabalhar com um novo tipo de diagrama denominado de isoperi´odico [29] e [30], no qual marcaremos as regi˜oes peri´odicas, identificando os poss´ıveis per´ıodospdo mapa (3.1), o que ser´a feito na pr´oxima se¸c˜ao.
4.2 Diagramas Isoperi´ odicos
Nos diagramas isoperi´odicos consideram-se apenas as regi˜oes peri´odicas dos diagramas no espa¸co de parˆametros. No entanto, algumas vezes assinalaremos nos diagramas isoperi´odicos tamb´em as regi˜oes ca´oticas.
4.2 Diagramas Isoperi´odicos 55
0,079 0,081 0,083 0,085
3,675 3,685 3,695 3,705
q
b
(A)
0,0790 0,0810 0,0830 0,0850
3,675 3,685 3,695 3,705
q
(B)
b
Figura 4.3: Diagramas no espa¸co dos parˆametros, para t=2. Em (A) X0=0,20 e em (B) X0=0,3. Pontos em preto, branco e cinza representam, respectivamente, atratores ca´oticos, peri´odicos e n˜ao finitos.
Assim, na figura 4.4, vemos um diagrama no espa¸co de parˆametros onde est˜ao indicadas as regi˜oes ca´oticas (cor preta), atratores n˜ao finitos (cor vermelha) e peri´odicas. Al´em de termos considerado diferentes cores para cada valor do per´ıodop, indicamos na figura o valor p do per´ıodo.
Como esta figura foi feita para t=3 (´ımpar), a estrutura dela ´e semelhante `a da figura 4.1. No entanto, como a figura 4.4 ´e feita para um t menor do que o da figura 4.1, a parte ca´otica ´e mais densa.
As regi˜oes peri´odicas desta figura se assemelham a camar˜oes, segundo terminologia in- troduzida nas referˆencias [29], [30]. Essas regi˜oes, ou ilhas, em geral aparecem entre regi˜oes ca´oticas.
Supondo uma linha imagin´aria, na figura 4.4 posicionada emb∼= 3,18, podemos ver uma poss´ıvel rota para o caos, considerando-se um aumento do parˆametro q, cuja sequˆencia de bifurca¸c˜oes ´ep=6,12,24,...,caos,...24,12,3. Neste caso, podemos ver bifurca¸c˜oes de per´ıodo e tamb´em cascatas inversas. Outras rotas podem ser identificadas considerando-se n˜ao apenas varia¸c˜oes em um s´o parˆametro, mas tanto emb quanto em q.
Podemos indagar sobre uma poss´ıvel regra no posicionamento das ilhas de per´ıodop. Para esclarecer isso, faremos duas amplia¸c˜oes de ´areas desta figura, indicadas pelos retˆangulos.
Com isso, obtemos as figuras 4.5 e 4.6.
0,00 0,10 0,20 2,8
4,0
3,2 3,4 3,6 3,8
q
b
3
3 6
6 9
9
9 9
3 12 6
12 12
3 6
3 6
24 18 18
3,0
Figura 4.4: Diagrama no espa¸co de parˆametros parat=3 e X0=0,20. Pontos pretos e verme- lhos representam, respectivamente, atratores ca´oticos e n˜ao finitos. Outras cores representam os atratores peri´odicos de per´ıodo indicado na figura.
Na figura 4.5 notamos que as ilhas, de mesmo per´ıodo p, aparecem sempre alinhadas a uma reta b = F q +G, onde F ´e a inclina¸c˜ao da reta, G uma constante e b e q s˜ao os parˆametros da equa¸c˜ao (3.1).
H´a regi˜oes neste diagrama em que podemos aplicar as constantes de Feigenbaum no estudo das duplica¸c˜oes de per´ıodo. No entanto isso n˜ao ´e verdade para todas as regi˜oes.
Uma outra caracter´ıstica importante da estrutura topol´ogica deste diagrama ´e que ele n˜ao ´e fractal. Na figura 4.6 podemos ver que n˜ao aparecem novas ilhas peri´odicas de per´ıodo k, dentro de ilhas peri´odicas de per´ıodo k’, caracter´ıstica de uma geometria fractal [5]. Ao contr´ario, as ilhas de per´ıodo k ek’ aparecem paralelamente (figura 4.5).
4.3 Diagrama no Espa¸co de Parˆametros para t Grande 57
0,00 0,02 0,04
3,50 3,65
3,60
3,55
q
b
3 6 12 12 6
6
12 12 24
12 6 9
18
18
18 18
15
15
12
12
24
Figura 4.5: Diagrama isoperi´odico para t=3 e X0=0,20. Os n´umeros indicam o per´ıodo da
´orbita peri´odica.
4.3 Diagrama no Espa¸co de Parˆ ametros para t Grande
Mostramos na figura 4.7 as regi˜oes ca´oticas para quatro valores de t: t=7 em (A); t=8 em (B); t=9 em (C) e t=10 em (D). Nessas figuras, vemos a semelhan¸ca da forma das regi˜oes ca´oticas, para valores de t par ou ´ımpar, o que pode ser identificado comparando a semelhan¸ca das figuras (A) e (B) (com t´ımpar e par respectivamente) com as figuras (C) e (D). Outra caracter´ıstica ´e que quanto maiort menos densa ´e a regi˜ao ca´otica.
Analisando os diagramas isoperi´odicos, mostrados na figura 4.8, referentes aos mesmos parˆametros usados na figura 4.8, vemos que ao passo que as regi˜oes ca´oticas se tornam menos densas para um aumento em t, as regi˜oes peri´odicas se tornam mais densas, em especial as regi˜oes correspondentes a valores do per´ıodo p pr´oximo do valor de t. Assim, vemos que as regi˜oes para p=t e p=2t passam a representar uma ´area maior no diagrama ao passo que t aumenta. Nota-se nesses diagramas isoperi´odicos que a forma das regi˜oes peri´odicas, de per´ıodop, s˜ao semelhantes para diagramas com t´ımpar, ou par.
q
b 3 6 12
12
12 24
24
9
9 18
18 9
15 15
15
9 12
36
3 3
6
18 3,50
3,40
3,30
3,20
0,084 0,094 0,104 0,114 0,122
Figura 4.6: Diagrama isoperi´odico para t=3 e X0=0,20. Os n´umeros indicam o per´ıodo da
´orbita peri´odica.
4.4 Estrutura dos Diagramas no Espa¸co de Parˆ ametros para Amplitudes Negativas ( q < 0 )
Quando consideramos uma perturba¸c˜ao q negativa, uma mudan¸ca dr´astrica acontece na forma dos diagramas isoperi´odicos. Na figura 4.9 temos um diagrama para t=3 onde podemos ver que a regi˜ao ca´otica, que para uma perturba¸c˜ao positiva (figura 4.4) preenchia grande parte do diagrama, para uma perturba¸c˜ao negativa preenche uma parte menor do diagrama. Al´em disso a regi˜ao ca´otica, para q < 0, parece ter se deslocado para a parte superior do diagrama.
Esse deslocamento pode ser facilmente entendido atrav´es da an´alise da condi¸c˜ao para a ocorrˆencia da crise de fronteira. A condi¸c˜ao (3.7), paraq <0, fica
b
4 −q= 1,0. (4.1)
Quando introduzimos uma perturba¸c˜ao negativa, atratores n˜ao finitos s˜ao mais dif´ıceis
4.5 Bacias de Atra¸c˜ao 59
0,0 1,0 2,0 3,0
2,8 3,3 3,8
q bb
q
(A) (B)
(C) (D)
Figura 4.7: Diagrama no espa¸co de parˆametros, mostrando as regi˜oes ca´oticas. A condi¸c˜ao inicial nos quatro diagramas ´eX0=0,20 e t=7 (A), t=8 (B), t=9 (C) e t=10 (D).
de acontecer, j´a que a perturba¸c˜ao, caso o ponto tenha sa´ıdo do intervalo (3.2), tende sempre a fazer com que o ponto retorne a esse intervalo.
Todos os outros fenˆomenos observados nos diagramas isoperi´odicos para q positivo est˜ao presentes para diagramas obtidos para q negativo. No entanto a estrutura dos dois tipos de diagramas n˜ao ´e sim´etrica atrav´es da mudan¸ca de sinal da perturba¸c˜ao.
4.5 Bacias de Atra¸c˜ ao
Iremos agora analisar as consequˆencias da existˆencia de diferentes bacias de atra¸c˜ao da equa¸c˜ao (3.1). Para isso, montamos dois diagramas isoperi´odicos para t=2, usando difentes condi¸c˜oes iniciais.
Esses dois diagramas podem ser vistos nas figuras 4.10A (obtida usando-seX0=0,20) e a figura 4.10B (obtida usando-se X0=0,45). Nestas figuras somente os per´ıodos cujas regi˜oes s˜ao densas est˜ao indicados (p=2, 4, 8, 9, 18). No entanto nos interessam somente as regi˜oes
0,0 1,0 2,0 3,0 7
14 7
q bb
q 8
8
16
9 9 18
10 10
20 2,8
3,3 3,8
(A) (B)
(C) (D)
Figura 4.8: Diagrama isoperi´odico para t=7 (A), t=8 (B), t=9 (C) e t=10 (D). A condi¸c˜ao inicial usada nos quatro diagramas ´e X0=0,20.
com p=2, 4, 8.
Como vemos em (A), a regi˜ao de per´ıodo p=2 (a “ilha” de per´ıodo p=2) aparece princi- palmente em duas regi˜oes do diagrama, separadas por um “mar” ca´otico que tamb´em isola as ilhas de per´ıodo p=4 e p=8. A ilha de per´ıodo p=2, localizada na parte superior direita do diagrama, atinge a regi˜ao onde ´e poss´ıvel a ocorrˆencia de crise de fronteira (condi¸c˜ao 3.8) e consequentemente a regi˜ao onde podem existir atratores n˜ao finitos. No entanto, essa ilha de per´ıodo p=2 sobrevive `a existˆencia do atrator n˜ao finito at´e atingir as proximidades do ponto d, indicado na figura 4.10A. A partir da´ı, surge o atrator n˜ao finito, que pode ser identificado no diagrama isoperi´odico por causa das lacunas neste.
Analisando o diagrama 4.10B, vemos que o mar ca´otico, que antes dividia a regi˜ao peri´odica de p=2 em duas ilhas, n˜ao est´a presente (isso n˜ao quer dizer que ele n˜ao exista).
Al´em disso, a ilha resiste por mais tempo `a existˆencia do atrator n˜ao finito, persistindo at´e depois da regi˜ao marcada pelo ponto d em (A).
A crise de transferˆencia pode ser vista, por exemplo, emb=3,4 pr´oximo aq=0,1, quando
4.6 An´alise da Estabilidade para t=2 e p=2 61
0,00 -0,05 -0.10 -0.15 -0.20
3,20 3,40 3,60 3,80 4,00
q
b
4
4
8
8 12
12 12
12 12
8
8 8
8
8 8
8
1632 3216
32 4
8
Figura 4.9: Diagrama no espa¸co de parˆametros, para q ≤ 0, para t=3 e X0=0,20. Pontos pretos e vermelhos representam, respectivamente, atratores ca´oticos e n˜ao finitos. Outras cores representam os atratores peri´odicos de per´ıodo indicado na figura.
a ilha de per´ıodo p=2 da figura 4.10B tem sua bacia de atra¸c˜ao transferida para a bacia do mar ca´otico da figura 4.10A.
Faremos na pr´oxima se¸c˜ao uma an´alise detalhada de como as ilhas de per´ıodop=2 perdem ou ganham estabilidade a fim de podermos estudar a geometria por tr´as desses diagramas.
4.6 An´ alise da Estabilidade para t =2 e p =2
Para estudar a estabilidade das ilhas de mesmo per´ıodo (ilhas isoperi´odicas), devemos resolver a equa¸c˜ao (3.5). Para valores grandes depet, temos uma equa¸c˜ao com um polinˆomio de grau grande o que dificulta a nossa an´alise. Assim, por simplicidade, estudaremos o caso no qual t=2 e p=2.
Para tanto, devemos analisar a estabilidade das trajet´orias peri´odicas (com p=2) da equa¸c˜ao (3.1). Usando a equa¸c˜ao (3.5), a equa¸c˜ao que nos d´a os pontos peri´odicos de p=2 ´e
0,10 0,20 2,80
3,20 3,60 4,0
q
b
2
2
2 2
4 4
4
4
8 8
6 16
8
(A)
8
12 a
b c
d
0,10 0,20
2,80 3,20 4,00
3,60
q
b
2
2 2
2
2
4
4
44
4
4 8
8
6 12 8
8
8
(B)
Figura 4.10: Diagrama isoperi´odico para t=2. Em (A) X0=0,20 e em (B) X0=0,45. Os n´umeros indicam o per´ıodo da ´orbita peri´odica.
F2(Xn) +q =Xn. (4.2)
Portanto, com esta equa¸c˜ao, ´e poss´ıvel obter quatro pontos reais ou complexos que d˜ao a posi¸c˜ao dos pontos fixos da trajet´oria de per´ıodop=2. De (4.2) obtemos
−b3Xj∗4 + 2b3Xj∗3 −(b3+b2)Xj∗2 + (b2−1)Xj∗+q= 0, (4.3) cuja solu¸c˜ao s˜ao os pontos desejados.
Entretanto, somente as solu¸c˜oes reais e est´aveis da equa¸c˜ao (4.3) s˜ao relevantes para a obten¸c˜ao dos diagramas isoperi´odicos. Assim, para um ponto fixoXj∗ ser est´avel, a seguinte condi¸c˜ao deve ser satisfeita
∂F2(X)
∂X |x→xJ∗
<1,0. (4.4)
No caso aqui considerado, para t=2 e p=2, haver´a nenhum, um ou dois pontos fixos est´aveis (X2∗eX4∗), dependendo dos parˆametrosbeq. Com respeito `as outras duas solu¸c˜oes, uma (X1∗) n˜ao satisfaz a condi¸c˜ao (4.4) e n˜ao faz parte do atrator finito. O outro ponto
4.6 An´alise da Estabilidade para t=2 e p=2 63 (X3∗) nunca satisfaz a condi¸c˜ao (4.4) e, portanto, ´e sempre inst´avel, como pode ser visto nas figuras 4.12 - 4.15.
A existˆencia de mais de um ponto fixo est´avel de per´ıodo p=2 explica a existˆencia de mais de uma bacia de atra¸c˜ao para atratores de per´ıodo p=2.
Tomamos agora 150 valores debe 150 valores deq, para o mesmo intervalo dos parˆametros da figura 4.10. Para cada um desses valores, determinamos a estabilidade dos pontos fixos X2∗ e X4∗, usando a condi¸c˜ao (4.4).
Sabemos que, se h´a um ponto fixo est´avel de per´ıodo p=2 para determinado par de parˆametros (q,b), ent˜ao h´a a possibilidade da equa¸c˜ao (3.1) apresentar uma ´orbita com esse per´ıodo. Dependendo somente, para isso, da condi¸c˜ao inicial.
Marcamos (figura 4.11), num diagrama de parˆametros (q,b), todos os pontos para os quais a equa¸c˜ao (4.3) apresenta pelo menos um ponto fixo est´avel de per´ıodo p=2.
Assim, nesta figura as regi˜oes em branco s˜ao aquelas em que a equa¸c˜ao (3.1) n˜ao apresenta nenhum ponto fixo de per´ıodop=2 est´avel. As regi˜ao onde h´a pontos representam valores de q e b , para os quais a equa¸c˜ao (3.1) pode apresentar um atrator peri´odico de per´ıodop=2.
Indicamos na figura trˆes regi˜oes nas quais podem haver, um ou dois pontos fixos peri´odicos.
Embora a figura 4.11 tenha menos precis˜ao (150x150) do que a da figura 4.10 (500x500), podemos dizer que as ilhas peri´odicas de p=2, da figura 4.10, s´o podem existir nas regi˜oes da figura 4.11 para as quais existe pelo menos um ponto fixo de per´ıodo p=2 est´avel.
Devemos salientar que esta figura foi obtida graficando-se pontos de coordenada (q,b) para os quais a equa¸c˜ao (4.4) apresentava pontos fixos de per´ıodo p=2 est´aveis, enquanto que a figura 4.10 foi obtida iterando-se a equa¸c˜ao (3.1).
Vimos que a an´alise da estabilidade de pontos fixos pode descrever a geometria das ilhas isoperi´odicas no diagrama no espa¸co de parˆametros. No entanto, um diagrama como o da figura 4.11 descreve as poss´ıveis regi˜oes em que a equa¸c˜ao (3.1) pode apresentar ilhas de per´ıodo p=2. Para saber quais foram as causas do diagrama isoperi´odico assumir a forma que podemos ver na figura 4.10A, vamos analisar quatro pontos, indicados na figura pelas letras a,b,c,d.
Para cada um destes pontos (com coordenadas (q,b)) n´os estudamos suas bacias de atra¸c˜ao e a estabilidade das solu¸c˜oes (os pontos fixos) obtidas atrav´es da equa¸c˜ao (4.3).
Para isso, n´os fizemos dois tipos de figuras (figuras 4.12 - 4.13).
Cada parte (A) das figuras 4.12 at´e 4.15 mostra a dependˆencia de trˆes diferente fun¸c˜oes em rela¸c˜ao `a posi¸c˜ao X. Assim, a linha preta representa o valor da fun¸c˜ao no lado esquerdo da equa¸c˜ao (4.2), para cada um dos quatro pontos escolhidos na figura 4.10. A linha cinza
X X ,X
X
0,00 0,05 0,10 0,15
3,00 3,20 3,40 3,60
q
b
2*
2* 4*
4*
Figura 4.11: Regi˜oes est´aveis dos pontos fixos de per´ıodo p=2, X2∗ e X4∗, no diagrama do espa¸co de parˆametros para t=2.
representa a fun¸c˜ao identidade e a linha pontilhada representa o valor da fun¸c˜ao no lado esquerdo da condi¸c˜ao (4.4), que ´e a derivada da fun¸c˜ao representada pela linha preta em rela¸c˜ao `a X. Portanto, na parte (A) destas figuras, os pontos fixos,Xj∗, podem ser localizados pelo cruzamento da linha preta com a linha cinza (fun¸c˜ao identidade). Para verificar se este ponto fixo Xj∗ ´e est´avel ou inst´avel, n´os s´o necessitamos olhar para a linha pontilhada e verificar seu valor indicado no eixo vertical. Caso o ponto seja est´avel, ent˜ao a fun¸c˜ao representada pela linha pontilhada deve ter valor menor que 1,0 e maior que -1,0 e portanto pode ser vista na figura. Caso o ponto seja inst´avel, ent˜ao a fun¸c˜ao tem valor maior que 1,0 ou menor que -1,0 e portanto n˜ao pode ser vista na figura, j´a que o eixo das ordenadas do gr´afico est´a compreendido no intervalo [-1,0, 1,0].
A outra parte destas figuras (B) representa o atrator de (3.1), para os mesmos parˆametros q e b considerados na parte (A), isto ´e, os valores Xn da orbita (depois do transiente) para cada condi¸c˜ao inicial X0 indicada no eixo das abscissas. Ent˜ao, nestas figuras, ´e poss´ıvel identificar as bacias de atra¸c˜ao dos atratores da equa¸c˜ao (3.1).
4.6 An´alise da Estabilidade para t=2 e p=2 65
x *
x * x * x *
X2*=0,4965
X4*=0,8369 E
E 2
4 (A)
(B)
1
2
3
4
X
X0
X
0,00 0,20 0,50 0,75 1,00
0,00
F (x)+q
F (x)’
2
2
0,20 0,50 0,75 1,00
0,0 0,5 1,0 0,0
-1,0 1,0
Figura 4.12: (A) Solu¸c˜ao gr´afica da equa¸c˜ao 4.2, para b=3,3 e q=0,02 (ponto a da figura 4.10A), mostrando dois pontos fixos est´aveis,X2∗ eX4∗. A fun¸c˜ao graficada com linha ponti- lhada representa a derivada da equa¸c˜ao 4.10A. (B) Atratores do mapa Log´ıstico Perturbado para os mesmos parˆametros de (A) e diferentes condi¸c˜oes iniciais, mostrando as bacias de atra¸c˜ao dos dois pontos fixos. Nestas figuras t=2.
O mapa Log´ıstico Perturbado, iterado para os parˆametros correspondentes indicados pela letra a na figura 4.10, tem dois pontos fixos peri´odicos e est´aveis (X2∗ e X4∗) indicados na figura 4.12A. Nesta figura, as bacias de atra¸c˜ao desses dois pontos fixos est´aveis podem ser identificadas pela linha grossa preta e pela linha normal preta, respectivamente. Essas linhas mostram o conjunto de condi¸c˜oes iniciais para os quais a equa¸c˜ao (3.1) atinge um atrator ou outro. Os dois poss´ıveis atratores podem ser vistos na figura 4.12B.
Similarmente, para o ponto b, na figura 4.10, n´os obtemos a figura 4.13 com somente um ponto fixo (X2∗) de per´ıodop=2 est´avel. Entretanto, neste caso, h´a tamb´em um atrator ca´otico. As bacias de atra¸c˜ao desses dois atratores s˜ao mostradas nesta figura e os corres- pondentes valores Xn obtidos atrav´es da itera¸c˜ao da equa¸c˜ao (3.1) s˜ao mostrados em (B).
Na figura 4.14, n´os podemos ver que a bacia de atra¸c˜ao do atrator ca´otico passou a
(A)
(B) x *
x *
F (x)+q
F (x)’2 2
E
x *
0,00
X2*=0,4529
0,50 0,75
0,25 1,00
X0
x *
2
1
3
4
0,0 0,5 1,0
2-1,0 0,0 1,0
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
X
X
Figura 4.13: (A) Solu¸c˜ao gr´afica da equa¸c˜ao 4.2, para b=3,5 e q=0,05 (ponto b da figura 4.10A), mostrando o ponto fixo est´avel X2∗. A fun¸c˜ao graficada com linha pontilhada re- presenta a derivada da equa¸c˜ao 4.10A. (B) Atratores do mapa Log´ıstico Perturbado para os mesmos parˆametros de (A) e diferentes condi¸c˜oes iniciais, mostrando as bacias de atra¸c˜ao do ponto fixo e do atrator ca´otico. Nestas figuras t=2.
fazer parte da bacia de atra¸c˜ao do ponto fixo X2∗, ou seja uma bacia foi transferida para a outra devido a uma crise de transferˆencia. Embora estejamos comentando a crise, ela n˜ao aconteceu exatamente neste valor dos parˆametros, representado na figura 4.10 pela letra c. No entanto, mostramos esse caso como um exemplo do que acontece com as bacias de atra¸c˜ao quando acontece a crise de fronteira.
Finalmente, para o ponto d da figura 4.10, a equa¸c˜ao (3.1) apresenta somente um ponto fixo, X2∗. Entretanto, neste caso, em que os valores de b e q satisfazem a rela¸c˜ao (3.8), h´a tamb´em um atrator n˜ao finito. Assim, s˜ao mostrados na figura 4.15 o atratorX2∗ e sua bacia de atra¸c˜ao. Al´em disso, s˜ao mostrados os valores de X0 para os quais o atrator ´e n˜ao finito.
Esses valores iniciais s˜ao tais que dirigem a trajet´oria para o intervalo (3.9) representado na figura por uma linha preta e grossa. Outras regi˜oes que v˜ao dirigir a trajet´oria para este
4.6 An´alise da Estabilidade para t=2 e p=2 67
x *
x * x *
x *
F (x)’
F (x)+q2
2
(A) E
(B)
1
2
X2*=0,4849
3
4
X0 0,00
2
0,25 0,50 0,75 1,00
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
0,0 0,5
1,0 -1,0
0,5 1,0
X
Figura 4.14: (A) Solu¸c˜ao gr´afica da equa¸c˜ao 4.2, para b=3,5 e q=0,1 (ponto c da figura 4.10A), mostrando o ponto fixo est´avel, X2∗ e sua bacia de atra¸c˜ao que compreende todo o intervalo de condi¸c˜oes iniciais (B). Nestas figuras t=2.
intervalo podem ser identificadas em (B), quando n˜ao h´a atrator algum graficado.
x *
x * x *
x *
F (x)’
F (x)+q2
E 2
X0 X2*
(A)
0,00 0,25 0,50 0,75
(B)
1
2
3
4
2
0,0 0,5 1,0
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
1,00 X
X
Figura 4.15: (A) Solu¸c˜ao gr´afica da equa¸c˜ao 4.2, para b=3,55 e q=0,125 (ponto d da figura 4.10A), mostrando as regi˜oes onde o mapa Log´ıstico perturbado tem um atrator est´avelX2∗ e n˜ao limitado. Em (B), lacunas vazias correspondem `a condi¸c˜oes iniciais para as quais o atrator n˜ao ´e limitado. Nestas figurast=2.
