A RELAÇÃO ENSINO/APRENDIZAGEM: UMA ANÁLISE METODOLÓGICA

(1)

Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Pôster 1

A RELAÇÃO ENSINO/APRENDIZAGEM: UMA ANÁLISE METODOLÓGICA Marcos José Traldi Pontifícia Universidade Católica de São Paulo marcost2004@gmail.com

Valdirene Rosa Pontifícia Universidade Católica de São Paulo valdirenerosa@hotmail.com

Resumo: A nossa pesquisa fundamenta-se no referencial teórico dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval (1999), que considera a importância da conversão de registros para a construção do conhecimento pelo aluno. O trabalho apresenta uma abordagem com Sistemas Lineares para alunos do segundo ensino médio com objetivo de como transitam entre os diversos registros. A Álgebra tem mais destaque que a Geometria nos currículos de Matemática atualmente, porém para muitos alunos ela é considerada muito difícil e abstrata. Em muitas aulas de álgebra, alunos continuam armazenando informações sem compreender realmente os conceitos algébricos e possivelmente sem conseguir usar seus conhecimentos em situações do dia-a-dia.

Palavras-chaves: Sistemas Lineares; Geometria; Tecnologia.

Falar de ensino/aprendizagem implica a compreensão de certas relações entre alguém que ensina, alguém que aprende e algo que é o objeto de estudo. Nessa tríade, professor- aluno-saber, existe a subjetividade do professor e dos alunos, que em parte é condicionadora do processo de ensino aprendizagem. Para compreender esta situação, tomamos o conceito de contrato didático que foi introduzido por Guy Brousseau (1980), para analisar as diversas relações. Esse contrato, que representa o “motor” para a aprendizagem, tem suas “clausulas” bastante implícitas. Elas se tornam explícitas somente quando ocorre o rompimento do contrato por uma das partes (professor ou alunos). Nesse contrato presente a subjetividade e a expectativa dos componentes humanos, portanto ele precisa ser renegociado continuamente em função dos objetos matemáticos que estão em jogo no processo de aprendizagem.

A ruptura unilateral pode levar à criação de verdadeiros obstáculos à aprendizagem.

Sobre o processo de ensino e aprendizagem, uma corrente bastante presente nas nossas salas de aula de Matemática, identifica ensino com transmissão de conhecimento, e

(2)

aprendizagem com mera recepção de conteúdos. Nessa concepção, a aprendizagem é vista como um acúmulo de conhecimentos, e o ensino baseiam-se essencialmente na

“verbalização” do conhecimento por parte do professor. Se por um lado essa concepção teórica apresenta a vantagem de se atingir um grande número de alunos ao mesmo tempo, visto que a atividade estaria a cargo do professor, por outro lado demanda alunos bastante motivados e atentos à palavra do professor, o que não parece ser o caso para grande parte de nossos alunos, que estão imersos em uma sociedade que oferece uma gama de outras motivações.

Uma outra corrente, ainda pouco explorada em nossos sistemas de ensino, transfere para o aluno, em grande parte, a responsabilidade pela sua própria aprendizagem, na medida em que o coloca como ator principal desse processo.

Ancorada nas concepções de aprendizagem, e fortemente articulada com o conceito de contrato didático, surge à idéia de transposição didática.

O conceito de transposição didática aparece intimamente ligado à idéia de contextualização, e ajuda a compreender a dinâmica de produção e circulação dos saberes que chegarão à escola. A contextualização não pode ser feita de maneira ingênua, visto que ela será fundamental para as aprendizagens a serem realizadas – o professor precisa antecipar os conteúdos que são objetos de aprendizagem. Em outras palavras, a contextualização aparece não como uma forma de “ilustrar” o enunciado de um problema, mas como uma maneira de dar sentido ao conhecimento matemático na escola.

A matemática e a tecnologia: “uso e abusos”

Não se pode negar o impacto provocado pela tecnologia de informação e comunicação na configuração da sociedade atual. Por um lado, tem-se a inserção dessa tecnologia no dia-a-dia da sociedade, a exigir indivíduos com capacitação para bem usá-la;

por outro lado, tem-se nessa mesma tecnologia um recurso que pode subsidiar o processo de aprendizagem.

Já pensando na tecnologia, há softwares como o Winplot e o geogebra, nos quais os alunos podem explorar e construir diferentes conceitos matemáticos.

Organização Curricular

Os documentos curriculares produzidos no âmbito das redes públicas do país servem como subsídios para a construção dos projetos pedagógicos das escolas. Mas documentos

(3)

são simples referências para discussão. A educação é um processo essencialmente social e político que se concretiza e avança com as necessárias mudanças no diálogo e nas ações de atores, em diferentes instâncias: alunos, professores, coordenadores e diretores de escolas;

professores formadores e gestores nas universidades; gestores nas Secretárias de Educação e no MEC.

Cada professor, junto com seus pares e seus alunos, deve definir o currículo de Matemática a ser colocado em ação, sempre buscando uma formação matemática que privilegie o essencial e o significativo.

No tratamento desses conteúdos, deve-se buscar o equilíbrio na atenção aos diversos ramos da Matemática. Deve-se, igualmente, afastar-se da compartimentalização e procurar ampliar as ocasiões de articulação entre os diferentes temas, atendendo a requisitos de diversidade, e lembrar-se de que um mesmo conceito matemático pode ser abordado em mais de um dos blocos de conteúdo. Documentos oficiais como os PCN do Ensino Fundamental (Brasil, 1998) discutem a organização dos conteúdos e enfatizam que a organização linear, que não leva em conta que para que o aluno se aproprie de um novo conhecimento é recomendável encontrar este conhecimento em diferentes momentos. Na organização em espiral, um conteúdo é abordado numa determinada série e é retomado em momentos posteriores para ser aprofundado.

Sendo amparadas no registro algébrico nos livros didáticos, e consequentemente, nas salas de aula, procuremos responder à seguinte questão: Em quais registros de representação semiótica estão sendo abordados os sistemas lineares no livro didático:

“Matemática Ensino Médio” de Smole e Diniz (Saraiva-2007) e quais as conversões de registros apresentadas nos exercícios resolvidos e nos exercícios propostos destes livros?.

Além de investigarmos os registros de representação semiótica no livro didático, consideramos importante estudar também alguns documentos oficiais como PCN (2002) e Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006), entre outros, para conhecer melhor as suas orientações sobre o tema sistemas lineares no Ensino Médio. As recomendações desses documentos que iremos analisar no livro didático são:

A retomada dos sistemas lineares com duas equações e duas incógnitas antes da abordagem dos sistemas com três equações e três incógnitas nos livros didáticos;

(4)

A abordagem histórica dos sistemas lineares nos livros didáticos;

As atividades que empregam o uso do computador nos livros didáticos;

O tratamento do registro algébrico nos livros didáticos.

Decidimos analisar o livro didático que está na lista dos recomendados pelo PNLEM-2007, livro este que é distribuído gratuitamente pelo Ministério da Educação (MEC) aos alunos do Ensino Médio.

A construção do instrumento

Para alcançarmos os objetivos acima indicados, construímos uma metodologia de análise utilizando um questionário com 4 questões, aplicados a 100 alunos do Ensino Médio, na Rede Estadual de Ensino, na cidade de São Paulo.

Na primeira questão, resolvemos aplicar a mesma que Freitas (1999) aplicou em sua pesquisa. A segunda e a terceira questões foram feitas para verificarmos se os alunos conseguiriam fazer a mudança de registro do algébrico para o registro gráfico e na quarta questão procuramos verificar se eles são capazes de fazer a mudança do registro geométrico para o registro algébrico.

A idéia principal deste questionário é se o aluno consegue visualizar sistemas lineares em diversos problemas e se consegue desenvolver utilizando as mudanças de registros.

Análise do instrumento: fundamentação Teórica Os registros de representação semiótica

Para Duval (apud Colombo e Moretti, 2007) aprender Matemática requer uma atividade cognitiva diferente daquela utilizada em outros domínios do conhecimento, assim as diferentes representações semióticas utilizadas em Matemática são muito importantes.

Neste trabalho, analisaremos os seguintes registros de representação semiótica: a língua natural, o registro algébrico e as representações gráficas.

Em qualquer atividade intelectual, na elaboração e na transformação de representações semióticas, é necessário distinguir dois tipos heterogêneos de transformação das representações: o tratamento e a conversão.

(5)

Duval (1999) afirma que “a originalidade da atividade de Matemática está na mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação e na possibilidade de trocar de registro de representação” e sustenta que para um saber matemático possa ser colocado em funcionamento, é necessário aprendê-lo em pelo menos dois registros de representação e saber coordenar esses registros.

Análise do livro didático

O livro analisado, é o volume 2 da coleção Matemática Ensino Médio, cujas autoras são Kátia S.Smole e Maria Inez Diniz, editado em 2003 pela editora Saraiva, está na 5ª edição e também foi indicado pelo PNLEM-2007. Além do texto, dos exercícios resolvidos e dos propostos, o livro também apresenta seções diferenciadas como “Flash Matemático”

que tem como objetivo ampliar o conhecimento do aluno; “Saia dessa” que propõe exercícios que levam o aluno a refletir sobre importantes temas da matemática; “Elo” que relaciona a Matemática com outras disciplinas e com o dia-a-dia do aluno, “Para Recordar”

que propõe exercícios cujo objetivo é retomar conteúdos estudados anteriormente e

“Invente você” que além de estimular a criatividade do aluno, algumas vezes propõe que este realize conversão de registro como por exemplo, quando fornece a equação x + y + z = 15 (registro algébrico) e sugere que o aluno elabore um problema (língua natural) que envolva a equação dada (Smole e Diniz, 2003, pp.125 e 126).

Smole e Diniz (2003) afirmam que o método proposto por Gauss consiste em efetuar algumas operações elementares com as linhas da matriz ampliada do sistema dado, transformando-o num sistema na forma escalonada, que é mais simples de ser resolvido e é equivalente ao primeiro.

No prefácio, as autoras afirmam que têm como objetivo, além de contemplar os conteúdos matemáticos pertinentes a esse nível de ensino, avançar para que a Matemática seja entendida sob dois aspectos: primeiramente, como linguagem das ciências a serviço das demais disciplinas e, em segundo lugar, aprofundar o olhar da Matemática como ciência, com sua forma de organizar conceitos e técnicas e de propor e resolver situações- problema. As autoras afirmam também que esperam que esta coleção reformulada possa mostrar a Matemática em todas as suas dimensões e proporcionar aos alunos aprendizagens valiosas e transformadoras.

(6)

Os Parâmetros Curriculares nacionais (PCN+) alertam para a importância de se retomar os conhecimentos anteriores ao abordar os sistemas com três equações e três incógnitas:

Com relação à álgebra, há ainda o estudo de equações

polinomiais e de sistemas lineares. Esses dois conteúdos devem receber um tratamento que enfatize sua importância cultural, isto é, estender os conhecimentos que os alunos possuem sobre a resolução de equações de primeiro e segundo graus e sobre a resolução de sistemas de duas equações e duas incógnitas para sistemas lineares 3 por 3 ... (Brasil, 2002, p.122).

Na resolução de sistemas lineares com duas equações e duas incógnitas algebricamente (método da adição) antes de abordar os sistemas com mais incógnitas.

Smole e Diniz (2003) apresentam três exercícios resolvidos, sendo o primeiro deles um sistema possível e determinado (possui uma única solução), o segundo um sistema impossível (não possui nenhuma solução) e o último exercício resolvido é um sistema possível e indeterminado (possui infinitas soluções). As autoras se preocupam em apresentar a interpretação geométrica desses três sistemas já resolvidos algebricamente. E propõem também exercícios de sistemas lineares com duas equações e duas incógnitas pare serem resolvidos algebricamente, geometricamente e classificados quanto ao número de soluções que eles apresentam.

Smole e Diniz (2003) apresentam dois métodos para a resolução de sistemas com três equações e três incógnitas: o método do escalonamento (método de Gauss) e a regra de Cramer e também apresenta a resolução desses sistemas através do método da adição e pelo método da substituição, método esses que já são conhecidos pelos alunos desde as séries finais do Ensino fundamental.

Como pudemos observar, o livro didático de Smole e Diniz (2003) têm como objetivo principal resolver, classificar e discutir os sistemas lineares com três equações e três incógnitas, mas apresentam também alguns sistemas cujo número de equações não é igual ao n Smole e Diniz (2003) após apresentarem os sistemas lineares com duas equações e duas incógnitas, propõem ao aluno a resolução de uma situação-problema contextualizada, no registro da língua natural, que recai num sistema linear com três equações e três incógnitas. As autoras se preocuparam em apresentar situações-problema desafiadoras, contextualizadas e que permitem ao aluno analisar dados, tomar decisões e

(7)

buscar “caminhos” para a sua resolução, tratam os sistemas lineares com três equações e três incógnitas utilizando-se do registro de representação da língua natural.

O estudo dos sistemas lineares no Ensino Médio é apresentado com maior freqüência no registro algébrico. Por este motivo, o seu aprendizado requer uma abstração para a qual o aluno talvez não tenha muita habilidade. Acreditamos que, sem relacionar o estudo algébrico com a representação gráfica, este pode tornar-se um estudo com pouco significado, apenas um roteiro de regras a serem seguidas e resoluções mecânicas, sem nenhuma interpretação.

Smole e Diniz (2003) apresentam a interpretação gráfica dos sistemas lineares com três equações e três incógnitas (três planos no espaço), mas estas abordagens são feitas de maneira distintas. As autoras apresentam uma explicação mais geral, mais condensada, abordando apenas seis possível casos – não cita o caso com dois planos coincidentes e um terceiro plano que intercepta estes dois segundo uma reta e caso de dois planos coincidentes e um terceiro plano paralelo e distinto dos anteriores – e não relaciona cada registro de representação gráfico com exemplos no registro de representação algébrico, isto é, não propõe a conversão do registro algébrico para o registro gráfico.

A importância primordial das representações semióticas – É suficiente observarmos a história do desenvolvimento da matemática para ver que o desenvolvimento das representações semióticas foi uma condição essencial para a evolução do pensamento matemático.

Uma situação-problema apresenta-se no registro de representação da língua natural e para resolvê-lo o aluno deve realizar uma conversão ou para o registro algébrico ou para o gráfico.

... Os sistemas lineares devem receber um tratamento que enfatize sua importância cultural, isto é, estender os conhecimentos que os alunos possuem sobre a resolução de equações de primeiro e segundo graus e sobre a resolução de sistemas de duas equações e duas incógnitas para sistemas lineares 3 por 3, aplicando esse estudo à resolução de problemas simples de outras áreas do conhecimento. (Brasil, 2002, p.122).

Documentos oficiais como o PCN+ (2002) e as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006) defendem que a aprendizagem de um novo conceito matemático deveria ocorrer a partir da apresentação de uma situação-problema ao aluno, que partindo

(8)

de seus conhecimentos já existentes, buscaria uma resolução para o problema, construindo assim sua aprendizagem e, na etapa final do processo, caberia ao professor formalizar esse novo conceito.

A resolução de problema é peça central para o ensino de Matemática, pois o pensar e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o indivíduo está engajado ativamente no enfrentamento de desafios. Essa competência não se desenvolve quando propomos apenas exercícios de aplicação dos conceitos e técnicas matemáticos, pois, neste caso, o que está em ação é uma simples transposição analógica ... (Brasil, 2002, p.112).

Construção de situações-problema Utilizando um pressuposto da engenharia didática.

A priori gostaríamos que os alunos do segundo Ensino Médio conseguissem aplicar algumas habilidades como, identificar, resolver, analisar e utilizar as diferentes representações matemáticas, bem como desenvolver o raciocínio dedutivo. Queríamos identificar se os alunos conseguiram resolver os sistemas lineares não só pelo registro algébrico que são trabalhados com maior enfoque.

Na aplicação do questionário (anexo 1) foram poucas as duvidas, por terem um conhecimento prévio e por que também trabalharam com softwares relacionados com o assunto.

A maioria dos alunos conseguiu identificar, resolver, analisar e utilizar as diferentes representações matemáticas. Analisaram a primeira questão e conseguiram resolver sem muitas dificuldades. Na segunda e terceira questão onde os alunos teriam que mudar do registro algébrico para o geométrico e fazer comparações, se saíram muito bem, conseguiram identificar e muito comentaram sobre estes gráficos trabalhados nas funções polinomiais do primeiro grau, lembraram ainda que já resolvessem sistemas lineares nas séries finais do ensino fundamental. Na quarta questão onde temos que passar do registro geométrico para o registro algébrico, também não encontraram dificuldade em interpretar e mudar de registro.

Conclusão

(9)

Partindo da hipótese de que os sistemas lineares são trabalhados com maior enfoque no registro algébrico, tivemos o interesse de fazer um uma pesquisa sobre o assunto e uma análise de um livro.

Analisamos algumas pesquisas já existentes, entre elas Machado (1996), Freitas (1999) e Karrer (2006), neste último aplicamos uma mesma questão, verificamos que tivemos um índice de acerto superior ao que foi levantado por Karrer (2006).

No livro didático analisado, verificamos que além de trabalhar em espiral ele também demonstra e resolve as atividades propostas com mudança de registros.

Os alunos não encontraram dificuldades em resolver os sistemas lineares, pois souberam utilizar as mudanças de registros, isto se deve ao fato dos discentes terem aulas sobre o assunto utilizando a informática. A tecnologia se demonstrou, nessa pesquisa, de suma importância, para o processo de aprendizagem matemática, pois verificamos que os alunos conseguiram resolver e fixar os conhecimentos adquiridos de forma mais satisfatória utilizando os saberes informacionais.

Referência

BRASIL. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares

Nacionais+ (PCN+) – Ciência da Natureza, Matemática e suas Tecnologia. Brasília: MEC, 2002.

_____________. Secretaria de Educação Básica. Ciências da Natureza, Matemática e suas tecnologias. – Orientações Curriculares para o Ensino Médio; volume 2. Brasília: MEC, 2006.

_____________. Secretaria de Educação Média e Tecnologia. Parâmetros Curriculares nacionais (PCN) – Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologia. Brasília: MEC, 2000.

_____________. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:

Matemática / Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC / SEF, 1998.

_____________. Secretaria da Educação Média e Tecnologia. Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio – Matemática (PNLEM). Brasília: MEC, 2005.

(10)

ALMOULOUD, Saddo Ag. Fundamentos da didática da matemática. Curitiba, PR: UFPR, 2007.

MACHADO, Silvia Dias Alcântara (org). Aprendizagem em matemática. Campinas, SP.

Papirus, 2003.

KARRER, M. Tese de Doutorado: Articulação entre álgebra Linear e Geometria – Um estudo sobre as Transformações Lineares na Perspectiva dos Registros de Representação Semiótica. PUC-SP: 2006.

FREITAS, I.M. Dissertação de Mestrado: Resolução de Sistemas Lineares Parametrizados e seu Significado para o Aluno. PUC-SP: 1999.

LINS, R e GIMENEZ, J. Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o Século XXI.

Campinas, SP: Papirus, 2001

DUVAL, R. Registros de Representações Semióticas e Funcionamento Cognitivo da Compreensão em Matemática in MACHADO, S.D.A.(org) Aprendizagem de Matemática, Registros de Representações Semióticas. Campinas, SP: Papirus, 2003.

FERREIRA, M.C.C. e GOMES, M.L.M. Sobre o Ensino de Sistemas Lineares. In: RPM, nº 32. São Paulo: Sociedade Brasileira de Educação, 1996.

SILVA, U.A. Dissertação de Mestrado: Análise da Abordagem de Função adotada em livros Didáticos de Matemática da Educação Básica. PUC-SP:2007.

ARAUJO, C.C.B. Dissertação de Mestrado: A Matemática no Livro Didático de Álgebra Linear. PUC-SP: 2002.

PIRES, C.M.C. Currículos em Matemática: da organização linear à idéia de rede. São Paulo: FTD, 2000.

_____________. Implementação de inovações curriculares em matemática e embates com concepções, crenças e saberes de professores: breve retrospectiva histórica de um problema a ser enfrentado in Revista Iberoamericana de Educação Matemático-Dezembro de 2007 – número 12.

(11)

SMOLE, K.S. e DINIZ, M.I. Matemática: Ensino Médio. Vol.2. São Paulo: Saraiva, 2003.

Sites visitados:

http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ensmed/port_1818.pdf

http://www.sbem.com.br/files/ix_enem/comunicação_cientifica/trabalhos/CC86989073934T.doc http://math.exeter.ed/rparris/winplot.html

http://www.geogebra.org.br http://www.fnde.gov.br