Solução da equação de difusão de nêutrons multigrupo multirregião estacionária em geometria cartesiana pelo método da potência via fronteiras fictícias

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Programa de P ós-Graduaç ão em Modelagem Matem ática

Dissertac¸ ˜ao

Soluç ão da Equaç ão de Difus ão de N êutrons Multigrupo Multirregi ão Estacion ária em Geometria Cartesiana pelo M étodo da Pot ência via Fronteiras

Fict´ıcias

Rodrigo Zanette

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Soluç ão da Equaç ão de Difus ão de N êutrons Multigrupo Multirregi ão Estacion ária em Geometria Cartesiana pelo M étodo da Pot ência via Fronteiras

Fict´ıcias

Dissertaç ão apresentada ao Programa de P ós-Graduaç ão em Modelagem Matem ática da Universidade Federal de Pelotas, como re-quisito parcial à obtenç ão do t´ıtulo de Mestre em Modelagem Matem ática

Orientador: Prof. Dr. Claudio Zen Petersen

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Z28s Zanette, Rodrigo

ZanSolução da equação de difusão de nêutrons multigrupo multirregião estacionária em geometria cartesiana pelo método da potência via fronteiras fictícias / Rodrigo Zanette ; Claudio Zen Petersen, orientador. — Pelotas, 2017.

Zan70 f.

ZanDissertação (Mestrado) — Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática, Instituto de Física e

Matemática, Universidade Federal de Pelotas, 2017.

Zan1. Equação da difusão de nêutrons. 2. Método da potência. 3. Fronteiras fictícias. 4. Interpolação. I. Petersen, Claudio Zen, orient. II. Título.

CDD : 539.7213 Elaborada por Ubirajara Buddin Cruz CRB: 10/901

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No final deste ciclo, grande é a minha gratid ão a todos que propiciaram meu cres-cimento humano e intelectual. De modo especial, agradeço a Deus pelo dom da vida e por todos os sinais de provid ência.

Agradec¸o a minha fam´ılia que sempre me apoiou e incentivou ao longo de todos os anos de estudo.

Agradeço ao meu orientador Prof. Claudio Zen Petersen pela oportunidade de realizaç ão deste trabalho, pela orientaç ão, pelos ensinamentos e pela amizade.

Agradeço a todos os professores e colegas do Programa de P ós-Graduaç ão em Modelagem Matem ática da UFPel pela troca de conhecimento, pela amizade e pelo apoio.

Por fim, agradeço a Coordenaç ão de Aperfeiçoamento de Pessoal de N´ıvel Supe-rior (CAPES) pelo suporte financeiro.

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ZANETTE, Rodrigo. Soluç ão da Equaç ão de Difus ão de N êutrons Multigrupo Multirregi ão Estacion ária em Geometria Cartesiana pelo M étodo da Pot ência via Fronteiras Fict´ıcias. 2017. 70 f. Dissertaç ão (Mestrado em Modelagem Matem ática) – Programa de P ós-Graduaç ão em Modelagem Matem ática, Instituto de F´ısica e Matem ática, Universidade Federal de Pelotas, Pelotas, 2017.

Neste trabalho é apresentada uma soluç ão da equaç ão de difus ão de n êutrons multigrupo multirregi ão estacion ária em geometria cartesiana pelo m étodo da pot ência via fronteiras fict´ıcias. A equaç ão é resolvida aplicando um m étodo iterativo de fonte, denominado m étodo da pot ência, que consiste em resolver a equaç ão de difus ão de n êutrons a cada iteraç ão, em que o termo fonte é sempre atualizado pelo fluxo de n êutrons da iteraç ão anterior. Esse processo é mantido at é um determinado crit ério de parada para a converg ência da soluç ão. Entretanto, em cada nova iteraç ão, o termo fonte recebe novos termos, o que torna o processo muito trabalhoso. Para superar este problema é proposta a reconstruç ão do fluxo de n êutrons atrav és de uma interpolaç ão. Assim, a soluç ão permanece em uma forma padr ão para todas as iteraç ões. Todavia, quando se modelam problemas com longos dom´ınios e v árias regi ões, necessitam-se polin ômios de alta ordem para descrever o fluxo de n êutrons com precis ão. Neste processo de interpolaç ão as matrizes envolvidas possuem grandes dimens ões, tanto devido à ordem do polin ômio quanto ao n úmero de pontos do dom´ınio. A fim de reduzir a ordem do polin ômio e as dimens ões das matrizes envolvidas, para tornar o processo mais r ápido do ponto de vista computacional, o dom´ınio é subdividido em R regi ões fict´ıcias na qual interpola-se e resolve-se a equaç ão de difus ão de n êutrons localmente em cada uma dessas regi ões. As constantes arbitr árias que surgem da soluç ão homog ênea s ão encontradas aplicando condiç ões de contorno, continuidade de fluxo e continuidade de densidade de corrente nas interfaces. Para analisar a sensibilidade dos par âmetros nucleares na converg ência e no comportamento da soluç ão é introduzida uma perturbaç ão em cada par âmetro de mesma ordem de magnitude, utilizando uma flutuaç ão rand ômica multiplicada por uma constante. Os resultados obtidos s ão comparados com os resultados presentes na literatura.

Palavras-chave: Equaç ão da Difus ão de N êutrons, M étodo da Pot ência, Fronteiras Fict´ıcias, Interpolaç ão.

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ZANETTE, Rodrigo. Solution of the Stationary Multi-layer Multi-group Neutron Diffusion Equation in Cartesian Geometry by Fictitious Borders Power Method. 2017. 70 f. Dissertaç ão (Mestrado em Modelagem Matem ática) – Programa de P ós-Graduaç ão em Modelagem Matem ática, Instituto de F´ısica e Matem ática, Univer-sidade Federal de Pelotas, Pelotas, 2017.

In this work it is presented a solution of the stationary multi-layer multi-group neu-tron diffusion equation in cartesian geometry by fictitious borders power method. The equation is solved applying the iterative power method that consists in solving the neu-tron diffusion equation for each iteration in which the source term is always updated by neutron flux on the previous iteration. This process is held until a determined stop criterion for the convergence of the solution. However, for each new iteration, new terms are added, which becomes very laborious. To overcome this problem it is pro-posed the reconstruction of the neutron flux by interpolation. The solution remains in a standard form for all iterations. Nevertheless, when the problem has large dimensions and various regions, polynomials of high order to describe the neutron flux accurately are needed. In this interpolation process the matrices involved have large dimensions, both due to the order of the polynomial as the number of domain points. With the aim of reducing the order of the polynomial and the dimensions of the matrices in-volved, making the process faster in computational point of view, the domain is divided into R fictitious regions that interpolates and solves the diffusion equation neutron lo-cally in each region. The arbitrary constants arising from solution of the homogeneous problem are found by apply boundary conditions, flux and current density continuity at interfaces. To analyze the sensitivity of the nuclear parameters in the convergence and behavior of the solution it is inserted a perturbation for each parameter of same mag-nitude order using a random fluctuation multiplied by a constant. The results obtained are compared with results present in the literature.

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Figura 1 Volume arbitr ´ario V com ´area de superf´ıcie A. . . 21

Figura 2 Representaç ão de uma problema com duas regi ões reais e R regi ões fict´ıcias. . . 32

Figura 3 Regi ˜oes fict´ıcias transladadas. . . 32

Figura 4 Gr ´afico do CT1-2G1R. . . 35

Figura 8 Gr áficos do fluxo de n êutrons r ápido: com e sem perturbaç ão. . . 45

Figura 9 Gr áficos do fluxo de n êutrons t érmico: com e sem perturbaç ão.. . . 46

Figura 10 Esboc¸o de uma placa plana com suas r regi ˜oes. . . 49

Figura 11 Adaptando o dom´ınio para a soluc¸ ˜ao do problema. . . 52

Figura 12 Fluxo escalar de n êutrons r ápido e t érmico do problema homog êneo quando y = 0. . . 54

Figura 13 Fluxo escalar de n êutrons r ápido e t érmico do problema homog êneo.. . . 54

Figura 14 Ilustraç ão da configuraç ão do problema heterog êneo. . . 55

Figura 15 Gr áfico do fluxo escalar de n êutrons r ápido nos cortes transversais em y = 2e y = 6. . . 57

Figura 16 Gr áfico do fluxo escalar de n êutrons t érmico nos cortes transversais em y = 2e y = 6. . . 57

Figura 17 Ilustraç ão do gr áfico do fluxo escalar de n êutrons r ápido. . . 58

Figura 18 Ilustraç ão do gr áfico do fluxo escalar de n êutrons t érmico. . . 58

Figura 19 Ilustraç ão do fluxo escalar de n êutrons r ápido perturbado no corte trans-versal em y = 6. . . 60

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Tabela 1 Par ˆametros nucleares do CT1-2G1R. . . 34

Tabela 2 Autovalores dominantes (Kef f) para CT1-2G1R. . . 34

Tabela 3 Fluxo escalar de n ˆeutrons para CT1-2G1R. . . 35

Tabela 11 Resultados do Kef f e da pot ˆencia por regi ˜oes para CT3-2G3R.. . . 40

Tabela 13 Percentuais m áximos da perturbaç ão. . . 42

Tabela 14 Perturbaç ão dos par âmetros nucleares. . . 43

Tabela 15 Valores dos Kef f para cada par ˆametro perturbado. . . 44

Tabela 16 Par ˆametros nucleares do problema homog ˆeneo. . . 52

Tabela 17 Valores de cada termo do somat ´orio. . . 53

Tabela 18 Fluxo escalar de n êutrons r ápidos do problema homog êneo. . . 53

Tabela 19 Fluxo escalar de n êutrons t érmicos do problema homog êneo.. . . 54

Tabela 20 Par ˆametros nucleares do problema heterog ˆeneo. . . 55

Tabela 21 Fluxo escalar de n êutrons r ápidos do caso heterog êneo. . . 56

Tabela 22 Fluxo escalar de n êutrons t érmicos do caso heterog êneo. . . 56

Tabela 23 Perturbaç ão dos par âmetros nucleares do caso bidimensional. . . 59

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EDNMM Equaç ão de Difus ão de N êutrons Multigrupo Multirregi ão EDO Equaç ão Diferencial Ordin ária

EDO’s Equaç ões Diferenciais Ordin árias EFG Element-free Galerkin

GITT T ´ecnica da Transformada Integral Generalizada MEC M ´etodo de Elementos de Contorno

MEF M ´etodo dos Elementos Finitos

MEFG M ´etodo dos Elementos Finitos Galerkin MMR M ´etodo de Matrizes Respostas

MPFF M ´etodo da Pot ˆencia via Fronteiras Fict´ıcias TFFS Transformada Finita de Fourier Seno

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A Area da superf´ıcie, [cm´ 2_].

D(~u) Coeficiente de difus ˜ao no ponto ~u, [cm]. Dg Coeficiente de difus ˜ao do grupo g, [cm].

Dg(r) Coeficiente de difus ˜ao do grupo g na regi ˜ao r, [cm].

dA Elemento de ´area da superf´ıcie, [cm2_].

E Quantidade de energia gerada por fiss ˜ao, [M eV ]. g Grupo de energia, no qual g = 1 : G.

G N ´umero de grupo de energia. ~

J (~u, t) Densidade de corrente de n êutrons no ponto ~uno tempo t, [cm−2s−1]. Kef f Fator de multiplicaç ão efetivo.

~n Vetor unit ário na direç ão de sa´ıda do volume V .

n(~u, t) Densidade de n ˆeutrons no ponto ~uno tempo t, [cm−3]. P Pot ˆencia prescrita, [W ].

b

P Pot ˆencia gerada, [W ]. r Regi ˜oes reais.

R N úmero de regi ões fict´ıcias. S Fonte de n êutrons, [cm−3s−1].

S(~u, t) Fonte de n ˆeutrons no ponto ~uno tempo t, [cm−3_s−1_].

Sg(~u, t) Fonte de n ˆeutrons do grupo g no ponto ~uno tempo t, [cm−3s−1].

Sext

g Fonte externa de n ˆeutrons do grupo g, [cm

−3_s−1_].

t Tempo, [s].

~u Posic¸ ˜ao espacial, [cm]. v Velocidade escalar, [cm s−1].

vg Velocidade escalar do grupo g, [cm s−1].

V Volume arbitr ´ario, [cm3_].

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λtr Livre caminho m ´edio de transporte, [cm].

¯

µ Cosseno do ˆangulo m ´edio de espalhamento.

νg N úmero m édio de n êutrons liberado por fiss ão do grupo g.

Σ Seç ão de choque macrosc ópica, [cm−1].

Σa(~u) Seç ão de choque macrosc ópica de absorç ão no ponto ~u, [cm−1].

Σag(~u) Seç ão de choque macrosc ópica de absorç ão do grupo g no ponto ~u, [cm−1].

Σf Seç ão de choque macrosc ópica de fiss ão, [cm−1].

Σf g Seç ão de choque macrosc ópica de fiss ão do grupo g, [cm−1].

Σ(r)_{f g} Seç ão de choque macrosc ópica de fiss ão do grupo g na regi ão r, [cm−1_].

Σs Seç ão de choque macrosc ópica de espalhamento, [cm−1].

Σsg0_g Seç ão de choque macrosc ópica de espalhamento do grupo g0 para o grupo

g, [cm−1].

Σ(r)_sg0_g Seç ão de choque macrosc ópica de espalhamento do grupo g0 para o grupo g

na regi ˜ao r, [cm−1].

ΣR Seç ão de choque macrosc ópica de remoç ão, [cm−1].

ΣRg Seç ão de choque macrosc ópica de remoç ão do grupo g, [cm−1].

Σ(r)_Rg Seç ão de choque macrosc ópica de remoç ão do grupo g na regi ão r, [cm−1]. Σt Seç ão de choque macrosc ópica total, [cm−1].

Σtr Seç ão de choque macrosc ópica de transporte, [cm−1].

~

ϕ Vetor fluxo escalar de n ˆeutrons, [cm−2s−1].

φ(~u, t) Fluxo escalar de n ˆeutrons no ponto ~uno tempo t, [cm−2_s−1_].

φg Fluxo escalar de n ˆeutrons do grupo g, [cm−2s−1].

φ(r)g Fluxo escalar de n ˆeutrons do grupo g na regi ˜ao r, [cm−2s−1].

φN_g Fluxo escalar de n êutrons do grupo g normalizado pela pot ência, [cm−2s−1]. χg Espectro integrado de fiss ão do grupo g.

ψRg Fluxo escalar de n ˆeutrons na regi ˜ao fict´ıcia R do grupo g, [cm−2s−1].

b

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1 INTRODUC¸ ˜AO . . . . 14

2 FORMULAÇ ÃO DO MODELO FÍSICO-MATEM ÁTICO DE EQUAÇ ÃO DA DIFUS ÃO DE N ÊUTRONS . . . . 20

2.1 Equaç ão de Difus ão de N êutrons . . . . 21

2.1.1 Teoria multigrupo para a Equaç ão de Difus ão de N êutrons . . . 25

2.1.2 Problemas de autovalores . . . 27

3 SOLUÇ ÃO DA EQUAÇ ÃO DE DIFUS ÃO DE N ÊUTRONS MULTIGRUPO MULTIRREGI ÃO ESTACION ÁRIA UNIDIMENSIONAL EM GEOMETRIA CARTESIANA . . . . 28

3.1 Metodologia para o caso unidimensional . . . . 28

3.1.1 M ´etodo da pot ˆencia via fronteiras fict´ıcias (unidimensional) . . . 30

3.2 Resultados para o caso unidimensional . . . . 34

3.2.1 Caso Teste 1 (CT1) . . . 34

3.2.2 Caso Teste 2 (CT2) . . . 37

3.2.3 Caso Teste 3 (CT3) . . . 39

3.3 An ´alise perturbativa para o caso unidimensional . . . . 41

4 SOLUÇ ÃO DA EQUAÇ ÃO DE DIFUS ÃO DE N ÊUTRONS MULTIGRUPO MULTIRREGI ÃO ESTACION ÁRIA BIDIMENSIONAL EM GEOMETRIA CARTESIANA . . . . 48

4.1 Metodologia para o caso bidimensional . . . . 48

4.1.1 M ´etodo da pot ˆencia via fronteiras fict´ıcias (bidimensional) . . . 49

4.2 Resultados para o caso bidimensional . . . 51

4.2.1 Problema homog ˆeneo . . . 52

4.2.2 Problema heterog ˆeneo . . . 55

4.3 An ´alise perturbativa para o caso bidimensional . . . . 58

5 CONCLUS ˜AO . . . . 61

REFER ˆENCIAS . . . . 63

AP ˆENDICE A TIPOS DE REATOR . . . . 67

AP ÊNDICE B COMPARAÇ ÃO DO FLUXO DE N ÊUTRONS COM E SEM INTERPOLAÇ ÃO . . . . 69

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O crescimento econ ômico de um pa´ıs est á diretamente relacionado à sua capaci-dade produtiva de energia, conforme o pa´ıs se desenvolve, mais energia é consumida. Assim é de suma import ância diversificar e ampliar a matriz energ ética, priorizando os investimentos em energias que n ão liberem res´ıduos no meio ambiente, como CO2,

atendendo o Protocolo de Quioto (BRASIL (2004)) e mais recentemente o Acordo de Paris (UNITED NATIONS (2015)).

Neste contexto, a energia provinda de reatores nucleares est á sendo vista como uma ótima alternativa, uma vez que al ém de atender ao protocolo e o acordo, n ão possui depend ência de fatores clim áticos, como é o caso das usinas hidroel étricas. Al ém disso, apresenta enorme efici ência e pequenos volumes de combust´ıvel, quando comparada com a queima de combust´ıveis f ósseis: carv ão, óleo ou g ás natural (ROSA (2007)). Tem-se que para cada átomo de carbono em uma reaç ão de combust ão s ão liberados 4, 0eV , enquanto que para cada átomo de ur ânio fissionado produz-se cerca de 200 milh ões de eV . Deste modo, um átomo de ur ânio em fiss ão é respons ável por liberar aproximadamente 50 milh ões de vezes mais energia que um átomo de carbono em combust ão LEWIS (2008).

Recentemente, o ent ão ministro de Minas e Energia, Eduardo Braga, anunciou a reestruturaç ão do Programa Nuclear Brasileiro com a flexibilizaç ão do monop ólio da Uni ão em toda cadeia produtiva nuclear. Com a participaç ão da iniciativa privada, est á previsto a construç ão de quatro novas usinas nucleares at é 2030 e de mais oito at é 2050 (BRASIL NUCLEAR (2015)). Deste modo, o Brasil entra de vez no cen ário mun-dial dos pa´ıses que geram de forma significativa a energia nucleoel étrica atendendo a necessidade energ ética do pa´ıs.

A produç ão deste tipo de energia exige um continuo estudo do fen ômeno f´ısico e dos modelos matem áticos que o descrevem, visando um processo mais eficiente e seguro. O enfoque principal na produç ão de energia nucleoel étrica é o controle da populaç ão de n êutrons dentro dos reatores nucleares, pois estas part´ıculas s ão as res-pons áveis pela fiss ão nuclear. Ao fissionar um átomo de ur ânio-235 s ão gerados pelo menos outros dois átomos de n úmero at ômico menor que seu precursor. Tamb ém h á

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liberaç ão de energia (calor) e aproximadamente 2 a 3 novos n êutrons (LEWIS (2008)). Esses n êutrons por sua vez s ão respons áveis pelo fiss ão de outros átomos de ur ânio, estabelecendo assim uma reaç ão em cadeia autossustent ável. Para que esta reaç ão n ão fuja do controle e provoque um acidente nuclear é feito um controle da populaç ão de n êutrons de uma geraç ão para a outra subsequente. O ideal é que a raz ão entre a populaç ão de n êutrons de uma geraç ão e da geraç ão anterior seja em torno de 1. Esta raz ão chama-se criticalidade ou fator de multiplicaç ão efetivo. Caso esta raz ão seja menor que 1, o reator est á no estado subcr´ıtico, quando for igual a 1, no estado cr´ıtico, e se for maior que 1 supercr´ıtico. Esse fator de multiplicaç ão efetivo (Kef f) ou

criticalidade é um dos principais c álculos a serem realizados em f´ısica de reatores n ão s ó para fins de licenciamento, mas tamb ém para o acompanhamento e operaç ão de uma usina nuclear durante seu tempo de vida.

Com o passar do tempo, novos modelos e m étodos s ão propostos para realizar es-ses c álculos, por ém deve-se sempre realizar testes para verificar, tanto a capacidade do modelo, quanto ao do m étodo a ser empregado de prever situaç ões espec´ıficas, definindo limites de validade (qualificaç ão do modelo e m étodo). Esses testes s ão realizados utilizando-se problemas de refer ência (padr ões) em f´ısica de reatores cha-mados de problemas benchmark. A complexidade desses c álculos est á associada a dois fatores fundamentais: no fato do n úcleo dos reatores nucleares serem compostos por diferentes materiais (heterogeneidade) e no fato de haver aproximadamente nove ordens de magnitude de variaç ão na gama de energia dos n êutrons (STACEY (2001)). Com relaç ão ao primeiro aspecto, dentro do n úcleo de um reator nuclear existem variedades de materiais utilizados como combust´ıvel, l´ıquido de arrefecimento, mode-rador, refletor dentre outros componentes estruturais, tornando o c álculo n ão t ão sim-ples. Uma t ática usual para tratar esta heterogeneidade é dividir o reator em regi ões, o que chama-se de um modelo multirregi ão, na qual os par âmetros nucleares s ão considerados homog êneos (constantes) nas respectivas regi ões.

Com relaç ão ao segundo aspecto, para c álculos globais de f´ısica, dentro do n úcleo do reator encontram-se n êutrons com diferentes n´ıveis de energia. Para melhor mo-delagem do fen ômeno, ao inv és de tratar a depend ência energ ética dos n êutrons de forma cont´ınua, discretiza-se o dom´ınio energ ético dos n êutrons em intervalos ou gru-pos cont´ıguos. Isto é, divide-se o dom´ınio energ ético em G grugru-pos de energia, o que chama-se de um modelo multigrupo (DUDERSTADT; HAMILTON (1976)).

A equaç ão que melhor descreve a populaç ão de n êutrons em um reator é dada pela equaç ão de transporte de Boltzmann, origin ária da teoria cin ética dos gases (DU-DERSTADT; HAMILTON (1976)). CASE; ZWEIFEL (1967) foram os primeiros a apre-sentar uma soluç ão anal´ıtica para a equaç ão de transporte em geometria cartesiana, por ém ainda limitada ao caso monoenerg ético e unidimensional. Mais recentemente, outros autores apresentaram a soluç ão desta equaç ão em diferentes geometrias e

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multidimens ˜oes, como, por exemplo, GONC¸ ALVES (2003), FILHO (2012), TOMAS-CHEWSKI (2016), LAZZARI (2016).

A soluç ão da equaç ão de transporte é um desafio para ser resolvida, principal-mente pelo fato de ser uma equaç ão ´ıntegro-diferencial e, em problemas real´ısticos, o car áter multirregi ão e multigrupo de energia. Para isto é feita uma aproximaç ão do mo-delo de transporte para o momo-delo da difus ão de n êutrons, utilizando-se a Lei de Fick (DUDERSTADT; HAMILTON (1976)). Embora as condiç ões exigidas para a validade da teoria da difus ão sejam raramente satisfeitas na pr ática de problemas de reatores nucleares, o uso deste modelo usualmente resulta em uma boa aproximaç ão para a soluç ão exata da equaç ão de transporte.

Ao longo dos anos, uma grande variedade de m étodos foram desenvolvidos para resolver a Equaç ão de Difus ão de N êutrons. Esses m étodos (anal´ıticos, num éricos e h´ıbridos) para problemas multidimensionais foram bastante úteis devido a possibili-dade de recuperar informaç ões sobre as caracter´ısticas f´ısicas do sistema e realizar estudos param étricos extensos.

Com relaç ão aos h´ıbridos e anal´ıticos destacam-se: m étodo que utiliza a T écnica da Transformada de Laplace (TTL), LEMOS (2005) aplica est á t écnica para o caso unidimensional multirregi ão com dois grupos de energia. A metodologia utilizada é a aplicaç ão da TTL separadamente em cada uma das regi ões homog êneas e, em se-guida, inverte-se o fluxo transformado analiticamente pela da t écnica da expans ão de Heaviside. Por fim, acoplam-se as regi ões atrav és de um sistema alg ébrico provindo da aplicaç ão das condiç ões de contorno e de continuidade do fluxo nas interfaces. Para completar a resoluç ão anal´ıtica, calcula-se o valor do fator de multiplicaç ão efe-tivo Kef f pelo m étodo da bissecç ão. J á para o caso bidimensional HEINEN (2009)

e BODMANN et al. (2010) apresentam um m étodo que combina da TTL com T écnica da Transformada Integral Generalizada (GITT sigla inglesa de Generalised Integral Transform Technique), em que a ordem da aplicaç ão das transformadas depende das caracter´ısticas do problema proposto. Em geral, aplica-se primeiro a GITT em uma das vari áveis espaciais, que consiste na expans ão do fluxo escalar de n êutrons em uma base de autovalores e autovetores determinados a partir de um problema de Sturm-Liouville associado ao problema a ser resolvido. Ap ós expandir o fluxo, o problema deve ser integrado em todo dom´ınio nesta mesma vari ável espacial fazendo o uso de sua propriedade de ortogonalidade, obtendo assim um problema transformado. Em seguida, aplica-se a TTL no problema transformado, onde é obtida sua soluç ão. Por fim, ao utilizar a f órmula da inversa da GITT obtendo a soluç ão do problema original. Por ém, todos estes procedimentos alg ébricos-anal´ıticos demandam um enorme custo computacional, tornando a resoluç ão um pouco lenta.

Ainda dentro dos m étodos h´ıbridos e anal´ıticos est ão PETERSEN et al. (2010) que utilizaram a t écnica de diagonalizaç ão de matrizes e um Kef f prescrito. Estes iniciam

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reescrevendo a equaç ão de difus ão de n êutrons na forma matricial, assim a matriz que cont ém os par âmetros nucleares possui os autovalores distintos. Deste modo, esta matriz é decomposta na matriz dos seus autovetores multiplicada pela matriz diagonal dos seus autovalores e pela matriz inversa dos seus autovetores. Com esta t écnica, a equaç ão matricial é desacoplada em um sistema de equaç ões diferenciais ordin árias de segunda ordem, em relaç ão a cada grupo de energia, por fim é calculado o novo Kef f. Recentemente, CEOLIN (2014) e SCHRAMM (2016) resolveram a equaç ão de

difus ão de n êutrons expandindo o fluxo escalar de n êutrons em uma s érie de Taylor. Primeiramente, o dom´ınio é dividido em pequenas regi ões homog êneas, para que a s érie de Taylor possa ser truncada com baixo n úmero de termos. Em seguida, em cada uma destas pequenas regi ões o fluxo de n êutrons é expandido em uma s érie e, por fim, com o uso das condiç ões de contorno e interface (continuidade do fluxo e de densidade de corrente), os coeficientes das s éries s ão encontrados e, ao mesmo tempo, une as regi ões. Para calcular o autovalor Kef f utilizam o m étodo da pot ência.

Entre os m étodos num éricos destacam-se: CAVDAR; OZGENER (2004), OLI-VEIRA (1980), MAIANI; MONTAGNINI (1999), HOSSEINI; VOSOUGHI (2013), RO-KROK; MINUCHEHR; ZOLFAGHARI (2012), SILVA; MARTINEZ; GONÇ ALVES (2012) e VOSOUGHI; SALEHI; SHAHRIARI (2004). O m étodo apresentado por CAVDAR; OZGENER (2004) utiliza uma mescla do M étodo dos Elementos Finitos (MEF) e do M étodo de Elementos de Contorno (MEC), aplicando o MEF nas regi ões de com-bust´ıvel e o MEC nas regi ões de refletor. Esta aplicaç ão se deve, segundo os autores, por duas raz ões: o MEF provou-se muito eficiente nas regi ões onde possuem fontes de n êutrons e o MEC é muito eficiente nas regi ões refletoras, onde n ão h á fontes de fiss ão de n êutrons. Entretanto, cada um destes m étodos geram mais inc ógnitas que equaç ões, deste modo, s ão utilizadas as condiç ões de contorno reflexiva, de vacuum e condiç ões continuidade nas interfaces, tornando este sistema poss´ıvel de ser resol-vido.

Outro m étodo num érico é o M étodo de Matrizes Respostas (MMR), OLIVEIRA (1980), na qual cada regi ão do reator é vista como uma ”caixa preta”, importando-se apenas com o que ocorre nas interfaces. Deste modo, o reator completo é como um conjunto de caixas, na qual cada uma tem seus respectivos par âmetros nucleares. A relaç ão do que entra e do que sai de cada uma destas caixas formam as matri-zes de transmiss ão e reflex ão. Assim, ao acoplar todas as soluç ões de cada regi ão obt êm-se as equaç ões do fluxo. Posteriormente, MAIANI; MONTAGNINI (1999) aco-plaram o MMR com o MEC, de forma natural visto que ambos m étodos trabalham com o contorno de cada regi ão. Este acoplamento se d á em dois passos, primeiro atrav és do MEC s ão obtidos os elementos das matrizes respostas para cada uma das regi ões do dom´ınio. Em seguida, com os elementos das v árias regi ões j á encontra-das, com o MMR é encontrada a soluç ão global de todo o sistema. Recentemente,

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HOSSEINI; VOSOUGHI (2013) apresentaram o MEF Galerkin1(MEFG), em que con-siste na discretizaç ão espacial das equaç ões utilizando elementos triangulares n ão estruturados. Uma das principais vantagens da utilizaç ão destes elementos é a sua superioridade no mapeamento das fronteiras curvas ou interfaces materiais. Os tes-tes mostraram a necessidade de tri ângulos menores em locais pr óximos às barras de controle e no limite entre o refletor e o n úcleo para uma maior precis ão e rapidez nos c álculos. ROKROK; MINUCHEHR; ZOLFAGHARI (2012) desenvolveram um m étodo nodal, Element-free Galerkin (EFG), na qual a novidade est á no livre refinamento da distribuiç ão de n ós, fato de grande valia nas regi ões onde os gradientes de fluxo s ão grandes. Tamb ém adotando um m étodo nodal, SILVA; MARTINEZ; GONÇ ALVES (2012) utilizaram uma malha grossa para obter o fluxo de n êutrons e em seguida, a fim de poder descrever o fluxo de n êutrons em qualquer ponto do n úcleo do reator, o fluxo é reconstruido empregando a soluç ão anal´ıtica da equaç ão de Helmholtz.

Ainda numericamente, VOSOUGHI; SALEHI; SHAHRIARI (2004) constru´ıram a equaç ão de difus ão de n êutrons na forma discreta evitando as derivadas de segunda ordem para o fluxo de n êutrons. A formulaç ão discreta trabalha com vari áveis globais associadas com as estruturas finitas de espaço (volume, superf´ıcie, linhas e pontos). Na discretizaç ão, o fluxo de n êutrons é uma vari ável de orientaç ão interna, enquanto a populaç ão e densidade da corrente de n êutrons é associada com o volume e a superf´ıcie de orientaç ão externa. Aplicando o m étodo, as regi ões do n úcleo do reator s ão divididas em c élulas menores, onde se d á a vinculaç ão interna ou externa. Com essas c élulas é constru´ıda a equaç ão de equil´ıbrio entre a taxa l´ıquida de produç ão de n êutrons (fiss ão-absorç ão) no interior da c élula e a taxa l´ıquida de fuga de n êutrons que saem dos limites c élula.

HAN; DULLA; RAVETTO (2009) trazem uma abordagem dos m étodos de Diferenças Finitas, Nodal e Elementos de Contorno verificando o desempenho des-tas abordagens num éricas pela comparaç ão com resultados benchmark. Os autores utilizaram problemas bidimensionais estacion ários da difus ão de n êutrons. Nestes testes, o m étodo nodal e o m étodo elementos de contorno apresentaram um melhor desempenho e converg ência. No caso do m étodo de diferenças finitas foi necess ário uma malha muito fina para obter resultados pr óximos com os da refer ência.

Com o referencial apresentado percebe-se que muitos m étodos j á foram imple-mentados para resolver a Equaç ão de Difus ão de N êutrons Multigrupo Multirregi ão (EDNMM) estacion ária, todavia o dilema entre precis ão e rapidez ainda pode ser explorado. Neste contexto, no presente trabalho prop õe-se resolver a EDNMM es-tacion ária em geometria cartesiana por um m étodo que possibilite predizer o fluxo 1_{O m étodo de Galerkin é um procedimento num érico para a determinaç ão da soluç ão aproximada de}

equac¸ ˜oes diferenciais parciais que pode ser aplicado para problemas de valor de contorno (REZENDE (2005)).

(20)

escalar de n êutrons e o Kef f com satisfat ória precis ão e rapidez. Para isto, utiliza-se

o m étodo da pot ência com a novidade que, a cada iteraç ão, a equaç ão de difus ão de n êutrons seja resolvida de forma anal´ıtica, atrav és do m étodo dos coeficientes a determinar. A cada iteraç ão do m étodo da pot ência, o termo fonte é atualizado com a express ão do fluxo de n êutrons da iteraç ão anterior. Assim, para que esta express ão mantenha sempre uma estrutura padr ão, prop õe-se que ela seja sempre reconstru´ıda atrav és de uma mesma interpolaç ão polinomial. Com a finalidade de trabalhar com matrizes menores e melhor condicionadas no processo de interpolaç ão, gerando um ganho computacional, o dom´ınio é subdividido em fronteiras fict´ıcias, por ém respei-tando a homogeneidade de cada regi ão. Desta modo, as equaç ões de difus ão de n êutrons s ão resolvidas localmente nas regi ões fict´ıcias e unidas com a aplicaç ão das condiç ões de contorno, continuidade de fluxo e densidade de corrente nas interfaces, garantindo que o fluxo seja continuo e sem saltos nas interfaces.

Sendo assim, a metodologia proposta em que utiliza o M étodo da Pot ência via Fronteiras Fict´ıcias (MPFF) é primeiramente aplicada em problemas unidimensionais, mais simples, com a finalidade de realizar testes avaliando seu desempenho. Pos-teriormente é aplicado em problemas bidimensionais onde se faz necess ário o uso de uma transformada integral para recair em um problema unidimensional em que a resoluç ão j á ser á conhecida.

A presente dissertaç ão encontra-se estruturada da seguinte forma: no cap´ıtulo 2, apresenta-se a construç ão do modelo f´ısico-matem ático de difus ão de n êutrons. No cap´ıtulo 3, desenvolve-se uma metodologia para a resoluç ão do problema unidi-mensional. Em seguida, aplica-se o MPFF em casos testes para a comparaç ão dos resultados com trabalhos presentes na literatura e realiza-se uma an álise de sensibili-dade da soluç ão ao inserir uma perturbaç ão nos par âmetros nucleares. No cap´ıtulo 4, apresenta-se uma proposta de resoluç ão do problema bidimensional e, com o intuito de verificar a metodologia, resolvem-se alguns casos testes. Por fim, no cap´ıtulo 5 encontram-se as conclus ões e as perspectivas de trabalhos futuros.

(21)

EQUAC

¸ ˜

AO DA DIFUS ˜

AO DE N ˆ

EUTRONS

A equaç ão que melhor descreve o comportamento da populaç ão de n êutrons é a equaç ão de transporte de part´ıculas desenvolvida por Ludwig Boltzmann1_{. A equaç ão}

do transporte de Boltzmann representa um balanço matem ático da produç ão e perda f´ısica de part´ıculas em um espaço de fase. O resultado, em sua generalidade, é uma equaç ão ´ıntegro-diferencial com sete vari áveis independentes, isto é, tr ês vari áveis es-paciais, uma vari ável energ ética, duas vari áveis direcionais e uma vari ável temporal. Em geral, devido à complexidade do tratamento da equaç ão do transporte de Boltz-mann e alto tempo computacional para resolv ê-la, utilizam-se algumas aproximaç ões e simplificaç ões.

Uma aproximaç ão da equaç ão do transporte de n êutrons muito útil em an álises neutr ônicas é a equaç ão de difus ão de n êutrons. A equaç ão da difus ão é computaci-onalmente menos custosa para ser resolvida do que a equaç ão de transporte, pois é feita uma aproximaç ão linear na depend ência angular, assim eliminando a car áter inte-gral da equaç ão de transporte. Al ém disso, a teoria da difus ão reduz o n úmero m áximo de vari áveis independentes de sete para cinco, isto é, tr ês vari áveis espaciais, uma vari ável energ ética e uma vari ável temporal. Matematicamente, a aproximaç ão da di-fus ão gera restriç ões severas na depend ência angular da densidade de n êutrons. Fisi-camente, essas restriç ões traduzem duas exig ências fundamentais (STACEY (2001)): i)o processo de migraç ão dos n êutrons tem que ser dominado por interaç ões de espalhamento, isto é, o meio material tem que ser fracamente absorvedor de n êutrons; ii)o processo de migraç ão dos n êutrons tem que ocorrer longe de descontinuida-des de materiais, onde esperam-se pequenos gradientes no fluxo de n êutrons.

Na pr ática, a teoria da difus ão tem sido exaustivamente aplicada em an álise de reato-res nucleareato-res e, em geral, considerada satisfat ória. Algumas correç ões baseadas na 1_{Ludwig Eduard Boltzmann (1844 - 1906), f´ısico austr´ıaco, é reconhecido como o primeiro a aplicar}

(22)

teoria da transporte, como por exemplo, a teoria da homogeneizaç ão2 s ão feitas na preparaç ão dos dados da seç ão de choque (STACEY (2001)). Essas correç ões s ão respons áveis pelo sucesso da teoria da difus ão em c álculos neutr ônicos globais em f´ısica de reatores. No entanto, existem alguns casos na qual a teoria da difus ão n ão se aplica, porque grandes gradientes est ão presentes. Como por exemplo, o ligamento e desligamento dos reatores nucleares; os locais onde s ão inseridas as barras de con-trole; em c álculos de blindagem; pr óximo das fontes de n êutrons e dos contornos, etc (DUDERSTADT; HAMILTON (1976),LAMARSH (1966)). Nesses casos, as interaç ões entre n êutrons e n úcleo-alvo s ão altamente absorvedoras e h á grandes variaç ões da populaç ão de n êutrons, e portanto, a teoria da difus ão n ão pode ser aplicada com confiabilidade. Ademais, a migraç ão de n êutrons no interior de blindagens tende a ser fortemente anisotr ópica e a equaç ão da difus ão aproxima esta situaç ão muito pobre-mente.

2.1 Equaç ão de Difus ão de N êutrons

Se for considerado um volume arbitr ário V n ão reentrante, Figura 1, com n êutrons monoenerg éticos, com o passar do tempo, alguns desses n êutrons podem sofrer al-gum tipo de interaç ão ou at é escapam do meio.

Figura 1: Volume arbitr ´ario V com ´area de superf´ıcie A.

Caso este sistema possua uma fonte ela fornece n êutrons adicionais ao problema em quest ão. A taxa de mudança temporal do n úmero de n êutrons no volume V deve ser igual à taxa com que os n êutrons s ão produzidos, menos a taxa que os n êutrons s ão absorvidos e que escapam de V . Este balanço pode ser escrito como:

d dt Z V n(~u, t)dV = " Taxa de produç ão # − " Taxa de absorç ão # − " Taxa de fuga # , (1)

onde n(~u, t) ´e a densidade de n ˆeutrons no ponto ~uno tempo t, [cm−3_].

2_{A teoria de homogeneizaç ão nos c álculos de f´ısica de reatores consiste em m étodos que}

subs-titua uma estrutura heterog ˆenea, materiais de propriedades diferentes, em uma mistura homog ˆenea equivalente destes materiais.

(23)

Ao considerar que todos os n êutrons presentes no volume V s ão monoenerg éticos, que possuem a mesma energia cin ética, quer dizer que todos eles possuem a mesma velocidade escalar v dada em [cm s−1]. Assim, ao multiplicar a densidade de n êutrons no ponto ~upela velocidade dos n êutrons, obt ém-se o fluxo escalar de n êutrons, φ(~u, t), no ponto ~uno tempo t, dado da seguinte forma:

φ(~u, t) = n(~u, t)v, (2)

onde φ(~u, t) ´e dado em [cm−2_s−1_].

Os n êutrons produzidos podem ser representados por uma fonte S(~u, t) em um determinado ponto ~ue tempo t. Com isso, a taxa de produç ão é dada por:

Taxa de Produc¸ ˜ao = Z

V

S(~u, t)dV. (3)

Antes de descrever a taxa de absorç ão é necess ário definir o conceito de seç ão de choque, que é um dos principais conceitos f´ısicos utilizados em c álculos de f´ısica de reatores. A seç ão de choque é uma medida probabil´ıstica da ocorr ência de interaç ão entre os n êutrons e os n úcleos-alvos. A área alvo que cada n úcleo oferece para a ocorr ência da interaç ão n êutron-n úcleo é chamada de seç ão de choque microsc ópica, [cm2_{]. Ao multiplic á-la pelo n úmero de n úcleos por unidade de volume presentes}

em V , obt ém-se a seç ão de choque macrosc ópica Σ dada em [cm−1] (LAMARSH (1966);STACEY (2001)).

Deste modo, a taxa de absorç ão pode ser escrita em termos do fluxo escalar de n êutrons e da seç ão de choque de absorç ão em um dado volume, dada por:

Taxa de Absorc¸ ˜ao = Z

V

Σa(~u)φ(~u, t)dV, (4)

onde Σa(~u) é a seç ão de choque macrosc ópica de absorç ão.

Os n êutrons que escapam do sistema podem ser expressos em termos do vetor densidade de corrente de n êutrons ~J (~u, t), em que a taxa l´ıquida de n êutrons que cruzam um diferencial de área dA é dada por ~J (~u, t) · ~n dA, onde ~n é um vetor unit ário normal apontando para fora do volume V . Assim, a taxa l´ıquida total de fuga pelo contorno do volume V é dado por

Taxa de Fuga = I

A

~

(24)

Desta forma tem-se: Z V 1 v ∂φ(~u, t) ∂t dV = Z V S(~u, t)dV − Z V Σa(~u)φ(~u, t)dV − I A ~ J (~u, t) · ~n dA. (6) Para o prosseguimento da formulaç ão, é conveniente converter a express ão da taxa de fuga em uma integral de volume. Para isto, utiliza-se o Teorema de Gauss (EDWARDS; PENNEY (2002)): I A ~ J (~u, t) · ~n dA = Z V ∇ · ~J (~u, t)dV. (7) Assim, tem-se: Z V 1 v ∂φ(~u, t) ∂t − S(~u, t) + Σa(~u)φ(~u, t) + ∇ · ~J (~u, t) dV = 0. (8)

Deste modo, a equaç ão (6) resulta na seguinte equaç ão:

1 v

∂φ(~u, t)

∂t + ∇ · ~J (~u, t) + Σa(~u)φ(~u, t) = S(~u, t). (9) Na equaç ão (9) tem-se uma grandeza vetorial, a densidade de corrente, ~J (~u, t), e uma grandeza escalar, o fluxo escalar de n êutrons, φ(~u, t). Assim, necessita-se uma express ão que permita relacionar estas duas grandezas, para que a equaç ão seja escrita com apenas uma inc ógnita. Recorre-se à Lei de Fick, origin ária da qu´ımica, que descreve a difus ão qu´ımica de um soluto. Esta lei expressa que a concentraç ão de um soluto difunde da regi ão de maior concentraç ão para a de menor concentraç ão, e afirma que a taxa de fluxo é proporcional ao negativo do gradiente da concentraç ão do soluto (LAMARSH (1966)).

A difusividade da densidade de n êutrons é semelhante à do soluto, em que ocorre da regi ão de maior densidade para a de menor. Cabe ressaltar, este comportamento dos n êutrons n ão é pelo simples fato de se deslocarem de uma regi ão de maior concentraç ão para uma de menor concentraç ão, mas pelo fato que em m édia os n êutrons migram da regi ão de maior concentraç ão para a de menor. Desta forma tem-se:

~

(25)

onde D(~u) é o coeficiente de difus ão, fornecendo assim, uma relaç ão entre fluxo e corrente. Sendo que o coeficiente de difus ão é encontrado atrav és do livre caminho m édio de transporte, λtr(~u), dados em [cm]:

D(~u) = λtr(~u)

3 , (11)

onde o livre caminho m édio é a dist ância m édia percorrida por um n êutron at é aconte-cer uma reaç ão, na qual é o inverso da seç ão de choque macrosc ópica de transporte, Σtr, dados em [cm−1]: λtr(~u) = 1 Σtr(~u) = 1 Σt(~u) − ¯µΣs(~u) . (12)

Aqui Σt é a seç ão de choque macrosc ópica de total, [cm−1], ¯µ é o cosseno do ângulo

m édio de espalhamento e Σs é a seç ão de choque macrosc ópica de espalhamento,

[cm−1].

Na difus ão usual, a vari ância do livre caminho m édio est á relacionado à de-pend ência linear do tempo, 4u(t)2

∝ t, na qual aplica-se satisfatoriamente a lei de Fick. Mas devido as aproximaç ões dessa lei assumem-se algumas restriç ões, tais como: meio infinito e meio homog êneo, na qual todas as seç ões de choques s ão cons-tantes e independentes da posiç ão. Ademais, é preciso que n ão exista uma fonte de n êutrons no meio. Al ém disso, o espalhamento deve ser isotr ópico (no m áximo linear-mente anisotr ópico (DUDERSTADT; HAMILTON (1976))) e o fluxo de n êutrons neces-sita variar lentamente em funç ão da posiç ão. Mesmo sem cumprir estas restriç ões da Lei de Fick, ainda assim ao utiliz á-la obt êm-se bons resultados (LAMARSH (1966)).

Nestas restriç ões o processo de difus ão n ão segue a lei de Fick, pois pode ocorrer uma difus ão an ômala. De um modo geral, na difus ão an ômala, a vari ância do livre caminho m édio est á relacionado ao crescimento n ão-linear do tempo, 4u(t)2 ∝ tη_.

Quando tem-se: η < 1, chama-se de um processo subdifusivo, η = 1, chama-se de um processo difusivo normal, η > 1, chama-se de um processo superdifusivo (PE-DRON; MENDES (2005)). Alguns estudos j á est ão sendo feitos para descrever este aspecto da difus ão an ômala, na qual descrevem o termo difusivo atrav és de derivadas fracion árias (SCHRAMM et al. (2013)).

Neste trabalho adota-se o processo de difus ão usual, assim a equaç ão (9) resulta em

1 v

∂φ(~u, t)

∂t − ∇ · D(~u)∇φ(~u, t) + Σa(~u)φ(~u, t) = S(~u, t), (13) esta é a equaç ão da difus ão de n êutrons monoenerg ética.

(26)

2.1.1 Teoria multigrupo para a Equaç ão de Difus ão de N êutrons

A equaç ão de difus ão de n êutrons monoenerg ética apresenta limitaç ão ao consi-derar que todos os n êutrons envolvidos na difus ão possuem a mesma energia cin ética. Na realidade, os n êutrons presentes em um reator nuclear possuem uma grande variaç ão de energia. H á ´ınfima quantidade de n êutrons com energia inferior a 0, 001eV , por isto assume-se uma faixa de variaç ão de 0, 001eV at é 10M eV de energia (LEWIS (2008)). O espectro de energia é considerado uma vari ável cont´ınua, mas em f´ısica de reatores assume-se a energia como uma vari ável discreta, na qual seu dom´ınio é dividido em G intervalos de energia, conforme esquema abaixo:

E1 > E2 > · · · > EG−1 > EG,

onde cada um destes intervalos s ˜ao chamados de grupos de energia, por este fato chama-se de um problema multigrupo.

Ao se deslocarem, estes n êutrons podem colidir com os n úcleos at ômicos presen-tes no reator, e ao colidir ou eles s ão absorvidos pelo n úcleo ou s ão espalhados. No caso de serem espalhados, a colis ão com o n úcleo foi el ástica, ou seja, n ão houve troca de energia, ou foi inel ástico, ocorrendo troca de energia. Em geral ao espa-lharem, os n êutrons perdem energia e assim s ão removidos para o grupo de menor energia.

O par âmetro que descreve a medida probabil´ıstica de um n êutron espalhar de um grupo g0 para outro g é chamada de seç ão de choque macrosc ópica de espalhamento Σsg0_g(~u). Desta forma, para cada grupo de energia h á a possibilidade de ganhar ou

perder n êutrons devido ao espalhamento. Os grupos em que h á ganhos de n êutrons por espalhamento s ão representado por:

Ganhos por espalhamento =

G

X

g0=1 g06=g

Σsg0_g(~u)φ_g0(~u, t), (14)

e os grupos em que h á perdas de n êutrons por espalhamento s ão representado por

Perdas por espalhamento =

G

X

g0₌₁

g0_6=g

Σsgg0(~u)φ_g0(~u, t). (15)

Note que o termo Σsgg(~u)que representa o espalhamento intragrupo n ˜ao est ´a nem

em ganhos nem em perdas, pois a perda por espalhamento ´e insuficiente para que troque de grupo de energia.

(27)

Desta forma, a remoç ão dos n êutrons do grupo g é dada pela soma dos n êutrons absorvidos e pelos n êutrons espalhados para fora do grupo g. Assim, obt ém-se a seç ão de choque macrosc ópica de remoç ão do grupo g dada por:

ΣRg(~u) = G X g0=1 g0_6=g Σsgg0(~u) + Σ_ag(~u). (16)

Define-se tamb ´em o termo de fonte no grupo g como Sg(~u, t), combinando estas

definiç ões e com a consideraç ão que os valores dos par âmetros nucleares s ão cons-tantes, ou seja, o volume é considerado um material homog êneo. Assim, pode-se desconsiderar a depend ência espacial dos mesmos. Desta forma tem-se:

1 vg ∂φg(~u, t) ∂t − Dg∇ 2_φ g(~u, t) + ΣRgφg(~u, t) = Sg(~u, t) + G X g0₌₁ g0_6=g Σsg0_gφ_g0(~u, t). (17)

No interior de um reator nuclear pode existir duas formas de produç ão de n êutrons, uma delas em funç ão das fiss ões e outra pela emiss ão da fonte externa, desta maneira o termo fonte pode ser expresso pela soma de dois novos termos:

Sg(~u, t) = χg G X g0₌₁ νg0Σ_{f g}0φ_g0(~u, t) + Sext g (~u, t), (18)

onde χg é a probabilidade do n êutron gerado em uma fiss ão esteja com energia no

grupo g, Σf g é a seç ão de choque macrosc ópica de fiss ão do grupo g, νg é o n úmero

m édio de n êutrons produzidos por fiss ão no grupo g e Sext

g ´e a fonte externa que

intro-duz n êutrons do grupo g no sistema. Substituindo a express ão (18) na equaç ão (17) chega-se a Equaç ão de Difus ão de N êutrons Multigrupo que é um sistema acoplado de equaç ões, dadas por:

1 vg ∂φg(~u, t) ∂t − Dg∇ 2 φg(~u, t) + ΣRgφg(~u, t) = χg G X g0₌₁ νg0Σ_{f g}0φ_g0(~u, t) + G X g0=1 g06=g Σsg0_gφ_g0(~u, t) + Sext g (~u, t). (19)

Em f´ısica de reatores é muito utilizada a Equaç ão de Difus ão de N êutrons Multi-grupo no estado estacion ário para prever o comportamento da populaç ão de n êutrons

(28)

a partir da configuraç ão das caracter´ısticas geom étricas e material do reator, entre-tanto, para c álculos real´ısticos é introduzido um autovalor Kef f que descreve a

critica-lidade do reator. Este problema de autovalor é criado pela caracter´ıstica intr´ınseca de n ão ter fonte externa e ter condiç ões de contorno homog ênea.

2.1.2 Problemas de autovalores

A Equaç ão da Difus ão de N êutrons Multigrupo estacion ária acrescida de um auto-valor e sem uma fonte externa é dada da seguinte forma:

−Dg∇2φg(~u) + ΣRgφg(~u) = 1 Kef f χg G X g0₌₁ νg0Σ_{f g}0φ_g0(~u) + G X g0=1 g06=g Σsg0_gφ_g0(~u), (20)

onde Kef f é o fator de multiplicaç ão efetivo. A equaç ão (20) é um problema de

au-tovalores e autofunç ões associados, na qual apenas o autovalor dominante e sua autofunç ão correspondente s ão de interesse para os c álculos globais de reatores nu-cleares. Este autovalor dominante, Kef f, é o par âmetro que descreve a criticalidade

do reator: caso a perda de n êutrons for maior do que a produç ão t êm-se um reator subcr´ıtico (Kef f < 1), caso houve um balanço perfeito entre perdas e produç ão t êm-se

um reator cr´ıtico (Kef f = 1) e caso a produç ão for maior que as perdas o reator ser á

supercr´ıtico(Kef f > 1).

Outro aspecto de fundamental import ância nos c álculos é que os n úcleos dos rea-tores s ão formados por diversas regi ões, como por exemplo, as regi ões combust´ıveis e as regi ões refletoras, melhor descritas e ilustradas no Ap êndice A. Assim, cada uma destas regi ões podem possuir par âmetros distintos, tornando-se um modelo multir-regi ão dada por:

−D_g(r)∇2φ(r)_g (~u) + Σ(r)_Rgφ(r)_g (~u) = 1 Kef f χg G X g0₌₁ νg0Σ(r) f g0φ (r) g0 (~u) + G X g0=1 g06=g Σ(r)_sg0_gφ (r) g0 (~u), (21)

(29)

MULTIGRUPO MULTIRREGI ˜

AO ESTACION ´

ARIA

UNIDIMEN-SIONAL EM GEOMETRIA CARTESIANA

Neste cap´ıtulo, apresenta-se a soluç ão da EDNMM estacion ária unidimensional em geometria cartesiana pelo M étodo da Pot ência via Fronteiras Fict´ıcias (MPFF). S ão realizados casos testes, comparando-os com resultados presentes na literatura. No final do cap´ıtulo é realizado uma an álise perturbativa, na qual deseja-se perceber a interfer ência de cada par âmetro nuclear no comportamento da soluç ão do problema.

3.1 Metodologia para o caso unidimensional

Sem perda de generalidade da Equaç ão (21), a EDNMM estacion ária unidimensio-nal em geometria cartesiana sem fonte externa, que fornece um balanço entre perdas e ganhos de n êutrons, dada por:

−D(r) g d2 dx2φ (r) g (x) + Σ (r) Rgφ (r) g (x) = 1 Kef f χg G X g0₌₁ νg0Σ(r) f g0φ (r) g0 (x) + G X g0=1 g06=g Σ(r)_sg0_gφ (r) g0 (x), (22) onde 0 ≤ x ≤ L, na qual: L ´e o comprimento do meio; rindica as regi ˜oes;

g s ˜ao os grupos de energia, em que g = 1 : G;

Dg(r) é o coeficiente de difus ão do grupo g na regi ão r;

φ(r)g (x) é o fluxo de n êutrons do grupo g na regi ão r;

Σ(r)_Rg é a seç ão de choque macrosc ópica de remoç ão do grupo g na regi ão r; Kef f é o fator de multiplicaç ão efetivo;

χg ´e o espectro integrado de fiss ˜ao do grupo g;

νg0 é o n úmero m édio de n êutrons liberado por fiss ão do grupo g0;

(30)

Σ(r)_sg0_g é a seç ão de choque macrosc ópica de espalhamento do grupo g0 para o g na

regi ˜ao r.

Nota-se que o lado esquerdo da equaç ão (22) representa as perdas de n êutrons por fuga e remoç ão e o lado direito os ganhos por fiss ão e espalhamento. A equaç ão (22) pode ser reescrita na forma matricial, na qual assume-se M = M(r)_{, ~}_{ϕ = ~}_ϕ(r) _e

F = F(r), dada por:

M~ϕ(x) = 1 Kef f

F~ϕ(x), (23)

na qual a matriz M ´e dada da seguinte forma:

M =       −D₁(r) d2 dx2 + P(r) R1 − P(r) s21 · · · − P(r) sG1 −P(r) s12 −D (r) 2 d2 dx2 + P(r) R2 · · · − P(r) sG2 .. . ... . .. ... −P(r) s1G − P(r) s2G . . . −D (r) G d2 dx2 + P(r) RG       G×G , (24) o vetor coluna ~ϕ(x): ~ ϕ(x) =       φ(r)₁ (x) φ(r)₂ (x) .. . φ(r)_G (x)       G×1 (25) e a matriz F: F =       χ1ν1 P(r) f 1 χ1ν2 P(r) f 2 · · · χ1νG P(r) f G χ2ν1 P(r) f 1 χ2ν2 P(r) f 2 · · · χ2νG P(r) f G .. . ... . .. ... χGν1P (r) f 1 χGν2 P(r) f 2 · · · χGνG P(r) f G       G×G , (26) sendo S = F~ϕ(x).

A equaç ão descrita em (23) est á sujeita as condiç ões de contorno dada por: αgφg(x) + βg

dφg(x)

dx = 0, (27)

onde g = 1 : G, α e β s ão constantes e |α| + |β| > 0. Com uma escolha adequada de α e β, estas condiç ões de contorno abrangem as condiç ões de Dirichlet, Neumann, Cauchy ou alguma combinaç ão destas (DUDERSTADT; HAMILTON (1976)).

Na resoluç ão do problema multirregi ão utilizam-se nas interfaces continuidade de fluxo e densidade de corrente dadas, respectivamente, por:

(31)

φ(r)_g (x) = φ(r+1)_g (x), −D(r) g dφ(r)g (x) dx = −D (r+1) g dφ(r+1)g (x) dx . (28)

Para resolver o problema de autovalor, Kef f, e autovetor , φ (r)

g (x), dominantes

em uma placa plana heterog ênea, resolve-se a equaç ão (23) aplicando o M étodo da Pot ência. Tal m étodo iterativo de fonte é descrito por DUDERSTADT; HAMILTON (1976) da seguinte forma:

1. Entrada dos par ˆametros nucleares e da geometria do problema; 2. Estimativa inicial para ~ϕ[1] _{e K}[1]

ef f;

3. Resoluç ão da equaç ão M~ϕ[i+1] = 1 K_{ef f}[i] S

[i]

, i ∈ N; 4. Atualizac¸ ˜ao do Kef f conforme

K_{ef f}[i+1]= K_{ef f}[i] Z L 0 S[i+1]dx Z L 0 S[i]dx ;

5. Crit ´erio de parada dado por

|K_{ef f}[i+1]− K_{ef f}[i] | |K_{ef f}[i+1]| < 1, Z L 0 S[i+1]− S[i]_dx Z L 0 S[i+1]dx < 2,

onde 1 e 2 s ˜ao constantes arbitr ´arias prescritas.

6. Caso satisfaça os crit érios de parada finaliza-se o processo, caso contr ário retorna-se ao item 3.

Neste m étodo deve-se resolver o sistema de equaç ões dado em (23), caso sejam problemas sem up-scattering, resolve-se o sistema de cima para baixo, visto que a matriz M é triangular inferior. Assim soluciona-se uma Equaç ão Diferencial Ordin ária (EDO) de 2a ordem para cada grupo g, na qual o termo fonte S é atualizado a cada nova iteraç ão pelo fluxo de n êutrons da iteraç ão anterior.

3.1.1 M ´etodo da pot ˆencia via fronteiras fict´ıcias (unidimensional)

Tradicionalmente, as equaç ões diferenciais presentes no item 3 do m étodo da pot ência s ão resolvidas numericamente, entretanto neste trabalho prop õem-se que a resoluç ão seja anal´ıtica. Desta forma, o termo fonte S é sempre alimentado pelas

(32)

express ões dos fluxos de n êutrons da iteraç ão anterior, tornando a metodologia muito custosa tanto para o computador quanto para o programador, sobretudo para proble-mas multigrupo, multirregi ão e principalmente para mais de uma dimens ão (onde a soluç ão anal´ıtica aparece em forma de s érie). Como problemas multidimensionais s ão o objetivo final da metodologia, sem perda de generalidade j á é considerada sua dificuldade intr´ınseca, portanto a express ão anal´ıtica no termo fonte S é descartada desde o começo para fins de implementaç ão do MPFF. Assim busca-se encontrar um mecanismo que seja capaz de expressar o fluxo, a cada iteraç ão, sempre na mesma forma padr ão. Cabe ressaltar que mesmo que seja feita uma manipulaç ão nas ex-press ões dos fluxos contidos no termo fonte S, a resoluç ão das equaç ões diferenciais permanecem sendo de forma anal´ıtica.

A alternativa proposta para superar este problema é reconstruir a expressar do fluxo, a cada iteraç ão, sempre na mesma forma padr ão. Para isto, deve-se avaliar a expressar do fluxo em pontos igualmente espaçados (∆x) e em seguida deve-se interpol á-los em um polin ômio de mesmo ordem m em todas iteraç ões. Contudo, ao resolver problemas com grandes dimens ões e v árias regi ões necessitam-se po-lin ômios de alta ordem para descrever precisamente os pontos. Assim, no processo de interpolaç ão, (AX = B), as matrizes envolvidas possuem grandes dimens ões, tanto devido à ordem do polin ômio quanto devido o n úmero de pontos do dom´ınio, conforme exemplo: A =          1 x0 x20 · · · xm0 1 x1 x21 · · · xm1 1 x2 x22 · · · xm2 .. . ... ... . .. ... 1 xn x2n · · · xmn          , X =          c0 c1 c2 .. . cm          e B =          f (x0) f (x1) f (x2) .. . f (xn)          . (29)

A fim de reduzir a ordem do polin ômio e as dimens ões das matrizes envolvidas, para tornar o processo mais r ápido do ponto de vista computacional, divide-se o dom´ınio em R sub-regi ões (Figura 2). Estas sub-regi ões n ão fazem parte do problema proposto, denominam-se regi ões fict´ıcias e ao se dividir o dom´ınio deve-se assegurar que todas as fronteiras reais coincidam com as fict´ıcias.

(33)

Figura 2: Representaç ão de uma problema com duas regi ões reais e R regi ões fict´ıcias. O pr óximo passo é transladar as malhas de pontos igualmente espaçados, ante-riormente avaliados, de cada regi ão fict´ıcia at é a origem do sistema (Figura 3). No entanto, cada regi ão fict´ıcia permanece com os par âmetros nucleares da sua regi ão de origem.

Figura 3:Regi ˜oes fict´ıcias transladadas.

Por fim, realiza-se a interpolaç ão dos pontos para cada uma das partes do fluxo e grupos de energia. Cabe ressaltar que a ordem m áxima do polin ômio depende da quantidade de pontos de cada intervalo. Caso haja n pontos a ordem m áxima poder á ser de n − 1.

No m étodo de interpolaç ão polinomial utilizou-se a decomposiç ão QR. A escolha deste m étodo é devido ao fato que o n úmero de pontos no interior de cada sub-regi ão altera-se conforme o intervalo ∆x escolhido e da decomposiç ão QR, pois no sistema linear AX = B, a matriz A na maioria das vezes, n ão é quadrada. Outro aspecto favor ável é que a matriz R é uma matriz triangular superior e melhor condicionada que a matriz A, e Q é uma matriz ortonormal (BURDEN; FAIRES (2008)). Resolvendo o sistema tem-se:

(34)

RX = QTB, (30) onde X é o vetor dos coeficientes do polin ômio. Lembrando que este processo é realizado a cada nova iteraç ão para o fluxo de n êutrons de cada grupo de energia, g, e cada regi ão fict´ıcia, R.

Constru´ıdo um mecanismo para que o fluxo tenha sempre uma forma padr ão, retorna-se ao problema original (23), resolvendo-o localmente. Como o problema re-solvido é uma EDO de 2a_{ordem, para cada sub-regi ão surgem duas inc ógnitas,}

produ-zindo um total de 2R inc ógnitas para cada grupo de energia. Aplicando as condiç ões de contorno, continuidade de fluxo e de densidade corrente nas interfaces dadas por (27), obt ém-se um sistema linear acoplado de 2R inc ógnitas e 2R equaç ões, para cada grupo de energia. Cabe ressaltar que a dimens ão deste sistema linear independe da quantidade de grupos, pois cada um deles é resolvido separadamente. Resolvido o sistema, novamente via decomposiç ão QR, obt ém-se a nova express ão do fluxo para cada regi ão fict´ıcia e grupo de energia, dado por:

ψRg(x) = c1Re √ bx_{+ c} 2Re− √ bx_{+ q} 1+ q2x + q3x2+ · · · + qm−1xm, (31) na qual b = P(r) Rg D(r)g

e ψRg ´e o novo fluxo para a regi ˜ao fict´ıcia R e grupo de energia g,

com q constantes arbitr árias conhecidas. Obtido o fluxo de n êutrons de cada regi ão fict´ıcia, deve-se novamente reestruturar a soluç ão em um único fluxo, deslocando cada regi ões fict´ıcias para sua posiç ão original.

Para finalizar o processo iterativo do m ´etodo da pot ˆencia, calcula-se o novo Kef f,

na qual as integrais s ão resolvidas analiticamente. Ap ós satisfazer o crit ério de parada do fluxo e do Kef f, calcula-se a pot ência gerada, bP, pelo reator que é calculada da

seguinte forma: b P = E Z L 0 G X g=1 Σf g(x)φg(x)dx, (32)

onde E ´e quantidade de energia gerada por fiss ˜ao.

Pode-se normalizar o fluxo escalar de n êutrons convergido pelo m étodo da pot ência, multiplicando-o pela raz ão entre a pot ência prescrita e a pot ência gerada pelo reator da seguinte forma:

φN_g (x) = φg(x)

P

b

P, (33)

onde P ´e a pot ˆencia prescrita.

No Ap êndice B apresenta-se um exemplo na qual a express ão do fluxo de n êutrons é encontrada utilizando a express ão anal´ıtica no termo fonte. Entretanto é realizado em um problema simples, composto por uma única regi ão, um grupo de energia e

(35)

unidimensional.

3.2 Resultados para o caso unidimensional

Para a implementaç ão computacional da metodologia proposta é utilizado o soft-ware Scilab em um computador pessoal com 16 GB de mem ória Ram, processador Core i7 e sistema operacional Windows. Realizam-se 4 casos testes, em todos eles s ão considerados dois grupos de energia: r ápido (g = 1) e t érmico (g = 2), sem up-scattering (Σs21 = 0) e crit érios de parada 1 = 2 = 10−10. Os resultados obtidos s ão

comparados com trabalhos presentes na literatura. Para o M étodo da Pot ência via Fronteiras Fict´ıcias (MPFF) utiliza-se interpolaç ão polinomial de quarta ordem.

3.2.1 Caso Teste 1 (CT1)

A refer ência de SILVA; MARTINEZ; GONÇ ALVES (2012) é utilizada para comparaç ão do Kef f. Para fins de comparaç ão do tempo computacional a refer ência

de CEOLIN et al. (2014) é implementada e executada utilizando-se o mesmo software, mesma configuraç ão de m áquina e crit ério de parada.

3.2.1.1 Dois grupos de energia e uma regi ˜ao (CT1-2G1R)

Para este caso teste tem-se: −50 ≤ x ≤ 50; condiç ões de contorno de Dirichlet φg(−50) = 0, φg(50) = 0e par âmetros nucleares conforme Tabela 1.

Tabela 1: Par ˆametros nucleares do CT1-2G1R. g Dg ΣRg νΣf g Σsg0_g

1 1,4380 0,02935 0,000242 0,00000 2 0,3976 0,10490 0,155618 0,01563

Tabela 2: Autovalores dominantes (Kef f) para CT1-2G1R.

SILVA; MARTINEZ; GONC¸ ALVES (2012) CEOLIN et al. (2014) MPFF

Kef f 0,7586362 0,758630 0,7586314

Para fim de comparac¸ ˜ao do Kef f utiliza-se ∆x = 0, 5cm para o MPFF. Pode-se

observar uma precis ão de 5 casas com a refer ência adotada, o que sugere uma excelente concord ância para c álculos globais em f´ısica de reatores. Para obter a mesma precis ão de 5 casas, o m étodo implementado de CEOLIN et al. (2014) uti-liza um ∆x = 1cm. Os tempos computacionais para o Caso Teste 1 s ão: MPFF =

(36)

2,1s e CEOLIN et al. (2014) = 66,3s. Pode-se notar um ganho computacional de apro-ximadamente 31 vezes com relaç ão a refer ência adotada para fins de comparaç ão computacional.

O valor do fluxo de n êutrons (r ápido, e t érmico) obtidos s ão comparados pelo m étodo utilizado por CEOLIN et al. (2014), na qual na Tabela 3 é representado pelo ´ındice superior ”ref”e é calculado o Desvio Relativo, | φg(x) − φ

ref g (x) |

| φg(x) |

.

Tabela 3:Fluxo escalar de n ˆeutrons para CT1-2G1R.

x φ1(x) φref1 (x) Des. Relativo φ2(x) φref2 (x) Des. Relativo

-50 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 -40 2,45878 2,45867 4,47 x 10−5 0,36499 0,36497 5,48 x 10−5 -30 4,67688 4,67668 4,28 x 10−5 0,69425 0,69422 4,32 x 10−5 -20 6,43717 6,43690 4,19 x 10−5 0,95556 0,95552 4,19 x 10−5 -10 7,56735 7,56703 4,23 x 10−5 1,12332 1,12328 3,56 x 10−5 0 7,95678 7,95644 4,27 x 10−5 1,18113 1,18108 4,23 x 10−5 10 7,56735 7,56703 4,23 x 10−5 1,12332 1,12328 3,56 x 10−5 20 6,43717 6,43690 4,19 x 10−5 _0,95556 _0,95552 _{4,19 x 10}−5 30 4,67688 4,67668 4,28 x 10−5 0,69425 0,69422 4,32 x 10−5 40 2,45878 2,45867 4,47 x 10−5 _0,36499 _0,36497 _{5,48 x 10}−5 50 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000

Como ilustraç ão o fluxo escalar de n êutrons (r ápido e t érmico) podem ser obser-vados na Figura 4. Percebe-se a satisfaç ão das condiç ões de contorno e um fluxo m áximo no centro do dom´ınio.

(37)

3.2.1.2 Dois grupos de energia e duas regi ˜oes (CT1-2G2R)

Para este caso teste tem-se: 0 ≤ x ≤ 50cm, condic¸ ˜oes de contorno mista _dxdφg(0) =

0 e φg(50) = 0, interface real em x = 30cm, na qual a regi ˜ao 1 (0 ≤ x ≤ 30cm)

corresponde à regi ão combust´ıvel e a regi ão 2 (30cm ≤ x ≤ 50cm) corresponde à regi ão refletora, e par âmetros nucleares conforme Tabela 4.

Tabela 4: Par ˆametros nucleares do CT1-2G2R.

Regi ˜ao D1 D2 ΣR1 ΣR2 νΣf 1 νΣf 2 Σs12

1 1,43800 0,397600 0,029350 0,104900 0,000242 0,155618 0,01563 2 1,87142 0,283409 0,035411 0,031579 0,000000 0,000000 0,03434

SILVA; MARTINEZ; GONC¸ ALVES (2012) CEOLIN et al. (2014) MPFF

Kef f 0,7346988 0,734476 0,734919

Aplicando os par âmetros e as condiç ões indicadas, observa-se que a precis ão neste caso teste é de 3 casas em comparaç ão com a refer ência adotada. Cabe ressal-tar que para o MPFF obter o resultado ótimo (tempo vs precis ão) utiliza-se ∆x = 1cm. Para se obter os resultados deste teste, o m étodo de CEOLIN et al. (2014) utiliza ∆x = 2cm. Os tempos computacionais s ão MPFF = 1,8s e CEOLIN et al. (2014) = 7,8s. Observa-se um ganho computacional de aproximadamente 4 vezes com relaç ão a refer ência. Aqui, cabe ressaltar que os tempos computacionais s ão relativamente pequenos, em relaç ão ao CT1-2G1R, devido ao tamanho do ∆x. Este caso teste admite maiores valores de ∆x, pois mesmo se for reduzido, permanece com a con-cord ância de 3 casas com a referencia adotada. Assim, opta-se em permanecer com os resultados com melhor tempo computacional.

O valor do fluxo de n êutrons (r ápido e t érmico) obtidos s ão comparados com os obtidos pelo m étodo utilizado por CEOLIN et al. (2014) na qual na Tabela 6 é repre-sentado pelo ´ındice superior ”ref”e é calculado o desvio relativo.

(38)

Tabela 6:Fluxo escalar de n ˆeutrons para CT1-2G2R. x φ1(x) φ ref 1 (x) Des. Relativo φ2(x) φ ref 2 (x) Des. Relativo 0 6,14135 6,16161 3,30 x 10−3 0,90945 0,91241 3,25 x 10−3 10 5,64914 5,66422 2,67 x 10−3 _0,83657 _0,83876 _{2,62 x 10}−3 20 4,25034 4,25144 2,59 x 10−4 0,63151 0,63136 2,36 x 10−4 30 1,94779 1,92850 9,90 x 10−3 _0,72640 _0,72522 _{1,62 x 10}−3 40 0,46266 0,45718 1,18 x 10−2 0,54130 0,53706 7,83 x 10−3 50 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000

Como ilustraç ão o fluxo escalar de n êutrons é apresentado na Figura 5. Percebe-se a satisfaç ão das condiç ões de contorno e um fluxo m áximo na origem do dom´ınio.

Figura 5: Gr ´afico do CT1-2G2R.

Na Figura 5 observa-se a satisfaç ão das condiç ões de contorno e um aumento do fluxo t érmico no inicio da regi ão refletora que é devido a contribuiç ão dos n êutrons r ápidos, que surgem na regi ão combust´ıvel, e ao chocarem com átomos da regi ão refletora espalham e se tornam t érmicos.

3.2.2 Caso Teste 2 (CT2)

Para o segundo caso teste utiliza-se como refer ência LEMOS (2005), que apre-senta resultados para um problema com dois grupos de energia e duas regi ões (2G2R) com dom´ınio 0 ≤ x ≤ 30cm e interface em x = 10cm, na qual a regi ão 1 (0 ≤ x ≤ 10cm) corresponde a regi ão combust´ıvel e a regi ão 2 (10cm ≤ x ≤ 30cm) corresponde a regi ão refletora, e condiç ão de contorno mista d

dxφg(0) = 0e φg(30) = 0. Os par ˆametros

nucleares utilizados encontram-se na Tabela 7. A pot ência prescrita é de P = 10−6W e a quantidade de energia gerada por fiss ão adotada é de E = 200M eV /fiss ão.

(39)

Tabela 7: Par ˆametros nucleares do CT2-2G2R.

Regi ˜ao D1 D2 ΣR1 ΣR2 νΣf 1 νΣf 2 Σs12

1 1,6797 0,4754 0,02309 0,07886 0,005008 0,09713 0,01423 2 0,6702 0,1509 0,09013 0,03277 0,000000 0,00000 0,09084

Cabe salientar que LEMOS (2005) utilizou como crit ´erio de parada 10−2_{, assim}

simulou-se um caso com mesmo crit ério e outro com um crit ério de parada mais fino, 10−10, para poss´ıveis comparaç ões futuras.

LEMOS (2005) MPFF(10−2₎ _MPFF(10−10₎

Kef f 0,70139961 0,70166267 0,70069544

O valor do fluxo de n êutrons (r ápido e t érmico) normalizados pela pot ência obtidos com crit ério de parada 10−2s ão comparados com os obtidos pelo m étodo utilizado por LEMOS (2005) que s ão apresentados na Tabela 9 e representado pelo ´ındice superior ”ref”.

Tabela 9:Fluxo escalar de n ˆeutrons para CT2-2G2R.

x φ1(x) φref1 (x) Des. Relativo φ2(x) φref2 (x) Des. Relativo

0 122402 121995 3,33 x 10−3 22309,96 22265 2,02 x 10−3 5 113041 113055 1,21 x 10−3 23615,43 23618,6 1,34 x 10−4 10 78503,7 78614,9 1,42 x 10−3 45224,24 45292,5 1,51 x 10−3 20 2004,33 2007,17 1,42 x 10−3 _9611,38 _9625,04 _{1,42 x 10}−3

30 0 -7,45 x 10−9 - 0 1,19 x 10−7

-Como ilustraç ão o fluxo escalar de n êutrons normalizado pela pot ência é apresen-tado na Figura 6 e percebe-se a satisfaç ão das condiç ões de contorno e um aumento do fluxo t érmico no entorno da interface devido a contribuiç ão do espalhamento.

(40)

Figura 6: Gr ´afico do CT2-2G2R. 3.2.3 Caso Teste 3 (CT3)

O terceiro caso teste utiliza dois grupos de energia e tr ês regi ões (CT3-2G3R). Este teste é muito usado para a validaç ão dos modelos, visto que na literatura s ão en-contrados resultados benchmark. A geometria do problema consiste em um dom´ınio com 0cm ≤ x ≤ 240cm, interfaces reais em x = 40cm e x = 200cm, na qual a regi ão 1 (0 ≤ x ≤ 40cm) e regi ão 3 (200cm ≤ x ≤ 240cm) correspondem as regi ões com-bust´ıveis e a regi ão 2 (40cm ≤ x ≤ 200cm) corresponde à regi ão refletora, o problema possui condiç ões de contorno de Dirichlet φg(0) = 0e φg(240) = 0e par âmetros

nucle-ares conforme Tabela 10.

Tabela 10: Par ˆametros nucleares do CT3-2G3R. Regi ˜ao D1 D2 ΣR1 ΣR2 νΣf 1 νΣf 2 Σs12

1 e 3 1,5 0,5 0,026 0,18 0,010 0,200 0,015 2 1,0 0,5 0,020 0,08 0,005 0,099 0,010

A comparaç ão dos resultados do Kef f e da pot ência por regi ões é feita com o

benchmark dado por POLLARD (1977) e com CEOLIN et al. (2014), como pode ser observado na Tabela 11.