Exercícios sobre trigonometria no triângulo retângulo, lei dos senos e lei dos cossenos
Exercícios
1.
Ao coletar os dados para um estudo topográfico da margem de um lago a partir dos pontos A, B e T, um técnico determinou as medidas AT = 32 m; BT = 13 m e ATB = 120º, representadas no esquema abaixo.Calcule a distância, em metros, entre os pontos A e B, definidos pelo técnico nas margens desse lago.
2.
Na figura abaixo, O é o centro da circunferência de raio 1, a reta 𝐴𝐵⃡ é secante a ela, o ângulo β mede 60° e sen α = √34 .3.
Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois braços articulados que se movem em um plano vertical, perpendicular ao plano do chão. Na figura, os pontos O, P1 e P2 representam, respectivamente, a articulação de um dos braços com a base, a articulação dos dois braços e a extremidade livre do guindaste. O braço 𝑂𝑃1 ̅̅̅̅̅̅tem comprimento 6 e o braço 𝑃1𝑃2̅̅̅̅̅̅̅ tem comprimento 2. Num dado momento, a altura de P2 é 2, P2 está a uma altura menor do que P1 e a distância de O a P2 é 2√10 . Sendo Q o pé da perpendicular de P2 ao plano do chão, determine:a) o seno e o cosseno do ângulo P2ÔQ entre a reta 𝑂𝑃2⃡ e o plano do chão;
b) a medida do ângulo O𝑃̂1P2 entre os braços do guindaste;
c) o seno do ângulo P1ÔQ entre o braço 𝑂𝑃1̅̅̅̅̅̅ e o plano do chão.
4.
(ADAPTADA) Um engenheiro precisa interligar de forma suave dois trechos paralelos de uma estrada, como mostra a figura abaixo. Para conectar as faixas centrais da estrada, cujos eixos distam d metros um do outro, o engenheiro planeja usar um segmento de reta de comprimento x e dois arcos de circunferência de raio r e ângulo interno α:Se o engenheiro adotar α = 45°, o segmento central medirá x = d √2 − 2r(√2 − 1) . Nesse caso, supondo que d = 72 m, e r = 36 m, determine a distância y entre as extremidades dos trechos a serem interligados.
5.
No triângulo ABC da figura, a mediana 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ , relativa ao lado 𝐵𝐶̅̅̅̅ , é perpendicular ao lado 𝐴𝐵̅̅̅̅. Sabe-se também que 𝐵𝐶̅̅̅̅ = 4 e 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ = 1. Se α é a medida do ângulo A𝐵̂C , determine:a) senα.
b) o comprimento AC.
c) a altura do triângulo ABC relativa ao lado AB.
d) a área do triângulo AMC.
6.
Na figura abaixo, observa-se o retângulo ABCD, que contém o triângulo retângulo DEF, no qual DF = 1.Considerando os ângulos EDF = α e CDE = β, determine o comprimento do lado DA em função de α e b.
7.
(ADAPTADA) No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figura, a hipotenusa AC mede 12 cm e o cateto BC mede 6 cm. Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do ângulo MÂC é igual a:8.
Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margem de um riacho, como mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradas na figura, bem como os ângulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito.a) Calcule a distância entre A e B.
b) Calcule a distância entre B e D.
9.
(ADAPTADA) Sejam A, B e C pontos de uma circunferência tais que, AB = 2km, BC = 1km e a medida do ângulo ABˆCseja de 135°.Calcule o raio dessa circunferência.
10.
Sejam A, B, C e N quatro pontos em um mesmo plano, conforme mostra a figura ao lado.a) Calcule o raio da circunferência que passa pelos pontos A, B e N.
b) Calcule o comprimento do segmento NB.
Gabarito
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. O triângulo ABC é retângulo, com ângulo reto em B. O enunciado fala que:
Observando os ângulos, vemos que:
Dessa forma,
Assim,
8.
9.
Calculando o lado oposto ao ângulo de 135º, temos:
2 2 5 x 2 2 5 2 x
. 2 4 5 x º 135 cos ).
1 ).(
2 .(
2 1 2
x2 2 2 2 2 = + = +
−
−
=
− +
=
10.
