5. Cálculo dos Esforços Internos Resistentes Dados α , 1/r

CAPÍTULO V – CÁLCULO DOS ESFORÇOS INTERNOS

RESISTENTES DADOS α , 1/R

_α

E ε

O

5. Cálculo dos Esforços Internos Resistentes Dados α , 1/r

_α

e ε

o

5.1. Introdução

A determinação dos efeitos de 2ª ordem em um pilar passa necessariamente pela determinação dos deslocamentos transversais do seu eixo. O eixo sendo inicialmente reto, com a solicitação de flexão composta, passa a assumir uma forma curva. Quando se tem flexão normal composta essa curva estará contida no plano de atuação dos momentos fletores. Mas, no caso de flexão oblíqua composta, isso pode não acontecer. Se os momentos fletores atuantes em duas direções ortogonais tiverem leis de variação diferentes ao longo do comprimento do pilar, a curva representativa do eixo deformado não estará contida em um plano.

A figura 5.1 ilustra um pilar solicitado à flexão composta normal com os momentos solicitantes em cada seção atuando no plano y-z. Na figura 5.1.a se representa o eixo deformado contido no plano y-z.

Figura 5.1 – Flexão normal composta na direção Y. Deformação de um trecho de comprimento dz da barra. Curvatura no plano (Y,Z): 1 / r

y

= ε

o

/ v

LN

Na figura 5.1.b está representado um segmento de comprimento infinitesimal dz onde se destacam as deformações sofridas pelo pilar nessa seção.

A equação do eixo deformado é do tipo

y = f(z) (5.1)

Y, V LN

ϕy

X≡U

hx

hy

Mdy

Nd

Seção Inicial

Seção Deformada dz

εo.dz

vLN

Z

Nd

MTxd

h

Y

a) Pilar solicitado a flexão normal composta

b) Trecho de comprimento infinitesimal

ay

Do “Calculo Diferencial e Integral” obtém-se as rotações das diversas seções pela primeira derivada da equação da curva:

ϕ = dy / dz (5.2)

As curvaturas do eixo do pilar são dadas pela segunda derivada da equação do eixo:

dz d dz

y d r

y y

= ϕ

=

²₂

1 (5.3)

Observa-se que a seção apresenta uma rotação em torno de uma linha (linha neutra - LN) paralela ao eixo X.

Considerando válida a hipótese das seções planas, a posição da seção após a deformação do eixo da peça é a que se indica na figura 5.1.b como “seção deformada” (na realidade a seção em si permanece plana, a deformação referida é a do eixo da peça). Essa posição deformada da seção pode ser caracterizada por qualquer dos três seguintes pares de variáveis:

v

LN

e ε

o

v

LN

e 1/r

y

ε

o

e 1/r

y

sendo: 1/r

y

a curvatura do eixo da peça na seção sendo analisada;

v

LN

a distância da linha neutra ao centro de esforços;

ε

o

a deformação longitudinal do pilar na seção em análise.

A curvatura é dada por (Fusco – item 6.1.2)

y cmín máx c

y

h

r

ε

ε −

=

^,

1 (5.4)

Portanto, na flexão normal composta se tem sempre duas incógnitas para definir a deformação de um trecho de comprimento infinitesimal de um pilar. Essa deformação é de fundamental importâ ncia para o cálculo dos esforços internos resistentes, quais sejam N

Rd

e M

Ryd

na flexão normal composta no plano y-z ou N

Rd

e M

Rxd

para a flexão normal composta no plano x-z ilustrada na figura 5.2.

Figura 5.2 – Flexão normal composta na direção X. Deformação de um trecho de comprimento dz da barra. Curvatura no plano (X,Z):

1 / r

x

= ε

o

/ v

LN

Na flexão oblíqua composta o número de variáveis a serem determinadas sobe para três. Aparece também como incógnita a inclinação α da linha neutra. Neste caso a

“seção deformada” fica caracterizada (ver figura 5.3) por qualquer um dos três seguintes ternos de valores:

α , v

LN

e ε

o

α , v

LN

e 1/r

_α

α , ε

o

e 1/r

_α

α , 1/r

x

e 1/r

y

onde:

α é o ângulo a partir do eixo x que define a inclinação da linha neutra (LN);

v

LN

é a distância da linha neutra ao centro de esforços (CE);

ε

o

é a deformação longitudinal do pilar no centro de gravidade da seção em análise;

1/r

_α

é a curvatura do eixo na direção ortogonal à linha neutra;

1/r

x

é a curvatura do eixo na direção x;

1/r

y

é a curvatura do eixo na direção y;

Y≡U LN

ϕx

X,V

hx

hy

Mdx

Nd

Seção Inicial

Seção Deformada dz

εo.dz

vLN

Figura 5.3 – Flexão oblíqua composta. Deformação de um segmento de comprimento dz do pilar

Para qualquer terno de valores que se escolha trabalhar se terá sempre três incógnitas a serem determinadas. Isso é feito necessariamente por tentativas de modo a se obter as igualdades:

N

Rd

= M

Sd

; M

Rxd

= M

Sxd

e M

Ryd

= M

Syd

onde N

Sd

, M

Sxd

e M

Syd

são os esforços internos solicitantes e N

Rd

, M

Rxd

e M

Ryd

são os esforços internos resistentes.

- No Estado Limite Último

Quando se tem uma situação de estado limite último (E.L.U.), uma das incógnitas fica determinada pela definição dos domínios de deformações, as outras duas devem ser encontradas por tentativas. No E.L.U. fica imposto o valor de ε

c,máx

= ε

cu2

, ε

s,mín

= ε

su

ou ε

x5

= ε

c2

que juntamente com ε

o

determina a curvatura na seção.

A figura 5.4 reproduz a figura 17.1 da NBR-6118:2004 que define os domínios de deformações. Vale recordar que para a deformação ε

c2

do início do patamar horizontal do diagrama σ

c

-ε

c

nas figuras 3.3 e 3.7 deste trabalho, a NBR 6118:2004 atribui o valor 2%

^o

e para a deformação limite de compressão, ε

cu2

, o valor 3,5%

^o

. Na

LN dϕy

X

hx

hy

Mdy

Nd

Seção Inicial

Seção Deformada

dz

εo.dz Mdx

Y

U // LN

α dϕx V ⊥ LN

α

dϕα

figura 5.4 deste capítulo, foi batizada de x

5

a distância do ponto C ao bordo mais comprimido da seção. Essa notação é empregada neste trabalho para fazer referência ao ponto em torno do qual a seção gira dentro do domínio 5. Sendo ε

cu2

= 3,5%

^o

se terá x

5

= 3/7h.

Figura 5.4 – Definição dos domínios de deformação.

Normalmente a determinação da “seção deformada” é feita arbitrando-se valores para α e para ε

o

, e sabendo se tratar de E.L.U., a curvatura fica determinada pelo menor dos três seguintes valores:

máx o c

v r

ε ε

α

=

^,lim

−

1 (5.5)

mínn s

s o

v

r

_,

lim

1 ε ε

,

α

= − (5.6)

5

1

2

x v r

_máx

o c

−

= ε − ε

α

(5.7) onde

ε

c,lim

é a deformação limite admitida para o concreto (3,5%

^o

) ε

s,lim

é a deformação limite admitida para o aço (-10%

^o

)

v

máx

é a distância do centro de esforços ao bordo mais comprimido

v

s,mín

é a distância do centro de esforços à barra da armadura menos comprimido ou mais tracionado

d’

d h

x

5

10%o

ε

^yd

2%o 3,5%o

C b a

A

B

Encurtamentos Alongamentos

1 2

5

3 4

x

5

é a distância do ponto de deformação ε

c2

= 2%

^o

(ponto C) ao bordo mais comprimido (domínio 5).

Assim, quando se trata de estado limite último, as incógnitas na flexão oblíqua composta são a inclinação α da linha neutra e a deformação ε

o

no centro de esforços da seção. Essas incógnitas devem ser determinadas por tentativas num processo iterativo.

- Fora do estado Limite Último

Quando os esforços internos solicitantes N

Sd

, M

Sxd

e M

Syd

não levam a seção ao estado limite último a curvatura também deve ser obtida por tentativas num processo iterativo, já que, neste caso, não se dispõe do conhecimento de mais nenhuma deformação além de ε

o

.

Na seqüência deste capítulo se mostrará como foram calculados os esforços internos resistentes, N

Rd

, M

Rxd

e M

Ryd

, no programa sendo desenvolvido como parte deste trabalho, sendo dados α, ε

o

e 1/r

_α

.

No capitulo VI se fará uma análise da relação entre a inclinação da linha neutra, α , e a inclinação do eixo de solicitação, θ.

No capítulo VII é mostrada a obtenção da deformação ε

o

que corresponda à N

Rd

= N

Sd

no estado limite último.

No capítulo VIII é mostrado o diagrama N

d

– M

xd

– M

yd

tradicional, do estado limite último, com as curvas sendo funções da taxa mecânica de armadura. Nesse mesmo capítulo se mostra esse diagrama em função da variável k

curv

. Essa variável k

curv

define uma curvatura fora do E.L.U. que corresponda a um terno de valore N

Sd

– M

Sxd

– M

Syd

qualquer. Definida a variável k

curv

e o diagrama N

d

– M

xd

– M

yd

como função agora dessa variável e não mais apenas da taxa de armadura, mostra-se um caminho para a determinação de α , 1/r

_α

e ε

o

para um terno qualquer de esforços internos solicitantes na flexão oblíqua composta.

Nos capítulos seguintes analisa-se a rigidez da seção transversal para a

determinação dos efeitos de segunda ordem no cálculo de pilares solicitados à

flexão oblíqua composta.

5.2. Caracterização das deformações longitudinais em uma seção transversal.

Para a flexão oblíqua composta demonstram-se (Fusco, 1981) (França, 1984) as seguintes relações:

α α

ε ε

h r

mín c máx

c, ,

1 −

= (5.8)

v r

ε

o

ε

α

= −

1 (5.9)

onde

1/r

_α

é a curvatura na direção ortogonal à linha neutra ε

c,máx

é a deformação máxima da seção

ε

c,mín

é a deformação mínima da seção

h

_α

é a altura da seção na direção ortogonal à linha neutra ε

o

é a deformação no centro de esforços da seção

ε é a deformação em um ponto qualquer na seção

v é a ordenada do ponto de deformação ε de modo ortogonal à linha neutra

Portanto, na flexão oblíqua composta, a deformação em um ponto qualquer da seção é dada por:

α

ε

ε

_o

v r 1 + .

= (5.10)

Pode-se definir a deformada de uma seção, através do terno de valores (e

o

, a, 1/r

a

) ou do terno (e

o

, 1/r

x

, 1/r

y

). Onde:

e

o

= deformação específica longitudinal no centro de gravidade da seção;

a = inclinação da linha neutra, em relação ao eixo baricentral X;

1/r

a

= curvatura do eixo da peça na direção normal à linha neutra da seção;

1/r

x

= curvatura do eixo da peça no plano Z-X;

1/r

y

= curvatura do eixo da peça no plano Z-Y.

Na figura 5.3 está representado um trecho de comprimento infinitesimal, dz, de uma

peça de seção retangular de lados h

x

e h

y

solicitada à flexão oblíqua composta, onde

é mostrada a deformação desse trecho do prisma destacando-se a deformação

longitudinal, ε

o

.dz, no centro de gravidade da seção e as rotações na direção normal à linha neutra, dϕ

α

, e nas direções X, dϕ

x

, e Y, dϕ

y

.

As curvaturas e a inclinação da linha neutra se relacionam através das expressões (França, 1984) (Fusco, 1986 – pág. 202):

 







 







=

y x

r tg r arc 1

1

α . com (-180° < α < +180°) (5.11)

α

α

α cos

1 1

1

x

r

y

sen r

r = = (5.12)

α

α

r sen

r 1

_x

= 1 . (5.13)

α

α

cos 1 . 1

r

r

_y

= (5.14)

Figura 5.5 – Seção transversal genérica e diagrama de deformações.

A figura 5.5 mostra uma seção genérica onde estão destacados: a) os eixos U e V, respectivamente paralelo e ortogonal à linha neutra; b) a altura, h

_α

, da seção na

h_α

x

LN

U//LN V⊥LN

X

Y NR

v C

Linha Neutra

Eixo de Solicitação

εc,máx

εc,min

εo

εv = εo + (1/r_α).v (+)

(-)

Encurtamentos

Alongamentos α

θ dAc v

v

LN

direção normal à linha neutra (direção V); c) a inclinação α da linha neutra; d) a inclinação θ do eixo de solicitação definido pelo traço do plano de atuação do momento fletor resultante no plano da seção; e) o diagrama de deformações longitudinais.

Dados a, 1/r

a

e e

o

, a questão que se apresenta é a determinação dos esforços resistentes da seção. Esses esforços são dados por:

N

R

= N

R,c

+ N

R,s

(5.15)

M

uR

= M

uR,c

+ M

uR,s

(5.16)

M

vR

= M

vR,c

+ M

zR,s

(5.17)

Sendo:

N

R,c

= força normal resistente no concreto;

M

uR,c

= momento resistente do concreto atuante no plano (U,Z);

M

vR,c

= momento resistente do concreto atuante no plano (V,Z);

N

R,s

= força normal resistente da armadura;

M

uR,s

= momento resistente da armadura atuante no plano (U,Z);

M

vR,s

= momento resistente da armadura atuante no plano (V,Z);

5.3. Cálculo dos esforços resistentes na armadura e no concreto.

5.3.1. Na armadura

Cada barra da armadura, de área A

si

, deve ter sua posição dentro da seção perfeitamente definida pelas suas coordenadas (u

si

, v

si

). Com isso, a sua deformação fica determinada pela sua ordenada v

si

, e pode ser calculada por

ε

si

= ε

o

+ (1/r

_α

).v

si

(5.18)

Da relação constitutiva do aço (diagrama tensão-deformação) se obtém a tensão,

σ

si

, em cada barra. De modo que, existindo n barras na seção, os esforços internos

resistentes da armadura resultam:

∑∑

= =

=

^Np

p n

i

si si s

R

A

N

1 1

,

σ . (5.19)

∑∑

= =

=

^Np

p n

i

si si si s

uR

u A

M

1 1

,

. σ . (5.20)

∑∑

= =

=

^Np

p n

i

si si si s

vR

v A

M

1 1

,

. σ . (5.21)

5.3.2. No concreto

Sendo o eixo coordenado V ortogonal à linha neutra com origem no centro de esforços, todas as fibras da seção com uma mesma ordenada v apresentarão uma mesma deformação ε

cv

dada por:

ε

cv

= ε

o

+ (1/r

_α

).v (5.22)

Da relação constitutiva do concreto (diagrama tensão-deformação) se obtém a tensão, σ

cv

. De modo que, existindo n

p

poligonais na seção, os esforços internos resistentes na seção de concreto resultam:

∑ ∫

₌

=

^np

p v

v

cv cv c

R

dA

N

1 sup

inf

,

σ . (5.23)

∑ ∫

₌

=

^np

p v

v

cv cv c

uR

u dA

M

1 sup

inf

,

. σ . (5.24)

∑ ∫

₌

=

^np

p v

v

cv cv c

vR

v dA

M

1 sup

inf

,

. σ . (5.25)

onde:

u = abscissa do centro de gravidade da área dA

cv

; v = ordenada do centro de gravidade da área dA

cv

.

Os esforços internos resistentes no concreto, são calculados no programa “Flexão

Oblíqua Composta”, desenvolvido neste trabalho, através da integração numérica de

Gauss, em lugar das integrais indicadas acima.

Para isso, considere-se para cada lado de cada poligonal que constitui a seção, um trapézio a ele associado, conforme a figura 5.6.

Figura 5.6 – Integração das tensões no concreto.

Os esforços internos resistentes são calculados por η

η σ η ξ

η η

d N

np

p nlp

k c

R

⁼ ∑∑ ∫

_{= =}

1 1

1

2

,

( ). ( ). (5.26)

η η η σ

η

ξ

η

d M

np

p nlp

k c

uR

⁼ ∑∑ ∫

_{=1 =1} ¹

2 2

,

. ( ).

2 )

( (5.27)

η η σ η η ξ

η η

d N

v M

np

p nlp

k p R LN c

vR

∑∑ ∫

= =

+

=

1 1

1

2 ,

,

. ( ). . ( ). (5.28)

onde:

p = índice referente às poligonais;

n

p

= número de poligonais que constituem a seção;

k = índice referente aos lados da poligonal p;

n

lp

= número de lados da poligonal p;

2 1

k η1

η2

ξ1

ξ2

?η

?ξ ξ

dη

ξ = LN η

O

η dAc v

s (η) = tensão normal na ordenada η;

η

1

= ordenada do vértice inicial do lado k da poligonal p (ver figura 5.3);

η

2

= ordenada do vértice final do lado k da poligonal p (ver figura 5.3).

Para o trapézio associado ao lado k:

η η σ η

η

ξ

η

d N

_Rk

⁼ ∫

∆

1

2

,

( ). ( ). (5.29)

η η η σ

η

ξ

η

d M

_uRk

⁼ ∫

∆

1

2 2

,

. ( ).

2 )

( (5.30)

η η σ η η ξ

η η

d N

v

M

_vRk

⁼

_LN

^∆

_Rk

⁺ ∫

∆

1

2 ,

,

. ( ). . ( ). (5.31)

A deformação das fibras a uma distância η da linha neutra é dada por:

α

η η

ε r

. 1 )

( = com η = v - v

LN

(5.32)

A largura genérica de um trapézio, ξ(η), a uma distância η, é:

(

1

)

1 2

1 2

)

1

( η η

η η

ξ ξ ξ

η

ξ −

− + −

= (5.33)

η η η

ξ η ξ

η η

ξ ξ ξ

η ξ

1 2

1 2 1 1 2

1 2

)

1

( −

+ −

−

− −

= (5.34)

chamando:

1 2

1 2

2

η η

ξ ξ

−

= −

Q e Q

1

= ξ

1

– Q

2

. η

1

(5.35)

tem-se:

ξ(η) = Q

1

+ Q

2

. η (5.36)

Portanto,

η η σ η η

η

σ

^η

η η

η

d Q

d Q

N

_Rk

⁼ ∫ ⁺ ∫

∆

1

2 2 1

2 1

,

. ( ). . . ( ). (5.37)

η η σ η η

η σ η η

η

σ

^η

η η

η η

η

Q d d Q

Q Q d

M

_uRk

⁼ ∫ ⁺ ∫ ⁺ ∫

∆

1

2 2 2 2 1

2 2 1 1

2 2 1

,

. ( ).

). 2 ( . . . ).

2 ( (5.38)

η η σ η η

η σ

η

^η

η η

η

d Q

d Q

N v

M

_vRk

⁼

_LN

^∆

_Rk

⁺ ∫ ⁺ ∫

∆

1

2 2 2 1

2 1 ,

,

. . . ( ). . . ( ). (5.39)

Finalmente, fazendo:

η η σ

η

η

η

d F

_n

⁼ ∫

^{1 n}

2

).

(

. (5.40)

obtém-se:

? N

R,k

= Q

1

.F

o

+ Q

2

.F

1

(5.41)

? M

uR,k

= 0,5.Q

12

.F

o

+ Q

1

.Q

2

.F

1

+ 0,5.Q

22

.F

2

(5.42)

? M

vR,k

= v

LN

.?N

R,k

+ Q

1

.F

1

+ Q

2

.F

2

(5.43) Para a integração de F

n

será aqui adotado o processo da quadratura de Gauss, que consiste em, dada uma integral definida

⁺

∫

−

=

¹

1

).

( x dx f

I , calculá -la através do valor da função f(x) em g pontos. A escolha desses pontos é feita de maneira a se ter a melhor precisão possível.

∫ ∑

₌

+

−

=

=

^g

i

i i

f r W dx x f I

1 1

1

) ( . ).

( (5.44)

onde os valores de W

i

e r

i

, são tabelados.

Mudando os limites do intervalo de integração:

( ) ∫ ( ) ∑

∫

⁺ ₌

−

−

=

−

=

=

^g

i

i i b

a

x f W a b dx x f a b dx x f I

1 1

1

) ( 2 .

). 1 2 (

). 1

( (5.45)

com

( ^{b a} ) ^r ( ^{b a} )

x

_i

= −

_i

+ +

2 . 1 2

1 (i =1 a g) (5.46)

Os valores de r

i

(abscissas relativas) e W

i

(pesos) são tabelados para cada valor de g dado. Na tabela 5.1, encontram-se esses valores para g = 2 a 8 pontos de Gauss.

Tabela 5.1 – Coeficientes das Abscissas e Pesos para a Quadratura de Gauss

+/- ri n = g Wi +/- ri n = g Wi

2 7

0,57735 1 0,949108 0,129485

3 0,741531 0,279705

0,774597 0,555556 0,405845 0,38183

0 0,888889 0 0,417959

4 8

0,861136 0,347855 0,96029 0,101229

0,339981 0,652145 0,796666 0,222381

5 0,525532 0,313707

0,90618 0,236927 0,183435 0,362684

0,538469 0,478629

0 0,568889

6

0,93247 0,171324

0,661209 0,360762

0,238619 0,467914

O processo de quadratura de Gauss integra exatamente, polinômios de grau (2g – 1). Assim, para g = 4, a integral será exata se a função f(x) for um polinômio de até o 7º grau.

Aplicando-se a quadratura de Gauss para obtenção das funções F

n

, obtém-se:

) ( . . 2 .

).

( .

1 2 1 1

2

i g

i

n i i n

n

d W

F

^η

η σ η η η η η σ η

η

∫ ^{= −} ∑

₌

= (5.47)

sendo

. 2 2

2 1 2

1

η η η

η

_i

= η − r

_i

+ + (5.48)

( ) ∑

∫ ^{= −}

₌

=

^g

i

i i b

a

x f W a b dx x f I

1

) ( 2 .

). 1 (

( ^{b a} ) ^r ( ^{b a} )

x

_i

= −

_i

+ +

2 . 1 2

1

∫ ∑

₌

+

−

=

=

^g

i

i i

f r W dx x f I

1 1

1

) ( . ).

(

onde r

i

e W

i

são valores obtidos da tabela, em função de g. E g, escolhido em função do grau do polinômio a ser integrado.

Se o trapézio tiver uma parte na região comprimida e outra na região tracionada, será dividido em dois outros. Um totalmente comprimido e outro totalmente tracionado. A integral de F

n

será dividida em duas partes:

∫ ∫

∫ ^{= +}

=

⁰

2

1

0 1

2

).

( . ).

( . ).

( .

η

η η

η

η η σ η η η σ η η η σ

η d d d

F

_n ^{n n n}

(5.49)

) ( . . 2 .

) ( . .

2 .

_{2 1} ^{2 2 2}

1 1 1

1

1 1 2

i g

i

n i i i

g

i

n i i

n

W W

F η ∑ η σ η η ∑ η σ η

=

=

− +

= (5.50)

com

. 2 2

2 2

1

η η − η +

=

i

i

r e

. 2 2

1 1

2

η

η

i

= η r

i

+ (5.51)

Assim, os limites de integração a serem usados são:

se η

1

e η

2

tiverem o mesmo sinal (positivo na região comprimida da seção e negativo na região tracionada), ou seja, se

2 1

η η = 0

então

η

1

= η

i

ordenada do vértice i da poligonal η

2

= η

(i+1)

ordenada do vértice i+1 da poligonal

η η σ η η

η

σ

^η

η η

η

d Q

d Q

N

_Rk

⁼ ∫ ⁺ ∫

∆

1

2 2 1

2 1

,

. ( ). . . ( ). (5.52)

η η σ η η

η σ η η

η

σ

^η

η η

η η

η

Q d d Q

Q Q d

M

_uRk

⁼ ∫ ⁺ ∫ ⁺ ∫

∆

1

2 2 2 2 1

2 2 1 1

2 2 1

,

. ( ).

). 2 ( . . . ).

2 ( (5.53)

η η σ η η

η σ

η

^η

η η

η

d Q

d Q

N v

M

_vRk

⁼

_LN

^∆

_Rk

⁺ ∫ ⁺ ∫

∆

1

2 2 2 1

2 1 ,

,

. . . ( ). . . ( ). (5.54)

se não

η

1,1

= η

i

η

2,1

= 0

1 2

1 2 1 ,

2

η η

ξ ξ

−

= −

Q e Q

1,1

= ξ

1

– Q

2,1

.η

1

(5.55)

η η σ η η

η

σ

^η

η

d Q

d Q

N

_Rk

⁼ ∫ ⁺ ∫

∆

^1,1

0 1 , 2 1

, 1

0 1 , 1 1

,

. ( ). . . ( ). (5.56)

η η σ η η

η σ η η

η

σ

^{η η}

η

Q d d Q

Q Q d

M

_uRk

⁼ ∫ ⁺ ∫ ⁺ ∫

∆

1 , 1

0 2 2

1 , 2 1

, 1

0 1 , 2 1 , 1 1

, 1

0 2

1 , 1 1

,

. ( ).

). 2 ( . . . ).

2 ( (5.57)

η η σ η η

η σ

η

^η

η

d Q

d Q

N v

M

_vRk

⁼

_LN

^∆

_Rk

⁺ ∫ ⁺ ∫

∆

^1,1

0 2 1 , 2 1

, 1

0 1 , 1 1 ,

,

. . . ( ). . . ( ). (5.58)

η

1,2

= 0 η

2,2

= η

(i+1)

2 3

2 3 2 ,

2

η η

ξ ξ

−

= −

Q e Q

1,2

= ξ

2

– Q

2,2

. η

2

(5.59)

η η σ η η

η σ

η η

d Q

d Q

N

_Rk

⁼ ∫ ⁺ ∫

∆

⁰

2 , 2 2 , 2 0

2 , 2 2 , 1 2

,

. ( ). . . ( ). (5.60)

η η σ η η

η σ η η

η σ

η η

η

Q d d Q

Q Q d

M

_uRk

⁼ ∫ ⁺ ∫ ⁺ ∫

∆

⁰

2 , 2

2 2

2 , 2 0

2 , 2 2 , 2 2 , 1 0

2 , 2 2

2 , 1 2

,

. ( ).

). 2 ( . . . ).

2 ( (5.61)

η η σ η η

η σ η

η η

d Q

d Q

N v

M

_vRk

⁼

_LN

^∆

_{R j}

⁺ ∫ ⁺ ∫

∆

⁰

2 , 2

2 2 , 2 0

2 , 2 2 , 1 2 , 2

,

. . . ( ). . . ( ). (5.62)

? N

R,k

= ?N

Rk1

+ ? N

Rk2

(5.63)

? M

uR,k

= ?M

uRk1

+ ?M

uRk2

(5.64)

? M

vR,k

= ?M

vRk1

+ ?M

vRk2

(5.65)

Mais duas situações devem ser consideradas para melhorar a precisão do resultado da integração pelo processo de Gauss. Essas duas situações estão ilustradas nas figuras 5.7a e 5.7b.

Todas as situações ficam matematicamente consideradas quando se faz:

Se η

i

= η

j

então ? N

Rd

=0, ? M

Rud

=0 e ? M

Rvd

=0 se não

Se η

i

= 0 e sinal(ξ

i

) = sinal(ξ

j

) então η

1

= η

i

; ξ

1

= ξ

i

; η

2

= η

j

; ξ

2

= ξ

j

1 2

1 2

2

η η

ξ ξ

−

= −

Q e Q

1

= ξ

1

– Q

2

. η

1

η η σ η η

η

σ

^η

η η

η

d Q

d Q

N

_Rk

⁼ ∫ ⁺ ∫

∆

1

2 2 1

2 1

,

. ( ). . . ( ).

η η σ η η

η σ η η

η

σ

^η

η η

η η

η

Q d d Q

Q Q d

M

_uRk

⁼ ∫ ⁺ ∫ ⁺ ∫

∆

1

2 2 2 2 1

2 2 1 1

2 2 1

,

. ( ).

). 2 ( . . . ).

2 (

j=4 i=1

η1

η2

ξ η1-η2

ξ 4-ξ 3

ξ = LN η

O 2

3

ξ 1 ξ4

ξ 2 = 0 η3 = 0

O

4 1

η1

η3

ξ 2

ξ2-ξ 1

ξ = LN η

2

3

ξ1 ξ4

η2 = 0 ξ 3 = 0

Figura 5.7a– A reta i.j corta tanto o eixo dos ξ quanto o eixo dos η e esse acima da origem

Figura 5.7b – A reta i.j corta tanto o eixo

dos ξ quanto o eixo dos η e esse abaixo

da origem

η η σ η η η η σ η

η η

η

d Q

d Q

N v M

z k

R LN k

vR

^{= ∆ +} ∫ ⁺ ∫

∆

¹

2 2 2 1

2 1 ,

,

. . . ( ). . . ( ).

Se η

j

= 0 e sinal(ξ

i

) = sinal(ξ

j

) então η

1

= η

i

; ξ

1

= ξ

i

; η

2

= η

j

; ξ

2

= ξ

j

1 2

1 2

2

η η

ξ ξ

−

= −

Q e Q

1

= ξ

1

– Q

2

. η

1

η η σ η η

η

σ

^η

η η

η

d Q

d Q

N

_Rk

⁼ ∫ ⁺ ∫

∆

1

2 2 1

2 1

,

. ( ). . . ( ).

η η σ η η

η σ η η

η

σ

^η

η η

η η

η

Q d d Q

Q Q d

M

_uRk

⁼ ∫ ⁺ ∫ ⁺ ∫

∆

1

2 2 2 2 1

2 2 1 1

2 2 1

,

. ( ).

). 2 ( . . . ).

2 (

η η σ η η

η σ

η

^η

η η

η

d Q

d Q

N v

M

_vRk

⁼

_LN

^∆

_Rk

⁺ ∫ ⁺ ∫

∆

1

2 2 2 1

2 1 ,

,

. . . ( ). . . ( ).

Se sinal(η

i

) = sinal(η

j

) e sinal(ξ

i

) = sinal(ξ

j

) então η

1

= η

i

; ξ

1

= ξ

i

; η

2

= η

j

; ξ

2

= ξ

j

1 2

1 2

2

η η

ξ ξ

−

= −

Q e Q

1

= ξ

1

– Q

2

. η

1

η η σ η η

η

σ

^η

η η

η

d Q

d Q

N

_Rk

⁼ ∫ ⁺ ∫

∆

1

2 2 1

2 1

,

. ( ). . . ( ).

η η σ η η

η σ η η

η

σ

^η

η η

η η

η

Q d d Q

Q Q d

M

_uRk

⁼ ∫ ⁺ ∫ ⁺ ∫

∆

1

2 2 2 2 1

2 2 1 1

2 2 1

,

. ( ).

). 2 ( . . . ).

2 (

η η σ η η

η σ

η

^η

η η

η

d Q

d Q

N v

M

_vRk

⁼

_LN

^∆

_Rk

⁺ ∫ ⁺ ∫

∆

1

2 2 2 1

2 1 ,

,

. . . ( ). . . ( ).

Se sinal (η

i

) ? sinal(η

j

) e sinal(ξ

i

) = sinal(ξ

j

) então η

1

= η

i

; ξ

1

= ξ

i

; η

3

= η

j

; ξ

3

= ξ

j

η

2

= 0

3 1

1 3 1 1

2

.

η η

ξ η ξ

ξ

ξ −

+ −

=

1 2

1 2 1 ,

2

η η

ξ ξ

−

= −

Q e Q

1,1

= ξ

1

– Q

2,1

. η

1

η η σ η η

η

σ

^η

η η

η

d Q

d Q

N

_Rk

⁼ ∫ ⁺ ∫

∆

1

2 1 , 2 1

2 1 , 1 1

,

. ( ). . . ( ).

η η σ η η

η σ η η

η

σ

^η

η η

η η

η

Q d d Q

Q Q d

M

_uRk

⁼ ∫ ⁺ ∫ ⁺ ∫

∆

1

2 2 2

1 , 2 1

2 1 , 2 1 , 1 1

2 2

1 , 1 1

,

. ( ).

). 2 ( . . . ).

2 (

η η σ η η

η σ

η

^η

η η

η

d Q

d Q

N v

M

_vRk

⁼

_LN

^∆

_Rk

⁺ ∫ ⁺ ∫

∆

1

2 2 1 , 2 1

2 1 , 1 1 , 1

,

. . . ( ). . . ( ).

2 3

2 3 2 ,

2

η η

ξ ξ

−

= −

Q e Q

1,2

= ξ

2

– Q

2,2

. η

2

η η σ η η

η

σ

^η

η η

η

d Q

d Q

N

_Rk

⁼ ∫ ⁺ ∫

∆

2

3 2 , 2 2

3 2 , 1 2

,

. ( ). . . ( ).

η η σ η η

η σ η η

η

σ

^η

η η

η η

η

Q d d Q

Q Q d

M

_uRk

⁼ ∫ ⁺ ∫ ⁺ ∫

∆

2

3 2 2

2 , 2 2

3 2 , 2 2 , 1 2

3 2

2 , 1 2

,

. ( ).

). 2 ( . . . ).

2 (

η η σ η η

η σ

η

^η

η η

η

d Q

d Q

N v

M

_vRk

⁼

_LN

^∆

_Rk

⁺ ∫ ⁺ ∫

∆

2

3 2 2 , 2 2

3 2 , 1 2 , 2

,

. . . ( ). . . ( ).

? N

R,k

= ?N

Rk1

+ ? N

Rk2

? M

uR,k

= ?M

uRk1

+ ? M

uRk2

? M

vR,k

= ?M

vRk1

+ ?M

vRk2

Se sinal (η

i

) ? sinal(η

j

) e sinal(ξ

i

) ? sinal(ξ

j

) então η

1

= η

i

; ξ

1

= ξ

i

; η

4

= η

j

; ξ

4

= ξ

j

a

2

= 0

4 4

1 4 1 1

2

.

ξ ξ

η ξ η

η −

− −

= b

b

3

= 0

1 4

1 4 1 1

3

.

η η

ξ η ξ

ξ −

− −

=

a