Decisão no Espaço de Objetivos Práticos. para o Projeto de Controladores

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Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Elétrica Centro de Pesquisa e Desenvolvimento em Engenharia Elétrica

Decis˜ ao no Espa¸co de Objetivos Pr´ aticos para o Projeto de Controladores

Multi-objetivo H

²

/ H

∞

por

Alexandro Garro Brito

Disserta¸cão submetida à Banca Examina- dora designada pelo Colegiado do Pro- grama de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Minas Gerais, como requisito parcial à obten¸cão de t´ıtulo de Mestre em Engenharia Elétrica

Belo Horizonte 13 de setembro de 2004

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Agradecimentos

• Aos mestres Ricardo Takahashi e F´abio Jota pela orien- ta¸c˜ao presente, ensinamentos e pensamentos valiosos.

• Aos meus pais Osvaldo e Vilma pelo suporte, compreensão e carinho. Esse texto é para vocês!

• A V´ıvian, autora de muitas das p´aginas da minha vida! `

• A ´ ` Erica, companheira e inspiradora dos meus sonhos de hoje e sempre!

i

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S˜ao s´o dois lados da mesma viagem

O trem que chega é o mesmo trem da partida A hora do encontro é também despedida A plataforma dessa esta¸cão é a vida!

Mas ´e preciso ter for¸ca E preciso ter ra¸ca´

E preciso ter gana sempre!´ Não precisam mais temer Não precisam da solidão Todo o dia é dia de viver!

Não precisa medo, não Não precisa da timidez Todo o dia é dia de viver!

Mas ´e preciso ter manha E preciso ter gra¸ca´

E preciso ter sonhos sempre!´

Quem traz na pele essa marca

Possui a estranha mania de ter f´e na vida!

Eu sou da Am´erica do Sul Eu sou o ouro, eu sou vocˆes

Sou o mundo. Eu sou Minas Gerais!!¹

1De Milton, Brant, Lˆo e M´arcio

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iii

Resumo

Neste trabalho, será apresentada uma metodologia de projeto mistoH²/H^∞ que agrega critérios de desempenho de uso corriqueiro na prática de controle de processos industriais. O projeto inicia-se com a obten¸cão de um conjunto ParetoH²× H^∞ para a planta. A seguir, realiza-se uma conversão do espa¸co de objetivos anterior para um novo, que possua como objetivos ´ındices de cunho prático, como percentual de sobre-sinal, tempo de acomoda¸cão e integral do tempo vezes o erro absoluto. Naturalmente, este novo conjunto pode possuir solu¸cões que não sejam eficientes e, portanto, podem ser descartadas, conduzindo a um conjunto Pareto-ótimo no espa¸co de objetivos práticos. Na etapa final do projeto, realiza-se o processo de decisão, que consiste na escolha, a partir deste último conjunto, do controlador que melhor se adapte

às necessidades do processo. Todos os procedimentos são aplicados a modelos simplificados de umsistema de posicionamento com máquina de corrente cont´ınua e de um avião monomotor de dupla asa. Finalmente, discutem-se altera¸cões que podem garantir a generaliza¸cão dos procedimentos ora apresentados.

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Abstract

In this work, a new approach to the robust H²/H^∞ design is presented.

Practical performance criteria, commonly used by the industrial process control personnel, are incorporated to the design methodology. The proposed procedure begins by obtaining the corresponding Pareto setH²× H^∞of the plant. Subsequently, it is performed a conversion of robust objective space to a new practical objective space. The latter includes indices like percent overshoot, settling time and integral of time multiplied by absolute error.

This new set may contain many inefficient solutions considering the new ob- jectives. These inefficient solutions are then discarded. Lastly, in the decision process, the choice of the controller that best fits the process requirements.

The proposed design methodology is tested in simplified models of a position system (using a DC motor) and of a bi-wing aircraft. Finally, considerations of possible modifications, which would lead to a more general approach, are then discussed.

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Conte´ udo

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Fundamentos de Controle Robusto 7

2.1 Desigualdades Matriciais Lineares (LMI’s) . . . 7

2.1.1 Defini¸c˜ao das LMI’s . . . 7

2.1.2 LMI e estabilidade de sistemas dinˆamicos incertos . . . 9

2.2 Espa¸cos Normados . . . 11

2.2.1 Espa¸cos Normados . . . 11

2.2.2 Espa¸cos normados de Hardy . . . 12

2.2.3 C´alculo das normas H2 e H∞ . . . 14

2.3 ControleH² . . . 15

2.4 ControleH^∞ . . . 17

2.5 Fundamentos de Otimiza¸c˜ao Vetorial . . . 19

2.5.1 Defini¸c˜ao do problema de otimiza¸c˜ao vetorial . . . 20

2.5.2 Dominˆancia e conjunto Pareto-´otimo . . . 20

2.6 Controle Misto H²/H^∞ . . . 23

3 Projeto misto H²/H^∞ multi-objetivo 29 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 29

v

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3.2 Projeto misto H²/H^∞ . . . 32

3.3 ´Indices pr´aticos de desempenho . . . 35

3.3.1 Defini¸c˜ao dos ´ındices pr´aticos . . . 37

3.3.2 Obten¸cão e utiliza¸cão dos ´ındices práticos . . . 42

3.4 Processo de decis˜ao . . . 44

3.4.1 Decis˜ao por avalia¸c˜oes sucessivas . . . 46

3.4.2 Decis˜ao por exclus˜ao de segmentos . . . 51

3.5 Conclus˜oes do cap´ıtulo . . . 57

4 Estudo de casos 58 4.1 Controle de posi¸c˜ao com MCC . . . 58

4.2 Avi˜ao monomotor de dupla asa . . . 67

Conclus˜oes 74

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Lista de Figuras

2.1 Diagrama de blocos para o sistema de controle robusto padr˜ao.

w representa as entradas de perturba¸cão e z as sa´ıdas para controle robusto. . . 16 2.2 Espa¸co de parâmetros x1×x2, X. Região interna do c´ırculo

de raio 2 centrado na origem. . . 22 2.3 Espa¸co de objetivos Y. Imagens de f₁ = x²₁ + x²₂ e f₂ =

(x1 −2)² + (x2 −2)² com x1 e x2 limitados pelo c´ırculo da Figura 2.2. . . 22 2.4 Conjunto Pareto-´otimo para o espa¸co de objetivos da Figu-

ra 2.3. Não há solu¸cão em Y que seja melhor que essas em ambos objetivos f1 ef2 . . . 23 3.1 Diagrama de blocos para a planta generalizada P, exemplo

deste cap´ıtulo. w representa a entrada de perturba¸c˜ao, z_∞ a sa´ıda para controle robusto H^∞ e z2 as sa´ıdas para controle robustoH² . . . 31 3.2 Conjunto Pareto-sub´otimo H² × H^∞ para o exemplo 2 com

norma||T_w,z∞||∞ ≤5×10⁻³. . . 36 vii

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3.3 Simula¸cão de um sistema em malha fechada com vários controladores. A redu¸cão do PSS leva a um aumento do TAP. . . 40 3.4 Vista ampliada do momento em que o percentual de sobre-

sinal não ultrapassa o limite superior da faixa de defini¸cão do TAP. Há uma queda abrupta deste ´ındice. . . 41 3.5 Conjunto P SS ×IIT EA. Neste caso ocorre uma tradu¸cão

do espa¸co de objetivos robustos para o espa¸co de objetivos pr´aticos. . . 43 3.6 Conjunto P SS×T AP. Aqui, algumas solu¸c˜oes consideradas

ineficientes podem ser descartadas, devido ao salto proporcio- nado pelo ´ındice TAP (tsimul= 0,5s). . . 44 3.7 Conjunto Pareto-transformado PSS ×TAP. Houve o descarte

das solu¸cões consideradas ineficientes para este espa¸co. . . 45 3.8 Conjunto Pareto-ótimo de fun¸cões genéricas f2 e f1 apresen-

tando o método de decisão por avalia¸cões sucessivas. A solu¸cão inicial está demarcada com o s´ımbolo ◦. Caso um usuário opte por uma melhoria de f1 ele escolhe uma nova solu¸cão neste sentido, que poderia ser, por exemplo, a demarcada com o s´ımbolo 4. . . 49 3.9 A esquerda, o conjunto Pareto-transformado PSS` ×TAP do

Sistema-exemplo 2 com a quinta solu¸cão destacada. À direita, a simula¸cão do sistema-exemplo com este controlador. . . 50 3.10 À esquerda, o conjunto Pareto-transformado PSS×TAP do

Sistema-exemplo 2 com a quarta solu¸cão destacada. À direita, a simula¸cão do sistema-exemplo com este controlador. . . 51

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LISTA DE FIGURAS ix 3.11 M´etodo de exclus˜ao de segmentos. Supondo que inicialmente

sejam apresentadas as solu¸cões demarcadas com◦e4e que o usuário opte pela◦, todas as solu¸cões à esquerda de4podem ser descartadas. A nova solu¸cão a ser comparada com ◦ é obtida pelo método de se¸cão áurea e é demarcada com *. . . . 53 3.12 Simula¸cão da quinta (esquerda) e da vigésima primeira solu¸cão

(direita) para o Sistema-exemplo 2. O usuário é questionado sobre aquela de sua preferência. De acordo com sua escolha, parte do Pareto-transformado PSS×TAP é descartado pela exclusão por se¸cão áurea. . . 55 3.13 Simula¸cão da primeira (esquerda) e da quinta solu¸cão (direita)

para o Sistema-exemplo 2. . . 56 3.14 Simula¸c˜ao da quarta (esquerda) e da quinta solu¸c˜ao (direita)

para o Sistema-exemplo 2. . . 56 4.1 Conjunto Pareto-sub´otimo H²× H^∞ para o sistema de posi-

cionamento com MCC. ||T_w,z∞||∞ ≤5×10⁻³. . . 63 4.2 ConjuntoP SS×T AP para o sistema de posicionamento com

MCC. Observe a existˆencia de pontos ineficientes. . . 64 4.3 Conjunto Pareto-transformadoP SS×T AP para o sistema de

posicionamento com MCC, obtido pelo descarte dos pontos ineficientes da Figura 3.10 . . . 65 4.4 Processo de decisão por avalia¸cões sucessivas. Simula¸cão da

11â solu¸cão da esquerda para a direita da Figura 4.3 . . . 65 4.5 Processo de decisão por exclusão de segmentos. Simula¸cão da

3â e da 18â solu¸cões da Figura 4.3 . . . 66

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4.6 Processo de decisão por exclusão de segmentos. Último passo da escolha entre a 11â e a 12â solu¸cões. . . 66 4.7 Conjunto Pareto-subótimo H²/H^∞ para o avião monomotor

de dupla asa. 0,02≤ ||Tw,z∞||^∞≤0,5. . . 70 4.8 Conjunto P SS ×T AP para o avião monomotor de dupla asa. 70 4.9 Processo de decisão por avalia¸cões sucessivas para o avião mo-

nomotor de dupla asa. Simula¸cão da 56â solu¸cão da esquerda para a direita da Figura 4.8 . . . 71 4.10 Processo de decisão por exclusão de segmentos para o avião

monomotor de dupla asa. Simula¸cão das solu¸cões 13âe 27âda Figura 4.8 . . . 72 4.11 Processo de decisão por exclusão de segmentos para o avião

monomotor de dupla asa. Último passo da escolha entre a 35â e a 36â solu¸cões. . . 73

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Lista de Tabelas

3.1 Faixa de valores para as normas H² e H^∞ para o conjunto Pareto-subótimo do Sistema-exemplo 2. . . 35 4.1 Parâmetros da máquina de corrente cont´ınua posicionadora . . 59 4.2 Faixas de valores para as normasH2eH∞do conjunto Pareto-

subótimo. . . 61 4.3 Valores do ´ındice TAP com rela¸cão à normaH^∞para o sistema

de posicionamento com MCC. Observe que para ||Tw,z∞||^∞>

5×10⁻³ há uma forte viola¸cão da especifica¸cão do TAP. Esse segmento pode ser descartado. . . 62 4.4 Faixas de valores para as normas H² e H^∞ para o conjunto

Pareto-subótimo do avião monomotor de dupla asa . . . 69 4.5 Índices PSS e TAP para alguns valores de norma H^∞ para o

avião monomotor de dupla asa. Para ||Tw,z∞||^∞ ≤ 0,02 há uma forte viola¸cão do ´ındice PSS. Para ||Tw,z∞||^∞ ≥ 0,5 há forte viola¸cão do ´ındice TAP. . . 69

xi

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Cap´ıtulo 1 Introdu¸c˜ ao

A teoria de controle robusto, desenvolvida nas últimas décadas, apresenta diferen¸cas marcantes com rela¸cão às metodologias até então utilizadas. Seja pelos objetivos almejados, ou pelos resultados obtidos na prática e dificuldades de implementa¸cão, as estratégias de projeto robusto e não-robusto nunca apresentaram-se em uma forma complementar, reunindo as virtudes de cada uma delas em um projeto mais completo.

A teoria clássica de controle, conjunto de métodos tendo como um dos precursores o trabalho sobre estabilidade de Nyquist [19], apresentou como grande foco inicial a busca da estabiliza¸cão de um sistema de controle à base de uma realimenta¸cão negativa. Descobriu-se, mais tarde, que essa realimenta¸cão trazia outros benef´ıcios, como atua¸cão direta sobre o comportamento dinâmico do sistema planta+controlador, rejei¸cão de perturba¸cões e uma certa insensibilidade a pequenas varia¸cões na planta¹. Assim, o projeto de controladores resumia-se à busca progressiva dos objetivos anteriores nessa

1Observou-se que em sistemas com varia¸c˜oes moderadas a estabilidade relativa poderia ser fortemente comprometida [5]

1

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exata ordem−partindo-se de um sistema que em malha fechada seja estável fazem-se altera¸cões nos parâmetros do controlador que conduzam à melhoria dos demais requisitos dinâmicos. De forma a mensurar tais melhorias foram desenvolvidos os primeiros critérios de desempenho, como tempo de acomoda¸cão, percentual de sobre-sinal, ´ındices integrais do erro, etc., ainda hoje muito utilizados seja pela sua simplicidade, seja pelos bons resultados que eles proporcionam [7]. Apesar de ter possibilitado uma enorme melhoria da resposta temporal, essa teoria não tratou de forma eficaz a questão de plantas sujeitas a fortes incertezas ou com pontos de opera¸cão distintos, a despeito de estudos de sensitividade do sistema em malha fechada elaborados por Bode [6]. Com o in´ıcio da utiliza¸cão da representa¸cão em espa¸co de estados dentro da teoria de controle, iniciou-se um ciclo denominadoteoria de controle moderno, cuja principal motiva¸cão estava na facilidade com que passou a ser feito o projeto de controladores para sistemas lineares multivariáveis. Tal projeto também era poss´ıvel utilizando adequa¸cões de ferramentas clássicas, mas com resultados menos eficientes. O controlador básico dessa abordagem

é a realimenta¸cão estática de estados que opera na premissa de que é poss´ıvel alocar os pólos de malha fechada em qualquer região do plano complexo de Laplace, desde que a planta seja controlável [4]. Dado ter essa aloca¸cão uma rela¸cão com a resposta temporal, poder-se-ia, em tese, obter um sistema com comportamento dinâmico desejável. Iniciaram-se também nesse per´ıodo im- portantes estudos de otimiza¸cão aplicados a controle cujo objetivo era obter sistemas realimentados com o melhor comportamento poss´ıvel segundo algum critério. O resultado mais importante foi obtido com a cria¸cão do controle gaussiano linear quadrático (do inglês LQG) com excelentes propriedades de

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3 robustez a incertezas e varia¸cões da planta [15]. Infelizmente, para uma realimenta¸cão estática de estados onde nem todos eles estão dispon´ıveis para medi¸cão, devendo ser portanto estimados, esta robustez não se verifica, em muitos casos [6].

Devido à crescente complexidade das plantas a serem controladas e a im- portância cada vez maior de sistemas de controle com boas caracter´ısticas de robustez, iniciaram-se, nos fins dos anos 70, estudos que marcaram a era da teoria de controle robusto. O trabalho talvez mais importante dos primórdios dessa nova abordagem foi o trabalho de Zames [29]. Apesar de desenvolvido na década de 50, o conceito de ganho pequeno (do inglês small gain) retornou como base para o critério de estabilidade robusta [6], ser- vindo de pano de fundo para o desenvolvimento do Controle H^∞, discutido no cap´ıtulo seguinte. Este visa ao tratamento de plantas cujas incertezas possam ser identificadas através de um limitante superior. O controle LQG, adequadamente reestruturado, foi a base do Controle H², também discutido no próximo cap´ıtulo, desenvolvido para tratar de sistemas com perturba¸cões de caráter estocástico [30]. Até aquele momento, o objetivo principal era abordar a questão da robustez de forma que o comportamento dinâmico sempre era tratado em um segundo plano. Não raro, simula¸cões do sistema em malha fechada com um controlador robusto não levam em considera¸cão aspectos que seriam considerados relevantes na prática do controle industrial, tais como o de resposta temporal. Com o advento das desigualdades matriciais lineares (do inglês LMI) a aloca¸cão dos pólos de malha fechada e de realimenta¸cão dinâmica da sa´ıda puderam ser novamente realizadas [11]. A liga¸cão entre os critérios de robutez e de comportamento dinâmico torna-se

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novamente poss´ıvel, embora haja ainda muito trabalho por fazer, no sentido de se desenvolver um projeto que possa contemplar sensibilidade a incertezas e resposta temporal adequadas.

Nesse sentido, algumas estratégias vêm sendo desenvolvidas. Helton e Sideris [13] propuseram algoritmos de otimiza¸cão H^∞ que utilizavam como restri¸cões requisitos no dom´ınio do tempo. Sznaier e Benzaid [26] adotam a mesma linha utilizando restri¸cões de tempo e freqüência em um projeto de controle robusto via otimiza¸cão convexa. Rotstein e Sideris [21] desenvolve- ram uma metodologia pela qual restri¸cões no dom´ınio do tempo pudessem ser explicitamente incorporadas no projeto H^∞, resultando em um controlador de ordem muito elevada e com inúmeros cancelamentos entre pólos e zeros. Besson e Shenton [1] apresentaram um método gráfico iterativo para determinar conjuntos de controladores robustos estabilizantes que satisfazem a uma combina¸cão de restri¸cões nas fun¸cões de sensitividade complementar.

Sznaier et. al. [25] propuseram um método de projeto H2 baseado na restri¸cão da amplitude do sinal de controle e do sinal de erro− a preocupa¸cão passou a ser limitar os sinais de controle e erro e não com suas evolu¸cões temporais propriamente ditas. Em todos os métodos citados anteriormente os requisitos de resposta temporal foram tratados apenas como restri¸cões e não como objetivos adicionais de um problema de otimiza¸cão. Há que se comentar a complexidade dos algoritmos utilizados e sua lentidão.

Este trabalho visa a propor uma metodologia de projeto de controladores mistos H²/H^∞ que contribua para o preenchimento desta lacuna. Para tanto, primeiramente, obtém-se um conjunto de Pareto H²× H^∞ via otimiza¸cão multi-objetivo, cujas solu¸cões representarão os melhores controladores

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5 para estes dois critérios². Esse procedimento já está bastante sedimenta- do na literatura e há algoritmos muito eficazes para tal tarefa [11]. Dados esses controladores iniciais, calculam-se, através de simula¸cões dos sistemas de malha fechada, os valores para ´ındices de cunho prático, com o objetivo de auferir informa¸cões com rela¸cão à sua resposta dinâmica. Os ´ındices escolhidos são aqueles tradicionalmente utilizados na prática de Controle de Processos Industriais, como tempo de acomoda¸cão, percentual de sobre-sinal, integral do tempo vezes o erro absoluto, etc. Com este procedimento o que se busca é a transforma¸cão do conjunto de Pareto H²/H^∞ para um novo espa¸co de objetivos práticos. A etapa final consiste em um processo de decisão junto ao usuário para obten¸cão do controlador final partindo-se do espa¸co transformado.

Essa transforma¸cão de espa¸cos entre o conjunto Pareto H2/H∞ e o conjunto de objetivos práticos é de suma importância na condu¸cão do processo de decisão, sendo este totalmente guiado pelos critérios de tempo de acomoda¸cão, percentual de sobre-sinal, integral do tempo vezes o erro absoluto, etc. e não pelas normas H² e H^∞. Não há nenhuma rela¸cão aparentemente geral entre tais normas e os objetivos práticos, o que impossibilitaria um processo de decisão com rela¸cão aos últimos partindo das primeiras. A etapa de decisão utiliza metodologias tradicionais do escopo de otimiza¸cão multi- objetivo. Estes procedimentos são gerais, aplicáveis a qualquer problema de otimiza¸cão convexa. Não se buscaram estratégias de controle robusto que

2Na verdade, os algoritmos dispon´ıveis são capazes de determinar aproxima¸cões dos controladores ótimos bi-critério. Para os propósitos deste trabalho, o fato de os controladores serem aproximadamente ótimos e não exatamente ótimos não afetará de maneira significativa os procedimentos propostos.

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resultassem em controladores de ordem bastante elevada e com algoritmos de elevada complexidade computacional. O controlador de realimenta¸cão dinâmica da sa´ıda, obtido pela metodologia ora discutida, é de ordem equi- valente à da planta, o que já é um ganho com rela¸cão a outros trabalhos.

Apesar de utilizar-se apenas de modelos SISO neste texto, é provável que este procedimento seja aplicável a sistemas multivariáveis. É poss´ıvel também o tratamento de sistemas incertos já que existe uma teoria bem fun- damentada neste sentido. Além disso, o procedimento é expans´ıvel para um número maior de ´ındices. O procedimento apresentou, no entanto, algumas dificuldades de utiliza¸cão, conforme será discutido no cap´ıtulo de conclusões.

A razão principal para estes problemas vem da própria formula¸cão adotada para busca dos controladores robustos e nada tem a ver com a metodologia ora apresentada. Para tais plantas, apresentam-se algumas poss´ıveis solu¸cões que poderiam ser experimentadas em trabalhos futuros. Acredita-se que a metodologia apresentada seja uma passo inicial importante para lidar com um problema fundamental da teoria de controle robusto: tratar de forma mais relevante a questão de comportamento temporal de suas sa´ıdas, já que em grande parte das aplica¸cões isso é um requisito de opera¸cão importante.

A estrutura¸cão dos cap´ıtulos deste trabalho faz-se da seguinte forma: o cap´ıtulo 2 apresenta fundamentos de controle robusto e de otimiza¸cão vetorial. O cap´ıtulo 3 apresenta a metodologia em suas minúcias, sempre com a exemplifica¸cão através de uma planta fict´ıcia. O cap´ıtulo 4 apresenta a utiliza¸cão da metodologia de projeto em dois sistemas práticos: o posicionador angular com MCC e oavião monomotor de dupla asa. Por fim, apresentam- se as conclusões obtidas.

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Cap´ıtulo 2

Fundamentos de Controle Robusto

2.1 Desigualdades Matriciais Lineares (LMI’s)

2.1.1 Defini¸c˜ ao das LMI’s

Defini¸c˜ao 1 (Desigualdade Matricial Linear) Uma LMI¹ tem a forma F(x) , F₀+

m

X

i=1

xiFi 0, (2.1)

onde x∈R^m é uma variável e as matrizes simétricas Fi são dadas [2].

3² Muitos problemas da teoria de controle podem ser reduzidos a problemas de otimiza¸c˜ao convexa envolvendo as desigualdades matriciais lineares,

1A nota¸cão P 0 indica que a matriz P é definida positiva. P 0 indica que P é semidefinida positiva. Da mesma forma,P ≺0 eP 0, indicam quePé, respectivamente, definida negativa esemidefinida negativa

2Os s´ımbolos3e2marcam, respectivamente, o fim de uma defini¸c˜ao ou de um teorema.

7

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conhecidas na literatura por LMI’s (do inglês linear matrix inequalities). Da- do que estes problemas de otimiza¸cão podem ser resolvidos numericamente com muita eficiência, as LMI’s vêm tomando espa¸co importante no projeto de controladores, sobretudo robustos. Dentre as várias situa¸cões que podem ser resolvidas utilizando esta metodologia está a constru¸cão de fun¸cões qua- dráticas de Lyapunov para análise de estabilidade e desempenho de sistemas dinâmicos incertos. Este será o tópico desta se¸cão, base para a compreensão das metodologias de análise e projeto de controladores robustos a serem tratadas nas se¸cões seguintes.

Teorema 1 (Complemento de Schur) Seja P uma matriz particion´avel da seguinte forma

P =





P₁₁ P₁₂ P₁₂^T P22



 (2.2)

P ´e uma matriz definida positiva se e somente se pode-se aplicar um dos complementos de Schur a seguir [2], [23]:

P220

P11−P12P₂₂⁻¹P₁₂^T 0

(2.3) ou

P₁₁ 0

P22−P12P₁₁⁻¹P₁₂^T 0

. (2.4)

2 O complemento de Schur é muito útil para transformar desigualdades matriciais não-lineares em LMI’s, com resolu¸cão muito facilitada. Um primeiro exemplo de sua utiliza¸cão é em restri¸cões quadráticas [2]:

(x^T −x˜^T)Q⁻¹(x−x)˜ q ⇔





q x^T −x˜^T x−x˜ Q



0. (2.5)

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2.1. DESIGUALDADES MATRICIAIS LINEARES (LMI’S) 9 Outro exemplo, talvez mais importante, é possibilitar uma representa¸cão em LMI para a equa¸cão de Riccati [2]:

AX +XA^T −BB^T +XC^TCX 0 ⇔

⇔





AX+XA^T −BB^T XC^T

CX −I



0. (2.6)

2.1.2 LMI e estabilidade de sistemas dinˆ amicos incer- tos

Apresentar-se-á a seguir a utiliza¸cão das desigualdades matriciais lineares na análise da estabilidade de sistemas dinâmicos invariantes no tempo.

Teorema 2 (Lyapunov) Seja um sistema linear autˆonomo de representa¸c˜ao no espa¸cos de estados

˙

x(t) =Ax(t) (2.7)

Todos os autovalores de A possuirão partes reais negativas, e portanto o sistema será assintoticamente estável, se e somente se para alguma matriz Q simétrica definida positiva, a desigualdade de Lyapunov

A^TP +P A −Q (2.8)

tenha uma única solu¸cão simétrica e positiva definida P [2].

2 O Teorema 2 ´e uma forma especial de LMI de ampla utiliza¸c˜ao em teoria de controle.

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A defini¸cão a seguir apresenta a condi¸cão para que um sistema dinâmico com incertezas politópicas seja estável para qualquer condi¸cão no interior do politopo [2].

Defini¸cão 2 Um sistema dinâmico autônomo incerto

˙

x=Ax A∈ P ,{A|A=

k

X

i=1

ξiAi, ξi ≥0

k

X

i=1

ξi = 1} (2.9)

é dito ser quadraticamente estável se existe uma matriz simétrica definida positiva P tal que

A^TP +P A≺0 ∀A∈ P. (2.10)

3 Apesar de sua utilidade para análise de estabilidade, a defini¸cão anterior não provê ferramentas para s´ıntese de controladores estabilizantes de sistemas dinâmicos politópicos. Isto é conseguido utilizando-se da defini¸cão seguinte [2].

Defini¸cão 3 Um sistema dinâmico autônomo incerto

˙

x=Ax+Buu (2.11)

(A, Bu)∈ P ,{(A, Bu)|(A, Bu) =

k

X

i=1

ξi(Ai, Bui), ξi ≥0

k

X

i=1

ξi = 1}

é dito ser quadraticamente estabilizável por realimenta¸cão estática de estados u=Kx se existe uma matriz simétrica definida positiva P tal que

(A+BuK)^TP +P(A+BuK)≺0 ∀A∈ P. (2.12) 3

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2.2. ESPAÇ OS NORMADOS 11 Em rela¸cão à Defini¸cão 2, substituiu-se a matriz A pela sua correspondente em malha fechada por realimenta¸cão estática de estados.

Em todos os casos anteriores, a aplica¸cão das LMI’s facilita enormemente os testes de factilibilidade (existência de P) possibilitando a solu¸cão de problemas de estabilidade. Esta é apenas uma das utilidades desta ferramenta que será muito explorada para s´ıntese de controladores robustos.

2.2 Espa¸cos Normados

2.2.1 Espa¸cos Normados

Um espa¸co normado´e um espa¸co vetorial sobre um corpo F no qual haja uma norma || · || definida. Um exemplo de espa¸co normado ´e o Rⁿ, com qualquer norma-p vetorial, p = 1, 2, ..., ∞, definida.

Uma seqüência{xn}em um espa¸co normado Vé chamada deseqüência de Cauchy se ||xn−xm|| → 0 quando n, m → ∞. Ela é dita convergente em V, denotado xn→x, se ||xn−x|| →0.

Um espa¸co normadoVé chamado deespa¸co de Banachse toda seqüência de Cauchy em V converge para um elemento de V. O Rⁿ e o Cⁿ com uma norma-p vetorial são exemplos de espa¸cos de Banach [27].

Defini¸cão 4 Seja V um espa¸co vetorial sobre C. O produto interno em V é uma fun¸cão complexa denotada por < ·,· > tal que para x, y, z ∈ V e α, β ∈C

1. < x, αy+βz >=α < x, y >+β < x, z >;

2. < x, y >=<x¯¯,¯y >;

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3. < x, x >>0 se x6= 0.

Da defini¸c˜ao acima, o produto interno induz uma norma ||x||, √< x, x >.

Assim, em V ainda s˜ao v´alidas as seguintes propriedades 1. |< x, y >| ≤ ||x|| ||y|| desigualdade de Cauchy-Schwartz;

2. ||x+y||²+||x−y||² = 2||x||² + 2||y||²; 3. ||x+y||=||x||²+||y||², se x⊥y.

3 Umespa¸co de Hilberté um espa¸co normado no qual a norma é induzida pelo produto interno. É portanto um espa¸co de Banach. O Cⁿ com o seu produto interno usual é um exemplo de espa¸co de Hilbert.

2.2.2 Espa¸cos normados de Hardy

Sejam S ⊂C um conjunto aberto e f(s) uma fun¸cão complexa definida em S. Então,f(s) é dita ser anal´ıtica em um ponto z₀ deS se ela é diferenciável em z0 e também em sua vizinhan¸ca.

Teorema 3 (Módulo máximo) Se f(s)é definida e cont´ınua em um conjunto limitado S e é anal´ıtica no interior de S, então o máximo de |f(s)|em S está na fronteira de S [30].

2 O espa¸co L2(jR) ouL2 é um espa¸co de Hilbert de fun¸cões matriciais em jRe consiste de todas as fun¸cões matriciais complexas F(s) tais que a integral

Z ∞

−∞

T r(F^∗(jω)F(jω))dω < ∞ (2.13)

(26)

2.2. ESPAC¸ OS NORMADOS 13 seja limitada. T r(·) denota o tra¸co de uma matriz. O produto interno para este espa¸co de Hilbert ´e definido como

< F, G >, 1 2π

Z ∞

−∞

T r(F^∗(jω)G(jω))dω (2.14) e a norma induzida por este produto interno ´e dada por

||F||² =p

< F, F >. (2.15) O espa¸co H²³ ´e um subespa¸co fechado do espa¸co L² com fun¸c˜oes matriciais anal´ıticas emRe(s)>0 (semiplano aberto direito).

Defini¸c˜ao 5 A norma H² ´e definida como

||F||²2 , sup

σ>0{ 1 2π

Z ∞

−∞

T r(F^∗(σ+jω)F(σ+jω))dω}. (2.16) Pode ser mostrado, utilizando-se o teorema de Fatou [20], que

||F||²2 = 1 2π

Z ∞

−∞

T r(F^∗(jω)F(jω))dω. (2.17) 3 O espa¸co L^∞´e um espa¸co de Banach de fun¸c˜oes matriciais limitadas em jR com norma

||F||^∞ , sup

ω∈R

¯

σ(F(jω)). (2.18)

O subespa¸co racional RL^∞ consiste de todas matrizes de transferência ra- cionais e próprias sem pólos no eixo imaginário [30].

O espa¸coH^∞é um subespa¸co fechado doL^∞com fun¸cões que são anal´ıticas e limitadas no semiplano aberto direito [30].

3Neste trabalho, os s´ımbolosH² eH^∞denotarão tanto os espa¸cos normados de Hardy quanto suas respectivas normas. A distin¸cão se fará de acordo com o contexto.

(27)

Defini¸c˜ao 6 A norma H^∞ ´e dada por

||F||^∞ , sup

Re(s)>0

¯

σ(F(s)) = sup

ω∈R

¯

σ(F(jω)) (2.19)

3

2.2.3 C´ alculo das normas H

2

e H

∞

Considere a matriz de transferˆencia

G(s) = C(sI −A)⁻¹B+D com A est´avel.

A norma H² pode ser calculada por

||G(s)||²2 = T r(B^TWoB) = T r(CWcC^T) (2.20) onde Wo e Wc s˜ao, respectivamente, os gramianos de observabilidade e de controlabilidade deG(s) [30].

A norma H^∞ pode ser calculada por

||G||^∞ = max

ω∈R σ(G(jω))¯ (2.21)

Numericamente, a normaH^∞pode ser obtida da representa¸c˜ao em espa¸co de estados como o menor valorγ tal que a matriz Hamiltoniana

H =





A+BR⁻¹D^TC BR⁻¹B^T

−C^T(I+DR⁻¹D^T)C −(A+BR⁻¹D^TC)^T



 (2.22)

não possua autovalores no eixo imaginário e R = γ²I −D^TD. Um procedimento iterativo para o cálculo da norma H^∞ consiste em iniciar com um valor elevado paraγ e reduzindo-o até que H apresente valores sobre o eixo imaginário.

(28)

2.3. CONTROLE H² 15 De 2.21, observa-se que minimizar a norma H^∞ consiste na minimiza¸cão do pico do valor singular máximo, o que implica a otimiza¸cão do sistema em sua pior dire¸cão e freqüência. A sua principal vantagem é a conveniência da representa¸cão de incertezas não-estruturadas, já que essas podem ser tratadas através de um limitante superior.

Já a normaH² corresponde à minimiza¸cão da soma dos quadrados de todos os valores singulares sobre todas as freqüências, resultando na otimiza¸cão do sistema sobre a média das dire¸cões e freqüências. Toma papel importante quando na presen¸ca de perturba¸cões modeladas através de ru´ıdo gaussiano.

2.3 Controle H

²

Defini¸c˜ao 7 (Problema H²) Seja o sistema representado em espa¸co de estados por











˙

x=Ax+B1u+B2w z =C1x+D12u y =C2x+D21w

(2.23)

com diagrama de blocos como na Figura 2.1, que indica realimenta¸cão estática de estados, u=Kx. O problema de controleH² resume-se em encontrar um controlador estabilizante K que minimize a norma H² da matriz de trans- ferência de malha fechada de w para z [23], [30].

3

O controle H² tem forte influência sobre perturba¸cões e ru´ıdos com caracter´ısticas estocásticas. Seja F a matriz de transferência de malha fechada

(29)

Figura 2.1: Diagrama de blocos para o sistema de controle robusto padr˜ao.

w representa as entradas de perturba¸c˜ao e z as sa´ıdas para controle robusto.

de w para z com w contaminada por ru´ıdo branco

E{w(t)w(τ)}=Iδ(t−τ) (2.24) onde E representando aesperan¸ca matemática. A potência esperada no sinal de erro z é dada por

En

limT→∞ 1 2T

RT

−Tz(t)^Tz(t)dto

= Tra¸co(E{z(t)z(t)^T})

= _2π¹ R∞

−∞F(jω)F(jω)^Tdω

=||F||² pelo teorema de Parseval

(2.25)

Assim, o controle H² visa a minimizar a influência de ru´ıdos estocásticos sobre a sa´ıda z, ou minimizar o seuvalor médio quadrático (RMS) [11], [23].

(30)

2.4. CONTROLE H^∞ 17 Defini¸cão 8 (Resolu¸cão do controle ótimo H² via LMI’s) Seja a planta P(s) descrita no espa¸co de estados como na Defini¸cão 7. O problema de controle H² pode ser solucionado via LMI’s através de [11], [20]











minimize o Tra¸co(J)

s. a















J B₂^T B2 X



0





AX+XA^T +B₁Z+Z^TB^T₁ XC₁^T +Z^TD₁₂^T C1X+D12Z −I



≺0

(2.26)

com J e X sim´etricas, K =ZX⁻¹ e ||Tzw||²2 = Tra¸co(J).

3

2.4 Controle H

∞

Defini¸cão 9 (Transforma¸cão Linear Fracionária) Seja P(s) uma planta com sa´ıda y realimentada dinamicamente por um controlador estabilizante K(s). Seja ainda P(s) acometida por incertezas estruturadas de z a w e par- ticionável como



 Z(s) Y(s)



 =





P11 P12

P21 P22







 W(s)

U(s)



. (2.27)

A fun¸cão de transferência de malha fechada de w a z é dada pela transforma¸cão linear fracionária abaixo [11]:

F(P, K) ≡ P11+P12K(I−P22K)⁻¹P21. (2.28)

(31)

3

Defini¸cão 10 (Problema H^∞) O problema padrão de controle ótimo H^∞ consiste em encontrar todos os controladores estabilizantes K que minimizem

||F(P, K)||^∞ = max

ω σ(¯ F(P, K)(jω)), (2.29) ou seja a norma H^∞ de w para z [11], [30].

3

Na prática, em geral, não é necessário obter um controlador ótimo, sendo mais simples encontrar uma solu¸cão sub-ótima de forma que

||F(P, K)||^∞< γ (2.30)

com γ > γmin, onde γmin ´e o valor m´ınimo da norma anterior para todos os controladores estabilizantes K.

O controle H∞ é um problema de rejei¸cão de perturba¸cões. Ele consiste na minimiza¸cão do ganho máximo de malha fechada do canal de w para z já que

||G||^∞= sup

kuk≤1

||y||2

||u||² (2.31)

em que ambos u e y est˜ao contidos em um espa¸co de sinais de energia finita.

Obviamente, o sinal u não pode ser nulo. Assim, a interpreta¸cão das observa¸cões acima é que esta formula¸cão minimiza os efeitos da pior perturba¸cão u na sa´ıda y [23].

A seguir será apresentada a formula¸cão do problema de otimiza¸cão do desempenho H^∞ baseada nas desigualdades matriciais lineares. Não será apresentada a dedu¸cão, mas apenas o resultado final, sendo aquela obtida

(32)

2.5. FUNDAMENTOS DE OTIMIZAÇ ÃO VETORIAL 19 das referências bibliográficas indicadas. Também não se preocupou em apresentar a formula¸cão baseada nas equa¸cões de Riccati, já que estas não serão utilizadas neste trabalho.

Defini¸c˜ao 11 (Otimiza¸c˜ao do desempenho H^∞ via LMI’s) Seja a planta P(s) dada no espa¸co de estados por











˙

x=Ax+B₁w+B₂u z =C1x+D11w+D12u y=C2x+D21w

(2.32)

O problema de controle H^∞ pode ser solucionado minimizando-se γ com N12 e N21 representando, respectivamente, as bases dos espa¸cos nulos de (B₂^T, D₁₂^T ) e (C2, D21) para matrizes R e S sim´etricas tais que [11], [20]





N12 0

0 I





T







AR+RA^T RC₁^T B1

C1R −γI D11

B₁^T D11 −γI











N12 0

0 I



≺0





N21 0

0 I





T







A^TS+SA SB1 C₁^T B₁^TS −γI D^T₁₁

C1 D11 −γI











N21 0

0 I



≺0



 R I

I S



0

3

2.5 Fundamentos de Otimiza¸c˜ ao Vetorial

Das se¸cões anteriores, pode-se depreender que o problema de controle H² e H∞ é basicamente um procedimento de otimiza¸cão escalar, ou seja, com um

(33)

´

unico objetivo de minimiza¸cão. Esta se¸cão apresenta os conceitos básicos da otimiza¸cão vetorial, em que se busca a minimiza¸cão conjunta de mais de um objetivo. Esta abordagem é fundamental para tratar o problema de controle misto H²/H^∞ discutido a seguir. A defini¸cão do Conjunto Pareto-ótimo é vital nesta Disserta¸cão, pois estará presente em todas as discussões futuras.

2.5.1 Defini¸c˜ ao do problema de otimiza¸c˜ ao vetorial

Seja f(·) : Rⁿ 7→ R^m uma fun¸cão vetorial real e X ∈ Rⁿ o dom´ınio de f, denominadoespa¸co de parâmetros. Ao espa¸co que contém o conjunto-imagem da fun¸cão vetorial anterior dar-se-á o nome deespa¸co de objetivosY. Deseja- se com o problema de otimiza¸cão vetorial determinar o conjunto X^∗ ∈ X, chamado de conjunto de solu¸cões eficientes ou de Conjunto Pareto-ótimo, que minimize em algum sentido a fun¸cão vetorialf.

2.5.2 Dominˆ ancia e conjunto Pareto-´ otimo

Defini¸c˜ao 12 (Sinais de ordenamento vetorial) Sejam x, y ∈ Rⁿ. Os sinais de ordenamento ≤, <, = e 6= definem-se como

i) x≤y ⇒ {xi ≤yi, i= 1, . . . , n}; ii) x < y⇒ {xi < yi, i= 1, . . . , n}; iii) x=y⇒ {xi =yi, i= 1, . . . , n};

iv) x6=y⇒ {∃i|xi 6=yi} [27].

3

(34)

2.5. FUNDAMENTOS DE OTIMIZAÇ ÃO VETORIAL 21 Defini¸cão 13 (Dominância) Diz-se que o ponto x1 ∈ X domina o ponto x2 ∈ X se f(x1) ≤ f(x2) e f(x1) 6= f(x2). Equivalentemente, diz-se que f(x1)∈ Y domina o ponto f(x2)∈ Y, nessas mesmas condi¸cões [27].

3 Defini¸cão 14 (Solu¸cão Pareto-ótima) Diz-se que o ponto x^∗ ∈ X é uma solu¸cão Pareto-ótima de um problema de otimiza¸cão vetorial se ele não é dominado por nenhum outro ponto em X, ou, equivalentemente, não há x∈ X tal que f(x)≤f(x^∗) e f(x)6=f(x^∗) [27].

3 Defini¸cão 15 (Conjunto Pareto-ótimo) E o conjunto que re´´ une todas as solu¸cões Pareto-ótimas de um problema de otimiza¸cão vetorial [27].

3 O exemplo a seguir visa a apresentar de forma mais clara os conceitos anteriores.

Exemplo 1 Seja o problema de otimiza¸c˜ao vetorial encontrar o conjunto Pareto-´otimo para f₁ = x²₁ +x²₂ e f₂ = (x₁ −2)² + (x₂ −2)² com x₁ e x₂ limitados pelo c´ırculo centrado na origem de raio 2, ou seja, x²₁ +x²₂ ≤ 4.

O espa¸co de parâmetros X, representado pela Figura 2.2, compreende todos os valores de x1 e x2 contidos no c´ırculo acima. O espa¸co de objetivos Y, representado na Figura 2.3, compreende a imagem das fun¸cões f1 e f2 sobre o espa¸co de parâmetros, apresentados em um gráfico f2×f1. Já o conjunto Pareto-ótimo é apresentado na Figura 2.4 e está representado pelas solu¸cões destacadas da borda inferior de Y.

(35)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

x₁ x2

Espaço de parâmetros

Figura 2.2: Espa¸co de parˆametros x1×x2, X. Regi˜ao interna do c´ırculo de raio 2 centrado na origem.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

0 5 10 15 20 25

f₁ f2

Espaço de objetivos

Figura 2.3: Espa¸co de objetivos Y. Imagens de f₁ = x²₁ +x²₂ e f₂ = (x₁ − 2)²+ (x2−2)² com x1 e x2 limitados pelo c´ırculo da Figura 2.2.

(36)

2.6. CONTROLE MISTO H²/H^∞ 23

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8

9 Conjunto Pareto−ótimo

f₁ f2

Figura 2.4: Conjunto Pareto-´otimo para o espa¸co de objetivos da Figura 2.3.

Não há solu¸cão em Y que seja melhor que essas em ambos objetivos f₁ e f₂

2.6 Controle Misto H

²

/ H

∞

Em muitas aplica¸cões reais, os controladoresH²eH^∞não conseguem, indivi- dualmente, atender a todos os requisitos de desempenho. Em um projetoH^∞, por exemplo, a atenua¸cão de ru´ıdos e a regula¸cão sob a a¸cão de perturba¸cões não seriam eficientemente abordados, já que estes são melhor expressos na forma de problemasH². Mesmo utilizando-se uma formula¸cão que inclua em cada uma destas metodologias um artif´ıcio de aloca¸cão de pólos de malha fechada, encontrar um controlador que atenda bem a ambos os critérios seria de grande valia. Da´ı surge então o Controle Misto H²/H^∞.

Do exposto nas se¸cões anteriores, tanto o projeto H² quanto o projeto H∞ podem ser formulados como processos de otimiza¸cão convexa. É natu-

(37)

ral pensar-se também que cada um desses objetivos possua valores m´ınimos diferentes no dom´ınio das solu¸cões estabilizantes, já que são calculados com base em formula¸cões diferentes. Isso levaria facilmente à dedu¸cão de que seria imposs´ıvel obter um controlador que minimize simultaneamente ambos os critérios. O viável seria então obter o melhor controlador que atenda bem a ambos objetivos.

Essa forma de encarar o controle misto H²/H^∞ é idêntica à apresentada na se¸cão anterior. Se for poss´ıvel elaborar um método de otimiza¸cão multi-objetivo tendo como objetivos as normas H² e H^∞, pode-se obter um conjunto de solu¸cões eficientes composto das melhores solu¸cões poss´ıveis para o projeto. Felizmente, isso é poss´ıvel e facilmente realizável com otimiza¸cão convexa via LMI’s, que possibilita ainda a inclusão de restri¸cões de aloca¸cão de pólos de malha fechada. Dessa forma, uma defini¸cão do projeto misto H2/H∞ teria a seguinte apresenta¸cão.

Defini¸cão 16 (Controle Misto H2/H∞) Sejam H um sistema em malha fechada, γ2 o valor da norma H^∞ do sistema em malha fechada com norma H² ótima e γ∞ a norma H^∞ ótima. Seja ainda S o conjunto dos controladores estabilizantes. O problema de projeto misto H2/H∞ consiste em obter o conjunto K^2∞ tal que [11]

K^2∞≡









 K2∞ |







K2∞=arg min ||H||²

sujeito a:











||H||^∞≤γ K ∈ S γ∞ ≤γ ≤γ2

















(2.33)

3

(38)

2.6. CONTROLE MISTO H²/H^∞ 25 A seguir será apresentada a formula¸cão básica LMI para o projeto de controladores mistosH²/H^∞ para o caso de realimenta¸cão dinâmica da sa´ıda ⁴. Defini¸cão 17 (Formula¸cão LMI para controle misto H²/H^∞) [11] Se- ja um sistema com representa¸cão nos espa¸cos de estados da Equa¸cão 2.34











˙

x=Ax+B1w+B2u

z_∞ =C_∞x+D_∞1w+D_∞2u z2 =C2x+D22u

y=Cyx+Dy1w

(2.34)

cuja sa´ıda y está dinamicamente realimentada por um controlador K, com representa¸cão em espa¸cos de estado da Equa¸cão 2.35.







ζ˙ =AKζ+BKy u=CKζ+DKy

(2.35)

levando a um sistema em malha fechada com a representa¸c˜ao em espa¸cos de estado da Equa¸c˜ao 2.36











˙

xcl =Aclxcl+Bclw z∞ =Ccl1xcl +Dcl1w z2 =Ccl2xcl+Dcl2w

. (2.36)

A estratégia de obten¸cão do controlador mistoH²/H^∞via LMI deve atender aos seguintes objetivos de desempenho, também descritos em LMI

• desempenho H^∞: o ganho RMS de malha fechada entre w e z∞ n˜ao

4Maiores informa¸cões a respeito desta formula¸cão e o cálculo dos controladores podem ser encontradas emGahinet et. al.[11]

(39)

excedeγ se e somente se existe uma matrix sim´etrica X^∞ tal que

















AclX^∞+X^∞A^T_cl Bcl X^∞C_cl1^T B_cl^T −I D^T_cl1 C_cl1X∞ D_cl1 −γ²I







≺0

X^∞0

(2.37)

• desempenhoH²: a normaH² de malha fechada entre wez2 n˜ao excede ν se e somente se Dcl2 = 0 e existem duas matrizes sim´etricas X² e Q tais que















AclX² +X²A^T_cl Bcl

B_cl^T −I



≺0





Q Ccl2X² X²C_cl2^T X²



0 Tra¸co(Q)< ν²

. (2.38)

Desta forma, uma formula¸c˜ao multi-objetivo LMI que atende aos requisitos anteriores, fica como a Equa¸c˜ao 2.39

(40)

2.6. CONTROLE MISTO H²/H^∞ 27











Minimize αγ²+βTra¸co(Q) com







AclX +XA^T_cl Bcl XC_cl1^T B^T_cl −I D_cl1^T Ccl1X Dcl1 −γ²I







≺0

X 0





AclX +XA^T_cl Bcl

B^T_cl −I



≺0





Q Ccl2X XC_cl2^T X



0 Tra¸co(Q)< ν₀²

γ² < γ₀²

(2.39)

sendo X , X^∞ = X², ν0 um limitante para a norma H² e γ0 um limitante para a norma H^∞.

3

A Equa¸cão 2.39 é a base para o algoritmo hinfmix doMatLab LMI Con- trol Toolboxc. Esta fun¸cão permite também a aloca¸cão de pólos de malha fechada [11]. Neste trabalho, adotar-se-á este algoritmo para a obten¸cão de cada controlador robustoH²/H^∞ componente do conjunto de Pareto.

Para esta formula¸cão LMI, não se garante que a solu¸cão obtida seja ótima, já que os valoresγ0eν0operam apenas como limites superiores para as norma H∞ eH2 respectivamente. Assim, um algoritmo que a utilize iterativamente para a obten¸cão de um conjunto de solu¸cões eficientes, não resultará em um conjunto Pareto-ótimo. Dado ser essa a metodologia a ser empregada neste trabalho e para evitar incorre¸cão formal, adotar-se-á para qualquer conjun-

(41)

to de solu¸cões eficientes H² × H^∞ a denomina¸cão de Conjunto Pareto- subótimo [28].

(42)

Cap´ıtulo 3

Projeto misto H ₂ / H _∞ multi-objetivo

3.1 Introdu¸c˜ ao

No cap´ıtulo anterior, sedimentaram-se os conhecimentos básicos necessários para a compreensão do texto. Descreveram-se as principais metodologias adotadas em controle robusto e os fundamentos de otimiza¸cão multi-objetivo.

O objetivo deste cap´ıtulo é apresentar a utiliza¸cão destes fundamentos no projeto de controladores mistosH²/H^∞ que reflitam restri¸cões e critérios de desempenho comuns na prática tradicional de Controle de Processos Industri- ais, como percentual de sobre-sinal, tempo de acomoda¸cão, ´ındices integrais sobre o erro e sinal de controle, etc. Assim, pretende-se aproximar o projeto de controle robusto do conhecimento mais geral do controle clássico, tornando a obten¸cão de controladores mais natural para um Engenheiro de Processos, com a vantagem de agregar robustez a incertezas e dinâmicas não-modeladas presentes na planta em questão.

29

(43)

Este cap´ıtulo tratará inicialmente da obten¸cão de um conjunto Pareto- subótimo H² × H^∞. Os controladores robustos assim obtidos representarão as solu¸cões subótimas que atendam aos critérios robustosH²eH^∞da melhor forma poss´ıvel.

A seguir, será descrita a conversão dos critérios acima mencionados para outros que representem o desempenho do sistema por meio de ´ındices práticos de desempenho mais comuns e compreens´ıveis para um operador do sistema.

Esta conversão naturalmente implicará em um conjunto de solu¸cões em que poderá ser obtido um conjunto Pareto-transformado, conforme definido a seguir:

Defini¸cão 18 (Conjunto Pareto-transformado) Seja Φ o conjunto das solu¸cões Pareto-ótimas de um problema de projeto H²/H^∞. Seja P(·) o operador que, atuando sobre um conjunto, retorna o sub-conjunto não dominado desse conjunto. Sejaf(·)uma fun¸cão vetorial de ´ındices de desempenho práticos. O conjunto Pareto-transformado do problema, Ψ, é dado por:

Ψ = P(f(Φ)) (3.1)

3 Será mostrado que essa defini¸cão, aqui proposta, poderá possibilitar significativa redu¸cão do número de solu¸cões de interesse e, mais importante, irá propiciar a ordena¸cão das alternativas de projeto segundo ´ındices de desempenho que têm significado claro para o projetista.

Finalmente, será apresentado o processo de escolha da solu¸cão que será aplicada à planta sob análise. Este passo, comumente chamado de processo de decisão, consiste em uma apresenta¸cão sistemática do comportamento do

(44)

3.1. INTRODUÇ ÃO 31 sistema com os vários controladores e em sucessivos questionamentos ao operador de forma a chegar àquela solu¸cão que melhor atenda aos seus objetivos de desempenho.

Para que este cap´ıtulo seja suficientemente autocontido, é necessário que seja apresentado um exemplo numérico para a execu¸cão de cada passo e discussão dos resultados. Este é enunciado a seguir:

Exemplo 2 (Sistema-exemplo) Considere como planta para este cap´ıtulo um sistema P como o da Figura 3.1 e com representa¸c˜ao nos espa¸cos de estados











˙

x=Ax+B₁w+B₂u

z∞ =C∞x+D∞1w+D∞2u z2 =C2x+D21w+D22u y=Cyx+Dy1w+Dy2u

(3.2)

com

Figura 3.1: Diagrama de blocos para a planta generalizada P, exemplo deste cap´ıtulo. w representa a entrada de perturba¸c˜ao, z∞ a sa´ıda para controle robusto H∞ e z₂ as sa´ıdas para controle robusto H2 .

(45)

A=







0 1 0

0 −25 2

0 0 −950







, B1 =





 0 1 0







, B2 =





 0 0 950





 ,

Cy =C∞ =h

1 0 0

i, C2 =







1 0 0 0 1 0 0 0 0





 ,

D∞1 =D∞2 =Dy1 =Dy2 = 0,

D21





 0 0 0







, D22=





 0 0 1





 .

Este sistema-exemplo ser´a utilizado ao longo deste cap´ıtulo para ilustrar os procedimentos de projeto aqui propostos.

3.2 Projeto misto H

²

/ H

∞

Conforme descrito no cap´ıtulo anterior, os projetos H² e H^∞ visam à obten¸cão de controladores estabilizantes para todo um conjunto incerto, que minimizem o pior caso das respectivas normas da fun¸cão de transferência entre as entradas de perturba¸cões e as sa´ıdas ou estados de interesse no conjunto incerto. Cada uma das metodologias apresenta vantagens também citadas anteriormente. Em várias situa¸cões deseja-se uma minimiza¸cão conjunta de ambas as normas. Naturalmente, esta situa¸cão é imposs´ıvel dado serem os objetivos formulados diferentemente e, portanto, com m´ınimos dis-

(46)

3.2. PROJETO MISTOH²/H^∞ 33 tintos¹. Isso descarta a possibilidade de obter-se um controlador que atenda simultaneamente a ambas minimiza¸c˜oes.

A otimiza¸cão multi-objetivo é constitu´ıda de duas etapas: a primeira denominadaescalariza¸cãorefere-se à defini¸cão formal do problema e à escolha da metodologia de resolu¸cão. A segunda trata da elabora¸cão de algoritmos computacionais capazes de executar as estratégias tra¸cadas no passo anterior.

Com rela¸cão à otimiza¸cão multi-objetivo H²/H^∞, a etapa de escalariza¸cão pode ser sintetizada pelas formula¸cões em 1 e 2.

Problema 1 (Otimiza¸cão multi-objetivo H²/H^∞) O projeto mistoH²/H^∞ para a planta P, Sistema-exemplo 2, consiste em obter um conjunto de controladores dinâmicos estabilizantes, formando um conjunto Pareto-ótimo, tal que da realimenta¸cão dinâmica da sa´ıda de P pelos mesmos produzam-se sistemas em malha fechada capazes de minimizar, no sentido da Pareto- otimalidade, as normas H² e H^∞ da perturba¸cão w para as sa´ıdas z2 e z∞

respectivamente.

Problema 2 (Abordagem -Restrito aplicada ao problema H²/H^∞) Sejam f∞ e f2 fun¸cões que representem, respectivamente, as normas H^∞ e H2 da malha fechada da planta P com um controlador dinâmico K, como descrito no Problema 1. Seja ainda j um número real com j = 1, ..., m. Se αi, i= 1, ..., n, pertencente ao espa¸co de objetivos, é uma solu¸cão eficiente e portanto pertencente também ao conjunto Pareto-subótimo, então αi resulta

1E relativamente raro o caso em que duas fun¸cões-objetivo com significados diferentes´ têm ponto minimizante idêntico. Esse caso não tem relevância prática: ele apenas indica que o problema bi-objetivo pode ser substitu´ıdo por um problema mono-objetivo em um dos objetivos apenas.