Modelamento sismico assintotico utilizando diferenças finitas

(1)

MODELAMENTO S´ISMICO ASSINT ´

OTICO

UTILIZANDO DIFERENC

¸ AS FINITAS

Matheus Fabiano Pila

Aluno

Prof. Dr. L´ucio Tunes dos Santos

Orientador

Prof. Dra. Am´elia Novais

Co-orientadora

DMA – IMECC – UNICAMP Mar¸co de 2005

(2)

Agradecimentos

Agrade¸co primeiramente ao meu orientador Prof. Lúcio Tunes dos Santos, com o qual trabalho junto desde o primeiro ano de gradua¸cão. Uma pessoa amiga e totalmente profissional, que ao longo destes anos me ajudou em tudo o que eu precisei. Outra pessoa muito importante na elabora¸cão desta disserta¸cão foi a Profa. Amélia Novais, que é extremamente prestativa e atenciosa, sempre se mostrando empolgada diante de qualquer desafio.

Não poderiam faltar agradecimentos à minha fam´ılia, que acreditou no meu trabalho e sempre me incentivou a continuar meus estudos, e aos amigos, que sempre estão presentes tornando nossos dias menos dif´ıceis.

(3)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 M´etodos Assint´oticos 3

1.1 Equa¸c˜ao Iconal e Equa¸c˜ao de Transporte . . . 3

1.2 Raios S´ısmicos . . . 4

2 M´etodos de Diferen¸cas Finitas Usando Malha Fixa 7 2.1 Primeira Chegada do Tempo de Trˆansito . . . 8

2.2 Chegada Direta do Tempo de Trˆansito . . . 13

2.3 Métodos de Ordem Superior para o Cálculo da Primeira Chegada do Tempo de Trânsito . . . 14

2.3.1 Esquemas RK-ENO de Ordem Dois . . . 15

2.3.2 Esquemas RK-ENO de Ordem Trˆes . . . 17

2.3.3 Condi¸c˜ao de Estabilidade . . . 18

2.4 Implementa¸cão Computacional dos Esquemas RK-ENO Usando a Expansão DNO e Melhorias nos Métodos . . . 20

2.4.1 Inicializa¸c˜ao Refinada . . . 22

2.4.2 Expans˜ao Dinˆamica DNO . . . 25

2.4.3 Varredura Posterior (PS) . . . 25

3 Método de Diferen¸cas Finitas Adaptativo 29 3.1 Inicializa¸cão no Método Adaptativo . . . 31

3.1.1 Aproxima¸c˜ao por Taylor . . . 32

3.1.2 Aproxima¸c˜ao por Raios . . . 34

3.1.3 Testes Computacionais . . . 38

(4)

3.2 Interpola¸c˜ao no Refinamento . . . 39

3.3 Experimentos Num´ericos . . . 42

3.3.1 Meio Homogˆeneo (v(x, z) = v0) . . . 44

3.3.2 Meio com Velocidade Afim em z (v(x, z) = v0+ gz) . . . 45

3.3.3 Meios Homogˆeneos Separados por Interface Sinclinal . . . 47

3.3.4 Meios Homogˆeneos Separados por Interface Anticlinal . . . 50

3.3.5 Meios Homogˆeneos Separados por Interface com Quina . . . 50

3.3.6 Meio com Velocidade Exponencial em z (v(x, z) = v0egz) . . . 55

3.3.7 Meio com Velocidade N˜ao Linear em z . . . 55

3.4 Coment´arios Gerais . . . 60

4 Conclus˜ao 63

(5)

Lista de Figuras

2.1 Dom´ınio Discretizado . . . 8

2.2 Avan¸co do M´etodo no Dom´ınio Discretizado . . . 9

2.3 Raio Direto e Raio Refletido . . . 10

2.4 Geometrias de Blocos de N´os na Malha . . . 10

2.5 Modelo com um Campo de Velocidades Descont´ınuo . . . 12

2.6 Primeira Chegada do Tempo de Trˆansito (Vidale) . . . 12

2.7 Chegada direta do Tempo de Trˆansito (Mo & Harris) . . . 14

2.8 Dom´ıno Num´erico e Dom´ınio Anal´ıtico - Condi¸c˜ao CFL . . . 19

2.9 Erros Percentuais - Vidale e RK-ENO Ordem 2 . . . 21

2.10 Erros Percentuais - RK-ENO Ordem 2 Sem e Com o Refinamento . . . 23

2.11 Erros Percentuais - RK-ENO de Ordem 2 e 3 . . . 24

2.12 Modelo com um Campo de Velocidades Descont´ınuo . . . 27

2.13 Aproxima¸cão Após Corre¸cão Usando o Método PS . . . 28

3.1 Fun¸c˜ao smmax . . . 30

3.2 Erro na Inicializa¸c˜ao - Meio Afim em z . . . 39

3.3 Erro na Inicializa¸c˜ao - Meio com Velocidade Exponencial em z . . . 40

3.4 Erro na Inicializa¸c˜ao - Meio com Velocidade Decaindo em z . . . 40

3.5 Diferentes Interpola¸c˜oes . . . 41

3.6 Modelo e Tempo de Trˆansito para Testes . . . 43

3.7 Erros nas Diferentes Interpola¸c˜oes . . . 44

3.8 Tempo de Trˆasito em um Meio Homogˆeneo . . . 45

3.9 Erros Percentuais e Varia¸c˜ao de ∆z no Meio Homogˆeneo . . . 46

3.10 Meio com Velocidade Afim em z e o Tempo de Trˆansito Neste . . . 48

3.11 Erros Percentuais e Varia¸c˜ao de ∆z no Meio com Velocidade Afim em z . . 49 iii

(6)

3.12 Meio com um Refletor Sinclinal e o Tempo de Trânsito Neste . . . 51 3.13 Erros Percentuais e Varia¸cão de ∆z no Meio com um Refletor Sinclinal . . 52 3.14 Meio com um Refletor Antinclinal e o Tempo de Trânsito Neste . . . 53 3.15 Erros Percentuais e Varia¸cão de ∆z no Meio com um Refletor Anticlinal . 54 3.16 Meio com um Refletor com Quina e o Tempo de Trânsito Neste . . . 56 3.17 Erros Percentuais e Varia¸cão de ∆z no Meio com um Refletor com Quina . 57 3.18 Meio com Velocidade Exponencial em z e o Tempo de Trânsito Neste . . . 58 3.19 Erros Percentuais e Varia¸cão de ∆z no Meio com Velocidade Exponencial

em z . . . 59 3.20 Meio com Velocidade Decaindo em z e o Tempo de Trˆansito Neste . . . 61 3.21 Erros Percentuais e Varia¸c˜ao de ∆z no Meio com Velocidade Decaindo em z 62

(7)

Introdu¸c˜

ao

O modelamento s´ısmico é uma técnica para simular a propaga¸cão de ondas no subsolo terrestre. O objetivo é predizer o que um conjunto de sensores obteria, dada uma estrutura para a sub-superf´ıcie. Esta técnica é uma ferramenta poderosa para interpreta¸cão s´ısmica e uma parte essencial nos algoritmos de inversão s´ısmica. Existem três categorias nas quais podemos classificar esses métodos: métodos diretos, métodos integrais e métodos assintóticos (Carcione et al. [4]).

Para resolver a equa¸cão da onda por métodos diretos, o modelo geológico é apro-ximado por uma malha numérica, isto é, o modelo é discretizado em um número finito de pontos e um método numérico é utilizado para encontrar uma aproxima¸cão para a solu¸cão da equa¸cão da onda completa. Podemos citar os métodos de Diferen¸cas Finitas, Pseudo-Espectrais e Elementos Finitos. Os métodos diretos não têm restri¸cões quanto a variabilidade do meio e podem ser muito precisos quando uma malha suficientemente fina for usada, obedecendo as condi¸cões para convergência.

Os métodos integrais utilizam representa¸cões integrais para o campo de ondas ger-ado por fontes pontuais (Princ´ıpio de Huygens). Estes métodos são mais restritos nas aplica¸cões que os métodos diretos. No entanto, para geometrias espec´ıficas, os métodos integrais apresentam muita eficiência e fornecem resultados precisos. Podemos citar as representa¸cões integrais de Born e Kirchhoff.

Já os métodos assintóticos são frequentemente usados no modelamento s´ısmico. Esses métodos computam o campo de ondas por partes, decompondo a equa¸cão da onda em duas outras equa¸cões: Iconal e Transporte. Conforme vários textos da literatura, eles são os mais eficientes computacionalmente destas três categorias apresentadas. Uma de suas grandes vantagens é o tempo computacional, mesmo para casos em três dimensões. Podemos citar o Método dos Raios (caracter´ısticas) e Diferen¸cas Finitas, agora aplicadas às equa¸cões resultantes.

(8)

Neste trabalho, estudamos o modelamento s´ısmico assintótico utilizando os esquemas de diferen¸cas finitas (DF) na equa¸cão iconal, para calcularmos o tempo de trânsito em uma malha fixa e posteriormente em uma adaptativa. No caso de esquemas usando malha fixa, o primeiro trabalho de maior importância nesta área foi Vidale [16], onde esquemas de DF são aplicados de forma engenhosa porém sem um bom embasamento teórico. Depois disso, vários trabalhos foram publicados sem uma relevante mudan¸ca na eficiência dos métodos. Um resultado importante foi apresentado em C. Belfi [1], pois os métodos de malha fixa, agora implementados com os esquemas Essencialmente Não Oscilatório (ENO), são aplicados de forma que exista um limitante para a inclina¸cão das frentes de onda, devido à condi¸cão CFL. Este resultado seria a base para os algoritmos adaptativos. Em Kim & Cook [9], os métodos de malha fixa associados aos esquemas ENO e à inicializa¸cão refinada mostraram ser uma ótima ferramenta para o cálculo do tempo de trânsito, até mesmo em meios que contenham regiões de alto contraste, aplicando uma corre¸cão que usa os mesmos esquemas em outras dire¸cões (corre¸cão PS).

O maior problema dos métodos de malha fixa é o erro relativamente alto que aparece na região próxima à fonte, devido à alta curvatura da frente de onda nesta região. Os métodos adaptativos surgem como uma ótima op¸cão para contornar este problema. Em Belfi & Symes [2], os métodos de DF associados aos esquemas ENO e Runge-Kutta (RK) conseguem contornar este problema, pois os espa¸camentos da malha se ajustam conforme o erro satisfaz ou não uma tolerância fornecida pelo usuário. Por fim, em Qian & Symes [12], o método de DF adaptativo é exposto com todo o embasamento teórico necessário para seu bom funcionamento. Sua alta eficiência pode ter um alto custo, dependendo do alto contraste do meio fornecido.

Esta disserta¸cão está organizada da seguinte forma. No Cap´ıtulo 1, apresentamos os métodos assintóticos, explicando como obter a equa¸cão iconal e as curvas caracter´ısticas desta. No Cap´ıtulo 2 discutimos os métodos de malha fixa, onde apresentamos desde os esquemas mais simples até os mais sofisticados, para resolver numericamente a equa¸cão iconal. Também apresentamos neste cap´ıtulo as condi¸cões para um bom funcionamento e os experimentos computacionais. No Cap´ıtulo 3 apresentamos o método adaptativo, onde os esquemas do cap´ıtulo anterior são aplicados em uma malha que varia, conforme uma tolerância é satisfeita ou não em cada passo. Finalmente no Cap´ıtulo 4, apresentamos a conclusão desta disserta¸cão, discutindo as vantagens e desvantagens de usarmos ou não uma malha que se adapte ao problema.

(9)

Cap´ıtulo 1

M´

etodos Assint´

oticos

1.1 Equa¸c˜

ao Iconal e Equa¸c˜

ao de Transporte

Seja G a Fun¸cão de Green para a Equa¸cão da Onda Acústica Homogênea com densidade constante no espa¸co da frequência (Equa¸cão de Helmholtz). Então G satisfaz a seguinte

equa¸c˜ao _"

∆ + ω2

v(x)2

#

G(x, xs, ω) = 0 , (1.1)

onde ∆ é o operador laplaciano, x é um ponto no dom´ınio, xs é a posi¸cão da fonte, ω é

a frequência e v(x) é o campo de velocidades. Pode ser mostrado que, para ω −→ ∞, a solu¸cão tem o mesmo comportamento que a solu¸cão do problema para um meio homogêneo (v(x) = v0 constante), cuja expressão é conhecida (Bleistein [3]). Na verdade, queremos

que

G(x, xs, ω) = A(x, xs)eiωτ (x,xs) , (1.2)

onde A é a fun¸cão que fornece a amplitude e τ é a fun¸cão que fornece o tempo de trânsito. De maneira a encontrar A e τ , tomemos como tentativa de solu¸cão para a fun¸cão de Green, para um meio não homogêneo, uma série de potências de (−iω)−1_{, ou seja,}

G(x, xs, ω) =

∞

X

k=0

(−iω)−kAk(x, xs)eiωτ (x,xs) , (1.3)

e, portanto, A = A0. Para obter as equa¸cões que determinam as amplitudes Ak e o tempo de trânsito τ , devemos substituir esta tentativa de solu¸cão na equa¸cão de Helmholtz e

(10)

agrupar os coeficientes, ou seja, ∞

X

k=0

{ (−iω)2−k[k∇τ k2−v−2]Ak−(−iω)1−k [2∇Ak·∇τ +Ak∆τ ]+(−iω)−k∆Ak } eiωτ = 0 . (1.4) Abrindo este somatório e atribuindo o valor zero para os coeficientes de cada potência de (−iω)−1_{, obtemos, respectivamente, a equa¸cão iconal, a equa¸cão de transporte e a rela¸cão} de recorrência:

k∇τ k2 ₌ 1

v2 , (1.5)

2∇A0· ∇τ + A0∆τ = 0 , (1.6)

2∇Ak+1· ∇τ + Ak+1∆τ = ∆Ak , (1.7)

onde ||.|| denota a norma Euclidiana.

Assim, a nova solu¸cão que atribu´ımos para a fun¸cão de Green pode ser constru´ıda primeiro resolvendo a equa¸cão iconal (determinando τ ), e em seguida a equa¸cão de trans-porte (determinando A0), para posteriormente determinarmos os Ak, com k > 0.

1.2 Raios S´ısmicos

Uma maneira de encontrar a solu¸cão da equa¸cão iconal é aplicar o método das carac-ter´ısticas. Este é um método geral que encontra solu¸cões para equa¸cões diferenciais par-ciais de primeira ordem, que é o caso da equa¸cão iconal. A idéia é construir curvas x(σ) ao longo das quais a equa¸cão diferencial parcial é reduzida a uma equa¸cão diferencial ordinária (Carcione et al. [4]).

Para entendermos o conceito desta nova formula¸cão no caso da equa¸cão iconal, vamos primeiramente considerar o caso mais simples, onde o meio é homogêneo. As superf´ıcies de n´ıvel (considerando o caso tri-dimensional) da solu¸cão da equa¸cão iconal para este caso são esferas centrados na posi¸cão da fonte pontual xs, que correspondem às frentes de onda, com raio vt. Assim, escolhendo um ponto arbitrário x em nosso dom´ınio situado na frente de onda τ = t, a linha que liga os pontos xs e x é ortogonal à essa frente de onda e assim, na dire¸cão do gradiente ∇τ (x, xs). Portanto, podemos escrever esta linha

(11)

na forma parametrizada x(σ) = xs+ σ∇τ (x, xs) = xs+ σ v x − xs |x − xs| , (1.8)

onde escalamos o parˆametro σ de forma que

dx dσ = ∇τ = 1 v x − xs |x − xs| . (1.9)

Diferenciando o tempo de trˆansito τ com rela¸c˜ao a σ, obtemos

dτ dσ = ∇τ · dx dσ = k∇τ k 2 ₌ 1 v2 , (1.10)

que é uma equa¸cão diferencial ordinária para o tempo de trânsito. Integrando com rela¸cão a σ encontramos τ = σ/v2_{. Assim, para o caso onde temos um meio homogêneo, é}

suficiente termos a fam´ılia de linhas partindo da posi¸cão da fonte e a equa¸cão diferencial ordinária (1.10) ao longo destas linhas para resolver a equa¸cão iconal.

No caso geral, onde a velocidade do meio depende das vari´aveis espaciais, tamb´em queremos construir curvas x(σ) satisfazendo

dx

dσ = λ∇τ , (1.11)

isto é, queremos que as curvas procuradas sejam ortogonais às frentes de onda, e assim estejam na dire¸cão de ∇τ . Na equa¸cão (1.11), λ é uma fun¸cão das variáveis espaciais. Observemos que para encontrar estas curvas, precisamos conhecer τ . Para contornar este problema, diferenciamos (1.11) novamente com rela¸cão a σ,

dx2 dσ2 = dλ dσ∇τ + λ∇ 2_τdx dσ = dλ dσ∇τ + λ 2_∇2_{τ ∇τ} = dλ dσ∇τ + λ2 2 ∇(k∇τ k 2₎ = dλ dσ∇τ + λ2 2 ∇ · ₁ v2 ¸ . (1.12)

(12)

Chamando p = ∇τ , temos dx dσ = λp , (1.13) e assim dx2 dσ2 = dλ dσp + λ dp dσ . (1.14)

Igualando este resuldado ao obtido em (1.12) temos

dp dσ = λ 2∇ · 1 v2 ¸ . (1.15)

Portanto, as equa¸c˜oes (1.13) e (1.15) mais a equa¸c˜ao

dτ dσ = ∇τ · dx dσ = λk∇τ k 2 _{= λ} 1 v2 , (1.16)

formam um sistema que nos fornece as curvas caracter´ısticas x(σ), ou em nosso caso, simplesmente raios. Este resultado é muito importante e vai ser usado em nossos métodos numéricos, visto que precisamos dizer ao algoritmo se ele está ou não usando pontos na malha de forma a respeitar a propaga¸cão da onda.

(13)

Cap´ıtulo 2

M´

etodos de Diferen¸cas Finitas

Usando Malha Fixa

Os métodos de Diferen¸cas Finitas (DF) são bastante eficazes computacionalmente para resolver a equa¸cão iconal, a partir da´ı podemos construir as curvas de n´ıvel (no caso bidimensional) da fun¸cão τ , que correspondem às frentes de onda que se propagam a partir da posi¸cão da fonte. Os métodos de DF para a equa¸cão iconal, porém, não costumam obter a solu¸cão correspondente ao problema de mais de uma frente de onda propagando. Os métodos aqui estudados (exceto o apresentado em Mo & Harris [10]) se referem ao problema que calcula a primeira onda vinda da fonte até um determinado ponto, chamada

primeira chegada do tempo de trˆansito.

Vamos estudar a equa¸c˜ao iconal no espa¸co bidimensional, ou seja,

Ã ∂τ ∂x !₂ + Ã ∂τ ∂z !₂ = 1 v(x)2 , (2.1)

onde x = (x, z) com a fonte localizada na superf´ıcie (z = 0). Dado o dom´ınio D = {(x, z)

| x ∈ [xmin, xmax] e z ∈ [0, zmax]} onde queremos resolver esta equa¸c˜ao, podemos

dis-cretizá-lo, criando assim uma malha com J + 1 nós na vertical e I + 1 nós na horizontal, correspondendo às dire¸cões z e x, respectivamente. Assim, zj = j∆z com j = 0, 1, ..., J e xi = xmin+ i∆x com i = 0, 1, ..., I, onde ∆z = zmax/J e ∆x = (xmax− xmin)/I. Dada

a posi¸cão da fonte e o campo de velocidades nesta malha retangular, podemos dar in´ıcio ao processo. Primeiramente, precisamos aproximar o valor da solu¸cão da equa¸cão iconal numa região próxima à fonte, representada pelos nós pretos na Figura 2.1, para

(14)

Figura 2.1: Representa¸cão de um dom´ınio discretizado. Os nós pretos representam a malha inicializada ao redor da fonte (representada por S). Já os nós brancos representam os pontos onde devemos aproximar a solu¸cão utilizando DF.

mos aplicar um esquema numérico nesses. O tempo de trânsito é determinado integrando

v−1 _{ao longo de um caminho que o torna m´ınimo. Os métodos estudados propõem usar} estes caminhos como sendo segmentos de retas, o que corresponde a supor que a ve-locidade é constante nesta região, e é igual a veve-locidade na posi¸cão da fonte. Métodos mais avan¸cados, conforme veremos adiante, usam uma inicializa¸cão refinada. Feito isso, podemos dar partida ao método e aplicar esquemas de DF nos pontos inicializados.

Esta é a idéia geral de como atuam os métodos de diferen¸cas finitas. A seguir, temos dois métodos simples para resolver o problema. O objetivo de colocá-los na mesma se¸cão é mostrar que pequenas mudan¸cas nos métodos podem fornecer solu¸cões bem diferentes.

2.1 Primeira Chegada do Tempo de Trˆ

ansito

O método que segue foi apresentado em Vidale [16], e funciona bem para um grande número de problemas. O espa¸camento é igual tanto na vertical quanto na horizontal, isto é, ∆z = ∆x = h. Considerando a velocidade constante, calculamos analiticamente o tempo de trânsito numa região de dois nós ao redor da fonte (conforme Figura 2.1). Na Figura 2.2 temos a configura¸cão da malha, dada uma região onde a solu¸cão já está calculada. Os nós pretos indicam os pontos da malha onde o tempo já foi calculado e os nós brancos os pontos onde o tempo será calculado. Podemos ver esta região formada pelos pontos calculados como um retângulo, e queremos que este retângulo se expanda

(15)

Figura 2.2: Os nós pretos representam pontos onde a aproxima¸cão já foi calculada, onde os maiores representam os m´ınimos locais em cada aresta. Os nós brancos estão sobre as próximas três arestas do retângulo em expansão ao redor da fonte, onde o tempo de trânsito deve ser aproximado.

até que o dom´ınio fornecido seja preenchido. Assim, cada passo deste algoritmo con-siste em calcularmos o tempo de trânsito seqüencialmente em cada uma das três arestas deste retângulo. Este modo de expansão é conhecido como DNO (“Down0_n0_{out”). Como} queremos que os tempos sejam determinados de forma upwind (entre esquema atrasado e avan¸cado, o método escolhe aquele que respeita a propaga¸cão da onda), o cálculo dos nós brancos deve ser feito de forma que seus vizinhos do passo anterior estejam organizados de forma crescente. Ou ainda, se pensarmos de uma forma mais engenhosa, devemos dar in´ıcio ao processo pelos m´ınimos locais da última aresta calculada, representados pelos pontos pretos maiores na borda do retângulo em expansão, e calcular o tempo de trânsito nos respectivos nós vizinhos mais próximos, representados pelos pontos brancos com con-torno maior. Em seguida, os nós vizinhos são calculados de maneira consecutiva, até chegar nos máximos locais. Quando ocorrer de um máximo local ter duas maneiras de ser calculado (pela direita e pela esquerda), o valor assumido deve ser o tempo de trânsito menor entre os dois valores, pois queremos a frente de onda que chega primeiro.

Esta forma de resolu¸cão apresenta um problema. Como vamos sempre nos afastando da fonte, estamos considerando que ∂τ /∂z > 0 em cada aresta horizontal do retângulo em expansão ao redor da fonte (considera¸cão análoga com a derivada em x ocorre nas arestas verticais do mesmo retângulo). Logo, pode acontecer de calcularmos um tempo de trânsito que necessita da resolu¸cão em passos posteriores. Como ilustrado na Figura 2.3, o ponto

(16)

G sente a chegada da frente de onda por dois caminhos diferentes. Caso a velocidade v2

no meio de baixo seja maior que a velocidade v1 do meio de cima, dependendo da posi¸c˜ao

do ponto G a onda que atingiu a descontinuidade chega primeiro neste local. M´etodos corretivos, como o PS (“post sweeping”) apresentado mais adiante, tentam sanar este problema.

Figura 2.3: O raio que atinge a regi˜ao de descontinuidade pode chegar antes que o raio direto.

Uma vez visto como o algoritmo procede, falta apresentarmos os esquemas usados nestes cálculos. Na Figura 2.4 temos as duas geometrias poss´ıveis usadas no método. Como anteriormente, os nós pretos indicam onde o tempo de trânsito já foi determinado e os brancos onde os tempos serão calculados. A primeira geometria refere-se ao cálculo de tempos em e cujo vizinho do passo anterior é um m´ınimo local (m). Já a segunda geometria refere-se a todos os outros pontos.

Primeiramente, vamos discretizar as derivadas parciais no ponto m usando as diferen¸cas

(17)

centrada e avan¸cada. Logo, µ_t r− tl 2h ¶2 + µ_t e− tm h ¶2 = 1 v2 m . (2.2)

Considerando que a onda est´a sempre se afastando da fonte, temos ent˜ao que

te= tm+ h v u u t 1 v2 m − µ_t r− tl 2h ¶2 . (2.3)

Para o caso da segunda geometria, vamos discretizar as derivadas parciais no ponto que est´a no meio do quadrado formado pelos quatro pontos. Assim, usando diferen¸cas cen-tradas nestes novos eixos ortogonais (representadas pelas linhas pontilhadas na Figura 2.4),

obtemos _Ã td_√− ta 2h !₂ + Ã tc_√− tb 2h !₂ = 1 v2 , (2.4) ou ainda td= ta+ q 2(h/v)2_{− (t} c− tb)2 , (2.5)

onde v = (va+ vb+ vc+ vd)/4. O esquema ´e aplicado de forma que ta < tb, pois assim

satisfaz o metódo upwind descrito anteriormente. Isto é válido pois a equa¸cão iconal não muda após sofrer rota¸cões. Para vermos isto, basta fazer u = (x+y)/√2 e v = (−x+y)/√2

e assim _Ã ∂τ ∂x !₂ + Ã ∂τ ∂z !₂ = Ã ∂¯τ ∂u !₂ + Ã ∂¯τ ∂v !₂ = 1 v2 , (2.6) onde τ (x, z) = ¯τ (u, v).

Quando ocorrer de o argumento da raiz ser negativo, a alternativa proposta em Vidale [16] ´e substituir o valor do argumento por zero. Assim, passamos a ter que td = ta, o que

significa que estamos considerando que os pontos d e a estão na mesma frente de onda. Para ilustrar o cálculo da primeira chegada do tempo de trânsito, aplicamos o método no modelo da Figura 2.5, que possui um campo de velocidades de 2000 m/s no dom´ınio fornecido, exceto na caixa que ultrapassa 500 m na profundidade e 2500 m na superf´ıcie, onde a velocidade é 5000 m/s. A fonte está posicionada em x = 2000 m na superf´ıcie. A aproxima¸cão resultante está na Figura 2.6.

(18)

Figura 2.5: Modelo com um campo de velocidades descont´ınuo. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 profundidade (m) distancia (m)

Primeira Chegada do Tempo de Trânsito

Figura 2.6: Primeira chegada do tempo de trˆansito para o modelo apresentado na Figura 2.5, calculada usando o m´etodo apresentado por Vidale [16].

(19)

2.2 Chegada Direta do Tempo de Trˆ

ansito

Com pequenas mudan¸cas, é poss´ıvel criar um método que calcule a onda que propaga de maneira direta entre dois pontos, chamada chegada direta do tempo de trânsito. Este método foi apresentado em Mo & Harris [10] e é muito parecido com o exposto anterior-mente.

A primeira mudan¸ca é quando um máximo local em uma das arestas do retângulo em expansão tem duas formas de ser calculado. Desta vez, o valor assumido é aquele que usa informa¸cão de pontos mais próximos à fonte. O motivo disto é porque estamos supondo que a onda direta está sempre se afastanto da fonte. A outra mudan¸ca é quando o argumento da raiz for negativo. Como queremos a onda que propaga direto, devemos supor que a onda foi transmitida sobre a aresta do bloco (referente a primeira ou segunda geometria da Figura 2.4) onde está sendo calculado o tempo de trânsito. Assim, para o cálculo de m´ınimos locais, conforme a primeira geometria da Figura 2.4 passamos a ter

te = tm+ h/ve. (2.7)

J´a no c´alculo dos outros tempos, conforme o segundo bloco da mesma figura, passamos a ter

td = min(tb, tc) + h/vd . (2.8)

No cálculo da chegada direta do tempo de trânsito, não temos problema ao estarmos sempre nos afastando da fonte. Diferentemente do problema anterior, aqui não nos inte-ressam ondas refletidas, que podem chegar antes da onda direta. Na Figura 2.7, temos a aproxima¸cão obtida usando este método, para o mesmo campo de velocidades do último exemplo (ver Figura 2.5). A principal diferen¸ca entre esta aproxima¸cão e aquela obtida anteriormente (ver Figura 2.6) é que agora temos apenas as ondas diretas e não as refleti-das, que haviam sido geradas por causa da descontinuidade do campo de velocidades do modelo.

(20)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 profundidade (m) distancia (m)

Chegada Direta do Tempo de Trânsito

Figura 2.7: Chegada Direta do tempo de trˆansito para o modelo apresentado na Figura 2.5, calculada usando o m´etodo apresentado por Mo & Harris [10].

2.3 M´

etodos de Ordem Superior para o C´

alculo da

Primeira Chegada do Tempo de Trˆ

ansito

Métodos como o apresentado na última se¸cão não tornam poss´ıvel uma modifica¸cão afim de aumentar sua eficácia. Mas quando evolu´ımos em apenas uma variável, passamos a ter uma equa¸cão diferencial nesta. Assim, considerando ∂τ /∂z > 0, podemos reescrever a equa¸cão iconal como uma equa¸cão de evolu¸cão em z, ou seja,

∂τ ∂z = v u u t 1 v2 − Ã ∂τ ∂x !₂ = H Ã v,∂τ ∂x ! . (2.9)

Usamos a nota¸cão H para o operador propositalmente, pois esta equa¸cão é uma equa¸cão Hamilton-Jacobi.

As solu¸cões para este tipo de equa¸cão foram bastante discutidas na literatura. Uma das primeiras idéias é introduzir condi¸cões de entropia e solu¸cões com viscosidade, de-vido à não unicidade das solu¸cões (Crandall & Lions [5]). Outra classe importante de métodos numéricos para resolver (2.9) é a classe de esquemas monótonos discutida em

(21)

Crandall & Lions [6]. No entanto, apenas esquemas monótonos de primeira ordem são adequados, pois os de alta ordem apresentam oscila¸cões que geralmente ocorrem na pre-sen¸ca de derivadas descont´ınuas. Em nosso caso, as derivadas descont´ınuas aparecem frequentemente, principalmente quando o método passa por uma interface.

Os esquemas essencialmente não oscilatórios (ENO) foram implementados com grande sucesso para resolver o problema hiperbólico de leis de conserva¸cão, conforme apresentado por vários autores (Harten & Osher [7], Harten et al. [8], Shu & Osher [13] e [14])). A idéia chave do esquema ENO é usar uma interpola¸cão local que escolhe a interpola¸cão mais suave poss´ıvel. Em Osher & Shu [11], foi discutida a proximidade dos problemas hiperbólicos de leis de conserva¸cão e as equa¸cões Hamilton-Jacobi, de onde concluiu-se que os esquemas ENO podem ser aplicados para encontrar aproxima¸cões de alta ordem nas equa¸cões Hamilton-Jacobi.

Seguindo esta mesma idéia, Belfi [1] construiu os esquemas ENO agora aplicados à equa¸cão iconal evoluindo em apenas uma variável. Assim, temos um método onde são aplicados esquemas Runge-Kutta (RK) na variável z e esquemas ENO na variável x. Neste método, a inicializa¸cão também considera a velocidade constante em uma região, e igual a velocidade na posi¸cão da fonte. A diferen¸ca é que ao invés de a inicializa¸cão ocorrer em um pequeno retângulo composto por nós ao redor da fonte, ela ocorre em toda uma região logo abaixo da superf´ıcie, em uma certa profundidade fornecida. A seguir, apresentamos como são constru´ıdos estes esquemas.

2.3.1 Esquemas RK-ENO de Ordem Dois

Aplicando o esquema Runge-Kutta de ordem dois na vari´avel z da equa¸c˜ao (2.9) temos ˜

τi,j+1= τi,j+ ∆zH(vi,j, ˆDi,j) , (2.10) τi,j+1=

1

2(τi,j+ ˜τi,j+1+ ∆zH(vi,j+1, ˆDi,j+1)) , (2.11) onde os ´ındices i e j correspondem a xi e zj, respectivamente. Vejamos como ´e constru´ıdo o operador ˆDi,j, que ´e o esquema upwind ENO de ordem dois que aproxima ∂τ /∂x.

Definindo os operadores de diferen¸cas avan¸cado e atrasado,

D±₁τ = ±τ (x ± ∆x, z) − τ (x, z)

(22)

podemos escrever (usando a expans˜ao de Taylor), ∂τ ∂x = D ± 1τ ∓ ∆x 2 ∂2_τ ∂x2 + O(∆x 2_{) .} _(2.13)

Queremos que a aproxima¸cão da derivada primeira seja de ordem dois. Podemos então, aproximar a derivada segunda acima por esquemas até de ordem um. Vamos usar o esquema ENO de segunda ordem:

∂2_τ ∂x2 ≈ M(D − 1 D1+τ, D1±D1±τ ) , (2.14) onde, M(ξ, η) =          0, se ξη ≤ 0 ξ, se |ξ| ≤ |η| e ξη > 0 η, se |ξ| > |η| e ξη > 0 . (2.15)

Logo, a aproxima¸c˜ao ENO de segunda ordem ´e dada por

∂τ ∂x ≈ D ± 2τ = D±1τ ∓ ∆x 2 M(D − 1D+1τ, D±1D±1τ ) . (2.16) Notemos que D−

1D1+τ e D1±D1±τ s˜ao os esquemas de DF centrados em (x, z) e (x ± ∆x, z),

respectivamente, e eles fornecem a curvatura nestes pontos. Logo, a fun¸cão M escolhe a componente menos oscilatória para realizar a aproxima¸cão. Outra vantagem, é que caso estejamos em uma região onde há mudan¸ca muito brusca na velocidade do meio, a fun¸cão M calcula a aproxima¸cão usando os pontos cujos tempos são menos oscilatórios, permitindo assim que o método upwind funcione de maneira mais eficaz. Para finalizar, vamos definir o esquema upwind ENO de segunda ordem que aproxima ∂τ /∂x

∂τ

∂x ≈ ˆDτ = max{|max{D −

2τ, 0}|, |min{D2+τ, 0}|} , (2.17)

(23)

2.3.2 Esquemas RK-ENO de Ordem Trˆ

es

Analogamente ao que foi feito no caso anterior, vamos aplicar o esquema Runge-Kutta de ordem trˆes na vari´avel z. Logo,

˜

τi,j+1= τi,j+ ∆zH(vi,j, ˇDi,j) , (2.18) ˆ

τi,j+1/2= 1

4(3τi,j + ˜τi,j+1+ ∆zH(vi,j+1, ˇDi,j+1)) , (2.19)

τi,j+1 = 1

6(2τi,j + 4ˆτi,j+1/2+ 4∆zH(vi,j+1/2, ˇDi,j+1/2)) . (2.20) Vejamos agora como fica o operador ˇDi,j, que ´e o esquema upwind ENO de terceira ordem. Da expans˜ao de Taylor, temos

∂τ ∂x = D ± 1τ ∓ ∆x 2 ∂2_τ ∂x2 − ∆x2 6 ∂3_τ ∂x3 + O(∆x 3_{) .} _(2.21)

Agora, queremos que a aproxima¸cão da derivada primeira seja de ordem três. Podemos então, aproximar a derivada segunda acima por esquemas de ordem dois, e a derivada terceira por esquemas de ordem um. Novamente, vamos usar os esquemas ENO para aproximar essas derivadas, ou seja,

∂2_τ ∂x2 ≈ M(D ± 1D±1τ − ∆xD1±D1±D±1τ, D−1D+1τ ) , (2.22) ∂3_τ ∂x3 ≈ M(D ± 1D1±D1±τ, M(D+1D+1D1−τ, D+1D1−D−1τ )) . (2.23)

Assim, a aproxima¸c˜ao ENO de terceira ordem ´e dada por

∂τ ∂x ≈ D ± 3 τ = D1±τ ∓ ∆x 2 M(D ± 1 D1±τ − ∆xD±1D±1D1±τ, D−1D1+τ ) −∆x2 6 M(D ± 1D±1D±1τ, M(D1+D1+D−1τ, D1+D−1D1−τ )) . (2.24)

Concluindo, vamos definir o esquema upwind ENO de terceira ordem que aproxima ∂τ /∂x

∂τ

∂x ≈ ˇDτ = max{|max{D −

3τ, 0}|, |min{D3+τ, 0}|} , (2.25)

(24)

2.3.3 Condi¸c˜

ao de Estabilidade

Podemos ver a estabilidade de um método da seguinte maneira: para um esquema de diferen¸cas estável, pequenos erros na condi¸cão inicial causam pequenos erros na solu¸cão. Para obter condi¸cões de estabilidade para um esquema, podemos usar o critério de von Neumann e obtermos uma condi¸cão para o espa¸camento na malha.

Este critério é usado apenas para problemas lineares. Em problemas não-lineares, uma condi¸cão de estabilidade teria que ser feita para cada equa¸cão diferente. Ou seja, ter´ıamos que estudar condi¸cões para convergência separadamente para cada equa¸cão. Então, vamos ao menos garantir uma condi¸cão necessária para a estabilidade. Uma condi¸cão necessária para que qualquer método numérico seja estável é que o dom´ınio de dependência numérico deve incluir o dom´ınio de dependência f´ısico, ao menos no limite ∆z, ∆x → 0. Esta condi¸cão foi criada por Courant, Friedrichs e Lewy e é conhecida como condi¸cão CFL (Thomas [15]). O dom´ınio de dependência numérica do ponto (xi, zj+1) em rela¸cão aos pontos que estão no j-ésimo n´ıvel é

Nj = {(x, zj) : |x − xi| ≤ ∆x} . (2.26)

O intervalo pode ser maior, como no caso em que as derivadas atrasada ou avan¸cada em

x usam mais de dois pontos, mas tomamos este intervalo pois ele ´e o menor poss´ıvel,

englobando assim todos os esquemas.

Quanto ao dom´ınio f´ısico, usamos o resultado que diz que as curvas caracter´ısticas da equa¸cão iconal são formadas pela a fam´ılia de curvas ortogonais às frentes de onda, de-nominadas raios (Bleistein [3]). Assim, dado um ponto sobre um raio, o tempo de trânsito neste ponto depende do tempo de trânsito em todos os pontos situados sobre o mesmo raio. Queremos então que o raio que passa pelo ponto (xi, zj+1) intercepte o dom´ınio de dependência numérica (o segmento formado pelos três pontos escuros na Figura 2.8). Supondo que os raios nesta região discretizada são todos paralelos e aproximados por retas e sendo θ o ângulo que o vetor ~p = (∂τ /∂x, ∂τ /∂z) faz com a vertical, devemos então impor que

(25)

Figura 2.8: O raio que passa pelo ponto a ser calculado deve interceptar o dom´ınio de depêndência numérica.

O vetor ~p ´e normal a frente de onda, e portanto, podemos escrever tan θ = ∂τ /∂x

∂τ /∂z . (2.28)

Assim, a condi¸c˜ao CFL torna-se ∆zCFL <

∆xq(1/v)2_{− (∂τ /∂x)}2

|∂τ /∂x| = ∆x

H(v, ∂τ /∂x)

|∂τ /∂x| . (2.29)

Como estamos expandindo na dire¸cão z apenas, pode ocorrer de termos raios fazendo ângulos muito próximos de 90o _{com a vertical e, assim, ∆z tendendo a zero. A solu¸cão}

para este problema é fixar um ângulo θmax, e assumir que nenhum raio fa¸ca um ângulo

maior que este com a vertical, isto é, calcular a aproxima¸cão apenas numa região onde os raios fazem um ângulo de no máximo θmax com a vertical, com 0 ≤ θmax≤ π/2. Uma

maneira de fazer isto ´e reescrever a equa¸c˜ao (2.9) na forma

∂τ ∂z = v u u u tmax    1 v2 − Ã ∂τ ∂x !₂ ,cos2θmax v2   , (2.30)

com a condi¸c˜ao CFL escrita agora como

∆z < ∆x tan θmax

(26)

2.4 Implementa¸c˜

ao Computacional dos Esquemas

RK-ENO Usando a Expans˜

ao DNO e Melhorias nos

M´

etodos

Na se¸cão anterior, vimos como escrever esquemas de alta ordem. Agora, vamos aplicá-los em um método que usa a expansão DNO, como apresentado em Kim & Cook [9], e compará-los com o método apresentado em Vidale [16].

A inicializa¸cão é a mesma que a discutida no in´ıcio deste cap´ıtulo (ver Figura 2.1). O diferencial é que agora vamos aplicar os esquemas RK-ENO de ordem dois e três, tanto na aresta horizontal quanto nas verticais, do retângulo que se expande ao redor da fonte. Logo, devemos tomar o cuidado de neste método a condi¸cão CFL ser respeitada. Agora que estamos expandindo em três dire¸cões diferentes, não podemos simplesmente escrever a equa¸cão iconal na forma (2.30), para cada dire¸cão. A solu¸cão proposta em Kim & Cook [9] é a de que devemos satisfazer a condi¸cão CFL em cada passo da expansão ao redor da fonte, onde podemos dar sub-passos de modo a garantir que a restri¸cão seja satisfeita.

Vamos discutir o algoritmo apenas para o caso da aresta horizontal. No cálculo de uma nova aresta, podemos estimar o valor de tan θ, usando a rela¸cão (2.27), em cada ponto (xi, zj), aproximando as derivadas parciais usando DF. Em seguida, tomamos a maior tangente entre as encontradas, e pela condi¸cão CFL encontramos o valor ∆zCFL.

Caso ∆z > ∆zCLF, devemos impor um sub-passo com espa¸camento ∆zCFL e calcular a

aproxima¸c˜ao nesta nova profundidade zj+∆zCFL, de modo a garantir que a condi¸c˜ao CFL

seja satisfeita. Devemos ent˜ao calcular outros sub-passos com o espa¸camento ∆zCLF, at´e

que o espa¸camento ∆z seja coberto pela soma destes espa¸camentos da condi¸cão CFL. Em regiões de alta mudan¸ca no campo de velocidades, podemos ter raios com in-clina¸cões muito próximas a 90o_{, o que implica na realiza¸cão de vários desses sub-passos}

para tentar garantir que a condi¸cão CFL seja satisfeita. Em Kim & Cook [9], este pro-blema é simplesmente ignorado. O máximo que o autor comenta é que devemos ter um limitante para este sub-passo para evitarmos difusão. Logo, devemos fornecer sim um espa¸camento m´ınimo ∆zmin, mas quando ocorrer o caso ∆zCFL < ∆zmin, simplesmente

damos um sub-passo do tamanho limitado e juntamente com isto, trabalhamos com a equa¸cão na forma (2.30), onde o ângulo θmaxé claramente arctan(∆x/∆zmin).

(27)

0.2 0.4 0.6 0.8 erro percentual (%) distancia (m) profundidade (m) 0 500 1000 1500 2000 0 500 1000 0.2 0.4 0.6 0.8 erro percentual (%) distancia (m) profundidade (m) 0 500 1000 1500 2000 0 500 1000 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Erro na profundidade z=500m distancia (m) erro percentual (%)

Figura 2.9: Na parte superior, temos a compara¸cão entre os métodos: Vidale [16] (à esquerda) e RK-ENO de ordem dois (à direita). Na parte inferior, temos as curvas dos erros obtidos usando os métodos: Vidale [16] (linha pontilhada) e RK-ENO 2 (linha sólida), na profundidade z = 500 m.

relativos do método apresentado em Vidale [16] e do esquema RK-ENO de ordem dois, respectivamente. Na parte inferior, temos o erro relativo na profundidade de 500 m. O modelo é de um meio homogêneo com velocidade constante v = 1000 m/s, com a fonte localizada em x = 1000 m na superf´ıcie. A solu¸cão é conhecida e dada por

τ (x, z) =

q

(x − 1000)2_{+ z}2

1000 . (2.32)

O espa¸camento é ∆x = ∆z = 50 m. A segunda aproxima¸cão apresenta resultados mais satisfatórios, visto que a curva do erro é menos oscilatória e atinge um máximo menor.

(28)

2.4.1 Inicializa¸c˜

ao Refinada

A inicializa¸cão do tempo de trânsito perto da fonte considerando uma pequena região de velocidade constante (conforme visto na Se¸cão 2), não produz um resultado satisfatório. Como a frente de onda tem uma grande curvatura nesta região, o erro nos cálculos também é grande. Sendo assim, os esquemas de DF necessitam de uma malha mais refinada neste local. Na literatura, este método é conhecido como Refinamento Uniforme da Malha Localmente (LUMR) e está bem descrito em Kim & Cook [9].

O método de refinamento que foi usado nos testes que seguem não é o LUMR citado na literatura. Aqui, apenas inicializamos o problema refinando cada espa¸camento ∆z e ∆x em outros oito, num raio de oito espa¸camentos ao redor da fonte, aplicando nesta nova malha o esquema RK-ENO de ordem dois apresentado anteriormente. Este número de espa¸camentos ao redor da fonte, assim como apresentado no método LUMR, é escolhido pelo usuário e não tem rela¸cão com o método.

Na Figura 2.10, temos no topo o gráfico do erro relativo usando o esquema RK-ENO de ordem dois sem e com o refinamento, respectivamente. O modelo é o mesmo do caso anterior, v = 1000 m/s, e o espa¸camento é ∆x = ∆z = 50 m. A fonte está localizada em

x = 1000 m na superf´ıcie. O erro ´e muito menor no segundo caso, onde o refinamento

proporcionou uma inicializa¸c˜ao muito melhor.

Usando a inicializa¸cão refinada, podemos testar o esquema RK-ENO de ordem três, pois este necessita de uma malha com um número maior de pontos ao redor da fonte. Na Figura 2.11, o modelo é de velocidade variável, v(z) = z + 1000 m/s, novamente com a fonte localizada em x = 1000 m na superf´ıcie. A solu¸cão também é conhecida e dada por

τ (x, z) = arccos " (x − 1000)2_{+ v(z)}2_{+ v(0)}2 2 v(z) v(0) # . (2.33)

O espa¸camento ∆x = ∆z = 25 m. Observemos que num raio de 200 m ao redor da fonte (oito vezes o espa¸camento), o erro é o mesmo em ambos os métodos, pois ambos usaram a mesma inicializa¸cão refinada. Conforme a distância em rela¸cão a fonte aumenta, o esquema de ordem três apresenta uma aproxima¸cão melhor.

(29)

0.2 0.4 0.6 erro percentual (%) distancia (m) profundidade (m) 0 500 1000 1500 2000 0 500 1000 0.2 0.4 0.6 erro percentual (%) distancia (m) profundidade (m) 0 500 1000 1500 2000 0 500 1000 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Erro na profundidade z=500m distancia (m) erro percentual (%)

Figura 2.10: Na parte superior, temos o erro do esquema RK-ENO de ordem dois sem e com o refinamento, respectivamente. Na parte inferior, temos o erro na profundidade de 500 m usando o esquema RK-ENO de ordem dois sem o refinamento (linha pontilhada) e com o refinamento (linha s´olida).

(30)

0.05 0.1 0.15 0.2 erro percentual (%) distancia (m) profundidade (m) 0 500 1000 1500 2000 0 500 1000 0.05 0.1 0.15 0.2 erro percentual (%) distancia (m) profundidade (m) 0 500 1000 1500 2000 0 500 1000 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Erro na profundidade z=500m distancia (m) erro percentual (%)

Figura 2.11: Na parte superior, temos o erro dos esquemas RK-ENO de ordem dois e três, respectivamente. Na parte inferior, temos o erro na profundidade de 500 m usando os esquemas RK-ENO de ordem dois (linha pontilhada) e três (linha sólida).

(31)

2.4.2 Expans˜

ao Dinˆ

amica DNO

Conforme foi visto até o momento, a solu¸cão para o cálculo do tempo de trânsito mar-cha sequencialmente, calculando cada uma das três arestas do retângulo em expansão (expansão DNO), até acabar o dom´ınio computacional. Mas dependendo do modelo de velocidades fornecido, os raios podem passar a curvarem-se para cima. Neste caso, mais passos na dire¸cão de z que nas dire¸cões horizontais são necessários, para termos um con-trole melhor do ângulo de propaga¸cão. Assim, a expansão DNO pode ser feita de forma dinâmica, onde a nova dire¸cão a ser calculada é encontrada checando o ângulo dos raios em cada aresta do retângulo em expansão (método descrito em Kim & Cook [9]).

Para fazer esta checagem, basta calcularmos as derivadas com respeito a z e a x nos dois nós que se encontram nos vértices inferiores (não os da superf´ıcie) do retângulo em expansão. Estas derivadas podem ser calculadas usando esquemas (atrasados) de primeira ordem. Se em ambos os nós, a derivada em z for menor que a em x (o que corresponde a dizer que o raio possui inclina¸cão maior que π/4 em rela¸cão à vertical), então devemos andar na dire¸cão z e assim, expandir apenas a aresta horizontal do retângulo. Quando a derivada em z for maior que a em x em um desses dois nós (direito ou esquerdo), devemos andar na dire¸cão em que isso ocorrer e assim, calcular a respectiva nova aresta do retângulo. O processo se repete até acabar o dom´ınio computacional.

A principal motiva¸cão da implementa¸cão deste algoritmo no método, é que assim menos sub-passos da condi¸cão CFL são realizados, ou seja, esta expansão dinâmica DNO tenta impedir que uma aresta do retângulo em expansão contenha raios com ângulos muito altos em rela¸cão à normal da respectiva aresta.

2.4.3 Varredura Posterior (PS)

Conforme comentado anteriormente, como nossa expansão DNO está sempre se afastando da fonte, pode ocorrer do cálculo de um tempo de trânsito necessitar da resolu¸cão em passos posteriores. Para corrigir isto, podemos tomar nossa aproxima¸cão, que foi obtida usando um esquema de DF, armazená-la em uma matriz e aplicar novamente o esquema, só que em outras dire¸cões.

Esta é a idéia básica do método PS (“post sweeping”) descrito em Kim & Cook [9]. Cada itera¸cão deste consiste em aplicar um esquema de DF (RK-ENO de ordem dois ou três) em cada uma destas quatro diferentes dire¸cões: evolu¸cão em x para a direita,

(32)

evolu¸cão em x para a esquerda, evolu¸cão em z para baixo e evolu¸cão em z para cima. Tomemos, por exemplo, a primeira delas. Para inicializar a itera¸cão, a primeira coluna da matriz armazenada da itera¸cão anterior é assumida como condi¸cão inicial. Então, o esquema de DF é aplicado em toda a coluna, evoluindo para a direita, e o valor assumido como aproxima¸cão é simplesmente o menor entre este calculado (usando a coluna da esquerda) e o da matriz armazenada, da itera¸cão anterior. Isto é feito até acabar o dom´ınio computacional.

Após esta dire¸cão, as outras são aplicadas sucessivamente. Este ciclo de quatro dire¸cões se repete, até que alguma condi¸cão de convergência seja satisfeita, como por exemplo, que a norma da diferen¸ca entre duas itera¸cões seja menor que uma tolerância ε.

A seguir, temos o exemplo de como o método PS corrige as superestima¸cões no cálculo do tempo de trânsito. O modelo de velocidade (ver Figura 2.12) é constante com

v = 4500 m/s, exceto num retˆangulo inserido nele, onde a velocidade ´e de v = 2000 m/s.

A fonte está localizada em x = 500 m na superf´ıcie. Na Figura 2.13, a aproxima¸cão da esquerda relata tempos muito maiores na região logo abaixo do retângulo de baixa velocidade. Isto ocorre porque nesta região, vários sub-passos são requeridos para tentar satisfazer a condi¸cão CFL. O método, através de um custo computacional enorme, con-segue usar informa¸cões que vinham, neste caso, da esquerda para a direita. No entanto, o método usa os tempos de trânsito baixos, originados pela onda lenta que se propagou na caixa de baixa velocidade inserida no meio.

(33)

(34)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 0 2000 4000 6000 8000 profundidade (m) distancia (m)

0.5 1 1.5 2 2.5 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 0 2000 4000 6000 8000 profundidade (m) distancia (m)

Figura 2.13: A esquerda, temos a aproxima¸cão encontrada usando o esquema RK-ENO de ordem dois com expansão dinâmica DNO. A direita, temos o resultado de uma itera¸cão PS aplicada nesta aproxima¸cão.

(35)

Cap´ıtulo 3

M´

etodo de Diferen¸cas Finitas

Adaptativo

Os métodos de ordem superior da Se¸cão 2.3 resolvem a equa¸cão iconal numericamente com bastante eficiência. No entanto, estes métodos não apresentam muita vantagem perto da fonte, onde a convergência ocorre de maneira bastante lenta. Mesmo usando inicializa¸cões refinadas, ficamos com parâmetros arbitrários, visto que os tamanhos dos espa¸camentos na malha refinada e o tamanho dela própria são atribu´ıdos pelo usuário, sem nenhum critério de sele¸cão.

Uma maneira de corrigir este problema é usar uma malha adaptativa ao invés da fixa. A essência deste método é usar dois esquemas de ordens diferentes para o cálculo de um passo (descrito em Belfi & Symes [2]). Supondo que o esquema de ordem maior seja mais correto que o de menor ordem, o passo de ordem maior serve como solu¸cão exata naquele passo, e assim, conseguimos estimar o erro. Logo, a malha pode aumentar ou diminuir, afim de que uma tolerância para o erro seja permitida, logo, em locais onde o erro é grande, o método adaptativo permite que a malha se modifique a fim de melhorar a aproxima¸cão. Em nosso caso, temos uma equa¸cão diferencial parcial. Isto torna o cálculo mais complicado, pois é necessário ajustar a malha na variável que não está sendo evolu´ıda, ao longo do passo em que ocorre a evolu¸cão.

O método de DF adaptativo aqui estudado não usa expansão DNO. A expansão e a inicializa¸cão são as mesmas que as apresentadas na Se¸cão 2.3. Novamente, para tornar poss´ıvel esta expansão (devido a condi¸cão CFL), devemos utilizar a forma dada em (2.30), lembrando que a condi¸cão CFL é ∆z < ∆x/ tan θmax. A fun¸cão max é a mais simples

(36)

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x 10−7 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3x 10 −7

Figura 3.1: A curva sólida representa a fun¸cão smmax, já a curva pontilhada representa a fun¸cão max. Os argumentos usados são como os apresentados na equa¸cão (2.30). para tornar poss´ıvel esta restri¸cão. No lugar desta, poderia estar qualquer outra fun¸cão que desempenhasse o mesmo papel, mas que fosse diferenciável, por exemplo. Em Qian & Symes [12], no lugar da fun¸cão max, foi usada uma fun¸cão interpoladora dada por

smmax(a, b) =                        1 2b, se a < 0 1 2b + 2 a4 b3 µ 1 − 4 5 a b ¶ , se 0 ≤ a < b 2 a + 2(a − b) 4 b3 Ã 1 + 4 5 a − b b ! , se b 2 ≤ a < b a, se a ≥ b , (3.1)

onde o ângulo máximo para este caso é um pouco maior que o ângulo θmax. Na Figura 3.1,

temos o gráfico desta fun¸cão (curva sólida) e da fun¸cão max (curva pontilhada), respec-tivamente, usando θmax= 63o.

Para inicializar o algoritmo adaptativo, o usuário precisa fornecer o valor de uma tolerância ε para o erro e duas fun¸cões definidas positivas σ1 e σ2 de ε (com σ1(ε) < σ2(ε)

(37)

para todo ε) para controlar o aumento e o refinamento dos espa¸camentos. Os esquemas usados são os RK-ENO de ordem dois e três. Após calcular um novo passo usando ambos esquemas, podemos estimar o erro de truncamento calculando o máximo entre a diferen¸ca das duas aproxima¸cões para este passo, o qual denotamos por E. Caso σ1(ε) < E <

σ2(ε), damos continuidade e calculamos um novo passo. Quando E < σ1(ε), devemos

aumentar os espa¸camentos ∆z e ∆x. Similarmente, quando E > σ2(ε), devemos diminuir

os espa¸camentos ∆z e ∆x. A fun¸cão σ2, pela própria constru¸cão do método, vale ε e a

fun¸cão σ1, que é usada para aumentar o espa¸camento da malha, deve ter uma varia¸cão de

pelo menos uma casa decimal em rela¸c˜ao a σ2 (Qian & Symes [12] usaram σ1(ε) = 0.1ε).

Um ponto muito importante, é que supomos como aproxima¸cão o cálculo feito usando o esquema de ordem três, ou seja, a aproxima¸cão calculada usando o esquema de ordem dois é descartada, sendo esta importante apenas para ter um controle no passo.

Estas mudan¸cas nos espa¸camentos devem ser feitas usando o mesmo fator em ambas as dire¸cões. Assim, a condi¸cão CFL para o problema continua sendo satisfeita. O fator usado em Qian & Symes [12] é dois, ou seja, os espa¸camentos ∆z e ∆x são multiplicados ou divi-didos por dois. O ajuste usual para problemas envolvendo equa¸cões diferenciais ordinárias depende do erro de truncamento. Isto é impraticável em nosso caso, pois passar´ıamos a ter uma malha arbitrária em x, e assim seria necessária muita interpola¸cão. Assim, este fator dois apresenta muita vantagem, pois mesmo quanto for necessária a interpola¸cão (quando devemos diminuir o espa¸camento), apenas alguns nós são interpolados. Outro fato é que o tempo de trânsito tende a ficar cada vez mais suave conforme se afasta da fonte. Logo, a maioria dos ajustes na malha refere-se ao aumento dos espa¸camentos, e sendo assim, pouca interpola¸cão é necessária.

3.1 Inicializa¸c˜

ao no M´

etodo Adaptativo

Conforme vimos na Se¸cão 2.4.1, podemos refinar a malha próxima a fonte de modo a diminuir o erro dos métodos de malha fixa. No caso do método adaptativo, este erro inicial depende da profundidade zini, onde iniciamos o algoritmo. Ou seja, ao aproximarmos a

solu¸cão em zini considerando que o meio é homogêneo, o erro nesta aproxima¸cão deve ser

menor que a tolerˆancia ε fornecida ao algoritmo.

A seguir, apresentamos duas maneiras de fazer isto. Na primeira delas [2], usamos expans˜ao de Taylor para obter uma condi¸c˜ao sobre o valor de zini. Na segunda [12],

(38)

usamos as equa¸cões dos raios para impor estas condi¸cões. Por fim, apresentamos alguns testes computacionais afim de comparar estas duas inicializa¸cões.

3.1.1 Aproxima¸c˜

ao por Taylor

Vamos considerar coordenadas polares no plano x = r sin θ e z = r cos θ, com r ≥ 0,

−π/2 ≤ θ ≤ π/2 e denotar T (r, θ) = τ (x, z). Ao aproximarmos a solu¸c˜ao pr´oxima a fonte

considerando que o meio ´e homogˆeneo, estamos usando a estimativa (fonte em r = 0)

T (r, θ) ' r

v(0, 0) . (3.2)

A solu¸c˜ao exata tem expans˜ao de Taylor em torno de r = 0

T (r, θ) = r∂T ∂r (0, θ) + r2 2 ∂2_T ∂r2 (0, θ) + O(r 3_{) .} _(3.3)

Precisamos investigar a equa¸c˜ao iconal em coordenadas polares para estimar o valor da segunda derivada de T em rela¸c˜ao a r. Logo, escrevendo

∂T ∂r = ∂τ ∂xsin θ + ∂τ ∂z cos θ, (3.4) ∂T ∂θ = ∂τ ∂xr cos θ − ∂τ ∂zr sin θ, (3.5)

obtemos a equa¸c˜ao iconal em coordenadas polares

Ã ∂τ ∂x !₂ + Ã ∂τ ∂z !₂ = Ã ∂T ∂r !₂ + 1 r2 Ã ∂T ∂θ !₂ = s2 _, _(3.6)

onde s(r, θ) = 1/v(x, z). Derivando esta equa¸c˜ao com rela¸c˜ao a r obtemos 2∂T ∂r ∂2_T ∂r2 − 2 r3 Ã ∂T ∂θ ! + 2 r2 ∂T ∂θ ∂2_T ∂θ∂r = 2s ∂s ∂r . (3.7)

Supondo as derivadas primeiras de T em r = 0 iguais `as respectivas derivadas no caso homogˆeneo, ∂T ∂r(0, θ) = 1 v(0, 0) , ∂T ∂θ(0, θ) = 0 , (3.8)

(39)

podemos escrever da equa¸c˜ao (3.7)

∂2_T

∂r2 (0, θ) =

∂s

∂r(0, θ) . (3.9)

Assim, da diferen¸ca entre as equa¸c˜oes(3.2) e (3.3), podemos escrever o erro cometido na inicializa¸c˜ao na forma Eini ' r2 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂s ∂r(0, θ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . (3.10)

Como temos v em coordenadas cartesianas, vamos escrever a derivada de s neste sistema. Para isso, observemos que

s(x, z) = s(0, 0) + x∂s

∂x(ξ1, η1) + z ∂s

∂z(ξ2, η2) , (3.11)

onde (ξ1, η1) e (ξ2, η2) pertencem ao dom´ınio D = {(ξ, η) | |ξ| ≤ |x|, 0 ≤ η ≤ z}.

Mudando para coordenadas polares obtemos

s(r, θ) = s(0, 0) + r sin θ∂s ∂x(ξ1, η1) + r cos θ ∂s ∂z(ξ2, η2) , (3.12) de onde, ∂s ∂r(0, θ) = sin θ ∂s ∂x(ξ1, η1) + cos θ ∂s ∂z(ξ2, η2) . (3.13)

Olhando esta equa¸c˜ao como um produto escalar e utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwartz, obtemos ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂s ∂r(0, θ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ sup{k ∇s(ξ, η) k | |ξ| ≤ |x|, 0 ≤ η ≤ z}

≤ sup{k ∇s(ξ, η) k | |ξ| ≤ zLtan θmax, 0 ≤ η ≤ zL} = S , (3.14)

onde usamos os fatos de estarmos calculando a aproxima¸c˜ao apenas na abertura x ≤

z tan θmax, e estarmos impondo um limite zL para a profundidade de inicializa¸c˜ao. Enfim,

limitamos o erro por

Eini ' r2 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂s ∂r(0, θ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ 1 2 √ x2_{+ z}2_S

(40)

≤ 1 2(1 + tan 2_θ max)z2S = 1 2 z2_S cos2_θ max . (3.15)

Por outro lado, queremos que Eini seja limitado pela tolerˆancia fornecida. Assim,

obtemos a profundidade inicial dada pela restri¸c˜ao

zini≤ zT =

s

2ε

S cos θmax , (3.16)

e usamos zini = min(zT, zL).

3.1.2 Aproxima¸c˜

ao por Raios

Supondo novamente que a fonte está na origem, vamos agora escrever as equa¸cões dos raios (Se¸cão 1) no caso bidimensional. Escolhendo λ = v2_{, pois assim σ é o próprio tempo}

t sobre um raio, temos

dx dt = v 2_p 1 , (3.17) dz dt = v 2_p 2 , (3.18) dp1 dt = − 1 v ∂v ∂x , (3.19) dp2 dt = − 1 v ∂v ∂z , (3.20)

onde p1 = ∂τ /∂x e p2 = ∂τ /∂z. Sejam θ e ψ os ˆangulos feitos com a vertical dos raios

exato e aproximado (considerando o meio sendo homogêneo), respectivamente, em um determinado ponto. Vamos encontrar rela¸cões entre esses raios de modo a estimar o erro cometido na inicializa¸cão. Lembrando que

p1 = sin θ v e p2 = cos θ v , (3.21) e assim, dx dt = v sin θ e dz dt = v cos θ . (3.22)

(41)

Introduzindo coordenadas polares

x = r sin ψ e z = r cos ψ , (3.23)

e diferenciando ambas com rela¸c˜ao a t, obtemos o sistema

dx dt = dr dt sin ψ + r cos ψ dψ dt dz dt = dr dt cos ψ − r sin ψ dψ dt . (3.24)

Usando as equa¸c˜oes em (3.22) e (3.24), temos a solu¸c˜ao

dr dt = v cos(θ − ψ) , (3.25) dψ dt = v r sin(θ − ψ) . (3.26)

Agora podemos ter uma aproxima¸cão para o erro no tempo de trânsito. Vamos denotar por τ0 a aproxima¸cão para o tempo verdadeiro τ quando usamos a velocidade constante

v0 igual `a da origem. Como τ0 = v0−1r e usando o resultado em (3.25), podemos escrever

que dτ0 dt = 1 v0 dr dt = v v0 cos(θ − ψ) , (3.27) de onde, dτ0 dt − dτ dt = µ_v v0 − 1 ¶ cos(θ − ψ) + cos(θ − ψ) − 1 , (3.28) e, assim, _¯ ¯ ¯ ¯ ¯ dτ0 dt − dτ dt ¯ ¯ ¯ ¯ ¯≤ ¯ ¯ ¯ ¯_vv 0 − 1 ¯ ¯ ¯ ¯+ | cos(θ − ψ) − 1| . (3.29)

Queremos limitar a diferen¸ca entre os tempos τ0 e τ , mas o que temos ´e uma rela¸c˜ao entre

a diferen¸ca de suas derivadas. Ent˜ao, observando que

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ dτ0 dt − dτ dt ¯ ¯ ¯ ¯ ¯≤ ε ⇒ |τ0− τ | ≤ εt , (3.30)

vamos impor as restri¸c˜oes _¯

¯ ¯ ¯ v v0 − 1 ¯ ¯ ¯ ¯≤ ε 2 (3.31)

(42)

e

| cos(θ − ψ) − 1| ≤ ε

2 . (3.32)

Agora precisamos encontrar rela¸cões que envolvam z nestas duas restri¸cões. No caso da restri¸cão em (3.31), o trabalho é mais fácil. Como anteriormente, observando que

v(x, z) = v(0, 0) + x∂v

∂x(ξ1, η1) + z ∂v

∂z(ξ2, η2) , (3.33)

onde (ξ1, η1) e (ξ2, η2) pertencem ao dom´ınio D = {(ξ, η) | |ξ| ≤ |x|, 0 ≤ η ≤ z}, e usando

a desigualdade de Cauchy-Schwartz, obtemos

¯ ¯ ¯ ¯v − v_v 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ _vr 0 sup{k ∇v(ξ, η) k | |ξ| ≤ |x|, 0 ≤ η ≤ z} ≤ z v0cos θmax

sup{k ∇v(ξ, η) k | |ξ| ≤ zLtan θmax, 0 ≤ η ≤ zL}

= zV

v0cos θmax

, (3.34)

com V = sup{k ∇v(ξ, η) k | |ξ| ≤ zLtan θmax, 0 ≤ η ≤ zL}. Logo, para valer a restri¸c˜ao

(3.31), devemos escolher zini de modo que

zini ≤ z1 =

v0ε cos θmax

2V . (3.35)

Vamos trabalhar agora com a restri¸cão (3.32). Para isso, precisamos de alguma rela¸cão envolvendo θ − ψ. Vamos diferenciar e equa¸cão envolvendo p1 em (3.21) com rela¸cão a t.

Fazendo isto temos

dp1 dt = Ã vdθ dt cos θ − sin θ " ∂v ∂x dx dt + ∂v ∂z dz dt #! v−2_. _(3.36)

Usando os resultados em (3.22) e simplificando, obtemos

dθ dt = − cos θ ∂v ∂x + sinθ ∂v ∂z . (3.37)

Usando os resultados obtidos em (3.26) e (3.37), podemos escrever

dθ dt − dψ dt = a(t) − b(t) t (θ − ψ) , (3.38)

(43)

onde a(t) = dθ dt e b(t) = vt r sen(θ − ψ) θ − ψ . (3.39)

A equa¸c˜ao (3.38) ´e resolvida usando o fator integrande. Logo,

θ − ψ = Z _t 0 a(τ )exp Ã − Z _t τ b(σ) σ dσ ! dτ . (3.40)

Este resultado está na forma impl´ıcita, visto que b(t) contém a solu¸cão. No entanto, como

b(t) ≥ 0, limitamos a exponencial no integrando por 1. A fun¸c˜ao a ´e limitada por amax,

o qual é igual ao supremo da norma do gradiente da velocidade v (ver equa¸cão (3.37)). Obtemos então a estimativa

|θ − ψ| ≤ amaxt . (3.41)

Antes de desenvolver a restri¸cão (3.32), usando a desigualdade (3.41), vamos por fim escrever uma rela¸cão entre t e r. O tempo de trânsito é determinado integrando v−1 _ao longo de um caminho s que o torna m´ınimo. Seja l um segmento de reta usado para aproximar s. Então, pelo princ´ıpio de Fermat temos

t = Z s 1 vdσ ≤ Z l 1 vdσ ≤ Z l 1 vmin dσ = r vmin , (3.42) onde r =qx2_{(t) + z}2_{(t) e v}

min´e a velocidade m´ınima sobre o segmento do raio. Coletando

estes resultados temos que

| cos(θ − ψ) − 1| = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯−2 sin 2 (θ − ψ) 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (θ − ψ)2 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a2 maxr2 2v2 min ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ V2_z2 2v2

mincos2θmax

¯ ¯ ¯ ¯

¯ , (3.43)

(44)

devemos escolher zini de modo que

zini ≤ z2 =

√

εvmincos θmax

V . (3.44)

Sendo zR = min(z1, z2) a escolha usando este m´etodo por raios, basta escolher zini =

min(zR, zL) para que a tolerˆancia em (3.30) seja satisfeita.

3.1.3 Testes Computacionais

Testamos os dois tipos de inicializa¸c˜ao desta se¸c˜ao em diferentes meios. Em todos os casos, o dom´ınio usado foi −1000 m ≤ x ≤ 1000 m e 0 ≤ z ≤ 1500 m, com θmax = 63o e a

fonte localizada na origem. O espa¸camento da malha ´e ∆x = 2000/27 _{' 15.6 m, com ∆z}

obtido pela condi¸c˜ao CFL. Usamos como tolerˆancia ε = 10−4 _{e z}

L = 450 m. Em todos

os gráficos desta se¸cão, analisamos o erro absoluto apenas na região de abertura limitada por θmax.

No caso do meio homogˆeneo temos que os valores de S e V s˜ao nulos para qualquer zL, e

assim zini = zL. Para o meio com velocidade afim em z, conforme a Se¸c˜ao 3.3.2, obtivemos

zT = 11.75 m e zR = 0.075 m. Na Figura 3.2, temos o gr´afico dos erros cometidos

ao inicializarmos nestas profundidades. Outro caso testado ´e o meio com velocidade exponencial em z, conforme a Se¸c˜ao 3.3.6, onde obtivemos zT = 11.13 m e zR = 0.057 m.

Os gráficos dos erros cometidos estão na Figura 3.3. Já no caso do meio com velocidade decaindo em z, conforme a Se¸cão 3.3.7, obtivemos zT = 9.1 m e zR = 0.046 m. Os

gráficos para este caso estão na Figura 3.4. O erro muito menor representado pela curva pontilhada nestas figuras é devido ao fato dele estar limitado por εt. Assim, o passo inicial

zR obtido usando a inicializa¸c˜ao da Se¸c˜ao 3.1.2 subestima este, o que implica em maior

tempo computacional para o m´etodo adaptativo. Como o passo inicial zT produziu uma

aproxima¸cão que respeitou a tolerância ε e, além disso, tem um valor muito maior que

zR, vamos adotá-lo como nosso zini nos experimentos numéricos do método adaptativo da

Se¸c˜ao 3.3.

Em meios com velocidade variando continuamente, como os casos aqui testados, a escolha de zL praticamente não faz diferen¸ca. Já no caso de meios homogêneos separados

por uma interface, a escolha de zL ´e muito importante. Para zL acima do refletor, temos

que zini = zL. Mas para zL abaixo do refletor, devido a varia¸c˜ao brusca na velocidade,