Análise de Dados Categóricos

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An ´alise de Dados Categ ´oricos

Introduç ão à Disciplina

Enrico A. Colosimo/UFMG Depto. Estat´ıstica - ICEx - UFMG

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Disciplina

An ´alise de Dados Categ ´oricos

Resposta vs Covari ´aveis Resposta: categ ´orica

Nesta disciplina vamos estender para Resposta Discreta.

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Resposta

1 _{Categ ´oricas}

Nominais: g ênero, raça, religi ão, status (doente/saud ável), etc Ordinais: IMC (eutr ófico, sobrepeso, obeso); Infecç ão (sem, mono ou poli), etc.

2 _{Discreta (contagem)}

n ´umero de c ´aries por paciente;

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Estimaç ão - Preval ência

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Pesquisa Cient´ıfica Análise Estatística Desenho Estudo Pergunta Tipos de Desenho Efeitos: transversal/longitudinal Viés/Confundimento Validade externa Descritiva/Exploratória Inferencial/Confirmatória 6/50

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Pesquisa Cient´ıfica

1 Pergunta de Interesse;

2 _{Desenho do Estudo/Coleta dos Dados/Observar;} 3 _{An ´alise Estat´ıstica: Modelar/Predizer;}

Conhecer o Banco de Dados;

An álise Descritiva (cada vari ável separadamente); An álise Bivariada (resposta vs cada covari ável);

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Pergunta de Interesse

Comparac¸ ˜ao de Grupos.

Identificaç ão de Fatores de Risco ou Progn óstico. Estimaç ão/Prediç ão.

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Desenho do Estudo

1 _{Tipos de Desenho de Estudo.} 2 _{Efeito Transversal vs Longitudinal.} 3 _{Tipos de Vi ´es.}

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Perguntas Relevantes

Os grupos s ˜ao compar ´aveis?

As vari ´aveis de confus ˜ao foram medidas/controladas? ´

E poss´ıvel alocar tratamento `as unidades amostrais de forma aleat ´oria?

Os erros de medic¸ ˜ao podem ser medidos e controlados? As perdas (dados perdidos) podem viciar os resultados? Podemos estender os resultados para outros estudos?

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Tipos de Estudos

1 _{Estudos Transversais}

2 _{Estudos Longitudinais}

Observacionais;

Coorte (prospectivo ou hist ´orico); Caso-controle (retrospectivo);

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Estudo Transversal ou de Preval ˆencia

Caracter´ısticas B ´asicas

Amostra tomada em um tempo pr ´e-determinado;

Causalidade reversa (imposs´ıvel determinar causa e efeito). N ão é apropriado para estudar doenças raras e nem de curta duraç ão.

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Estudo de Coorte

Caracter´ısticas B ´asicas Estudos observacionais;

Grupos de comparaç ão (braços da coorte): usualmente definidos pela presença ou n ão de uma exposiç ão de interesse;

Podem ser prospectivos (forma mais comum) ou retrospectivo/hist ´orico.

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Estudo Caso-Controle

Estudos observacionais e retrospectivos;

Grupos de comparaç ão: definidos pela presença ou n ão de uma doença de interesse.

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Estudo Cl´ınico Aleatorizado

Presença de grupos de comparaç ão.

Estudos experimentais. Isto é, a intervenç ão do investigador consiste em aleatorizar indiv´ıduo ao grupo;

Vantagem: controla por fatores de confus ˜ao medidos e n ˜ao medidos.

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Vi ´es

1 _{Desvio da verdade por defeito no delineamento ou na conduc¸ ˜ao}

de um estudo.

2 _{Erro sistem ático no delineamento, conduç ão e an álise de um}

estudo resultando em erro na estimativa da magnitude da associaç ão entre vari ável explicativa e a resposta de interesse.

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Fontes de Vi ´es

1 _{Fatores de confus ˜ao.}

2 _{Vi és de Seleç ão: alocaç ão das unidades de an álise privilegia}

subgrupos com probabilidade diferenciada de apresentar a resposta. Exemplo: Perda de acompanhamento em estudos longitudinais.

3 _{Vi és de Informaç ão: erro sistem ático na classificaç ão das}

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Fator de Confus ˜ao

Definiç ão: Um terceiro fator que est á associado tanto com a exposiç ão/covari ável quanto com a resposta/doença, mas n ão se encontra no elo causal entre eles.

Exposição Doença

Confundimento

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Fator de Confus ˜ao

Duas condiç ões para caracterizar um fator de confus ão: Ser associado com a covari ável/exposiç ão sem ser sua consequ ência.

Estar associado com o resposta/desfecho independente da exposic¸ ˜ao.

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Confundimento: Exemplos

Idade na associç ão entre fumo e c âncer de est ômago.

Fumo na associaç ão entre consumo de caf é e c âncer de pulm ão. (contra-exemplo: no elo causal?) Colesterol na associaç ão entre dieta e infarto.

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Validac¸ ˜ao do Estudo

Validade Interna: sujeito a confundimento e vi ´es;

Validade Externa: representatividade da amostra.

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Validade do Estudo/Amostra

1 _{Crit ério de inclus ão e exclus ão restritivo ==> populaç ão pequena}

Validade Interna: aumenta;

Validade Externa: diminue.

2 _{Crit ério de inclus ão e exclus ão flex´ıvel ==> populaç ão grande}

Validade Interna: dimunue.

Validade Externa: aumenta.

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Resposta e Covari áveis 1 _{Resposta/Desfecho} Cont´ınua; Discreta/Contagem; Categ órica. 2 _{Covari áveis}

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Como identificar o modelo adequado?

1 _{Modelos para Resposta Cont´ınua.}

Regress ˜ao linear m ´ultipla.

Modelos de An álise de Sobreviv ência: Param étrico ou de Cox. Modelos beta, gama, etc.

2 Modelos para Resposta Categ ´orica ou Contagem.

Modelo Log-Linear (Tabela de Conting ˆencia). Modelo de Regress ˜ao de Poisson: contagem.

Modelo de Regress ão Log´ıstica (bin ária ou polit ômica).

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Programa da Disciplina

1 Conceitos B ásicos: escalas de medida, distribuiç ão binomial,

infer ˆencia no modelo binomial.

2 _{Tabelas de Conting ˆencia: tabelas 2 × 2, esquemas amostrais,}

tipos de estudos, testes qui-quadrado e da raz ˜ao de

verossimilhanças, medidas de associaç ão, amostras pareadas, tabelas r × c.

3 _{Modelo Log-linear: an ´alise estratificada, teste de}

Mantel-Haenszel, tabelas multidimensionais, modelos de independ ência m útua, marginal e condicional, infer ência para modelos log-lineares.

4 _{Modelo de Regress ˜ao de Poisson: forma do modelo, infer ˆencia}

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Exemplo: Ecologia

Descriç ão: ecologistas desejam estudar o equil´ıbrio entre machos e f êmeas de uma certa esp écie, em risco de extinç ão, em uma certa localidade.

Desenho Amostral: uma amostra aleat ´oria de tamanho 20 foi retirada desta localidade, obtendo 8 machos e 12 f ˆemeas. O que podemos concluir a partir desta amostra?

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Formulac¸ ˜ao Estat´ıstica

Amostra: Y1, . . . ,Y20; Y : 0/1 (macho/f ˆemea) Considere a estat´ıstica:

X = 20 X

i=1

y_i :n ´umero de f ˆemeas na amostra de tamanho 20

X ∼ bin(n = 20, π)

π =P(Y = 1): probabilidade de ocorrer uma f ˆemea. Pergunta de Interesse (teste de hip ´oteses):

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Propostas de Soluc¸ ˜ao

1 _{Enfoque Cl ´assico}

Teste Exato

Testes Aproximados: qui-quadrado, Wald, raz ˜ao de

verossimilhanc¸as, etc

2 _{Enfoque Computacional: Monte Carlo e bootstrap} 3 _{Enfoque Bayesiano}

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Teste de Hip ´oteses

1 _{Enfoque Cl ´assico: encontrar uma estat´ıstica teste cuja}

distribuiç ão, sob H0, é conhecida.

Teste Exato: distribuiç ão exata (dif´ıcil de ser encontrada). Testes Aproximados/assint ótico: distribuiç ão aproximada/limite.

2 Enfoque Computacional (Monte Carlo e bootstrap): desenhar

(histograma) a distribuiç ão. Usualmente, utilizamos a mesma estat´ıstica teste do enfoque cl ássico.

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1- Teste Exato X = 20 X i=1 yi

´e a estat´ıstica teste.

X ∼ bin(n, π), n = 20. sob H0: π = π0temos que:

X ∼ bin(n, πo) Exemplo: π0=0, 5

valor-p = 2 P(X ser igual ou mais desfavor ´avel que12|π = 0, 5] .

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Exemplo - sob H0 0 5 10 15 20 0.00 0.05 0.10 0.15 x prob

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Intervalo de confianc¸a

Baseado na invers ão da Regi ão de Rejeiç ão (Bickel e Doksum, p.180).

1 _{Limite inferior (π}

I) é a soluç ão de: 20 X r =12 20 r πr_I(1 − πI)20−r =0, 025 ⇒ πI =0, 361 2 Limite superior (π

S) é a soluç ão de 12 X r =0 20 r π_Sr(1 − πS)20−r =0, 025 ⇒ πS =0, 809

Um intervalo de 95% de confianc¸a para π ´e (0, 36; 0, 81).

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2.Teste Qui-Quadrado (mais utilizado)

´

E o teste assint ótico mais utilizado na pr ática, com a seguinte express ão: χ2= 2 X i=1 (ni− Ei)2 E_i No nosso caso: χ2= (x − nπ 0₎2 nπ0 + ((n − x ) − n(1 − π0))2 n(1 − π0₎ = (12 − 10)2 10 + (8 − 10)2 10 =0, 8

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2- Teste Qui-Quadrado

Sob H0, χ2tem uma dist. limite qui-quadrado com 1 g.l.

0 1 2 3 4 5 6 0.0 0.5 1.0 1.5 x f(x) valor-p = P[χ2>0, 8] = 0, 371 34/50

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Intervalo de Confianc¸a

Baseado na invers ão da Regi ão de Rejeiç ão RR(x /χ2> χ2_1−α)

Invertendo RR, temos o Intervalo de (1 − α)100% de confianc¸a para π: {π0∈ (0, 1)/χ2= χ2_1−α}

e para o valor observado X = 12 e α = 0, 05,

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Intervalo de Confianc¸a IC(π0/X = 12, α = 0, 05) ⇒ χ2=3, 84 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 2 4 6 8 10 pi X2

Um intervalo de 95% de confianc¸a para π ´e (0, 385; 0, 782)

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3- Aproximac¸ ˜ao Binomial pela Normal

X ∼ bin(n, π) pode ser aproximado por

X ∼ N(nπ, nπ(1 − π))

valor-p = 2P[X ≥ 12|π = 1/2] = 2P[Z ≥ 2/√5] = 0, 371 Pode-se mostrar que, neste caso, ´e exatamente igual ao teste

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3- Aproximaç ão Normal: Intervalo de Confiança ˆ π ±1, 96 r ˆ π(1 − ˆπ) 20 0, 60 ± 1, 96 r 0, 24 20 ⇒ (0, 39; 0, 82) 38/50

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4 - Simulac¸ ˜ao de Monte Carlo

X ∼ bin(20, π)

Sob H0:X ∼ bin(20, 1/2) Gerar 2000 bin(20, 1/2)

Vamos utilizar a estat´ıstica Qui-Quadrado

X_j2= 2 X i=1 (nij − Ei)2 Ei ; j = 1, . . . , 2000

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4- Simulac¸ ˜ao de Monte Carlo

´

E poss´ıvel desenhar a verdadeira distribuic¸ ˜ao de χ2fazendo um histograma dos 2000 valores observados de χ2₁, ...., χ2₂₀₀₀

Histogram of xsq x f(x) 0 2 4 6 8 10 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Intervalo de 95% de confianc¸a para π ´e (0, 4; 0, 8) (gerando π = 0, 6). 40/50

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5- Bootstrap (Efron e Tibshirani, 1993)

Amostragem com reposiç ão sob H0 Efron e Tibshirani (1993, p.224-27). Gerar b=2000 amostras com reposiç ão e

X_j2= 2 X i=1 (nij− Ei)2 Ei = 2[(nij − 2) − 10] 2 10 j= 1,...,b

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Bootstrap (Efron e Tibshirani, 1993)

Intervalo de confianc¸a Bootstrap percent´ılico P

¯[500] = 0, 40 ¯

P[19500] = 0, 80

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Infer ˆencia Cl ´assica

Infer ência cl ássica foi a estudada at é o momento

Frequentista: frequ ˆencia relativa de diferentes resultados em um n ´umero grande de experimentos repetidos;

1 _{Toda a informaç ão sobre π est á contida na amostra;} 2 _π é fixo e desconhecido;

3 _{Uso de aproximaç ões (resultados assint óticos);} 4 _{Interpretados por repetiç ão/frequ ência;}

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Infer ˆencia Bayesiana

A probabilidade ´e uma medida subjetiva da ignor ˆancia sobre π.

1 _{A informaç ão est á contida na amostra e na informaç ão subjetiva a}

priori;

2 _π ´e aleat ´orio (representando a incerteza sobre a quantidade

desconhecida);

3 _{Interpretaç ões s ão probabil´ısticas;}

4 _{Dificuldade de quantificaç ão da distribuiç ão a priori;} 5 _{Dificuldade num érica: integrar funç ões.}

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Enfoque Bayesiano

Uso de probabilidade para quantificar incerteza. π ∼p(π): distribuic¸ ˜ao a priori

x |π ∼ bin(n, π): dados (verossimilhanc¸a)

Regra de Bayes: encontrar a distribuic¸ ˜ao a posteriori de π p(π|x ) = p(π,x )_{p(x )} = p(x |π)p(π)_{p(x )} ∝ p(x|π)p(π)

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6- Retornando ao exemplo de Ecologia

p(π): Beta (α, β) conjugada da binomial.

p(π) = _Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)πα−1(1 − π)β−1; 0 < π < 1 p(π|x ) ∝ [πα−1_{(1 − π)}β−1_]πx_{(1 − π)}n−x p(π|x ) ∝ πα+x −1(1 − π)n+β−x −1

beta(α + x , n + β − x )

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Infer ˆencia Bayesiana

Como especificar α e β? (Informac¸ ˜ao a priori)

Por exemplo, utilizar α = β = 1, distribuiç ão uniforme. Ent ão temos:

π|x ∼ beta(1 + x , n − x + 1) Nosso caso: π|x ∼ beta(13, 9)

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Resumindo Infer ência a posteriori M édia = E (π) = _α+βα = ₁₃₊₉13 = 13₂₂ Moda = _α+β−2α−1 = 12₂₀ Vari ância= _(α+β)2αβ_(α+β+1) = 139 222₂₃

I.C Assint ´otico 13₂₂ ± 1.96pVar (π) = (0, 39; 0, 79)

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Int. Credibilidade a posteriori

Usando MC a partir da beta (13, 9)

Histogram of pi frequência 0 500 1000 1500

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Resumo dos Resultados

Teste Valor-p I.C.

Exato 0,503 (0,361;0,809) Qui-Quadrado 0,371 (0,385;0,782) Aprox. Normal 0,371 (0,385;0,815) Monte Carlo ≈0,50 (0,4;0,8) Bootstrap ≈0,50 (0,4;0,8) Bayesiano (0,38;0,78) 50/50