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✻✳✹ ●r❛♣❤s ✇✐t❤ ❢❡✇P4✬s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷✺
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❆✳✸✳✸ ▲✐♥❡ ❉✐❤②♣❡r❣r❛♣❤s Pr♦♣❡rt✐❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹✼
❆✳✹ ❈❛s❡ ♦❢d✲r❡❣✉❧❛r✱s✲✉♥✐❢♦r♠ ❉✐❤②♣❡r❣r❛♣❤s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹✾
❆✳✺ ❞❡ ❇r✉✐❥♥ ❛♥❞ ❑❛✉t③ ❉✐❤②♣❡r❣r❛♣❤s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺✶
❆✳✺✳✶ ❞❡ ❇r✉✐❥♥✱ ❑❛✉t③ ❛♥❞ ❈♦♥s❡❝✉t✐✈❡✲d❞✐❣r❛♣❤s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺✶
❆✳✺✳✷ ❉❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❞❡ ❇r✉✐❥♥ ❛♥❞ ❑❛✉t③ ❞✐❤②♣❡r❣r❛♣❤s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺✸
❆✳✺✳✸ ❊✉❧❡r✐❛♥ ❛♥❞ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺✹
❆✳✻ ❊①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❈♦♠♣❧❡t❡ ❇❡r❣❡ ❉✐❝②❝❧❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺✺
❆✳✻✳✶ ❈❛s❡d= 1 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺✻
❆✳✻✳✷ ❈❛s❡gcd(n, d)≥2 ❛♥❞gcd(n, s)≥2 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺✻
❆✳✻✳✸ ❈❛s❡ n❛♥❞ dr❡❧❛t✐✈❡❧② ♣r✐♠❡✱ ♦rn❛♥❞ sr❡❧❛t✐✈❡❧② ♣r✐♠❡ ✳ ✶✺✽
❆✳✻✳✹ ❈♦♥❝❛t❡♥❛t✐♦♥ ♦❢ ❞✐❝②❝❧❡s ❛♥❞ r❡❧❛t✐♦♥ t♦ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❑❛✉t③ ❞✐❣r❛♣❤s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻✵
❆✳✻✳✺ ❈❛s❡ d=s= 2 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻✵
❆✳✻✳✻ ❈❛s❡d=s= 3 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻✷
❆✳✻✳✼ ❈♦♠♣❧❡t❡ ❇❡r❣❡ ❞✐❝②❝❧❡s ✐♥ ❑❛✉t③ ❉✐❤②♣❡r❣r❛♣❤s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻✹
❆✳✼ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻✹
❇ ❉✐str✐❜✉t❡❞ ❙t♦r❛❣❡ ❙②st❡♠s ✶✻✼
❇✳✶ ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻✾
❇✳✶✳✶ ❘❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ Pr♦❝❡ss ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼✵
❇✳✷ ▼❛r❦♦✈ ❈❤❛✐♥ ▼♦❞❡❧s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼✷
❇✳✸ ❘❡s✉❧ts✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼✹
❈♦♥t❡♥ts ✐①
❇✳✸✳✷ ❙②st❡♠s ✇✐t❤ s❛♠❡ ❉✉r❛❜✐❧✐t② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼✻
❇✳✸✳✸ ❙②st❡♠s ✇✐t❤ s❛♠❡ ❙t♦r❛❣❡ ❙♣❛❝❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼✼
❇✳✹ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼✼
■♥❞❡① ♦❢ ❉❡✜♥✐t✐♦♥s ✶✼✾
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✶✳✸ ❖t❤❡r ✇♦r❦s✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻
✶✳✹ P✉❜❧✐❝❛t✐♦♥s✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻
■♥ t❤✐s t❤❡s✐s✱ ✇❡ ♣r❡s❡♥t ♥❡✇ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s ✐♥ t✇♦ ❛r❡❛s ♦❢ ●r❛♣❤ ❚❤❡♦r②✿ ●r❛♣❤ ❈♦❧♦r✐♥❣ ❛♥❞ ●r❛♣❤ ❈♦♥✈❡①✐t②✳ ❉✉❡ t♦ t❤❡ ❢♦✉r ❝♦❧♦r ♣r♦❜❧❡♠ ❬❆❍✼✼❪ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ s❡✈❡r❛❧ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ●r❛♣❤ ❈♦❧♦r✐♥❣ ✐s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ♠♦st st✉❞✐❡❞ ❛r❡❛s ♦❢ ●r❛♣❤ ❚❤❡♦r② ❬❏❚✾✺✱▼❘✵✶✱❈❩✵✽❪✳ ■t ❝♦♥s✐sts ✐♥ ❛ss✐❣♥✐♥❣ ❝♦❧♦rs t♦ t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s ♦r ❡❞❣❡s ♦❢ ❛♥ ✐♥♣✉t ❣r❛♣❤ ✉♥❞❡r ✈❛r✐♦✉s ❝♦♥str❛✐♥ts✳ ●r❛♣❤ ❈♦♥✈❡①✐t② st✉❞✐❡s ♣❛r❛♠❡t❡rs ♠♦t✐✈❛t❡❞ ❜② t❤❡ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥✈❡① s❡ts ✐♥ t❤❡ ❊✉❝❧✐❞✐❛♥ s♣❛❝❡✳ ❲❡ r❡❢❡r t♦ ❘♦❝❦❛❢❡❧❧❛r ❬❘♦❝✼✵❪ ❛s ❛ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❜♦♦❦ ♦♥ ❝♦♥✈❡①✐t② ✐♥ t❤❡ ❊✉❝❧✐❞✐❛♥ s♣❛❝❡✳
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❋♦r ❜❛s✐❝ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦♥ ●r❛♣❤ ❚❤❡♦r②✱ ❆❧❣♦r✐t❤♠s ❛♥❞ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❈♦♠✲ ♣❧❡①✐t② ✇❡ r❡❢❡r t♦ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❜♦♦❦s ❧✐❦❡ ❬❇▼✵✽❛✱❇❡r✼✻✱❈▲❘❙✵✶✱●❏✾✵❪✳
■♥ ✇❤❛t ❢♦❧❧♦✇s✱ ✇❡ s✉♠♠❛r✐③❡ ❡❛❝❤ s✉❜❥❡❝t✱ ✐ts ♠♦t✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ r❡s✉❧ts✳
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❱❡rt❡① ❈♦❧♦r✐♥❣ ✐s ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥ ●r❛♣❤ ❚❤❡♦r②✳ ▼❛♥② ✈❛r✐✲ ❛♥ts ♦❢ t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡ ❧✐❦❡ ▲✐st ❈♦❧♦r✲ ✐♥❣ ❬❱✐③✼✻✱❊❘❚✽✵❪✱L(p1, . . . , pq)✲❧❛❜❡❧✐♥❣ ❬❈❛❧✵✻❪✱b✲❈♦❧♦r✐♥❣ ❬■▼✾✾❪ ❛♥❞ ❙t❛r
✷ ❈❤❛♣t❡r ✶✳ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥
▲❡t G = (V, E) ❜❡ ❛ ❣r❛♣❤✳ ❆ ✭✈❡rt❡①✮ k✲❝♦❧♦r✐♥❣ ♦❢ G ✐s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ c :V →
{1, . . . , k}✳ ❚❤❡ ❝♦❧♦r✐♥❣ c ✐s ♣r♦♣❡r ✐❢ uv ∈ E ✐♠♣❧✐❡s c(u) 6= c(v)✳ ❖❜s❡r✈❡ t❤❛t
❛ ♣r♦♣❡r k✲❝♦❧♦r✐♥❣ ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ s❡❡♥ ❛s ❛ ♣❛rt✐t✐♦♥ c = (S1, . . . , Sk) ♦❢ t❤❡ ✈❡rt❡①
s❡t V(G) ✐♥t♦ ❝♦❧♦r ❝❧❛ss❡s t❤❛t ❛r❡ t❤❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t s❡ts ✭❛❧s♦ ❝❛❧❧❡❞ st❛❜❧❡ s❡ts✮
Si✱ i ∈ {1, . . . , k}✱ ✐✳❡✳ s❡ts ♦❢ ♣❛✐r✇✐s❡ ♥♦♥✲❛❞❥❛❝❡♥t ✈❡rt✐❝❡s✳ ■❢ G ❛❞♠✐ts ❛ k✲
❝♦❧♦r✐♥❣✱ ✐t ✐s ❝❛❧❧❡❞ k✲❝♦❧♦r❛❜❧❡✳ ❚❤❡ ❝❤r♦♠❛t✐❝ ♥✉♠❜❡r ♦❢ G✱ ❞❡♥♦t❡❞ ❜② χ(G)✱ ✐s
t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ✐♥t❡❣❡r k s✉❝❤ t❤❛t G ❛❞♠✐ts ❛ ♣r♦♣❡r k✲❝♦❧♦r✐♥❣✳ ❚❤❡ ❣♦❛❧ ♦❢ t❤❡
❱❡rt❡① ❈♦❧♦r✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ χ(G) ❢♦r ❛ ❣✐✈❡♥ ❣r❛♣❤ G✳ ■t ✐s ❛
✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥ ◆P✲❤❛r❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❬❑❛r✼✷❪✳
❲❡ ♥♦✇ ❞❡s❝r✐❜❡ ✐♥ ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧s ♦✉r ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥✳
●r❡❡❞② ❈♦❧♦r✐♥❣ ▲❡t G= (V, E) ❜❡ ❛ ❣r❛♣❤ ❛♥❞ θ=v1, . . . , vn ❜❡ ❛♥ ♦r❞❡r
♦✈❡r V(G)✳ ❚❤❡ ❣r❡❡❞② ✭❛❧s♦ ❦♥♦✇♥ ❛s ✜rst✲✜t✮ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ❱❡rt❡① ❈♦❧♦r✐♥❣
♣r♦❜❧❡♠ ❢♦❧❧♦✇s t❤❡ ♦r❞❡rθ❛♥❞ ❛ss✐❣♥s t♦vi(1≤i≤n)t❤❡ s♠❛❧❧❡st ♣♦s✐t✐✈❡ ✐♥t❡❣❡r
t❤❛t ✇❛s ♥♦t ❛ss✐❣♥❡❞ t♦ ♦♥❡ ♦❢ ✐ts ❛❧r❡❛❞② ❝♦❧♦r❡❞ ♥❡✐❣❤❜♦rs ✐♥N(vi)∩{v1, . . . , vi−1}✳
❚❤❡ ●r✉♥❞② ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❛ ❣✐✈❡♥ ❣r❛♣❤G= (V, E)✱ ❞❡♥♦t❡❞ ❜②Γ(G)✱ ✐s t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠
♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦❧♦rs t❤❛t t❤❡ ❣r❡❡❞② ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♠❛② ✉s❡ t♦ ❝♦❧♦r G ♦✈❡r ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡
♦r❞❡r✐♥❣s θ ♦❢V(G)❬●r✉✸✾✱❈❙✼✾❪✳
❖❜s❡r✈❡ t❤❛t t❤❡ ❣r❡❡❞② ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s ❛♥ ♦♥✲❧✐♥❡ ❤❡✉r✐st✐❝ s✐♥❝❡ ✐t ❝♦❧♦rsvi❜② ♦♥❧②
❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉tG[{v1, . . . , vi−1}]✱ ✐✳❡✳ t❤❡ s✉❜❣r❛♣❤ ♦❢G✐♥❞✉❝❡❞
❜② t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s v1, . . . , vi−1✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ st✉❞② ♦♥ t❤❡ ●r✉♥❞② ♥✉♠❜❡r ✐s ♠♦t✐✈❛t❡❞
❜② ❖♥✲❧✐♥❡ ❈♦❧♦r✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ❛s ✐t ❣✐✈❡s ❛♥ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ❢♦r ✐t ❬❑✐❡✾✽✱❑P❚✾✹❪✳ ■t ✐s ❦♥♦✇♥ ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡ t❤❛t t❤❡ ●r❡❡❞② ❈♦❧♦r✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ❝❛♥ ❜❡ s♦❧✈❡❞ ✐♥ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✲t✐♠❡ ❢♦r P4✲❢r❡❡ ❣r❛♣❤s ❬●▲✽✽❪ ❛♥❞ ✐t ✐s ◆P✲❤❛r❞ ❢♦r P5✲
❢r❡❡ ❣r❛♣❤s ❬❩❛❦✵✺❪✳ ❲❡ ♣r❡s❡♥t✱ ✐♥ ❈❤❛♣t❡r ✷✱ ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✲t✐♠❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ●r✉♥❞② ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❢❛t✲❡①t❡♥❞❡❞ P4✲❧❛❞❡♥ ❣r❛♣❤s ❜② ✉s✐♥❣ t❤❡✐r ♠♦❞✉✲
❧❛r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✳ ❚❤✐s ❣r❛♣❤ ❝❧❛ss ✐s ❛ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡①t❡♥❞❡❞ P4✲❧❛❞❡♥
❣r❛♣❤s ❬●✐❛✾✻❪✳ ❆ ❣r❛♣❤ G ✐s ❡①t❡♥❞❡❞ P4✲❧❛❞❡♥ ✐❢✱ ❢♦r ❛❧❧ H ⊆ G s✉❝❤ t❤❛t
|V(H)| ≤6✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ st❛t❡♠❡♥t ✐s tr✉❡✿ ✐❢ H ❝♦♥t❛✐♥s ♠♦r❡ t❤❛♥ t✇♦ ✐♥❞✉❝❡❞ P4✬s✱ t❤❡♥ H ✐s ❛ ♣s❡✉❞♦✲s♣❧✐t ❣r❛♣❤✱ ✇❤❡r❡ ❛ ♣s❡✉❞♦✲s♣❧✐t ❣r❛♣❤ ✐s ❛ {C4,C¯4}✲❢r❡❡
❣r❛♣❤✳
❚❤❡ ❢❛t✲❡①t❡♥❞❡❞P4✲❧❛❞❡♥ ❣r❛♣❤s ♣r♦♣❡r❧② ❝♦♥t❛✐♥ t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ P4✲❢r❡❡ ❣r❛♣❤s✱
❛❧s♦ ❦♥♦✇♥ ❛s ❝♦❣r❛♣❤s✱ ❛♥❞ ❝♦♥s❡q✉❡♥t❧② ✐♥t❡rs❡❝t t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢P5✲❢r❡❡ ❣r❛♣❤s✳ ❚❤✐s
r❡s✉❧t ✇❛s ♦❜t❛✐♥❡❞ ✐♥ ❛ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❈❧á✉❞✐❛ ▲✐♥❤❛r❡s ❙❛❧❡s ❬❆▲✵✾✱❆▲✶✷❪✳ ❲❡✐❣❤t❡❞ ❈♦❧♦r✐♥❣ ●✐✈❡♥ ❛ ❣r❛♣❤G= (V, E)✱ ❛ ✇❡✐❣❤t ❢✉♥❝t✐♦♥w:V(G)→
R∗+✱ ❛♥❞ ❛ k✲❝♦❧♦r✐♥❣ c = (S1, . . . , Sk) ♦❢ G✱ ❧❡t ✉s ❞❡✜♥❡ t❤❡ ✇❡✐❣❤t ♦❢ ❛ ❝♦❧♦r Si
❛s w(Si) = maxv∈Siw(v)✱ ❢♦r ❡✈❡r② i ∈ {1, . . . , k}✱ ❛♥❞ t❤❡ ✇❡✐❣❤t ♦❢ ❝♦❧♦r✐♥❣ c
❛s w(c) = Pk
i=1w(Si)✳ ❚❤❡ ❣♦❛❧ ♦❢ t❤❡ ❲❡✐❣❤t❡❞ ❈♦❧♦r✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠ ❝♦♥s✐sts✱
❢♦r ❛ ❣✐✈❡♥ ❣r❛♣❤ G❛♥❞ ✇❡✐❣❤t ❢✉♥❝t✐♦♥ w✱ ✐♥ ❞❡t❡r♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ✇❡✐❣❤t❡❞ ❝❤r♦♠❛t✐❝
♥✉♠❜❡r ♦❢ (G, w)✱ ❞❡♥♦t❡❞ ❛s χw(G)✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ✇❡✐❣❤t ♦❢ ❛ ♣r♦♣❡r
❝♦❧♦r✐♥❣ ♦❢ (G, w) ❬●❩✾✼❪✳ ❚❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡s ❱❡rt❡① ❈♦❧♦r✐♥❣ ❜❡❝❛✉s❡✱
✐♥ t❤❡ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❝❛s❡ ♦❢ ✉♥✐t❛r② ✇❡✐❣❤ts✱ ✇❡ ❤❛✈❡ χ(G) =χw(G)✳
✶✳✶✳ ●r❛♣❤ ❈♦❧♦r✐♥❣ ✸
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