Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Ferraz-Mello, Sylvio

Caos e planetas: dinâmica caótica de sistemas planetários / Sylvio Ferraz-Mello – 1. ed. – São Paulo: Livraria da Física, 2021.

ISBN: 978-65-5563-153-1

1. Astronomia 2. Fenomenologia 3. Sistema solar 4. Planetas I. Título.

21-86055 CDD-523.2

Índices para catálogo sistemático:

1. Planetas: Astronomia 523.2

Aline Graziele Benitez – Bibliotecária – CRB-1/3129 ISBN: 978-65-5563-153-1

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei n. 9.610, de 19 de fevereiro de 1998.

Impresso no Brasil Printed in Brazil

Editora Livraria da Física

Tel./Fax: +55 11 3459-4327 / 3936-3413 www.livrariadafísica.com.br

S^UMÁRIO

Prefácio 13

1 Introdução à Dinâmica Caótica Conservativa 15

1.1 Movimento planetário . . . 15

1.2 Movimento caótico dos planetas . . . 18

1.3 Perda de informação devida ao caos . . . . 21

1.4 Caos na rotação de Hipérion . . . 24

1.5 Ganho de informação graças ao caos . . . 26

1.6 Mecânica conservativa . . . 27

1.7 Problema dos dois corpos . . . 28

1.8 Incompressibilidade do fluxo (Liouville) . . . 32

1.9 Leis de conservação (Integrais Primeiras) e Integração completa . . . 34

1.10 Um problema não integrável: O problema de 3 corpos . 35 1.11 Integrabilidade . . . 37

1.12 Superfícies de secção. Mapas de Poincaré . . . 38

1.13 O movimento de uma estrela em uma galáxia com sime- tria axial . . . 45

1.13.1 O sistema de Hénon-Heiles . . . 48

1.14 Bifurcações em sistemas com um grau de liberdade. O pêndulo simples . . . 52

1.15 Bifurcações: dois graus de liberdade . . . 55

1.16 O emaranhado homoclínico. Transições de regime . . . . 58

1.17 Fobos e Hipérion . . . 60

1.18 Encélado e Dione . . . 62

1.19 Sistemas perturbados. Ressonâncias e librações . . . 65

1.20 A teoria KAM: Kolmogorov-Arnold-Moser . . . 72

2 Dinâmica Asteroidal Ressonante 77

2.1 Asteroides ressonantes . . . 77

2.2 Asteroides no modelo restrito de três corpos . . . . 81

2.2.1 A ressonância 2:1 . . . 83

2.2.2 A ressonância 3:2 . . . 86

2.2.3 A ressonância 3:1 . . . 88

2.2.4 A ressonância Netuno-Plutão . . . 90

2.3 Encontros próximos. “Swing-by” . . . 92

2.4 Asteroides no modelo restrito elíptico de três corpos . . 98

2.5 Redução a dois graus de liberdade. Processos de média. 101 2.5.1 Da “Himmelsmechanik” à “Atommechanik” . . 103

2.6 A falha de Alinda . . . 104

2.6.1 Regimes de movimento na ressonância 3:1 . . . . 106

2.6.2 A origem da falha de Alinda . . . 109

2.6.3 Asteroides que se aproximam da Terra (NEAs) . 112 2.6.4 Alinda, Quetzalcoatl, Seneca, Syrinx e Toutatis . 115 2.7 Filtragem digital . . . 117

2.8 A falha de Hécuba e o grupo de Zhongguo . . . 121

2.9 Expoentes característicos de Lyapunov (LCE) . . . 126

2.10 Caos e LCE . . . 130

2.11 A teoria dos LCE. Equações variacionais . . . 133

2.12 O máximo expoente de Lyapunov (mLCE) . . . 135

2.13 Divergência exponencial e perda de informação . . . 138

2.14 Aplicação aos asteroides ressonantes . . . 140

2.15 Eventualidades. Transições orbitais súbitas. . . 142

2.15.1 Caos estável . . . 145

2.16 Os asteroides da falha de Hécuba . . . 146

2.16.1 O grupo de Zhongguo . . . 148

2.16.2 Os Griquas . . . 149

2.16.3 Asteroides ressonantes em órbitas cometárias . . 149

2.17 O grupo de Hilda . . . 151

2.18 Falhasvs.Grupos . . . 155

3 Sistemas Planetários. Exoplanetas 159 3.1 Caos no Sistema Solar . . . 159

3.2 O uso da transformada de Fourier no diagnóstico do caos 164 3.3 Caos no entorno dos planetas gigantes. Mapas dinâmicos 169 3.4 Análise frequencial de sistemas fracamente caóticos . . . 174

3.5 Os espaçamentos interplanetários . . . 177

3.6 As rotações de Marte e da Terra . . . 181

3.7 Análise frequencial em grades densas. A teia de Arnold. 185 3.8 Outras estratégias na análise frequencial. Asteroides ressonantes . . . 188

3.9 Mapas dinâmicos em grades densas. Asteroides troianos 191 3.10 Os planetas do pulsar PSR B1257+12 . . . 195

3.11 Exoplanetas . . . 198

3.11.1 Exemplo: Úpsilon Andromedae . . . 201

3.12 MEGNO . . . 203

3.12.1 Exemplo: A super ressonância de GJ 876 . . . 205

3.13 Sistemas planetários compactos . . . 209

3.14 Cadeias ressonantes . . . 212

3.14.1 Exemplo: TOI-178 . . . 216

3.14.2 Exemplo: HR 8799 . . . 219

3.15 Ressonância com corrotação apsidal (ACR) . . . 222

3.15.1 Um exemplo de captura e evolução na ressonân- cia 2:1 . . . 223

3.16 Espectro dinâmico (ou mapa de frequências) . . . 224

3.16.1 Aplicação ao Mapa Standard . . . 227

Referências 229

Índice 243

PREFÁCIO

A

O uso de linguagem corrente na apresentação implica em uma perda de rigor, mas ela é adotada para que os conceitos possam ser entendidos por um amplo universo de leitores. Pela mesma razão optou-se por escrever este livro em português. Não há dú- vida que a grande maioria de nossos estudantes prefere ler um livro em português do que em língua estrangeira, e este livro foi escrito pensando neles. Existe, em inglês, um grande número de excelentes livros sobre o assunto e com abordagens mais técnicas dos temas de dinâmica caótica conservativa. Os interessados em uma apresentação com rigor matemático devem consultar as fon- tes citadas no livro.

Convidado a escrever a apresentação do livro de um amigo [30], escrevi o seguinte: “Todos os livros têm uma forte compo- nente pessoal na escolha dos tópicos neles incluídos ou não in- cluídos. Esse livro não é exceção à regra”. Este também não o é!

Os tópicos incluídos nos capítulos sobre a dinâmica dos sistemas planetários são aqueles que estiveram no centro das atividades de pesquisa do grupo de Dinâmica do Sistema Solar do Departa- mento de Astronomia da USP nos últimos 40 anos. A dinâmica dos sistema planetários é uma disciplina de vastos contornos e é

14• CAOS E PLANETAS:Dinâmica caótica dos sistemas planetários

quase impossível abarcar todos os tópicos de interesse em um li- vro centrado sobre temas de pesquisa. Aliás, o fascínio dessa dis- ciplina está na imensa quantidade de problemas que podem ser estudados em profundidade explorando de maneira ampla as fer- ramentas da Matemática e os conceitos da Física.

Os textos incluídos no livro se baseiam nos cursos de Caos no Sistema Solar (FNC-740) ministrados na pós-graduação do Insti- tuto de Física da USP em 1993 e 1997 , nos cursos livres sobre esse tema ministrados entre 1995 e 2003 em La Plata, Zaragoza, Recife e Rio de Janeiro, nos cursos sobre exoplanetas ministrados, desde então, em várias Escolas de Verão internacionais (El Leoncito, Cor- tina d’Ampezzo, Potsdam e Isle of Skye), além de muitas palestras.

Este livro foi produzido com o apoio do CNPq (Proc. 303540/2020- 6) e da FAPESP (Proc. 2016/13750-6 ref. Missão PLATO).

Capítulo 1

Introdução à Dinâmica Caótica Conservativa

1.1 Movimento planetário

O

• Lei das órbitas elípticas (1609) – As órbitas planetárias são elípticas, situando-se o Sol em um dos focos da elipse;

• Lei das áreas iguais (1609) – As órbitas são percorridas com velocidade tal que o raio vetor que une o planeta ao Sol descreve áreas iguais em tempos iguais (ver fig. 1.1)

• Lei Harmônica(1619) – O cubo do grande eixo da elipse per- corrida pelo planeta é proporcional ao quadrado do período em que é percorrida.

Figura 1.1–Movimento planetário. A velocidade do planeta na órbita é tal que arcos delimitando áreas iguais são percorridos em tempos iguais. A velocidade é máxima no periélio (P) e mínima no afélio (A).

16• Capítulo 1. Introdução à Dinâmica Caótica Conservativa

A terceira lei contém uma das características dinâmicas mais importantes do movimento planetário. Ela quer dizer que se con- siderarmos dois planetas com elipses de diferentes dimensões, os períodos orbitais serão diferentes; por exemplo, se um dos plane- tas estiver em uma elipse cujo semi-eixo é o dobro do semi-eixo da elipse do outro, o tempo necessário para que esse planeta des- creva uma volta completa ao redor do Sol será√

8 vezes maior que o do outro. Então, dois planetas movendo-se em órbitas dis- tintas e que se encontrem no instante inicial em posições vizinhas, não vão permanecer indefinidamente próximos; o que está na ór- bita mais externa terá um período orbital ligeiramente maior e, portanto, se atrasará em relação ao planeta interior (ver fig. 1.2 esq.); se em uma volta o atraso registrado é de um ânguloα, em duas voltas será de 2α, em três voltas de 3α, etc.

Para comparação considere-se o sistema básico da física linear, o oscilador harmônico, que rege as oscilações de um sistema na vizinhança imediata de uma solução de equilíbrio de um sistema físico. Este sistema se caracteriza por uma aceleração proporcional à distância: ¨x = −kx. Quando resolvemos esta equação, o que obtemos são oscilações cuja frequência está diretamente ligada à constante de proporcionalidade k. Como foi descoberto por Galileu ao estudar as pequenas oscilações de um pêndulo, não importa se a amplitude da oscilação é maior ou menor, o período é sempre o mesmo. As oscilações são isócronas.

Figura 1.2–À esquerda: Movimentos planetários vizinhos.À direita:Movimen- tos vizinhos de uma massa presa por uma mola.

1.1. Movimento planetário 17 •

Consideremos o caso de um oscilador plano, substituindo-se xpor um vetorrdo plano¹. Temos então: ¨r= −kr. As soluções agora são elipses concêntricas e, novamente, de mesmo período.

Duas soluções distintas com condições iniciais vizinhas, vão per- manecer vizinhas indefinidamente Por exemplo, duas soluções de amplitudes diferentes que se originem com fases iguais (uma em frente à outra), vão permanecer indefinidamente com fases iguais (ver fig. 1.2 dir.). De modo geral, a primeira aproximação de muitos dos problemas da Física tem sempre esta característica de isocronismo.

O tipo de comportamento que observamos no oscilador harmônico é o que se chama, na matemática, de movimento está- vel (na definição do matemático russo Aleksandr Lyapunov). O isocronismo das soluções implica na sua estabilidade. Portanto, devido à terceira lei de Kepler, o movimento Kepleriano é intrin- secamente diferente do movimento de um oscilador harmônico.

O movimento Kepleriano é instável (de novo, na definição de Lya- punov). Se considerarmos duas “terras” : a Terra real e uma Terra fictícia que, no instante inicial, esteja 10 m mais afastada do Sol do que a Terra real, o período da Terra fictícia ao redor do Sol será 0,003 segundos maior do que o da Terra real. Isto é, se as duas co- meçarem a se mover partindo de uma mesma fase (isto é, as duas em uma mesma linha passando pelo Sol), após um ano a Terra fictícia estará 0,003 segundos atrasada, ou, como a Terra viaja no espaço com uma velocidade de cerca de 30 km/s, a Terra fictícia estará 90 metros atrás da Terra real. Este atraso crescerá em pro- gressão aritmética: 0,006 segundos ou 180 metros ao fim do se- gundo ano, 0,009 segundos ou 270 metros ao fim do terceiro ano.

E assim sucessivamente. Em 1 milhão de anos o atraso será de 50 minutos e a Terra fictícia estará 90 000 km atrás da Terra real. O crescimento proporcional da distância entre as duas terras é uma das características básicas da instabilidade clássica.

1Neste livro adotam-se caracteres em negrito para indicar vetores.

18• Capítulo 1. Introdução à Dinâmica Caótica Conservativa

1.2 Movimento caótico dos planetas

O movimento da Terra ao redor do Sol no Sistema Solar real que, além da Terra e do Sol, comporta mais 7 planetas, não é ape- nas instável, mas também caótico [72, 114].² Isto quer dizer que o movimento dos planetas do Sistema Solar apresenta uma sensibi- lidade extrema às condições iniciais e que além da instabilidade clássica que cresce linearmente, ocorrerá também uma instabili- dade com crescimento aproximadamente exponencial. A figura 1.3 ilustra como ocorre essa instabilidade. A fim de observar essa instabilidade é preciso considerar todos os planetas se movendo a partir de condições iniciais vizinhas e não apenas a Terra. A quan- tidaded(t)cuja variação é mostrada na figura é uma grandeza compondo as variações dos elementos geométricos das órbitas dos 8 planetas: excentricidades, inclinações, periélios e nodos a partir de uma minúscula variação inicial. Vê-se que essa distân- ciad(t)não cresce de maneira monotônica; ao contrário, ocorrem mesmo muitas ocasiões em que as distâncias entre eles diminuem.

Mas, de modo geral, ela aumenta de modo a mais ou menos de- cuplicar a cada 10 milhões de anos, exibindo assim o crescimento em progressão geométrica, ou exponencial, que caracteriza os mo- vimentos caóticos. É isso a chamada sensibilidade “extrema” às condições iniciais.

2Dizemos que um movimento é caótico quando ele apresenta sensibilidade extrema às condições iniciais. A palavra “extrema” não tem um sentido claro.

Mas talvez seja por isso mesmo que vários autores insistem nela. Às vezes temos tendência a substituí-la por “exponencial”. Mas, ao contrário, neste caso a palavra tem um sentido muito preciso e que, embora traduza de certo modo o que ocorre em um movimento caótico, não é exato e não reflete toda a complexidade desses movimentos.

1.2. Movimento caótico dos planetas 19 •

Figura 1.3–Evolução em escala logarítmica da distância no espaço de fase das variáveis geométricas entre duas soluções com condições inicias vizinhas.

A linha pontilhada representa um crescimento exponencial que se multiplica por 10 a cada 10 milhões de anos. (Adaptada de [76]).

Assim, duas soluções que no início estão a uma distância pequena,d ∼0, 03 (drepresenta a distância no espaço de fase em unidades arbitrárias) se afastam e depois de 40 milhões de anos estarão a uma distância 10 000 vezes maior. A distância inicial 0,03 crescerá para cerca de 300. Um crescimento semelhante na distância entre duas órbitas vizinhas da Terra que se iniciassem a 10 metros uma da outra as levariam, em 100 milhões de anos, a 100 milhões de km (enquanto o crescimento devido à instabilidade ordinária seria de apenas 9 milhões de km).

Este exemplo mostra o que significa dizer que existe uma sen- sibilidade extrema às condições iniciais. Ele também permite dis- tinguir o caso caótico da simples instabilidade ordinária em que a sensibilidade das soluções às condições iniciais existe, mas não é extrema (ela é linear). De qualquer modo, o último exemplo con- tém alguns exageros. O crescimento do afastamento de duas solu- ções vizinhas não ocorre seguindo uma exponencial perfeita. Não se pense que a distância entre a Terra real e uma fictícia pudesse continuar se decuplicando a cada 10 milhões de anos. Se assim fosse, a distância chegaria a 10 bilhões de km em 120 milhões de

20• Capítulo 1. Introdução à Dinâmica Caótica Conservativa

anos! De fato, o comportamento exponencial devido ao caos só ocorre enquanto as duas órbitas estão suficientemente próximas;

portanto, não podemos ir decuplicando o desvio indefinidamente.

Após se afastarem, as duas órbitas seguirão caminhos indepen- dentes e não correlacionados.

Figura 1.4–Evolução do semi-eixo maior em duas soluções para o movimento do cometa 1P/Halley que diferem inicialmente em um décimo milésimo de grau em suas longitudes.

O caos no nosso sistema planetário é relativamente fraco e a evolução mostrada na figura 1.3 segue de perto os padrões dos mo- delos idealizados. Entretanto, o movimento dos corpos menores do Sistema Solar apresenta realidades que não se acomodam bem a esses modelos. Um exemplo é a variação do semi-eixo maior do cometa 1P/Halley em duas soluções que diferem inicialmente em apenas um décimo milésimo de grau em suas longitudes. No início, as duas órbitas são indistinguíveis graficamente. Se esti- véssemos interessados em estudar esse período teríamos que usar um gráfico mostrando especificamente a diferença entre as duas soluções e em escala logarítmica (teríamos algo parecido com a fig. 1.3). Na fig. 1.4 só após 3500 anos observamos pontos em que as duas soluções não aparecem coincidentes, mas logo depois, pouco antes do ano 6000 elas se descolam e não mais existe qual- quer correlação entre elas. A causa desse descolamento deve estar em uma passagem mais próxima a algum dos grandes planetas capaz de exacerbar a crescente separação entre as duas soluções.