Os primeiros teoremas da Hist¶oria da Matem¶atica
1. O primeiro matem¶atico e ¯l¶osofo grego foi Tales de Mileto (600 a.C.). Tales foi o primeiro a construir demonstra»c~oes de teoremas. Dentre os teoremas de Tales temos: (1) os ^angulos da base de um tri^angulo is¶osceles s~ao iguais. (2) se ABC ¶e um tri^angulo inscrito em um semi-c¶³rculo de di^ametro AC, ent~ao o ^angulo A ^BC ¶e reto.
(a) Seja ABC um tri^angulo, e seja r uma linha reta passando por A e paralela a BC. Assumindo que ^angulos alternos internos s~ao iguais, demonstre que a soma dos ^angulos internos de ABC ¶e igual a dois ^angulos retos.
(b) Usando o resultado do item anterior e o teorema (1) de Tales, demonstre o teorema (2). 2. H¶a uma lenda de que Tales calculou a dist^ancia de um navio µa praia, por semelhan»ca de
tri^angulos. Como isto pode ser feito?
Desvendando a estrela de Pit¶agoras 3. Pit¶agoras (570{500 a.C.) nasceu na ilha grega de Samos, e em torno
de 525 a.C. fundou a irmandade dos Pitag¶oricos. O s¶³mbolo dos Pitag¶oricos era a estrela pitag¶orica, a estrela de cinco pontas formada pelas diagonais de um pent¶agono regular. Mostre (deduza) que o ^
angulo em cada ponta da estrela pitag¶orica ¶e de 36±.
4. Utilizando os tri^angulos is¶osceles da ¯gura abaixo, tendo em conta que o menor deles ¶e seme-lhante ao maior, mostre que (a) x =
p 5 ¡ 1 2 (b) cos 72±= p 5 ¡ 1 4 36° 72° 1 x 36° 36° 36° 72° 1 x 1 72° x x 1 - x
5. Aplicando a lei dos cossenos ao tri^angulo da ¯gura 5, deduza que o lado L5, do pent¶agono regular inscrito no c¶³rculo de raio1, ¶e dado por L5 =
s
5 ¡p5 2
1 72° 1
5 L
Figura 1. Um pent¶agono regular inscrito em um c¶³rculo de raio1.
6. (Constru»c~ao do pent¶agono regular com r¶egua e compasso) Considere a constru»c~ao geom¶etrica descrita na ¯gura 2, em que M ¶e o ponto m¶edio do raio do c¶³rculo de raio OA = 1. Mostre que P N = q 5¡p5 2 e portanto P N = L5. O M N P A
Figura 2. Constru»c~ao do lado do pent¶agono regular inscrito em um c¶³rculo de raio1.
7. (Recortando estrelas de cinco pontas) Pegue meia folha de papel A4, dobre-a e recorte-a como mostrado na seqÄu^encia de ¯guras abaixo. O resultado ¶e uma estrela de cinco pontas. O m¶etodo n~ao ¶e exato, mas um estudo pode ser feito sobre as condi»c~oes que produzir~ao uma estrela pitag¶orica.
dobra dobra centro dobra corte ao longo da linha dobra
na ¯gura, de modo que B esteja ao norte de A, ou se-ja, ambas encontrem-se quase em um mesmo meridiano terrestre, razoavelmente distantes entre si. Duas hastes verticais s~ao montadas, uma em cada local, e a dist^ancia d, entre os locais A e B, ¶e conhecida. Pela proje»c~ao dos raios do sol, ao meio dia, os ^angulos ¯ e °, em graus, s~ao calculados. O A B raiosdo sol α β
Deduza que, na situa»c~ao geom¶etrica da ¯gura, que ® = ° ¡ ¯. Como pode ser calculado o raio da Terra, a partir desse experimento?
Aristarco de Samos no mundo da Lua 10. Observa»c~oes astron^omicas acuradas, em noites de
lua cheia, revelam o diagrama geom¶etrico da ¯gura ao lado. Com base nas informa»c~oes do diagrama, conhecendo-se o di^ametro da Lua, de 3486km, e sabendo quesen 150= 0;00436, calcule a dist^ancia da Terra µa Lua.
Terra
T L' L
R 15'
Hip¶ocrates de Quio no mundo das l¶unulas 11. Na ¯gura, em um c¶³rculo de di^ametro AB, inscreve-se
um tri^angulo ABC. Sobre os catetos AC e CB s~ao constru¶³dos dois outros semi-c¶³rculos, tendo os catetos como di^ametros. As regi~oes planas da ¯gura , delimi-tadas por arcos de circunfer^encias, lembrando fases da lua, s~ao chamadas de l¶unulas. Chamemos deL1 eL2 as l¶unulas constru¶³das sobre os catetos AC e CB, respec-tivamente, e sejaT o tri^angulo ABC.
T L L 1 2 A B C
Demonstre o teorema de Hip¶ocrates: ¶areaL1+ ¶area L2 = ¶area T . 12. Sendo ABC um tri^angulo is¶osceles como na ¯gura , mostre que
as duas regi~oes hachuradas tem ¶areas iguais, ou seja, a ¶area da l¶unula ¶e igual µa ¶area do tri^angulo. Os dois arcos que delimitam a l¶unula s~ao, respectivamente,1=4 da circunfer^encia de centro A e raio AC e a semi-circunfer^encia de di^ametro CB.
A B
13. Considere a ¯gura ao lado, em que o di^ametro do c¶³rculo menor ¶e igual ao lado do hex¶agono regular. Sejam c a ¶area da regi~ao circular sombreada, C a ¶
area do c¶³rculo circunscrito ao hex¶agono, L a ¶area de cada l¶unula externa a este c¶³rculo e H a ¶area do hex¶agono. Demonstre que c = H ¡ 6L.
14. O resultado do problema 13, resolvido por Hip¶ocrates de Quio, pode nos induzir a acreditar que ¶e poss¶³vel quadrar o c¶³rculo, bastando para isso quadrar as seis l¶unulas da ¯gura do problema 13. Tendo em visto que Lindemann, em 1882, demonstrou que ¶e imposs¶³vel quadrar um c¶³rculo, que conclus~oes podemos tirar acerca da quadratura das l¶unulas do hex¶agono?
Geometria de Arquimedes 15. Na geometria, Arquimedes estudou uma ¶area chamada
arbelos. Seja B um ponto interior ao segmento AC. Construa tr^es semi-c¶³rculos com di^ametros AB, BC e AC, todos de um mesmo lado de AC. A ¶area dentro do semi-c¶³rculo sobre AC, fora dos semi-c¶³rculos menores, ¶e um arbelos.
A B C
W
U
V
(a) Considere o segmento BW , perpendicular a AC, com W no arco do semi-c¶³rculo sobre AC. Mostre que a ¶area do arbelos ¶e igual µa ¶area do c¶³rculo de di^ametro BW . (b) O c¶³rculo de di^ametro BW encontra os semi-c¶³rculos menores em U e V . Mostre que A, U e W , bem como C, V e W , est~ao alinhados. (c) Mostre que os segmentos U V e BW se encontram no ponto m¶edio de ambos. (d) Mostre que a reta U V ¶e tangente aos dois semi-c¶³rculos menores. Sugest~ao. Utilize o teorema (2) de Tales, problema 1, em todas as suas ocorr^encias na ¯gura.
Wantzel e a algebriza»c~ao dos problemas de constru»c~oes geom¶etricas 16. Considere os dois seguintes teoremas.
Teorema 1 (Pierre Wantzel, 1837) Seja u > 0 um n¶umero construt¶³vel (ou seja, o compri-mento de um segcompri-mento de reta construt¶³vel), com r¶egua e compasso, a partir de um segmento unit¶ario. Se u ¶e raiz de uma equa»c~ao do 3o grau de coe¯cientes inteiros,
ax3+ bx2+ cx + d = 0 ent~ao essa equa»c~ao tamb¶em possui uma raiz racional.
Teorema 2 (Como achar as ra¶³zes racionais de polin^omios de coe¯cientes inteiros) Se anxn+ an¡1xn¡1+ ¢ ¢ ¢ + a1x + a0 = 0 ¶e uma equa»c~ao polinomial de coe¯cientes inteiros,
com an 6= 0, ent~ao toda raiz racional dessa equa»c~ao ¶e da forma p=q, sendo p um divisor de
a0 e q um divisor de an.
teoremas 1 e 2.
(b) Mostre que p32 n~ao ¶e construt¶³vel com r¶egua e compasso. Explique ent~ao porque o problema da duplica»c~ao do cubo n~ao tem solu»c~ao.
17. Mostre que cos 72± =
p 5¡1
4 , usando n¶umeros complexos e polin^omios, da seguinte maneira.
Considere o n¶umero complexo z = cos 72± + i sen 72±. Aplicando a f¶ormula de De Moivre, (cos µ + i sen µ)n = cos(nµ) + i sen(nµ), deduza que z5 = 1 e ent~ao
z4+ z3+ z2+ z + 1 = 0 Divida ambos os termos desta equa»c~ao por z2, obtendo
z2+ z + 1 + 1 z +
1 z2 = 0
Fa»ca a substitui»c~ao u = z + 1z, obtendo u2+ u ¡ 1 = 0 e conclua o exerc¶³cio.
18. Mostre que o hept¶agono regular n~ao ¶e construt¶³vel com r¶egua e compasso. Sugest~ao: Considere z = cos3607±+ i sen3607±. Utilizando as t¶ecnicas usadas no problema 17, mostre que o n¶umero u = 2 cos(360±=7) satisfaz a equa»c~ao x3+ x2¡ 2x ¡ 1 = 0. Utilize ent~ao os resultados dos teoremas 1 e 2.
19. Explique porqu^e n~ao ¶e poss¶³vel construir, com r¶egua e compasso, um pol¶³gono regular de nove lados.
20. Usando o teorema 2 acima, demonstre que p2 +p3 ¶e irracional;
21. Explique porque ¶e teoricamente poss¶³vel construir, com r¶egua e compasso, um ^angulo de3±, mas n~ao um ^angulo de 2±.
