Controle de Distorção em Aplicações Multimodais

(1)

Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matem´atica

Curso de Pós-graduação em Matemática

Dissertac¸˜ao de Mestrado

Controle de distorc

¸˜

ao em aplicac

¸˜

oes multimodais

Maur´ıcio Sobral Brand˜

ao

Salvador-Bahia

(2)

Controle de distorc

¸˜

ao em aplicac

¸˜

oes multimodais

Maur´ıcio Sobral Brand˜

ao

Disserta¸c˜ao apresentada ao

colegiado do curso de P´

os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da

Universidade Federal da Bahia,

como requisito parcial para

obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre

em Matem´atica.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (Orientador)

Prof. Dr. Jos´e Ferreira Alves

(3)

Brand˜

ao, M. S.

”Controle de Distorc

¸˜

ao em Aplicac

¸˜

oes

Multi-modais”./Maur´ıcio Sobral Brand˜ao. Salvador-Ba, 2003.

Orientador: Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (UFBA). Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao curso de Pós-gradua¸cão em Matemática da UFBA, 25 páginas.

(4)

Agradecimentos

Quero primeiramente agradecer a Deus. Sei que pouco eu tenho retribu´ıdo diante do muito que me foi dado.

Agrade¸co a meus pais pela dedica¸c˜ao, por todo carinho e confian¸ca.

A minha esposa e minhas duas filhas, por vocês existirem e me acompanharem nesta jornada não economizando carinho, compreensão, paciência.

Aos meus professores, que direta ou indiretamente me auxiliaram nesta conquista e em particular ao meu orientador, Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro, pela sua paciência, dedica¸cão e cuidado tornando poss´ıvel a realiza¸cão deste trabalho.

(5)

Resumo

Consideramos neste trabalho uma aplica¸cão multimodal f com pontos cr´ıticos não-flat podendo estes serem pontos de inflexão. Mostramos uma versão melhorada do lema de Koebe e um resultado sobre Schwarziana negativa. Com estes resultados mostramos que a primeira aplica¸cão de entrada a uma vizinhan¸ca do conjunto cr´ıtico é uma com-posi¸cão de fun¸cões da forma L◦f, sendo L um difeomorfismo com distor¸cão limitada. Finalmente, mostramos uma proposi¸cão que permite concluir que a quantidade de com-ponentes ergódicas está associada ao número de classes de equivalências formadas pelos pontos cr´ıticos, sendo, em particular, menor ou igual ao número de classes.

(6)

Abstract

In this dissertation we work with a multimodals maps fwhich have non-flat critical points. These points could be inflection points. We prove a improved version of Koebe´s lemma and a negative Schwarziana derivate result. With these results we demonstrate that the first entry map to neighbourhood of the set of critical points is a composition of maps of the type L◦f, where L is a diffeomorphism with bounded distortion. Finally, we show a proposition that allow us conclude that the quantity of ergodic components are associated to the number of equivalence classes of critical points, in particular, the number ergodic components is not bigger than the number of equivalence classes.

(7)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 2

2 Derivada Schwarziana e Controle de Distor¸c˜ao 8

3 Ergodicidade 22

Referˆencias Bibliogr´aficas 25

(8)

Lista de Figuras

2.1 IntervalosL, J′ _e_R _quando_fn_|

T0 ´e um difeomorfismo . . . 13

2.2 fn′

(fni+1+1(J))⊂(fni+1(J)) . . . 15

2.3 φn+1 ´e a primeira aplica¸c˜ao de retorno a In restrita a In+1 . . . 17

(9)

Introdu¸

c˜

ao

Uma fun¸cão que possui distor¸cão limitada goza de propriedades ergódicas importantes no estudo da dinâmica de um sistema. Desta forma, é importante sabermos quais classes de fun¸cão apresentam controle de distor¸cão.

Várias publica¸cões nos trazem resultados em aplica¸cões unimodais a exemplo de M. Martens [Ma] que mostrou no seu trabalho que aplica¸cões unimodais com derivada Schawrziana negativa tem de distor¸cão limitada. Em 2000, O. Koslovski [K] em seu artigo mostra que fun¸cões unimodaisC3 _{com ponto cr´ıtico não flat possui derivada Schawrziana}

negativa na vizinhan¸ca do ponto cr´ıtico. Sendo assim, todos os resultados obtidos supondo Schawrziana negativa são válidos exigindo-se menos das fun¸cões.

Nosso trabalho é baseado no artigo de S. van Strien e E. Vargas [vS-V] onde os au-tores obtém resultados similares aos obtidos nos dois trabalhos anteriormente citados, considerando agora aplica¸cões multimodais. Come¸camos por um cap´ıtulo de no¸cões pre-liminares, abordando os conhecimentos básicos usados nos cap´ıtulos seguintes.

No segundo cap´ıtulo, assumimos que as fun¸cões em questão possuem ”Real Bounds”para pontos recorrentes do dom´ınio e mostramos que altos iterados destas fun¸cões possuem Schawrziana negativa . Em seguida mostramos que a primeira aplica¸cão de entrada a uma vizinhan¸ca do conjunto cr´ıtico de tais fun¸cões é uma composi¸cão de duas fun¸cões sendo que uma delas possui distor¸cão limitada. Finalmente, concluindo nosso trabalho, obtemos um resultado quanto a ergodicidade com respeito a medida de Lebesgue.

Todas as demonstra¸cões são essencialmente as mesmas feitas no artigo acrescidas de detalhes menos óbvios para quem se inicia em Dinâmica Unidimensional.

(10)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Faremos neste cap´ıtulo as defini¸c˜oes e enunciaremos propriedades utilizadas no de-senvolvimento deste trabalho.

Consideremos, caso n˜ao seja feita qualquer ressalva, uma fun¸c˜ao f :M →M de classe C3 _sendo _M _{= [−1; 1] com uma quantidade finita de pontos cr´ıticos, com} _f_(∂M₎_⊂_∂M_.

Esta aplica¸cão é denominada de multimodal pois M admite uma parti¸cão com uma quantidade finita de sub-intervalos onde a f é estritamente monótona.

Um intervalo aberto I ⊂ M ´e chamado de intervalo nice se a ´orbita futura de sua

fronteira n˜ao intersecta I isto ´e , IT µ∞

[

i=0

fi_(∂I)

¶ =∅.

Seja o intervalo I ⊂ M e o conjunto J ={x ∈ I|∃k ∈ Z, k ≥1 tal que fk_(x) _∈_I_}.

Definimos a primeira aplica¸c˜ao de retorno φ : J → I por φ(x) = fk_(x), _∀x _∈ _{J, onde}

k = min{n, n > 0|fn_(x) _∈ _{I}. Cada componente conexa do dom´ınio da aplica¸c˜ao de}

retorno ´e denominado dom´ınio de retorno.

Consideremos então I um intervalo nice e sejaφ a primeira aplica¸cão de retorno aI. Um fato importante é queφaplica a fronteira de qualquer dom´ınio de retorno na fronteira deI e isto é garantido pela continuidade def. Por conseqüência desta propriedade, segue que qualquer dom´ınio de retorno é nice também.

Seja um intervalo I ⊂ M aberto e um ponto x ∈ M tal que fn_(x) _∈ _{I. Podemos}

definir uma seqüência finita de intervalos fazendoIn =I eIi−1é a componente conexa de

f−1_(I

i) contendofi−1(x). Considerando esta seqüência , dizemos queIi,i < né opullback

de I por {fi_{(x), ..., f}n_{(x)}. Usamos a nota¸c˜ao} _{I

i}ni=0 para representar a seq¨uˆencia de

(11)

Preliminares 3

intervalos e esta recebe o nome decadeia. SeIé um intervalo nice então qualquer elemento de {Ii}ni=0 é nice também e dois elementos quaisquer desta seqüência são disjuntos ou

encaixantes, isto ´e, um deles est´a contido no outro.

Considerando I nice,x∈I en o menor inteiro positivo tal quefn_(x)_∈_I_{, o pullback}

deI por {x, ..., fn_(x)}_{´e o dom´ınio de retorno da primeira aplica¸c˜ao de retorno contendo}

x. Neste caso, dois elementos da cadeia {Ii}ni=0−1 s˜ao sempre disjuntos.

Dada uma cadeia{Gi}ni=0, definimos também amultiplicidade de interse¸cão o número

máximo de intervalos da mesma cuja interse¸cão é diferente do vazio.

Uma ferramenta importante em nosso estudo é investigar como a aplica¸cão em questão age sobre intervalos encaixantes com determinado espa¸co entre eles. A defini¸cão a seguir diz se um intervalo está contido em outro com espa¸co e nos dá uma idéia do tamanho deste espa¸co.

Sejam U,V intervalos limitados tais que o fecho de U est´a contido no interior de V. Diremos que V ´e uma α-vizinhan¸ca de U se |U+_{| ≥} _α|U_| _e _|U−_{| ≥} _α|U_{|, onde} _U+ _e _U−

são as componentes conexas de V\U. Muitas vezes diremos que U é α-contido em V. Quando for bem claro qual a constante diremos simplesmente que U ébem posto em V. Denotamos o comprimento do intervalo U por |U| .

Seja f uma aplica¸c˜ao C1_{. Se} _T _⊂ _M _{´e um intervalo tal que} _Df(x) _{6= 0} _∀x _∈ _T_,

definimos a distor¸c˜aode f em T como:

Dist(f, T) = sup

x,y∈T

log|Df(x)| |Df(y)|

Seja cum ponto cr´ıtico de uma aplica¸cão f :M −→M, (f′(c) = 0), dizemos quecé um ponto não-flat se existe um difeomorfismoψ de classeC3_, _β _≥_{2 e uma vizinhan¸ca}_V

c

dec tais que f(x) = ±|ψ(x)|β ₊_f_(c),_∀x_∈_V c.

Em nosso trabalho, todos os pontos cr´ıticos de f são não-flat e uma propriedade importante quando temos pontos cr´ıticos não-flat é enunciado a seguir.

Lema 1.1. Seja J tal que d(J, Cr) > 0. Se todos os pontos cr´ıticos de f são não-flat então ∃K >0 tal que

|Df(x)|

|Df(y)| ≥exp µ

−K |J| d(J, Cr)

¶

, ∀x, y ∈J

Onde d(J, Cr) ´e a distˆancia entre J e o conjunto dos pontos cr´ıticos. Considerando que

(12)

Preliminares 4

Prova. Seja c o ponto cr´ıtico de f mais próximo de J. Como c é não-flat podemos

considerar que f(x)−f(c) = S(x−c)α _{na vizinhan¸ca de} _{c. Tomemos} _{x, y} _∈ _J _{tais que}

x−c < y−c.

|Df(x)| = |S|α|x−c|α−1

Logo, log|Df(y)| −log|Df(x)| = (α−1) µ

log|y−c| −log|x−c| ¶

Seja a um ponto do fecho de J tal que |D(log|a−c|)| ´e o maior valor em m´odulo que a derivada do Log assume assume no intervalo [x−c, y−c].

Sendo assim log|Df(y)| −log|Df(x)| = (α−1)(log|y−c| −log|x−c|)

≤ (α−1)D(log|a−c|)|y−x|= (α−1)|y−x| |a−c| Como |a−c| ≥d(J, Cr) e |y−x| ≤ |J| temos que

log|Df(y)| −log|Df(x)| ≤ K′ |J|

d(J, Cr)

Aplicando a exponencial e tomando K dado pela maior criticalidade entre os pontos cr´ıticos de f temos

|Df(x)|

|Df(y)| ≥exp µ

−K |J| dist(J, Cr)

¶

Para o caso em quex−c > y−co lema segue de forma imediata pois |Df(x)|>|Df(y)|

¤

A seguir vamos enunciar uma vers˜ao do lema de Koebe. A demonstra¸c˜ao deste lema pode ser encontrado em [dM-vS].

Lema 1.2. (Lema de Koebe)Sejam {Gi}li=0 e {Hi}li=0 cadeias tais que Gl é uma σ -vizinhan¸ca de Hl, para algum σ > 0. Se a multiplicidade de interse¸cão de {Gi}li=0 é

limitada por k e f é uma aplica¸cãoC2 _{com todos pontos cr´ıticos não-flat então valem as}

seguintes afirma¸c˜oes:

1. G0 ´e umaα-vizinhan¸ca de H0, α >0 dependente somente de σ, k e f.

2.Se Gi1, ..., Giν são intervalos que contém pontos cr´ıticos então a aplica¸cão

fij+1−ij−1|

G_ij+1 :Gij+1 −→Gij+1, para qualquer j = 1, ..., ν−1 satisfaz

|Dfij+1−ij−1(x)|

|Dfij+1−ij−1(y)| < K

(13)

Preliminares 5

Sejam J, T intervalos abertos tais que J ⊂ T. Definimos os cross-ratios A(T, J) e B(T, J) por

A(T, J) = |T||J| |LS

J||RS

J| eB(T, J) =

|T||J| |L||R|,

onde L, R s˜ao as componentes conexas de T\J.

Sejam J, T intervalos abertos tais que J ⊂T e f uma fun¸c˜ao mon´otona em T. Defin-imos os cross-ratios A(f, T, J) e B(f, T, J) por

A(f, T, J) = A(f(T), f(J))

A(T, J) e B(T, J) =

B(f(T), f(J)) B(T, J)

Proposi¸cão 1.1. .São válidas as seguintes propriedades envolvendo os cross-ratios:

1. A(fn_{, T, J}_{) =} n−1

Y

k=0

A(f, fk(T), fk(J))

2. Fazendo o intervaloJ convergir para um ponto qualquerx∈J temos que|Df(x)|=

lim

J→xA(f, T, J)·

|T| |f(T)|·

|f(L)| |L|

|f(R)|

|R| , Onde L e R s˜ao as componentes conexas de T\{x}

3. Fazendo J →T temos que

lim

J→TB(f, T, J) =

|f(T)|2

|T|2 ·

1 |Df(a)| ·

1

|Df(b)|, onde (a, b) =T

Prova. Vamos provar a propriedade 1 por indu¸cão. Observe que a mesma é válida

para n= 2. Assumindo verdadeira para n−1 isto ´e,

A(fn−1_{, T, J}_{) =}

n−2

Y

k=0

A(f, fk_(T_{), f}k_{(J)) temos que}

A(fn_{, T, J}_{) =} A(f

n_(T_{), f}n_(J))

A(T, J) =

A(fn_(T_{), f}n_(J₎₎

A(fn−1_(T_{), f}n−1_(J))·

A(fn−1_(T_{), f}n−1_(J))

A(T, J) = A(f, fn−1_(T_{), f}n−1_(J))_·_A(fn−1_{, T, J}₎

= A(f, fn−1_(T_{), f}n−1_(J))

n−2

Y

k=0

A(f, fk(T), fk(J)) =

n−1

Y

k=0

A(f, fk(T), fk(J))

Para provar a propriedade 2 usaremos a seguinte igualdade |Df(x)|= lim

J→x

|f(J)| |J|

Segue queA(f, T, J) = A(f(T), f(J)) A(T, J) =

|f(T)||f(J)| |f(L)S

f(J)||f(R)S

f(J)| · |LS

J||RS J| |T||J|

FazendoJ convergir parax temos lim

J→xA(f, T, J) =

|f(T)| |T|

|L| |f(L)|

|R|

(14)

Preliminares 6

A demonstra¸cão da propriedade 3 é análoga ao anterior. Observemos que

|Df(a)|= lim

J→T

|f(L)|

|L| e |Df(b)|= limJ→T

|f(R)| |R|

Dadox∈M o conjuntoω-limitedex´e o conjunto definido porω(x) ={y∈M;∃ni → ∞

com fni(x)→y}

´

E verdadeiro afirmar se f é continua e y ∈ω(x) então ω(y)⊂ω(x) em conseqüência desta afirma¸cão sea ∈ω(b) e b∈ω(c) então a∈ω(c).

Definiremos a seguir a derivada schwarziana. Dada uma aplica¸cão num intervalo muitos resultados são obtidos quando este operador só assume valores negativos .

Seja f :M −→M uma aplica¸c˜ao C3 _e _Df(x)_{6= 0 a derivada schwarziana de} _f _em _x

´e definida por

Sf(x) = f

′′′_(x)

f′_(x) −

3 2

µ f′′(x)

f′_(x)

¶2

Proposi¸cão 1.2. São válidas as seguintes propriedades

1. S(f og)(x) = Sf(g(x)).(g′_(x))2₊_Sg(x)

2. Sfn_{(x) =} Pn−1

i=0 Sf(fi(x))(Dfi(x))2

3. Seja f : M −→ M uma aplica¸c˜ao C3 _{com todos pontos cr´ıticos n˜ao-flat, existe}

C >0 tal que Sf(x)< C para todo x∈M.

Prova. Aplicando a regra da cadeia temos que

(f og)′(x) = f′(g(x))g′(x)

(f og)′′_{(x) =} _f′′_(g(x))(g′_(x))2₊_f′_(g(x))g′′_(x)

(f og)′′′_{(x) =} _f′′′_(g(x))(g′_(x))3_{+ 3f}′′_(g(x))g′_(x)g′′_{(x) +}_f′_(g(x))g′′′_(x)

usando essas igualdades

(f og)′′′_(x)

(f og)′_(x) =

f′′′_(g(x))g′_(x)

f′_(g(x)) +

3f′′_(g(x))g′′_(x)

f′_(g(x)) +

g′′′_(x)

g′_(x) −

3 2

µ

(f og)′′_(x)

f og′_(x)

¶2

= 3

2 µ

f′′_(g(x))

f′_(g(x))

¶2

(g′(x))2−3f

′′_(g(x))g′′_(x)

f′_(g(x)) −

3 2

µ g′′_(x)

g′_(x)

¶2

Logo S(f og)(x) = (f og)

′′′_(x)

(f og)′_(x) −

3 2

µ

(f og)′′_(x)

(f og)′_(x)

¶2

= µ

f′′′_(g(x))

f′_(g(x)) −

3 2

µ

f′′_(g(x))

f′_(g(x))

¶2¶

(g′(x))2 +g

′′′_(x)

g′_(x) −

3 2

µ g′′_(x)

g′_(x)

¶2

(15)

Preliminares 7

Uma conseqüência imediata desta propriedade é que a composi¸cão de fun¸cões com derivadas schwarzianas negativas também tem derivada schwarziana negativa. A pro-priedade 2 segue da propro-priedade 1.

Vamos provar a propriedade 3. Tomemos para cada ponto cr´ıtico ci def uma

vizin-han¸ca Ui de forma que

f(x) =S(x−ci)α+f(ci),∀x∈Ui pois ci ´e n˜ao flat∀i≤d

Seja U =

d

[

i=1

Ui. Temos que Sf ´e cont´ınua em M\U e por este ser um compacto, Sf

assume valor m´aximo para algum ponto. Logo, ∃K >0 tal que Sf(x)< K,∀x∈M\U.

Seja x∈U\Cr, onde Cr={c1, ..., cd}.

Temos que

f′_{(x) =} _Sα

i(x−ci)αi−1

f′′_{(x) =} _Sα

i(αi−1)(x−ci)αi−2

f′′′(x) = Sαi(αi−1)(αi−2)(x−ci)αi−3

e Sf(x) = −α

2

i + 1

2(x−ci)2

como αi ≥2, −α2i + 1 <0 logo Sf(x)<0

¤

Precisamos também do conceito de renormaliza¸cão. Dizemos que f é renormalizável se existe um intervalo I (M tal que o dom´ınio da primeira aplica¸cão de retorno a I é o próprioI. Neste caso, dizemos que I é um intervalo de renormaliza¸cão def. A aplica¸cão f será chamada de infinitamente renormalizável e denotaremos por∞-renormalizável, se existir uma cole¸cão infinita de intervalos de renormaliza¸cão distintos.

Encerrando este cap´ıtulo, vamos falar sobre a existˆencia de intervalos errantes.

Teorema 1.1. Seja f :M →M uma aplica¸c˜ao C2 _{com todos os ponto cr´ıticos n˜ao-flat.}

Ent˜ao f n˜ao tem intervalos errantes.

Este teorema está demonstrado em [dM-vS]. O mesmo garante que as aplica¸cões que fazem parte de nosso estudo não possuem intervalos errantes e isto implica o princ´ıpio da contra¸cão isto é, para cada η1 >0 existe η2 ∈(0, η1) tal que se U é um intervalo que não

se acumula sobre uma órbita periódica atratora e |U| > η1 então |fi(U)|> η2 para todo

(16)

Cap´ıtulo 2

Derivada Schwarziana e Controle de

Distor¸

c˜

ao

Neste Cap´ıtulo estudaremos o comportamento da derivada schwarziana def. Veremos que mesmo que Sf(x) não seja negativa para todo x, esta condi¸cão se verifica para altos iterados de f. Kozlovski mostrou este fato para aplica¸cões unimodais, vide [K]. Com o resultado a respeito de derivada schwarziana da f mostraremos uma proposi¸cão que garante distor¸cão limitada da primeira aplica¸cão de entrada em uma vizinhan¸ca dos pontos cr´ıticos.

Come¸caremos mostrando uma versão para o princ´ıpio de Koebe com vantagens em rela¸cão ao atual, não exigindo queT0, . . . , fn(T0) sejam disjuntos dois a dois ou que fn|T0

seja um difeomorfismo.

Proposi¸c˜ao 2.1. Sejam f uma fun¸c˜ao C2_, _n _{um inteiro e} _J _{um intervalo tal que} _fn_| J

´e um difeomorfismo e n−1

X

i=0

|fi_(J)| _{< S}_, _{S >} ₀_{. Seja} _T _uma _δ_{-vizinhan¸ca de} _fn_(J) _para

algum δ > 0 e T0, . . . , Tn := T o pullback de T por J, . . . , fn(J). Ent˜ao existe uma

constante K > 0 e uma fun¸c˜ao O(ǫ) com O(ǫ) → 0 quando ǫ ↓ 0 sendo v´alidas as

seguintes afirma¸c˜oes:

1. Seja N ⊂ {0, . . . , n−1} o conjunto dos inteiros i para os quais Ti cont´em

um ponto cr´ıtico e seja ǫ= max{|Ti|}. Ent˜ao, para cada x, y ∈J

|Dfn_(x)|

|Dfn_(y)| ≤exp

µ 3O(ǫ)

n−1

X

i=0

|fi_(J)|

¶µ δ+ 1

δ ¶2

exp µ

2K X

m∈N

|fm_(J)|

d(fm_(J_{), Cr)}

¶

(17)

Derivada Schwarziana e Controle de Distor¸c˜ao 9

Se N =∅ tome

X

m∈N

|fm_(J)|

d(fm_(J_{), Cr)} = 0

2. Se fn_|

T0 é um difeomorfismo, então T0 é um δ’-vizinhan¸ca de J. δ’

depen-dendo de ǫ e n−1

X

i=0

|fi_(J_)|_.

Prova. Tomemos um ponto x no interior de J. O ponto x divide o mesmo em dois

intervalosJ− _e_J+_{. Seja}_J

i =fi(J) , Ji+ =fi(J+) eJ

−

i =fi(J−). fi(x) divide o intervalo

Ti tamb´em em dois, Ti− ⊃J

−

i e T

+

i ⊃J

+

i . Afirmamos que

|fn_(J−_)|

|J−_| ≥

|fn_(J)|

|J| ou

|fn_(J+_)|

|J+_| ≥

|fn_(J)|

|J|

Sem perda de generalidade, podemos supor que |f

n_(J+_)|

|J+_| ≥

|fn_(J−_)|

|J−_| ,ou seja|f

n_(J−_{)| ≤}

|J−_|

|J+_||f

n_(J+_)| _{Sendo assim}

|fn_(J)|

|J| =

|fn_(J+_)|₊_|fn_(J−_)|

|J+_|₊_|J−_| ≤

|fn_(J+_)|₊ J−

J+|f

n_(J+_)|

|J+_|₊_|J−_| =

|fn_(J+_)|

|J+_|

o que mostra a afirma¸c˜ao.

Podemos supor para a prova da proposi¸c˜ao que |f

n_(J+_)|

|J+_| ≥

|fn_(J_)|

|J| e

|fn_(J−_)|

|J−_| ≤

|fn_(J)|

|J| .

Sejam ns < · · · < n1 < n0 := n inteiros tais que Tn−i cont´em um ponto cr´ıtico.

Fixemos i∈ {1, ..., s} e tomemos R=J_n+_i₊₁, L=T_n−_i₊₁, J′ ₌_fni+1(x) e T′ =LSJ′SR.

Usando a defini¸c˜ao de cross-ratio temos

A(fni−1−ni−1_{, T}′_{, J}′_{) =}

ni−1−ni−2

Y

k=0

A(f, fk_(T′_{), f}k_(J′_)).

´

E importante observar que fni−1−ni−1|

T′ ´e um difeomorfismo estando o cross-ratio

bem definido.

Da desigualdade A(f, T′_{, J}′₎_≥_exp¡

− |R|O(|L|)¢

( vide [dM-vS] ) temos

A(fni−1−ni−1, T′, J′) ≥ Qni−1−ni−2

k=0 exp

¡

− |fk_(R)|O(|fk_(L)|)¢

= exp

µni−1−ni−2

X

k=0

−|fk_(R)|O(|fk_(L)|)

(18)

Como |fk_(L)| _< _|T

k+ni+1| ≤ ǫ, O(|f

k_(L)|) _≤ _{O(ǫ). Temos tamb´em que} _|fk_(R)| _<

|fk_(J

ni+1)| e observando que o expoente ´e um n´umero negativo segue que

A(fni−1−ni−1, T′, J′) ≥ exp

µni−1−ni−2

X

k=0

−|fk_(R)|O(|fk_(L)|)

¶

≥ exp µ

−O(ǫ)

ni−1−ni−2

X

k=0

|fk

(Jni+1)|

¶

≥ exp µ

−O(ǫ)

ni−1−ni−1

X

k=0

|fk_(J ni+1)|

¶

= exp µ

−O(ǫ)

ni−1

X

k=ni+1

|fk_(J)|

¶

DefinindoCo(a, b) = exp

µ −O(ǫ)

b

X

k=a+1

|fk_(J)|

¶

temosA(fni−1−ni−1, T′, J′)≥C

o(ni, ni−1).

Usando a propriedade de cross-ratio temos tamb´em que

|Dfni−1−ni−1_(fni+1_(x))|₌_A(fni−1−ni−1_{, T}′_{, J}′₎|T

′_||fni−1−ni−1(R)||fni−1−ni−1(L)|

|L||R||fni−1−ni−1(T′)|

como |T′_{| ≥ |L|}

|Dfni−1−ni−1_(fni+1(x))| ≥ _C

o(ni, ni−1)

|fni−1−ni−1(R)||fni−1−ni−1(L)|

|R||fni−1−ni−1(T′)|

= Co(ni, ni−1)

|J+

ni−1||T

−

ni−1|

|J_n+_i₊₁||T−

ni−1

S J+

ni−1|

= Co(ni, ni−1)

|fni−1_(J+)||T− ni−1|

|fni+1(J+)||T−

ni−1

S J+

ni−1|

Como todos os pontos cr´ıticos de f s˜ao n˜ao-flat, existe uma constante universal K2 > 0

tal que

|Df(fni_{(x))| ≥} |f

ni+1(J+)|

|fni(J+)| exp

µ −K2

|Jni|

d(Jni, Cr)

¶

Também é válida a seguinte desigualdade

|T−

ni−1|

|T−

ni−1

S J+

ni−1|

≥ d(Jni−1, Cr)

d(Jni−1, Cr)− |Jni−1|

≥exp µ

− |Jni−1|

d(Jni−1, Cr)

(19)

Usando as desigualdades e a regra da cadeia temos

|Dfn_(x)| ₌ _|Dfn−n1−1_(fn1+1_(x))||Df(fn1_(x))||Dfn1−n2−1_(fn2+1_(x))||Df_(fn2_(x))|

· · · |Df(fns(x))||Dfns(x)|

≥ Co(n1, n)

|fn_(J+_)||T−

n|

|fn1+1_(J+_)||T−

n

S J+

n|

|fn1+1_(J+_)|

|fn1_(J+_)| exp

µ −K2

|Jn1|

d(Jn1, Cr)

¶

Co(n2, n1)

|fn1_(J+_)||T−

n1|

|fn2+1_(J+_)||T−

n1

S J+

n1|

|fn2+1_(J+_)|

|fn2_(J+_)| exp

µ −K2

|Jn2|

d(Jn2, Cr)

¶

· · ·|f

ns+1_(J+_)|

|fns(J+)| exp

µ −K2

|Jns|

d(Jns, Cr)

¶

Co(0, ns)

|fns(J+)||T−

ns|

|J+_||T−

ns

S J+

ns|

≥ C0(0, n)

|fn_(J+_)|

|J+_| exp

µ −K2

|Jn1|

d(Jn1, Cr)

¶ exp

µ −K2

|Jn2|

d(Jn2, Cr)

¶

· · ·exp µ

−K2

|Jns|

d(Jns, Cr)

¶ |T− n| |T− n S J+ n| |T− n1| |T− n1 S J+ n1|

· · · |T

−

ns|

|T−

ns

S J+

ns|

Sendo

|Dfn_{(x)| ≥}_C

0(0, n)

|fn_(J+_)|

|J+_|

|T− n| |T− n S J+ n| · s Y i=1 exp µ

−(K2+ 1)

|Jni|

d(Jni, Cr)

¶ Observe que |T− n| |T− n S J+ n| = |T −

n\Jn−|+|Jn−|

|T−

n\Jn−|+|Jn|

≥ |T

−

n\Jn−|

|T−

n\Jn−|+|Jn|

Como Tn ´e uma δ-vizinhan¸ca de Jn temos que

|Jn| ≤

|T−

n\Jn−|

δ e da´ı |T− n| |T− n S J+ n| ≥ |T −

n\Jn−|

|T−

n\Jn−|+

|T−

n\Jn−|

δ

= δ

1 +δ

Como |f

n_(J+_)|

|J+_| ≥

|fn_(J_)|

|J| conclu´ımos que

|Dfn_{(x)| ≥}_C

0(0, n)

|fn_(J)|

|J| δ 1 +δ ·

s

Y

i=1

exp µ

−(K) |Jni|

d(Jni, Cr)

¶

, ondeK =K2+ 1

|Dfn_{(x)| ≥}_C

0(0, n)

|fn_(J)|

|J| δ 1 +δexp

µ

−K X

m∈N

|Jni|

d(Jni, Cr)

¶

Para chegarmos ao resultado, precisamos de uma desigualdade contr´aria para|Dfn_(x)|.

(20)

B(fn_{, J}−_{, V}_{) =} Qn−1

k=0B(f, f

k_(J−_{), f}k_(V₎₎_≥Qn−1

k=0exp(−|f

k_(J−_)|O(|fk_(J−_)|))

≥ Qn−1

k=0exp(−|fk(J)|O(|fk(J)|))≥

Qn−1

k=0exp(−O(ǫ)|fk(J)|)

= exp µ

−O(ǫ)

n−1

X

k=0

|fk_(J)|

¶

=C0(0, n)

B(fn_{, J}−_{, V}₎ _≥ _C

0(0, n)

Fazendo V convergir paraJ− temos |Dfn_(x)| ₌ 1

lim

V→J−B(f

n_{, J}−_{, V}₎

µ

|fn_(J−_)|

|J−_|

¶2 1 |Dfn_(a)|

≤ 1

C0(0, n)

µ

|fn_(J−_)|

|J−_|

¶2 1

|Dfn_(a)|, ondea ´e o ponto da fronteira de J

−

que n˜ao pertence a J. Logo,

|Dfn_{(x)| ≤} 1

C0(0, n)

µ

|fn_(J)|

|J| ¶2

1 |Dfn_(a)|

Usando a desigualdade da primeira parte temos

|Dfn_{(a)| ≥}

C0(0, n)

|fn_(J)|

|J| δ 1 +δexp

µ

−(K) X

m∈N

|Jni|

d(Jni, Cr)

¶

Sendo assim

|Dfn_{(x)| ≤} 1

(C0(0, n))2

|fn_(J)|

|J|

δ+ 1 δ exp

µ

K X

m∈N

|fm_(J)|

d(fm_(J_{), Cr)}

¶

Usando as desigualdades obtidas temos que para quaisquer x, y ∈J

|Dfn_(x)|

|Dfn_(y)| ≤

1 (C0(0, n))2

|fn_(J_)|

|J|

δ+ 1 δ exp

µ

K X

m∈N

|fm_(J_)|

d(fm_{(J), Cr)}

¶

C0(0, n)

|fn_(J)|

|J| δ 1 +δexp

µ

−K X

m∈N

|Jni|

d(Jni, Cr)

¶

= 1

(C0(0, n))3

µ δ+ 1

δ ¶2 exp µ 2K X m∈N

|fm_(J_)|

d(fm_{(J), Cr)}

¶

= exp µ

3O(ǫ)

n−1

X

i=0

|fi_(J)|

¶µ δ+ 1

δ ¶2 exp µ 2K X m∈N

|fm_(J)|

d(fm_(J_{), Cr)}

¶

Para a prova da segunda parte da proposi¸c˜ao tomemosL, J′, R⊂T0tais queLSJ′ =

J,|fn_(L)|₌_|fn_(J′_)|_e_fn_{(R) ´e uma das componentes de}_fn_(T

0\J). A figura d´a uma id´eia

(21)

Figura 2.1: IntervalosL, J′_e_R_quando_fn_|

T0 ´e um difeomorfismo

|RS J′_|

|J′_| ≥

|LS J′_|

|J′_|

|RS J′_|

|T′_| =

1 A(T′_{, J}′₎

= A(f

n_{, T}′_{, J}′₎

A(fn_(T′_{), f}n_(J′₎₎

≥ C0(0, n).

1

A(fn_(T′_{), f}n_(J′₎₎

Por outro lado

A(fn_(T′_{), f}n_(J′_{)) =} |fn(T′)||fn(J′)|

|fn_(L)S

fn_(J′_)||fn_(R)S

fn_(J′_)|

= |f

n_(T′_)||fn_(J′_)|

2|fn_(J′_)|(|fn_(R)|₊_|fn_(J′_)|)

= |f

n_(R)|_{+ 2|f}n_(J′_)|

2(|fn_(R)|₊_|fn_(J′_)|)

= 1

2+

|fn_(J′_)|

2(|fn_(R)|₊_|fn_(J′_)|)

Como fn_|

T0 ´e um difeomorfismo, T = fn(T0)e este ´e uma δ-vizinhan¸ca de fn(J). Sendo

assim

|fn_{(R)| ≥}_δ|fn_(J)|_{= 2δ|f}n

(J′)| eA(fn_(T′_{), f}n_(J′_{)) =} 1

2 +

|fn_(J′_)|

2(|fn_(R)|₊_|fn_(J′_)|) ≤

1 2 +

|fn_(J′_)|

2(2δ|fn_(J′_)|₊_|fn_(J′_)|)

(22)

Com esta desigualdade conclu´ımos que

|RS J′_|

|J′_| ≥ C0(0, n).

1

A(fn_(T′_{), f}n_(J′₎₎ ≥C0(0, n).

2δ+ 1 δ+ 1 |R|

|J′_| ≥ C0(0, n).

2δ+ 1 δ+ 1 −1

Por outro lado, ∃b ∈ J tal que |fn_(LS

J′_)| ₌ _|Dfn_(b)||LS

J′_| _e _∃a _∈ _J_¯ _{tal que}

|Dfn_(a)| _{´e o maior valor que a derivada de} _fn _{assume, logo} _|fn_(J′_{)| ≤ |Df}n_(a)||J′_|.

Desta forma

|LS J′| |J′_| ≤

|fn_(LS J′)| |Dfn_(b)|

|fn_(J′_)|

|Dfn_(a)|

= |f

n_(LS

J′)| |fn_(J′_)|

|Dfn_(b)|

|Dfn_(a)| ≤

2 µ

C0(0, n)

¶3 µ

δ+ 1 δ

¶2

logo,

|R| |LS

J′_| ≥

C0(0, n).

2δ+ 1 δ+ 1 −1 2

¡

C0(0, n)

¢3 µ

δ+ 1 δ

¶2 :=δ

′

Da´ı, conclu´ımos queT0´e umaδ′-vizinhan¸ca deJ, ondeδ′depende deδe deO(ǫ)

n−1

X

i=0

|fi_(J)|.

¤

Proposi¸c˜ao 2.2. Sejaf uma aplica¸c˜aoC3_{. Para cada inteiro}_N_{, cada}_{ξ >}_{0, δ >}_{0, S >} ₀

existe τ > 0 com a seguinte propriedade. Seja n um inteiro e J um intervalo tal que

X

0≤i<n

|fi_{(J)| ≤} _S_{. Seja} _T

n uma δ-vizinhan¸ca de fn(J) e seja T0, ..., Tn o pullback com

Ti ⊃ fi(J). Seja N ⊂ {0, ..., n−1} o conjunto formado pelos inteiros para os quais Ti

cont´em um ponto cr´ıtico. Assuma que

1. ♯N ≤N;

2. |fn_{(J)| ≥}_ξd(fn_{(J), Cr)}_;

3. |fn_{(J)| ≤}_τ_.

(23)

Prova. Como f éC3 _{e todos seus pontos cr´ıticos são não-flat, existe} _{C >} _{0 tal que}

Sf(x)< C para todox. Existe tamb´em uma vizinhan¸caU deCr e uma constanteC′ _>₀

tal que

Sf(y)<− C

′

[d(y, Cr)]2, para todoy∈U.

De fato, na vizinhan¸ca de um ponto cr´ıtico ci a derivada schwarziana ´e dada por

Sf(y) = −β

2

i + 1

2(y−ci)2

Fazendo β =min{βi|1≤i≤d} e observando que (y−ci)2 = [d(y, Cr)]2 temos

Sf(y) = −β

2

i + 1

2(y−ci)2

≤ −β

2_{+ 1}

2[d(y, Cr)]2 =−

β2₋₁

2[d(y, Cr)]2

Tomando C′ ₌ β2−1

2 temos queC

′ _>_{0 pois} _β _≥_{2 e}

Sf(y)<− C

′

[d(y, Cr)]2

Sejam ns < ... < n0 = n inteiros tais que |fni(J)| > ξd(fni, Cr),∀i ∈ {0, .., s}.

Definidos desta forma, os intervalos fni_{(J) est˜ao pr´oximos de um ponto cr´ıtico e nada}

impede que alguns destes intervalos contenham um ponto cr´ıtico.

Afirma¸c˜ao. Fixando i, Sfn′

(x)<0 para ∀x∈fni+1+1(J) onden′ =n

i−ni+1.

Notemos que, conforme ilustrado na figura a seguir, a fn′

(fni+1+1(J))⊂(fni+1_(J))

Figura 2.2:fn′

(24)

A derivada schwarziana de uma fun¸c˜ao composta ´e dada por

Sfn′

(x) =

n′₋₁

X

j=0

Sf(fj_(x))(Dfj_(x))2

= |Dfn′₋₁

(x)|2_Sf_(fn′₋₁

(x)) +

n′₋₂

X

j=0

Sf(fj_(x))(Dfj_(x))2

= |Dfn′₋₁

(x)|2

µ

Sf(fn′₋₁

(x)) + 1

|Dfn′₋₁

(x)|2

n′₋₂

X

j=0

Sf(fj(x))(Dfj(x))2 ¶

Notemos que

Dfn′₋₁

(x) = Dfn′₋₁₋_j₊_j

(x) = Dfn′₋₁₋_j

(fj_(x))Dfj_(x),_Logo

Sfn′

(x) = |Dfn′₋₁

(x)|2

µ

Sf(fn′₋₁

(x)) +

n′₋₂

X

j=0

Sf(fj(x)) µ

Dfj_(x)

Dfn′₋₁₋_j

(fj_(x))Dfj_(x)

¶2¶

= |Dfn′₋₁

(x)|2

Ã

Sf(fn′₋₁

(x)) +

n′₋₂

X

j=0

Sf(fj_(x))

¡

Dfn′₋₁₋_j

(fj_(x))¢2 !

≤ |Dfn′₋₁

(x)|2

Ã

−C′

¡

d(fn′₋₁

(x), Cr)¢2 +

n′₋₂

X

j=0

C ¡

Dfn′₋₁₋_j

(fj_(x))¢2 !

Temos tamb´em que

d(fn′₋₁

(x), Cr)≤d(fni_{(J), Cr) +}_|fni_(J_{)| ≤} ξ+ 1

ξ |f

ni_(J)|

Usando esta desigualdade

−C′

£

d(fn′₋₁

(x), Cr)¤2 ≤

−C′_ξ2

(ξ+ 1)2_|fni(J)|2

Por outro lado, da proposi¸c˜ao anterior segue que

|Dfn′₋₁₋_j

(fj_{(x))| ≥} _C

0(0, n′ −1−j)

|fni(J)|

|fni+1+1+j(J)|

δ 1 +δexp

µ

−(K) X

m∈N

|Jm|

d(Jm, Cr)

¶

= K′ |f

ni_(J)|

|fni+1+1+j(J)|

Logo

n′₋₂

X

j=0

C ¡

Dfn′₋₁₋_j

(fj_(x))¢2 ≤

n′₋₂

X

j=0

C (K′₎2

µ

|fni+1+1+j_(J)|

|fni(J)|

¶2

= C

′′

|fni(J)|2

ni−1

X

ni+1+1

|fj

(25)

Segue que

Sfn′

(x) ≤ |Dfn′₋₁

(x)|2

µ

−C′

(d(fn′₋₁

(x), Cr))2 +

n′₋₂

X

j=0

C ¡

Dfn′₋₁₋_j

(fj_(x))¢2 ¶

≤ |Dfn′₋₁

(x)|2

µ

−C′_ξ2

(ξ+ 1)2_|fni(J)|2 +

C′′

|fni(J)|2

ni−1

X

j=ni+1+1

|fj_(J)|

¶

= |Df

n′₋₁

(x)|2

|fni(J)|2

µ

−C′_ξ2

(ξ+ 1)2 +C

′′

ni−1

X

j=ni+1+1

|fj_(J)|2

¶

Onde a constante C′′ depende da cardinalidade de N, C, δ e S. Como |fn_(J_)|

é controlado por τ, pelo princ´ıpio da contra¸cão, |fi_(J)| _{é suficientemente pequeno, e}

X

0≤i<n

|fi_(J)|_{´e limitado. Logo a parcela positiva da express˜ao acima pode ser controlada}

e Sfn′

(x)<0,∀x∈fni+1+1(J)

Para chegarmos em nosso resultado, notemos que

fn+1_{(x) =}_fn−n1 _◦_fn1−n2 _◦_..._◦_fns+1_(x),_∀x_∈_J.

Como a derivada schwarziana da composi¸cão de fun¸cões com schwarziana negativa também é negativa temos

Sfn+1(x)<0,∀x∈J

¤

Para o enunciado do teorema 2.1 precisamos das defini¸c˜oes a seguir.

Figura 2.3:φn+1´e a primeira aplica¸c˜ao de retorno aInrestrita aIn+1

Dizemos que x ´e um ponto recorrente se para qualquer vizinhan¸ca Vx de x existe

i > 0 talque fi_(x)_∈ _V

x. Seja I um intervalo nice e x ∈I. Sejam I0 =I e φ1 a primeira

aplica¸c˜ao de retorno a I0 restrita a I1 dom´ınio de retorno contendo x. Desta forma,

(26)

somente seφn+1(x)6∈In+1. Se x não é recorrente então existen0 tal que In =∅para todo

n > n0.

Teorema 2.1. Seja f : M −→ M uma aplica¸c˜ao C1+zygmund _{com todos pontos cr´ıticos}

não-flat. Assumindo que x é um ponto recorrente de f e {In} é uma seqüência de

inter-valos conforme a defini¸c˜ao anterior, valem as seguintes afirma¸c˜oes:

1.Para cada k > 0 existe ξ(k)>0 tal que se φn :In −→In−1 é não-central, então o

intervalo In+k+1 ´e ξ(k)-bem posto em In+k.

2.Para cada ξ > 0, existe ξ′ _> ₀ _{tal que se} _I

n+1 ´e ξ-bem posto em In todos os

dom´ınios da primeira aplica¸c˜ao de retorno a In+1 s˜ao ξ′-bem postos em In+1. ξ′ → ∞

quando ξ→ ∞

Este teorema est´a provado em [vS-V] ( vide teorema A ).

Dizemos que uma aplica¸c˜ao tem ”Real Bounds”quando esta goza da propriedade dois do teorema 2.1.

Defini¸c˜ao 2.1. Sejam Ik ⊂ M e N ={x ∈M|ϑ+(f(x))TIk 6=∅} definimos a primeira

aplica¸c˜ao de entrada em Ik, ϕ :N −→Ik, ϕ(x) =fi_(x) _onde _i₌_min{n _∈_N_|fn_(f_(x))_∈

Ik}

Proposi¸c˜ao 2.3. Existe vizinhan¸ca Ui de Cr tal que sempre que fn(x)∈ Ui para algum

x∈M e algum n≥0 ent˜ao Sfn+1_(x)_<₀_.

Prova. De acordo com o teorema 2.1, existe um intervalo nice Ik contendoc com a

seguinte propriedade, se D(Ik) ´e o dom´ınio da primeira aplica¸c˜ao de entrada ϕk+1 a Ik,

então cada componente conexa de D(Ik)TIk é também componente conexa do dom´ınio

da primeira aplica¸c˜ao de retorno e ´e bem-posta emIk. Fa¸camosϕ=ϕk+1 e para qualquer

y ∈D(Ik) chamemos de J(y) a componente de D(Ik) contendo y. Seja V =J(c) ou, no

caso de cn˜ao recorrente,V uma vizinhan¸ca de c bem posta em Ik.

Tomemosx∈D(Ik),n o menor inteiro positivo tal quefn(x)∈V e seja i≥0 menor

inteiro tal que uma das situa¸c˜oes acorra:

i) Um dos intervalos do pullback de J(ϕi_{(x)) ao longo de} _{{x, f(x)..., f}si(x)} cont´em

(27)

ii)ϕi_(x)_∈_V_.

Notemos que uma das duas situa¸c˜oes ter´a que ocorrer pois fn_(x) _∈ _V_{, logo} _{∃k >} ₀

tal que ϕk_{(x) =}_fn_(x).

Se i) vale fa¸camos U = J(ϕi_{(x)) caso contr´ario ii) vale e seja} _U ₌ _V_{. Em ambos}

os casos, U é bem posto em Ik. Tomando ñ e ˆn tais que ϕi = fñ e ϕi−1 = fnˆ em uma

vizinhan¸ca de x, notemos que ˆn <n˜ ≤n. Sejam tamb´em U0, ..., Un˜ eT0, ..., Tn˜ o pullback

respectivamente deU eIkao longo de{x, ..., f˜n(x)}en′ o menor inteiro tal queUn′ cont´em

um ponto cr´ıtico de f, ˆn < n′ _≤ _{n. Pelo fato de}_˜ _i _{ser m´ınimo, nenhum dos intervalos}

T0, ..., Tn′₋₁cont´em um ponto cr´ıtico eT_n_ˆ, ..., T_n′₋₁ eU₀, ..., U_n′₋₁ s˜ao disjuntos dois a dois.

Em particular, como U é bem posto em Tn˜ =Ik, também Un′ é bem posto em T_n′. Pela

defini¸cão, Un′ contém um ponto cr´ıtico e da proposi¸cão 1.2 segue que Sfn ′₊₁

(x)<0.

Se n′ ₌_n _{ent˜ao o resultado segue. Se} _n′ _{< n, ent˜ao definimos} _x′ ₌_fn′₊₁

(x) e repeti-mos o mesmo argumento. Como a composi¸cão de aplica¸cões com derivada schwarziana negativa também tem schwarziana negativa e a proposi¸cão está provada.

¤

Teorema 2.2. Seja R uma classe de equivalˆencia em (Cr,≺) e seja {c1, ..., ck} = R

indexados de forma que se ci ≺ cj ent˜ao i < j. Existe ξ > 0 tal que para qualquer ǫ > 0

valem as seguintes afirma¸c˜oes:

1. Existem intervalos nice, disjuntos dois a dois, W1, ..., Wk tais que ci ∈ Wi, i =

1, ..., k, |W1| < ǫ, onde cada Wi, para i > 0 ´e um dom´ınio da primeira aplica¸c˜ao de

entrada ψ a W1 e orb+(c)TW1 =∅ qualquer ponto cr´ıtico c /∈ R

2. Se ci é não recorrente então orb+(ci)

T

Wi = ∅. Se f ´e infinitamente

renor-malizável em c1 então podemos tomar W1 sendo um intervalo periódico. Se f é

finita-mente renormaliz´avel em c1 ent˜ao podemos tomar W1 tal que cada dom´ınio de retorno a

Wi, i≥1 ´e ξ-bem posto em Wi.

3. Seja Vi ⊂Wi intervalo maximal tal que ci ∈ Vi e ψ(Vi)⊂ Wi est´a contido em um

dom´ınio de retorno aW1 contendoψ(ci). Então a primeira aplica¸cão de entrada a SVi é

uma composi¸cão de no máximo d−1aplica¸cões do tipoL◦f, onde Lé um difeomorfismo

(28)

Prova. Se f ´e finitamente renormaliz´avel em c1, vamos considerar um intervalo nice

W1 suficientemente pequeno tal que n˜ao contenha intervalos peri´odicos,orb+(c)TW1 =∅

para qualquer ponto cr´ıtico c /∈ R e os dom´ınios de retorno a W1 s˜ao todosξ-bem postos

em W1.

Seja Wi, 1< i ≤k, o dom´ınio da primeira aplica¸c˜ao de entrada ψ a W1 que cont´em

o ponto cr´ıtico ci ∈ R. Seja si o menor inteiro positivo tal que fsi(Wi) ⊂W1 e Vi ⊂ Wi

o intervalo maximal tal que ci ∈Vi efsi(Vi) est´a contido em um dom´ınio de retorno Ji a

W1 ou seja fsi(∂Vi)⊂(∂Ji).

Da forma como foi definido cada Wi, temos queW1, ..., Wk s˜ao dois a dois disjuntos.

Pelo lema de Koebe Vi ´e bem posto em Wi. Por outro lado Vi e Wi s˜ao pullback de W1.

Tomando x ∈ M tal que existe um inteiro positivo t m´ınimo de forma que ft_(x) _∈

S

Vi. Tomemos Vj0 ⊂Wj0 com ft(x)∈Vj0 ⊂Wj0 e definamos a cadeia{Vi}ti=0 e{Wi}ti=0

tal que Vt=Vj0 e Wt=Wj0.

Afirma¸c˜ao. Cada ponto cr´ıtico pertence a no m´aximo um dos intervalos da {Wi}ti=0.

Vamos provar este fato por contradi¸c˜ao. Seja cl um ponto cr´ıtico de R e 0≤ i1 ≤i2 ≤t

tais que cl ∈ Wi1 e cl ∈ Wi2. Como Wi1

T

Wi2 6=∅ e estes s˜ao pullback de um intervalo

nice temos que Wi1 ⊂ Wi2. Contendo cl temos tamb´em o intervalo Vl que, por defini¸c˜ao,

fsl(V

l)⊂Jl dom´ınio de retorno a W1. Desta forma, temos duas possibilidades:

1. Wi1 ⊂Vl

2. Vl (Wi1

Assumindo a possibilidade 1 chegamos numa contradi¸c˜ao poisi1 < tefi1(x)∈ Wi1 ⊂

S Vj.

A possibilidade 2 também é uma contradi¸cão pois fazendo r = sj0 +t−i2, temos

que fr_(∂W

i2) ⊂ ∂W1, logo fr(∂Vl) ⊂ fr(Wi1) ⊂ W1. Seja agora s = i2 −i1 temos que

fr+s_(∂W

i1) e fr+s(∂Vl) ⊂ W1 e isto é uma contradi¸cão pois fr(Vl) está contida em um

dom´ınio de retorno de forma maximal, decorre da´ı que fs_(∂(fr_(V

l))) ⊂∂W1.

De posse deste resultado, consideremos os intervalos Wn1, ...,Wnν da cadeia {Wi}

t i=0

que contém pontos cr´ıticos. Usando o resultado da proposi¸cão 2.3 conclu´ımos que a aplica¸cãofnj+1−nj|

W_nj+1 :Wnj+1 −→ Wnj+1+1, sendo 0≤j ≤ν−1 en0 = 0, tem derivada

schawrzian negativa . ´E importante observar que ´e poss´ıvel controlar o comprimento deW1

de forma queS

Wni ⊂

S

(29)

é um difeomorfismo com distor¸cão limitada o que garante que a primeira aplica¸cão de entrada a S

Vi é uma composi¸cão de no máximo d−1 aplica¸cões do tipoL◦f onde Lé

um difeomorfismo com distor¸c˜ao limitada.

(30)

Cap´ıtulo 3

Ergodicidade

Man˜e [M] come¸ca o estudo de ergodicidade relacionando-o com o teorema de Birkhoff que mostra a existˆencia do limite (q.t.p):

lim

n→∞

ϕ(x) +ϕ(T(x)) +...+ϕ(Tn−1_(x))

n

sendo T uma transforma¸cão que preserva medida em um espa¸co (X,A, µ) e uma fun¸cão ϕ : X → R integrável. O teorema ainda garante que o valor do limite é constante q.t.p. desde que não exista um conjunto invarianteA∈ Atal que 0< µ(A)< µ(X). Isto motiva a seguinte defini¸cão: dizemos que uma fun¸cão é ergódica com respeito a uma medida µ qualquer (não necessariamente invariante) se todo conjunto U invariante possui medida nula ou µ(U) = µ(X).

Dizemos que um conjunto A´e atrator [Mi] se satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:

1. A´e compacto.

2. Positivamente invariante ( f(A)⊂A ).

3. Leb(β(A))>0, onde β(A) ={x∈M|ω(x)⊂A} ´e denominado bacia deA.

4. Se U ⊂A satisfaz as condi¸c˜oes 1, 2, 3 ent˜ao U =A.

Os conjuntos atratores em aplica¸cões multimodais como as nossas, podem assumir três formatos distintos: órbitas periódicas atratoras, intervalos periódicos atratores ou um conjuntos minimais atratores. Concluindo nosso trabalho mostraremos uma proposi¸cão que estuda as componentes ergódicas com respeito a bacia de atra¸cão de um atrator minimal. De fato a proposi¸cão estabelece, no caso de conjunto X minimal isto é, X é

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Ergodicidade 23

invariante e ω(x) = X para qualquer x ∈ X, que mesmo que tenhamos mais de um conjunto invariante com medida positiva, estes est˜ao relacionados com cada classe de equivalˆencia formada a partir de seus pontos cr´ıticos.

Um subconjunto U ⊂X é dito ergódico com respeito a medida de Lebesgue, também chamado de uma componente ergódica, se Leb(U) > 0 e f|U é ergódica com respeito

a medida de Lebesgue. Quando o atrator for uma órbita periódica a dinâmica na sua bacia é bastante simples e pode ser estudada geometricamente. Por outro lado o caso de intervalos periódicos apresenta uma dinâmica bastante complexa ( de fato, é o que se chama de dinâmica caótica). Podemos encontrar este caso em [vS-V].

Proposi¸c˜ao 3.1. Seja X minimal tal que f(X)⊂X. X tem medida de Lebesgue zero e

para cada x ∈ X existe uma seq¨uˆencia de intervalos nice Nn ⊂ Un tais que ∩Un = {x},

(Un\Nn)∩X = ∅ e Nn ´e bem posto em Un. Al´em disso, se Y ⊂ B(X) tem medida de

Lebesgue positiva ent˜ao X ´e igual a w(c)para pelo menos um ponto cr´ıtico c recorrente, e

lim

n→∞

|Un∩Y|

|Un|

= 1

Prova.Tomemos um pontox∈X qualquer. SejaWx um intervalo nice tal que todos

os dom´ınios de retorno s˜ao bem postos e isto ´e garantido pelo teorema 2.1.

Sejam Vi ⊂ Wi os intervalos dados pelo teorema 2.2 tais que Wi ´e uma componente

conexa da primeira aplica¸c˜ao de entrada a Wx e Vi o intervalo maximal contendo ci e si

o menor inteiro tal quefsi_(V

i) est´a contido em um dom´ınio de retorno a Wx.

Seja D(ψ) o dom´ınio da primeira aplica¸c˜ao de entrada a ∪Vi. Para cada componente

conexa J de D(ψ),ψ(J)⊂Vj0 e T(J)⊃J ´e o pullback pela extens˜ao de ψ|J deWj0.

Da forma como foram definidos temos que Ji, Jk, T(Ji),T(Jk) s˜ao pullbacks deWx .

Decorre deste fato que se T(Ji)∩T(Jk) 6=∅ ent˜ao T(Ji) ⊂T(Jk) ou T(Jk) ⊂T(Ji) e se

Ji∩T(Jk)6=∅ent˜ao Ji ⊂T(Jk). TomemosJ de tal forma que X∩J 6=∅ eT(J)⊂T( ˜J)

para qualquer outro ˜J ⊂D(ψ) tal queX∩J˜6=∅. Notemos queT(J) contém no máximo 2b₋_{1 intervalos ˜}_J _onde _b _{é o n´}_{umero de pontos de dobra, ˜}_J _∩_X ₆₌_∅ _{e cada um deles é}

bem posto em T(J) por conseq¨uˆencia do lema de Koebe.

Segue que existem intervalos nice N, U tais que N ⊂ U ⊂T(J), N ´e bem posto em U eX∩(U\N) =∅.

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Ergodicidade 24

N ⊂ U. Pelo fato de s ser m´ınimo, o pullback z ∈ Ns ⊂ Us de N ⊂ U pelo caminho

z, ..., fs_(z) _∈_N _{´e disjunto. Assim} _N

s ´e bem posto em Us e X ∩(Us\Ns) = ∅. Tomando

uma seqüência de intervalosWx convergindo a um ponto deX nós temos uma seqüênciade

intervalos Nn⊂ Un conforme a afirma¸c˜ao.

Segue que se Y ⊂ B(X) tem medida de Lebesgue positiva e X é minimal, então X = w(˜c) para pelo menos um ponto cr´ıtico recorrente ˜c ( ˜c∈ X ), esta afirma¸cão está mostrada em [vS-V]. Tomando x = ˜c, seja Un ⊃ Nn ∋ ˜c e seja C o conjunto formado

pelos pontos cr´ıticos ctais quew(c)∋˜c. Seja y um ponto de densidade deY, existe t tal que ft_(y) _{∈ N}

n. Seja Uni ⊃ Nni ∋ fi(y), i = 0, ..., t seja o pullback de Un ⊃ Nn ao longo

do caminho fi_{(y), ..., f}t_{(y). Da propriedade de} _U

n ⊃ Nn estabelecido anteriormente, para

i ≤ j ≤ t com Ui

n ∩ Unj 6= ∅ só uma das afirma¸cões é verdadeira: Uni ⊂ Unj ou Uni está

contido em uma das componentes de Uj

n\Nnj. Da minimalidade de t conclu´ımos que a

primeira afirma¸c˜ao ´e falsa. Sendo Un∩X ⊂ Nn, para cada ponto cr´ıtico c∈X existe no

m´aximo um valor de i≤tcom c∈ Ni

n ⊂ Uni. Mais ainda Uni ∩X ⊂ Nni. Pelo princ´ıpio da

contra¸cão, tomando n suficientemente grande, qualquer ponto cr´ıtico c que não está em X =w(y) não está em qualquer dos intervalosUi

n. Da proposi¸c˜ao2.1 e sendo y um ponto

de densidade de Lebesgue de Y, existe um ponto cr´ıtico c∈ X tal que c∈ Nni(n) tal que

| Uni(n)∩Y |/| Uni(n) | vai para um.

¤

Decorre de lim

n→∞

|Un∩Y|

|Un|

= 1 que associado a cada minimal X s´o temos

essencial-mente um conjunto invarianteY ⊂B(X) com medida positiva. Qualquer outro invariante com medida positiva Y′ _⊂_B_{(X) temos que} _|_Y_△Y′ _{|= 0. Conclu´ımos desta forma que a}

quantidade de componentes ergódicas associadas a atratores minimais é igual ao número de classes de equivalência de associados a atratores minimais.

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Bibliografia

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[dM-vS] W. de Melo and S. van Strien, One-Dimensional Dynamics, Springer-Verlag (1993).

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[K] O. Kozlovskii,Getting rid of the negative Schwarzian derivative condition, Annals of Mathematics 152, 2000, 743-762.

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Universidade Federal da Bahia-UFBa Instituto de Matem´atica/Depto. de Matem´atica