TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
(1) Para começar, você tem que saber as definições de seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos do triângulo retângulo. Faça agora essas definições mentalmente. (seno é a razão entre o cateto...)
(2) Lembre-se de que dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é igual a 90º. Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares.
(3) A palavra cosseno, que significa seno do complemento, é uma alusão ao fato de que o cosseno de um ângulo é o seno do complemento desse ângulo.
Por exemplo,
o o
2 0 7 0
s e n c o s
= ,
o o
5 5 3 5
c o s s e n
= etc.
(4) Convém você se familiarizar com os valores da altura do triângulo equilátero e da diagonal do quadrado, pois, como já sabe, a trigonometria dos ângulos fundamentais, isto é, 30º, 45º e 60º, é gerada por essas duas figuras.
CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
Na aula de congruência de triângulos, apresentamos os critérios de congruência. São os seguintes: L.L.L. – L.A.L – A.L.A. – L.A.A
O– L.L.A
RETO. Porém, além disso, ficaram estabelecidos conceitos e propriedades estruturais importantes da Geometria. Veja quais são.
(1) Mediatriz de um segmento de reta AB é a reta que passa pelo ponto médio de AB e que é perpendicular a AB .
(2) Mediatriz de um segmento de reta AB é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de A e B.
(3) Distância de um ponto P a uma reta r é a medida do segmento que tem uma extremidade em P, outra num ponto Q da reta r e tal que PQ é perpendicular à reta r.
(4) Bissetriz de um ângulo é a semirreta que tem origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes.
(5) Bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes dos lados desse ângulo.
(6) No triângulo isósceles, a altura, a bissetriz e a mediana relativas à base coincidem num só segmento de reta. Esse segmento está contido na mediatriz da base.
PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO
Esta aula apresentou-lhe vários conceitos e propriedades. É imprescindível que você os compreenda e os retenha. Conforme temos insistido durante as aulas, os conceitos constituem o vocabulário com que nos comunicamos e as propriedades são as “armas” que empregamos para resolver os problemas. Leia atentamente as colocações seguintes.
(1) Faça para você mesmo, mentalmente, as definições de altura, mediana e bissetriz interna de um triângulo. Defina, agora, mediatriz de um segmento de reta. No caso da bissetriz e da mediatriz, relembre também as propriedades de seus pontos.
α β
.
30
o60
olado
lado lado
meio lado meio
lado 3
lado 2 45
o45
o.
A
B A
B
M M
r r
r P
Q
αα αα
.
altura mediana bissetriz
mediatriz A
B M C
o
9 0
α + β = s e n c o s
α = β
1
FERRAMENTAS DA GEOMETRIA PLANA
Observação. Vale insistir que bissetriz, altura e mediana são segmentos distintos, com diferentes funções, e que a mediatriz é uma reta que, a princípio, nada tem a ver com esses segmentos. Porém, com relação à base de um triângulo isósceles, como já vimos, altura, bissetriz e mediana coincidem e estão contidas na mediatriz da base.
(2) Relembre, agora, quais são os pontos notáveis do triângulo.
Baricentro: Encontro das medianas.
Incentro: Encontro das bissetrizes internas.
Ortocentro: Encontro das retas suportes das alturas.
Circuncentro: Encontro das mediatrizes dos lados.
(3) A seguir, relembre as propriedades dos pontos notáveis.
(4) Por fim, dê especial atenção ao fato de que, no triângulo equilátero, e apenas nele, os quatro pontos notáveis coincidem.
QUADRILÁTEROS E POLÍGONOS EM GERAL Mais uma vez você está diante de uma aula rica em conceitos e propriedades. Certifique-se de que você assimilou as definições dos paralelogramos e dos trapézios. Assegure-se também de que dominou as propriedades sobre os ângulos dos paralelogramos e sobre suas diagonais.
(1) O quadro abaixo indica com a letra X as propriedades das diagonais dos paralelogramos.
P = paralelogramo qualquer R = retângulo
L = losango Q = quadrado
AS DIAGONAIS P R L Q CORTAM-SE AO MEIO X X X X
SÃO CONGRUENTES X X
SÃO PEPENDICULARES X X
SÃO BISSETRIZES X X
Sobre os ângulos de um paralelogramo qualquer você tem que saber que:
(2) Os ângulos opostos são congruentes
(3) os ângulos adjacentes a um mesmo lado são suplementares.
altura
mediana bissetriz
mediatriz A
B M C
A A
B M C B C
P N G BARICENTRO (G)
I
= = =
AG GM
BG GN
CG GP
2 1
Centro da circunferência inscrita
INCENTRO ( ) I
.
A A
B C B C
.
H
Sem propriedade a destacar
O
ORTOCENTRO (H) CIRCUNCENTRO (O)
Centro da circunferência circunscrita
.
2 R r
=
2 3
R h
=
1 3
r h
=
o
1 8 0 α + β =
2
(4) Com relação a um polígono convexo, você tem que saber calcular o número de diagonais, a soma dos ângulos internos e saber o valor da soma de seus ângulos externos (360º
(5) Por fim, lembre-se de que o polígono regular, por definição, é equilátero e equiângulo. Como conseqüência, seus ângulos externos são congruentes e, como a soma de todos os ângulos externos é igual a 360º, fica fácil calcular o valor de cada um.
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA
(1) Na figura abaixo, diz-se que o ângulo de medida β está inscrito na circunferência, ou ainda, que ele está inscrito no arco ABC. Procure incorporar isso ao seu vocabulário.
(2) Ao deparar-se com um ângulo inscrito numa circunferência, do qual se conhece a medida, crie o hábito de calcular mentalmente não apenas a medida do arco que ele enxerga, mas também a do arco em que ele está inscrito. Observe atentamente as situações a seguir.
Diante destas figuras...
você deve “enxergar” estas medidas:
(3) Procure registrar, não somente que o triângulo retângulo é inscritível numa semicircunferência, mas também que a mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da hipotenusa.
(4) O que diferencia o quadrilátero inscritível numa circunferência dos demais quadriláteros? Seus ângulos opostos são suplementares.
A C 1 8 0
o+ =
(5) Todo polígono regular é inscritível numa circunferência. Desenhá-la pode facilitar bastante as resoluções de problemas que os envolvem.
Observe o ângulo formado por duas das diagonais do eneágono regular da figura1. Desenhando-se a circunferência circunscrita, como na figura 2, passamos a ter um ângulo excêntrico interno de medida facilmente calculável.
i
1i
2i
3i
ne
1e
ne
3e
2i
i
i i
i e
e
e
e e
( n n 2 3 )
d −
=
( 2 1 8 0 )
oS
in
= −
o
3 6 0 S
e=
o
3 6 0
e = n
o
1 8 0
e i
+ =
3
figura 1 figura 2
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Além da forte presença nos exames vestibulares, a semelhança de triângulos constitui uma estrutura fundamental para a Geometria. Seguem elementos de destaque desta aula. Estude-os com atenção.
(1) O critério fundamental de semelhança de triângulos (critério A.A.) é o seguinte:
Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos de um deles são congruentes a dois ângulos do outro.
(2) A sentença A ∆ ABC P ~ ∆ PQR permite concluir que
B Q
C R
≅
≅
≅
∢ ∢
∢ ∢
∢ ∢ e
A B B C A C
P Q = Q R = P R
Por isso, ao escrever a sentença ∆ ... ~ ∆ ... , coloque as letras sempre em ordem de correspondência.
(3) Base média de um triângulo é qualquer segmento que une os pontos médios de dois lados desse triângulo. A base média é sempre paralela ao terceiro lado e sua medida é a metade da medida desse lado.
(4) A base média de um trapézio é o segmento que une os pontos médios dos lados transversos desse trapézio. Ela é sempre paralela às bases e sua medida é a média aritmética das medidas das bases.
Repare que a, m e b, nessa ordem, formam uma Progressão Aritmética.
Teorema Fundamental da Semelhança
“Se dois lados de um triângulo, ou seus prolongamentos, são cortados por uma paralela ao terceiro lado, o novo triângulo formado é semelhante ao triângulo primitivo”
ABC
~ ADE BC //
DE ⇒ ∆ ∆
Este é o teorema fundamental da semelhança. Ele se faz presente em problemas que envolvem paralelogramos (isto é, losangos, retângulos, quadrados), inscritos em triângulos, como no caso do retângulo inscrito no triângulo da figura seguinte.
IMPORTANTE
BC //
EF ⇒ ∆ AEF ~ ∆ ABC ⇒
h x h a
y −
=
Suponha que dois lados de um triângulo sejam intersectados por uma reta paralela ao terceiro lado Então, esses dois lados e todas as cevianas relativas ao terceiro lado ficam divididos numa mesma razão.
Particularmente, se a reta passar pelos pontos médios dos lados, passará pelos pontos médios de todas essas cevianas.
AC ... AQ AE AS AD AR AB
AP = = = =
A
M
B C
N
a a 2
A
B C
D
M N
a b
m
α α
α
β β
β
θ β θ
θ
θ A
B C
D E
A
B C
E D
A
B C
E F
A
B C
E y F
x y
x
(h x) h
a
A
B C
P R S T Q
D E F
A
B C
P R S T Q
D E F
M N // A D
// B C e 2
b m a +
=
M N // B C
e
2
M N B C
=
4
O TRIÂNGULO RETÂNGULO
(1) As relações que envolvem os lados do triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa e as projeções dos catetos sobre ela são as seguintes.
(2) Para refinar seu vocabulário matemático, lembre-se
de que:
Se 2
b x a +
= , então x é a média aritmética entre a e b.
Se x
2= a ⋅ b , então x é a média geométrica entre a e b.
(3) Localize entre as fórmulas acima as que estão enunciadas a seguir.
Em todo triângulo retângulo, cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e sua projeção ortogonal sobre ela.
Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa é a média geométrica entre as projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.
(4) Se o lado de um triângulo eqüilátero é conhecido, é necessário que você tenha “prontos” a altura, o raio do círculo inscrito e o raio do círculo circunscrito a esse triângulo.
TÉCNICAS DE RESOLUÇÃO E ESTRUTURAS OCULTAS EM FIGURAS
Até aqui, durante as aulas, discutimos algumas técnicas bastante eficientes na resolução de problemas. Foram também destacadas algumas estruturas que se repetem freqüentemente nas figuras, ocultas nas mesmas, e que, uma vez percebidas, podem abrir o caminho da resolução.
Vamos destacar algumas dessas técnicas e estruturas.
Translação no trapézio
Traçado de raios “bons”
a) Reta e circunferência
b) Circunferências tangentes
Importante. Os centros e os pontos de tangência são pontos alinhados. Note que, conforme a tangência seja externa ou interna, a distância dos centros é igual à soma ou à diferença dos raios, respectivamente. (Veja estas figuras)
A B R r
= + A B = R − r c) Circunferências secantes
A
B C
H a c b
h
m n
r
R H
O O
O O
t t
T T
A
B
A
B
s s
3 2
H = ℓ
1 3
r H
=
2 3
R H
=
2 2 2
= +
a b c
2
= ⋅
b a n
2
= ⋅
c a m
⋅ = ⋅
b c a h
2
= ⋅
h m n
5
Corda de circunferência
Estrutura oculta
Circunferência tangente aos lados de um ângulo a) Ângulo qualquer
Estrutura oculta
b) Ângulo Reto
Estrutura oculta
OAVB é um quadrado PROPRIEDADES DIVERSAS
Tivemos uma aula em que várias propriedades foram apresentadas. Tais propriedades não têm sido exploradas intensamente nos vestibulares. Porém, estão nos programas e, portanto, você tem que sabê- las. São as seguintes.
Desigualdades no triângulo.
Em todo triângulo ao maior lado opõem-se o maior ângulo, e reciprocamente.
Em todo triângulo cada lado é menor do que a soma dos outros dois.
Segmentos de tangentes
Se duas retas, concorrentes num ponto P, tangenciam um circunferência nos pontos A e B, então PA = PB.
Relações métricas na circunferência
Para a figura 1, temos:
( P A ) ( ⋅ P B ) ( = P C ) ( ⋅ P D ) ( = P E ) ( ⋅ P F ) = . . .
E para a figura 2,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
. . .
P T P A P B P C P D P E P F
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
figura 1 figura 2
ÁREA DO TRIÂNGULO
Vamos destacar alguns elementos teóricos que são imprescindíveis para uma base sólida no cálculo de áreas.
(1) Você tem que saber, com desenvoltura, as três fórmulas fundamentais para a área do triângulo.
2 h a ⋅
•
2 sen c b ⋅ ⋅
•
• Fórmula de Herão:
A
B C
A
B C
a c b
A
B a C
c b
A
B
P
P A
B C
D
E F
A
B C
D
E F
P T
a b c A B C
≥ ≥ ⇒ ≥ ≥
a b c
b a c
c b c
< +
< +
< +
( )( )( )
S p p a p b p c
= − − −
6
Dê especial atenção à fórmula 2
sen c b ⋅ ⋅
. Ela se aplica com enorme freqüência.
(2) Muitas vezes, a fórmula
2 altura base ⋅
permite interpretações rápidas nas figuras. Por exemplo.
• Triângulos com bases iguais, têm suas áreas proporcionais às alturas relativas a essas bases.
• Triângulos com duas alturas iguais, têm suas áreas proporcionais às bases correspondentes a essas alturas.
(3) Fique atento ao triângulo equilátero. Não há necessidade de se memorizar uma fórmula para calcular sua área, mas é preciso saber calcular sua área com rapidez.
2 60
0sen a S a ⋅ ⋅
= ou
2 1 2
3 ⋅
⋅
= a
a S
(4) Com o hexágono regular você tem que ter total intimidade. Tem que saber que, ligando seus vértices ao centro, ele fica decomposto em 6 triângulos eqüiláteros. Daí, é imediato concluir que:
• seus ângulos internos medem 120º cada um;
• seu lado é igual ao raio do círculo circunscrito.
(5) Nas figuras, procure observar com atenção a presença de segmentos perpendiculares a lados. Eles
podem funcionar como alturas de triângulos ocultos.
Estrutura oculta
Estrutura oculta
ÁREA DO CÍRCULO E DE SUAS PARTES
Esta aula acrescenta apenas duas fórmulas às que você já vem utilizando. Ou seja:
• S
Círculo= π ⋅ R
2• C
Circunferência= 2 ⋅ π ⋅ R
Porém, os problemas sobre a área do círculo, e de suas partes, empregam vários itens de teoria estudados antes. Destaque para os seguintes.
(1) A altura do triângulo equilátero e a diagonal do quadrado. (Veja elas aí novamente)
2 3
h = a d = a 2
(2) Você deve saber calcular com desenvoltura o raio do círculo inscrito e o raio do círculo circunscrito no quadrado, no triângulo equilátero e no hexágono regular, quando deles se conhecem os lados. Calcule esses raios para os seguintes casos:
a) Quadrado de lado igual a 4.
A
B C
E 3h
h a
2a 5a
h A
B C
D
E F
a
a
a a
a
a a 3 2 60
o60
or r
r 120
oa a a
h a
a a a
d 5
= 2
DEF ABC
S S
1 3
E B C A B C
S
S =
7
b) Triângulo equilátero de lado igual a 6.
c) Hexágono regular de lado igual a 4.
(4) Tenha sempre em mente as estruturas ocultas em determinadas figuras, como as seguintes, que já foram apresentadas anteriormente.
Corda de circunferência
Estrutura oculta
Circunferência tangente aos lados de um ângulo a) Ângulo qualquer
Estrutura oculta
b) Ângulo Reto
Estrutura oculta
OAVB é um quadrado
LEI DOS SENOS E LEI DOS COSSENOS Lei dos senos
Em todo triângulo os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. A constante de proporcionalidade é igual a 2R, onde R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
Lei dos cossenos
Em todo triângulo, o quadrado de qualquer lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o duplo produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo compreendido entre eles.
Reconhecimento da natureza de um triângulo Sejam a, b e c os lados de um triângulo e seja a o maior desses lados. Decorre de imediato da lei dos cossenos que:
Isso permite que classifiquemos um triângulo quanto aos ângulos quando dele conhecemos apenas os lados.
6 6
.
.
.
.
4
4
2
a b c
senA = senB = senC = R
2 2 2
2
a = b + c − ⋅ ⋅ ⋅ b c cos A
2 2 2
90
oa < b + c ⇒ A <
2 2 2
90
oa = b + c ⇒ A =
2 2 2
