ESTUDO ANALÍTICO DE ILHAS MAGNÉTICAS EM UM TOKAMAK COM LIMITADORES ERGODICOS POR APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS MÉDIAS.

MARIO SÉRGIO TEIXEIRA DE FREITAS

ESTUDO ANALÍTICO DE ILHAS MAGNÉTICAS EM UM TOKAMAK COM LIMITADORES ERGODICOS

POR APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS MÉDIAS.

Dissertação apresentada ao Curso de Pós- Graduação em Física da Universidade Federal do Paraná, como requisito à obtenção do grau de Mestre em Ciências.

Orientador: Prof. Dr. Ricardo Luiz Viana.

CURITIBA

Agradecim entos

Entre todos que colaboraram parâ a execução desta dissertação, agradecemos espe­

cialmente ao professor orientador Ricardo Luiz Viana e aos professores Valdir Okano e Iberê Caldas pelos esclarecimentos e discussões sobre o método empregado; à Vera, pela atenciosa e eficiente assessoria administrativa durante todo o curso de mestrado.

Ao Departamento de Física do CEFET-Pr, pelo apoio concedido.

R e s u m o

Neste tra b alh o abordam os o problema geral de descrição da e stru tu ra m agnética de um plasm a que tem sua sim etria destruída por um a pequena perturbação m agnetostática.

Aplicamos um m étodo de médias desenvolvido em 1992 por Kucinski et al. estudando a ação de lim itadores magnéticos ergódicos sobre um plasm a confinado em um Tokamak. O referido m étodo possibilita a inclusão dos efeitos toroidais n a aproximação de ordem zero, m ediante um a escolha adequada de coordenadas. Por analogia com o espaço de fases de um pêndulo não-linear, é obtida a largura de ilhas m agnéticas prim árias em função da corrente nos lim itadores.

A b stract

In this work, we deal w ith the general problem of descripting the m agnetic struc­

tu re of a plasm a which sym m etry is broken by a small m agnetostatic p erturbation. An averaging m ethod developed in 1992 by Kucinski et al is applied to study the action of ergodic m agnetic lim iters on a plasm a confined in a Tokamak. This m ethod allows the inclusion of toroidal effects in zeroth-order approximation, by means of an adequate choice of coordinates. P rim ary m agnetic islands widths, as a function of the lim iter current, are obtained by analogy to the phase space exhibited by a nonlinear pendulum .

ín d ice

0

IN T R O D U Ç Ã O ... 1

CA PÍTULO UM : CONFINAM ENTO DE PLASMAS EM TOKAM AKS 1.1. P arâm etros descritivos de um Tokam ak... 5

1.2. Equações da M agnetohidrodinâm ica... 6

1.3. Superfícies m ag n éticas...8

1.4. F ator de segurança e transform ada rotacional... 10

1.5. A equação de G rad-Shafranov... 11

1.6. O lim itador ergódico n a form a de anel de co rren te...13

CA PÍTU LO DOIS : RESUMO TEÓ RICO DO M ÉTODO DAS MÉDIAS 2.1. Sistem a de equações n a form a original... 26

2.2. Sistem a de equações m odificado...29

2.3. Solução aproxim ada... 31

2.4. Aplicação em coordenadas toroidais polares helicoidais...33

C A PÍTU LO TRÊS : MODELO DE EQUILÍBRIO 3.1. Justificativa para escolha do m odelo... 36

3.2. Solução p ara seção re ta e perfil de corrente a rb itrá rio s...37

3.3. Aplicação a um plasm a com seção aproxim adam ente c irc u la r...39

3.4. Particularização p a ra um perfil conhecido da densidade de corrente to ro id al... 39

3.4.a. Caso 0 < pt < a... 40

3.4.b. Caso a < pt < b... 42

C A PÍTU LO QUATRO : CAMPO PERTURBATIVO CRIADO PELOS ANÉIS DE C O R R E N TE

4.1. Influência do campo perturbativo na largura das ilhas m agnéticas...47

4.2. Expansão em série de Fourier do campo ra d ia l... 48

4.3. Coeficientes n a form a alternativa da série de F ourier... 49

4.4. Cam po perturbativo obtido pela equação de Laplace... 51

4.5. Associação do campo calculado com os coeficientes da expansão a lte rn a tiv a ... 55

4.6. Coeficientes de Fourier para a expressão do campo p erturbativo radial a ser aplicado no M étodo das M éd ia s... 56

C A PÍTU LO CINCO : APLICAÇÃO DO M ÉTO DO DAS MÉDIAS PARA CÁLCULO DA LARGURA DE ILHAS MAGNÉTICAS 5.1. E xpansão em série de Taylor do fluxo magnético m éd io ...58

5.2. Expressão p ara a derivada segunda do fluxo de eq uilíbrio... 59

5.3. Expressão p a ra o fluxo p e rtu rb a tiv o ... 61

5.4. Com paração da função de fluxo m édia com a ham iltoniana do pêndulo n ã o -lin e a r...55

5.5. Expressão p ara a largura das ilhas m agnéticas... 67

CA PÍTU LO SEIS : RESULTADOS NUMÉRICOS OBTIDOS 6.1. P arâm etros do Tokamak (TB R 1) ... 71

6.2. Perfil radial das quantidades de equ ilíb rio ... 74

6.3. C oordenada radial correspondente aos modos e stu d a d o s... ! ... '75

6.4. L argura das ilhas m agnéticas... 76

6.5. A plicabilidade dd Método ao cálculo da largura de ilhas satélites...78

CONCLUSÕES 90

A PÊN D IC E A : COORDENADAS CURVILÍNEAS

A .l. C oordenadas covariantes e contravariantes... 94

A.2. O peradores diferenciais vetoriais em coordenadas curvilíneas g en eralizad as...98

A PÊN D IC E B : SISTEMAS DE COORDENADAS ENVOLVIDOS N ESTE TRABA LHO B .l. C oordenadas re tan g u lares...102

B.2. C oordenadas cilíndricas...103

B.3. Coordenadas cilíndricas helicoidais... 107

B.4. C oordenadas toroidais convencionais...109

B.5. C oordenadas toroidais p o lares... 111

B.6. C oordenadas toroidais polares helicoidais...114

A PÊ N D IC E C : EQUAÇÃO DE GRAD-SHAFRANOV EM COORDENADAS CURVILÍNEAS GENERALIZADAS C .l. Função de fluxo e função de c o rre n te ...128

C .2. Aplicação na equação do equilíbrio de pressões... 130

Lista dos Símbolos E m p re g a d o s...133

/ índice das Ilu s tra ç õ e s ... 138

R E F E R Ê N C IA S ... 141

I N T R O D U Ç Ã O

No estudo de plasm as em dispositivos toroidais, enfrenta-se o problem a da instabili­

dade do confinamento magnético. A duração da corrente de plasm a é com prom etida, entre outros fatores, pela interação entre as partículas carregadas e a parede in tern a do toro, responsável pelo desprendim ento de impurezas que contam inam o plasm a. A intensidade desses efeitos será significativamente reduzida se for produzida um a pequena região de cam po m agnético estocástico na periferia da coluna de plasm a, que auxilie no controle do transporte de energia. Isso pode ser obtido pela aplicação de correntes externas ao toro, m ediante o uso dos chamados lim itadores ergódicos na form a de anéis de corrente [Martin e Taylor 1984]. A perturbação ressonante gera então cadeias de ilhas m agnéticas, que in­

teragem entre si am pliando a cam ada estocástica que circunda as separatrizes, perm itindo assim a difusão das linhas de campo magnético através d a região desejada. Pretende-se que um reforço nessa difusão uniformize o transporte de calor, bem como o de partículas, na parede interna, reduzindo p o rtan to a contaminação do plasm a pelo desprendim ento dessas impurezas [Feneberg e Wolf 1981].

Nesse sentido, p ara o estudo analítico da estru tu ra m agnética de um plasm a p ertu r­

bado, é de im portância fundam ental o equacionamento das superfícies m agnéticas, sobre as quais repousam as linhas de cam po e que, caracterizando-se por um valor constante da pressão do plasm a, são indispensáveis ao confinamento. A condição básica para a existência dessas superfícies está associada à presença de algum tipo de sim etria espacial no campo m agnético de confinamento, que possibilite a caracterização de um invariante do problema.

P a ra plasm as não-perturbados, a condição de confinamento im posta pelo equilíbrio en­

tre as forças de n atu reza cinética e eletromagnética assegura a disposição dessas superfícies n a form a de toros aninhados. As equações básicas que regem esta e stru tu ra são fornecidas

pela Teoria MHD (M agnetohidrodinâm ica), que combina as Equações de Maxwell com as equações d a M ecânica dos Fluidos. Na ausência de perturbação, a sim etria possibilita a obtenção de um sistem a de equações diferenciais, cuja solução de equilíbrio, n a form a de um fluxo m agnético constante em termos das coordenadas, é o invariante que descreve essas superfícies m agnéticas .

Se for im posta ao equilíbrio um a pequena perturbação, por exemplo, o cam po gerado pelos anéis de corrente, perde-se a sim etria e, consequentemente, o invariante exato, mas a topologia não chega a ser totalm ente danificada. Alguns toros podem ser destruídos no caso de ressonância, com a criação de ilhas em sua vizinhança, sendo os outros toros ligeiram ente deformados. Isso perm ite o uso de métodos perturbativos p a ra a obtenção de um a função de fluxo aproxim ada, que será o novo invariante, p ara descrever satisfa­

toriam ente as superfícies m agnéticas do plasm a perturbado. P a ra tan to , o sistem a (dito quase-integrável) deve sofrer certas modificações algébricas que o tornem integrável. É nos critérios seguidos p ara essa transform ação no sistem a que residem as principais diferenças entre os métodos.

0 M étodo das Médias [Bogolyubov e M itropolskii 1961] é um m étodo perturbativo aplicável a sistem as dinâmicos quase-integráveis onde o movimento exiba periodicidade segundo duas escalas diferentes, um a d ita ’’variável rápida” e a o u tra ’’variável lenta” . Efetuando um a m édia do cam po perturbativo sobre a escala ráp id a e tom ando a evolução desse valor médio ao longo d a escala lenta, forja-se um invariante aproxim ado, integrabi- lizando assim o sistema. Na aplicação deste método realizada por [Kucinski et al. 1992]

a um plasm a confinado em Tokamak com perturbação não-sim étrica, a periodicidade é estu d ad a n a acepção espacial; redefine-se convenientemente as coordenadas p a ra obter o invariante médio, de form a análoga à exposta por [Morozov e Solov’ev 1966] . O critério fundam ental a ser seguido é a exigência da inclusão dos efeitos de ressonância n a solução de prim eira ordem. A função de fluxo obtida faz o papel de um invariante aproxim ado

que, equacionando as ”superfícies magnéticas m édias” , substitui com boa aproxim ação a descrição ham iltoniana das linhas de campo do plasm a perturbado, cuja obtenção seria de mais difícil acesso [Lichtenberg e Lieberman 1983].

As principais abordagens de que se dispõe como referência iniciam com o modelo teórico proposto em 1984 por M artin e Taylor p a ra o lim itador ergódico [M artin e Tay- lor 1984]. Considerando negligenciáveis os efeitos toroidais p ara o Tokamak estudado, este é suposto como um tubo cilíndrico com um lim itador magnético com posto por um único anel, proporcionando um efeito espacialmente periódico. Como a ação do lim itador é efetiva unicam ente n a região interna próxim a à parede do tubo, foi utilizada a cham ada

”aproxim ação de b o rd a” , n a qual adota-se um sistem a de coordenadas retangulares válido apenas n a referida região. É apresentada então um a solução p ara as componentes do campo m agnético gerado pela configuração de corrente. Em 1989, Camargo abordou analitica­

m ente o problem a de um plasm a toroidal p erturbado por hélices ressonantes, em pregando p ara a descrição das ilhas um invariante médio, obtido pelo Método de C ary [Camargo 1989]. Em 1991, partin d o do modelo de M artin e Taylor, V iana e Caldas reobtiveram o cam po m agnético gerado por um a grelha infinita de condutores de corrente, solucionando o problem a de valores de contorno em coordenadas retangulares, por abordagem d a na­

tureza ham iltoniana das equações das linhas de cam po magnético [Viana e Caldas 1991].

No ano seguinte, Kucinski et al. desenvolveram um m étodo de médias p a ra o modelo toroidal, aplicando-o n a perturbação criada por hélices ressonantes [Kucinski et al. 1992].

O mesmo m étodo foi empregado por Monteiro n a análise d a e stru tu ra m agnética d a um plasm a cilíndrico em pinch de campo reverso (R F P ), p ertu rb ad o por dois m odos helicoidais ressonantes [Monteiro 1995]. Em 1994 Pereira obteve a expressão analítica p a ra largura de ilhas m agnéticas prim árias, criadas pelo anel de corrente num modelo cilíndrico, por aplicação do m étodo de M atsuda e Yoshikawa, verificando os resultados com os obtidos num ericam ente por m apas de Poincaré [Pereira 1994]. Em 1995 Vasconcelos utilizou a

formulação ham iltoniana para linhas de campo e obteve, sim ulando a ação do lim itador por meio de u m a perturbação impulsiva, um outro tra ta m e n to analítico p ara o problem a, tam bém num modelo cilíndrico; foram focalizados, em especial, critérios p ara indicar a formação de estocasticidade na região periférica da coluna de plasm a, bem como a ex­

pressão p a ra a larg u ra das ilhas magnéticas [Vasconcelos 1995].

Reconhecendo, no cam po perturbativo gerado pelos anéis de corrente, conforme apresentado po r P ereira [Pereira 1994] para o modelo do cilindro periódico, os requisi­

tos p ara a aplicação do M étodo das Médias, este trabalho m ostra a obtenção analítica da função de fluxo e a sua interpretação em termos de posicionam ento e dimensões das ilhas m agnéticas prim árias (ilhas satélites tam bém podem ser estudadas pela aplicação deste m étodo ce form a totalm ente análoga, partindo de um a redefinição adequada das coorde­

nadas; neste trabalho, como prim eira etapa, são analisadas apenas ilhas prim árias, em aproxim ação de prim eira ordem). 0 objetivo p a ra um trabalho futuro é o confronto dos resultados obtidos nesta etap a com um a simulação num érica m ediante o traçado de m apas de Poincaré; n a sequência, pode-se estudar a formação de estocasticidade por inclusão da análise das ilhas satélites e, se necessário, estender a aproximação até segunda ordem, ainda com a possibilidade de aprim orar o modelo p a ra o lim itador.

O prim eiro capítulo aborda noções prelim inares sobre confinamento m agnético de plasm as em Tokamaks; o capítulo dois consiste num resum o teórico do M étodo das Médias;

o capítulo três e o capítulo quatro descrevem, respectivam ente, o modelo de equilíbrio utilizado e o cam po p erturbativo provocado pelo lim itador ergódico; o capítulo cinco expõe o objeto principal deste trabalho, que é a aplicação do m étodo (cap. 2) ao modelo (caps.

3 e 4). Os resultados obtidos são apresentados no capítulo seis; p a ra os valores numéricos, foram tom ados alguns parâm etros do Tokamak T B R -1, em operação no In stitu to de Física da USP. Ao final, é apresentada um a conclusão, seguida de três apêndices, que focalizam esclarecimentos sobre os cálculos desenvolvidos.

C A P ÍT U L O U M

C O N F I N A M E N T O D E P L A S M A S E M T O K A M A K S

Neste capítulo, são expostas algumas noções preliminares: descrição de um Tokamak, equações MHD, superfícies m agnéticas, fator de segurança, equação de G rad-Shafranov e, finalmente, descrição do lim itador ergódico na forma de um anel de corrente.

1.1. P a r â m e tr o s d escritiv o s de u m Tokamak

O dispositivo p ara confinamento de plasmas conhecido como Tokamak consiste num recipiente m etálico em form a de toróide que, mediante a aplicação de campos magnéticos apropriados, m antém o plasm a afastado das suas paredes internas, restringindo-o a um a

”coluna de plasm a” . A estabilidade desse confinamento é um pouco m aior nesse sistema, quando com parada àquela obtida em dispositivos alternativos [Furth 1975] ; daí o atual interesse no estudo do Tokamak com o propósito de construir reatores a fusão nuclear.

P a ra descrever com objetividade a geom etria de um Tokamak, são em pregados geralmente os term os toroidal, poloidal e radial, que se referem às direções indicadas n a figura ( 1.1, pag.15).

Um parâm etro im portante p ara caracterização de um Tokamak é a cham ada razão de aspecto A, definida por

onde Ro é o raio m aior e 6 o raio m enor, conforme indicado n a figura ( 1.2, pag.16).

A coluna de plasm a tem seção reta suposta aproxim adam ente circular e com raio médio a, conforme indicado n a figura (1.3, pag.17).

O cam po m agnético de confinamento é produzido pela superposição de suas com­

ponentes toroidal e poloidal, geradas independentem ente um a da outra: são instaladas

espiras de corrente que envolvem externam ente o Tokamak n a direção poloidal, e que são responsáveis pelo cham ado campo toroidal B^,, onde o índice (pé a variável angular as­

sociada à direção toroidal; um transform ador elétrico, que induz um a variação no fluxo m agnético, cria, segundo a direção toroidal, a cham ada corrente de plasm a 7p, que por sua vez gera um cam po poloidal Bg, onde o índice 6 ê a variável angular associada à direção poloidal; a intensidade desse campo poloidal é tipicam ente menor que a do cam po toroidal.

—# —♦ —* A som a vetorial desses dois campos resulta no chamado campo de equilíbrio B = Bg + B ^ , com linhas de campo m agnético helicoidais, conforme indicado n a figura (1.4, pag.18), e que é o principal responsável pelo confinamento do plasma. Esse cam po de equilíbrio, p o rtan to , via de regra tem nula sua componente B p, onde o índice p está associado à direção radial; é de uso, quando existe um a pequena componente radial, incorporá-la ao cam po poloidal; nessas condições, o campo total de equilíbrio é representado n a forma B = B p + B^p, sendo B p = Bg + B p.

1 .2. E q u a ç õ e s d a M a g n e to h id r o d in â m ic a

A descrição quantitativa de um plasm a m agneticam ente confinado é fundam entada, p a ra o caso de equilforio, no grupo de equações chamado de equações MHD (magne- tohidrodinâm icas), onde são combinadas as equações de Maxwell com as equações da M ecânica dos Fluidos. 0 plasm a é considerado um fluido condutor, sem cargas elétricas isoladas. Nessa abordagem tem-se, constituindo o grupo de equações MHD ( é utilizado aqui como sistem a de unidades o SI, ou MKSA) [Wesson 1987] :

a) Conservação da m assa

^ + V - 0 > i T ) = 0 , [1.2]

onde v é a velocidade macroscópica do plasm a e p a sua densidade de m assa;

b) Equação do movimento

dv -* -

P = ~ V p + j x B , [1.3]

onde j é a densidade de corrente, B a indução m agnética e p a pressão cinética exercida • pelo plasm a, e ainda + (v • V)v ;

c) Lei de O hm generalizada

Ê + v x B = rjj , [1.4]

onde E é o cam po elétrico e 77 a resistividade do plasma, suposta nula n a teoria MHD ideal;

d) Lei de Gauss p ara o magnetismo

V - R = 0 ; [1.5]

e) Lei de Faraday

V x á = - _ ; [1.6]

f) Lei de Gauss p ara o campo elétrico

V • Ê = 0 , [1.7]

onde a distribuição macroscópica de carga elétrica é considerada nula devido à quase- neutralidade local do plasma;

g) Lei de Am père

V x B = po3 , [1.8]

n a qual foi negligenciado o term o referente à corrente de deslocamento, visto que n a teoria MHD são estudados fenômenos a baixas frequências, se com paradas à girofrequência ou à frequência de plasm a.

Nesse contexto, tom ando o plasm a em equilíbrio, ou seja, tendo anuladas todas as derivadas tem porais, e supondo a velocidade do fluido como igual a zero, obtém -se o cham ado equilíbrio MHD «estático, descrito por:

V • B = 0 , [1.9]

V x B = fjioj , [1-10]

Vp = j x B . [1-11]

Estas três últim as equações servirão de base p a ra o estudo das cham adas superfícies m agnéticas , essenciais p a ra a descrição analítica do com portam ento do plasm a.

1.3. S u p erfícies m a g n é tic a s

P artin d o d a [1.11], pode-se extrair um a im portante propriedade das linhas de campo magnético ; m ultiplicando-a escalarmente por B tem-se

B • Vp = 0 , [1.12]

ou seja, as linhas de cam po magnético repousam sobre superfícies de pressão constante, conforme a figura (1.5,pag. 19). O mesmo pode ser afirmado sobre as linhas de corrente, m ultiplicando escalarm ente a mesma expressão por j :

j - V p = 0 . [1.13]

Tais superfícies de pressão constante podem ser caracterizadas adequadam ente por um a variável que seja função da pressão, por exemplo o fluxo magnético \fr. Na con­

figuração de equilíbrio, essas superfícies 'Q = consiante estão topologicamente dispostas na form a de toróides aninhados em torno de um eixo m agnético , e são conhecidas como superfícies m agnéticas . O significado preciso de 4' depende do tipo de seção transversal tom ada como referência; em grande parte dos casos , é ad otada a superfície caracterizada por um valor constante d a variável poloidal, conforme indicado n a figura (1.6, pag.20); a grandeza 'P assim definida é cham ada ’’fluxo m agnético de fita poloidal” [D’haeseleer et. al.

1991]. Neste trabalho, a escolha do sistem a de coordenadas, associada à sim etria helicoidal considerada, orienta p ara um a redefinição dessa superfície, tom ada como ”fita helicoidal”

e caracterizada por um valor constante da variável helicoidal u = mô — mp (com m e n inteiros, conforme esclarecido no apêndice B), como ilustra a figura (1.7, pag.21).

Uma característica fundam ental, que distingue essas superfícies em duas categorias, se refere ao conjunto de linhas de campo magnético helicoidais que existem sobre cada um a delas; esses dois grupos são as ditas superfícies m agnéticas racionais e irracionais.

U m a superfície m agnética é racional se um a linha de cam po que p arte de um dado ponto P reto rn a a este ponto após percorrer um núm ero finito de revoluções nas direções poloidal e toroidal, fechando-se sobre si mesma num a tra je tó ria periódica, e portanto interceptando o plano poloidal que contém o ponto P em um núm ero finito de pontos, conforme esclarecido n a figura ( 1.8.a, pag.22).

A superfície é irracional se a linha de campo p arte de um ponto P e só retorna a ele depois de percorrer infinitas revoluções poloidais e toroidais, ou seja, depois de ter preenchido densam ente to d a a superfície magnética, conforme esclarecido n a figura ( 1.8.b, pag.22).

O utro parâm etro im portante p a ra caracterização de um plasm a m agneticam ente confinado é a razão (3 entre a pressão cinética e a pressão m agnética [Caldas e Vannucci 1985] :

0 = ^{t e} ■ U-W]

2/io

Analogamente, tom ando a pressão m agnética provocada pelo cam po poloidal, pode ser definido o ”b e ta poloidal” :

(3p = - & r , [1.15]

2/i0

o qual tem especial interesse neste trabalho, por seu valor estar incluído no cálculo do coeficiente de assim etria do campo poloidal A (conforme exposto no capítulo três).

1.4. Fator d e seg u ra n ça e tr a n sfo r m a d a rotacional

Conforme exposto anteriorm ente, as linhas de campo que repousam sobre um a dada superfície m agnética têm geom etria helicoidal. O passo dessas hélices pode ser quantificado por um parâm etro conhecido como fator de segurança e definido por

ou seja, representa a variação no ângulo toroidal, em relação ao ângulo poloidal, ao longo da linha de campo; quanto m aior for o fator de segurança , menos pronunciado será o

” enrolam ento” das linhas de cam po magnético .

N um a seção poloidal <p = constante , o perfil radial do fator de segurança costum a ser crescente do centro até a borda. P a ra valores pequenos de q (q < 1) , o plasm a fica sujeito a um a instabilidade, d ita de disru p tu ra interna, critério este conhecido como lim ite de Kruskal-Shafranov de instabilidade [Manheimer e Lashmore-Davies 1989] , o que justifica o nome ” fator de segurança ” .

A variação de q com 0 se deve à geom etria toroidal; próximo ao equador externo do Tokamak, o deslocamento toroidal é máximo, conduzindo p o rtan to a um valor m áxim o de q (verifica-se o oposto ju n to ao equador interno).

É possível definir um fator de segurança médio q efetuando a m édia do valor de q ao longo de um a revolução poloidal completa. A diferença q(p, 6) — q(p) recebe o nome de p arte oscilante do fator de segurança , tendo seu valor máximo denotado aqui por q.

P a ra salientar a distinção entre q(p) e q(p, 6) , denomina-se este últim o de fator de segurança local. O fator de segurança médio q , p ara as superfícies m agnéticas racionais, é identificado com a razão ^ ) sendo m o núm ero de revoluções toroidais correspondente às n revoluções poloidais.

O u tra form a de quantificar o passo das linhas de campo m agnético é acom panhar o ângulo poloidal descrito ao longo de um a revolução toroidal completa; essa razão, levada

ao lim ite —> 0 , fornece a grandeza cham ada transform ada rotacional t [Caldas e Vannucci 1985]

[1.17]

/ ^ M

c(P,e) = 2 * - .

Por com paração da [1.17] com a [1.16] , observa-se que a transform ada rotacional se relaciona com o fator de segurança por

2n [1.18]

Como o valor de t costum a ser diferente p a ra cada superfície m agnética , pode ser definido um cisalham ento magnético , que corresponde à prim eira derivada radial d a tra n s­

form ada rotacional [D’haeseleer et al. 1991] . 1.5. A eq u a çã o de G rad-Shafranov

Tom ando como referência um sistem a de coordenadas genérico (x 1, X2 > X3)> um plasm a que exiba algum a form a de sim etria (axial, translacional ou helicoidal) tem seu campo m agnético de equilíbrio descrito por um a função de fluxo tf = tf (x 1 >X2> X3)> a qual deve satisfazer à equação diferencial cham ada ’’equação de Grad-Shafranov” , aqui exposta, con­

forme o apêndice C, em coordenadas generalizadas:

<733

y/9

d V ã ( 11

d x 1 933

V

d x 2tf +

d x²⁹³³

A2 22 8 $

dp 2 , ^ , ^{t 933}

Po dq , + fX° l ^ g

9 d x 1 " d x2 d / *723 \ _ d í⁹i³\

dX l {⁹³³} d x² 933 , ^[1.19]

onde gij, g t} e g são, respectivamente, as componentes covariantes, contravariantes e o determ inante do tensor m étrico do sistem a de coordenadas curvilíneas ( x ^ X ^ X 3)» um a explanação porm enorizada desse formalismo encontra-se no apêndice A; I é o fluxo de densidade de corrente, cuja expressão I = /( tf ) deve ser previam ente conhecida, assim como a d a pressão cinética p = p (tf), para que se possa proceder a integração d a equação

[1.19], obtendo a função = ^ ( x : , x 2, x 3), a p artir da qual se pode extrair as componentes do cam po m agnético de equilíbrio, assim como outras grandezas de interesse como o fator de segurança, em função das coordenadas utilizadas.

A [1.19] pode ser aplicada a qualquer sistem a de coordenadas; por exemplo, em co­

ordenadas cilíndricas (p, 0, z') (segunda modalidade, conforme o apêndice B), ao tom ar-se a m étrica e as componentes covariantes e contravariantes do tensor m étrico (obtidas por [B .ll], [B.10] e [B.14]), a [1.19] assume a forma

+ V w - - w v m . [i-20]

onde a linha nas funções I e p indica a prim eira derivada em relação a 4'.

Pode-se integrar a [1.20] desde que se disponha de um a distribuição radial d a densidade de corrente toroidal conhecida. A solução ^ = 4/(p, 8) descreve as superfícies m agnéticas do plasm a, suposto retificado como um cilindro de com prim ento 2ttRq. No caso de se considerar a seção re ta c a coluna de plasm a como sendo aproxim adam ente circular, o fluxo perde a dependência em 6 e fica-se com 'F = 'k(p)-

Em 1960, Shafranov obteve um a solução com uso de coordenadas toroidais conven­

cionais (£,w,cp) (este sistem a é apresentado no apêndice B), adm itindo perfis constantes p ara a prim eira derivada d a pressão cinética e p ara a segunda derivada do fluxo de cor­

rente, e im pondo como condições de contorno a anulação do cam po e do fluxo m agnético na superfície do plasm a [Shafranov 1960]. Conforme será exposto no capítulo três, esta solução não se m o strará adequada para aplicação aos parâm etros do T B R -1, o que pode ser constatado p o r um a acentuada discrepância no perfil q(p) do fator de segurança fornecido, que m ostra pouca variação radial em relação aos resultados experim entais conhecidos. Será p o rtan to ado tad a, neste trabalho, outra solução, proposta por Kucinski et al. [Kucinski et al. 1990], que se ad a p ta melhor ao Tokamak aqui estudado. Serão em pregadas coor­

denadas toroidais polaxes (pt ,0t,(p) (conforme o apêndice B); um a expansão do fluxo 4/

m ostra que sua aproximação de ordem zero #0 pode ser identificada com a solução da equação de G rad-Shafranov para um plasm a suposto cilíndrico (desde que respeitadas as diferenças entre as coordenadas). 0 desenvolvimento pormenorizado do equacionam ento da e stru tu ra de equilíbrio está exposto nos capítulos três e cinco.

1.6. O lim ita d o r ergódico na form a de anel de corrente

A duração da corrente de plasm a é com prom etida por diversos fatores, sendo um dos mais nocivos a contam inação do plasm a por im purezas liberadas pela parede in tern a do toro, que deterioram a qualidade do confinamento. A instalação dos lim itadores ergódicos visa, conforme foi comentado na introdução desse trabalho, uniformizar o tra n sp o rte de energia, m inim izando o processo e consequentemente aum entando a duração da corrente de plasm a.

As figuras (1.9 e 1.10, pags.23 e 24), esquematizam, respectivamente, a geom etria sim­

plificada dos anéis de corrente e a sua distribuição ao longo do percurso toroidal adotada neste trabalho; cada anel é constituído por L segmentos condutores sim etricam ente ori­

entados n a direção toroidal, ao longo de um com prim ento g, de form a que fios adjacentes conduzam correntes elétricas em sentidos contrários, com intensidade / . (São negligencia­

dos os efeitos de borda provocados pelos segmentos orientados na direção poloidal).

O efeito da corrente I na estru tu ra m agnética do plasm a é o de um a pequena per­

turbação, que destrói a superfície racional dita ressonante, criando em seu lugar cadeias de ilhas m agnéticas, conforme esquematizado n a figura (1.11, pag.25); o aum ento dessa corrente im plica num a configuração estocástica das linhas de campo em torno dessa região.

Conforme será exposto nos capítulos três e quatro, as grandezas físicas aqui estudadas são, em sua m aioria, definidas em termos do perfil radial; ou seja, p ara o cálculo dos valores de interesse, é necessário localizar radialm ente a superfície racional ressonante.

Conforme sera exposto no capítulo seis, a escolha dos modos de perturbação é feita tendo

em vista a produção de estocasticidade na periferia do plasma; p a ra tanto, escolhe-se um núm ero L de fios p a ra o anel, que fixa o numerador m = | d o fator de segurança q = das superfícies racionais a serem perturbadas; cada valor obtido p ara q, levado n a expressão do perfil radial do fator de segurança, fornece a coordenada radial (”raio da ressonância” ) por resolução de um a equação por tentativas. 0 capítulo seis inclui tam bém um esclarecimento sobre a distinção entre os parâm etros utilizados neste trabalho e aqueles correspondentes ao lim itador ergódico construído para o Tokamak T B R -1, conforme [Araújo 1993].

Figura 1.1

Direções de Referência em um Toro

II

Figura 1.2

Parâm etros Geométricos Básicos de um Toro

= raio maior b = raio menor

16

Figura 1.3

Geometria da Coluna de Plasm a

a = raio do plasma b = raio menor do toro

17

Figura 1.4

Linha de Campo Magnético

A configuração helicoidal de B se deve à soma dos campos poloidal Bg e toroidal B^.

18

Figura 1.5

Superfícies Magnéticas na E stru tu ra de Equilíbrio (dispostas como toros aninhados)

19

F igura 1.6

Superfície de ’’F ita Poloidal”

Figura 1.7

Superfície de ’’F ita Helicoidal”

Figura 1.8

Superfície M agnética Racional (a) e Irracional (b)

(a) U m a única linha de campo se fecha sobre si m esm a após descrever m trânsitos toroidais (e n poloidais), interceptando um a seção = const em um núm ero finito m de pontos.

(b) U m a única linha de campo descreve infinitos trânsitos toroidais, de form a que intercepta a seção <p = const preenchendo-a densamente.

Figura 1.9

Esquema Geométrico do Anel de Corrente

23

Figura 1.10

Distribuição dos Limitadores no Percurso Toroidal

24

F igura 1.11 Ilhas M agnéticas

E stru tu ra m agnética do plasm a com a ação do lim itador ergódico: são representadas duas cadeias de ilhas, form adas nas vizinhanças das superfícies racionais destruídas pela pequena perturbação. Os toros não destruídos são apenas ligeiramente deformados.

C A P ÍT U L O D O IS

R E S U M O T E O R IC O D O M É T O D O D A S M É D I A S

Neste capítulo, é exposto, inicialmente em termos gerais, o equacionam ento do método que será utilizado [Kucinski et al. 1992]; em seguida, é particularizado p a ra a aplicação no sistem a de coordenadas toroidais polares helicoidais.

2.1. S iste m a d e eq u a ç õ e s na fo rm a original

P a ra um cam po m agnético to tal B constituído pelo cam po de equilíbrio Bq p ertu r­

bado por um cam po mais fraco b (no caso deste trabalho, criado pelos anéis de corrente que constituem o lim itador m agnético ergódico), ignora-se a resposta dinâm ica do plasm a (supondo baixo /3) e pode-se escrever

B = B^q + b . [2.1]

Utilizando um sistem a genérico de coordenadas curvilíneas (x 1,X2>X3) > as equações das linhas de cam po m agnético, vindas de

B x dt = 0 , [2.2]

podem ser expressas como um sistem a bidimensional de equações, n a form a dX1 B 1

dX3 B3 dX2 B 2

[2.3]

[2.4]

dXz B3 ’

—# —*

onde B l = B • Vx* são as componentes contravariantes do cam po to ta l B dado pela [2.1] (um a explanação geral sobre o formalismo envolvido no tra ta m e n to de coordenadas curvilíneas encontra-se no Apêndice A).

0 sistem a [2.3]/[2.4] se refere a um problema dinâmico geral; p a ra sua aplicação no estudo da estru tu ra m agnética de plasm as toroidais, supondo os campos como sendo mag- netostáticos, a variável tem poral não é envolvida no equacionamento; em seu lugar, toma-se um a das variáveis espaciais segundo a qual o sistema exiba um a certa sim etria (no caso, X2). Assim, as grandezas físicas tra ta d as no problema têm sua dinâm ica param etrizada em termos dessa coordenada (dita ’’ignorável” ). Se nesse tra ta m e n to são empregados termos como ” m ovimento” e ”periodicidade rápida” ou ”len ta” é por um a extensão de lin­

guagem, sem envolvimento d a grandeza ” tem po” em sua acepção usual. (Tal tratam en to é tam bém indicado ao se aplicar o formalismo ham iltoniano às linhas de cam po magnético:

a adaptação de ( x S x ^ X 3) ao modelo de coordenadas canônicas (g,p, t) que respeitam as equações de H am ilton leva a um com portam ento ’’dinâmico” no qual x 3 desem penha o pa­

pel de parâm etro ’’tem poral” ; a dependência da ham iltoniana nessa coordenada caracteriza um sistem a não-autônom o).

Cada componente B x é, a princípio, função das três coordenadas x* adotadas; por­

tan to o sistem a não pode ser categorizado como autônomo (só o poderia se fosse indepen­

dente da coordenada ignorável); em consequência disso, p ara plasm as perturbados, nas regiões da e stru tu ra de equilíbrio onde o campo perturbativo provoca ressonâncias, as lin­

has de cam po não estarão dispostas exatam ente sobre superfícies m agnéticas; espera-se, p ara b B^q, um a distribuição dessas linhas de campo ao redor de superfícies ’’virtuais” , cham adas superfícies m agnéticas m édias, criando as configurações conhecidas como ’’ilhas m agnéticas” ; um acréscimo n a intensidade do campo perturbativo to rn a mais pronunciada a estocasticidade espacial nessas regiões.

P a ra pequenas perturbações, o Método das Médias apresentado por Kucinski et al.

[Kucinski et al. 1992] propõe um a expressão analítica p a ra as superfícies magnéticas medias, sem a necessidade de envolver integração numérica das linhas de campo, e tam bém evitando a complexidade de um tratam en to ham iltoniano. Os resultados, testados para a

configuração de ilhas m agnéticas prim árias e satélites em plasmas confinados em Tokamak [Kucinski et al. 1992] e Pinch de Campo Reverso (R F P ) [Monteiro 1995 ] e perturbados por pares de hélices ressonantes, m ostraram -se bastan te satisfatórios .

O m étodo exige que a simplificação exposta n a [2.1] possa ser adotada; além disso, os campos em estudo devem exibir periodicidade (no caso, espacial) segundo duas escalas, um a ráp id a e um a lenta. A escolha adequada das coordenadas levará, por ocasião da aplicação da m édia segundo a escala rápida, ao desaparecim ento de certos detalhes da e stru tu ra m agnética, e é o que se deseja p ara que o sistem a possa se to rn a r integrável.

Porém , p a ra que os aspectos de interesse não sejam tam bém perdidos nesse processo, é fundam ental o cuidado quanto ao critério p ara esta escolha de coordenadas.

De início, é conveniente tom ar x 1 como um a coordenada radial ou, mais precisam ente, um a quantidade de superfície; assim, [2.3] fica em p arte simplificada quando se supõe nulo o cam po radial de equilíbrio

B \ = B 0 • V x 1 = 0 . [2.5]

Escolhida a variável radial x X> pode-se tom ar x 2 como a coordenada ignorável, ou seja, aquela segundo a qual o sistem a em equilíbrio exibe sim etria (no caso deste trabalho, tom a-se a variável helicoidal); assim, a perda de sim etria é caracterizada pela dependência em x 2 do cam po perturbativo b. P ara x 3 tom a-se o u tra coordenada relevante do sistem a (no caso, optou-se pela variável poloidal).

P a ra exprim ir o sistem a dado por [2.3] e [2.4] num a notação apropriada à aplicação do m étodo, deve-se considerar [2.1] e em seguida [2.5], obtendo, para b Bq-

d x 1 b1

d x * = B 3 + b3 b1

« ( ! + £ ) '

B 3 V B 3) [2.6]

dx 2 _ Bç + b2 _ B^q + 62y 1 , b3 \ ~ ' d x 3 B 3 + b3 B 3

(1 +* )

~ g ° + i l V i ( b³ \ u b 3 ) „ 7 1

B l l + V ~ B J + B3 B l B l ' ,2'71

onde B^q e bl representam os conjuntos de componentes contravariantes do cam po m agnético de equilíbrio e do cam po perturbativo, respectivamente.

Em resum o, a form a final do sistema, antes da aplicação do método, pode ser apre­

sentada, a p a rtir de [2.6] e [2.7], na forma

d X 1 r l / 1 2 , , 3

d x 3 = e f (X ,X ,X ) [2.8]

^ 3 = F 2( x 1,X 2) + e f 2( x \ x 2, X 3) , [2.9]

onde e é um p arâm etro adimensional, comparável a -g-j e introduzido p ara indicar o grau da aproxim ação (ao final dos cálculos pode ser feito e = 1); /* , F 2 e f 2 são funções dadas por

+ ’ -2 *10-

B 2

F - 4 ’ f2-11]

r2 b2 B l b3 r

£ / “ B l B l B l ■ l2 -121

O próxim o passo é to rn ar integrável o sistem a dado por [2.8] e [2.9] (pois até o m om ento só foram feitas pequenas modificações algébricas, a menos das suposições Bq = 0 e 6 Bq);

p ara tanto, proceder-se-á um a modificação no sistema, conforme o equacionam ento previsto no M étodo das Médias.

2.2. S is t e m a de eq u a çõ es m odificado

O sistem a dado por [2.8] e [2.9] não é integrável, visto a inexistência de um invariante ou integral do ’’m ovim ento” ; o método utilizado impõe ao referido sistem a determ inadas transform ações, de form a que se torne integrável e adm ita p o rtan to um a solução analítica

na form a de um a função de fluxo magnético, a qual fornecerá a descrição das superfícies m agnéticas médias. P a ra isso, são envolvidas coordenadas modificadas (x H x 3)) X2(x 3)iX3) que se ajustam ao modelo do novo sistema. Este deve assum ir a form a

= t(f'(x\x2 +X2,X1)> + 0(c2) [2.13]

^ = W . * ‘)) + OW, [2-14]

onde a notação

(f)(x \?) = l J L f(x',x2,x3)dx3 [2.15]

indica o procedim ento de m édia na função arbitrária / sobre um período L da variável

’’ráp id a” (no caso, x 3); a integração é conduzida com valores fixos de x*e x 2; a parcela x 2 n a [2.13] aparece em função de um a exigência que será apresentada m ais adiante e que diz respeito às correções de segunda ordem.

D esta forma, a complexidade do com portamento das linhas de cam po m agnético fica incorporada às novas coordenadas, proporcionando assim a integrabilidade do sistema.

E im portante ressaltar a interpretação dessas novas coordenadas: elas não representam posições aproxim adas, sendo mais correto dizer que apenas se aju stam ao sistem a aproxi­

mado; a notação x* foi escolhida porque essas variáveis decorrem de um m étodo envolvendo médias.

As correções referentes à diferença entre as coordenadas originais e as modificadas são expressas como

ÍX1(X1,X2,X3) = X1-X1, [2.16]

^ ( x 1,*2^ 8) = X2 -X2 -X^X1,*2^ 3) • [2.17]

A parcela x 2 é envolvida porque se exige que á x 1 e <^X2 sejam d a m esm a ordem; assim, a solução de prim eira ordem pode ser conseguida fazendo á x 1

= <^X2 =

2.3 S olu ção a p r o x im a d a

A fam ília de superfícies magnéticas médias é extraída como solução do sistem a modificado [2.13], [2.14] n a form a da função de fluxo

^ ( x S x 2) = constante ; [2.18]

ou, em pregando [2.16] e [2.17],

^ ( x 1 “ < ^x \x 2 ~ X2 ~ SX2) = constante . [2.19]

Os critérios apresentados por Kucinski et al. têm em vista, principalm ente, a inclusão dos fenômenos de ressonância n a solução de prim eira ordem, ou seja, mesmo fazendo ÍX 1 ~ S x 2 ~ 0 n a [2.19], a função de fluxo 4' descreverá, com boa aproxim ação, a con­

figuração das ilhas m agnéticas. P ortanto, a escolha adequada das coordenadas modificadas que constam no sistem a [2.13]/[2 .14] deve ser coerente com esses critérios.

P a ra apresentação das funções envolvidas nessa escolha, será utilizada um a notação sem elhante à de Morozov [Morozov e Solov’ev 1966], que inclui a convenção indicada na [2.15] e ainda:

{ f } { x \ x 2, X 3) = f ~ ( / ) , [2.2C1 / ( X \ X 2,X3) = { f { f } d X3 } =

J 0

= j f { f } d X3 - ( j T { f } d X3 ) [2.21]

onde / é um a função a rb itrá ria e { /} é cham ada parte oscilante de / , a qual descreve o com portam ento da função / a menos da parte fixa, dada pela m édia ( / ) conforme a [2.15].

A notação f d a [2.21] é definida devido ao aparecimento da referida operação em algumas etapas interm ediárias do desenvolvimento.

Dispondo d a notação d ad a em [2.15], [2.20] e [2.21], pode-se apresentar a formulação o p tad a por Kucinski et al. p ara a escolha de x \ X2i X2 e 4*. É preciso esclarecer que

certos detalhes d a formulação que se segue foram arbitrados tendo em vista resultados co­

erentes com o modelo estudado; o êxito conquistado por esse método pôde ser comprovado num ericam ente m ediante o traçado de m apas de Poincaré para a perturbação com hélices ressonantes [Kucinski et al. 1992]. No presente trabalho, será seguido o mesmo equaciona- m ento, porém orientado para o estudo da perturbação criada pelo lim itador ergódico na form a de anéis de corrente.

De início, m ostra-se adequado identificar a ”p arte oscilante” x 2 envolvida n a [2.19]

com um a função relacionada a g£; tom ando [2.11] e realizando a operação indicada em [2.21] tem-se

X2 = F 2( x 1,X3) . [2.22]

De [2.13] e [2.10] decorre diretam ente

£ - < * > ( ■ ♦ < * » '

A função de fluxo deve ser expressa pela superposição de duas parcelas, a prim eira (’F0) devida ao cam po de equilíbrio e a segunda ('F1) devida ao campo p ertu rb ativ o , na form a

+ [2.24]

De acordo com a definição de função de fluxo apresentada no apêndice C, o fluxo p ara o equilíbrio, que corresponde à solução do sistem a não-perturbado, pode ser escrito n a forma:

* V ) = J * {VêBKxKx3)} dx‘ . [2.25]

P a ra a parcela do fluxo referente ao campo perturbativo b, o m étodo recom enda a expressão

^ 1(X1,X2) = - ^ v ^ &1( x \ x 2>X3)<*x2^ , [2.26]

sendo c um a constante que pode ser arbitrada convenientemente de form a a anular a m édia (y/gb2( x x, c, x 3)), ou seja, segundo este método, a contribuição da componente do campo pertu rb ativ o n a direção correspondente à coordenada ignorável perde a relevância na estru tu ra m agnética descrita pela parcela do invariante aproxim ado \&1; conforme a [2.26], apenas o cam po perturbativo radial interfere n a formação das ilhas m agnéticas.

E sta foi a escolha ad o tad a por Kucinski et al. p ara o problem a de um plasm a toroidal perturbado por hélices ressonantes. Neste trabalho serão seguidos os mesmos critérios, adotando a form ulação acim a p ara a descrição das ilhas m agnéticas criadas pelos anéis de corrente. O objetivo é desenvolver os cálculos tom ando a solução de prim eira ordem , com S x X = <^X2 = 0 n a [2.19]. P a ra um estudo mais acurado, o emprego da solução de segunda ordem requer a integração das equações diferenciais que levam à obtenção das expressões p ara í x H x ^ X ^ X 3) e ^ X ^ x S x ^ X 3)» e 9ue constam em [Kucinski et al. 1992].

2.4. A p lica çã o e m co o r d e n a d a s toroidais polares helicoidais

Foi adotado o mesmo sistem a de coordenadas utilizado por Kucinski et al. [Kucinski et al. 1990] com a introdução de um a variável helicoidal, p ara descrever a e stru tu ra m agnética do plasm a p e rtu rb a d o (a explicação sobre essas coordenadas está incuída no apêndice B).

No referido sistem a, dito ’’toroidal polar” (pt ,6t,íp), as superfícies coordenadas pt — const são deslocadas no sentido do equador externo do Tokamak (um a seção (p = c o n s t, n a figura (B.5.b), ilu stra esse com portam ento), acom panhando m elhor a topologia das superfícies m agnéticas (fig. B.7)) em comparação com o sistem a de coordenadas pseudo-toroidais (fig* B.2.d)) ou com o de coordenadas toroidais convencionais (£, u>, <p) (fig. B.4)).

Contudo, ao longo de um a superfície magnética, pt não é exatam ente constante. P a ra que um a das três variáveis funcione como quantidade de superfície, será ad o tad a a variável po, constante ao longo da superfície magnética, e que difere de pt por um a pequena parcela dependente do coeficiente de assim etria do campo poloidal A [Kucinski et al. 1992] (o

parâm etro A(pt ) será exposto com mais pormenores no capítulo três). Uma opção possível é tom ar po igual ao valor de pt na posição $t = j d a superfície magnética. Além disso, para caracterizar a dupla periodicidade, é introduzida a variável helicoidal como escala lenta; a variavel poloidal, portanto, caracteriza a escala rápida. Tem-se assim:

X 1 = Po

X = u = m ô t - mp [2.27]

X3 = Ot , onde m e n são núm eros inteiros positivos.

Nesse contexto, a função F2 que será necessária para o equacionamento é, conforme a [2.8],

, 2 _ B 2 B 0 . V X2 B o - V u 1

F 2 = -=§■ = B 0(mdt - n<p) =

Bl B0 • Vx3 Bo • V9t Bo • V0í B^q • V ê t Bo • V<p

= m —---n — = m — nq , [2.281

Bo • V 6 t B o - V d t 1 J

onde ç(po>0t) é o fator de segurança local, descrito com pormenores no capítulo três e fornecido, no modelo de equilíbrio aqui empregado, por

q(po, Ot) = q(po) - q(po) cos $t , [2.29]

onde q e q representam respectivamente o valor médio (’’p arte fixa” ) e a ’’p arte oscilante”

do fator de segurança, conforme explicado no capítulo um.

Tem-se, p o rta n to , levando [2.29] em [2.28],

F 2 = m — nq + nq cos 6t . [2.30]

Tam bém será necessário antecipar o cálculo de {F2} e de F 2 ; aplicando [2.21], [2.20], e [2.15] em [2.30],

1 í 2n

( F 2) = — j (m - nq + nq cos 0t )d0t — m - nq ;. [2.31]

assim

{ F 2} = F 2 - ( F 2) = n q c o s 6 t , [2.32]

e, finalm ente,

F 2 = { I ( nqr°* cos ôt ) dêt} = {n q sen $t} = n q sen 6t — ( n q sen 6t ) , [2.33]

Jo

ou

F 2⁼ n q sen ê t , [2.34]

onde o fator q ( po)depende do modelo de equilíbrio, conforme será exposto no capítulo três.

Esse últim o resultado, levado na [2.26] ju ntam ente com o campo p ertu rb ativ o gerado pelos anéis de corrente (fornecido pelo capítulo quatro) e em seguida n a [2.24], com o fluxo de equilíbrio (dado no capítulo três), perm itirá a obtenção da função de fluxo que descreve as superfícies m agnéticas médias (capítulo cinco).

C A P ÍT U L O T R Ê S

M O D E L O D E E Q U IL ÍB R IO

Neste capítulo, são obtidas as expressões para as quantidades referentes ao equilíbrio.

Escolhido o modelo, particulariza-se para a situação de interesse, que envolve o perfil de corrente dado pelo ’’peaked model” em um plasm a com seção re ta aproxim adam ente circular, aplicando-se p ara os casos de superfícies m agnéticas internas ou externas à coluna de plasm a.

3.1. Ju stificativa para esco lh a do m o d elo

A solução da equação de Grad-Shafranov para o equilíbrio toroidal obtida analitica­

m ente por Shafranov [Shafranov 1960], quando aplicada aos parâm etros do T B R -1, leva a um fator de segurança medio cujo perfil radial q(p) é praticam ente uniform e dentro do plasm a, m ostrando um a variação aproxim ada de q(0) f» 3.8 até q ( a) » 4.2 , do eixo magnético até a superfície do plasm a [Okano 1990]. Observaçõesexperimentais dos modos MHD no T B R -1 indicaram um a variação que vai de ç(0) 1 até q ( a) « 3 [Vannucci e Gill 1989]; constata-se p o rtan to que o modelo de Shafranov não se m ostra adequado para descrever os diferentes modos m agnetohidrodinâm icos observáveis no T B R -1.

Uma solução que se a d a p ta ao perfil q ( p) que se tem em vista é aquela obtida por Kucinski et al. [Kucinski et al. 1990]. A equação de G rad-Shafranov é resolvida de form a aproxim ada, com distribuição de densidade de corrente arb itrária, considerando um plasm a com seção reta circular. E adotado um novo sistem a de coordenadas, dito toroidal polar {pti Oti A solução toroidal e escrita em termos da solução c de um plasm a cilíndrico, e em aproximação de ordem zero já inclui o efeito toroidal. Este novo sistema, cuja descrição porm enorizada pode ser encontrada no apêndice B, se reduz, no limite de

grande razão de aspecto 1 , ao sistema pseudo-toroidal (p, 0, ip = ^ ) . Este será o modelo adotado neste trabalho p ara descrever o equilíbrio.

3 .2 . S o lu ç ã o p a r a s e ç ã o r e t a e p e rfil d e c o r r e n te a r b i t r á r i o s

Tomando a equação de Grad-Shafranov em coordenadas generalizadas [C.16]e apli­

cando a m étrica e os componentes covariantes e contravariantes do tensor m étrico para o sistem a toroidal polar (pt, 0 t , p ) (obtidos por [B.37], [B.36] e [B.39]), esta assum e a forma

i d ( d ^ í \ i a 2$

p, dp, \ p' d p , ) + p

?

• / T \ Tl/ 2 d P ( p t Pt ■ 2 /I \ Pt COS 9t ( n d 2<$> 1 \

— Po j 3o (^ ) + PoRq cos 6t + ~ ~ 2 sm 6t 1-1 — ( 2 ■ 2 -|-—— 1 +

d ^ \ R'o R t f ) K \ d p i Pt d p t )

p tsin 6t ( 1 d # 2 d 2^

R' \ p2 d9t Pt dOtdptJ ’ [3’1]

onde

• / T X r, , 2 d P d pI I2

P o n o W = - PoRq > [ 1

e R!q é o raio m aior do sistem a, conforme explicado no apêndice B e definido por Rq = R o ( l — R? ) 2 • O cam po m agnético de equilíbrio tem suas componentes contravari­

antes radial e poloidal dadas por

= £ 0 . V , 1 = _ _ i _ ! * . [3.3.a]

1 d4>

= = 13'3'6]

e o cam po toroidal dado por:

B03 ~ R B V = —poI • [3.3.c]

A solução pro p o sta por Kucinski et al. envolve um a expansão da função 4/ cujo termo 4ro(pti^t), calculado n a aproxim ação de ordem zero de -gr, satisfaz

1 d ( d4>0 \ 1 d24>0 . . .

V ‘T ^ ) + = W3o(* o) • M

✓

E exigido que a últim a função de fluxo m agnético #0 coincida com a fronteira do plasm a, m ediante aplicação de condição de contorno de Dirichlet.

Pode ser observado que a equação [3.4] se m ostra idêntica em form a à equação de G rad-Shafranov no modelo cilíndrico [1.20], a menos das diferenças entre as coordenadas.

Como as condiçõesde contorno são as mesmas, a solução de um plasm a cilíndrico 'ífcip, @) pode ser to m ad a como a aproximação de ordem zero \Ifo(pt,6t) da solução ^°H(pt, &t) do plasm a toroidal, com a vantagem de que boa p arte dos efeitos da toroidalidade estarão incluídos nessa aproximação, através das coordenadas utilizadas. Cabe aqui ressaltar que a diferença de significados entre e ^ c ( p i ^ ) reside na não-coincidência das su­

perfícies coordenadas correspondentes.

Considera-se ainda as seguintes expansões p ara j30(*£) e nas quais í\l> = <]> — \I>0:

j s o W « h o ( * o ) + r- ^ - Í 3 o ( ^ o ) n SV ; '3.5' -uWo

dp(fr) _ dp(^o) r ^ M ^ o )

dtf ' d V 0 ' L dV* ^ - 6]

A correção de prim eira ordem mostra-se m uito pequena; quando aplicada aos parâm etros do T B R -1, desloca as superfícies m agnéticas por menos de 2% do seu raio médio [Kucinski et al. 1990].

Resum indo a notação adotada para as diferentes funções de fluxo: tra ta n d o do equilíbrio, é a solução de um plasm a cilíndrico, equivalente a que é a aproximação de ordem zero da solução tyjj de um plasm a toroidal (o sub-índice em \&o se refere a ordem de aproximação, ao passo que o super-índice em indica a ausência de perturbação e o sub-índice f f a sim etria helicoidal considerada). P ara o fluxo devido ao campo p erturbativo, e p a ra o fluxo total do sistem a pertu rb ad o (no capítulo cinco), serão usadas respectivam ente as notações e ^ ^h-

3.3 . A p lic a ç ã o a u m p la sm a co m seção a p r o x im a d a m e n te circular

P a ra o caso de seção reta aproximadam ente circular, considera-se 'ko independente de êt, e obtém -se a p a rtir de [3.4]:

~pt^pt = fJ'0^ 30^ 0^ = 5 [3-7]

onde foi tom ado p a ra o perfil de pressão em aproximação cilíndrica:

[3-s|

onde (3p é dado pela [1.15].

Escolhido o perfil de densidade de corrente, a solução desta equação fornece o term o de ordem zero \I/o da função de fluxo (neste trabalho, conforme será exposto n a seção seguinte, o perfil de corrente adotado é o chamado ’’peaked model” ). A correção de prim eira ordem é ob tid a por [Kucinski et al. 1990]:

M = % { p t ) c o s 6 t í -^ -A( p ) d p , [3.9]

JPt ^ 0

onde A(pt) é o coeficiente de assim etria do cam po poloidal, obtido de

H p t ) = \ u ( p t ) + ( 3 p - l , [3.10]

com

= ' r »r o2( p ) dp • [3.11]

1 P t % ( pt ) Jo

sendo ti a in d u tân cia in terna normalizada por unidade de comprimento [Mukhovatov 1971];

a linha n a função de fluxo indica sua prim eira derivada radial.

3 .4. P a r tic u la r iz a ç ã o para u m perfil co n h ecid o d a d en sid a d e d e corren te to r o id a l

Neste item serão obtidas todas as quantidades referentes ao cam po m agnético de equilíbrio, ta n to p a ra a região da coluna de plasm a como p ara a região com preendida entre a fronteira do plasm a e a parede interna do Tokamak.

3.4.a. Caso 0 < pt < a

Parte-se do perfil da densidade de corrente conhecido por ’’peaked m odel” sugerido por Egorov et al. p ara o caso 0 < pt < a [Egorov et al. 1987]:

^ ) = ( 7 + 1 ) ^ ( 1 - § ) \ [3.12]

onde Ip é a corrente de plasm a e 7 um núm ero positivo (pode-se observar n a figura (3.1, pag.46) que, com o aum ento de 7 , a [3.12] descreve o perfil radial de j v com um decaimento m ais pronunciado); o fator (7 + 1) ^ - representa o valor máximo da densidade de corrente, verificado próximo ao eixo magnético (pt = 0), e geralmente denotado por j 0. Em resumo, é um modelo de distribuição caracterizado por um pico de corrente bem definido no centro do plasm a.

Considerando 7 inteiro, a solução da equação de G rad-Shafranov encontrada por Okano foi [Okano, 1990]

*•(*> = ^ [I 1 - O - £)] + £[1 - (1 - %?) + • • • +

+ - + 7 Í í [ 1 - ( > - â ) ,+Il]' M

lem brando que # 0(pt) representa a aproximação de ordem zero da solução do plasm a toroidal, equivalente em form a a solução de um plasm a cilíndrico, conforme argum entado n a seção precedente, e R^q e o raio m aior do sistema, conforme esclarecido no apêndice B.

Derivando a [3.13] e levando n a [3.11] e em seguida na [3.10], é o b tida a expressão p ara o coeficiente de assim etria do campo poloidal A (pt) (necessário nesta eta p a por estar incluído n a expressão do perfil radial da cham ada ’’parte oscilante” ç(pt) do fator de segurança):

A(' >,) = 2 [! _ (! _ I1 - (* - % ) } + ■ ■ ■ + I1 - ( i - % T l )

7 T 2 [1 - (1 - § ) n + . . . + j i _ [ l - (1 - } + * - ! . (3.14]

A coordenada pt não é constante ao longo das superfícies m agnéticas = constante;

então será mais conveniente adotar um a coordenada que funcione como rótulo dessas su­

perfícies. Uma alternativa é a variável po> que difere de pt por um a pequena parcela que depende de A [Kucinski et al. 1992], conforme explicado n a seção (2.4). A dotando po como coordenada radial, pode-se tom ar os resultados, em aproximação de ordem zero, supondo p a ra todas as quantidades envolvidas que

f Í P t) = f(po + &Pt{ôt)) & f(po) , [3.15]

onde f( p t ) é um a função a rb itrária de pt.

Nesse modelo, o fator de segurança local, definido por dtp = B 0 • V y

dOt B 0 • V0t ^ ^

pode ser aproxim ado considerando sua dependência periódica em 6t como tendo a forma

9 = QÍP^o) ~ q(po) cos Bt , [3.17'

onde q é o fator de segurança médio, dado por

P^oB^q 1 .m m

Ro 1 1

sendo a m édia em Of do cam po poloidal fornecida em termos de \&o por

= [3.19]

1Í0

q é o cham ado valor m áxim o da p arte oscilante do fator de segurança, obtido a p a rtir de A(po) por [Kucinski et al. 1991]

q = q

R'0 ~ ( 2 + A(po)) ~ ~ í £ Hp) dp

a Po Jpo a [3.20]