6. Análise da Relação Entre N

CAPÍTULO VI – ANÁLISE DA RELAÇÃO ENTRE N RD E ε O PARA

DETERMINADO α

6. Análise da Relação Entre N

e ε

para Determinado α

6.1. Introdução

Um processo iterativo muito repetitivo na determinação das deformações correspondentes ao terno de solicitações N Sd , M Sxd e M Syd , é o da determinação da deformação ε o que corresponda a uma força normal resistente igual à força normal solicitante (N Rd = N Sd ) sendo dada a inclinação da linha neutra(α).

Essa pesquisa algumas vezes é feita no estado limite último, onde se impõe uma segunda deformação ( ε c,máx , ε x5 ou ε s,lim ) que caracterize o estado limite último.

Neste caso a curvatura é dada por:

máx o máx c

v r

ε ε

α

=

−

1 com ε cmáx = ε cu2 (6.1)

5

1

x v r

o x

−

= ε − ε

α

com ε x5 = ε c2 (6.2)

ou

máx s

mín s o

v d

r −

= −

1 ε ε

α

com ε s,mín = ε su (6.3)

A figura 6.1 esclarece os termos utilizados nas expressões acima. A expressão que fornecer o menor valor determina a curvatura.

Figura 6.1 - Diagramas de deformações que definem a curvatura para dado ε

no Estado Limite Último

ε

ε

ε

ε

⁼ ε

x

ε

⁼ ε

ε

⁼ ε

v

d

h

ε

ε

Para o diagrama de deformações definido por ε o e por 1/r

, resultam determinados os esforços internos resistentes N Rd , M Rxd e M Ryd conforme o capítulo 5. A seqüência do processo iterativo é seguir arbitrando valores para α e ε o e calculando os esforços internos resistentes até que se tenha N Rd = N Sd , M Rxd = M Sxd e M Ryd = M Syd .

Outras vezes as solicitações N Sd , M Sxd e M Syd não levam a seção ao estado limite último. Neste caso, não se tem definida uma segunda deformação para determinar a curvatura. O procedimento que está sendo adotado neste trabalho é, por tentativas encontrar o valor de uma variável “k curv ” que multiplicada pela curvatura do estado limite último forneça uma curvatura que corresponda ao momento resistente total igual ao momento solicitante total. Esses momentos são:

2 2

Syd Sxd

Sd

M M

M = + (6.4)

2 2

Ryd Rxd

Rd

M M

M = + (6.5)

É de se destacar do que foi exposto acima que para se determinar a “seção deformada” se tem três incógnitas fundamentais, todas obtidas por tentativas em processos iterativos. Essas três incógnitas fundamentais são:

a) inclinação da linha neutra, α;

b) deformação longitudinal no centro de esforços, ε o e c) curvatura, 1/rα.

Na seqüência deste capítulo é analisada a relação entre a deformação ε o e a força normal resistente, N Rd , para que se possa estabelecer um critério para criar o processo iterativo para, dado α, obter ε o correspondente à N Rd = N Sd . Ainda será considerado neste capítulo que a curvatura ou é a do estado limite último ou outro valor que neste capítulo será considerado conhecido.

Nos capítulos seguintes serão analisados: a) a relação entre a inclinação α da linha neutra e a inclinação θ do eixo de solicitação; b) critério para determinar a curvatura (1/r

) que corresponda ao momento M Rd = M Sd .

6.2. No Estado Limite Último

Os esforços resistentes no Estado Limite Último serão calculados com base nas definições dos domínios de deformações da NBR 6118:2004. A figura 6.2 define esses domínios.

Figura 6.2 – Definição dos domínios de deformação da NBR 6118:2004.

Segundo a NBR 6118:2004:

ε c2 = 2,0 % ^o ε cu2 = 3,5 % ^o ε s,lim = -10% ^o

Na figura 6.2 se chamou “x 5 ” a ordenada do ponto de deformação ε c2 na passagem do domínio 4a para o domínio 5, fazendo referência ao domínio 5. Com ε cu2 = 3,5

% ^o , resulta x 5 = 3/7h.

Considere-se a seção transversal indicada na figura 6.2, com as quatro armaduras indicadas. As figuras 6.4, 6.5 e 6.6 mostram a variação da força normal reduzida (ν ), no estado limite último para aquelas quatro armaduras, em função da deformação ε o , para três inclinações da linha neutra (α =0°; 30° e 45°)

d’

d h

x

ε

ε

ε

ε

a

b A

B

C

Alongamentos Encurtamentos

1 2

3 4

5

4a

Figura 6.3 – Seção transversal retangular com quatro considerações de armadura para construção do diagrama “ν x ε

”.

-1,500 -1,000 -0,500 0,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500

-8,0 -7,5 -7,0 -6,5 -6,0 -5,5 -5,0 -4,5 -4,0 -3,5 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

Epson,0 (%o)

Força Normal Reduzida

r=1,09 r=1,70 r=2,77 r=4,35

Figura 6.4 – Diagrama “ν x ε

” para a seção da figura 6.2 com α = 0 graus.

h

h

hx = 38 cm hy = 19 cm cobrimento = 3 cm

Armadura 1: 10 φ 10 mm ( ρ = 1,09%) Armadura 1: 10 φ 12.5 mm ( ρ = 1,70%) Armadura 1: 10 φ 16 mm ( ρ = 2,77%) Armadura 1: 10 φ 20 mm ( ρ = 4,35%)

Concreto C20 - Aço CA 50A

-1,500 -1,000 -0,500 0,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500

-8,0 -7,5 -7,0 -6,5 -6,0 -5,5 -5,0 -4,5 -4,0 -3,5 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

Epson,0 (%o)

Força Normal Reduzida

r=1,09 r=1,70 r=2,77 r=4,35

Figura 6.5 – Diagrama “ν x ε

” para a seção da figura 6.2 com α = 30 graus.

-1,500 -1,000 -0,500 0,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500

-8,0 -7,5 -7,0 -6,5 -6,0 -5,5 -5,0 -4,5 -4,0 -3,5 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

Epson,0 (%o)

Força Normal Reduzida

r=1,09 r=1,70 r=2,77 r=4,35

Figura 6.6 – Diagrama “ν x ε

” para a seção da figura 6.2 com α = 45 graus.

Da observação desses diagramas percebe-se quatro pontos singulares que são

destacados na figura 6.7, genérica. Esses pontos são os de transição entre os

domínios 1 e 2, 2 e 3, 3 e 4 e finalmente entre os domínios 4a e 5. A figura 6.8 salienta a transição entre os domínios 4a e 5.

A observação desses pontos singulares indica que um processo iterativo para encontrar o valor de ε o que corresponda a uma determinada força normal N Rd = N Sd , de modo que se tenha otimizada a velocidade de convergência do processo, pode ser

1) Calcular as forças N Rd para cada ponto de transição de domínio de deformação;

2) Verificar em que intervalo entre pontos singulares se encontra a solução;

3) Calcular a força normal para o ponto médio desse intervalo;

4) Criar o processo iterativo com interpolação através da equação da parábola do segundo grau no intervalo determinado.

-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

-8,0 -7,5 -7,0 -6,5 -6,0 -5,5 -5,0 -4,5 -4,0 -3,5 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

Epson,0 (%o)

Força Normal Reduzida

Figura 6.7: Diagrama “ν – e

” de uma seção retangular, para α = 0. Limites entre os domínios de deformação.

Lim Dom. 4/5

Lim. Dom. 3/4

Lim Dom. 2/3

Lim Dom.1/2

0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3

1,4 1,6 1,8 2

Epson,0 (%o)

Força Normal Reduzida

Figura 6.8 – Diagrama “ν – e

” com α = 0. Limite entre os domínios 4 e 5.

A seguir são ilustrados alguns diagramas “ν x e o ” para a seção em ”L” representada na figura 6.8.

Figura 6.9 – Exemplo de seção em “L” para construção de diagramas “ν - ε

” Lim. dom. 4/5

40 cm

50 cm 15 cm

15 cm 14 φ 16 mm

Concreto: f

= 30 MPa γ

= 1,4 Aço: f

= 500 MPa γ

= 1,15

Armadura: As = 28 cm

ρ = 2,49%

-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

-8,0 -7,5 -7,0 -6,5 -6,0 -5,5 -5,0 -4,5 -4,0 -3,5 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

Epson,0 (%o)

Força Normal Reduzida

Figura 6.10 – Diagrama “ν – e

” para o Estado Limite Último, da seção em “L”, para α = -45°.

-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

-8,0 -7,5 -7,0 -6,5 -6,0 -5,5 -5,0 -4,5 -4,0 -3,5 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

Epson,0 (%o)

Força Normal Reduzida

Figura 6.11 – Diagrama “ν – e

” para o Estado Limite Ultimo, da seção em

“L”, para α = 0°.

-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

-8,0 -7,5 -7,0 -6,5 -6,0 -5,5 -5,0 -4,5 -4,0 -3,5 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

Epson,0 (%o)

Força Normal Reduzida

Figura 6.12 – Diagrama “ν – e

” para o Estado Limite Ultimo, da seção em

“L”, para α = +45°.

6.3. Para uma curvatura menor que a do Estado Limite Último

Em diversas situações se tem as seções de um pilar solicitadas por esforços que não as levam ao Estado Limite Último. Normalmente somente a seção mais solicitada é dimensionada naquele estado e as demais têm a mesma armadura embora os esforços solicitantes sejam menores. A figura 6.13 ilustra uma seção para a qual se mostra o diagrama de deformações no estado limite último com curvatura (1/r

) ELU com ε c,máx = ε cu2 e com curvatura 1/r

= K curv .(1/r) ELU com ε c,máx < ε cu2 . A figura 6.14 apresenta um gráfico “ ν - ε o ”, onde cada curva corresponde a uma curvatura dada por:

1/r

= K curv .(1/r) ELU (6.6)

onde:

(1/r) ELU é a curvatura no Estado Limite Último para dado ε o

K curv é um fator que pode variar de zero a 1

1/r

é a curvatura adotada para a seção.

Observa-se que a variação de N Rd com ε o permanece do mesmo tipo que no estado limite último, de modo que, o processo iterativo pode ser o mesmo.

Figura 6.13 – Diagramas de deformação para curvaturas (1/r

)

do estado limite último com ε

= ε

e 1/r

= K

.(1/r)

com ε

< ε

.

Seção Transversal:

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

-8,0 -7,5 -7,0 -6,5 -6,0 -5,5 -5,0 -4,5 -4,0 -3,5 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

Epson,0 (%o)

Força Normal Reduzida

Kcurv=1 Kcurv=0,8 Kcurv=0,6 Kcurv=0,4 Kcurv=0,2 Kcurv=0,1 Kcurv=0,05

Figura 6.14: Diagrama “ν – e

” para curvaturas dadas por 1/r = k

.(1/r)

f

= 30 MPa;

γ

= 1,4 f

= 500 MPa;

γ

= 1,15

A

→ 14 Φ 22; ω = 0,60 d’/h

= 0,15

α = 45 ° 30 cm

60 cm

X Y

L.N E.S.

θ

α h

U//LN V⊥ LN

X

Y N

CE

ε

= ε

ε

ε

(+)

(-) α

θ

E.S.

ε

< ε

ε

ε

(+)

(-)

1/r

=(1/r

)

1/r

=K

.(1/r

)