Fronteira Eficiente A Utilidade como Critério de Selecção Outros Modelos de Selecção Diversificação Internacional

II. TEORIA DA GESTÃO DE CARTEIRAS

A. SELECÇÃO DE ACTIVOS FINANCEIROS EM AMBIENTE DE RISCO [ SAFAR ] Fronteira Eficiente | A Utilidade como Critério de Selecção

Outros Modelos de Selecção | Diversificação Internacional

Bibliografia:

Bodie, Kane e Marcus, capítulos 6, 7, 8.

Elton, Gruber, Bown, e Goetzmann, capítulos 1, 4, 5, 6 e 12.

Afonso, Barros, Calado, Borges, Garcia e Relvas, capítulo 2.

Pires, capítulos 3, 4 e 5.

II. SAFAR | Fronteira Eficiente

Fronteira Eficiente

::

Todos os problemas implicam a necessidade de se tomar decisões.

Tarefas:

Determinar as diferentes alternativas;

Adoptar um critério de escolha;

Determinar a solução do problema.

Quando não existe incerteza:

Os agentes económicos conhecem os valores que as variáveis irão assumir no futuro;

Exemplo típico: Escolha intertemporal.

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::

• Muitos activos financeiros não têm uma rentabilidade certa;

• “Quem prefere 100 euros de certeza ou jogar um jogo em que com 50% de probabilidade recebe 200 euros e com 50% de probabilidade não recebe nada?”

Aversão ao risco, prémio de risco

• O mercado de activos reflecte este comportamento: as pessoas só estão dispostas a deter activos com mais risco se a sua rentabilidade for mais elevada!!

• Ideia MARKOWITZ:as informações relevantes sobre os títulos podem ser

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RENTABILIDADE versus RISCO

→ Valores Históricos

→ Valores Futuros

::

- -

t t 1 t t t 1 t

t

t-1 t-1 t-1

P P D P P D

R P P P

− + −

= = +

mais-valia (%) dividendos (%)

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RENTABILIDADE versus RISCO (VALORES HISTÓRICOS)

::

::

Aritmética

Geométrica

T

R R

T t A

__ 1

Σ

=

1 ) ) 1

(

(

__

− +

Π

=

G

R R

__

0.4 0.05

Más Condições 10.5 Mercado

0.4 0.1

Condições 11 Médias

0.2 0.4

Boas Condições 14 Mercado

Prob.

R_t+1 P_t+1

Estado Natureza

::

RENTABILIDADE ESPERADA ( 3 estados Natureza )

[ ]

[ ]

( )

( )

( )

+

+

=

= + +

=

=

= −

+ −

+ − =

1

1

2

2

2

0.2 * 0.4 0.4 * 0.1 0.4 * 0.05 0.14

0.2 * 0.4 0.14 0.4 * 0.1 0.14

0.4 * 0.05 0.14 0.05

t

t

E R

Var R

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RENTABILIDADE versus RISCO (VALORES ESPERADOS)

:: RENTABILIDADE ESPERADA ACTIVO i ( M estados Natureza )

i 1

R = E R [ ]

= ∑

p R

Propriedades:

•

•

[

] [

] [

] E R + R = E R + E R

[

] [

] E cR = cE R

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RENTABILIDADE versus RISCO (VALORES ESPERADOS)

∑

::

VARIÂNCIA DA RENTABILIDADE DO ACTIVO i ( M estados Natureza)

2 2 2

[ ] [ -

]

- [ ]

i

Var R

E R R

p R E R

σ = = = ∑

^  ^ 

( )

1

Se 1 então [ ] .

j i

M i

j

i j

R R

p Var R

M ⁼ M

= =

∑

Propriedades:

•

•

•

•

•

[

] [

] [

] 2 cov[

,

] Var R ± R = Var R + Var R ± R R

[

]

[

] Var cR = c Var R

[

] [

]

Var c R + = Var R 0

= ] [ c Var

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RENTABILIDADE versus RISCO (VALORES ESPERADOS)

::

Trade-off Risco Rentabilidade para diferentes activos financeiros

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::

Trade-off Risco Rentabilidade para diferentes

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Mas, o investidor não tem de concentrar toda a sua riqueza num activo…

0.25 0.25

0.25 0.25

prob

200 0

200 0

C

0 200

0 200

B

100 100

100 100

A

4 3

2 1

Activos

Estados Natureza

Activos B e C mais arriscados do que A. Mas, dada a correlação (-1) entre o retorno dos activos (B e C), detendo o activo B e C na mesma proporção temos uma

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::

, M estados Natureza

[ ][ ]

] [ ] [ - ] [

=

] [ - ]

[ -

=

] -

][

- [

= ] ,

[

1

=

k i

k i M

j k

j k i

j i j

k k i i

k i

R E R E R

R E

R E R

R E R

p

R R

R R

E R

R Cov

∑

Uma das limitações da covariância, bem como da variância, é que são sensíveis às

unidades em que são expressas (por exemplo, se são expressa em dólares ou em euros).

O coeficiente de correlação linear capta a mesma ideia da covariância, mas não depende das unidades de medida.

Propriedades:

( )( )

- .

= - ] , [ então

= 1

Se ∑

b j

a b j

a b

a j

M

R R

R R R

R M Cov

p

0

= ] , [ R c Cov

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::

j i

jt it

jt it

j

i

σ σ

R R R Cov

R ρ

ρ [ , ]

= ] ,

[

,

=

1: As duas rendibilidades variam sempre no mesmo sentido e existe uma relação linear exacta entre as suas variações;

0: Não existe correlação linear entre as duas variáveis

1 ρ

1

− ≤ ≤

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::

Rentabilidade de uma Carteira

• R_pt: rentabilidade da carteira (portfolio);

• N: número de activos que compõem a carteira;

• R_it: rentabilidade do activo i;

• x_i: fracção (ou proporção) do activo i na composição da carteira, a verificar

∑

0 0

i i i

x x x

>

=

<

: posição longa no activo i; : posição curta no activo i;

: sem qualquer aplicação no activo i; RENTABILIDADE E RISCO DE UMA CARTEIRA

∑

=

i i i

P

x R

R [ ] _∑

[ ]

i i i

P

x E R

R

E =

II. SAFAR | Fronteira Eficiente

2

1 1

1 1

2 2

1 1 1

= =

N N

p i j i j ij

N N

i j i j ij

i j

N N N

i i j i j ij

i i j i

x x x x

x x x

σ σ

σ σ ρ

σ σ

= =

= =

= = =≠

=

+

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑

2 2 2

[ ] [ -

]

-

p

Var R

E R R

p R R

σ = = = ∑

^  ^ 

Formas alternativas:

::

Risco de uma Carteira

: desvio padrão da taxa de rentabilidade do activo i;

σi

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::

Casos Particulares

2 2 2

=

p i

x

σ ∑

σ

1. Todos os activos são independentes ( )

A variância da carteira é igual à variância dos títulos que compõem a carteira.

ij =0 σ

2 2

2 2

1 1

1 1

=

p i

N

N

N

σ

^  ^  σ =

σ

 

∑ ∑

2. Todos os activos são independentes ( ) e a proporção investida em cada em é igual ( )

ij =0 σ

i 1

x = N

Média das variâncias dos activos que compõem a carteira

À medida que o N aumenta a variância da carteira diminui, tendendo no limite para zero.

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::

Casos Particulares

3. A proporção investida em cada em é igual ( )x =_i 1N

Média das covariâncias

2

2 2

1 1 1

2

1 1 1

1 1 1

=

1 1 1

=

( 1)

N N N

p i i i jj i ij

N i N N

j ij

i i j i

N N N

N

N N N N N

σ σ σ

σ σ

= = =≠

= = =≠

 

  +

 

+ −

−

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

Média das variâncias

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::

Casos Particulares

3. A proporção investida em cada em é igual ( )x =_i 1N

Média das covariâncias

2

2 2

1 1 1

2

1 1 1

1 1 1

=

1 1 1

=

( 1)

N N N

p i i i jj i ij

N i N N

j ij

i i j i

N N N

N

N N N N N

σ σ σ

σ σ

= = =≠

= = =≠

 

  +

 

+ −

−

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

Média das variâncias

0 1

N→∞ N→∞

2 Média das covariâncias dos títulos compõem carteira σp →

N→∞

O risco individual dos títulos pode ser diversificado, mas a contribuição para o risco total do termo das covariâncias não pode ser diversificada!

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Risco não diversificável

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Fronteira Eficiente

Fronteira Markowitz

2 activos

Combinação de dois activos, sem vendas a descoberto

Activo A: , σ

A

Activo B: , σ

B com e σ

A ≥ σ

B

Seja P um portfolio constítuido pelos activos A e B.

w_A: proporção de riqueza investida no activo A, onde 0 ≤ w_A≤ 1

R

R

5 . 0 AB B A B A 2

B 2 B 2

A 2

A

5 . 0 AB B A 2

B 2 B 2

A 2

A P

B B A A

P

) σ

σ w w 2 + σ w + σ w (

=

) σ w w 2 + σ w + σ w (

= σ

w + w

=

ρ R

R R

B A

≥ R R

II. SAFAR | Fronteira Eficiente

Combinação de dois activos, sem vendas a descoberto, ρ=+1

:: A rentabilidade do portfolio é uma média ponderada das rentabilidades dos títulos que compõem o portfolio.

:: O desvio padrão do portfolio é uma média ponderada dos desvios padrão dos títulos que compõem o portfolio. – Não existe diversificação!

B B A

A P

B B A A

P

σ w + σ w

= σ

w + w

= R R

R

II. SAFAR | Fronteira Eficiente

A B A B

B A

P P

A B A B

B P A B P A

σ -σ -

- σ

σ -σ σ -σ

e σ σ σ .

R R R R

R

R R R

= +

≤ ≤ ≤ ≤

RA

RB

RP

Combinação de dois activos, sem vendas a descoberto, ρ= - 1

:: A rentabilidade do portfolio é uma média ponderada das rentabilidades dos títulos que compõem o portfolio.

:: O desvio padrão do portfolio NÃO é uma média ponderada dos desvios padrão dos títulos que compõem o portfolio, e…

P A A B B

P A A B B

w w

σ ( w σ -w σ )

R R R

abs

= +

=

-1 1

σ

= w σ -w σ < w σ +w σ = σ

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Fronteira Eficiente –

II. SAFAR | Fronteira Eficiente

σP

σA

σB

RA

RB

RP

É possível combinar os activos numa carteira sem risco (X)!

X

Combinação de dois activos, sem vendas a descoberto, ρ= - 1

. σ

+ σ

σ + σ

R ≤ , σ σ

+ σ - - σ

+ σ

σ + σ

σ + σ

σ + R σ

, σ σ

+ σ + - σ

+ σ

σ + σ

=

se - obtém

1 w

0 e 1 w

0 , w - 1

= w do Consideran

B A

A B B A

P P

B A

B A

B A

A B B A

B A

A B B A

P P

B A

B A

B A

A B B A

P

B A

B A

R R

R R

R R

R R

R R

R R

R

≥

≤

≤

≤

≤

II. SAFAR | Fronteira Eficiente

Combinação de dois activos, sem vendas a descoberto, ρ= 0

:: A rentabilidade do portfolio é uma média ponderada das rentabilidades dos títulos que compõem o portfolio.

:: O desvio padrão do portfolio NÃO é uma média ponderada dos desvios padrão dos títulos que compõem o portfolio.

5 . 0 2 B 2 B 2

A 2 A P

B B A A

P

) σ w + σ w (

= σ

w + w

= R R

R

1

= P 2

B 2 B 2

A 2 A -1

=

P

< ( w σ - w σ < σ

σ

)

EFEITO DIVERSIFICAÇÃO!

II. SAFAR | Fronteira Eficiente

Hipérbole no espaço ( ,R_P σ_p )

A

B

II. SAFAR | Fronteira Eficiente

Curvas de oportunidades de investimento / curavas de combinação

Combinação de dois activos, sem vendas a descoberto, 0 < ρ <1

5 . 0 AB B A B A 2

B 2 B 2

A 2 A P

B B A A

P

) σ

σ w w 2 + σ w + σ w (

= σ

w + w

=

ρ R

R R

II. SAFAR | Fronteira Eficiente

Hipérbole no espaço ( ,R_P σ_p )

AB B A 2

B 2

A

AB B A 2

MV B A AB

P

5 . 0 AB B A A

A 2

B 2 A 2

A 2 A P

A B

σ 2σ - σ + σ

σ σ -

= σ w

0 σ =

] σ

σ ) w - (1 w 2 + σ ) w - (1 + σ w [

= σ

temos ,

w - 1

= w do Substituin

ρ ρ

ρ

ρ

∂ ⇒

∂

Carteira de Variância Mínima (w

)

Várias combinações Risco/Rentabilidade A: Carteira A

MV: Carteira Variância Mínima

A A

A

II. SAFAR | Fronteira Eficiente

II. SAFAR | Fronteira Eficiente

Fronteira Eficiente

Fronteira Markowitz

3 activos

II. SAFAR | Exemplo 3 activos

0.06 4%

3

0.12 7%

2

0.075 3%

1

E[R] σ Activos

1 -0.3

-0.5

-0.3 1

0.1

-0.5 0.1

1

Matriz Coeficientes de Correlação

0.0036 -0.00216

-0.00225

-0.00216 0.0144

0.0009

-0.00225 0.0009

0.005625

Matriz Variância-Covariância

0.00%

1.00%

2.00%

3.00%

4.00%

5.00%

6.00%

7.00%

8.00%

9.00%

10.00%

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

Act 1 Act 2 Act 3

Activos 1 e 2 Activos 2 e 3 Activos 2 e 3

Activos 1, 2 e 3

II. SAFAR | Fronteira Eficiente

Fronteira Eficiente

Fronteira Markowitz

N activos

FRONTEIRA EFICIENTE

Hipóteses:

Existem N activos;

As carteiras possíveis na economia podem ser constítuidas por um activo, dois activos ou até N activos.

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FRONTEIRA EFICIENTE

Os investidores têm preferência por rentabilidade mais elevada e risco mais reduzido

Os investidores detêm apenas os portfolios que:

• oferecem a maior rentabilidade para um dado nível de risco, ou

• oferecem o menor risco para uma determinada rentabilidade.

RP

Conjunto carteiras eficientes

MV

D

B E

C A

II. SAFAR | Fronteira Eficiente

• Existem k=1,…, N activos com rentabilidades esperadas e matriz variância-covariância

• O vector de ponderadores e um vector de 1’s





















× =

N N

µ µ µ

. . .

1

1





















× =

N N

ω ω ω

. . .

1

1

 







 







∑

=

2 1

1 2

1

...

...

N N

N N

N

σ σ

σ σ





















× =

1 . . . 1

1_{N 1}

II. SAFAR | Fronteira Eficiente

• Queremos resolver o seguinte problema:

• O lagrangeano:

( ^' ) ^{2 ( 1 ' 1 )}

2

' ω λ µ ω µ δ ω

ω ∑ + − + −

=

L

1 1

' and

' s.t.

' min

=

=

∑

ω µ

µ ω

ω

ω

ω

p

k

II. SAFAR | Fronteira Eficiente

=σ

p 2

• A solução do problema:

onde

( )

2

1

1 ( )

B AC

B A

B

C

−

− +

∑ −

=

µ µ µ

ω

1 '

1

1 '

'

1 1 1

−

−

−

= ∑

= ∑

= ∑

C B A

µ

µ µ

II. SAFAR | Fronteira Eficiente

• The Markowitz frontier can be written as

The MVP conditions:

The MVP

( ^/ ) ⁰

2

2

=

−

∂ =

∂

D C C

p

B

p

p

µ

µ σ

( )

D C C

C

B

p 2 2

1 /

− +

= µ

σ

C B

MVP = µ

Carteira de variância mínima (MVP)

II. SAFAR | Fronteira Eficiente

B

AC

D = −

FRONTEIRA EFICIENTE

Possível Impossível

II. SAFAR | Fronteira Eficiente

EFICIÊNCIA com SHORT-SELLING

II. SAFAR | Fronteira Eficiente

II. SAFAR | Fronteira Eficiente

Fronteira Eficiente N activos

1 activo sem risco

FRONTEIRA EFICIENTE com um ACTIVO SEM RISCO

Seja F um activo sem risco, de rentabilidade R_F (e desvio padrão zero!)

Seja P um portfolio constituído pelo activo F e por um activo com risco com rentabilidade esperada R_A e desvio padrão σ

A.

A rentabilidades esperada e variância da carteira são:

AB F A F A 2

F 2 F 2

A 2 A 2

P

F P F

P A

σ σ w w 2 + σ w + σ w

= σ

w + w

=

ρ R

R R

2 A 2 A 2

P

F P F

P A

σ w

= σ

w + w

= R R

R

- R R

II. SAFAR | Fronteira Eficiente

P A

A F

P F

σ

σ - R R R

R = +

O conjunto de oportunidades de investimento é linear, quando existe activo sem risco – não interessa a correlação

II. SAFAR | Fronteira Eficiente

RP

MV

T

R_F

P

FRONTEIRA EFICIENTE com um ACTIVO SEM RISCO

σT

- _f

T R

Declive é R

Índice de Sharpe:

Aquando da derivação da fronteira eficiente sem restrições a short-selling e a investir e pedir dinheiro emprestado à taxa de juro sem risco o investidor resolve o seguinte problema:

∑ ∑

∑

∑

≠ N

k

N k j

j k j

k N

k k

P

k N

k k

P

P f w

w w w

R w R

R R

1 1 kj

2 1

2 1 P

σ σ

σ

s.a.

σ max -

= =

=

=

+

=

=

= Θ

DERIVAÇÃO PONTO TANGÊNCIA TT

Condições de primeira ordem:

0 Θ =

∂ wk

∂

As condições de primeira ordem podem ser reescritas como:

( ^R

^{- R}

) ^{( w}

^σ

^{+ w}

^σ

^{+ ... + w}

^σ

^{) =} ( ^R

^{- R}

) ^σ

para k=1, 2, … , N.

Definindo

para k=1, 2, … , N.

As condições de primeira ordem podem ser reescritas como:

k f Nk

N k

k

Z Z R R

Z

σ

+

σ

+ ... + σ = -

Na forma matricial:

2 2

1

2 2

2 21

1 12

2 1

N N

N

N N

σ σ

σ

σ σ

σ

σ σ

σ

K

M M

M

K K

f f

N f

R R

R R

R R

−

−

−

1

2

M

ZN

Z Z M

2

1 =

2 2

1

2 2

2 21

1 12

2 1

N N

N

N N

σ σ

σ

σ σ

σ

σ σ

σ

K

M M

M

K K

ZN

Z Z M

2

1 =

-1

^f

f

N f

R R

R R

R R

−

−

−

1 2

M

para k=1, 2, … , N.

∑

=

k k

k

k

Z

w Z

Como

-R R

podemos caracterizar a rentabilidade esperada e o desvio-padrão da rentabilidade do mercado.

A fronteira eficiente é dada por:

FRONTEIRA EFICIENTE com um ACTIVO SEM RISCO e sem RESTRIÇÕES DE

SHORT-SELLING

Aplicação:

C

0.4 B

0.2 0.5

A

C B

A

Coeficientes de correlação

Portfolio P? ^{w1 = 14}₁₈^{, w2 =} ₁₈^{1 and w3 =} ₁₈^{3 a RP = 14 7, % e σ P2 = 33 8.} 0%

5%

R_f

15%

20%

C

3%

8%

B

6%

14%

A

E[R] σ Activos

Fronteira Eficiente?

P P

P

σ

= 5 + 1 . 66 σ 33

5 - + 14.7 5

= R

R ⇔

FRONTEIRA EFICIENTE com um ACTIVO SEM RISCO mas SEM A POSSIBILIDADE DE PEDIR EMPRESTADO

II. SAFAR | Fronteira Eficiente

FRONTEIRA EFICIENTE com um ACTIVO SEM RISCO mas com TAXAS DIFERENTES PARA DIFERENTES POSIÇÕES NO

ACTIVO SEM RISCO

II. SAFAR | Fronteira Eficiente

FRONTEIRA EFICIENTE sem ACTIVO SEM RISCO mas com POSSIBILIDADE DE PEDIR EMPRESTADO

II. SAFAR | Fronteira Eficiente

A análise média-variância…

• foi desenvolvida por Harry Markowitz no início da década de 60 (Prémio Nobel economia 1990)

• constitui o pilar da modern finance

• é utilizada por fundos de pensões, investidores individuais, bancos, companhias de seguros…

• Existe todo um conjunto de consultores (por exemplo,

Wilshire Associates) e empresas de software (e.g. BARRA, Quantal) que implementam esta metodologia.

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is the market leader in delivering innovative, financial risk management solutions worldwide. Since 1975, our products and services have combined advanced technology, superior analytics , research, models and proprietary data to empower investment professionals to make strategic investment decisions.

http://www.barra.com/products/pdfs/CosmosOptimizerDatasheet.pdf

II. SAFAR

Diversificação

internacional

II. SAFAR | Diversificação Internacional

EXPANSÃO DA FRONTEIRA EFICIENTE!

RP

R_F MV

Nova fronteira eficiente com activo sem risco

M’

M’: Nova Carteira de

Mercado

Rendibilidade:

83.43 € 103 usd

0.81 € 1

90 € 100 usd

0.90 € 0

Valor em € Valor acções xyz

transaccionadas NYSE Custo de 1 USD

t

7.3%

- ou 073 . 0 - 90 =

90 - 3.43

=8

3%

ou 03 . 0 100 =

100 -

=103

P US

R R Cuidado taxa câmbio!

Seja R_E a variação percentual da taxa de cambio. No nosso exemplo R_E=(0.9-0.81)/0.9=0.1

( )( )

(1+0.03)(1-0.1)

= 073 . 0 - 1

+ 1 +

1

= +

1 R_P R_US R_E

II. SAFAR | Diversificação Internacional

( )( )

E US

P

E US E

US P

E US

P

R R

R

R R R

R R

R R

R

+

+ +

=

+

1 +

1

= +

1

⇒ ≈

⇔

Usando esta aproximação temos que a rentabilidade esperada e o desvio padrão são dados por:

( σ

+ σ

+ 2 σ

)

= σ

+

=

P

E US

P

R R

R

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W O R L D

E Q U I T Y

M A R K E T S

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M A J O R B O N D S M A R

II. SAFAR | Diversificação Internacional

O RISCO DOS TÍTULOS ESTRANGEIROS

Coeficiente de Correlação entre índices de acções internacionais medidos em usd.

II. SAFAR | Diversificação Internacional

O RISCO PARA UM INVESTIDOR NOS EUA

II. SAFAR | Diversificação Internacional

II. SAFAR

Ut i l i dade como

Cri t éri o de Escol ha

::

( ) [ ( ) ]

( )

i

p

u w w

v E w

U = = ∑

( ) funcao utilidade;

estados da natureza,

com probabilidade ocorrencia cada;

riqueza no estado da natureza .

i i

u w M

p

w i

II. SAFAR | Utilidade como Critério Decisão

::

Dois Investimentos

Dois Agentes

( ) _{w e}

u =

: 1

Agente

( ) _{= ln( )}

:

2

Agente v w w

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[ ( ) ] _{ln( 5 ) ≈ 2 . 21}

3 + 1 ) 10 3 ln(

+ 1 ) 15 3 ln(

= 1

= E u w U

[ ( ) ] _{0 . 40}

3 + 1 3

+ 1 3

= 1

=

≈

- -

-

e e

e w

v E V

Agente 1

[ ( ) ] _{ln( 4 ) ≈ 2 . 29}

3 + 1 ) 12 3 ln(

+ 1 ) 20 3 ln(

= 1

= E u w U

Agente 2

1 1

1

O agente 1 prefere o investimento B.

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Propriedades Económicas das Funções Utilidade:

1. Monotonicidade: As funções utilidade são consistentes com o facto dos agentes económicos ficarem melhor quando o seu nível riqueza aumenta, isto é,

2. Atitude perante o Risco: Esta propriedade caracteriza o comportamento dos agentes face ao risco. Podem ser catalogados como: Avessos, Neutros ou Amantes do Risco

Jogo Justo [ ^{fair game} ]: O valor esperado do jogo é igual ao seu custo

Aceita jogo justo Agente Amante do Risco

Indiferente a um jogo justo Agente Neutro face ao Risco

Rejeita jogo justo Agente Avesso face ao Risco

Implicação Definição

Condição

( )_<0

'' w u

( )₌₀

'' w u

( )_>0

'' w u ( ) 0

u w w

∂ >

∂

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Côncava Linear Convexa

Propriedades Económicas das Funções Utilidade:

3. Alteração das preferências do agente face a alterações do seu nível de riqueza:

Esta propriedade reflecte as alterações no montante investido nos activos com risco face a alterações no seu nível de riqueza.

Para fazer esta caracterização considere-se:

COEFICIENTE DE AVERSÃO ABSOLUTA AO RISCO

( ) ( )

( ) ^w

u'

w ' - u'

= w A

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Propriedades Económicas das Funções Utilidade:

4. Alteração das preferências do agente face a alterações do seu nível de riqueza:

Esta propriedade reflecte a alteração na percentagem de riqueza investida em activos com risco face a alterações do nível de riqueza.

Para fazer esta caracterização considere-se:

COEFICIENTE DE AVERSÃO RELATIVA AO RISCO

( ) ( )

( ) _w

u'

w ' w u' -

= w R

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Utilidade Esperada versus Critério Média Variância

A utilidade esperada pode ser definida em termos da média e variância dos retornos quando:

Nessas situações a utilidade esperada pode ser expressa como uma função que depende do valor esperado e da variância dos retornos:

o A utilidade é quadrática;

o Os retornos estão distribuídos de acordo com uma distribuição Normal o Como aproximação de 2ª ordem (Taylor) da “verdadeira” utilidade

[ ( ) ] = ( )

1

=

∂

∂

∑

f f

w u p w

u

E

i i i

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( )

u =

RP

MV

T

R_F

σT

- _f

T R

declive: R

Função utilidade (média-variância):

U(R

) = E(R

) - γVar(R

)/2,

onde γ é o coeficiente de aversão ao risco: e.g. γ =4

CARTEIRA ÓPTIMA

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• Para determinar a carteira óptima

max

U(R

) = (x

E(R

) + (1- x

) R

) - γ x

σ

/2 x

= peso do activo T na carteira óptima

• Utilizando as condições de primeira ordem (derivar em ordem a x _T e igualar a zero), obtém-se a composição da carteira óptima

2

]

[

T P

r R

x E

γσ

= −

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σP*

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Resumindo…

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II. SAFAR

Outros Critérios

de Escolha

:: Maximizar a Média Geométrica da Rendibilidade

Definição:

Seja a rendibilidade do activo no estado da natureza . Existem M estados da natureza sendo a probabilidade de ocorrência de cada um . A média geométrica da rendibilidade vem dada por:

ij

i

R j i

p

( ) ( ) ( )

( )

1 2

Gj 1 2

1

R 1 1 1 1

1 1

M

i

p p p

j j Mj

M p

ij i

R R R

R

=

= + + + −

=

∏

L

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Maximizar o valor esperado da riqueza final não equivale a maximizar o valor esperado da utilidade, a menos que seja considerada uma função utilidade

:: Maximizar a Média Geométrica da Rendibilidade

( )

( )

( ) [

] ^{( )}

0

0 1

0

Maximizar a utilidade esperada da riqueza final, max ln , é equivalente a maximizar ln ln . Por outro lado,

max ln ln max ln max ln 1 = max ln 1

M

i i

i

E w

E w w

E w w E w E R p R

w ⁼

−

  

− =    = +  + 

 

 

∑

( ) ( )

1 1

max ln 1 = max ln 1 max 1 ln

Como max 1 ln é equivalente a max obtém-se o resultado.

i M i

M p p

i i G

i i

G G

R R R

R R

= =  

= + + =  + 

 + 

 

∑ ∏

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Equivalência entre Maximizar a Média Geométrica da Rendibilidade e a Utilidade Esperada

:: Safety First – os agentes não são capazes ou não querem estar sempre a maximizar a utilidade esperada. Preferem regras de decisão simples que observem com particular atenção os maus resultados. Exs.:

Critério de Roy – o melhor portfolio é o que tem a menor probabilidade de produzir um return abaixo de determinado nível.

Critério de Kataoka – maximizar o limite inferior de return s.a. probabilidade de returns inferiores a esse limite não sejam maiores que determinado valor.

Critério de Telser – maximizar o return esperado s.a. probabilidade de return inferior ou igual a dado limite não é maior que determinado valor.

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:: Dominância Estocástica – baseia-se nas probabilidades acumuladas associadas a cada resultado

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:: Enviesamento

Os investidores não se preocupam apenas com o primeiro (média) e segundo (variância) da distribuição de rendimentos. O terceiro momento, que mede a assimetria, pode revelar-se importante na tomada de decisão de investimento.

Perante carteiras com a mesma média e variância, a preferência é por carteiras com maior enviesamento positivo (probabilidade significativa de elevados returns)

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Value-at-Risk e

Conditional VaR / Expected Shortfall

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Medidas de Risco

Volatilidade Histórica Volatilidade Implícita Value-at-Risk (VaR)

Conditional VaR/Expected Shortfall (ES)

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VIX index

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S&P 500

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