ESTIMULANDO CULTURA GEOMÉTRICA PARA A ESCOLA BÁSICA
Resumo
O artigo procura abordar outros aspectos de geometria além da euclidiana, buscando for-necer alguns elementos que proporcionem uma base cultural geométrica mais ampla ao profes-sor que atua na escola básica. É lançado o con-ceito de cultura, discutido por Raymond Wilder, buscando conexão com aquele necessário para a geometria. No artigo são apresentados aspectos axiomáticos em modelos de geometrias não euclidianas de forma comparativa com o euclidiano, bem como uma caracterização do que seja um sistema axiomático e ensaiados modelos de tais sistemas emgeometrias não euclidianas, que podem ser enriquecedores para as ativida-des do professor. Umacaracterização deângulos é feita com base nos modelo euclidiano e não euclidianos.
Palavras-chave: cultura geométrica, sistema axiomático, construções geométricas, modelos de geometria, ângulos.
1. Retomando ahistória
Pode-se constatar que naantiguidade, com a EscolaPitagórica, aidéia de número era utili-zada e existia apenas para os inteiros positivos na Gréciaantiga. Havia dificuldade no tratado das medidas e das grandezas. Com aEscola Euclidiana as grandezas passaram a se relacionar com os segmentos e com istoos números passaram a se relacionar a conjuntos discretos enquanto que as
Prof. José Garfos Pinto Leivas'
grandezas, a conjuntos contínuos. Houve uma mudança comportamental notratamento mate-mático, a saber, as grandezas sendo tratadas por métodos geométricos.
A concepção de resolver problemas dessa natureza passoua ter um tratamento concomitante com a construção dosproblemas,originando-se uma "nova álgebra".Nessanovaálgebra, problemas que na linguagem atual seriam expressos por ax
=
h, por exemplo, nãomais tinham apenas um signifi-cado algébrico. Passaram ater uma interpretação ou solução geométrica. Para tal, considera-se ax como sendo a área de um retângulo ehcomo um segmento de reta.Note-se que na igualdade há sig-nificados diferentes nos dois membros. Enquanto que o primeirotermo expressauma área,o segun-do expressauma medida decomprimentoe as duas grandezas, portanto, são distintas. O problema ne-cessita assim terumainterpretação geométrica co-erente, ou seja, encontrar aaltura x deum retân-guloque tenha uma dimensão conhecida"a"e cuja área seja amesma de outro retângulo de dimen-sões conhecidas "h" e "1", para poder ser estabelecida comparaçãoentremesmasgrandezas. Segundo Machado (2005, p.4), aoutilizar a História da Matemática, como recurso didático facilitador dasituação ensino-aprendizagem, de-verá ser privilegiada abusca do desenvolvimen-to dos conceidesenvolvimen-tos matemáticos bem comosua evo-lução ao longo de determinados períodos.Aorecuperar a gênese dos proces -sos de descoberta em Matemática, e acompanhar ofluxo dosconceitos
!DUCA~OMATEMÁTlCA EMREVISTA-RS ~~ ~.~ __ ,~
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=
_
eidéias ligados aos problemas que o motivaram, o professor terá uma visãomais clara do desenvolvimen -to da Matemática, sua natureza, seu método, aspectos indispensáveis à sua formação.
Em gerat os cursos de geometria come-çam com a busca designificação da palavra geo-metria e sua utilização para medições de terra pelas invasões do rio Nilo enão vão muito além disso,por exemplo,vendo a geometria como um corpo axiomático. Parece ser fundamental queao futuro professor seja proporcionado um desen-volvimento cultural deMatemática e,em especi-al, de geometria a fim de quepossa propiciar um conhecimento mais amplo e mais motivador, não ficando na pura memorização de fórmulas e defi-niçõescomo se percebe inclusive emcursos uni-versitários.
Wilder (1998) apresenta o conceito de cultura como não sendo um antídoto para as doenças que atacam a Matemática, mas sim como uma base para a compreensão de sua natureza ou ainda a iluminação para muitos problemas. Segundo o autor, a cultura mate-mática não resolve tais problemas, mas aponta soluções para os mesmos. Se a formação dos futuros professores é construída, tendo por base uma formação cultural a respeito do conheci-mento, de forma consistente, não apenas com reproduções dos mesmos, é possível que por algum tempo osprofessores e futuros profes-sores adeixem adormecida. Entretanto, quan-do forem atuar com seus alunos e se defronta-rem com situações de ensino-aprendizagem ou questionamentos quanto à nececsidade de de-senvolvimentos de determinados conteúdos, estarão aptos a recorrer aos conhecimentos adormecidos e promover discussões relevan-tes para a formação dosmesmos, talvez até des-pertando o interesse por novas aprendizagens. Em caso de não terem adquirido conhecimen-tos amplos, provavelmente serão professores que respondem que "isto serve para um futuro próximo (ou não tão próximol)".
Ainda o mesmo autor diferencia o proces-so cultural chinês do grego, estabelecendo que para umhistoriador chinêsporvolta dosanos 500 d.C, os fatos matemáticos eram focados em cál-culos numéricos e na resolução de equações sem maiores alusões à geometria. Nahistória grega,
anos 200 d.C,a questão era inversa - por assim dizer -o focoestava na geometria, havendo mui-to pouca alusão àálgebra eaoscálculos numéri-cos. Em contrapartida aos dois momentos cita-dos pelo autor, o historiador moderno estaria des-tacando um envolvimento tanto algébrico quan-togeométrico da Matemática.
A partir disto, pode-se buscar aformação de professores que tenham emmente que a Ma-temática pode ser tida como uma ciência dinâ-mica em constante movimentação. No presente artigo discute-se essa movimentação pormeio de conceitos em modelos euclidianos e não euclidianos e mostra-se que a onipotência da Matemática inexiste, em particular tratando-se de um tema que mudou profundamente o conhe-cimento da humanidade no século XIX com a construção, e não descoberta, de mundos não euclidianos,deixandoaexclusividade de um pen-samento euclidiano, aexemplo do que se passou na Física indo dopensamento clássicode Newton o Quântico. O que sevênoscursos universitários é a inexistência dediscussões atuais sobre o co-nhecimento geométrico moderno, oque faz com que o ciclo viciosonão seja rompido, pois o for-mador de professores não sequalificanesse sen-tido e não qualifica seus formandos para pode-rem formar novos estudantes com novas pers-pectivas técnicas eculturais, muito embora exis-ta nos currículos o que denomina Fundamentos de Matemática, masquese concentram num elen-co de conteúdos de forma isolados, como por exemplo, trigonometria, análise combinatória. geometria, geometria analítica. Entende-se a necessidade de que ofuturo professor ao atuar em geometria precisa ter umconhecimento mais amplo dessa área.
Segundo Wilder (2005, p.14), "Se o con-ceito de cultura nos dizalgo,deveria ensinar-nos que a primeira regra para estabelecer qualquer teoria deFundamentos é que esta teoria só pode tentar abarcar porções específicas docampo tal como ele é conhecido na nossa cultura".
Oqueocorrecomosfundamentos da geo-metria é que o método dedutivo, desde os gre-gos, lhe é associado e, quando há a passagem para a álgebra epara os números, embora exis-tamdemonstrações geométricas, estas nãoficam evidenciadas. O método axiomático em suas ver-tentes doforrnalismo. daabstração edadedução tem fortes ligações geométricas, não obstante se encontre nageometria dosegípcios e babilônios
constatações fundamentadas no empirismo e na experimentação, mostrando uma antecedência à geometria grega.
Geometria e Lógica têm forteligação, sen-do talvez o exemplo mais característico de axiomatização que tem sido utilizado por pro
-fessores e estudantes, senão o único, como se isto não ocorresse com outros ramos da Mate-mática como, por exemplo, a axiomatização de Peano para aconstrução do conjunto dos
núme-ros naturais, que na maioria das vezes nem se-quer énomeada.
A história aponta que Euclides definiu
pon-to e reta daseguinte forma (em linguagem atual): Ponto é o que não tem partes.
Retaé um comprimento sem medida. A partir disso, construiu suaaxiomatização usando definições e cincoaxiomas.Tendo em vista que somente com cinco axiomas é impossível
construir ageometria, Euclides empregou outros axiomas em suas demonstrações. É a partir de Hilbert [1862-1943] que se elabora o primeiro
conjunto completo de axiomas da geometria
euclidiana. Nessa construção, as definições
da-daspor Euclides para ponto, reta, plano e
espa-ço, passaram a ser consideradas comoelementos primitivos não definidos. Em geral, por não
ha-ver discussão erelação entre osdois aspectos de geometria, muitos professores, livros didáticos e
autores ainda continuam utilizando definições para os elementos primitivos e considerando que a axiomática em uso atualmente éaquela elabo-rada por Euclides.
É interessante discutir sobreo que aconte-ceu napassagem do século XIX para o século XX paranão sepensar que houve apenasuma
mudan-ça nos rumosda geometria. O que ocorreu naquele momento foiuma grande virada naforma do pen-sar e agir tendo como base a Matemática e as for-mas de encarar o conhecimento, pois até aquele momento opensamento matemático era um pen-samento geométrico e,ainda mais,um pensamen-to euclidiano. Éao final do século XIXque começa-ramaacontecer congressos entrematemáticos. As discussõese adisseminação do conhecimento pas-sou aacontecer.Segundo Boyer (1996, p. 147),um marco foi o'Congresso Internacional de Matemáti-ca, realizadoem 1893 em Chicago,seguido em 1897 peloprimeiro de uma série de congressos oficiais de matemáticos realizados a cada quatro anos,
excetuadas as interrupções causadas por duas g
uer-ras mundiais epelaguerra "fria":
Como Gauss foium dos expoentes da Ma-temática em seu tempo, havia um certo pensar de que não haveria depois dele nenhum mate-mático que tratasse essaciênciaemtodos os seus campos, comopura ou aplicada. Surgiu Poincaré, que passou aconsiderá-la como seu domínio e
trouxe inúmeras contribuições tanto para a Ma-temática quanto para a Ciência, em geral, em-bora iremos nos referir apenas à sua con tribui-çãopara ageometria. Por ter sido estabelecida uma comparação entre os dois matemáticos é importante esboçar algumas comparações en-tre eles, a saber, Gauss eraprodígio em cálculos o que não era o caso de Poincaré. O primeiro escrevia relativamente pouco, enquanto que o segundo escrevia epublicava mais do que qual-quer outro matemático. Umponto em comum entre os doiséque tinham uma "forte pre ferên-cia por teoremas gerais emvezde casos e specí-ficos" e ambos contribuíram para uma grande variedade de ramos da Ciência.
Para nosso propósito é importante perce-ber a importância de Poincaré edeRiemann, que eram hábeis no tratamento de problemas de na
-tureza topológica, sem sepreocuparem comsua representação formal. no sentido clássico, por serem intuicionistas. Nesse fluxode discussões e de produções matemáticas que movimentavam a época, surge o matemático alemão Hilbert (1862-1943), que publica seu ponto devista.
[' ..J que se tornou típico de sua obra e influência: caracteriza-se
por ênfase em abstração,
aritmetização e desenvolvimento lógico de conceitos e teorias da matemática. Hilbert expressou a opinião de que todos os ramos da matemática exigem um graupelo menos igual de abstração, desde que se sujeite ofundamento des-ses ramos aomesmo estudo r igo-roso ecompleto que énecessário. Enfatizou a inter relação entre te-oriados números e álgebra, bem como aexistente entre teoria dos números e teoriadasfunções como se tornara claro durante oséculo dezenove. (BOYER,1996,p.423).
Era de seesperar uma revolução no pen-sar geométrico e foi com Hilbert que surgiram
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"Os Fundamentos da Geometria". Embora tratas-se de muitos assuntos, comodito acima, buscava concentração em um tema de cadavez, maspelo propósito deste artigo cabe falar sobreseus estu -dos e contribuições na geometria. Em 1898-1899 publicou a obra acima, que exerceu forte influ -ência na Matemática doséculo
xx.
Retomando -se "OsElementos", percebia-se a existência de uma estrutura dedutiva, porém contendo hipó -teses ocultas, definições sem sentido, dificul da-des de compreensão em linguagem inadequada e falhas lógicas. EmBoyer (1996, p.424), encon -tra-se queo
caráter puramente dedutivo e formal da geometria, como dos ou-tros ramos da matemática, ficou completamente estabelecido desde o começo doséculo vinte. Hilbert é o principal representante de uma escolaaxiomática, que foi influente na formação das atitudes contemprâneas na matemática e no ensino da matemática. Pontos, re -tas e planos devem ser entendidos apenas como elementos de certos conjuntos dados, abandonando o ní -vel empirico-dedutivo das antigas concepções geométricas.
2.Primeiros axiomas euclidianos numa visão não euclidiana
Comovistoantes, Euclides utilizou ponto e linha,como elementos básicos,mas definindo-os:
a) ponto é oque não tem partes;
b) reta é um comprimento sem medida (além de outras definições).
Na suatentativa de axiomatização utilizou cincoaxiomas, dos quais destacamos a seguir três, que atualmente podem ser observados de um ponto devista mais amplo, não apenas pensando no plano euclidiano, como usualmente é condu-zido todo o estudo e pensamento de geometria desde ocomeço daescolaridade:
Axioma I:Uma linha reta pode ser traçada de umponto aqualquer outro.
A B
Figura 1
Figura 2
Figura 3
AxiomaII:Umalinhareta(finitapara Euclides) podeserprolongada nos dois sentidos
Euclides não imaginou que poderia haver espaço em que esta linha não seria apenas areta convencional que usou emtodo seu trabalho (fi-gura 1),inclusive significando aos dias de hoje o que caracterizamos como segmento de reta. Nos espaços não percebidos por Euclides se pode ca-racterizar também como "reta", as linhas assina -ladas nas figuras 2 e 3.
Asfiguras 1 e 3,acima, mostram a reta no sentido deEuclides (umsegmento dereta nalin -guagematual) podendoprolongar-se infinitamente nos doissentidos. Já nafigura central, se prolon-garmos apartir deBareta retorna aooutro ponto A, não podendo prolongar-se infinitamente.
AxiomaV: (Postuladopara Euclides) Se uma linharetacortaduasoutras linhas retas, e se a somadosdoisângulosinternos de um lado dela émenorque doisretos, então as outras linhas retas corta-se-ão doladodesses ângulos
II
S -- -- - .----p---
--i
--
---
--
---I' Figura 4 A p Figura 5
Afigura 4 está mostrando que a soma dos doisângulos assinalados émenor doque dois
re-tos. Asretas r esestão seinterseccionando em P, nãosendo paralelas. Na figura 5 os dois ângulos assinalados sãoretos (formados pelas retas r em azule sem verde com vértice Be t em vermelha e s com vértice A).As retas ret também se cortam sob um ângulo reto em P,logo não são paralelas. Não há retas paralelas numa geometria sobre a esfera. Observa-se ainda queo triângulo de vért i-cesA,B e P,formado pelas três retas tem ângulos retos, istoé, suasoma éiguala 270°, o que foge a
uma das características dageometria euclidiana.
Na construção de Hilbert aparecem,além do ponto, dareta, do plano e doespaço, como termos nãodefinidos,as seguintes relações não definidas:
incidência; pertencer a; pertencer entre; congruência; paralelismo; econtinuidade; e osseguintes conjuntos deaxiomas:
incidência;ordem, congruência, paralelismo e continuidade.
Uma nova construção para a geometria é apresentada por Lobatschevsky em 1835 - Novos Princípios de Geometria. Nesses princípios cons-ta não uma equivalência com a axiomática de Euclides e sim uma contradição quanto ao quinto postulado. Eisseu enunciado:
"Sendodada uma reta eum ponto nãoper
-tencente àreta, existem pelo menos duas retas que possuem o ponto e que são paralelas à reta (nãointerseccionam aprimeira)".
Esse axioma, juntamente com os demais da Geometria Euclidiana, constituem a
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tria Lobatschevskiana. Há teoremas comuns en-tre asduas eteoremas distintos, osquais não são
objeto deste artigo.
Riemann porsua vezestuda a axiomática
de Euclides, tendo apresentado outro sistema axiomático para a geometria. Nessa axiomática
tem-se oequivalente ao quinto postulado e
nun-ciado da seguinte forma:
"Porumponto nãopertencente a uma reta,
não existe reta paralela a ela (que não a interseccione)" .
3.UmSistema Axiomático
Umsistema éuma linguagem apropriada para analisar certos tipos de problemas de forma abstrata. É dito consistente quando não apresen
-ta contradições, isto é, quando não é possível deduzir logicamente do grupo de axiomas, um teorema e a sua negação. Em geral um sistema apresenta:
linguagem própria; conjunto de palavras não definidas; conjunto de axiomas; conjunto de teoremas; sistema lógicodedutivo.
UmModelo de Sistema
Ummodelo para um sistema pode ser dito como sendo qualquer interpretação coerente que
se façadosistema, utilizando a linguagem própria, as palavrasnãodefinidas,os axiomase os teoremas obtidosdedutivamente. Assim,um modelo éuma aplicação ou uma realização do sistema. Barbosa (1970)apresenta um esquema queéadaptado abai
-xo, mostrando como um sistema pode ter vários
modelosouvárias aplicaçõesdiferentes.
Sistema matemático
Situações específicas
Modelos De Geometria Lobatscheviskiana
Dois modelos são apresentados a seguir, de forma bastante simples e que possibilitam analisar e discutir abordagens distintas aos con-ceitos que, usualmente, sãotratados já no inicio
da escolaridade em geometria, direcionando
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..
•
clusivamente para a visao euclidiana. Em tais modelos caracterizam-se os elementos pri miti-vos ponto, reta e plano para posteriormente i n-terpretação de alguns axiomas.
Modelo 1: Considera-se um círculo e in-terpreta-se como plano deLobatschevsky ao i n-terior desse círculo.
A palavra "ponto" étraduzida como ponto no sentido usual euclidiano (no caso um dos pon-tos pertencentes ao interior do círculo enão per-tencente à circunferência associada a ele).
A palavra "reta" étraduzida como a parte de uma reta no sentido usual (como o plano é o interior do círculo, a reta é parte do que se cha-ma corda da circunferência, por não conter os extremos que pertencem à circunferência).
Tomando-se uma "reta c" (figura 6), por qualquer ponto P, não pertencente à c, pode-se traçar, pelo menos, as "retas" a e b, que passam pelas interseções da reta c (corda) com a circunfe-rência. Essas duas retas ae b não têm ponto co-mum interior ao círculo com a reta c, satisfazendo adefinição deretas paralelas (interseção vazia).
cna
=0
}
=:>a,b/íccnb=0
a rvb ={P}
Figura 6
o
modelo assim caracterizado é conhecido como de Klein.Modelo 2: Considera-se uma reta básica r e um dos semi-planos de origem nela. O plano de Lobatschevsky é um dos serní-planos limitados pela reta básica, excluída essa. Traduz-se as palavras
"ponto" e "reta", respectivamente, por ponto P no sentido usual euclidiano e semicircunferência C de centro na reta básica .
Dados dois pontos quaisquer distintos, A e B, não pertencentes à reta básica, então eles per
-tencem a uma e uma sóreta (semicircunferência C).Toma-se o segmento dereta usual unindo A e B.Osegmento de reta, perpendicular a AB pelo
seu ponto médio, encontra a reta básica r no
pon-toC que écentro da semicircunferência única
con-tendo A eB(figura 7).
Duas retas (semicircunferências) distintas
possuem em comum nomáximo um ponto, oque
é mostrado na figura 8quando as retas s e t têm
o ponto Qem comum.
A
c
P
r Figura 7 Qs
r Figura 8Dados um ponto P, uma reta r com oponto P não lhe pertencendo, uma reta básica u, cuja
intersecção comréconstituída pelos pontos Ae
B (figura 9). Existe, em geral, pelo menos as re -tas t que contem Be Pe s que contem A e P que
não tem ponto comum com a reta r, satisfazendo a definição de retas paralelas
srvt={P} rrvs
=
0}
=:>s.t/1 r rnt=0 O' A o B u Figura 9O modelo acima é denominado modelo de Poincaré.
Aconsistência de um sistema foge aos ob -jetivos desse texto. Procuramos comos exemplos
acima ilustrar existência de outros modelos além
do euclidiano e algumas comparações entre eles.
Da mesma forma, a busca de contradições na
construção de um modelo que tornaria o sistema
não consistente, vai além do que pretendemos
atingir no artigo. Um detalhamento mais
aprofundado de modelos de geometrias não
euclidianas pode ser encontrado em Leivas (1988, 1992, 1996).
Modelo de Geometria deRiemann
Riemann propõe o seguinte axioma:
"Por um ponto não pertencente a uma reta não existe reta paralela ".
Num dos sistemas Riemannutiliza o
axio-ma: "Se dois pontos são distintos, então eles
per-tencem a uma reta", mas não utiliza o axioma:
"Se dois pontos são distintos então eles
perten-cem no máximo a uma reta".
Considera-se como plano da Geometria
Riemaniana, a superfície de uma esfera usual
euclidiana. Traduz-se apalavra "ponto" por
pon-to no sentido usual, e "reta" por circunferência
máxima. A "
,
,
,,
\s:
\
--
--
-
t-
----\
r
-.-
_
I 1- ....+
o:
,
r I I I I I I I I,
B Figura 10Qualquer pontoPda superfície esférica
per-tence a uma circunferência máxima s. que é
obti-da pela intersecção da esfera com um plano que
passa pelo seu centro e por este ponto P. Além
disso, pode-se passar por P infinitos planos
con-tendo o centro da esfera e o ponto. Tais planos
interseccionados comaesfera resultam
circunfe-rências máximas (comoas retas s erda figura 10).
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Dadosdoispontos distintos, sempre exi
s-te um plano que passa pelo centro da cir
cunfe-rência, gerando uma circunferência máxima
que os contém, portanto eles pertencem a uma
"reta". No caso dos pontos serem
diametralmente opostos, comoA e B,eles
per-tencem a mais deuma reta.
Por outro lado, dado um ponto A e uma
reta s, qualquer plano que passe pelo centro da
esfera, 0, e contendo A, interseccionará a reta,
em dois pontos. Portanto, nãose tem "reta"
pa-ralela à reta dada, valendo o axioma de não
exis-tência de paralela.
As "retas" assim caracterizadas nessas
geometrias sãodenominadas geodésicas. Um
es-tudo de geodésicas em superfícies pode ser
en-contrado emLeivas (1985).
4.Interpretando ângulos em modelos
Define-seângulo como sendo a reunião de
duas semi-retas que têm a mesma origem.
As-sim, ângulo édefinidocomoumconjunto de
pon-tos. Filósofosgregos discutiam sobre considerar
ângulos como:
quantidade - qualidade - relação
que foi uma categoria criada por Aristóteles.
Próclus diz queé umacombinação das três, pois
necessita: quantidade envolvida na
magnitu-de; qualidade que lhe édada pela forma;
rela-ção que subsiste entre as retas e os planos que
o limitam.
Em 1893, H. Shotten categoriza as
defini-ções de ângulo em:
- diferença de direções entre duas linhas
retas;
- medida de rotação necessária para
tra-zer um lado de sua posição inicial para
o outro;
- porçãodo plano entre as duas retas que
o definem.
Atualmente, a definiçãomais utilizada é a
apresentada noinício desta seção, que conduz a
um conjunto depontos.
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-Comparando ângulos em modelos
Geometria Euclidiana
7
j
r
.:
I
LBAC= AR v ACR pertence aointerior doângulo
Geometria Lobatschevsky R
c
A B reta r:semi-circunferência AC reta s:semi-circunferência AB origem comum: A L PAQ=AP vAQR pertence aointerior doângulo
Geometria de Riemann
A
B
reta s: serní-circunferência APB reta r:semi-circunferência AQB
origem comum: A
L.PAQ=AP uAQ
R pertence aointerior doângulo
..
Finalizando o artigo pode-se perguntar
qual a importância ou interesse emestudar geo-metrias não euclidianas? Isto conduziria, dentre
outras questões, aoestudo da Física que rege o
universo, da passagem daFísica Newtoniana para
a Quântica. Outroaspecto a ser tratado é relati-vamente aos triângulos geodésicos, isto é, os tri-ângulos cujosladossão as "retas" de uma
super-fície, como aqueles formados sobre uma esfera
(figura5).Nos modelos não euclidianos, a adição das medidas dos ângulos internos de um
triân-gulo tem diversos resultados. No modelo de
Riemann, o valor é maior do que 1800 e no de
Lobatschevsky émenor do que 1800•
Umaforma declassificar geometrias pode
ser pormeio damedida da curvatura da
superfí-cie,adenominada curvatura gaussiana. O leitor interessado podeencontrar uma talclassificação em Leivas (1985).
6. Conclusão
Poder-se-iaapresentar várias utilizações de geometrias que nãosejam euclidianas, o que
tor-naria oartigo demasiado longo. Algumas
aplica-çõesimportantes dizemrespeito atriângulos es-féricos, distâncias esféricas, ângulos esféricos, todos eles como aplicações úteis de geometria,
por exemplo, para anavegação marítima.
Oque norteou oartigo foi uma
possibili-dade de despertar para uma abordagem da
geo-metria como um sistema axiornátíco. promover
umavisão cultural maisampla e subsidiar os pro-fessores oufuturos professores nasua prática. A
existência degeometrias além da euclidiana
ain-da é desconhecida pormuitos e acredita-se que
para um ensino atual desta disciplina é
necessá-rio quesetenha umconhecimento amplo,
inclu-indo atémesmo questões não abordadas no
arti-go, comogeometrias finitas. 7.Referências
BARBOSA, Ruy Madsen. Elementos de lógica
aplicada ao ensino secundário. São Paulo:
Livra-ria NobelS.A.,1970.
BOYER,Carl B.História da matemática. 2. ed.
SãoPaulo:Edgard Blücher Ltda., 1996.
DAVIS,PhilipJ. ErHERSH, Reuben. A
experiên-cia matemática. 3. ed. trad. João Bosco
Pitornbeira.Riode Janeiro:Francisco Alves,1986.
3
LEIVAS,J.C.P.Um estudo de superfícies em R .
Dissertação de Mestrado. Universidade Federal de Santa Catarina, 1985.
______ . Geometrias não euclidianas. 1a
parte - uma classificação. Vetor: revista de Ciên-cias Exatas e Engenharias, RioGrande, v.2, p. 99-106,1988.
______ . Geometrias não euclidianas. 2a
parte - um modelo de geometria hiperbólica. Vetor: revista de Ciências Exatas e Engenharias, Rio Grande, v. 3, p.57-63, 1992.
DUTRA,LM.; LEIVAS,J.C.P. Geodésicas &cia: um paralelo entre geometria diferencial egeometria euclidiana. Vetor: revista de Ciências Exatas e Engenharias, Rio Grande, v. 6,p. 77-84, 1996.
1 Prof. aposentado Fundação Universidade Federal do Rio Grande Prof.doCursodeMatemática daULBRA- Canoas
EDUCAÇÃO MATEMÁ TlCA EM REVISTA - RS
MACHADO,Maria da Penha Lopes. Lições da Antigüidade. Presença pedagógica, edição espe-cial.BeloHorizonte: WilliamLivrosLtda., 2005. REZENDE,Eliane Q.F.;QUEIROZ,Maria Lúcia B.
Geometria euclidiana plana econstruções
geomé-tricas. Campinas, SP: Editora daUnicamp, 2000.
SKEMp, R. Psicologia del aprendizagje de Ias matemáticas. 2. ed. Madrid: Ediciones Morata,
S.L.,1993.
STRUIK,D.J. História concisa das matemáticas. 3.ed.Lisboa: Gradiva, 1997.
WILDER,Raymond. A base cultural daMatemáti
-ca. Cadernos de educação e matemática, Lisboa,
ano 3.Associaçãode Professores de Portugal, 1998.
