Desenvolvimento de uma metodologia integrada para otimização de forma de mecânica de fluidos

Texto

(1)Desenvolvimento de uma Metodologia Integrada para Otimização de Forma de Mecânica de Fluidos.

(2) Universidade Federal de Santa Catarina Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica. Desenvolvimento de uma Metodologia Integrada para Otimização de Forma de Mecânica de Fluidos. Dissertação submetida à Universidade Federal de Santa Catarina como parte dos requisitos para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia Mecânica. Lindaura Maria Steffens. Florianópolis, março de 2005..

(3) ii. Desenvolvimento de uma Metodologia Integrada para Otimização de Forma de Mecânica de Fluidos Lindaura Maria Steffens Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de. Mestre em Engenharia Mecânica Especialidade em Engenharia Mecânica, área de Análise e Projeto Mecânico, sendo aprovada em sua forma final pelo curso de PósGraduação em Engenharia Mecânica.. Marcelo Krajnc Alves, Ph.D. Orientador. José Antônio Bellini da Cunha Neto, Dr. Coordenador do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. Banca Examinadora. Amir Antônio Martins de Oliveira Júnior, Ph.D. Membro da Banca Examinadora. César José Deschamps, Ph.D. Presidente da Banca Examinadora. Mário César Zambaldi, Dr. Membro da Banca Examinadora.

(4) iii. Dedico este trabalho à minha família, especialmente meus queridos pais Elvino e Maria que são a razão da minha existência e me criaram com muito amor e carinho . . ..

(5) iv. AGRADECIMENTOS À Deus, acima de tudo! Aos meus pais, pelos valores que me ensinaram e por sempre acreditarem na minha capacidade. Ao professor e orientador Marcelo Krajnc Alves, mais que um agradecimento, e sim uma homenagem pela orientação acadêmica ímpar e as lições de como enfrentar as grandes adversidades com coragem, determinação e confiança. Obrigada pelos seus preciosos ensinamentos e amizade. Aos queridos primos Carlos e Ruth, pelo carinho, incentivo e apoio. As minhas “grandes” amigas Ana, Cris, Dani e Edi, por todos os momentos de companherismo e descontração. As amigas Cris e Claires, que além de todo apoio contribuíram nas correções ortográficas. Ao amigos e colegas, Bruno, Guilherme, Hilbeth, Miguel e Rodrigo, por me auxiliarem sempre que preciso. À todos os amigos e colegas da UFSC, em especial, André, Anderson, Antônio, Carlos Henrique, Cátia, Claudio, Celso, Cleber, Daniela, Danilo, Evandro, Everaldo, Gustavo, Humberto, Izolda, João, Jorge, Juliano, Luciano, Marçal, Pedro, Raimundo, Tiago. À todos os professores e à coordenação do Programa de Pós Graduação em Engenharia Mecânica. Aos professores e amigos do Departamento de Matemática, em especial, José Luis Rosas Pinho, Rubens Starke, Ruy Coimbra Charão e Mário César Zambaldi. À CAPES pelo apoio financeiro nestes dois anos de trabalho..

(6) v. À todos que, de alguma forma ou outra, contribuíram para a realização deste trabalho. Meu muito obrigado!.

(7) vi. “Jamais considere seus estudos como uma obrigação, mas como uma oportunidade invejável (...). para aprender a conhecer a influência libertadora da beleza do reino do espírito, para seu próprio prazer pessoal e para proveito da comunidade à qual seu futuro trabalho pertencer” (Albert Einstein).

(8) vii. Sumário Lista de Símbolos. xi. Lista de Figuras. xv. Lista de Tabelas. xix. Resumo. xx. Abstract. xxi. Apresentação do Trabalho. xxii. 1. Introdução. 1. 1.1. Objetivos. 2. 1.2. Revisão Bibliográfica. 2. 1.2.1 Solução da equação diferencial. 2. 1.2.2 Solução do problema ótimo. 5. Metodologia Adotada. 9. 1.3. 2. Fluido - Equação de Navier-Stokes. 12. 2.1. Formulação Forte. 13. 2.2. Formulação Fraca. 14. 2.3. Formulação Discreta – Método de Elementos Finitos. 17. 2.4. Sistemas Não-Linear. 24. 2.4.1 Método de solução. 24. Aplicações. 27. 2.5.1 Cavidade quadrada com face móvel. 27. 2.5.2 Difusor divergente. 39. 2.5.2 Difusor divergente com obstáculo. 48. 2.5.

(9) viii. 2.6. 3. 4. 56. Otimização de Forma. 58. 3.1. Fundamentos de Programação Matemática. 58. 3.1.1 Condições necessárias de otimalidade. 59. 3.1.2 Forma Geral do algoritmo de programação matemática. 61. 3.2. Método de Solução – Lagrangenao Aumentado. 61. 3.3. Variáveis de Projeto. 68. 3.4. Função Objetivo. 68. Modelagem Geométrica. 70. 4.1. Uma Visão Geral das Curvas Splines. 71. 4.2. Equações Paramétricas. 72. 4.3. Curvas B-splines. 74. 4.3.1 B-splines não-uniformes. 74. 4.3.2 B-splines uniformes. 77. 4.3.3 B-splines fechadas. 77. 4.3.4 B-splines não-uniformes racionias. 79. 4.3.5 Continuidade. 79. Implementação Computacional. 81. 4.4. 5. Conclusões Parciais. Análise de Sensibilidade. 85. 5.1. Transformação do Domínio. 86. 5.2. Sensibilidade. 87. 5.3. Método de Diferenças Finitas. 87. 5.4. Método Analítico. 88. 5.4.1 Gradiente analítico da função objetivo. 90. 5.4.2 Sensibilidade da função objetivo em relação ao vetor de deslocamentos nodais. 91. 5.4.3 Sensibilidade da função objetivo em relação ao vetor de variáveis de projeto. 92.

(10) ix. 5.5. 6. 5.4.4 Sensibilidade do resíduo. 92. 5.4.5 Sensibilidade das matrizes e vetores elementares. 92. 5.4.6 Sensibilidade do Jacobiano e seu determinante. 95. 5.4.7 Sensibilidades das funções de interpolação. 95. 5.4.8 Sensibilidade da matriz gradiente de velocidade. 96. 5.4.7 Sensibilidade do volume. 97. Método Semi-Analítico. 97. 5.5.1 Método semi-analítico convencional. 97. 5.5.2 Método semi-analítico “exato”. 97. Aplicações. 100. 6.1. Algoritmo de Otimização de Forma. 100. 6.1.1 Definição do modelo de otimização. 101. 6.1.2 Definição do modelo pelo Método de Elementos Finitos. 101. 6.1.3 Análise do escoamento. 102. 6.1.4 Análise de sensibilidade. 102. 6.1.5 Otimização dos parâmetros. 102. 6.1.6 Atualização do modelo de otimização. 102. Aplicações. 102. 6.2.1 Cavidade quadrada com face móvel. 103. 6.2.2 Difusor divergente. 114. Considerações Finais. 138. 6.2. 6.3. Conclusão e Perspectivas Futuras. 139. Bibliografia. 141. A. A Equação de Navier-Stokes. 147. B. O Elemento T7/C3. 156.

(11) x. C. A Equação de Euler Lagrange. 160. D. O Teorema de Kuhn-Tucker. 168. E. O Método de Newton. 174.

(12) xi. Lista de Símbolos. Φ. Conjunto de dados de entrada. Ω. Domínio genérico. Ωe. Domínio elementar. Γ G x G u G v. Contorno do domínio. p p. Pressão Pressão admissível. ν. Viscosidade dinâmica. µ. Viscosidade cinemática. ρ G b n. Densidade Vetor normal. σ. Tensor tensão. δ. Delta de Kroneker. D(.). Tensor deformação. Re. Número de Reynolds. δ. Termo captura de descontinuidade. ì. Funções interpolação de elementos finitos (Cap. 2). ì G qe i. Funções-base das curvas paramétricas (Cap. 4) Vetor ingcógnita de elementos finitos. ke. Matriz de rigidez elementar. K G F ext G R. Matriz de rigidez global. Vetor posição Vetor velocidade Vetor velocidade admissível. Vetor de força de corpo. Vetor de força global Vetor resíduo.

(13) xii. KT G s. Matriz tangente Vetor das variáveis de projeto. inf i. Ínfimo da i-ésima restrição lateral. sup i. Supremo da i-ésima restrição lateral. s s. G f (s ) G h( s ) G g (s ) G g. Função objetivo Restrição de igualdade Restrição de desigualdade Gradiente da função objetivo. H. Matriz Hessina da função objetivo. d. Direção de busca. α. Tamanho do passo (busca linear). L. Função Lagrangeana. χ G µ G λ G λ. Função Lagrangeana Aumentada. ε G z. Parâmetro de penalidade. γ. Escalar entre zero e um. Ψ G p(t ). Termo da função Lagrangena Aumentada simplificada. t. Coordenada paramétrica de uma curva. pi. Polinômios cúbicos. ai , bi , ci , di. Coeficientes dos polinômios cúbicos. Pi. Ponto-chaves. Qi. Segmentos da curva. Bi G bi G T. Ponto de controle. C. Matriz coeficientes dos polinômios. M. Matriz base da representação paramétrica. Vetor multiplicador de Lagrange - restrição de desigualdade Vetor multiplicador de Lagrange - restrição de igualdade (Cap. 3) Vetor adjunto (Cap. 5) Vetor de variávies de folga. Representação paramétrica de uma curva. Vetor posição do ponto de controle Bi Vetor variável paramétrica.

(14) xiii. G G. Vetor geometria. M BS G GBS. Vetor geometria para a representação de curvas B-splines. mij. Coeficiente matriz base. gi. Coeficiente do vetor geometria. N. Parâmetro que controla o grau das funções-base. K G t (t ). Número de pontos de controle. curv(t ). Curvatura. hi. Peso. a, b, c, d G G e, f. Coeficientes referentes as condições nos extremos das curvas B-splines. Te. Transformação do domínio elementar. J. Matriz Jacobiana. J. Determinante da matriz Jacobiana. ∆s j. Perturbação absoluta da variável de projeto s j. ηj. Perturbação relativa da variável de projeto s j. ∇. Gradiente. ∧. Conectivo lógico “e”. ∨. Conectivo lógico “ou”. ∴. Conectivo lógico “então”. ∀. Quantificador “qualquer que seja”. ∪. Quantificador “união”. ⊂. Quantificador “contido”. ∈. Quantificador “pertence”. ∆. Operador Laplaciano. n. Matriz base para a representação de curvas B-splines. Vetor tangente. Vetores referentes as condições nos extremos das B-splines. Α. Operador Montagem. mod. Operador Restante. ∂. Operador diferencial. div. Divergente. ⊗. Produto tensorial. i =1.

(15) xiv. .,.. Produto interno. ⋅. Produto escalar. .. Norma.

(16) xv. Lista de Figuras. 2.1. Descrição do domínio. 14. 2.2. Exemplo do elemento T7/C3. 18. 2.3. Esquema do algoritmo para solução do sistema não-linear. 26. 2.4. Cavidade quadrada com face móvel. 27. 2.5. Malha não-estruturada de elementos triangulares. 28. 2.6. Malha estruturada de elementos quadrilaterais - Fonte: Deus (2002). 29. 2.7. Norma euclidiana do vetor de velocidade (Re=1000). 29. 2.8. Norma euclidiana do vetor de velocidade (Re=1000) - Fonte: Deus (2002). 30. 2.9. Curvas do campo de pressão (Re=1000). 30. 2.10. Curvas do campo de pressão (Re=1000) - Fonte: Deus (2002). 31. 2.11. Campo de velocidade (Re=1000). 31. 2.12. Campo de velocidade (Re=1000) - Fonte: Deus (2002). 32. 2.13. Norma euclidiana do vetor de velocidade (Re=4000). 32. 2.14. Curvas do campo de pressão (Re=4000). 33. 2.15. Campo de velocidade (Re=4000). 33. 2.16. Recirculação no canto inferior direito da cavidade (Re=4000). 34. 2.17. Recirculação no canto inferior esquerdo da cavidade (Re=4000). 34. 2.18. Recirculação no canto superior esquerdo da cavidade (Re=4000). 35. 2.19. Perfil de velocidade u ao longo da linha de centro vertical (Re=1000). 36. 2.20. Perfil de velocidade v ao longo da linha de centro horizontal (Re=1000). 36. 2.21. Perfil de velocidade u ao longo da linha de centro vertical (Re=2500). 37. 2.22. Perfil de velocidade v ao longo da linha de centro horizontal (Re=2500). 37. 2.23. Perfil de velocidade u ao longo da linha de centro vertical (Re=4000). 38. 2.24. Perfil de velocidade v ao longo da linha de centro horizontal (Re=4000). 38. 2.25. Difusor divergente. 40.

(17) xvi. 2.26. Malha não-estruturada de elementos triangulares (Re=10). 41. 2.27. Malha estruturada de elementos quadrilaterais (Re=10) - Fonte: Deus (2002). 42. 2.28. Norma euclidiana do vetor de velocidade (Re=10). 42. 2.29. Norma euclidiana do vetor de velocidade (Re=10) - Fonte: Deus (2002). 43. 2.30. Campo de pressão (Re=10). 43. 2.31. Campo de pressão (Re=10) - Fonte: Deus (2002). 44. 2.32. Campo de velocidade (Re=10). 44. 2.33. Campo de velocidade (Re=10) - Fonte: Deus (2002). 45. 2.34. Malha não-estruturada do difusor divergente (Re=100). 46. 2.35. Norma euclidiana do vetor de velocidade (Re=100). 46. 2.36. Campo de pressão (Re=100). 47. 2.37. Campo de velocidade (Re=100). 47. 2.38. Difusor divergente com obstáculo de um aerofólio. 48. 2.39. Difusor divergente com obstáculo cilíndrico. 49. 2.40. Malha não-estruturada do difusor caso (i). 50. 2.41. Malha não-estruturada do difusor caso (ii). 50. 2.42. Caso (i) - Norma euclidiana do vetor de velocidade (Re=100). 51. 2.43. Caso (i) - Campo de pressão (Re=100). 51. 2.44. Caso (i) - Campo de velocidade (Re=100). 52. 2.45. Caso (i) - Norma euclidiana do vetor de velocidade (Re=1000). 52. 2.46. Caso (i) - Campo de pressão (Re=1000). 53. 2.47. Caso (i) - Campo de velocidade (Re=1000). 53. 2.48. Caso (i) - Campo de velocidade contornando o obstáculo (Re=1000). 54. 2.49. Caso (ii) - Norma euclidiana do vetor de velocidade (Re=100). 55. 2.50. Caso (ii) - Campo de pressão (Re=100). 55. 2.51. Caso (ii) - Campo de velocidade (Re=100). 56. 3.1. Esquema do algoritmo de Otimização. 67. 4.1. Continuidade de funções. 72.

(18) xvii. 4.2. Controle Local. 74. 4.3. Curvas B-splines com N=2,3,4.. 76. 4.4. (a) B-spline uniforme (b) B-spline não-uniforme. 77. 4.5. Curva B-spline fechada (K=5 e N=4). 78. 4.6. Curva B-spline cúbica passando por um conjunto de pontos-chave. 81. 4.7. Intervalo paramétrico de um segmento de curva B-spline. 82. 4.8. Contorno bidimensional modelados por splines. 84. 5.1. Elemento Ωe no plano xy - Elemento Ωe no plano ξη. 86. 5.2. Malha dos nós afetados pela perturbação de um ponto-chave da B-spline. 89. 6.1. Esquema do Processo de Otimização. 101. 6.2. Cavidade a ser otimizada. 103. 6.3. Cavidade caso (i) - Configuração do pontos-chaves. 104. 6.4. Malha da cavidade na configuração inicial. 105. 6.5. Cavidade caso (i) - Malha na configuração otimizada. 105. 6.6. Cavidade caso (i) - Campo pressão. 106. 6.7. Cavidade caso (i) - Norma euclidiana do vetor velocidade. 106. 6.8. Cavidade caso (i) - Campo de velocidade. 107. 6.9. Cavidade caso (ii) - Configuração do pontos-chaves. 108. 6.10. Cavidade caso (ii) - Malha na configuração otimizada. 109. 6.11. Cavidade caso (ii) - Campo pressão. 110. 6.12. Cavidade caso (ii) - Norma euclidiana do vetor velocidade. 110. 6.13. Cavidade caso (ii) - Campo de velocidade. 111. 6.14. Cavidade caso (i) - Posição inicial e final dos nós na face superior. 112. 6.15. Cavidade caso (i) - Posição inicial e final dos nós na face superior – Fonte: Deus(2002). 112. 6.16. Cavidade caso (ii) - Posição inicial e final dos nós na face superior. 113. 6.17. Difusor divergente a ser otimizado. 115. 6.18. Difusor caso (i) - Configuração do pontos-chaves. 115.

(19) xviii. 6.19. Malha da forma inicial do difusor com rampa a ser otimizada. 116. 6.20. Difusor caso (i) - Malha otimizada. 117. 6.21. Difusor caso (i) - Norma euclidiana do vetor velocidade. 117. 6.22. Difusor caso (i) - Campo de pressão. 118. 6.23. Difusor caso (ii) - Configuração do pontos-chaves. 119. 6.24. Difusor caso (ii) - Malha Otimizada. 120. 6.25. Difusor caso (ii) - Norma euclidiana do vetor velocidade. 120. 6.26. Difusor caso (ii) - Campo de pressão. 121. 6.27. Difusor caso (ii) - Campo de velocidade. 121. 6.28. Difusor caso (i) - Posição inicial e final dos nós da rampa. 123. 6.29. Difusor caso (i) - Posição inicial e final dos nós da rampa - Fonte: Deus(2002) 123. 6.30. Difusor caso (ii) - Posição inicial e final dos nós da rampa. 6.31. Difusor caso (ii) - Posição inicial e final dos nós da rampa - Fonte: Deus(2002) 124. 6.32. Difusor divergente suave a ser otimizado. 126. 6.33. Difusor caso (iii) - Configuração do pontos-chave. 126. 6.34. Malha da forma inicial do difusor suave com parede a ser otimizada. 127. 6.35. Difusor caso (iii) - Malha otimizada. 128. 6.36. Difusor caso (iii) - Norma euclidiana do vetor velocidade. 128. 6.37. Difusor caso (iii) - Campo de velocidade. 129. 6.38. Difusor caso (iii) - Posição inicial e final dos nós da parede. 130. 6.39. Difusor caso (iii) - Posição inicial e final dos nós com acréscimo às VP. 131. 6.40. Difusor e obstáculo a serem otimizados. 132. 6.41. Difusor caso (iv) - Configuração do pontos-chave. 132. 6.42. Malha da forma inicial do difusor e obstáculo a serem otimizados. 133. 6.43. Difusor caso (iv) - Malha na configuração otimizada. 134. 6.44. Difusor caso (iv) - Norma euclidiana do vetor velocidade. 134. 6.45. Difusor caso (iv) - Campo de pressão. 135. 6.46. Difusor caso (iv) - Campo de velocidade. 135. 6.47. Difusor caso (iv) - Posição inicial e final dos nós da parede e no obstáculo. 137. 124.

(20) xix. Lista de Tabelas. 4.1. Dados de uma curva B-spline cúbica passando por um conjunto de pontos-chave 82. 4.2. Valores dos coeficientes do sistema de equações e pontos de controle das extremidades para as condições de contorno de uma B-spline cúbica. 84.

(21) Resumo Este trabalho propõe um procedimento numérico integrado para problemas que envolvem a otimização de forma aplicada ao escoamento de fluidos. O procedimento é denominado integrado porque reúne diversos módulos distintos para o tratamento do problema, como modelagem geométrica, geração de malhas por elementos finitos, análise não-linear do escoamento, análise de sensibilidade, programação matemática e otimização de forma. A solução eficiente desta classe de problemas de otimização, principalmente os algoritmos de programação matemática, depende fortemente da estratégia utilizada na análise de sensibilidade da resposta do contorno e da determinação efetiva do gradiente da função objetivo e suas restrições, com relação às variáveis de projeto. Por este motivo, neste trabalho, foi aplicado um procedimento para melhorar a qualidade da análise de sensibilidade. As sensibilidades são obtidas analiticamente e o procedimento implementado para o gradiente da função objetivo propõe uma alternativa chamada de método adjunto, que consiste na adição de um termo à função objetivo, o que reduz consideralvemente o custo computacional. O problema de otimização é definido com base no modelo geométrico, a função objetivo a ser considerada é a dissipação viscosa e as variáveis de projeto são as coordenadas dos pontoschave, os quais descrevem o contorno do domínio, que é representado por segmentos de Bsplines cúbicas. A definição paramétrica de curvas em função de um conjunto de pontos-chave e condições de contorno em seus vértices extremos são discutidas detalhadamente. É dada ênfase à interpolação através de segmentos de B-splines, devido à sua simplicidade, eficácia e flexibilidade. A correta definição da geometria do domínio é responsável pelo sucesso do processo de otimização. O problema discretizado de otimização é formulado através do Método do Lagrangeano Aumentado, considerando-se restrições laterais e volumétricas. Os escoamentos aqui tratados são bidimensionais, supondo as hipóteses de incompressibilidade e em regime permanente, modelados pelas equações de Navier-Stokes. Estas equações são discretizadas pelo método dos elementos finitos de Galerkin, via elementos triangulares T7/C3 (sete nós para a velocidade e três para a pressão), resultando em um sistema de equações nãolineares, que é solucionado pelo método de Newton. O problema a ser solucionado neste trabalho consiste na otimização de forma de contornos, visando à redução da dissipação viscosa decorrente do escoamento em torno de um dado corpo ou em um canal. Palavras-Chave: Análise de Sensibilidade, Navier-Stokes, Otimização de Forma..

(22) Abstract This work presents an integrated numerical procedure for problems involving the optimization applied to fluid flow. The procedure is called integrated because it gathers distinct modules to the treatment of the problem, such as geometric modeling, generation of finite element meshes, nonlinear flow analysis, sensitivity analysis, mathematical programming and shape optimization. The effective solution of this class of optimization problems, mainly the algorithms of mathematical programming, strongly depends upon the strategy used in the sensitivity analysis of the contour response and of the effective determination of the gradient of the objective function and its restrictions with relation to the design variables. For this reason, a method was developed in this work in order to improve the sensitivity quality. The sensivities are obtained analytically and the procedure used to the gradient of the objective function offers an alternative called an adjoint method, which considerably reduces the computational cost. The optimization problem is defined on the basis of the geometric model, the objective function to be considered is a viscosity dissipation, and the design variables are the coordinates of the key points, which describe the contour of the domain represented by cubic B-spline segments. The parametric definition of curves in function of a set of key points and conditions of contour in its extreme vertices are discussed at great length. Emphasis is given to the interpolation through the B-spline segments, due to its simplicity, effectiveness, and flexibility. The right definition of the domain geometry is responsible for the success of the optimization process. The discretized optimization problem is formulated through the Augmented Lagrangian Method, and lateral and volumetric restrictions were taken into account. The flows treated here are bidimensional, assuming the hypotheses of incompressibility and steady-state, modeling by the Navier-Stokes equations. These equations are discretized by Galerkin’s finite element method, via triangular elements T7/C3 (seven knots for the velocity and three knots for the pressure), resulting in a system of nonlinear equations, solved by Newton´s method. The problem to be solved in this work consists in the optimization of the contour shapes, aiming the reduction of the viscosity dissipation originated from the flow around a given body or channel. Key-Words: Sensitivity Analysis, Navier-Stokes, Shape Optimization..

(23) Apresentação do trabalho Buscando facilitar o entendimento deste trabalho, o texto desta dissertação está organizado em 6 capítulos principais e alguns apêndices. No Capítulo 1 são apresentadas a introdução do problema estudado, a motivação que impulsionou o desenvolvimento do trabalho, a revisão bibliográfica sobre os diferentes e inúmeros métodos possíveis para se abordar o problema e a metodologia e objetivos definidos para o trabalho aqui desenvolvido. No Capítulo 2 são descritos o problema do escoamento do fluido nas suas formulações forte, fraca e discreta, o método de solução aplicado para o problema não-linear, obtido da discretização por elementos finitos, e ainda, alguns exemplos de análise do escoamento. No Capítulo 3 são apresentados os conceitos gerais da programação matemática, a formulação do problema ótimo de forma genérica, algumas informações sobre os algoritmos utilizados neste trabalho, como também a definição das variáveis de projeto e função objetivo. O texto fornece uma visão de como funciona o procedimento iterativo de solução do problema e informações necessárias para compreender a organização do sistema computacional implementado. O Capítulo 4 introduz o conceito e a importância da modelagem geométrica no processo de otimização de forma. São discutidas as técnicas de modelagem disponíveis para a solução de problemas de otimização e são estudados, principalmente os aspectos de representação paramétrica de curvas utilizando B-splines. Um estudo detalhado dos principais métodos disponíveis para a análise de sensibilidade é feito no Capítulo 5, onde são discutidas as vantagens e limitações de cada um no que diz respeito à precisão, eficiência e às dificuldades de implementação. São deduzidas as expressões do gradiente da função objetivo e restrições pelo método escolhido neste trabalho. No Capítulo 6 são apresentados o resumo de cada etapa do processo implementado neste trabalho para a solução de um problema de otimização em escoamentos de fluidos e os principais resultados obtidos da aplicação deste, bem como a comparação dos resultados apresentados com resultados de outros trabalhos semelhantes desenvolvidos na literatura. Finalmente, tem-se as conclusões mais importantes referentes aos resultados obtidos no desenvolvimento do trabalho e algumas perspectivas e sugestões para trabalhos futuros. Os apêndices estão reservados para outros detalhes referentes à determinação de alguns resultados matemáticos que requerem extensa manipulação e à implementações de pequenas variações feitas na teoria apresentada nos capítulos..

(24) Capítulo 1. Introdução A solução de problemas de engenharia através de técnicas e análises numéricas é atualmente uma realidade tanto em nível acadêmico quanto industrial. A evolução crescente dos computadores modernos vem possibilitando que problemas cada vez mais complexos possam ser resolvidos através de técnicas numéricas. Outro fator que também contribuiu para esta nova tendência está relacionado com os custos de projeto. Os computadores modernos além de cada vez mais poderosos estão cada vez mais baratos. Hoje é possível que todo o desenvolvimento de um problema numérico seja realizado em um microcomputador, cujo custo é muito baixo, deixando apenas as grandes simulações, com malhas refinadas, para os supercomputadores ou às estações de trabalho. Alguns problemas mais simples podem até mesmo serem resolvidos no próprio microcomputador em que o código foi desenvolvido. Ainda com relação a fatores econômicos, outro aspecto importante é que atualmente já é possível que horas de experimentação em laboratórios a custos altíssimos sejam substituídas por simulações em computadores, diminuindo enormemente os custos de projeto e deixando os testes de laboratórios apenas para os refinamentos do projeto, ou a modelagem de problemas que ainda não possuem uma formulação matemática satisfatória. A área de interesse deste trabalho concentra-se na aplicação de soluções numéricas para problemas de otimização de forma em mecânica dos fluidos, cujas aplicações estão presentes em diversas áreas da engenharia e são especialmente importantes nas áreas da engenharia aeroespacial e automobilística, bem como no projeto de válvulas e bombas hidráulicas. Esta área tem experimentado nas últimas décadas um grande crescimento, incentivada tanto pela evolução dos computadores quanto pelo desenvolvimento de técnicas numéricas cada vez mais poderosas e capazes de resolver modelos matemáticos mais próximos da realidade. A otimização de forma é um procedimento quase indispensável no projeto e construção de estruturas industriais. O problema de otimização de forma consiste em encontrar a geometria de uma estrutura ou de um contorno, que minimiza um dado funcional (tais como, o peso da estrutura ou a perda de carga do escoamento) e que simultaneamente satisfaça as restrições especificadas (como espessura, energia de deformação, volume ou limites de deformação e físicos). A geometria pode ser considerada como um domínio no espaço Euclidiano tri-dimensional. Em geral o funcional toma a forma de uma integral sobre o domínio, ou sobre seu contorno, onde o integrando depende da suavidade da solução do problema de valor de contorno. O.

(25) CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO. 2. problema de otimização de forma consiste na minimização de tal funcional com respeito ao domínio geométrico que deve ser tomado sobre uma família de domínios admissíveis. Assim, idealmente um problema de otimização de forma significa encontrar o mínimo de um funcional específico sobre um conjunto de domínios admissíveis. Na prática, a engenharia está interessada em reduzir o arraste na asa de um avião ou em automóveis, ou então, diminuir a perda de carga em canais, válvulas hidráulicas, válvulas cardiovasculares, etc. Um campo recente e muito fértil em termos de estudo e produção científica é a combinação dos resultados obtidos nas áreas de mecânica, análise funcional e teoria de controle. O desenvolvimento deste trabalho tem o intuito de aplicar tais teorias e conceitos à problemas de escoamento de fluidos sobre contornos e superfícies.. 1.1. Objetivos. Este trabalho de pesquisa propõe o desenvolvimento de um procedimento numérico para a solução de problemas de otimização de forma em escoamentos de fluidos, com o objetivo de diminuir a dissipação viscosa decorrente dos escoamentos sobre uma forma genérica, ou seja, dado um escoamento sobre um contorno, pretende-se encontrar a forma deste que minimize a perda de carga do escoamento analisado. Um sistema computacional para a otimização de forma de contornos em escoamentos de fluidos será implementado. A implementação de um sistema desse tipo é um grande desafio, pois envolve conhecimentos das áreas de programação matemática, modelagem geométrica, geração de malhas, análise do escoamento e análise de sensibilidade. Cada um destes temas isoladamente se constitui em uma área de conhecimento bastante vasta, tanto no aspecto teórico como computacional. O procedimento é aplicado em escoamentos bidimensionais de fluidos newtonianos, sob as hipóteses de incompressibilidade e regime permanente.. 1.2. Revisão Bibliográfica. As referências bibliográficas citadas da metodologia utilizada podem ser divididas didaticamente em dois grupos: as que fazem referência à solução do problema do escoamento do fluido, ou seja, à solução numérica das equações diferenciais (equação de Navier-Stokes) e as que se referem à definição e solução do problema de otimização de forma. Por esse motivo, a revisão bibliográfica é dividida em duas partes: a primeira traz um histórico do desenvolvimento dos métodos disponíveis para solução das equações diferenciais e a segunda procura abordar os aspectos relacionados com o problema ótimo.. 1.2.1. Solução da equação diferencial. No presente trabalho, a atenção é voltada para a modelagem de problemas de otimização de forma que envolvem o escoamento de fluidos newtonianos incompressíveis. A solução desses.

(26) CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO. 3. problemas requer o manuseio das equações de Navier-Stokes, altamente não-lineares. Os métodos tradicionais disponíveis para o tratamento dessas equações diferenciais são o Método de Diferenças Finitas, o Método de Volumes Finitos e o Método de Elementos Finitos. O grande desenvolvimento dos métodos numéricos e a conseqüente aplicação dos mesmos na engenharia, ocasiona, não raramente, discussões a respeito da eficiência e aplicabilidade dos diferentes métodos citados acima. Sabe-se, historicamente, que o Método de Diferenças Finitas era empregado na mecânica dos fluidos e o Método de Elementos Finitos na área estrutural. Os problemas abordados nestas áreas, do ponto de vista físico e matemático, são completamente distintos, isto é, enquanto os problemas de escoamentos de fluidos são não-lineares, os da elasticidade têm, normalmente, características lineares. As não-linearidades provém dos termos advectivos das equações de Navier-Stokes e as linearidades assemelham-se a problemas puramente difusivos. O Método de Elementos Finitos, preferido pelos analistas da área de estruturas, desenvolveuse fundamentalmente na área de elasticidade pelo fato de não haver nem o problema de nãolinearidades nem o problema de acoplamento entre as variáveis. Os esforços dos pesquisadores deste método concentrou-se mais na discretização de geometrias arbitrárias e no emprego de malhas não-estruturadas, o que proporcionou a vantagem de solucionar problemas com geometrias complexas. Mesmo com muitas das características desejadas pelos analistas da área de fluidos a sua aplicação foi tardia porque se acreditava que a equação diferencial a ser resolvida necessitava de um princípio variacional para que o método pudesse ser aplicado, propriedade que a equação de Navier-Stokes não tem, além disso apresentava dificuldades no tratamento das não-linearidades. Até o início dos anos setenta tinha-se então o Método de Diferenças Finitas com grande experiência na área de fluidos mas com dificuldades em tratar geometrias complexas. Em contrapartida, o Método de Elementos Finitos era eficaz no tratamento da geometria mas sem ferramentas suficientes para tratar os termos advectivos presentes nas equações do movimento. Apesar de superar a questão do princípio variacional através do uso do método clássico de Galerkin, o Método de Elementos Finitos não teve sucesso imediato em problemas de fluidos pelo fato de o método ser adequado apenas para problemas puramente difusivos. Além disso, os resultados de simulações numéricas da equação de Navier-Stokes, usando este método em elementos finitos produz instabilidades numéricas. Isto se dá por dois motivos principais: o primeiro, pelo caráter advectivo-difusivo das equações, que pode contaminar o campo de pressão e, conseqüentemente, o campo de velocidade; o segundo, pela formulação de caráter “misto” (envolvendo campos de pressão e velocidade) das equações, a qual limita a escolha das combinações das funções de interpolação elementares utilizadas para aproximar os campos de velocidade e pressão. Estes problemas e outros similares motivaram inúmeras pesquisas buscando sua solução, ou seja, procurando a estabilização da solução. Ocorreu ainda na decáda de 70, uma grande transformação na área numérica em fluidos motivada pelo aparecimento de equipamentos mais velozes e a observação do caráter físico de cada termo da equação diferencial, o que permitiu que métodos mais robustos fossem desenvolvidos causando grandes progressos nesta área..

(27) CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO. 4. O Método de Elementos Finitos passou a empregar outras funções de interpolação para permitir o tratamento adequado dos termos advectivos-difusivos não-lineares. No caso da formulação Petrov-Galerkin, onde as funções nada mais são do que a ponderação entre os efeitos difusivos e convectivos, ou seja, a base das funções peso é enriquecida pela adição de funções perturbação descontínuas que possuem características numéricas desejáveis, o que resulta no esquema SUPG 1 que foi introduzido por Brooks e Hughes (1980), Brooks e Hughes (1982) e Kondo (1994). O SUPG possibilitou um expressivo avanço do Método de Elementos Finitos na área de escoamento de fluidos, por ter-se mostrado capaz de controlar as instabilidades numéricas. Entretanto, percebeu-se que na vizinhança de regiões com elevados gradientes a solução se mostrou ainda vulnerável às tão indesejadas instabilidades. Recentes formulações com a mesma finalidade citada acima também podem ser referenciadas, como o Método do Gradiente Projetado descrito em Cecchi et al (1998) e Codina e Blasco (2000), onde o gradiente de pressão é projetado no espaço do campo de vetores contínuos do elemento finito e o divergente da diferença entre estes dois vetores (gradiente de pressão e sua projeção) é incorporado na equação da continuidade. Outros exemplos de metodologias são as que utilizam as Funções Bolha2 apresentadas por Franca et al (1998), onde a idéia é enriquecer o subespaço das funções peso com funções elementares pré-definidas para agregarem precisão e estabilidade à solução. Ainda para a solução por elementos finitos pode-se citar: o Método de Mínimos Quadrados de Galerkin3 , o método desenvolvido ao longo da linha de corrente, os esquemas semi-implicitos, os esquemas de interpolação iguais para os campos de pressão e velocidade, os esquemas de captura de descontinuidade, o Método de Elementos Finitos baseado em Volume de Controle e o Método dos Elementos no Contorno4 . O Método de Mínimos Quadrados de Galerkin baseado nas referências Achdou et al (1999), Codina (2000) e Franca e Frey (1992), alia um termo adicional com o objetivo de eliminar as oscilações que podem estar presentes nas regiões de gradientes elevados. Tal metodologia tem alcançado excelentes resultados. O método onde as funções são desenvolvidas ao longo da linha de corrente, equivale aos esquemas skew (Baliga e Patankar, 1980 e Schneider e Raw, 1986), usados em volumes finitos, que permitiram que o Método de Elementos Finitos passasse a tratar problemas de fluidos minimizando os efeitos de difusão numérica. Os esquemas semi-implícitos (Codina et al, 1998 e Kjellgren, 1997), consistem em tratar os termos difusivos de forma implícita e os termos advectivos de forma explícita e os esquemas que utilizam ordem de interpolação iguais para os campos de pressão e velocidade (Franca e Frey, 1992 e Codina e Blasco, 1997). Tais formulações não satisfazem a condição de BrezziBabuška, também chamada de condição de “inf-sup” (Babuška, 1973 e Brezzi, 1974). Esta é uma condição necessária para garantir uma performance ótima de um determinado método, quando este é aplicado a um conjunto bem definido de dados de entrada, digamos Φ. Se satisfeitas 1. Streamline Upwind Petrov Galerkin Residual Free Bubbles 3 Galerkin Least Square Method 4 Boundary Element Method 2.

(28) CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO. 5. as condições de “inf-sup”, diz-se então que tal método é robusto com relação ao conjunto Φ. Quando a condição não é satisfeita o método apresenta uma performance sub-ótima ou não converge, neste caso, diz-se que o método não é robusto com relação ao conjunto Φ. Entretanto, é possível que haja um subconjunto Φ∗ de Φ, com respeito ao qual o método estudado seja robusto (Babuška e Narasimhan, 1997). Nos esquemas com captura de descontinuidades (Codina, 1993), uma parcela de “amortecimento” é inserida na formulação, de tal forma que esta só atue em regiões de elevados gradientes, com o objetivo de combater as possíveis oscilações numéricas da solução. Há ainda metodologias que fazem uso de malhas adaptativas a fim de capturar melhor as regiões de elevados gradientes e, deste modo, contribuir para uma melhor precisão dos resultados (Bugeda e Oñate, 1995). Alguns trabalhos mostram o Método de Elementos Finitos aplicado em nível de volumes elementares, sendo denominado método dos elementos finitos baseado em volume de controle (Baliga e Patankar, 1980 e Schneider e Raw, 1986), denominado na literatura como CVFEM5 , cujo objetivo é obter as equações aproximadas em nível de volumes elementares em uma base de elementos finitos, ou seja, busca unir as características desejadas de volumes finitos, que é a conservação das propriedades em nível elementar, com as características desejadas de elementos finitos, que é a utilização de um sistema de coordenadas locais e independência entre os elementos. O Método dos Elementos no Contorno vem ganhando destaque, sendo aplicado quando é possível transferir a influência do operador do domínio para a fronteira. Sua vantagem é a possibilidade de tratar apenas com a discretização da fronteira, sem a necessidade de discretizar o domínio interno. Atualmente, observa-se que ambos os métodos (Volumes Finitos e Elementos Finitos) resolvem problemas altamente advectivos, inclusive com ondas de choque e geometrias arbitrárias. Isso mostra que existe entre eles uma forte semelhança em termos de generalidade. Na verdade não poderia ser diferente se observarmos do ponto de vista matemático, uma vez que todos os métodos numéricos podem ser derivados do método dos resíduos ponderados, empregando-se diferentes funções peso. O Método de Diferenças Finitas surge quando a função peso é feita igual à função delta no ponto em consideração, o Método de Volumes Finitos aparece quando esta função peso é feita igual a um no volume elementar e a zero em todos os outros volumes elementares. Enquanto o Método de Elementos Finitos-Galerkin surge quando estas funções peso são feitas iguais às funções tentativas. Portanto, não existe sentido em argumentar que um determinado método é sempre superior a outro, visto que eles são derivados do mesmo princípio e diferem apenas na forma de minimização escolhida. O que se tem, na prática, são diferentes graus de experiência dos diversos métodos para diferentes problemas.. 1.2.2. Solução do problema ótimo. A literatura na área de otimização fornece uma gama de possibilidades para abordagem de tais problemas, pelo fato de envolver vários aspectos na definição e na solução do problema. 5. Control Volume Finite Element Method.

(29) CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO. 6. Ela reúne diversos módulos distintos, como a formulação do problema ótimo, a representação do modelo geométrico, a análise de sensibilidade e a programação matemática. Nas últimas quatro décadas, foram desenvolvidos modelos e técnicas de otimização e o crescimento paralelo das facilidades computacionais permitiram a utilização destas técnicas desenvolvidas. Outro aspecto que estimulou o uso de uma abordagem sistemática na solução de problemas, foi o rápido aumento no tamanho e na complexidade dos problemas, como resultado do avanço tecnológico desde a segunda guerra mundial. A necessidade de reduzir o peso das estruturas sem comprometer a integridade estrutural, particularmente em aplicações aeroespaciais, foi historicamente a grande força motriz por detrás do desenvolvimento dos métodos de otimização. Este impulso ocorreu nos anos 60 e Schmit (1981) descreve, com muita propriedade, seu desenvolvimento. Porém, a literatura sobre otimização de projetos estruturais remonta desde o século passado. Inicialmente, com o trabalho de Maxwell (1869) e, em seguida, seu desenvolvimento feito por Michell (1904), ambos citados por Schmit (1981), supriram a teoria básica para a solução de problemas de otimização de estruturas. Desta época até o final da década de 50, os trabalhos escritos foram quase todos relacionados com o mesmo tipo de problema. A partir daí, com as facilidades criadas pelo uso do computador e após o surgimento da linguagem Fortran, o avanço foi grande. Empresas como a NASA6 , Bell Aerosystems7 e Boeing8 , envolveram-se em pesquisas relacionadas com otimização. Em seguida, Gallagher e Zienkiewicz (1973) apresentaram a primeira coletânea de artigos importantes em otimização. Após esta fase, da década de 70 até a atualidade, as pesquisas têm-se concentrado no desenvolvimento e escolha de métodos matemáticos para solução de problemas com variáveis discretas e, em termos de programação matemática, têm-se concentrado na melhoria dos códigos computacionais baseados em métodos de gradiente de passos largos, para que esses códigos possam resolver problemas de grande porte de forma tão eficaz quanto vêm resolvendo os problemas de pequeno e médio porte que lhes têm sido submetidos. A formulação do problema ótimo pode ser feito de diversas maneiras. Dentre as metodologias existentes pode-se destacar as seguintes: os Métodos Seqüenciais Quadráticos9 (Mahmoud et al, 1994), o Método do Lagrangeano Aumentado10 (Nocedal e Wright, 1999) e o Método do Gradiente Reduzido Generalizado (Wang e Ragsdell, 1984). O Método Seqüencial Quadrático ao longo dos anos tem-se mostrado bem eficiente para uma larga classe de problemas de otimização. Ele se caracteriza pela minimização de uma aproximação quadrática da função Lagrangeana a cada passo. Enquanto o Lagrangeano Aumentado transforma o problema original em uma seqüência de problemas laterais, além de acrescentar positividade à curvatura da função Lagrangeana do problema original. O Método do Gradiente Reduzido Generalizado imita os passos do Método Simplex (Luenberger, 1973 e Splendey, 1972) para uma linerização local de um problema de programação não-linear. A idéia é a de, a cada iteração do algoritmo, movimentar o ponto 6. National Aeronautics and Space Administration (1960). Bell Aerosystems Company (1964). 8 Boeing Company (1968). 9 Sequential Quadratic Programming 10 Augmented Lagrangian Method 7.

(30) CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO. 7. viável. De acordo com registros históricos a utilização do modelamento geométrico matemático remonta a mais de mil anos atrás, quando era usado como aplicação de seções cônicas nos projetos de arquitetura naval. Os engenheiros e construtores projetavam e construíam os navios baseados em métodos de curvas cônicas. Nos anos cinqüenta a revolução do advento do computador e o desenvolvimento da computação gráfica mudaram para sempre a modelagem, transformando o modelamento geométrico em uma ferramenta de grande auxílio na execução e desenvolvimento de projetos e novas tecnologias. As raízes do modelamento geométrico de hoje são encontradas nos sistemas mais avançados de computação gráfica desenvolvidos para projetos computacionais. Estes, por sua vez, são descendentes do sistema computacional SAGE11 , da Força Aérea Norte Americana (Everett, 1958). Sutherlan (1963), trabalhando no MIT12 está entre os pioneiros neste ramo com o seu sistema Sketchpad. O Sketchpad e outros sistemas gráficos avançados, sugeriram e proporcionaram possibilidades para melhorar e estender os projetos de engenharia, estimulando o desenvolvimento de muitas teorias matemáticas que são a base do modelamento geométrico de hoje. Do lado da engenharia, o modelamento tendeu a enfatizar a aparência do projeto, com a exceção notável dos modelos de elementos finitos, usados em análise estrutural e modelos análagos em análise aero-termodinâmica, que tendeu a enfatizar também a funcionabilidade do projeto. Do lado industrial, a história de modelamento geométrico iniciou-se com um modelamento simples de processos de controle numérico, quando foram introduzidos computadores na indústria para calcular e controlar os movimentos nas ferramentas e máquinas. Isto exigiu uma nova maneira de entender e extrair a informação dos desenhos e projetos de engenharia. Tal tarefa não era possível até que foram desenvolvidos linguagens especiais para traduzir a informação da forma dos desenhos em um formato compatível computacionalmente, ou seja, em uma linguagem computacional. Através de estudos avançados, Ross (1959), no IIT13 , dedicando grande esforço neste campo, desenvolveu com sucesso uma linguagem de controle de máquina, baseada na geometria analítica clássica. A linguagem APT14 emergiu deste trabalho. Isto marcou o começo do controle numérico, revolucionando assim a maquinaria na indústria. Em meados dos anos sessenta, Coons (1963, 1965) também no MIT e Ferguson (1964) na Boeing, iniciaram trabalhos importantes em curvas não racionais de forma livre e modelagem de superfícies, usando o esquema de interpolação cúbica de Hermite. O trabalho de Coons foi muito importante porque abriu o caminho e estimulou o desenvolvimento de outras curvas e representações de superfícies. Os esforços anteriores de Casteljau (1959, 1963), foram seguidos rapidamente pelo trabalho independente de Bézier (1966, 1967, 1968), que produziu um método extensamente usado para projetar curvas e superfícies. 11. Semi-Automatic Ground Environment Massachusetts Institute of Technology 13 Illnois Institute of Technology 14 Automatic Programming of Tools 12.

(31) CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO. 8. Coons, Ferguson e outros desenvolveram modelos de superfícies para substituir as tradicionais técnicas das indústrias de construção naval, automobilística e aeronaútica, por algo mais rápido, preciso e versátil. Eles buscaram formas que eram fáceis de modificar e compatíveis com a análise e os processos industriais. Os famosos remendos cúbicos paramétricos de Coons e Ferguson e as formulações de Bézier foram um grande sucesso. Nesta mesma época, a General Motors desenvolveu seu sistema denominado de DAC-115 , primeiro sistema de CAD16 utilizado para projeto de automóveis. Outras companhias aeroespaciais, como Douglas, Lockheed e McDonnell, fizeram desenvolvimentos significativos neste campo. O esforço da Douglas foi conduzido por Eshleman e Meriwether (1966, 1967), que estenderam consideravelmente a compreensão e a utilidade da forma Hermitiana cúbica e bicúbica das curvas e superfícies. Para Eshleman e Meriwether, a idéia de um modelo matemático que descreve e registra a geometria do produto final de um projeto era muito importante, mas o principal era o processo real - o uso, a evolução e a análise do modelo em todas as fases do projeto. Conseqüentemente, isto colocou em ênfase a universalidade e versatilidade da maneira de representação do modelo, ou seja, uma boa aproximação. Como exemplo, podemos citar a forma racional da B-spline não uniforme, extensamente usada e popularmente chamada de NURBS17 . O sucesso da forma de NURBS surgiu pelo simples fato que o projeto e processo industrial ainda confia em formas analíticas padrões, tais como: linhas retas, círculos, cônicas e em superfícies quadráticas. As formas racionais de representação para curvas e superfícies como NURBS, são capazes de incorporar formas padrões e formas livres. Nos anos setenta Gordon e Riesenfeld (1974) introduziram e aplicaram, com a ajuda do computador, as curvas e superfícies B-splines à projetos geométricos. A forma racional das curvas de Bézier e B-spline vieram logo em seguida, culminando nas poderosas e populares curvas e superficies NURBS. Cox (1972) e Boor (1972) fundamentaram matematicamente grande parte deste trabalho. As limitações das linguagens de programação de controle numérico estimularam mais e mais o trabalho no campo da matemática e as aplicações em modelar superfícies. Isto foi reforçado pelo crescimento da indústria automobilística e aeronáutica. Nesta época, se obteve grandes avanços na área da matemática, especialmente na geometria paramétrica. Desta maneira, se tem uma década produtiva em pesquisa e desenvolvimento, que termina no meio dos anos setenta, onde emergiu as idéias de curvas e superficíes por partes, ou seja, a junção de muitos segmentos de curvas individuais ou remendos de superfícies descrevem as geometrias mais complexas. Portanto, há a possibilidade do contorno do domínio ser modelado através de uma spline paramétrica que pode ser do tipo Ferguson, Hermite, Bézier ou ainda uma B-spline (Bugeda e Oñate, 1995 e Virgil et al, 1992). Pode-se também, descrever o contorno do domínio através de funções polinomiais (Francavilla et al, 1975), de linhas retas e circunferências, ou de “carregamentos fictícios” (Belegundu e Rajan, 1988; Rajan e Belegundu, 1989 e Yatheendhar e Belegundu, 1993). Os Métodos de Carregamentos Fictícios tem a peculiaridade de utilizar a 15. Design Augmented by Computers Computer Aided Design 17 Non Uniform Racional B-Spline 16.

(32) CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO. 9. solução de problemas auxiliares, onde se encontram aplicadas cargas fictícias. A solução destes problemas auxiliares por sua vez permite achar a matriz da transformação, que leva a perturbação das variáveis de projeto na perturbação das coordenadas dos nós da malha. Cada um destes métodos representam diferentes maneiras pelas quais as variáveis de projetos podem definir a forma do contorno. Todos os métodos fundamentados nas curvas paramétricas e superfícies de geometria diferencial formam o núcleo de modelamento geométrico computacional. Além disso, as possibilidades crescentes de alteração interativa e da otimização de formas ganharam mais atenção, estimulando uma reconsideração de todos os métodos de modelamento atuais. O futuro de modelamento geométrico é, sem dúvida, promissor. No que se refere a análise de sensibilidade, sabe-se que a convergência do processo de otimização é fortemente influenciada pela qualidade das sensibilidades calculadas. Os algoritmos de programação matemática necessitam dos gradientes da função objetivo e das restrições em relação às variáveis de projeto para determinar a direção de busca do processo de otimização. Portanto, pelo fato da análise de sensibilidade desempenhar um papel central no processo de otimização, sendo freqüentemente a etapa mais cara deste processo, podendo tomar de 50 a 90% do esforço computacional para a solução de todo o problema, é imprescíndivel que o cálculo das sensibilidades seja o mais preciso e eficaz possível. Como conseqüência, diferentes métodos foram desenvolvidos (Choi et al, 1986; Lund, 1994 e Tortorelli, 1997), os quais se distingüem basicamente pela eficiência numérica e o esforço de implementação. Os principais métodos disponíveis para se obter as sensibilidades são: o Método de Diferenças Finitas, o Método Analítico e o Método Semi-Analítico. O Método Analítico é o mais preciso e eficiente, contudo as expressões resultantes podem ser longas e exigir mais trabalho para a implementação. O Método de Diferenças Finitas é simples e genérico, mas altamente ineficiente por ser muito caro computacionalmente. O Método Semi-Analítico mantém as vantagens da utilização de diferenças finitas e possui um custo computacional baixo quando comparado com Diferenças Finitas, porém apresenta sérios problemas de precisão. Há ainda algumas variações e combinações entre estes métodos que busca suprir ou minimizar as dificuldades que cada um apresenta individualmente. No caso da solução de problemas de otimização de forma envolvendo escoamentos de fluidos existem alguns trabalhos que podem ser referenciados, como é o caso do trabalho Mohammadi e Pironneau (2004), que descreve os desenvolvimentos mais recentes na área de otimização de forma em fluidos, no que se refere a importantes fatores como a existência de solução, análise de sensibilidade, compatibilidade de discretização, implementação eficiente dos algoritmos, utilização de sistemas CAD18 , etc. Todos estes conceitos são aplicados para a otimização de um jato supersônico. O estudo desenvolvido por Parente de Deus (2002) foi utilizado como referência para o trabalho proposto para esta dissertação. Os procedimentos para solucionar um problema de otimização de forma em escoamentos de fluidos aqui desenvolvidos são a continuidade do trabalho feito por Parente de Deus (2002), o qual difere basicamente pelas estratégicas utilizadas para a 18. Computer Aided Design.

(33) CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO. 10. abordagem do problema (definição do contorno, método de análise de sensibilidade, geração de malha, etc.), buscando melhorar e agregar resultados, tornando a metodologia mais sofisticada.. 1.3. Metodologia Adotada. Os algoritmos de otimização são procedimentos iterativos, nos quais um projeto inicial vai sendo progressivamente melhorado. A cada iteração destes algoritmos é preciso definir uma nova forma, analisar o contorno, o escoamento e a função objetivo e calcular os gradientes (sensibilidades) das respostas obtidas. É necessário, para isso, utilizar procedimentos precisos, eficazes e robustos para realizar cada uma destas etapas. Neste trabalho a equação que governa o escoamento é dada pela Equação de NavierStokes, na sua forma bidimensional, supondo as hipóteses de incompressibilidade e regime permanente. A discretização da equação é feita pelo Método de Elementos Finitos. A opção por este método para o problema do fluido justifica-se, primeiro, pela área de atuação, que focaliza o estudo e desenvolvimento deste e, segundo, pelo fato de Método de Elementos Finitos estar solucionando problemas altamente advectivos, além de ter a vantagem de trabalhar com geometrias complexas e malhas não-estruturadas. Desta forma, a equação envolvida é discretizada pelo Método de Elementos Finitos de Galerkin (Brooks e Hughes, 1982 e Reddy, 1992), via o elemento T7/C3 (sete nós para a velocidade e três para a pressão). A grande motivação para a abordagem via este elemento, em problemas de dinâmica de fluidos, é a satisfação da condição “inf-sup”, também denotada como condição de Brezzi-Babuška (Babuška e Narasimhan, 1977 e Brezzi, 1974) para os problemas “mistos”. A satisfação desta condição garante a existência da solução do problema variacional e a estabilidade numérica do problema discretizado. Torna-se, assim, desnecessária a introdução de parâmetros de estabilidade, simplificando consideravelmente o esforço necessário para a determinação da análise de sensibilidade associada à otimização de forma.O T7/C3 é um elemento com maior custo computacional, por apresentar um número maior de campos a ser interpolado e a ordem das funções interpolação ser quadrática, mas mostra vantagens em relação a outros elementos de alta-ordem, devido à sua simplicidade computacional e eficiência na determinação da solução dos campos de pressão e velocidade do escoamento. A formulação utilizada para o problema do escoamento adiciona um termo à formulação fraca, cujo objetivo é a eliminação de oscilações que podem ocorrer em regiões de elevados gradientes. Tal termo é chamado de captura de descontinuidade ou captura de choque. Assim, como conseqüência destes procedimentos, a solução do problema do escoamento do fluido consiste na resolução de um sistema não-linear, o qual é resolvido pelo método de Newton (Bazaraa, 1993, Luenberger, 1973 e Martinez e Santos, 1995). O problema de otimização é formulado pelo Método do Lagrangeano Aumentado (Arora, 1989, Nocedal e Wright, 1999 e Martinez e Santos, 1995), que transforma o problema original em uma seqüência de problemas de otimização laterais. Serão consideradas, também, restrições volumétricas ao problema. A função objetivo a ser considerada é a dissipação viscosa e as variáveis de projeto são.

(34) CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO. 11. definidas como sendo as coordenadas dos pontos-chave, os quais descrevem o contorno do domínio por meio de B-splines cúbicas (Bugeda e Oñate, 1995 e Hinton e Sienz, 1997). Estas, por sua vez, são determinadas em função do conjunto destes pontos de interpolação e das condições de contorno em seus vértices extremos. Através do uso de splines é possível obter uma melhor definição do contorno, permitindo a manipulação e avaliação dos pontos na curva, com controle local e mudanças iterativas. Uma eficiente e relevante maneira de se realizar a análise de sensibilidade sempre implica em uma considerável redução do tempo total de solução do problema. Diante disso, neste trabalho, as expressões necessárias para o cálculo das sensibilidades em relação às variáveis de projeto foram desenvolvidas analiticamente, pelo fato de serem precisas e eficazes. É importante ressaltar que os resultados obtidos através da aplicação dessas expressões representam as sensibilidades exatas de uma dada malha de elementos finitos. Além disso, foi aplicado um procedimento para melhorar a qualidade das sensibilidades analíticas de contornos sujeitos aos escoamentos não-lineares. O procedimento é baseado na diferenciação analítica da função objetivo adicionada de um termo. Tal operação é denominada de método adjunto. A grande vantagem da aplicação deste método neste trabalho está na maneira eficaz de como foi escolhido este vetor adjunto, que reduz consideravelmente o custo computacional para a solução do problema não-linear do fluido..

(35) Capítulo 2. Equação de Navier-Stokes O desenvolvimento da mecânica dos fluidos foi iniciado antes de Cristo, quando as aplicações poderiam ser consideradas mais arte do que propriamente ciência. O início da análise dos fenômenos que ocorrem com os fluidos pode ser atribuído a Arquimedes (285-213 a.C.), estudando a flutuação de corpos submersos na célebre determinação do conteúdo de ouro da coroa do rei Hiero I1 . Com os romanos voltou a era das grandes construções hidráulicas, mas poucas foram as suas descobertas científicas. Contudo, isso não leva a desprezar seus feitos, pois os seus aquedutos fazem parte de grandes sistemas de distribuição de água, os quais foram frutos da experiência acumulada. Depois no Renascimento, nos séculos XV e XVI, Leonardo da Vinci reiniciou aplicações no campo de Hidráulica e deu início ao estabelecimento de proposições científicas na área. Na primeira metade do século XVII, Newton enunciou as famosas leis do movimento. Pouco depois, em 1755, Euler estudando elementos fluidos estabeleceu equações diferenciais básicas do movimento e importantes equações básicas sobre energia foram estabelecidas por Bernoulli. E quase um século depois, em traballhos independentes, Navier (1827) e Stokes (1845) generalizaram as equações de movimento com a inclusão do conceito de viscosidade. Neste trabalho, a equação que governa o escoamento é dada pela Equação de NavierStokes, considerada a mais importante em dinâmica dos fluidos newtonianos e foi obtida sucessivamente por Navier (1827), Poisson (1831), Saint-Venant (1843) e Stokes (1845). A equação é tratada em sua forma bidimensional, supondo as hipóteses de incompressibilidade e regime permanente, o que pode ser observado pelas condições impostas ao problema. Este capítulo, aborda desde a apresentação do problema do escoamento na sua forma mais geral até a apresentação do esquema numérico para a solução do problema não-linear obtido da formulação em elementos finitos e mais alguns exemplos de análise do escoamento. Primeiramente, é realizada a exposição do problema em sua formulaçao forte, com todas as suas condições de contorno (essenciais e naturais). Em seguida, obtém-se a formulação fraca do problema inicialmente apresentado através do Método de Galerkin. A transformação do problema da sua formulação forte para a fraca ocorre devido à dificuldade de se obter soluções 1. Conta-se que Arquimedes inventou o procedimento quando, ao entrar num recipiente completamente cheio de água para se lavar, parte dela transbordou. Assim, descobriu como determinar se a coroa de ouro do rei estava adulterada. Nesse momento saiu do banho e gritou a célebre palavra “Eureka!”, que em grego significa “Achei!”.

(36) CAPÍTULO 2. EQUAÇÃO DE NAVIER-STOKES. 13. em um espaço de dimensão infinita. Por esse motivo, transforma-se o problema para um espaço de solução de dimensão finita. Obtida a forma fraca do problema, incorpora-se a esta o parâmetro de captura de descontinuidade, que se faz necessário quando se trabalha com valores elevados para o número de Reynolds. Feito isto, segue-se com a aplicação da formulação de elementos finitos. A formulação pelo Método de Elementos Finitos do problema é com certeza, a etapa mais importante deste processo inicial para a solução do escoamento. Vale observar ainda que tal etapa é fortemente influenciada pelas anteriores. Nesta etapa serão obtidas todas as matrizes e vetores elementares que contribuirão para a formação da matriz de rigidez global. Em seguida, apresenta-se o esquema para a solução do sistema não-linear de equações obtido pela discretização de elementos finitos, algumas aplicações de escoamentos e a comparação destes com outros trabalhos já realizados, procurando validar o código aqui implementado. Alguns resultados matemáticos sobre a existência e unicidade de solução para a Equação de Navier-Stokes, podem ser encontrados no Apêndice A.. 2.1. Formulação Forte. O problema do escoamento a ser resolvido pode ser descrito da seguinte forma: Seja Ω ⊂ R2 um domínio limitado e Γ o seu contorno. O problema consiste em: Determinar u(x) e p(x), para ∀ x ∈ Ω ∪ Γ, tais que satisfaçam (∇u(x)) u(x) − 2ν div(D(u(x))) + ρ1 ∇p(x) = b(x) em Ω div(u(x)) = 0 em Ω ,. (2.1). onde ν é a viscosidade dinâmica, ρ é a densidade, u é o vetor velocidade, p é a pressão, b é o vetor de força de corpo e D(·) é a parte simétrica do operador gradiente, dado por D(·) =. ∇(·) + ∇T (·) . 2. (2.2). As equações descritas em (2.1) estão sujeitas às condições de contorno de Dirichlet e Neumann, dadas respectivamente por u(x) = u ˜(x) em Γu e n = h(x) em Γt, 2ν D(u(x)) · n b − ρ1 p(x)b. (2.3). onde Γ = Γu ∪ Γt , sendo Γu a região do contorno com o campo de velocidade prescrito e Γt a região do contorno com a tensão prescrita. Como um exemplo de domínio genérico, tem-se a Fig. (2.1).