36.2 Sequˆ encias Delta de Dirac

(1)

Cap´ıtulo 36

Aproxima¸ c˜ ao de Fun¸ c˜ oes. Aproxima¸ c˜ oes Polinomiais e S´ eries de Fourier

Conte´udo

36.1 No¸cões de Convergência para Sequências de Fun¸cões . . . 1794

36.1.1 Importˆancia da Convergˆencia Uniforme . . . 1795

36.1.1.1 Troca de Ordem entre Limites e Integrais . . . 1796

36.1.1.2 Troca de Ordem entre Limites e Derivadas . . . 1798

36.1.1.3 Troca de Ordem entre Derivadas e Integrais . . . 1798

36.2 Sequˆencias Delta de Dirac . . . 1800

36.3 Aproxima¸cão de Fun¸cões por Polinômios . . . 1806

36.3.1 O Teorema de Weierstrass . . . 1806

36.3.2 O Teorema de Taylor . . . 1813

36.4 Aproxima¸cão de Fun¸cões por Polinômios Trigonométricos . . . 1820

36.4.1 Preliminares . . . 1821

36.4.2 A Série de Fourier de Fun¸cões Periódicas de Per´ıodoT . . . 1824

36.4.3 Polinômios Trigonométricos e Fun¸cões Cont´ınuas e Periódicas . . . 1825

36.4.4 Convergˆencia de S´eries de Fourier . . . 1830

36.4.4.1 Séries de Fourier em Senos ou Cossenos para Fun¸cões Definidas em Intervalos Compactos1836 36.4.5 Revisitando a Aproxima¸cão Uniforme de Fun¸cões Cont´ınuas e Periódicas por Polinômios Tri- gonométricos . . . 1839

36.4.6 Somas de Ces`aro . . . 1839

36.4.6.1 O N´ucleo de Fej´er . . . 1841

36.4.7 S´eries de Fourier e o Espa¸co de HilbertL²[−π, π], dx . . . 1843

36.5 O Teorema de Stone-Weierstrass . . . 1844

36.6 Exerc´ıcios Adicionais . . . 1849

AP ˆENDICES . . . 1857

36.A Prova do Teorema de Weierstrass Usando Polinˆomios de Bernstein . . . 1857

36.B A Demonstra¸c˜ao de Weierstrass do Teorema de Weierstrass . . . 1861

N

âF´ısica e também em diversas áreas da Matemática Aplicada, estamos muitas vezes interessados em resolver problemas cuja solu¸cão não pode ser obtida exatamente. No caso de equa¸cões diferenciais, por exemplo, são muito raras as situa¸cões nas quais uma solu¸cão pode ser expressa em termos de fun¸cões “elementares”, tais como polinômios, exponenciais, logaritmos, senos, cossenos ou combina¸cões finitas das mesmas. Na grande maioria dos casos apresentam-se métodos de solu¸cão em termos de aproxima¸cões que, sob hipóteses adequadas, podem estar tão próximas quanto se queira da solu¸cão correta. É, portanto, uma questão importante desenvolver métodos de aproximar fun¸cões com certas propriedades e é disso, basicamente, que trataremos neste cap´ıtulo. Não pretendemos aqui esgotar o assunto, o que ademais seria imposs´ıvel, dada a sua extensão, mas tratar de dois tipos fundamentais de aproxima¸cões de fun¸cões: as aproxima¸cões por polinômios e as aproxima¸cões por polinômios trigonométricos. Este último tópico é o dom´ınio das chamadas séries de Fourier e suporemos que o leitor já possua alguma familiaridade com seus aspectos mais elementares e suas aplica¸cões. Como veremos, aproxima¸cões por polinômios e por polinômios trigonométricos são dois assuntos relacionados. Ambos os métodos de aproxima¸cão estão também na raiz de muitos outros desenvolvimentos, como na teoria dos espa¸cos de Hilbert, e mesmo em temas mais abstratos, como na Álgebra de Operadores. Sua utiliza¸cão prática é enorme e ambos os assuntos têm dominado boa parte das aplica¸cões da Matemática a problemas de F´ısica e de Engenharia desde o século XVIII.

1793

36.1 No¸ c˜ oes de Convergˆ encia para Sequˆ encias de Fun¸ c˜ oes

Em benef´ıcio do estudante, vamos recordar brevemente na corrente se¸cão algumas das no¸cões e resultados básicos sobre convergência de sequências de fun¸cões definidas em R(ou em subconjuntos deR), no¸cões e resultados esses que utilizaremos no que segue. Presumimos que o estudante já tenha sido exposto a esses temas e um tratamento mais detalhado que o nosso pode ser encontrado em quaisquer bons livros de Cálculo ou Análise real. Algumas das no¸cões aqui tratadas são também desenvolvidas com muito mais detalhe no Cap´ıtulo 24, página 1245, mas a leitura prévia desse cap´ıtulo, ainda que útil, é dispensável para o que segue.

SejaDum subconjunto deR. As seguintes no¸cões de convergência são de fundamental importância:

a.Convergência pontual. Diz-se que uma sequência de fun¸cõesfn:D→C, definidas emD,converge pontualmentea uma fun¸cãof:D→Cse para cadax∈Dvaler lim

n→∞fn(x) =f(x).

b.Convergência uniforme. Diz-se que uma sequência de fun¸cõesfn:D→Cconverge uniformementea uma fun¸cão f:D→Cse lim

n→∞

sup

x∈D|fn(x)−f(x)|

= 0.

Se uma sequênciafnconverge pontualmente a uma fun¸cãof, entãofé dita ser olimite pontualda sequênciafn. Se uma sequênciafnconverge uniformemente a uma fun¸cãof, entãofé dita ser olimite uniformeda sequênciafn.

Além da convergência uniforme e pontual, há diversas outras no¸cões de convergência para sequências de fun¸cões, das quais destacamos as duas seguintes. Sejamaeb∈Rcom−∞< a < b <∞.

c.Convergˆencia no sentido deL¹[a, b], dx

. Sejafn: [a, b]→Cuma sequˆencia de fun¸c˜oes tais que Zb

a |fn(x)|dx <

∞para todon∈N. Seja tamb´emf: [a, b]→Ccom Zb

a|f(x)|dx <∞. Dizemos que a sequˆenciafnconverge af no sentido deL¹[a, b], dx

se lim

n→∞

Zb

a|fn(x)−f(x)|dx= 0.

d.Convergˆencia no sentido deL² [a, b], dx

. Sejafn: [a, b]→Cuma sequˆencia de fun¸c˜oes tais que Zb

a |fn(x)|²dx <

∞para todon∈N. Seja tamb´emf: [a, b]→Ccom Zb

a|f(x)|²dx <∞. Dizemos que a sequˆenciafnconverge a fno sentido deL²[a, b], dx

se lim

n→∞

sZb

a |fn(x)−f(x)|²dx= 0.

Defini¸cões análogas existem para o caso de sequências definidas, não em um intervalo finito [a, b], mas em intervalos não-finitos, como a reta realRou a semirretaR₊.

Antes de falarmos sobre a importância da convergência uniforme, apresentemos um critério importante para que se tenha convergência uniforme de séries de fun¸cões.

•O testeMde Weierstrass

Em muitas situa¸cões lidamos com séries de fun¸cões, ou seja, com sequências da formasn(x) = Xn

k=0

fk(x),n∈N, ondefksão fun¸cões reais definidas em um certo dom´ınio comumD⊂R. É muito importante nesses casos ter em mãos critérios que permitam saber se a sequênciasnconverge uniformemente emDa alguma fun¸cão. De particular utilidade nesse contexto é um pequeno resultado devido a Weierstrass¹, conhecido comotesteM de Weierstrass, o qual fornece condi¸cões suficientes para a convergência uniforme de uma série:

Proposi¸c˜ao 36.1 (TesteM de Weierstrass)SejaD⊂R,Dn˜ao-vazio, e sejafn:D→Cuma sequˆencia de fun¸c˜oes definidas emDe tais que para cadakexista uma constanteMk≥0tal que|fk(x)| ≤Mkpara todox∈D. Ent˜ao, se a

1Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (1815–1897).

(2)

s´erie X∞

k=0

Mkfor convergente, a sequˆencia de fun¸c˜oessn(x) :=

Xn

k=0

fk(x)converge uniformemente emD. 2

Prova. Como a s´erie X∞

k=0

Mk´e convergente, a sequˆencia de somas parciaisM_n:=

Xn

k=0

Mké uma sequência de Cauchy e, portanto, para cadaǫ >0 existeN(ǫ)∈Ntal que|Mn−Mm| ≤ǫsempre quenemforem maiores queN(ǫ). Como os Mk’s são positivos, param < ntem-se|Mn−Mm|=Mn−Mm=

Xn

k=m+1

Mk. Assim, vale Xn

k=m+1

Mk≤ǫsempre quen emforem maiores queN(ǫ).

Provemos primeiramente que a sequˆenciasnconverge pontualmente. Fixemosx∈De consideremos, param < n, a diferen¸casn(x)−sm(x) =

Xn

k=m+1

fk(x). Naturalmente, vale|sn(x)−sm(x)| ≤ Xn

k=m+1

|fk(x)| ≤ Xn

k=m+1

Mk≤ǫsempre quenemforem maiores queN(ǫ). Isso provou que a sequênciasn(x) é uma sequência de Cauchy de números reais e, portanto, converge a um número que denotamos pors(x). Como isso se dá para cadax∈D, conclu´ımos que existe uma fun¸cãos:D→Cà qual a sequênciasnconverge pontualmente.

Provemos agora que a sequˆenciasnconverge uniformemente a essa fun¸c˜aos. Para cadax∈Dvale, como vimos,

|sn(x)−sm(x)| ≤ǫsempre quenemforem maiores queN(ǫ). Logo, tomando nessa desigualdade o limiten→ ∞, teremos

|s(x)−sm(x)| ≤ǫsempre quem > N(ǫ). Como isso vale para qualquerx∈D, conclu´ımos que supx∈D|s(x)−sm(x)| ≤ǫ sempre quem > N(ǫ) e isso estabelece que a sequˆenciasnconverge uniformemente asemD.

O leitor pode facilmente perceber que a Proposi¸cão 36.1 e sua demonstra¸cão se deixam generalizar sem problemas para séries de fun¸cões complexas definidas em dom´ınios complexosD⊂C. Em verdade, a Proposi¸cão 36.1 e sua demonstra¸cão se deixam facilmente generalizar ainda mais para séries de fun¸cões definidas emD⊂Cassumindo valores em um espa¸co de Banach.

36.1.1 Importˆancia da Convergˆencia Uniforme

Vamos discutir brevemente algumas das razões da importância da no¸cão de convergência uniforme. Como consequência dessa discussão, obteremos uma série de resultados muito úteis que garantem condi¸cões suficientes para que se possa trocar a ordem de opera¸cões envolvendo a tomada de limites, o cálculo de derivadas e o cálculo de integrais definidas, trocas essas empregadas amiúde em manipula¸cões em F´ısica e Matemática.

•Convergˆencia uniforme e outras convergˆencias

E evidente que em qualquer´ Da convergência uniforme de uma sequênciafna uma fun¸cãofimplica a convergência pontual dessa sequência à mesma fun¸cão. No caso de intervalos [a, b] finitos, a convergência uniforme implica também a convergência no sentido deL¹ [a, b], dx

, pois vale, evidentemente, Zb

a|fn(x)−f(x)|dx ≤ sup

x∈[a, b]|fn(x)−f(x)| b−a

(36.1) e analogamente para a convergˆencia no sentido deL² [a, b], dx

. A rec´ıproca dessas duas afirma¸cões, porém, não é necessariamente verdadeira. Por exemplo, a sequência de fun¸cões definidas no intervalo [−1,1] por

fn(x) :=











1 0≤ |x| ≤n¹, 0, ¹_n<|x| ≤1, paran≥1, converge `a fun¸c˜ao nula no sentido deL¹[a, b], dx

e no sentido deL² [a, b], dx

(justifique!), mas n˜ao converge uniformemente a essa fun¸c˜ao (justifique!).

•Limites uniformes de fun¸c˜oes cont´ınuas em intervalos compactos

Um importante resultado que mencionamos é uma propriedade de grande relevância de limites uniformes de fun¸cões cont´ınuas:

Proposi¸c˜ao 36.2SejaD ⊂ R, n˜ao-vazio, e sejafn : D→ Cuma sequˆencia de fun¸c˜oes cont´ınuas que converge

uniformemente a uma fun¸c˜aof:D→C. Ent˜ao,f´e tamb´em cont´ınua. 2

Prova.Parax, y∈Dquaisquer en∈Nqualquer, podemos escreverf(x)−f(y) = f(x)−fn(x)

+ fn(x)−fn(y) + fn(y)−f(y)

, do que se extrai

f(x)−f(y) ≤

f(x)−fn(x) +

fn(x)−fn(y) +

fn(y)−f(y)

. Como a sequˆenciafn

converge uniformemente af, existe para cadaǫ >0 umN(ǫ/3)∈Ntal que

f(x)−fn(x) < ǫ/3 e

f(y)−fn(y) < ǫ/3 desde que escolhamosncomn > N(ǫ/3). Tomemos um taln. Como a fun¸c˜aofn´e cont´ınua, existeδ(ǫ/3) tal que fn(x)−fn(y)

< ǫ/3 desde que|x−y|< δ(ǫ/3). Assim, para cadaǫ >0 existeδ(ǫ/3) tal que

f(x)−f(y) < ǫdesde que|x−y|< δ(ǫ/3), provando a continuidade def.

Resultados ainda mais fortes são demonstrados na Proposi¸cão 24.8, página 1258.

36.1.1.1 Troca de Ordem entre Limites e Integrais

No caso de intervalos finitos [a, b], a no¸cão de convergência uniforme é importante por fornecer condi¸cões suficientes para garantir a inversão de ordem de limites e integrais. Mais especificamente, tem-se a seguinte afirma¸cão:

Proposi¸cão 36.3Seja uma sequênciafn: [a, b]→Cde fun¸c˜oes cont´ınuas definidas em um intervalo compacto[a, b]⊂ Rque converge uniformemente nesse intervalo a uma fun¸cãof: [a, b]→C(a qual, pela Proposi¸c˜ao 36.2, é também cont´ınua), então vale

nlim→∞

Za b

fn(x)dx = Za

b

lim

n→∞fn(x) dx =

Za b

f(x)dx (36.2)

ou seja, ´e poss´ıvel inverter o limite pela integral definida. 2

Prova.A demonstra¸c˜ao segue facilmente da observa¸c˜ao que

Zb a

fn(x)−f(x) dx

≤

Zb

a |fn(x)−f(x)|dx ^(36.1)≤ sup

x∈[a, b]|fn(x)−f(x)|

! b−a

,

o que implica que lim_n

→∞

Zb a fn(x)dx−

Zb a f(x)dx

= 0 se lim_n

→∞ sup

x∈[a, b]|fⁿ(x)−f(x)|

!

= 0.

Fazemos notar que a condi¸cão de convergência uniforme da sequênciafné suficiente, mas não necessária para validar a inversão de limites em intervalos compactos descrita em (36.2). Citamos o importante exemplo de séries de Fourier de fun¸cões periódicas, cont´ınuas e diferenciáveis por partes. De acordo com o Teorema 36.13, página 1835, as condi¸cões do Teorema de Fourier (Teorema 36.12, página 1834) são suficientes para que a inversão de (36.2) seja válida para uma série de Fourier, mesmo que não impliquem em convergência uniforme dessa série.

A troca de limites por integrais definidas é uma opera¸cão frequentemente realizada em manipula¸cões matemáticas e, não raro, conduz à solu¸cão de diversos problemas em F´ısica. É, portanto, útil conhecermos condi¸cões sob as quais tal inversão seja permitida. Alguns dos teoremas mais fortes nessa dire¸cão (com a integra¸cão entendida no sentido de Lebesgue) são o Teorema da Convergência Monótona e o Teorema da Convergência Dominada, que apresentamos e demonstramos na Se¸cão 31.3.4, página 1482.

•Contraexemplos a se ter em mente

Caso a sequência de fun¸cões não seja uniformemente convergente, então não é sempre poss´ıvel garantir a validade da inversão entre a integral definida e a tomada do limite e essa inversão pode, em alguns casos, ser falsa. Um exemplo bem

(3)

conhecido é o da sequência de fun¸cões cont´ınuas

fn(x) :=











n²x , 0≤x≤¹n,

−n²x+ 2n , _n¹≤x≤n², 0, _n²≤x≤1,

(36.3)

comn≥2, fun¸cões essas definidas no intervalo [0,1]. Vide Figura 36.1, página 1797. É fácil constatar que para cada x∈[0, 1] vale lim

n→∞fn(x) = 0, sendo que esse limite não é uniforme, já quefn(1/n) =npara cadan. Ocorre, porém, que

Z1 0

fn(x)dx= 1 para todon. Logo, lim

n→∞

Za b

fn(x)dx6=

Za b

lim

n→∞fn(x)

dx, pois o lado esquerdo vale 1 e o lado direito vale 0.

0 1/n 2/n 1

n

Figura 36.1: Gráfico de uma fun¸cãofndefinida em (36.3). Observe que a área do triângulo vale 1 para todon.

A hipótese feita na Proposi¸cão 36.3 de que a sequênciafnconverge uniformemente em um intervalocompactotambém não é gratuita, como mostra o seguinte (contra-)exemplo: Sejafn:R→Ra sequência de fun¸cões definidas por

fn(x) :=











1

2n, −n≤x≤n , 0, de outra forma,

(36.4)

comn≥1. Então,fnconverge uniformemente em todaRà fun¸cão identicamente nula (justifique!), mas Z_∞

−∞

fn(x)dx= 1 para todon, mostrando que 1 = lim

n→∞

Z_∞

−∞

fn(x)dx

6=

Z_∞

−∞

lim

n→∞fn(x) dx = 0.

E. 36.1Exerc´ıcio. Considere a sequência de fun¸cõesfn(x) = ¹ne^−x/n, comn∈N, definidas no intervalo[0, ∞). Mostre que essa sequência de fun¸cões converge uniformemente à fun¸cão que é identicamente nula no intervalo[0, ∞). Mostre que vale limn→∞R∞

0 fn(x)dx6=R∞

0 (limn→∞fn(x))dx.

Ainda que difiram, os limiteslimn→∞

R_∞

0 fn(x)dxeR_∞

0 (limn→∞fn(x))dxsão finitos no exemplo acima. Considere, porém, o que ocorre no caso da sequência de fun¸cõesfn(x) =√¹ne^−x/n, comn∈N, definidas no intervalo[0,∞). Mostre que essa sequência de fun¸cões também converge uniformemente, à fun¸cão identicamente nula, mas constate que, nesse caso, o limitelimn→∞

R_∞

0 fn(x)dx

sequer existe. 6

36.1.1.2 Troca de Ordem entre Limites e Derivadas

A Proposi¸cão 36.3 tem uma outra consequência útil referente à possibilidade de inversão de limites por derivadas.

Proposi¸cão 36.4Sejafn:R→C,n∈N, uma sequência de fun¸c˜oes cont´ınuas e diferenciáveis com derivadasfn^′

também cont´ınuas. Suponhamos que a sequênciafnconvirja pontualmente a uma fun¸cãof:R→Ce que a sequência de derivadasfn^′ convirja uniformemente em cada intervalo compacto[a, b]⊂Ra uma fun¸cãog:R→C. Ent˜ao,gé cont´ınua efé diferenci´avel, comf^′=g.

Assim, em outras palavras, vale, sob as hip´oteses acima, lim

n→∞

dfn

dx(x)

= d dx

lim

n→∞fn(x)

. 2

Nota.Observamos que as conclusões da Proposi¸cão 36.4 podem ser obtidas com hipóteses ainda menos restritivas. Vide, e.g., [255]. ♣ Provada Proposi¸cão 36.4.A sequência de fun¸cões cont´ınuasfn^′ converge uniformemente agem cada intervalo compacto [a, b]⊂Re, assim, pela Proposi¸cão 36.2,gé cont´ınua em todos esses intervalos e, portanto, é cont´ınua em todoR.

Tomemos um intervalo compacto [a, x]⊂R, comx∈(a, b]. Como a sequência de fun¸cões cont´ınuasfn^′ converge uniformemente nesse intervalo à fun¸cãog, vale pela Proposi¸cão 36.3 que limn→∞Rx

afn^′(y)dy=Rx

ag(y)dy. A integral do lado esquerdo éfn(x)−fn(a). Como a sequênciafnconverge pontualmente à fun¸cãof, teremos que limn→∞ fn(x)− fn(a)

=f(x)−f(a). Assim, estabelecemos queRx

ag(y)dy=f(x)−f(a). O lado esquerdo é cont´ınuo e diferenciável emxem todo intervalo [a, b], a derivada sendo a fun¸cão cont´ınuag(x) (pelo Teorema Fundamental do Cálculo). Logo, o lado direito é também cont´ınuo e diferenciável emxe sua derivada éf^′(x) =g(x).

36.1.1.3 Troca de Ordem entre Derivadas e Integrais

Tanto na F´ısica quanto na Matemática em geral, é muito comum encontrarmos situa¸cões nas quais temos uma fun¸cão φ(x, t) sendo integrada na variávelxem um certo dom´ınio, digamos de−∞e +∞, resultando em uma fun¸cão apenas da variávelt, e desejarmos calcular a derivada dessa fun¸cão resultante da integral em rela¸cão à variávelt, usando para tal a expressão d

dt Z_∞

−∞

φ(x, t)dx= Z_∞

−∞

∂φ

∂t(x, t)dx, na qual, em um sentido formal, a deriva¸cão na variávelté trocada de ordem com a integra¸cão emx. Tal troca de ordem é por vezes de grande utilidade em manipula¸cões, por exemplo, na teoria das equa¸cões diferenciais ordinárias e parciais. Na proposi¸cão que segue apresentaremos condi¸cões suficientes para garantir que tal troca seja válida.

Proposi¸c˜ao 36.5Sejaφ : R×R →Ccont´ınua e suponhamos que a derivada parcial ^∂φ_∂t(x, t) exista para todos (x, t)∈R×Re seja igualmente continua.

Parte I.Para todo intervalo compacto[a, b]⊂Ra fun¸c˜ao detdefinida porRb

aφ(x, t)dx´e diferenci´avel e vale d

dt Zb

a

φ(x, t)dx = Zb

a

∂φ

∂t(x, t)dx . (36.5)

Parte II.Vamos adicionalmente supor que valham as seguintes hip´oteses:

a.

Z_∞

−∞|φ(x, t)|dxexiste para todot∈R; b.

Z_∞

−∞

∂φ

∂t(x, t)

dxexiste para todot∈R; c.a sequˆencia de fun¸c˜oesFn(t) :=

Z

|x|>n

∂φ

∂t(x, t)

dxconverge quandon→ ∞`a fun¸c˜ao identicamente nula, uni- formemente paratem qualquer intervalo compacto[a, b]⊂R.

(4)

Ent˜ao, a fun¸c˜ao detdefinida porR∞

−∞φ(x, t)dx´e diferenci´avel e vale d

dt Z_∞

−∞

φ(x, t)dx = Z_∞

−∞

∂φ

∂t(x, t)dx . (36.6)

2

Prova da Parte I.Para evitar confus˜oes na nota¸c˜ao, vamos no que segue denotar a derivada parcial^∂φ_∂xporφ1e a derivada parcial^∂φ_∂t porφ2.

Comoφ2(x, t) ´e cont´ınua, podemos escrever Zt

0

Zb

a

φ2(x, τ)dx

! dτ =

Zb a

Zt 0

φ2(x, τ)dτ

dx ,

trocando a ordem das integrais. Agora,Rt

0φ2(x, τ)dτ=Rt 0

∂φ

∂t(x, τ)dτ=φ(x, t)−φ(x,0) e o lado direito claramente valeRb

aφ(x, t)dx−Rb

aφ(x,0)dx. Com isso, estabelecemos que Zb

a

φ(x, t)dx = Zt

0

Φ(τ)dτ+C , (36.7)

onde

Φ(τ) :=

Zb a

φ2(x, τ)dx e C :=

Zb a

φ(x,0)dx . Note-se queC´e constante, ou seja, independente det.

E importante agora provarmos que Φ :´ R→Cé cont´ınua. Vamos provisoriamente restringirτao intervalo compacto [−T, T] para algumT >0. Por hipótese, a fun¸cãoφ2(x, τ) é cont´ınua e, portanto, uniformemente cont´ınua no dom´ınio compacto [a, b]×[−T, T]⊂R². Logo, para todoǫ >0 existeδ(x) tal que|φ2(x, τ)−φ2(x^′, τ^′)|< ǫsempre que

|x−x^′|< δ(ǫ) e|τ−τ^′|< δ(ǫ). Em particular, vale que|φ2(x, τ)−φ2(x, τ^′)|< ǫsempre que|τ−τ^′|< δ(ǫ). Logo, se

|τ−τ^′|< δ(ǫ), valer´a

Φ(τ)−Φ(τ^′) =

Zb a

φ2(x, τ)dx− Zb

a

φ2(x, τ^′)dx ≤

Zb a

φ2(x, τ)−φ2(x, τ^′)

dx <(b−a)ǫ , o que prova que Φ : [−T, T]→Cé cont´ınua. ComoT >0 é arbitrário, conclu´ımos que Φ :R→Cé cont´ınua, como desejávamos. A continuidade de Φ permite afirmar queRt

0Φ(τ)dτé diferenciável como fun¸cão dete de (36.7) conclu´ımos queRb

aφ(x, t)dxé também diferenciável como fun¸cão dete vale d

dt Zb

a

φ(x, t)dx = Φ(t) = Zb

a

∂φ

∂t(x, t)dx , como quer´ıamos estabelecer. Isso termina a prova da Parte I.

Prova da Parte II.A hipóteseagarante a existência da fun¸cãof:R→Cdefinida porf(t) :=

Z_∞

−∞

φ(x, t)dx. Para n∈N, defina-se também a sequência de fun¸cõesfn(t) :=

Zn

−n

φ(x, t)dx. Se provarmos quefnconverge pontualmente a fe quefné diferenciável e a sequência de derivadasfn^′ converge uniformemente a

Z_∞

−∞

∂φ

∂t(x, t)dxparatem compactos [a, b] (sendo que essa integral existe pela hipótese hipóteseb), então poderemos evocar a Proposi¸cão 36.4, página 1798 e obter que lim

n→∞

Zn

−n

φ(x, t)dxé diferenciável como fun¸cão dete que vale d

dt

nlim→∞

Zn

−n

φ(x, t)dx

= Z_∞

−∞

∂φ

∂t(x, t)dx ,

ou seja,

d dt

Z∞

−∞

φ(x, t)dx = Z∞

−∞

∂φ

∂t(x, t)dx , como desejamos.

Provemos ent˜ao quefnconverge pontualmente af. Tem-se|fn(t)−f(t)|= R

|x|>nφ(x, t)dx ≤R

|x|>n|φ(x, t)|dx.

Pela hip´otesea, tem-se para cadatque limn→∞R

|x|>n|φ(x, t)|dx= 0 (doutra formaR∞

−∞|φ(x, t)|dxn˜ao existiria), provando que para cadatvale limn→∞|fn(t)−f(t)|, o que diz quefnconverge afpontualmente.

Por fim, provemos quefné diferenciável e a sequência de derivadasfn^′ converge uniformemente aR∞

−∞

∂φ

∂t(x, t)dx paratem compactos [a, b]. Que cadafné diferenciável é garantido pela Parte I, que garante também quefn^′(t) = Rn

−n

∂φ

∂t(x, t)dx. Assim, fn^′(t)−

Z∞

−∞

∂φ

∂t(x, t)dx =

Z

|x|>n

∂φ

∂t(x, t)dx ≤

Z

|x|>n

∂φ

∂t(x, t) dx .

Agora, pela hip´otesec, R

|x|>n

∂φ

∂t(x, t)

dx converge a zero uniformemente em compactos quanton → ∞. Logo,

fn^′(t)−R∞

−∞

∂φ

∂t(x, t)dx

converge a zero uniformemente em compactos quanton→ ∞, completando a prova.

36.2 Sequˆ encias Delta de Dirac

Uma no¸cão importante para o estudo de certas aproxima¸cões de fun¸cões é a no¸cão desequência delta de Diracpois, como será ilustrado em diversos exemplos no que segue, muitos aproximantes de fun¸cões são produzidos por tais sequências ou por sequências análogas. Sequências delta de Dirac são muito usadas em F´ısica, assim como na Teorias das Distribui¸cões (vide Cap´ıtulo 37, página 1863) e no estudo de equa¸cões diferenciais.

Dirac²introduziu essas sequências no contexto da Mecânica Quântica, mas a ideia subjacente já podia ser encontrada na demonstra¸cão original de Weierstrass, datada de 1885, do teorema que leva seu nome sobre aproxima¸cão polinomial de fun¸cões cont´ınuas em intervalos compactos (Teorema 36.3, página 1806), assim como no trabalho de Fejér³de 1900 sobre o problema de convergência uniforme de polinômios trigonométricos associados a fun¸cões cont´ınuas e periódicas (vide Teorema 36.9, página 1828). Essas ideias originam-se provavelmente do trabalho de Dirichlet⁴de 1828, também sobre o problema de convergência das séries de Fourier (vide Proposi¸cão 36.9, página 1830).

•Sequˆencias delta de Dirac. Defini¸c˜ao formal e propriedades

A no¸cão de sequência delta de Dirac, que introduziremos agora, é de importância central na discussão de métodos de aproxima¸cão de fun¸cões. Isso será explicitado quando apresentarmos e demonstrarmos o Teorema 36.1 à página 1803. A no¸cão de sequência delta de Dirac é também intimamente ligada à no¸cão demedida delta de Dirac(vide página 1387) e

`

a no¸c˜ao dedistribui¸c˜ao delta de Dirac(vide p´agina 1918).

Defini¸cão 36.1 (Sequências delta de Dirac)Uma sequência de fun¸cões Kn :R →R, n ∈ N, é dita ser uma sequência delta de DiracemRcentrada em0se satisfizer

1. Para cadan∈N, a fun¸c˜aoKn´e integr´avel, ou seja, Z∞

−∞|Kn(x)|dx <∞.

2. Existe uma constanteK>0tal que para todon∈Nvale Z∞

−∞|Kn(x)|dx ≤ K. (36.8)

2Paul Adrien Maurice Dirac (1902–1984).

3Lip´ot Fej´er (1880–1959).

4Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859).