7a. lista de C´alculo II
Bacharelado de F´ısica Noturno - Turma 22 - 2o. semestre de 2006 I. Sobre Regra da Cadeia
I.1. Seja a fun¸c˜ao f(x, y) =
x3
x2+y2 se (x, y)6= (0,0) 0 se (x, y) = (0,0)
. Considere a curva γ(t) = (t, t), para t ∈IR, e seja a fun¸c˜ao z=z(t) = f(γ(t)).
a. Determine a senten¸ca de z =z(t).
b. Calcule dz
dt(0), usando a senten¸ca obtida em a.
c. Calcule∇f(0,0)◦γ0(0). Compare este resultado com o obtido em b. Voce sabe explicar o que aconteceu e o motivo do acontecido?
I.2. Seja z = f(x, y) uma fun¸c˜ao de classe C1 tal que f(1,2) = 3 e ∇f(1,2) = (3,1).
Considere a curva diferenci´avel γ(t) = (t3, 2, z(t)), t ∈ IR, cuja imagem est´a contida no gr´afico def. Determine a equa¸c˜ao da reta tangente `aγ no ponto γ(1).
II. Sobre Gradiente e suas aplica¸c˜oes
II.1. Determine uma equa¸c˜ao da reta tangente `a curva x2 +xy+ 3y2 −3y = 9, no ponto (1,2).
II.2. Determine uma equa¸c˜ao da reta que ´e tangente `a curva x2+xy+y2 = 7 e ´e paralela
`
a reta 4x+ 5y= 17.
II.3. Seja r areta tangente `a curva x3 + 3xy+y3 = 18 no ponto (1,2). Determine as retas que s˜ao tangentes `a curva x2+xy+y2 = 7 e paralelas `a reta r.
II.4. Determine uma equa¸c˜ao do plano tangente e da reta normal `a superf´ıciez ex−y+z3 = 2 no ponto (2,2,1).
II.5. Determine uma equa¸c˜ao de um plano que passa pelos pontos (5,0,1) e (1,0,3) e que seja tangente `a superf´ıciex2 + 2y2+z2 = 7. S´o existe um tal plano?
II.6. Determine os pontos do hiperbol´oidex2−y2+ 2z2 = 1 em que a reta normal ´e paralela
`
a reta que une os pontos (3,−1,0) e (5,3,6).
II.7. Determine um plano tangente `a superf´ıciexyz =a, com a6= 0, e que seja paralelo ao plano x+y+z+ 100 = 0.
II.8. Mostre que o elips´oide 3x2+2y2+z2 = 9 e a esfera x2+y2+z2−8x−6y−8z−24 = 0 se tangenciam em (1,1,2) (isto ´e, que elas tˆem o mesmo plano tangente neste ponto).
II.9. Ache um vetor tangente `a intersec¸c˜ao das superf´ıcies z =x2+y2 e 4x2+y2+z2 = 9 no ponto (−1,1,2). (sugest˜ao: use vetores normais)
II.10. Ache uma equa¸c˜ao da reta tangente `a intersec¸c˜ao do cilindro x2 +y2 = 2 com o gr´afico def(x, y) =x3+y3+ 2 no ponto (1,1,4).
II.11. A imagem de uma curva γ = γ(t), com t ∈ IR, est´a contida na intersec¸c˜ao das superf´ıcies x2+y2+z2 = 3 e x2+ 3y2−z2 = 3. Determine a reta tangente aγ no ponto γ(to) = (1,1,1)
II.12. Sejam f : IR2 → IR e γ : IR →IR3 fun¸c˜oes diferenci´aveis com ∇f(1,0) = (2,1) e γ0(t)6= (0,0,0), para todot ∈IR. Suponha que a imagem deγ esteja contida na intersec¸c˜ao do gr´afico de f com a superf´ıcie z3+x3+yz+xy3 = 0. Sabendo-se que (1,0,−1)∈Im γ, determine uma equa¸c˜ao para a reta tangente `a γ neste ponto.
III. Sobre derivadas direcionais III.1. Calcule ∂f
∂~u, para as fun¸c˜oes, nos pontos e~u indicados.
a. f(x, y) = 4xy2−7x2, (xo, yo) = (2,−3) e ~u= (cosπ
3,sen π 3).
b. f(x, y, z) = arctanx y
−2z, (xo, yo, zo) = (1,1,1) e ~u o versor de 4~i−2~k.
III.2. Ache a derivada direcional (taxa de varia¸c˜ao) m´axima de f no ponto dado e dˆe a dire¸c˜ao em que ela ocorre.
a. f(x, y) =x e−y + 3y e (1,0); b. f(x, y, z) = x y +y
z e (4,2,1).
III.3. Seja z = f(x, y) uma fun¸c˜ao de classe C1 no IR2 e considere os pontos A = (1,3), B = (3,3),C = (1,7) eD= (6,15). Sabe-se que a derivada direcional de f emA na dire¸c˜ao do versor de AB~ ´e 3 e que a derivada direcional de f em A e na dire¸c˜ao do versor de AC~ ´e 26. Qual ´e a taxa de varia¸c˜aof em A na dire¸c˜ao do versor de AD?~
III.4. Mostre que a fun¸c˜ao f(x, y) =
x2y
x4+y2 se (x, y)6= (0,0) 0 se (x, y) = (0,0)
tem todas as derivadas direcionais em (0,0), mas n˜ao ´e diferenci´avel em (0,0)
III.5. Suponha que sobre uma certa regi˜ao do espa¸co o potencial el´etrico V ´e dado por V(x, y, z) = 5x2−3xy+xyz.
a. Ache a taxa de varia¸c˜ao do potencial em P = (3,4,5) na dire¸c˜ao do vetor~v =~i+~j−~k.
b. Em que dire¸c˜aoV muda mais rapidamente em P? Qual ´e maior taxa de varia¸c˜ao de V em P.
III.6. Seja f uma fun¸c˜ao diferenci´avel no IR2 e tal que γ(t) = (t+ 1,−t2), para t ∈ IR, ´e uma curva de n´ıvel de f. Sabendo-se que ∂f
∂x(−1,−4) = 2, determine a derivada direcional de f no ponto (−1,−4) na dire¸c˜ao do vetor 3~i+ 4~j.
