Hewlett-Packard
Ano 2016
LOGARITMO
Aulas 01 a 08
Sumário
LOGARITMO ... 2 PRELIMINAR 1 ... 2 LOGARITMO ... 2 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 2 CONSEQUÊNCIAS ... 2 CONSEQUÊNCIAS ... 2 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 3 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS ... 3 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS ... 3 PRODUTO ... 3 DIVISÃO ... 3 POTENCIAÇÃO ... 3 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 3 MUDANÇA DE BASE ... 4 MUDANÇA DE BASE ... 4 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 4 CONSEQUÊNCIAS ... 4 EQUAÇÃO LOGARÍTMICA ... 4 EQUAÇÃO LOGARÍTMICA ... 4 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 4 EXTRA ... 5 GABARITO ... 5 EXTRA ... 5 Função Logarítmica ... 5 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 5O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO LOGARÍTMICA ... 5
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ... 6
DOMÍNIO ... 6
DOMÍNIO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA ... 6
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ... 6
GRÁFICOS POR TRANSLAÇÃO... 6
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ... 7
INEQUAÇÃO ... 7
EXTRA ... 8 GABARITO ... 8 EXTRA ... 8 CAIU NO VEST ... 8 QUESTÕES EXTRAS ... 9 GABARITO ... 11 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 11 CAIU NO VEST ... 11 QUESTÕES EXTRAS ... 11
AULA 01
LOGARITMO
PRELIMINAR 1
A população de uma bactéria dobra a cada hora. Qual é o tempo necessário para que a população octuplique?
2𝑥 = 8 ⇔ 2𝑥 = 23⇔ 𝑥 = 3
Observe que no problema estamos em busca do valor do expoente 𝑥. Vamos criar um operador que irá facilitar esse tipo de conta.
LOGARITMO
Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+∗ e 𝑎 ≠ 1.O logaritmo de 𝒃 na base 𝒂 é o expoente 𝒙 que deve se elevar 𝑎 para se obter 𝑏, ou seja
𝐥𝐨𝐠
𝒂𝒃 = 𝒙 ⇔ 𝒂
𝒙= 𝒃
• 𝒂: base do logaritmo • 𝒃: logaritmando • 𝒙: logaritmo
Exemplo 1.1: Na expressão log28 = 3, temos que:
• 2 é a base
• 8 é o logaritmando • 3 é o logaritmo.
Exemplo 1.2: Abaixo estão calculados alguns
logaritmos, lembre-se que o logaritmo é a busca pelo expoente. log28 = 3 log39 = 2 log5 1 25= −2
Note que no exemplo acima foi possível determinar o valor dos logaritmos sem elaborar a conta. Porém, na maioria dos casos vamos utilizar a definição e resolver a equação exponencial. Exemplo 1.3: log0,50,25 = 𝑥 ⇔ 0,5𝑥= 0,25 ⇔ ( 1 2) 𝑥 = (1 2) 2 ⇔ 𝑥 = 2 Portanto, log0,50,25 = 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
1.1. Calcule o valor dos seguintes logaritmos.a) log216 b) log381 c) log 100000 d) log4128 e) log36√6 f) log0,2√253 g) log 0,01
Obs.1: A notação log 𝑎 denota o logaritmo na base
10, ou seja, log 𝑎 = log10𝑎.
1.2. Sabendo que log 𝑎 = 2 e log 𝑏 = −1, calcule a) log𝑏𝑎
b) log𝑎𝑏2
c) log 𝑎 ∙ 𝑏
AULA 02
CONSEQUÊNCIAS
Da definição de logaritmo, seguem algumas consequências diretas que simplificam a resolução de alguns logaritmos.
CONSEQUÊNCIAS
Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+∗ e 𝑎 ≠ 1. I. 𝐥𝐨𝐠𝒂𝟏 = 𝟎. II. 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒂 = 𝟏. III. 𝒂𝐥𝐨𝐠𝒂𝒃= 𝒃 IV. 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒃 = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒄 ⇔ 𝒃 = 𝒄Obs.2: As consequências 𝑖) a 𝑖𝑣) são propriedades que
devem ser utilizadas para facilitar e encurtar a resolução de exercícios.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
2.1. Demonstre as consequências. 2.2. Calcule: a) 4log42 b) 51−log54 c) 8log227 d) 𝑒ln 3 e) 5 log257Obs.3: A notação ln 𝑎, denota log𝑒𝑎, onde 𝑒 é o
número de Euler e este logaritmo é chamado de
logaritmo natural ou neperiano.
AULA 03
PROPRIEDADES
OPERATÓRIAS
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
Vamos agora estudar as propriedades operatórias que envolvem o logaritmo. Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ+∗, 𝑎 ≠ 1 e 𝑟 ∈
ℝ.
PRODUTO
𝐥𝐨𝐠
𝒂(𝒃 ∙ 𝒄) = 𝐥𝐨𝐠
𝒂𝒃 + 𝐥𝐨𝐠
𝒂𝒄
Exemplo 3.1:
log2(4 ∙ 8) = log24 + log28 = 2 + 3 = 5 Obs.4: ATENÇÃO! log𝑎(𝑏 + 𝑐) ≠ log𝑎𝑏 ∙ log𝑎𝑐, ou
seja produto “dentro” vira soma “fora”, mas soma “dentro” não vira produto “fora”.
DIVISÃO
𝐥𝐨𝐠
𝒂(
𝒃
𝒄
) = 𝐥𝐨𝐠
𝒂𝒃 − 𝐥𝐨𝐠
𝒂𝒄
Exemplo 3.2: log2 4 8 = log24 − log28 = 2 − 3 = −1Obs.5: ATENÇÃO! log𝑎𝑏 − 𝑐 ≠ log𝑎𝑏
log𝑎𝑐, ou seja divisão
“dentro” vira subtração “fora”, mas subtração “dentro” não vira divisão “fora”.
POTENCIAÇÃO
𝐥𝐨𝐠
𝒂(𝒃
𝒓) = 𝒓 ∙ 𝐥𝐨𝐠
𝒂𝒃
Exemplo 3.3:
log248= 8 ∙ log24 = 8 ∙ 2 = 16
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
3.1. Demonstre as propriedades operatórias.3.2. Sabendo que log 2 = 𝑎 e log 3 = 𝑏, calcule em função de 𝑎 e 𝑏: a) log 6 b) log 1,5 c) log 5 d) log 72 e) log √1,83 f) log 0,75
3.3. Sabendo que log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, calcule o valor de: a) log 72 b) log181 c) log √24 d) log √243 e) log 0,06 f) log 48 g) log 125 Tarefa 2: PSA 5, 8, 9, 10, 11, 12. DESAFIO: PSA 13 Propriedades operatórias
Em grande parte das questões em que se utilizam as propriedades operatórias será dado no enunciado alguns valores de logaritmos. Procure reescrever os valores solicitados utilizando produto, divisão e
potências dos valores conhecidos. Por exemplo, se o
enunciado dá os valores de log 2 = 𝑎 e log 3 = 𝑏 e solicita log 6, reescreva:
log 6 = log(3 ∙ 2) = log 3 + log 2 = 𝑎 + 𝑏 FIXAÇÃO: PSA 6, 7
AULA 04
MUDANÇA DE BASE
MUDANÇA DE BASE
Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ+∗, 𝑎 ≠ 1 e 𝑐 ≠ 1, temos que:
𝐥𝐨𝐠
𝒂𝒃 =
𝐥𝐨𝐠
𝒄𝒃
𝐥𝐨𝐠
𝒄𝒂
Exemplo 4.1: • log23 = log53 log52. • log23 =log 3 log 2. • log23 =ln 3ln 2.EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
4.1. Sabendo que log 2 = 0,3, log 3 = 0,48 e log 5 = 0,7, calcule o valor de:
a) log32 b) log53 c) log25 d) log3100
CONSEQUÊNCIAS
Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+∗ e 𝑎 ≠ 1. I. 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒃 = 𝟏 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒂. II. 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒓𝒃 = 𝟏 𝒓∙ 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒃.4.2. Demonstre as consequências acima.
AULA 05
EQUAÇÃO
LOGARÍTMICA
EQUAÇÃO LOGARÍTMICA
Temos dois principais tipos de equações logarítmicas:
1º) Equações redutíveis a uma igualdade entre dois logaritmos de uma mesma base.
𝐥𝐨𝐠
𝒂𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠
𝒂𝒈(𝒙) ⇔ 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) > 0
Exemplo 5.1: log4(𝑥 − 1) = log4(2𝑥 − 3) ⇔ 𝑥 − 1 = 2𝑥 − 3 > 0 𝑥 − 1 = 2𝑥 − 3 ⇔ 𝑥 = 2 Verificando, 𝑥 = 2 ⇒ 𝑥 − 1 = 1 e 2𝑥 − 3 = 1. Logo, 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) = 1 > 0.2º) Equações redutíveis a uma igualdade entre um logaritmo e número real.
𝐥𝐨𝐠
𝒂𝒇(𝒙) = 𝒓 ⇔ 𝒇(𝒙) = 𝒂
𝒓Exemplo 5.2:
log2(𝑥 − 3) = 4 ⇔ 𝑥 − 3 = 16 ⇔ 𝑥 = 19 Obs.5: Ao resolver equações logarítmicas, devemos
verificar as condições de existências, por isso exigimos que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) > 0.
Obs.6: Em algumas questões será necessário utilizar
mudança de base e propriedades operatórias.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
5.1. Resolva em ℝ, as seguintes equações.a) log5(𝑥 + 4) = log57
b) log2(4𝑥 + 5) = log2(2𝑥 − 11)
c) log(5𝑥2− 6𝑥 + 16) = log(4𝑥2+ 4𝑥 − 5)
Tarefa 3: No capitulo de “Equação e propriedades”
ler páginas 1 a 3 e fazer os PSA 1 a 11, 13, 14, 16 e 19. DESAFIO: 17
Quando e por que mudar a base?
Como já vimos em propriedades operatórias o enunciado de algumas questões dão os valores de certos logaritmos. Uma das principais utilidades da mudança de base é para ajustar a base do logaritmo que se deseja calcular com a base dada no enunciado. A questão 4.1 exemplifica bem está situação.
Tarefa 4: No capitulo de “Equação e propriedades”
d) log2(𝑥 − 2) + log2𝑥 = 3
e) log4(𝑥 + 3) = 2
f) log49(7𝑥) = log𝑥7
DESAFIO: (𝐥𝐨𝐠𝟐𝒙)𝟐− 𝟏𝟓 = 𝟐 𝐥𝐨𝐠𝟐𝒙.
EXTRA
1. Resolva, em ℝ, as equações logarítmicas a seguir.
a)
2
4 4 log x 5x log 6 b) logx4
4x 13
2 c)
log3x
2 6 log3x 9 0 d) log2
x 2
log2
x 2
5e) log3
x 1
log 23
x 1
log3
x 3
3f) 25 3 log 5 log 2 x x
GABARITO
EXTRA
1.1. a) 3 e 2 b) ∅ c) 27 d) 6 e) 10 e 4 f) 5 e 25AULA 06
Função Logarítmica
Uma função 𝑓: ℝ+∗ → ℝ é denominada função
logarítmica de base a se sua lei, 𝑓(𝑥), puder ser
escrita como 𝑓(𝑥) = log𝑎𝑥, com 𝑎 ∈ ℝ+∗ e 𝑎 ≠ 1.
Exemplos: 1) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = log2𝑥 3) 𝑦 = 𝑔(𝑥) = ln 𝑥 2) 𝑦 = ℎ(𝑥) = log1 3 𝑥
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
6.1. Dada a função 𝑓: ℝ+∗ → ℝ; 𝑓(𝑥) = log5𝑥,
determine: a) 𝑓(125). b) 𝑓(−5). c) 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓); 𝑓(𝑥) = −1.
O GRÁFICO DE UMA
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Vamos começar o estudo do gráfico de uma função logarítmica por meio de dois exemplos:
Exemplo 1
Gráfico de 𝒇: ℝ+∗ → ℝ 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐𝒙.
Para construir o gráfico de f escolhemos alguns valores para x e, em seguida, descobrimos os valores de 𝑦 = 𝑓(𝑥) correspondentes. Veja os pares ordenados obtidos, na tabela a seguir.
x 𝑦 = 𝑓(𝑥) (𝑥; 𝑦) 1 4 -2 𝐴 (1 4 ; −2) 1 2 -1 𝐵 ( 1 2; −1) 1 0 𝐶(1; 0) 2 1 𝐷(2; 1) 4 2 𝐸(4; 2)
Marcando os pontos da última coluna da tabela em um plano cartesiano, pudemos construir o seguinte gráfico:
Obs.1: Repare que𝑥 > 0. Por isso, o gráfico de f nunca
irá tocar o eixo das ordenadas, por mais que ele se aproxime deste. Quando isso ocorre com uma curva, dizemos que ela é assintótica ao eixo das ordenadas.
Exemplo 2
Gráfico de 𝒈: ℝ → ℝ , 𝒄𝒐𝒎 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟏 𝟐
𝒙.
Para construir o gráfico de g escolhemos alguns valores para x e, em seguida, descobrimos os valores de 𝑦 = 𝑔(𝑥) correspondentes. Veja os pares ordenados obtidos, na tabela a seguir.
x 𝑦 = 𝑔(𝑥) (𝑥; 𝑦) 1 4 2 𝐴 (1 4 ; 2) 1 2 1 𝐵 (1 2; 1) Tarefa 5: No capitulo de “Equação e propriedades”
1 0 𝐶(1; 0)
2 -1 𝐷(2; −1)
4 -2 𝐸(4; −2)
Marcando os pontos da última coluna da tabela em um plano cartesiano, pudemos construir o seguinte gráfico:
De um modo geral, o gráfico de uma função logarítmica
f, tal que 𝑓(𝑥) = log𝑎𝑥, com 𝑎 ∈ ℝ+∗ e 𝑎 ≠ 1,
apresentará algumas características. São elas: 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙
0 < 𝒂 < 1 𝒂 > 1
Decrescente Crescente
Passa pelo ponto (1, 0) Passa pelo ponto (1, 0)
Assintótica ao eixo das
ordenadas
Assintótica ao eixo das
ordenadas
I. Todo o gráfico estará à direita do eixo das ordenadas, devido à condição de existência do logaritmo.
II. O gráfico sempre passa pelo ponto (1, 0), pois
log𝑎1 = 0 para todo 𝑎 ∈ ℝ+∗, 𝑎 ≠ 1.
III. Se 𝒂 > 1, então o gráfico será crescente e se
0 < 𝒂 < 1, então o gráfico será decrescente.
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL
6.2. Construa em um mesmo sistema de eixos perpendiculares 𝑥𝑂𝑦, o gráfico de cada função exponencial a seguir.
a) 𝑓: ℝ+∗ → ℝ; 𝑓(𝑥) = 2𝑥
b) 𝑔: ℝ+∗ → ℝ; 𝑔(𝑥) = log2𝑥
Obs.2: Perceba que o gráfico da função logarítmica é
uma reflexão do gráfico da função exponencial de mesma base através da reta 𝑦 = 𝑥.
AULA 07
DOMÍNIO
DOMÍNIO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Primeiramente, vamos lembrar que um logaritmo possui algumas condições de existência:𝐥𝐨𝐠𝒂𝒃 existe se, e somente se, {
𝒃 ∈ ℝ+∗
𝒂 ∈ ℝ+∗ 𝒆 𝒂 ≠ 𝟏
O domínio de uma função logarítmica é determinado pelas suas condições de existência
Exemplo 7.1:
Dada a função 𝑓: 𝐴 → ℝ ; 𝑓(𝑥) = log3(𝑥 − 5), temos
que o maior domínio possível para a função, ou seja, o maior conjunto 𝐴 é determinado pela condição de existência:
𝑥 − 5 > 0 ⇒ 𝑥 > 5. Assim,
𝐴 = { 𝑥 ∈ ℝ |𝑥 > 5}.
Obs.1: Lembre-se que quando uma questão solicitar o
domínio, ela deseja saber o maior possível.
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL
7.1. Estabeleça o domínio de cada uma das funções cuja a lei é dada por:
a) 𝑔(𝑥) = log5(𝑥 − 1).
b) ℎ(𝑥) = log𝑥−1(3 − 𝑥).
c) 𝑓(𝑥) = log4(𝑥2− 9) .
GRÁFICOS POR TRANSLAÇÃO
Assim como ocorre no estudo de funções exponenciais, podemos estender a função logarítmica para uma caso mais geral, cuja lei é uma expressão do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑏 + log𝑎(𝑥 − 𝑐). Os valores de 𝑏 e 𝑐 fazem
movimentos de translação vertical e horizontal, respectivamente.
Vamos construir em um mesmo plano cartesiano 𝑥𝑂𝑦 o gráfico das funções 𝑔: 𝐴 → ℝ; 𝑔(𝑥) = 2 + log2𝑥 e
𝑓: 𝐴 → ℝ; 𝑓(𝑥) = log2𝑥
Observe que, o gráfico da função 𝑔 é uma translação vertical em duas unidades do gráfico da função 𝑓.
De um modo geral, o gráfico de uma função 𝑓: ℝ+∗ →
ℝ ; 𝑓(𝑥) = 𝐵 + log𝑎𝑥, com 𝑎 ∈ ℝ+∗ e 𝑎 ≠ 1, será a
translação do gráfico da função 𝑔(𝑥) = log𝑎𝑥 em:
• B unidades para cima, se 𝑩 > 0, • |𝑩| unidades para baixo, se 𝑩 < 0.
Exemplo 7.3:
Vamos construir em um mesmo plano cartesiano 𝑥𝑂𝑦 o gráfico das funções 𝑔: 𝐴 → ℝ; 𝑓(𝑥) = log2(𝑥 + 2) e
𝑓: 𝐵 → ℝ; 𝑓(𝑥) = log2𝑥
Observe que, o gráfico da função 𝑔 é uma translação horizontal em duas unidades do gráfico da função 𝑓. Mais do que isso, a assíntota de 𝑔 é a reta 𝑥 = −2.
De um modo geral, o gráfico de uma função 𝑓: 𝐴 → ℝ ; 𝑓(𝑥) = log𝑎(𝑥 − 𝑐), com 𝑎 ∈ ℝ+∗ e 𝑎 ≠ 1, será a
translação do gráfico da função 𝑔(𝑥) = log𝑎𝑥 em:
• 𝒄 unidades para direita, se 𝑪 > 0, • 𝒄 unidades par a esquerda, se 𝑪 < 0.
Obs.2: O movimento de translação vertical do caso
log𝑎(𝑥 − 𝑐) ocorre devido ao domínio da função:
𝑥 − 𝑐 > 0 ⇒ 𝑥 > 𝑐
Obs.3: No caso 𝑓: 𝐴 → ℝ ; 𝑓(𝑥) = log𝑎(𝑥 − 𝑐), a
assíntota é a reta 𝑥 = 𝑐.
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL
7.2. (UNICAMP – 2014) A altura (em metros) de um arbusto em uma dada fase de seu crescimento pode ser expressa pela função ℎ(𝑡) = 0,5 + log3(𝑡 + 1),
onde o tempo 𝑡 ≥ 0 é dado em anos:
a) Qual o tempo necessário para que a altura aumente de 0,5𝑚 para 1,5m.
b) Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase de desenvolvimento, tem sua altura expressa pela função composta 𝑔(𝑡) = ℎ(3𝑡 + 2). Determine 𝑔(𝑡) − ℎ(𝑡).
AULA 08
INEQUAÇÃO
INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA
Assim como ocorre no estudo de inequações exponenciais, as inequações logarítmicas são determinadas de acordo com crescimento das funções que as representam. Então, lembremos que:
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙
0 < 𝒂 < 1 𝒂 > 1
Decrescente Crescente
Passa pelo ponto (1, 0) Passa pelo ponto (1, 0)
Assintótica ao eixo das
ordenadas
Assintótica ao eixo das
ordenadas
Tarefa 5: No capitulo de “Função logarítmica” fazer
Assim, satisfeita a condição de existência, 𝑥 > 0, temos os seguintes casos: • Se 𝒂 > 1, então
𝐥𝐨𝐠
𝒂𝒙
𝟏< 𝐥𝐨𝐠
𝒂𝒙
𝟐⇔ 𝒙
𝟏< 𝒙
𝟐 • Se 0 < 𝒂 < 1, então𝐥𝐨𝐠
𝒂𝒙
𝟏< 𝐥𝐨𝐠
𝒂𝒙
𝟐⇔ 𝒙
𝟏> 𝒙
𝟐EXERCÍCIO FUNDAMENTAL
8.1. Resolva, em ℝ, as inequações a seguir.a) log2(𝑥 − 1) < log23 b) log1 3 𝑥 ≤ log1 3 2 c) log3𝑥 > 2
d) log2(𝑥 − 1) + log2(𝑥 + 2) ≥ log2(−𝑥 + 13)
e) log0,1𝑥 + log0,1(𝑥 − 2) < log0,1(𝑥 + 10)
EXTRA
1. Resolva, em ℝ, as inequações logarítmicas a seguir. a) log4𝑥 < 1 b) log2 5 𝑥 ≥ 1 c) log3(2𝑥 − 7) > log35 d) log0,3𝑥 ≤ log0,3(−𝑥 + 3)
e) log2(𝑥 − 1) + log2(𝑥 + 2) ≥ log2(−𝑥 + 13)
f) log0,1𝑥 + log0,1(𝑥 − 2) < log0,1(𝑥 + 10)
g) log32𝑥 − 3 ≥ 2 log3𝑥 h) log1 2 𝑥2< log1 2 (𝑥 + 2)
GABARITO
EXTRA
a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|0 < 𝑥 < 4} b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|0 < 𝑥 ≤2 5} c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 6} d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|32≤ 𝑥 < 3} e) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|3 ≤ 𝑥 ≤ 13} f) 𝑆 + {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 5} g) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|0 < 𝑥 ≤13𝑜𝑢 𝑥 ≥ 27} h) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|−2 < 𝑥 < −2 𝑜𝑢 𝑥 > 2}EXTRA
CAIU NO VEST
1) UnB – 2015) Com relação aos logaritmos, julgue o item abaixo.
1. Se a medida do lado de um quadrado for log3𝑥
unidades de comprimento e se a diferença entre o valor da área e o valor do perímetro desse quadrado for igual a 5, então 𝑥 > 240.
2) (UnB – 2012) De acordo com o jornal The
Guardian, o investimento em energia renovável
vem crescendo maciçamente nos últimos anos. Em 2011, as cifras chegaram a 𝑈𝑆$ 252 bilhões, acréscimo significativo em relação ao ano anterior. Em comparação com 2009, o incremento foi de mais de 40%. O investimento em energia renovável, em bilhões de dólares pode ser obtido para 𝑡 anos após 2009, a partir da expressão 𝐼(𝑡) = 175𝑒𝑘𝑡, em que 𝑘 > 0 é uma constante.
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir, assumindo 0,69; 1,1 e 1,61 como valores aproximados de ln 2, ln 3 e ln 5, respectivamente.
1. Na expressão que representa o investimento em energia renovável, a constante 𝑘 é igual a 0,18.
2. Os dados permitem estimar que, 2014, o investimento em energia renovável será superior a 𝑈𝑆$ 450 bilhões.
Como resolver inequações logarítmicas
O seguinte passo-a-passo facilita a resolução de inequações logarítimicas:
1º) Reduza ambos os membros a uma base comum 2º) Avalie o valor da base (maior ou menor que 𝟏) 3º) Aplique a respectiva definição feita acima.
Note que para reduzir ambos os membros a uma base comum, pode ser necessário fazer uso de alguns artifícios. Por exemplo, 𝑏 = log𝑎𝑎𝑏.
3. Em 2011, o investimento em energia renovável foi 44% maior que em 2009. 3) (UnB – 2014) A exposição prolongada dos
astronautas a fontes de radiações no espaço pode ter efeitos no corpo humano e levar à morte. Considere que uma fonte de radiação emita raios com intensidade cada vez maior ao longo do tempo. Considere, ainda que o valor da intensidade – 𝑆(𝑡) - seja determinado, em 𝑚𝑆𝑣 (milisieverts), pela função 𝑆(𝑡) = 3400 − 3240× 3−10𝑡, em que 𝑡, em horas, indica o momento em
que as mediações começaram a ser feitas, a partir do instante 𝑡 = 0.
1. A intensidade de radiação igual a 2000 𝑚𝑆𝑣 é atingida em 𝑡 = 40 − log33510.
2. Em algum momento, a intensidade de radiação irá superar 4000 𝑚𝑆𝑣.
3. Vinte horas após o início da medição, a intensidade da radiação será inferior a 3000 𝑚𝑆𝑣.
4) (ITA – 2011) Resolva a inequação 16 < (1 4) log1 5 𝑥2−𝑥+19 em ℝ.
4. (PAS – 2013) Em 1798, o economista britânico Thomas Malthus formulou uma teoria populacional que conduzia à previsão de um apocalipse de fome e guerra, caso a população humana não parasse de crescer. Segundo Malthus, a população cresceria em progressão geométrica, enquanto nossa capacidade de produzir alimentos cresceria só em progressão aritmética. Logo, em um futuro próximo faltaria comida para alimentar tanta gente.
Hoje, mais de dois séculos depois, a previsão não se confirmou. A população não parou de crescer e estamos todos, bem ou mal, vivos.
Considerando o texto e os dados da população mundial e da produção de grãos no período de 100 anos, entre
1950 e 2050 apresentados na tabela acima, julgue os itens.
1. Considere que a quantidade de pessoas no mundo seja obtida, no ano 𝑡, por meio da expressão 𝑄(𝑡) = 𝑚𝑒𝑘(𝑡−1950), a partir do ano 𝑡 = 1950. Nessa situação, tendo 0,88 e 1,76 como valores aproximados respectivamente de ln 2,4 e ln 5,8, infere-se que a população mundial prevista para 2050 será maior que a estimada que consta na tabela.
5) (PAS – 2013) Considere que, em 2010, existiam 8,76 milhões de espécies e que, a partir desse ano, o número de desaparecimento anula de espécies seja dado pela expressão 𝑄(𝑡) = 54750𝑒𝑘𝑡, em que 𝑡 representa a quantidade de anos decorridos a partir de 2010. Nesse caso, usando 3,87 como valor aproximado para ln (48), verifica-se que o valor de 𝑘 é maior que 0,04.
6) (ENEM 2013) Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio 137 é de 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após 𝑡 anos, é calculada pela expressão 𝑀(𝑡) = 𝐴 ∙ 2,7𝑘𝑡, onde 𝐴 é a massa inicial e 𝑘 é uma constante negativa. Considere log 2 = 0,3. Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?
a) 27 b) 36 c) 50 d) 54 e) 100
QUESTÕES EXTRAS
1) O valor da expressão log√2256 + log3343 −
5log513 é igual a (A) 0. (B) 8. (C) -44. (D) 4. (E) -4.
2) Dados log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, o valor de log 0,24 é igual a
(A) 1,38. (B) 0,62. (C) -0,62. (D) -1,38. (E) 1,24.
3) O conjunto-solução da equação log4(𝑥 − 3) −
log16(𝑥 − 3) = 1, em ℝ, é igual a (A) {15}. (B) {16}. (C) {17}. (D) {18}. (E) {19}.
4) Numa experiência realiza em um laboratório, Alice constatou que, decorridas 𝑡 horas, a população 𝑃(𝑡) de determinada bactéria cresce segundo a sentença 𝑃(𝑡) = 25 ⋅ 2𝑡. Nessa experiência, considerando log25 = 2,3, a população atingirá
625 bactérias em (A) 283 minutos. (B) 323 minutos. (C) 276 minutos. (D) 304 minutos. (E) 360 minutos.
5) Quando aumentamos em 60% o valor de um número real positivo 𝑏, seu logaritmo decimal aumenta em 20%. Considerando log 2 = 0,3, é correto afirmar que
(A) 𝑏 = 1. (B) 𝑏 = 2. (C) 𝑏 = 4. (D) 𝑏 = 8. (E) 𝑏 = 10.
6) O conjunto-solução da equação (log 𝑥)2− 2 log 𝑥 + 1 = 0,em ℝ, é igual a
(A) {0}. (B) {0; 1}. (C) {1}. (D) {10}. (E) {100}.
7) Dada a função 𝑓: 𝐴 → ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = 𝑏 + log3(𝑥 − 3), em que 𝑏 é uma constate real,
considere as afirmações a seguir. I. É possível termos 𝐴 =] − 3; +∞[.
II. Se 𝐴 = [4; 15] e 𝑓(12) = 0, então 𝑏 = −2. III. Se 𝑏 = −1, então 𝑓(𝑥) = 0 para 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 =
10 3.
IV. Aplicando as propriedades de logaritmo, é correto escrever 𝑓(𝑥) = 𝑏 + log3(𝑥) − 1.
Das afirmações acima, é(são) verdadeira(s) A. Todas as afirmações.
B. Apenas I e II. C. Apenas I. D. Apenas II. E. Apenas III e IV.
8) Os psicólogos criaram o que chamam de curva de esquecimento, um modelo para avaliar a memória, medindo quanto uma pessoa ainda se lembra do que aprender de determinada matéria após certo tempo. Os formandos de psicologia de uma universidade fizeram uma prova no último ano de curso, e a média da turma foi de 90 pontos. Passados 𝑘 meses após a aplicação dessa prova, o desempenho numa segunda prova, da mesma disciplina, com o mesmo conteúdo e com o grau de dificuldade equivalente, já não era o mesmo. A média (𝑀) é dada pela sentença 𝑀(𝑘) = 90 − 60 ⋅ log(𝑘 + 1), 0 ≤ 𝑘 ≤ 30. Calcule o valor da média desses alunos caso a segunda prova tenha sido aplicada 4 meses após a primeira. (Admita log 2 = 0,30).
9) O PIB – Produto Interno Bruto – de um país tem um crescimento constante de 5% ao ano. Em 2002 o PIB desse país foi igual a 100 milhões de dólares. Determine em que ano o PIB desse país será igual a 500 milhões de dólares. (Admita log 2 = 0,3 e log 1,05 = 0,02.
10) Se log 2 = 𝑎 e log 3 = 𝑏, então log √72000 é igual a (A) 𝑎 − 2𝑏. (B) 2𝑎 + 𝑏. (C) 3𝑎−𝑏+2 2 . (D) 3𝑎+𝑏+32 . (E) 3⋅(1+𝑎) 2 + 𝑏.
11) Sejam 𝛼 e 𝛽 constantes reais positivas tais que log 𝛼 = 0,5 e log 𝛽 = 0,7. O valore real de 𝑥 que satisfaz a equação (𝛼𝛽 10) 𝑥 = (𝛼𝛽)2 é igual a (A) 24. (B) 12. (C) 10. (D) 2,4.
(E) 1,2.
12) A quantidade de elementos de uma espécie animal diminui 10% a cada ano. Hoje, essa quantidade é igual a 𝑃 elementos. Sendo 𝑡 o tempo, em anos, contados a partir de hoje, determine 𝑡 para que a população dessa espécie animal se reduza à metade de 𝑃.
(Adote log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48). 13) Resolva, em ℝ, a equação 1
2⋅ log(𝑥 + 1) +
log100(𝑥 − 2) = 1
2 e determine o seu
conjunto-solução.
