Matrizes e Polinômios
Duas matrizes A,B∈Matn(R) são semelhantes quando existe uma matriz invertível P∈Matn(R) tal que B=P−1AP.
Matrizes semelhantes possuem o mesmo polinômio característico, já que:
) det( ) det( ) ) ( det( ) det( 1 1 1 n n n n P A I P P AP P I P B I I A−λ = − −λ = − − − λ = −λ Exemplo: As matrizes 4 3 2 1 e − − 2 3 4 7
são semelhantes, pois: − ⋅ ⋅ = − − 1 0 2 1 4 3 2 1 1 0 2 1 2 3 4 7 . Além disso, (λ)= (λ)=λ2 −5λ−2 B A P P .
Uma matriz A pode ser diagonalizada quando existir uma matriz invertível P∈Matn(R) tal que AP
P−1 seja uma matriz diagonal. Esta matriz P é uma matriz de autovetores do operador relativo à
matriz A. Exemplo: Considere
[ ]
1 8 0 3 − = T , os autoespaços V3 ={(x,2x),x∈R} e V−1 ={(0,y),y∈R}, e uma base de autovetores{
(1,2),(0,1)}
. Assim, 1 2 0 1 = P , 1 2 0 1 1 − = − P e[ ]
− = ⋅ − ⋅ − = − 1 0 0 3 1 2 0 1 1 8 0 3 1 2 0 1 1 T P P .Considerando B=P−1AP, temos que B P AP P AP P AP P AkP
k k k 1 fatores 1 1 1 ) ( − = − − = − = 14 24K4 34 , com k∈ Z+. Se a
matriz A é diagonalizável então Dk =P−1AkP∴Ak =PDkP−1.
Exemplo: 1 8 0 3 10 = − − = − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ 1 118100 0 59049 1 2 0 1 ) 1 ( 0 0 3 1 2 0 1 1 2 0 1 1 0 0 3 1 2 0 1 10 10 10 Considere p(x) a xn ... a1x a0 [x] n + + + ∈R
= um polinômio e uma matriz quadrada A∈Matn(R).
Então p(A) é a matriz quadrada n n
nA a A a I
a +...+ 1 + 0 . Diz-se que o polinômio p(x) anula a matriz
A quando p(A)=0n.
Exemplo: Sejam p(x)= x2 −9, q(x)= x2 +3 e a matriz
− = 1 2 4 1 A .
= ⋅ − − = 0 0 0 0 1 0 0 1 9 1 2 4 1 ) ( 2 A p = ⋅ + − ⋅ = 5 4 8 1 1 0 0 1 3 1 2 4 1 2 ) (A q
Assim, o polinômio p(x) anula a matriz A, mas q(x) não.
Diz-se que um polinômio p(x)∈R[x] anula o operador linear T quando p([T]α)=0n, para toda base α de V.
Seja V um R-espaço vetorial n dimensional, T :V →V um operador linear e
] [ ... ) (x a x a1x a0 X p m m + + + ∈R
= um polinômio. Define-se o operador linear p(T):V →V tal que
) )( ... ( ) )( (T v a T a1T a0I v p m V m + + +
= . Se λ0 é um autovalor do operador T então p(λ0) é um
autovalor do operador linear p(T).
Exemplo: Seja T :R2 →R2 tal que T(x,y)=(3x,8x−y), cujos autovalores são 3 e − . 1
Considere o polinômio p(x)=2x3−4x2−x+3 e o operador p(T):R2 →R2 tal que
) , )( 3 4 2 ( ) , )( (T x y T3 T2 T I x y p = − − + . Assim, )p(T)(x,y)=(2T3)(x,y)−(4T2)(x,y)−T(x,y)+(3I)(x,y )) , ( ( 3 ) , ( )) , ( ( 4 )) , ( ( 2T3 x y − T2 x y −T x y + I x y = ) 3 , 3 ( ) 8 , 3 ( ) 16 , 9 ( 4 ) 56 , 27 ( 2 x x−y − x x+y − x x−y + x y = ) 3 , 3 ( ) 8 , 3 ( ) 4 64 , 36 ( ) 2 112 , 547 ( x x− y − x x+ y − x x−y + x y = ) 2 40 , 18 ( x x− y =
Então, os autovalores de p(T) são 18 e − . 2
Teorema de Cayley-Hamilton
(TCH) Sejam V um R-espaço vetorial n-dimensional eV V
T : → um operador linear. Então PT([T]α) =0n para toda base α de V.
dem: Seja 1 1 0 1 ) ( a ... a a P n n n T = + + + + − −λ λ λ λ
Denotaremos por A(λ) a matriz adjunta clássica da matriz [T −λIn]α
Os elementos de A(λ) são os cofatores desta matriz, sendo então polinômios em λ de grau menor ou igual a n−1. 0 1 1 1 ... ) ( A A A A n n + + + = − −λ λ λ sendo An−1,...,A0∈Matn(R).
Pela propriedade fundamental da adjunta clássica:
n n A T I I I T−λ ]α⋅ (λ)=det[ −λ ]α ⋅ [ n T n A P I I T− ] ⋅ ( ) = ( )⋅ [ λ α λ λ n n n n n n n A A A a a a I I T− ⋅ + + + = + − + + + ⋅ − − − ... ) ( ... ) ( ] [ 1 1 0 1 0 1 1 1λ λ λ λ λ λ α n n n n n n n n n T A A T A A T A a a a I A + − + + − + = + + + + ⋅ − − − − − − − ([ ] ) ... ([ ] ) [ ] ( ... 1 0) 1 1 0 0 1 1 2 1 1λ α λ α λ α λ λ λ (n) −An−1 = In
(n-1) [T]αAn−1 −An−2 =an−1In (n-2) [T]αAn−2 −An−3 =an−2In ... ...
(1) [T]αA1 − A0 =a1In (0) [T]αA0 =a0In Multiplicando-se a equação (n) por T n
α ] [ , (n-1) por [T]n−1 α , ... e (1) por [T]α, tem-se: (n) n n n A T T]α [ ]α [ 1 = − − (n-1) 1 1 2 1 1 [ ] [ ] ] [ − − − − − − n n = n n n n A T A a T T α α α (n-2) 2 2 3 2 2 1 [ ] [ ] ] [ − − − − − − − = n n n n n n A T A a T T α α α ... ... (1) [T]α2 A1 −[T]αA0 =a1[T]α (0) [T]αA0 =a0In
Somando-se as equações matriciais, n n
n n n T a T ... a1 T a0I 1 1[ ] [ ] ] [ + + + + = − − α α α 0 = PT([T]α).
Polinômio Minimal
Seja V um R-espaço vetorial n-dimensional e T:V →V um operador linear. Define-se o polinômio
minimal ou mínimo do operador linear T, mT(λ)∈R[λ], como sendo o polinômio mônico de menor grau possível tal que mT([T]α)=0n.
Exemplos: 1) T:R3 →R3 tal que T(x,y,z)=(2x+2y−5z,3x+7y−15z,x+2y−4z). ) 3 ( ) 1 ( ) (λ = λ− 2 λ− T P ) 3 )( 1 ( ) (λ = λ− λ− T m 2) T:R3 →R3 tal que T(x,y,z)=(4z,x,y−3z). ) 1 ( ) 2 ( ) (λ = λ+ 2 λ− T P ) 1 ( ) 2 ( ) (λ = λ+ 2 λ− T m 3) T:R4 →R4 tal que T(x,y,z,t)=(3x−4z,3y+5z,−z,−t). 2 2( 3) ) 1 ( ) (λ = λ− λ− T P ) 3 )( 1 ( ) (λ = λ− λ− T m
CorolárioTCH: O polinômio minimal de T divide o polinômio característico de T, isto é,
) ( | ) (λ T λ T P m . Teo87. n T T m P(λ)|( (λ))
Teo88. Os polinômios característico e minimal possuem os mesmos fatores irredutíveis e as mesmas raízes.
Teo89. Sejam λ1,λ2,...,λr autovalores distintos de T. Então T é diagonalizável se e somente se
) )...( )( ( ) ( 1 2 r T m λ = λ−λ λ−λ λ−λ .
Exercícios
1) Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores:
a) = − 3 1 2 2 ] [ para ) 1 , 2 ( T b) − = − 1 2 1 2 3 2 0 1 1 ] [ para ) 3 , 1 , 2 ( T
2) Os vetores (1,1) e (2,− são autovetores de um operador linear 1) T :R2 →R2 associados aos
autovalores λ1 =5 e λ2 =−1, respectivamente. Determinar T(4,1). 3) Determinar o operador linear T :R2 →R2 cujos autovalores são 1
1 =
λ e λ2 =3 associados aos autoespaços V1 ={(−y,y),y∈R} e V3 ={(0,y),y∈R}.
4) Determinar os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores lineares no R2. a) T(x,y)=(x+2y,−x+4y)
b) )T(x,y)=(y,−x
5) Dado o operador linear T no R2 tal que T(x,y)=(−3x−5y,2y), encontrar uma base de autovetores. 6) Verificar se existe uma base de autovetores para:
a) T :R3 →R3 tal que T(x,y,z)=(x+ y+z,2y+z,2y+3z)
b) T:R3 →R3 tal que T(x,y,z)=(x,−2x− y,2x+ y+2z)
c) T:R3 →R3 tal que T(x,y,z)=(x,−2x+3y−z,−4y+3z)
7) Seja T:R2 →R2 tal que T(x,y)=(4x+5y,2x+ y). Encontrar uma base que diagonalize o
operador.
8) O operador linear T :R4 →R4 tal que T(x,y,z,t)=(x+ y+z+t,x+ y+z,y+z+t,x+ y)
é diagonalizável?
9) Determine o polinômio minimal do operador
− − − − − 4 6 3 2 4 1 6 6 5 . 10) Dada a matriz 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 1 2 , verifique se é diagonalizável.
11) Seja a matriz triangular superior f e d c b a 0 0
0 , com todos os seus elementos acima da diagonal
distintos e não nulos. Indique os autovalores e os autoespaços. 12) Para que valores de a e b as matrizes
a 0 1 1 e 1 0 1 b são diagonalizáveis?
13) Se uma matriz A quadrada é diagonalizável então o determinante de A é o produto de seus autovalores?
14) Utilize a forma diagonal para encontrar An nos seguintes casos (n natural):
a) − − 2 1 4 3 b) − − − 2 2 0 0 4 1 6 7 0
15) Diz-se que um operador T: V → V é idempotente se T2 =T . a) Seja T idempotente. Ache seus autovalores.
b) Dê exemplo de um operador não nulo T :R2 →R2
idempotente. c) Mostre que todo operador linear idempotente é diagonalizável.
16) Seja V um espaço n-dimensional. Qual é o polinômio minimal do operador identidade? Qual é o polinômio minimal do operador nulo?
17) Verifique se a matriz − − − − − 0 1 1 1 1 2 2 2 0 0 1 1 0 0 1 1 é diagonalizável.
18) Determinar uma matriz de ordem 3 cujo polinômio minimal seja λ2.
19) Indique o polinômio minimal dos operadores considerando a, b, c, d e e constantes não nulas. a) T :R5 →R5 tal que T(x,y,z,t,w)=(ax+by,ay+bz,az+bt,at+bw,aw)
