Resumo – Este artigo apresenta o desenvolvimento de uma formulação linear inteira mista para resolver o problema de alocação de reguladores de tensão ao longo dos alimentadores primários de sistemas de distribuição de energia elétrica radiais, com o objetivo de melhorar do perfil de tensão e minimizar os custos de instalação dos equipamentos. Na formulação proposta, o cálculo do ponto de operação em regime permanente de um sistema de distribuição radial é modelado matematicamente usando expressões lineares. O uso de um modelo de programação linear inteira mista garante a convergência para a solução ótima usando ferramentas de otimização clássica existentes. Dois sistemas testes são utilizados para mostrar a precisão do modelo matemático, assim como também a eficiência da técnica de solução proposta.
Palavras-chave: Alocação ótima de reguladores de tensão, planejamento do sistema de distribuição, programação linear inteira mista, sistema de distribuição de energia elétrica.
NOTAÇÃO
A notação utilizada ao longo deste artigo é reproduzida a seguir para referência rápida.
Conjuntos:
Conjunto de circuitos. Conjunto de barras.
Conjunto de níveis de demanda. Variáveis:
Magnitude de tensão no nó no nível de demanda . Quadrado de no nível de demanda .
Magnitude da corrente no circuito no nível de demanda .
Quadrado de no nível de demanda .
Fluxo de potência ativa no circuito no nível de demanda .
Fluxo de potência reativa no circuito no nível de demanda .
Fluxo de potência ativa fornecido pela subestação no circuito no nível de demanda .
Fluxo de potência reativa fornecido pela subestação no circuito no nível de demanda
Variável de correção de potência usada na discretização
de .
Este trabalho foi financiado pelas instituições brasileiras FAPESP, CAPES e CNPq.
R. P. Alves, J. F. Franco e M. J. Rider estão com a Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira – Universidade Estadual Paulista, Departamento de Engenharia Elétrica, Ilha Solteira, São Paulo, Brasil (e-mails: {rpalves, johnfranco, mjrider}@dee.feis.unesp.br).
Variável binária usada na discretização de . Variável binária de investimento para alocação de regulador de tensão no circuito .
Número de passos inteiros do tap do regulador de tensão no circuito no nível de demanda
Tap do regulador de tensão no ramo no nível de demanda
Quadrado de .
Magnitude de tensão não regulada no nó no nível de demanda
Quadrado de
Correções da magnitude de tensão usadas na discretização de
Valor do r-esimo bloco de . Valor do r-esimo bloco de . Constantes:
Impedância do circuito . Resistência do circuito . Reatância do circuito .
Demanda de potência ativa no nó no nível de demanda .
Demanda de potência reativa no nó no nível de demanda .
Magnitude da tensão mínima. Magnitude da tensão máxima.
Limite máximo da magnitude de corrente no circuito .
Número de blocos da linearização por partes. Número de discretizações da variável .
Passo de discretização de da magnitude da tensão ao quadrado.
Inclinação do r-esimo bloco do fluxo de potência ativa e reativa no circuito .
Limite superior de cada bloco de discretização do fluxo de potencia ativa e reativa no circuito
Taxa de recuperação do capital do regulador de tensão. Custo de instalação, ou fixo, anualizado do regulador
de tensão.
Taxa de interesse do custo das perdas. Taxa de regulação do regulador de tensão. Número máximo de passos do tap.
Número máximo de reguladores de tensão que podem ser instalados na rede.
Raiane P. Alves, John F. Franco e Marcos J. Rider
Alocação Ótima de Reguladores de Tensão em
Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica
Usando uma Formulação Linear Inteira Mista
I. INTRODUÇÃO
problema de planejamento de expansão dos sistemas de distribuição de energia elétrica (PESD) é de grande importância para as empresas distribuidoras pois é necessário atender os consumidores com qualidade de fornecimento de energia, altos índices de confiabilidade e custos competitivos considerando o crescimento da demanda de energia elétrica. Altos custos de investimentos e de operação ressaltam a importância do PESD [1].
O planejamento é um processo de tomada de decisões e seu objetivo principal é determinar o conjunto de investimentos que garantem uma operação econômica e confiável da rede. No PESD um dos problemas a ser resolvidos é o problema da queda de tensão nas redes de distribuição, principalmente em redes de distribuições rurais [1]. Um perfil de tensão adequado traz benefícios tanto para as distribuidoras quanto para os consumidores, pois com isso as perdas do sistema de distribuição diminuem e os equipamentos operam corretamente, alem disso, as penalidades que a concessionária é submetida caso não satisfaça os limites estabelecidos pelo órgão regulador podem ser evitadas [2].
Uma vez detectado que existem problemas de tensão na rede primária, a instalação de reguladores de tensão (RT) é uma das medidas mais adequadas, pois eles permitem o controle da magnitude de tensão numa faixa regulada. A instalação dos RT’s com objetivo de melhorar o perfil de tensão de um sistema de distribuição é uma prática muito comum. As vantagens fornecidas pela inserção destes dispositivos reguladores dependem da sua localização, capacidade e ajuste. O RT funciona automaticamente, elevando ou baixando a magnitude de tensão na barra de carga, respeitando sua faixa de regulação [2].
Existem poucos trabalhos na área de alocação de regulador de tensão em sistemas de distribuição de energia elétrica. Em [3] é apresentado uma metodologia heurística para resolver o problema de alocação ótima dos RT’s para sistemas de distribuição radiais com o objetivo de minimizar o custo de investimento e manutenção dos RT’s, além do custo das perdas no sistema. Em [4] é apresentado um método de controle e localização ótima de RT’s e compensadores estáticos para sistemas de distribuição com presença de geração distribuída. Um algoritmo de busca tabu é utilizado para alocar RT’s e compensadores estáticos minimizando os custos de investimento, mantendo as tensões do sistema dentro dos seus limites após a introdução de geração distribuída no sistema. Um algoritmo genético (AG) especializado é apresentado em [5] para definir a localização ótima de RT’s no sistema de distribuição de energia elétrica. O processo de otimização minimiza simultaneamente as perdas totais de energia e os desvios de tensão no sistema.
Em [6] foi desenvolvido um análise de diversas alternativas de alocação e ajustes ótimos de RT’s em sistemas de distribuição, através de um método de enumeração, com o objetivo de melhorar a qualidade de energia entregue ao consumidor e reduzir os custos da distribuição e principalmente manter os níveis de tensão dentro dos limites estabelecidos pela agência reguladora.
Um AG juntamente com o fluxo de potência ótimo foi usado em [7] para a alocação ótima de RT’s em redes de distribuição, com o objetivo de determinar os melhores locais
para a instalação dos RT’s ao longo dos alimentadores, suas dimensões e seus ajustes. Um método heurístico é apresentado em [8] para o dimensionamento e alocação de RT’s em sistemas radiais de distribuição de energia elétrica, com o objetivo de melhorar o perfil de tensão, minimizar as perdas de potência ativa e os custos de investimento.
Em [9] é realizada a combinação de dois AG para resolver o problema de planejamento integrado de bancos de capacitores e RT’s. Um dos AG é utilizado para alocar bancos de capacitores, cujo objetivo é maximizar a economia líquida proveniente da redução das perdas após a inserção destes bancos; o outro AG é utilizado para alocar RT’s e tem como objetivo minimizar os custos decorrentes da operação para corrigir o perfil de tensão do alimentador. Em [10] é apresentado o problema de alocação de banco de capacitores e RT’s em redes primárias de distribuição de energia elétrica, com intuito de melhorar o perfil de tensão e diminuir perdas elétricas, sendo resolvido utilizando um AG.
Neste artigo é apresentada uma formulação não linear inteira mista do problema de alocação de RT’s em sistemas de distribuição de energia elétrica radiais com objetivo de melhorar o perfil de tensão e minimizar os custos de instalação dos RT’s. Linearizações foram feitas para encontrar uma formulação linear inteira mista equivalente do problema de alocação de RT’s e esta foi solucionada usando ferramentas de otimização clássica existentes. O modelo proposto foi testado usando dois sistemas de distribuição de 70 e 202 nós.
II. O PROBLEMA DE ALOCAÇÃO DE RT’S EM SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA RADIAIS A. Hipóteses
A fim de representar o funcionamento em regime permanente de um sistema de distribuição de energia, são feitas as seguintes hipóteses:
1- As demandas das cargas no sistema de distribuição são representadas como potência ativa e reativa constante; 2- No circuito o nó está mais próximo da subestação que
o nó ;
3- As perdas de potência ativa e reativa no circuito estão concentradas no nó .
4- O sistema é balanceado e representado pelo seu equivalente monofásico.
As hipóteses 1 e 4 são normalmente consideradas na maioria dos problemas de PESD. As quatro hipóteses são mostradas na Fig. 1, em que e são as perdas de potencia ativa e reativa no circuito ij no nível de demanda d. B. Operação em regime permanente de um sistema de distribuição radial
As equações que representam a operação em regime permanente de um sistema de distribuição radial são mostradas em (1)–(4). Estas equações são frequentemente usadas nos métodos de fluxo de carga de varredura [11].
(1)
(2)
Fig. 1. Sistema de distribuição de três nós
(3)
(4)
e . (1) e (2) são as equações de balanço de potência convencional. Usando (3), é possível obter a magnitude da tensão nó j em termos da magnitude do nó i, o fluxo de potência ativa e reativa, a magnitude de corrente e os parâmetros elétricos do circuito quadrado da magnitude de corrente é calculado usando (4).
C. O modelo do regulador de tensão
O RT é basicamente um autotransformador, com um mecanismo de mudança automática da posição do tap. A maioria dos RT’s contém uma chave que permite uma faixa de regulação ± (+ elevar e – reduzir a magnitude de tensão) respeitando a magnitude de tensão de referência e o número máximo de passos ( , que usualmente são 32 passos). As equações (5)-(8) mostram o modelo matemático do RT, considerando que o regulador de tensão é alocado no nó do circuito . No modelo é a magnitude de tensão não regulada, antes do RT e é a magnitude de tensão regulada, depois do RT. Note que tem passos, e varia na faixa de regulação em intervalos discretos de valor , permitindo uma faixa de regulação de ± . Adicionalmente, cada RT tem um custo anualizado de instalação .
(5)
(6)
(7)
inteiro
(8)D. Formulação não linear do problema de alocação de RT’s O problema de alocação de RT pode ser modelado como um problema de programação não linear inteiro misto como mostrado em (9)-(21). (9) Sujeito a (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) inteiro (20) (21)
e . Note que na formulação não linear as variáveis , , e são usadas para representar , , e respectivamente. A função objetivo (9) representa o custo total, em que a primeira parte representa o custo de investimento (alocação de RT’s) e a segunda parte representa o custo anual das perdas de energia. As equações (10)-(13) representam o estado de operação em regime permanente de um sistema de distribuição radial, considerando a presença dos RT’s. Note que em (12) e (13), a magnitude da tensão não regulada substitui a magnitude da tensão regulada , pois passa a ser considerada como a magnitude de tensão final do circuito As equações (14)-(16) são uma extensão de (5)-(7), considerando a regulação do quadrado da magnitude de tensão e a alocação de RT’s. Note que, se um regulador de tensão é adicionado no circuito , a equação (16) é igual à equação (7), caso contrário (se não é adicionado um regulador na linha , ,
teremos: e , mostrando que
a tensão regulada e a tensão não regulada é a mesma. A equação (17) define os valores máximos e mínimos do quadrado da magnitude de tensão em todos os nós do sistema, enquanto que (18) representa o limite dos fluxos de corrente no circuito . O número máximo de RT’s que podem ser instalados no sistema é representado em (19). A equação (20) representa a natureza inteira do número de taps do RT. A equação (21) representa a natureza binária da variável de investimento do problema de alocação de RT’s. Os RT’s são alocados se seu valor correspondente é igual a um e não é alocado se seu valor é igual a zero. Note que as equações (9)-(12) e (16)-(21) são lineares, em quanto que (13)-(15) são não lineares, apresentando termos quadráticos e produtos de duas variáveis de decisão. Com o objetivo de poder utilizar ferramentas de otimização de programação linear inteira mista é desejável obter expressões lineares para estas restrições. E. Linearização
O membro esquerdo de (13) é linearizado pela discretização de usando as variáveis binárias Em que se é maior que . Note que indica o intervalo de discretização no qual se encontra . Esta condição é modelada em (22). Em que o passo de discretização .
(22)
O produto é calculado usando o ponto médio do primeiro intervalo de discretização do quadrado da magnitude de tensão multiplicado pelo quadrado da magnitude do fluxo de corrente mais as correções de potência sucessivas ( ) que dependem de , e como mostrado em (23) e (24).
(23)
(24)
A equação (23) é a aproximação linear do produto de e . A equação (24) define os valores de . Se então e
; caso contrário e
, em que desempenha exatamente o papel do fator “Big M” e proporciona um grau suficiente de liberdade para .
O membro direito de (13) é linearizado como descrito nas equações (25)-(26).
(25)
(26)
e . Note que as equações (25) e (26) são um conjunto de expressões lineares do membro direito da equação (13);
e são parâmetros constantes. As expressões e são as aproximações lineares de e , respectivamente. A linearização de é mostrada na Fig. 2.As equações (26.a) e (26.b) afirmam que e são iguais a soma dos valores em cada bloco da discretização, respectivamente. As equações (26.c) e (26.d) definem os limites superiores e inferiores da contribuição de cada bloco de e , respectivamente.
Fig. 2.Ilustração da modelagem linear por partes da função
Usando a discretização de mostrada em (22), é possível linearizar o membro direito de (14) como mostrado em (27)-(28).
. A equação (27) é uma aproximação linear do produto de e , em que o produto é calculado usando o ponto médio do primeiro intervalo de discretização do quadrado da magnitude de tensão multiplicado pelo quadrado do tap do RT mais as correções sucessivas da tensão que dependem de , e
. A equação (28) define os valores de . Se
então e
; caso contrário e
.
Podemos observar que o termo quadrático do membro direito da equação (15) varia no intervalo [0 , 1] e pode ser aproximado por uma constante . Assim (15) pode ser linearizada como mostrado em (29). Esta linearização tem o coeficiente de correlação de R2 = 0,9993 com um erro máximo de 0,82% e um erro mínimo de 0,27%. O valor do coeficiente de correlação mostra o alto nível de precisão desta linearização.
(29)
F. Formulação linear inteira mista do problema de alocação de RT’s
O problema de alocação de RT pode ser modelado como um problema de programação linear inteiro misto como mostrado em (30)-(33).
(27)
min (9) (30) Sujeito as restrições: (10)-(12), (16)-(22),(24),(26),(28) e (29) (31) (32) (33) em que . As restrições (22), (24), (26) e (31) substituem a restrição (13). As restrições (22), (28), (32) e (33) substituem a restrição (14). As restrições (32) e (33) permitem o cálculo da tensão regulada na presença de RTs. Se , então . Caso contrario, é igual ao lado direito de da restrição (27).
III. TESTES E RESULTADOS
Os sistemas de 70 e 202 [8] nós foram utilizados para avaliar a precisão do modelo matemático, assim como também a eficiência da metodologia de solução. Para todos os testes foi considerado um número de discretizações S = 4,um número de blocos de linearização R = 20, um número máximo de passos do tap dos RT’s de 32, uma taxa de regulação de 10%, um custo de instalação de cada RT sendo US$ 20.000, um custo de perdas de US$ 0,1/kWh, podendo ser alocados como máximo três RT’s em cada sistema. O limite máximo e mínimo da magnitude de tensão é igual a 1,00 pu e 0,93 pu da tensão nominal, respectivamente. O modelo proposto foi implementado na linguagem de modelagem AMPL [12] e solucionado com o solver comercial CPLEX [13] chamado com suas opções padrões.
A. Sistema de 70 nós
Para este sistema foram considerados três níveis de demanda: leve, média e pesada, com uma duração de 1.000, 6.760 e 1.000 horas, respectivamente. As magnitudes de tensão máxima e mínima são 12,66 kV e 11,77 kV, respectivamente. A Fig. 3 ilustra a magnitude de tensão inicial do sistema de 70 nós antes da alocação de RT’s e podemos observar que existem nós na demanda pesada em que a magnitude de tensão viola o limite mínimo de tensão. O nó 36 apresenta a menor magnitude de tensão do sistema na demanda pesada que é de 11,451 kV. O custo inicial das perdas de potência ativa do sistema é de US$ 312.831,12. O modelo matemático para o problema de alocação de RT’s para este sistema apresenta as seguintes características: 12.255 variáveis contínuas, 897 variáveis binárias, 207 variáveis inteiras e 9.469 restrições. A metodologia encontrou a solução ótima do problema instalando três RT’s nos nós 10, 33 e 42; com um custo total de US$ 365.438,83, um custo de investimento: US$ 60.000,00 e um custo de perdas de US$ 305.438,83. A Fig. 4 mostra o perfil das magnitudes de tensão após a alocação dos RT’s.
Fig. 3 - Perfil da magnitude de tensão do sistema de 70 nós sem RT’s.
Fig. 4. Perfil da magnitude de tensão do sistema de 70 nós com RT’s. Tabela 1: Resultados do problema de alocação de RT’s - sistema de 70 nós
Nós
Taps
Demanda pesada Demanda média Demanda leve
10 +3 +3 +0
33 +5 +3 +0
42 +10 +5 +2
Tabela 2: Comparação das perdas do sistema de 70 nós, em kW
Demanda Sem RT’s Com RT’s
Pesada 932,50 899,66
Média 313,59 307,53
Leve 75,94 75,80
Note que o nó 66 apresenta a menor magnitude de tensão em demanda pesada (11,816 kV). Com a alocação de três RT’s foi possível resolver o problema das violações das magnitudes de tensão. A Tabela 1 mostra as posições dos taps dos três RT’s alocados para os três níveis de demandas. A Tabela 2 mostra uma comparação das perdas de potência ativa (sem RT’s e com alocação de RT’s) para os três níveis de demandas. Note que depois de alocar três RT’s, o sistema apresenta menores perdas comparando com o estado inicial. B. Sistema de 202 nós
Para este sistema foram considerados somente os níveis de demanda média e pesada, com uma duração de 7.760 e 1.000 horas, respectivamente. As magnitudes de tensão máxima e mínima são de 13,8 kV e 12,83 kV, respectivamente. A Fig. 5
ilustra a magnitude de tensão inicial do sistema antes da alocação de RT’s e podemos observar que existem nós na demanda pesada em que a magnitude de tensão viola o limite mínimo de tensão. O nó 132 apresenta a menor magnitude de tensão em demanda pesada que é de 12,525 kV. O custo das perdas de potência ativa inicial do sistema é de US$ 716.521,79. O modelo matemático para o problema de alocação de RT’s para este sistema apresenta as seguintes características: 23.651 variáveis contínuas, 1.793 variáveis binárias, 402 variáveis inteiras e 18.215 restrições. A metodologia encontrou a solução ótima do problema instalando dois RT’s nos nós 63 e 140; com um custo total de US$ 743.449,47, um custo de investimento de US$ 40.000,00 e um de custo de perdas de US$ 703.449,47.A Fig. 6 mostra o perfil das magnitudes de tensão após a alocação dos RT’s. Com a alocação de dois RT’s foi possível resolver o problema das violações das magnitudes de tensão. A Tabela 3 mostra a posição dos taps dos dois RT’s alocados para os dois níveis de demandas. A Tabela 4 mostra uma comparação das perdas de potência ativa (sem RT’s e com alocação de RT’s) para os dois níveis de demandas. Note que depois de alocar dois RT’s, o sistema apresenta menores perdas comparando com o estado inicial.
IV. CONCLUSÕES
Uma formulação linear inteira mista foi apresentada para resolver o problema de alocação de reguladores de tensão em sistema de distribuição radial. Esta formulação permite a convergência para a solução ótima utilizando solvers existentes. Adicionalmente, o ponto de operação em regime permanente do sistema de distribuição radial foi modelado utilizando expressões lineares. Os sistemas testes de 70 e 202 nós foram utilizados para mostrar a precisão do modelo matemático, assim como a eficiência da técnica de solução proposta. Esta formulação pode ser estendida para considerar a alocação simultânea de banco de capacitores e RT’s.
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de distribuição de energia elétrica”. Dissertação (Mestrado)–
Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação da UNICAMP Universidade Estadual de Campinas, 2009.
Fig. 5. Perfil da magnitude de tensão do sistema de 202 nós sem RT’s.
Fig. 6. Perfil da magnitude de tensão do sistema de 202 nós com RT’s. Tabela 3: Resultados do problema de alocação de RT’s - sistema de 202 nós
Nós
Taps
Demanda pesada Demanda média
63 +5 +3
140 +7 +3
Tabela 4: Comparação das perdas do sistema de 202 nós, em kW
Demandas Sem RT’s Com RT’s
Pesada 2.572,86 2.498,99
Média 591,80 584,47
[9] A. M. F. Almeida, H. D. M. Braz, F. M. P. Pamploma e B. A. de Souza. “Planejamento integrado de bancos de capacitores e reguladores de tensão em redes de distribuição”, VII Conferência Brasileira Sobre
Qualidade da Energia Elétrica (CBQEE 2007), pp. 01-06, Santos–SP, 2007.
[10] T. A. da Luz, I. Szuvovivski e T. S. P. Fernandes. “Ajuste de parâmetros de algoritmos genéticos usados na alocação de banco de capacitores e reguladores de tensão em redes de distribuição”. In: XVIII
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[11] R. Cespedes, “New method for the analysis of distribution networks,”
IEEE Trans. Power Del., vol. 5, no. 1, pp. 391-396, Jan. 1990. [12] R. Fourer; D. M. Gay e B. W. Kernighan. “AMPL: A modeling
language for mathematical programming”. CA: Brooks/Cole-Thomson Learning, Pacific Grove, 2nd Ed., 2003.
[13] “CPLEX Optimization subroutine library guide and reference, version
